设 $\mathbb{D}$ 表示复平面 $\mathbb{C}$ 中的单位开圆盘, $H(\mathbb{D})$ 表示在 $\mathbb{D}$ 上所有解析函数的集合. 对于 $0 < p \leq \infty$, Hardy 空间 $H^p$ 是所有满足以下条件的函数 $f \in H(\mathbb{D})$ 的集合

其中

更多有关 Hardy 空间的理论知识可以见文献 [1].

对于 $0 < p < \infty$ 和 $\beta > -1$, 若函数 $f\in H(\mathbb{D})$ 且满足

其中 d$A$ 是 $\mathbb{D}$ 上的规范化的 Lebesgue 面积测度, 则称 $f$ 属于加权的 Bergman 空间 $A_\beta^p$ (见文献 [2]). 当 $\beta =0$ 时, 就是经典的 Bergman 空间, 简记为 $A^p$, 更多有关 Bergman 空间的理论知识可以见文献 [3,4].

下面我们引入对数加权 Bergman 空间 $A^p_{\beta,\log^\alpha}$. 对于 $1 < p < \infty $ 和 $\alpha>0$ 及 $\beta > -1$, 若函数 $f\in H(\mathbb{D})$,我们定义

若 $\|f\|_{A_{\beta,\log^\alpha}^p}< \infty$, 则称 $f$ 属于对数加权的 Bergman 空间 $A^p_{\beta,\log^\alpha}$. 可以容易地得到以下结论: 对于 $\beta < 0$, 有 $A^p_{\beta,\log^\alpha} \subsetneqq A^p_{\beta} \subsetneqq A^p$; 而对于 $\beta > 0$, 有 $A^p \subsetneqq A^p_{\beta,\log^\alpha} \subsetneqq A^p_{\beta}$.

Hilbert 矩阵算子 $\mathcal{H}$ 是算子理论中的一个核心算子. 近年来, 它在多个解析函数空间上的有界性、范数及其他性质的研究得到了积极的探索. 在不同的解析函数空间中研究其有界性和范数, 已成为近年来研究的一个活跃领域 ^[5-13]. 在文献 [14-22]中, 叶善力课题组将 Hilbert 矩阵算子拓展为微分 Hilbert 算子及广义的 Hilbert 算子. 最初, Diamantopoulus 和 Siskakis^[5] 探讨了算子 $\mathcal{H}$ 在 Hardy 空间 $H^p(1<p<\infty)$ 上的有界性, 并同时给出了其范数的上界估计. 在随后的研究中^[7], Diamantopoulus 将这一研究扩展到了 Bergman 空间 $A^p(2<p<\infty)$, 并得到了算子 $\mathcal{H}$ 范数的上界估计. 在此基础上, Dostanić, Jevtić, Vukotić ^[12] 获得了算子 $\mathcal{H}$ 在 Hardy 空间 $H^p(1<p<\infty)$ 内的精确范数值, 并且给出在 Bergman 空间 $A^p(4\leq p<\infty)$ 中算子 $\mathcal{H}$ 的范数的精确值. 2017 年, Božin 和 Karapetrović ^[10] 解决了 Bergman 空间 $A^p(2<p<4)$ 中算子 $\mathcal{H}$ 范数的精确值问题. 在文献 [23]中, 我们给出了 Hilbert 矩阵算子$\mathcal{H}$ 在一些解析函数空间上的范数, 得到了 Hilbert 矩阵算子在 $\alpha$-Bloch 空间上的范数估计, $H^\infty$ 到 Bloch 空间的范数为 3 等结果.

Hilbert 矩阵算子 $\mathcal{H}$ 在加权 Bergman 空间 $A^p_\alpha$ 上的有界性研究始于 ^[13], 并获得了一些部分结果. 随后, 关于加权 Bergman 空间 $A^p_\alpha$ 中不同 $\alpha$ 值下的范数问题, 得到了许多研究者的探讨. 具体内容可参见文献 [9,13,24–27]. 在文献 [16]中, 叶善力和冯光豪研究了 $\mathcal{H}$ 在对数加权 Bergman 空间 $A_{\log^\alpha}^p$ 上的作用, 并计算了当 $\alpha>2$ 时, 从对数加权 Bergman 空间 $A_{\log^\alpha}^2$ 到 Bergman 空间 $A^2$ 的范数的下界和上界. 从文献 [25] 知, 算子 $\mathcal{H}$ 在 $A^p_{p-2}$ 空间上是无界的. 于是, 本文主要研究当 $1<p\leq 2$ 时, 算子 $\mathcal{H}$ 从 $A^p$ 的子空间对数加权 Bergman 空间 $A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$ 到 $A^p$ 的性质, 并给出其范数的下界和上界.

Hilbert 矩阵是一个无限矩阵, 也记作 $\mathcal{H}$, 其元素为 $a_{n,k} = \frac{1}{n+k+1}$, 其中 $n,k \geq 0$. Hilbert 矩阵 $\mathcal{H}$ 通过作用于解析函数的泰勒系数. 于是, 它可视为作用在解析函数空间上的算子. 从文献 [5]中我们知道

由文献 [5]知, (1.1)式可由加权复合算子 $T_t$ 的积分表示, 即

其中

另外, 文中的 $C$ 表示与变量 $z,w$ 等无关的正常数, 不同的地方可以不一样. 文中符号 "$ f(z)\sim g(z)$" 表示函数 $f(z), g(z)$ 等价, 即存在正常数 $C$, 满足 $\frac{1}{C}f(z) \leq g(z)\leq C f(z)$.

在本节中, 我们推导了 Hilbert 矩阵算子从 $A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$ 到 $A^p$ 的范数估计, 其中 $\alpha > p$ 且 $1 < p < 2$.

${\bf定理2.1}$ 设 $\alpha > p$ 且 $1 < p <2$, 那么从 $A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$ 到 $A^p$ 的 Hilbert 矩阵算子的范数的上界有下面估计

${\bf证}$ 由 Minkowski不等式 ^[16] 和 (1.2)式得

作线性分式变换 $w = \phi_t(z), z \in \mathbb{D}$, 我们有

这里 $D_t = \phi_t(\mathbb{D})$. 我们可以很容易地发现 $D_t = D\left( \frac{1}{2-t}, \frac{1-t}{2-t} \right)$, 即 $D_t$ 是一个以 $\frac{1}{2-t}$ 为中心, 半径为 $\frac{1-t}{2-t}$ 的欧几里得圆盘. 进一步, 我们可以得出, 对于 $w \in D_t$, 有 $|w| \geq \frac{t}{2-t}$, 并且 $D_t \subset E_t$, 这里 $E_t = \{w \in \mathbb{C} : \frac{t}{2-t} < |w| < 1\}$. 因此

另一方面, 我们也有

可以很容易地发现函数 $r \mapsto \frac{1}{r^{4-p}}$ 是递减的, 而函数 $r \mapsto rM^p_p(r,f)$ 是递增的. 由 Chebyshev 不等式得

由于函数 $w \mapsto \left( \log\frac{2}{1-|w|^2}\right)^{-\alpha}$ 和 $w \mapsto (1-|w|^2)^{2-p}$ 都是递减的, 通过简单计算我们可以发现

根据 (2.3), (2.4) 和 (2.5) 式有

现在对 (2.6)式中进行变量变换. 令 $x=\frac{t}{2-t}$, 我们可以得到

通过简单计算, 当 $1 < p < 2$, 有 $1 - x^{3-p} \leq (3-p)(1-x)$. 由此, 可以得到

显然, 当 $\alpha > p$ 时, 积分是收敛的. 从 (2.1) 和 (2.7) 式可得

这意味着

${\bf引理2.1}$^[p93-96] 设 $\alpha>0, \beta>0$. 令 $\displaystyle f(z)=(1-z)^{-\alpha}\{\frac{1}{z}\log\frac{1}{1-z}\}^{\beta}$.

(1) 如果 $p\alpha<1$ 或 $p\alpha=1, p\beta<-1$, 那么 $M_p(r,f)\leq A(\alpha,\beta,p);$

(2) 如果 $p\alpha=1, p\beta>-1$, 那么

(3) 如果 $p\alpha>1$, 那么

其中 $A(\alpha,\beta, p)$ 是依赖于 $\alpha$, $\beta$, $p$ 的常数.

在我们得到范数 $\|\mathcal{H}\|_{A_{p-2,\log^{\alpha}}^p \rightarrow A^p}$ 的下界之前, 我们需要在 $A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$ 中找到一个特殊的函数.

${\bf引理2.2}$ 令 $\alpha>p$ 和 $3-p<\gamma<2$. 那么函数

属于 $A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$.

${\bf证}$ 由引理 2.1(3) 知

由$(a+b)^p\leq 2^p(a^p + b^p), \quad a\geq 0, \quad b\geq0,$

得到

因此, 我们可以发现积分 $\int_0^1 M_p^p(r,f)\left(\log{\frac{2}{1-r^2}}\right)^{\alpha} (1-r^2)^{p-2}{\rm d}r $ 在 $\alpha > p$ 且 $3-p < \gamma < 2$ 的条件下是收敛的. 这表明 $f(z) \in A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$. 同时, 很容易看出 $\lim_{\gamma\rightarrow2}\|f\|_{A_{p-2,\log^{\alpha}}^p}=\infty.$

${\bf推论2.1}$ 设 $\alpha>0$, $\beta>0$ 和 $1-\beta<\gamma<2$, 则函数

属于 $A_{\beta,\log^{\alpha}}^p$.

${\bf定理2.2}$ 设 $\alpha>p$ 和 $1<p<2$. 则从 $A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$ 到 $A^p$ 的 Hilbert 矩阵算子的范数的下界有下面的估计

其中

${\bf证}$ 设 $\alpha > p$, 我们首先选择一族测试函数. 选取任意一个 $\gamma$, 使得 $3-p < \gamma < 2$. 取下面的测试函数 $f_\gamma$

由引理 2.2表明 $f_\gamma(z) \in A_{p-2,\log^{\alpha}}^p$, 同时, 很容易看出

令$F_\gamma(z)=(1 - z)^{-\frac{\gamma}{p}},$

则 $F\in A^p$, 且

由引理 2.1和引理 2.2 的证明知, 我们得到 $f_\gamma(z)$ 和 $F_\gamma(z)$ 之间的关系, 即

因此, 令 $C_{\alpha}=\limsup_{\gamma\rightarrow 2}\frac{\left\|(1-z)^{-\frac{\gamma}{p}}\right\|_{A^p}}{\left\|\left(\frac{1}{z}\log\frac{1}{1-z} \right)^{-\frac{\alpha}{p}}(1 - z)^{-\frac{\gamma-2+p}{p}}\right\|_{A_{2-p,\log^{\alpha}}^p}}$, 并且 $C_\alpha$ 是一个只依赖于 $\alpha$ 的常数.

再由 (2.1) 式, 我们发现

作变量变换 $w = \frac{1-tz}{1-t}$, 计算得到

类似文献 [定理 4]的作法, 令

则 $\mathcal{H}f_\gamma(z)=F_\gamma(z)\phi_\gamma(z).$

我们用测试函数 $g_\gamma(z)=\frac{f_\gamma(z)}{\|F_\gamma\|_{A^p}}$ 和 $G_\gamma(z)=\frac{F_\gamma(z)}{\|F_\gamma\|_{A^p}}$ 得到

令 $\gamma \rightarrow 2$, 并且通过文献[定理 4]有

通过变量变换 $x=(s-1)/s$, 计算得到

因此我们可以得到

其中

我们知道, 当 $2+\beta < p$ 且 $\beta \geq 0$ 时, 算子 $\mathcal{H}$ 在 $A^p_{\beta}$ 上是有界的, 见文献 [25], 并且 $A^p_{\beta,\log^\alpha} \subsetneqq A^p_{\beta}$. 在本节中, 我们将推导 Hilbert 矩阵算子从 $A_{\beta,\log^{\alpha}}^p$ 到 $A^p_{\beta}$ 的范数估计, 其中 $\alpha > 0$, $\beta \geq 0$ 且 $2 + \beta < p$.

${\bf定理3.1}$ 令 $\beta\geq0$, $\alpha>0$ 和 $p>\beta+2$.

(1) 如果 $p\geq2\beta+4$, 那么

(2) 如果 $\beta+2<p<2\beta+4$, 那么

${\bf证}$ 由前面证明知

于是, 由线性分式变换 $w = \phi_t(z), z \in \mathbb{D}$ 得

$D_t=\phi_t(\mathbb{D})$ 是前面定义的. 因此

另一方面, 我们有

因此, 有

容易验证对于 $w\in D_t$, 有$\frac{t}{2-t}\leq |w|\leq 1$.

对于 $p\geq 2\beta+4$, 利用 (3.3) 式和 $|w|^{p-4-2\beta}\leq 1$, 可以得到

由于 (3.1) 和 (3.4) 式得

做变量变换, 令 $x=\frac{t}{2-t}$ 有

当 $2+\beta<p<2\beta+4$, 由(3.3)式和 $\frac{t}{2-t}\leq |w|$ 得

利用 (3.1) 和 (3.5) 式得到

令 $x=\frac{t}{2-t}$, 则

${\bf定理3.2}$ 设 $\beta \geq 0$, $\alpha > 0$ 且 $p > \beta + 2$, 那么

这里

${\bf证}$ 设 $\alpha>0$. 选取任意一个 $\gamma$, 使得 $1 - \beta < \gamma < 2$. 取测试函数 $f^1_\gamma$

则由 2.1表明 $f^1_\gamma(z) \in A_{\beta,\log^{\alpha}}^p$. 同时, 很容易看出

令$F^1_\gamma(z)=(1 - z)^{-\frac{\gamma+\beta}{p}},$

于是, 知, $ F^1_\gamma\in A^p_\beta$, 并且

类似于引理2.2的证明, 我们得

因此, 我们令 $C_{\alpha}=\limsup_{\gamma\rightarrow 2}\frac{\left\|(1-z)^{-\frac{\gamma+\beta}{p}}\right\|_{A^p_\beta}}{\left\|\left(\frac{1}{z}\log\frac{1}{1-z} \right)^{-\frac{\alpha}{p}}(1 - z)^{-\frac{\gamma+\beta}{p}}\right\|_{A_{\beta,\log^{\alpha}}^p}}$, 那么 $C_\alpha$ 是一个只依赖于 $\alpha$ 的常数.

由 (2.1)式知

令 $w=(1-tz)/(1-t)$ 得

令

那么 $\mathcal{H} f^1_\gamma(z) = F^1_\gamma(z) \phi^1_\gamma(z)$

同样, 用测试函数 $g^1_\gamma(z)=\frac{f^1_\gamma(z)}{\|F^1_\gamma\|_{A^p_{\beta}}}$ 和 $G^1_\gamma(z)=\frac{F^1_\gamma(z)}{\|F^1_\gamma\|_{A^p_{\beta}}}$, 可以得到

令 $\gamma \rightarrow 2$

令 $x=(s-1)/s$ 得

因此我们得到了

其中