函数空间上的算子理论是现代数学中一个极其活跃且受到广泛关注的领域. 这一领域的吸引力在于, 许多复杂的算子问题可以通过将其转化为特定函数空间上的问题来简化处理. 在众多研究对象中, Bergman 空间上的 Toeplitz 算子与 Hankel 算子构成了算子理论研究的核心内容之一. 近半个世纪以来, 这两类算子吸引了无数学者的目光, 并成为了该领域内不可或缺的一部分. 而算子的交换性问题是函数空间上的算子理论所讨论问题中的重要的一类. 1964 年, Brown 和 Halmos 在文献 [1]中给出了 Hardy 空间上两个 Toeplitz 算子的乘积仍为一个 Toeplitz 算子的充要条件, 并且讨论了它们的交换性. 在经典的 Bergman 空间上, Axler, Ahern 和 Cuckovic 证明了以有界调和函数为符号的 Toeplitz 算子具有类似性 ^[2]. 在 Bergman 空间的情形, Cuckovic 和 Rao 以 Mellin 变换为工具证明了以有界函数为符号的两个 Toeplitz 算子交换, 如果其中一个符号是径向函数, 则另一个符号一定是径向函数 ^[3]. 2019 年, 黄穗在文献 [4]中讨论了 Fock 空间上以径向函数和拟齐次函数为符号的 Toeplitz 算子的代数性质, 并且研究了以拟齐次函数为符号的 Toeplitz 算子的交换性. 2020 年, 孙志玲在文献 [5]中给出了多圆盘 Bergman 空间上两个带有某种符号的 Toeplitz 算子的乘积等于另一个 Toeplitz 算子的充分必要条件, 并相应的研究了它的交换性.

2007 年, Arora 和 Paliwal 在 Hardy 空间上将 Toeplitz 和 Hankel 算子概念结合在一起, 从而引入了 H-Toeplitz 算子的概念并研究了其相关性质 ^[6]. 2021 年, Gupta 和 Singh 在文献 [7] 中定义了 Bergman 空间上的 H-Toeplitz 算子, 讨论了具有解析符号和调和符号的 H-Toeplitz 算子的交换性. 2022 年, Liang 等人在文献 [8]中刻画了 Bergman 空间上具有拟齐次符号的 H-Toeplitz 算子的交换性与半交换性. 2023 年, 丁倩和陈泳在文献 [9]中描述了两个 H-Toeplitz 算子的乘积是一个具有一般符号和另一个具有拟齐次符号的 H-Toeplitz 算子的情况, 并描述了 H-Toeplitz 算子和 Toeplitz 算子的乘积是另一个具有拟齐次符号的 H-Toeplitz 算子. 2024 年, 丁倩在文献 [10] 中描述了两个具有调和符号的 H-Toeplitz 算子的交换性, 进而给出了 H-Toeplitz 算子和具有非调和符号的 Toeplitz 算子的交换性的充要条件.

众所周知, 算子的交换性是一个很重要的性质. 本文主要考虑了调和 Bergman 空间上以径向函数为符号的 H-Toeplitz 算子和 H-Hankel 算子, 具体研究了以下几个问题. (1) 两个以径向函数为符号的 H-Toeplitz 算子在什么条件下满足交换性? (2) 以径向函数为符号的 H-Toeplitz 算子与 H-Hankel 算子的乘积在什么条件下等于另一个 H-Toeplitz 算子或者另一个 H-Hankel 算子? 利用 Mellin 变换, 本文给出了一些结论.

$L^{2}(\mathbb{D}, \mathrm{~d} A(z))$ 上所有解析函数全体构成的子空间定义为 Bergman 空间, 记为 $L_{a}^{2}(\mathbb{D}).~ L^{2}(\mathbb{D},$$ \mathrm{~d} A(z))$ 上所有调和函数全体构成的子空间定义为调和 Bergman 空间, 记为 $L_{h}^{2}(\mathbb{D})$. 显然, $L_{a}^{2}(\mathbb{D})$ 是 $L_{h}^{2}(\mathbb{D})$ 的子空间.

Bergman 空间再生核为 $K_{z}(\omega)=\frac{1}{(1-\bar{z} \omega)^{2}}=\sum_{j=0}^{\infty}(1+j) \bar{z}^{j} \omega^{j}, z, \omega \in \mathbb{D}$. 记 $P$ 是从 $L^{2}(\mathbb{D}, \mathrm{~d} A)$ 到 Bergman 空间 $L_{a}^{2}(\mathbb{D})$ 上的正交投影, 对于 $f \in L^{2}(\mathbb{D}, \mathrm{~d} A)$, 由再生核性质有

调和 Bergman 空间再生核为 $R_{z}(\omega)=K_{z}(\omega)+\overline{K_{z}(\omega)}-1, z, \omega \in \mathbb{D}$. 记 $G$ 是从 $L^{2}(\mathbb{D}, \mathrm{~d} A)$ 到调和 Bergman 空间 $L_{h}^{2}(\mathbb{D})$ 上的正交投影, 对于 $f \in L^{2}(\mathbb{D}, \mathrm{~d} A)$, 由再生核性质有

令 $e_{n}(z)=\sqrt{n+1} z^{n},\left\{e_{n}(z)\right\}_{n \geq 0}$ 为 $L_{a}^{2}(\mathbb{D})$ 的规范正交基, 定义算子 $K: L_{a}^{2}(\mathbb{D}) \rightarrow L_{h}^{2}(\mathbb{D})$ 满足 $K\left(e_{2 n}(z)\right)=e_{n}(z), K\left(e_{2 n+1}(z)\right)=\overline{e_{n+1}(z)}$, 对所有的 $n \geq 0$. 令 $K^{*}$ 为 $K$ 的对偶算子, 即 $K^{*}$ 为 $L_{h}^{2}(\mathbb{D}) \rightarrow L_{a}^{2}(\mathbb{D})$ 的算子, 使得 $K^{*}\left(e_{n}(z)\right)=e_{2 n}(z), K^{*}\left(\overline{e_{n+1}(z)}\right)=e_{2 n+1}(z)$, 对所有的 $n \geq 0$. 定义翻转算子 $J: L_{h}^{2}(\mathbb{D}) \rightarrow L_{h}^{2}(\mathbb{D})$ 满足 $J\left(e_{n}(z)\right)=\overline{e_{n}(z)}$ 对所有的 $n$.

对于 $\phi \in L^{\infty}(\mathbb{D})$, 乘法算子 $M_{\phi}$ 定义为 $M_{\phi}(f)=\phi f$.

对于 $\phi \in L^{\infty}(\mathbb{D})$, 定义 H-Toeplitz 算子 $B_{\phi}: L_{h}^{2}(\mathbb{D}) \rightarrow L_{h}^{2}(\mathbb{D})$ 和 H-Hankel 算子 $H_{\phi}: L_{h}^{2}(\mathbb{D}) \rightarrow L_{h}^{2}(\mathbb{D})$, 其中 $B_{\phi}(f)=G M_{\phi} K^{*} f, \quad H_{\phi}(f)=G M_{\phi} J K^{*} f$, 对所有的 $f \in L_{h}^{2}(\mathbb{D})$. 而且 $B_{f}=0$ 当且仅当 $f=0, H_{f}=0$ 当且仅当 $f=0$.

在对 H-Toeplitz 算子的研究中, 使用 Mellin 变换, 即对任意函数 $\phi \in L^{1}([0,1], r\mathrm{~d}r)$, $\phi$ 的 Mellin 变换定义为

${\bf引理2.1}$ 设 $\phi$ 是有界径向函数, 则对于任意的

${\bf引理2.2}$ 设 $\phi$ 是有界径向函数, 则对于任意的

${\bf引理2.3}$^[9] 设 $\phi \in L^{1}([0,1], r\mathrm{~d}r)$, 如果存在正整数序列 $\left\{n_{k}\right\}$ 满足 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n_{k}}=\infty$ 且 $\hat{\phi}\left(n_{k}\right)=0$, 对所有的 $k$, 那么 $\phi=0$.

这一部分将讨论 H-Toeplitz 算子的符号满足什么条件时才能交换的问题.

${\bf定理3.1}$ 设 $a, b$ 为任意常数, $\phi_{1}=a|z|^{s}, \phi_{2}=b|z|^{t}$, 则 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}}=B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}}$ 当且仅当 $t=s$.

${\bf证}$ 对于任意的 $f=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} e_{n}(z)+\sum_{m=0}^{\infty} b_{m+1} \overline{e_{m+1}(z)} \in L_{h}^{2}(\mathbb{D})$, 有

同理

若 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}} f=B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}} f$, 则有

且

经计算, $n(t-s)=0$ 且 $(2 m+1)(t-s)=0$, 则 $t-s=0$, 即 $t=s$. 反过来, 若 $t=s$, 显然有 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}} f=B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}} f$.

${\bf定理3.2}$ 设 $s, t$ 是不同的常数, $\phi_{1}=a|z|^{s}+b|z|^{t}, \phi_{2}=c|z|^{s}+d|z|^{t}$, 则 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}}=B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}}$ 当且仅当 $b c=a d$.

${\bf证}$ 对于任意的 $f=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} e_{n}(z)+\sum_{m=0}^{\infty} b_{m+1} \overline{e_{m+1}(z)} \in L_{h}^{2}(\mathbb{D})$, 有

同理

若 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}} f=B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}} f$, 则有

且$ \begin{aligned} &\left(\frac{a}{8 m+6+s}+\frac{b}{8 m+6+t}\right)\left(\frac{c}{4 m+4+s}+\frac{d}{4 m+4+t}\right)\\ =&\left(\frac{a}{4 m+4+s}+\frac{b}{4 m+4+t}\right)\left(\frac{c}{8 m+6+s}+\frac{d}{8 m+6+t}\right). \end{aligned} $

经计算, $n(t-s)(b c-a d)=0$ 且 $(2 m+1)(t-s)(b c-a d)=0$, 则 $b c-a d=0$, 即 $b c=a d$. 反过来, 若 $b c=a d$, 显然有 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}}=B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}}$.

接下来给出一些例子.

当 $\phi_{1}, \phi_{2}$ 的系数不满足 $b c=a d$ 时, 定理 3.2 不成立, 给出反例如下.

${\bf例 3.1}$ 设 $\phi_{1}=2|z|+3|z|^{2}, \phi_{2}=4|z|+5|z|^{2}$, 现在引入测试函数 $f(z)=\bar{z}$. 那么此时, $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}} f=\frac{259 \sqrt{6}}{20} z^{2}, ~ B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}} f=\frac{1809 \sqrt{6}}{140} z^{2}$, 则 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}} f \neq B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}} f$.

当 $\phi_{1}, \phi_{2}$ 的次数不对应相等时, 定理 3.2 不成立, 给出反例如下.

${\bf例 3.2}$ 设 $\phi_{1}=2|z|+3|z|^{2}, \phi_{2}=4|z|+6|z|^{3}$, 现在引入测试函数 $f(z)=\bar{z}$. 那么此时, $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}} f=\frac{3219 \sqrt{6}}{245} z^{2}, B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}} f=\frac{468 \sqrt{6}}{35} z^{2}$, 则 $B_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}} f \neq B_{\phi_{2}} B_{\phi_{1}} f$.

由上面这些例子可以看出, 只有当 $\phi_{1}, \phi_{2}$ 的次数和系数都满足相应条件时, 交换性才成立.

从上文计算结果可知研究 H-Toeplitz 算子与 H-Hankel 算子的交换性成立条件苛刻, 转而讨论 H-Toeplitz 算子与 H-Hankel 算子的乘积在符号满足什么条件下才能等于另一个 H-Toeplitz 算子或者另一个 H-Hankel 算子的问题.

${\bf定理4.1}$ 设 $\phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3}$ 是有界径向函数, 则 $B_{\phi_{1}} H_{\phi_{2}}=B_{\phi_{3}}$ 当且仅当 $\phi_{1}=\phi_{3}=0$ 或 $\phi_{2}=\phi_{3}=0$.

${\bf证}$ 充分性显然, 下证必要性.

如果 $\phi_{1}=0$, 那么立即可得 $\phi_{1}=\phi_{3}=0$. 所以接下来设 $\phi_{1} \neq 0$, 则对于任意的 $f=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} e_{n}(z)+\sum_{m=0}^{\infty} b_{m+1} \overline{e_{m+1}(z)} \in L_{h}^{2}(\mathbb{D})$, 有

因为 $B_{\phi_{1}} H_{\phi_{2}}=B_{\phi_{3}}$, 但是没有对应项, 所以只能 $B_{\phi_{1}} H_{\phi_{2}}=0, B_{\phi_{3}}=0$,那么可以得出 $\hat{\phi}_{1}(8 n) \hat{\phi}_{2}(4 n+2)=0, \hat{\phi}_{1}(8 m+4) \hat{\phi}_{2}(4 m+4)=0$.

存在 $N_{1}$, 使得 $n>N_{1}$ 时, $\hat{\phi}_{1}(8 n) \neq 0$; 存在 $N_{2}$, 使得 $m>N_{2}$ 时, $\hat{\phi}_{1}(8 m+4) \neq 0$. 则当 $n, m>N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}$ 时, 就有 $\hat{\phi}_{1}(8 n) \neq 0$ 且 $\hat{\phi}_{1}(8 m+4) \neq 0$. 那么可以得出 $\sum_{n>N} \frac{1}{n}=\infty, \quad \sum_{m>N} \frac{1}{m}=\infty. \quad$ 从而 $\hat{\phi}_{2}(4 n+2)=0$ 且 $\quad \sum_{n>N} \frac{1}{4 n+2}=\infty$, $\hat{\phi}_{2}(4 m+4)=0$ 且 $\sum_{m>N} \frac{1}{4 m+4}=\infty$. 故由引理 $2.3, \phi_{2}=0$. 又 $B_{\phi_{3}}=0$, 那么 $\phi_{3}=0$, 则 $\phi_{2}=\phi_{3}=0$.

${\bf推论4.1}$ 设 $\phi_{1}, \phi_{2}$ 是有界径向函数, 则 $B_{\phi_{1}} H_{\phi_{2}}=0$ 当且仅当 $\phi_{1}=0$ 或 $\phi_{2}=0$.

${\bf定理4.2}$ 设 $\phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3}$ 是有界径向函数, 则 $H_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}}=H_{\phi_{3}}$ 当且仅当 $\phi_{1}=\phi_{3}=0$ 或 $\phi_{2}=\phi_{3}=0$.

${\bf证}$ 充分性显然, 下证必要性.

如果 $\phi_{1}=0$, 那么立即可得 $\phi_{1}=\phi_{3}=0$. 所以接下来设 $\phi_{1} \neq 0$, 则对于任意的 $f=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} e_{n}(z)+\sum_{m=0}^{\infty} b_{m+1} \overline{e_{m+1}(z)} \in L_{h}^{2}(\mathbb{D})$, 有

因为 $H_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}}=H_{\phi_{3}}$, 但是没有对应项, 所以只能 $H_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}}=0, H_{\phi_{3}}=0$, 那么可以得出 $\hat{\phi}_{1}(8 n+2) \hat{\phi}_{2}(4 n+2)=0, \hat{\phi}_{1}(8 m+6) \hat{\phi}_{2}(4 m+4)=0$.

存在 $N_{1}$, 使得 $n>N_{1}$ 时, $\hat{\phi}_{1}(8 n+2) \neq 0$ ; 存在 $N_{2}$ ，使得 $m>N_{2}$ 时， $\hat{\phi}_{1}(8 m+6) \neq 0$. 则当 $n, m>N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}$ 时, 就有 $\hat{\phi}_{1}(8 n+2) \neq 0$ 且 $\hat{\phi}_{1}(8 m+6) \neq 0$. 那么可以得出 $\sum_{n>N} \frac{1}{n}=\infty, \sum_{m>N} \frac{1}{m}=\infty$. 从而 $\hat{\phi}_{2}(4 n+2)=0$ 且 $\sum_{n>N} \frac{1}{4 n+2}=\infty$, $\hat{\phi}_{2}(4 m+4)=0$ 且 $\sum_{m>N} \frac{1}{4 m+4}=\infty$. 故由引理 $2.3, \phi_{2}=0$. 又 $H_{\phi_{3}}=0$, 那么 $\phi_{3}=0$, 则 $\phi_{2}=\phi_{3}=0$.

${\bf推论4.2}$ 设 $\phi_{1}, \phi_{2}$ 是有界径向函数, 则 $H_{\phi_{1}} B_{\phi_{2}}=0$ 当且仅当 $\phi_{1}=0$ 或 $\phi_{2}=0$.