本文研究如下形式的 Schrödinger 型方程的 Cauchy 问题

这里$(t,x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}, n\ge 1, \lambda\in\mathbb{C}, q\in\mathbb{N}$. 这个方程是下面的方程的特殊情形

当 $\delta=1,\delta^{'}=1$ 时, 方程 (1.2) 就是经典的 Schrödinger 方程, 例如轴向非均匀等离子体通道, 激光等离子体实验中的高功率激光束和非线性光学等等 (见文献 [1-3]). 经典的 Schrödinger 方程有大量的数学研究工作, 我们特别关注其 Cauchy 问题的光滑效应, 主要参考文献有 Hayashi 等作者的解析光滑效应的工作 ^[4-6], 他们证明了对于具有有限阶光滑的 Cauchy 初始值, 在一定的条件下相应的 Cauchy 问题的解当 $t\not=0$ 时是解析的, 这个性质称为解析光滑效应. 本文关注当 $\delta,\ \delta^{'}$ 异号时的方程 (1.1), 称为 Davey-Stewartson 方程, 这是一类双曲型 Schrödinger 方程, 同样有非常重要的物理背景, 在非线性水波、非线性光学和流体动力学的演变中出现了一些应用 (见文献 [7,8]). 研究 Davey-Stewartson 方程的工作也有很多, Richards^[9]研究了椭圆-椭圆型 Davey-Stewartson 方程组的爆破解, 证明了 $H^{1}$ 解的质量集中性质, 类似于已知的 $L^{2}$ 临界非线性 Schrödinger 方程. 他们还证明了 $L^{2}$ 解的质量集中结果. Forcella^[10] 考虑了三维欧几里得空间中的椭圆-椭圆型 Davey-Stewartson 系统, 给出了该系统在非各向同性空间中有限时间爆破解存在的充分条件. 他们的证明是基于齐次符号定义的分布的一些一般结果, 并结合了一个凸性论证. Feng 等作者 ^[11]研究了表面水波演化描述中出现的 $\mathbb{R}^{2}$ 中的 Davey-Stewartson 系统的爆破解. 对于在 $\mathbb{R}^{2}$ 中任意给定的点 $x_{1},\cdots,x_{p}$, 他们构造一个解 $u(t)$ 它在有限时间 $t$ 内正好在这些点上爆破. 此外, 他们研究了在爆破点 $\{x_{1},\cdots,x_{p}\}$ 和在 $ \mathbb{R}^{2}\backslash \{x_{1},\cdots,x_{p}\}$ 内在 $t\rightarrow T $ 时解 $u(t)$ 的准确行为. 他们的结果对 Besse^[12] 等的数值结果进行了严格的分析. 另外也请参见文献 [13,14]的相应的工作. 此外 Hayashi 等作者 ^[15]研究了椭圆-双曲型 Davey-Stewartson 方程系统在初始函数满足某些条件下小解的存在性以及当 $t\neq0$ 时的关于空间变量 $x$ 的解析性.

据我们所知,方程 (1.1) 的解的存在性及解析性还没有被研究. 受文献 [6]的启发, 这篇文章我们将研究非线性双曲型 Schrödinger 方程的解的存在性及解析性, 通过使用压缩映射原理证明解的存在性, 再利用初始条件证明解析性. 在文献 [16,17]中我们研究了齐次方程的解的存在性及解析性, 现在我们研究非线性方程 (1.1) 的解析光滑效应.

本文的主要结论是

${\bf定理1.1}$ 假设 $m> n\geq1$, 以及 $ e^{|(x,y)|^{2}}\varphi\in H^{m}(\mathbb{R}^{2n}) $, 则存在 $T>0$ 使得 Cauchy 问题 (1.1) 具有唯一光滑解, 而且这个解在 $[-T,T]\backslash\{0\}\times\mathbb{R}^{2n}$ 上是解析的.

本文的组织结构如下: 在第 2 节, 我们定义相应的函数空间并证明一些引理. 在第 3 节, 我们利用压缩映射原理证明解的存在性和唯一性, 接下来在第四节我们证明解的解析性.

${\bf 函数空间:}$ 我们首先引入一些定义及符号, 假设 $X$ 是 Banach 空间, $B$ 是一个从 $X$ 映射到 $X$ 的无界算子, 给定 $a>0$, 定义

这里的 $B$ 也可以是向量算子, 因此相应的 $N$ 就需要是多重指标. 类似的还有定义

以及相应的范数

简记: $\mathcal{A}^{a}(B_{1},B_{2}; X)=\mathcal{A}^{(a, a)}(B_{1},B_{2}; X)$. 对于 $ m\in\mathbb{N}$, Sobolev 空间定义如下

对于 $\alpha, \beta\in\mathbb{N}^n, t\in\mathbb{R}$, 令

直接计算有

定义依赖时间变量$t$的带权函数空间

其中

则

$ {\bf R}^{m}(0)=\{f\in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^{2n}_{xy});\|f\|_{{\bf R}^{m}(0)}=\sum_{|\alpha|+|\beta|+|\alpha'|+|\beta'|\leq m}\|x^{\alpha}y^{\beta}\partial_{xy}^{\alpha',\beta'}f\|_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}_{xy})}<\infty\}, $

是带权 Sobolev 空间, 也称 Shubin 函数空间 $Q^m$, 见文献 [18] (Chap. IV, 25.3). 对于 $T>0$, 引入各向异性的时空函数空间

${\bf 几个引理:}$ 首先若 $m>n\geq1$, 则 $Y(T)$ 是一个代数, 特别地有

${\bf引理2.1}$ 若 $m>n\geq1$, 则存在 $C>0$ 使得

${\bf 证}$ 直接计算, 可得

利用上述交换关系和插值不等式, 得到

由于 $m>\frac{2n}{2}$, $H^m(\mathbb{R}^{2n})$ 是一个代数, 因此

另一方面, 利用 $\widetilde{f}=M(t)f$, 其中 $M(t)=e^{-i\frac{|x|^{2}-|y|^{2}}{2t}}$, 得到

同样的利用 $m>\frac{2n}{2}$, 可以得到

这就证明了 (2.1) 式.

立即可以得到 $\mathcal{A}^{a}(J_{xy};Y(T))$ 也是一个代数.

${\bf引理2.2}$ 若 $m>n\geq1$, 则存在 $C>0$ 使得

现在定义算子

和

我们注意到

${\bf引理2.3}$ 对于 $\eta\in \mathbb{C}$ 且 $|\eta|\geq2$, 对于任意的复数 $d$, 当 $a|\eta||t|<1,\|tf\|_{X(t)}\leq|t|\|f\|_{X(t)}$ 时, 则 $\|f\|_{\mathcal{A}^{a}(\widetilde{Q}+idt+\eta t,X(t))}\leq\frac{1}{1-a|\eta||t|}\|f(t)\|_{\mathcal{A}^{a}(\widetilde{Q}+idt, X(t))}$.

${\bf 证}$ 证明与文献 [6,引理 2.2] 类似, 因为$[\eta t,\widetilde{Q}+idt]=-\frac{2i}{\eta}(\eta t)^{2}$, 根据文献 [6,引理 2.1], 可得

根据 (2.2) 式, 有

容易证明, 对于 $|\eta|\geq2$, 有 $\frac{1}{k!}\prod^{k-1}_{j=0}(\frac{|\eta|}{2}+ j)\leq (\frac{|\eta|}{2})^{k}$, 利用此不等式与 (2.3) 式, 可知

因此我们得到引理 2.3.

${\bf引理2.4}$ 对于 $\eta\in \mathbb{C}$ 且 $ |\eta|\geq2$, 对于任意的复数 $d$, 当 $a|\eta|T<1,\|tf\|_{X(T)}\leq|T|\|f\|_{X(T)}$ 时, 则 $\|f\|_{\mathcal{A}^{a}(\widetilde{Q}+idt+\eta t,X(T))}\leq\frac{1}{1-a|\eta|T}\|f\|_{\mathcal{A}^{a}(\widetilde{Q}+idt,X(T))}$.

${\bf 证}$ 与引理 2.3 的证明类似, 仅仅在 (2.3) 式中的第二行运用条件 $\|tf\|_{X(T)}\leq|T|\|f\|_{X(T)}$, 在此省略.

因为 $\widetilde{Q}$ 也是一阶微分算子, 同样的证明也可以导出,

${\bf引理2.5}$ 若 $m>n\geq1$, 则存在 $C>0$,使得

现在研究非线性项的估计.

${\bf引理2.6}$ 若 $m>n\geq1, q\in\mathbb{N}$, 则存在 $C>0$, 使得

${\bf 证}$ 关于 $q$ 我们用归纳法证明此结论. 当 $q=1$ 时, 根据引理 2.5, 可知

现在假设 $q=n$ 上述引理成立, 我们证明 $q=n+1$ 时也成立, 首先有

因此

利用 $q=n$ 时的归纳假设于上式右边的第一项, 我们就证明了引理.

${\bf引理2.7}$ 当 $ a(4+2n)T<1$, $ \|tf\|_{X(T)}\leq T\|f\|_{X(T)}$, $m>n\geq1$ 时, 则存在常数 $c$, 使得

${\bf 证}$ 因为 $ \|tf\|_{X(T)}\leq T\|f\|_{X(T)}$, 在引理 2.4 中取 $d=0,\eta=(4+2n)i$ 以及 $X(T)=\mathcal{A}^{a}(J_{xy};Y(T))$, 我们可以得出

在引理 2.4 中取 $d=2n$, $\eta=-2ni$ 运用于 (2.5) 式的右端, 我们还可以得出

利用引理 2.6, (2.5)式及 (2.6)式, 即可得结论.

首先我们研究 Cauchy 问题 (1.1) 的解的存在性和唯一性.

${\bf命题3.1}$ 假设 $a>0, m>n\geq1$, $\varphi \in \mathcal{A}^{a}((x,y), (|x|^{2}-|y|^{2}); {\bf R}^{m}(0))$, 则存在 $T>0$, 使得 Cauchy 问题 (1.1) 存在唯一解 $u\in \mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))$.

${\bf 证}$ 我们引入记号 $X_{T}=\mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))$, 考虑 Cauchy 问题 (1.1) 的线性化方程

其中 $v\in X_{T}$. 我们定义解算子 $S$ 如下

这里 $U(t)\varphi(x,y)=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-it\frac{|\xi|^{2}-|\eta|^{2}}{2}}\widehat{\varphi}(\xi,\eta)\right)$ 是 Schrödinger 算子 $L=i\partial_{t}+\frac{1}{2}\Delta_{x}-\frac{1}{2}\Delta_{y}$ 的 Cauchy 问题的基本解 (见文献 [16]). 则 $S$ 的不动点, $u=Sv$ 是 Cauchy 问题 (1.1) 的解. 下面证明

存在 $T, \rho>0$, 使得 $S$ 是从 $X(T,\rho)=\{f\in X_{T}; \|f\|_{X_{T}}\leq \rho\}$ 到自身的压缩映射.

首先有

将 $J^{(\alpha,\beta)}_{xy}\partial^{r,\theta}_{xy}J^{(\xi,w)}_{xy}Q^{l}$ 作用在 (3.1) 式的两边, 并且使用上面的交换关系,

利用(3.3)式, 我们可以使用 (3.2) 式的解算子 $S$ 解出

由拟微分算子可知 $U(t)=e^{it\frac{\Delta_{x}-\Delta_{y}}{2}}$, 即 $U(0)={\bf Id}$, 利用 $U^{\ast}(t)=U(-t)$, 我们可以得出

使用函数空间的定义, 可得

应用引理 2.7 于上式右端的第二项, 可得

当 $\|v\|_{\mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))}\leq\rho$, 且 $T<\frac{1}{2a(4+2n)}$, 从上式可知

取 $\|\varphi\|_{\mathcal{A}^{a}((x,y),|x|^{2}-|y|^{2}; {\bf R}^{m}(0))}\leq \frac{\rho}{2}$, 以及充分小的 $T>0$ 使得 $CT\rho^{2q+1}2^{2q+2}\leq\frac{\rho}{2}$, 则有

因此我们证明了对于任意的 $\rho>0$, 存在充分小的 $T>0$, 使得

现在证明这也是一个压缩映射, 假设 $u_{1},u_{2}\in X_{T}$ 是具有相同初始值的 Cauchy 问题 (3.1) 分别对应于 $v=v_{1},v_{2}\in X_{T}$ 的解, 则有

使用 (3.2) 式的解算子 $S$ 可得

因此

再利用引理 2.7, 可得

取 $\|v_{1}\|_{X_{T}}\leq \rho,\|v_{2}\|_{X_{T}}\leq \rho$, $C\frac{2T\rho^{2q}}{(1-a(4+2n)T)^{2q+2}}\leq\frac{1}{2}$ 时, 可得

这样就证明存在 $T>0$ 使得 $S$ 是一个从 $X(T,\rho)$ 到自身的压缩映射. 因此 Cauchy 问题 (1.1) 存在唯一解 $u\in X(T,\rho)\subset \mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))$ 是解算子 $S$ 的不动点. 这就证明了命题 3.1.

我们现在证明命题 3.1 中得到的解在 $t\not=0$ 时是解析的, 首先研究 Cauchy 初始条件.

${\bf引理4.1}$ 假设 $ e^{|(x,y)|^{2}}\varphi\in H^{m}(\mathbb{R}^{2n})$, 则存在 $a>0$, 使得 $\varphi\in \mathcal{A}^{a}((x,y),|x|^{2}-|y|^{2}, {\bf R}^{m}(0))$, 以及存在 $C>0$,

${\bf 证}$ 由定义

因为 $\frac{1}{(\alpha!)^{2}}\le \frac{2^{2|\alpha|}}{(2\alpha)!}$, 当 $b>2\sqrt{2}a$ 时, 可得

当 $b>2\sqrt{2}a>0$ 时, 所以

所以存在 $M>0$, 当 $|(x,y)|>M$ 有 $2\sqrt{2}a(\sum^{n}_{i=1}|x_{i}|+\sum^{n}_{j=1}|y_{j}|+|(x,y)|^{2})<b|(x,y)|^{2}$, 且对于上述的 $M>0$, 当 $|(x,y)|<M$ 时, 有 $e^{2\sqrt{2}a(\sum^{n}_{i=1}|x_{i}|+\sum^{n}_{j=1}|y_{j}|+|(x,y)|^{2})} \leq C. $根据 (4.3) 式及上面的两个不等式, 可知

根据 (4.4) 式, 取 $0<a<\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时, 可以得到

这就证明了引理 4.1.

${\bf注 4.1}$ 因此, 如果 Cauchy 问题 (1.1) 的初始值 $\varphi$ 满足定理 1.1 的条件, 则它也满足命题 3.1 的条件, 所以存在 $a>0, T>0$, 使得 Cauchy 问题 (1.1) 有唯一解 $u\in \mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))$.

现在证明在命题 3.1 中得到的解的解析性, 也就是证明 $\mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))$ 的元素当 $t\not=0$ 时是解析函数.

${\bf命题4.1}$ 假设 $u\in \mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))$ 是 Cauchy 问题 (1.1) 的解, 则任给 $R>0$, 存在 $b_1, b_2>0$ 和 $C>0$, 使得

这里 $M(t)=e^{-\frac{i(|x|^{2}-|y|^{2})}{2t}}, t\not=0, B_R=\{(x, y); |(x, y)|<R\}$.

${\bf 定理 1.1 的证明}$ 先利用命题4.1完成主要定理的证明, 首先依定义

在命题 3.1 中, 证明了解 $u\in X_{T}=\mathcal{A}^{a}(J_{xy},Q; Y(T))$, 因此

利用(4.6) 式和上面的估计, 就证明了对于任意的 $R>0$, $M(t)u$ 在$]-T, T[\setminus\{0\}\times B_R$ 上是解析的, 因此在 $]-T, T[\setminus\{0\}\times \mathbb{R}^{2n}$ 上是解析的, 而且关于变量 $t$ 的解析半径是 $b_2 t^2$, 关于变量 $(x, y)$ 的解析半径是 $b_1 t$. 此外 $M(-t)$ 也在 $]-T, T[\setminus\{0\}\times \mathbb{R}^{2n}$ 上是解析的, 由此导出 $u=M(-t)(M(t)u)$ 在$]-T, T[\setminus\{0\}\times \mathbb{R}^{2n}$ 上是解析的, 这就完成了定理 1.1 的证明.

为了证明命题 4.1, 下面证明一个引理.

记 $g=(it\partial_{xy})^{(\alpha,\beta)}M(t) u$.

${\bf引理4.2}$ 若 $0<A_{2}=\frac{A_{1}}{1-A_{1}}<1$, 则对于任意的自然数 $k$ 和 $m$, 有

${\bf 证}$ 根据归纳法证明. 当 $m=0$ 时,对任意的整数 $k$, 上式显然成立. 对任意的正整数 $k$, 假设直到 $m$ 成立. 因为 $\partial_{t}(t^{l-1}\partial^{l-1}_{t}g)=(l-1)t^{l-2}(\partial^{l-1}_{t}g)+t^{l-1}\partial_{t} (\partial^{l-1}_{t}g)$, 所以 $t^{l-1}\partial_{t}(\partial^{l-1}_{t}g)=\partial_{t}(t^{l-1}\partial^{l-1}_{t}g)-(l-1)t^{l-2} (\partial^{l-1}_{t}g)$, 利用这个式子, 则有

根据假设 $m$ 成立, (4.7) 式的右边小于等于下式的左端

且右端是有界的, 这就完成了证明.

${\bf 命题 4.1 的证明}$ 首先, 对于稍后确定的正常数 $b_{1}$ 与 $b_{2}$

利用

在引理 4.2 中取 $k=0,A_{1}=b_{2}t$, 可知

这里$ v_{\alpha,\beta}=(J_{x y})^{(\alpha, \beta)}u $, 因为 $(J_{xy})^{(\alpha, \beta)}u$ 已经在 $\mathcal{A}^{a}(J_{xy}, Q, L^{2}(\mathbb{R}^{2n}))$ 的定义里面, 所以现在试图将 $\partial_t$ 转换成与 $Q$ 或者 $\widetilde{Q}$ 相关的算子, 注意到

这里

则 $[x\cdot\nabla_{x}+y\cdot\nabla_{y},\widetilde{P}]=0$. 因此

利用 (4.9) 式和上式, 可以得出

因为 $[\partial_{xy},\widetilde{P}]=0$, 在 (4.10) 式中利用文献 [6,引理 4.1 和引理 4.2], 可得

这里 $b_{2}<\frac{1}{4t}\ln\frac{3}{2}.$

另一方面

这就证明了

这里利用交换关系

下证 $[\widetilde{Q}, J_{xy}]=0$.

先证明 $[\widetilde{Q}, J_{x_{k}y_{l}}]=0.$

证明: 因为 $J_{x_{k}y_{l}}=(x_{k}+it\partial_{x_{k}})(-y_{l}+it\partial_{y_{l}})=M(-t)(it\partial_{x_{k}y_{l}})^{(1,1)}M(t)=M(-t)(it)^{2}\partial_{x_{k}y_{l}}M(t).$

所以

令 $g=M(t)u$, 首先先计算下式

由 (4.13) 与 (4.14) 式知, $[\widetilde{Q}, J_{x_{k}y_{l}}]=0.$ 类似地我们可以证明 $[\widetilde{Q}, J_{x_{k}}]=0.$ 进而有 $[\widetilde{Q}, J_{y_{l}}]=0.$ 又易知 $[J_{x_{k}}, J_{y_{l}}]=0.$ 因此 $[\widetilde{Q}, J_{xy}]=0.$

因此,

对于 $R>0$, 选取 $b_1, b_2>0$ 满足 $a=\max\{b_{1}+2Rb_{2}, 2b_{2}\}$, 运用引理 2.4, 我们得到, 对于所有的 $0<|t|\le T$

这就完成了命题 4.1 的证明, 因此也完成了定理 1.1 的证明.