本文主要研究如下系统的解

其中 $p\in (4,6)$, $\psi: \mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{C}$. 系统 (1.1) 被称为 Schrödinger-Poisson 系统, 它可以用来描述带电粒子与电磁场的相互作用 (更多的物理背景可以参见文献 [1-3]). 我们对系统 (1.1) 的驻波解 $\psi(x,t)=\exp(-{\rm{i}}t)u(x)$ 感兴趣, 其中 $u:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}$. 将驻波解的表达式 $\psi(x,t)=\exp(-{\rm{i}}t)u(x)$ 代入系统 (1.1) 可得

其中 $V(x)=\widetilde{V}(x)+1$. 由于系统 (1.2) 在物理学中的重要性, 许多数学家对它进行了研究.

当 $V$ 为正的常值函数时, 文献 [4,5] 及其参考文献对系统 (1.2) 进行了研究. 针对 $p\leq 2$ 或 $p\geq 6$ 的情形, D'Aprile 和 Mugnai 在文献 [4] 中利用 Pohozaev 恒等式证明了系统 (1.2) 不存在非平凡解. 当 $3<p<6$ 时, Ruiz 在文献 [5] 中利用 Nehari 流形和 Pohozaev 恒等式证明了系统 (1.2) 有一个正的径向对称解. 此外, 该作者还证明了当 $p\leq 3$ 且 $V(x)\equiv 1$ 时系统 (1.2) 不存在非平凡解, 从而改进了文献 [4] 的结果. 对于带有一般非线性项 $f(u)$ 的系统 (1.2), 读者可以参见文献 [4,6–11]及其参考文献.

当 $V$ 不是常值函数时, 关于非自治 Schrödinger-Poisson 系统 (1.2) 基态解的结果相对较少. 当 $p\in (4,6)$ 并且 $V$ 满足

(${V_{0}}$) $V_{\infty}:=\lim \limits_{|x|\to\infty}V(x)\geq V(x)$ 在 $\mathbb{R}^{3}$ 上几乎处处成立,

以及其它恰当的假设时, Azzollini 和 Pomponio 在文献 [12] 中对系统 (1.2) 展开了研究并证明了其存在一个基态解. 由于 $p\in(3,4]$ 时 Nehari 流形的结构与 $p\in (4,6)$ 时的不同, 文献 [12] 中的 Nehari 流形方法在 $p\in(3,4]$ 时不适用. 在文献 [13] 中, 当 $p\in(3,4]$, 且 $V$ 满足 $(V_0)$ 和一些适当的假设时, 作者采用 Nehari-Pohozaev 流形方法, 并利用一个全局紧引理恢复了紧性, 证明了系统 (1.2) 存在一个基态解. 另一方面, 如果 $V$ 关于每个变量 $x^i$ 都是 $1$-周期, $\min_{x\in\mathbb{R}^{3}}V(x)\geq 0$ 并且 $p \in (4,6)$, 那么系统 (1.2) 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})\times D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})$ 中存在一个基态解 (参见文献 [14]). 当 $V$ 是渐进周期函数, 并且非线性项是比 $|u|^{p-2}u$ 更一般的 $f(u)$ 时, 在文献 [15] 中, 作者利用山路定理证明了系统 (1.2) 存在一个正的基态解. 关于非自治 Schrödinger-Poisson 系统的其它相关结果, 读者可以参见文献 [16–26]及其参考文献.

有趣的是, 连续周期函数所形成的函数空间是概周期函数空间中的第一纲集 (参见文献 [27,28]). 粗略地讲, 不是连续周期函数的概周期函数的 "数量" 比连续周期函数的多得多. 然而, 据我们所知, 当 $V$ 是概周期函数 (见附录中的定义 A.1) 时, 系统 (1.2) 非平凡解的存在性结果还是未知的. 这也是该文的研究动机之一.

该文在如下假设下考虑系统 (1.2).

(${V_{1}}$) 存在 $V_{-}$, $V_{+} \in \mathbb{R}^{+}$ 使得对所有的 $x \in \mathbb{R}^{3}$ 都有 $0<V_{-}\leq V(x)\leq V_{+}$.

(${V_{2}}$) $V$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的概周期函数.

(${V_{2}^{\prime}}$) $V(x)=V(x^{1}, x^{2}, x^{3})$ 关于 $x^{i}$ 是 $T_{i}$- 周期的 ($i=2,3$), 且对 $(x^{2},x^{3})\in \mathrm{U}:=[T_{2}]\times[T_{3}]$ 关于第一个变量 $x^{1}$ 是一致概周期的 (参见附录中的定义 A.3).

(${V_{2}^{\prime\prime}}$) $V(x)=V(x^{1}, x^{2}, x^{3})$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的连续函数, 并且关于变量 $x^{i}$ 是 $T_{i}$-周期的 ($i=1,2,3$). 众所周知, 系统 (1.2) 能够转化为带非局部项的单个方程. 事实上, 由 Lax-Milgram 定理, 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 都存在唯一的

使得 $-\Delta \phi (x)=u^{2},$ 其中 $D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})$ 是 $C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{3})$ 在范数 $\|u\|^{2}_{D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})}:= \int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\mathrm{d}x$ 下的闭包. 将 $\phi_{u}$ 代入到系统 (1.2) 中的第一个方程可得

注意到, 如果 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 是方程 (1.3) 的解, 那么 $(u,\phi_{u})$ 是系统 (1.2) 的解. 因此我们只需要研究方程 (1.3). 为此我们定义方程 (1.3) 对应的能量泛函

由 $(V_{1})$ 和文献 [5] 可知, 泛函 $I$ 有意义并且 $I\in C^{1}(H^{1}(\mathbb{R}^{3}),\mathbb{R})$. 同时, 对任意的 $v\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 有

在该文的第一部分, 我们在 $(V_{1})$ 和 $(V_{2})$ 的假设条件下研究系统 (1.2). 由概周期函数的定义, 对每一个概周期函数 $V$, 函数 $V^{h}\in {Hull} (V)$ (参见附录中的定义 A.2) 未必一定由 $V$ 平移得到, 因此我们有必要考虑系统 (1.2) 的壳方程 (shell equation)

该文的第一个结果如下.

${\bf定理1.1}$ 假设 $V$ 满足 $(V_{1})$ 和 $(V_{2})$, 那么存在 $V^{h}\in{Hull} (V)$ 使得系统 (1.4) 存在一个基态解.

${\bf注 1.1}$ 如果 $V$ 满足 $(V_{1})$ 和 $(V_{2}^{\prime\prime})$, 那么 $V$ 满足 $(V_{1})$ 和 $(V_{2})$. 在这种情形下, $V^{h}$ 可以通过 $V$ 平移得到. 由定理 1.1 知, 当 $p \in (4,6)$ 时, 系统 (1.2) 都存在一个基态解. 因此, 当 $V$ 是连续周期函数时, 该文给出了系统 (1.2) 存在基态解的一个新的证明.

一个自然的问题是, 当 $V$ 是非稳定的位势函数时, 系统 (1.2) 是否存在非平凡解? 在该文的第二部分, 我们对这一问题给出了部分回答. 我们在 $(V_{1})$ 和 $(V_{2}^{\prime})$ 的假设下研究了系统 (1.2) 并得到了如下结果.

${\bf定理1.2}$ 假设 $V$ 满足 $(V_{1})$ 和 $(V_{2}^{\prime})$, 那么系统 (1.2) 存在一个非平凡的束缚态解.

众所周知, 概周期函数包含常值函数和周期函数, 并且当位势函数 $V$ 是概周期函数时, 系统 (1.2) 的极限方程不是唯一的. 因此文献 [12–15]中的证明方法不适用于本文. 为了克服这些困难, 我们分析了系统 (1.2) 和系统 (1.4) 的基态能量之间的关系 (见引理 2.9), 并且给出了一些先验估计 (如引理 2.8 和注 2.2). 当我们使用集中紧原理来证明定理 1.1 时, 非局部项会带来一些困难, 因此我们需要进行一些精细的计算. 此外, 与稳定位势相比, 在证明泛函 $I$ 的 $(PS)$ 序列的表示定理时, 非稳定位势会带来一些困难. 为了证明定理1.2, 我们建立了 $\mathcal{Q}_{\infty}$ (见 (4.10)式) 中元素的一些正则性结果, 并且研究了在第 4 节中构造的特殊 $(PS)$ 序列的性质.

该文结构安排如下. 在第 2 节中, 我们给出了一些预备知识. 在第 3 节和第 4 节, 我们分别给出定理 1.1 和定理 1.2 的证明. 在第 5 节中, 我们给出了概周期函数的定义、相关性质以及一些正则性结果.

在本文中, 我们使用下列符号.

$\bullet$$L^q(\mathbb{R}^3) (1\leq q< +\infty)$ 表示一个 Lebesgue 空间, 其范数记为 $\| u \|_{q}=\left ( \int_{\mathbb{R}^{3}}\left | u \right |^{q} \mathrm{d}x\right )^{\frac{1}{q}} $.

$\bullet$$H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 表示通常的 Sobolev 空间, 其范数为 $ \|u\|:=\left(\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}+|u|^{2}\mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{2}}.$

$\bullet$$B_{\rho}(x)$ 表示 $\mathbb{R}^{3}$ 中以 $x$ 为球心, $\rho$ 为半径的球. 特别地, 记 $B_{\rho}:=B_{\rho}(0)$.

$\bullet$$o(1)$ 表示无穷小量.

$\bullet$$H^{-1}(\mathbb{R}^{3})$ 和 $(D^{1,2}(\mathbb{R}^{3}))^{\ast}$ 分别表示 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 和 $D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})$ 的对偶空间.

$\bullet$$S$ 表示嵌入 $D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})\hookrightarrow L^{6}(\mathbb{R}^{3})$ 的最佳嵌入常数.

在本节, 我们给出一些有用的预备知识. 记

众所周知, ${Hull}(V)\subset \mathcal{A}_{V}$. 对每一个 $\widetilde{V}\in \mathcal{A}_{V}$ 和 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 定义

那么 $I(\widetilde{V}, u)$ 有意义, 并且对任意的 $v\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 有

显然, $I(u)=I(V, u), I^{\prime}(u)=I^{\prime}(V, u)$. 对 $V^{h}\in {Hull} (V)$, 我们记 $I^{h}(u):=I(V^{h},u), I^{h^{\prime}}(u):=I^{\prime}(V^{h},u)$. 定义

其中 $\|u\|_{V}:=\left(\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}+V(x)|u|^{2}\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{2}}$ 是 $\|u\|$ 的等价范数. 类似地, 记

我们将会考虑下列约束极小问题

其中 $\mathcal{N}:=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}|J(u)=0\}$, $\mathcal{N}^{h}:=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}|J^{h}(u)=0\}$. 注意到 $m$ 和 $m^{h}$ 的极小可达元分别是系统 (1.2) 和系统 (1.4) 的基态解.

对任意 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 定义 $D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})$ 上的有界线性泛函 $L_{u}(v):=\int_{\mathbb{R}^{3}} |u|^{2}v\mathrm{d}x$. 设 $\psi:H^{1}(\mathbb{R}^{3})\to D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})$ 满足 $\psi(u)=\phi_{u}$, 那么 $\psi$ 是连续的. 首先, 我们介绍 $\phi_{u}$ 的一些性质.

${\bf引理2.1}$ 设 $u, v\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$. 那么我们有下列结论

(1) $\phi_{tu}(x)=t^{2}\phi_{u}(x)$, $t\in\mathbb{R};$

(2) $\|\phi_{u}\|_{D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})}\leq S^{-\frac{1}{2}}\|u\|^{2}_{\frac{12}{5}};$

(3) $0\leq \int_{\mathbb{R}^{3}}\phi_{u}u^{2}\mathrm{d}x\leq S^{-1}\|u\|^{4}_{\frac{12}{5}};$

(4) 如果在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中 $u_{n}\rightharpoonup u$, 那么在取子列后, 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^{3})$ 中 $\phi_{u_{n}}\rightharpoonup \phi_{u}$.

${\bf引理2.2}$ 设 $\{u_{n}\}$ 是 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中的有界点列, 并且 $u_{n}(x)\to u(x)$ 在 $\mathbb{R}^{3}$ 上几乎处处成立, 那么有

(1) $I(u_{n})=I(u)+I(u_{n}-u)+o(1);$

(2) $I^{\prime}(u_{n})=I^{\prime}(u)+I^{\prime}(u_{n}-u)+o(1).$

以上两个引理的证明可参见文献 [13,19].

${\bf引理2.3}$ 设 $\{u_{n}\}$ 是 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中的有界点列, $\{y_{n}\}\subset \mathbb{R}^{3}$ 以及 $\widetilde{V}\in \mathcal{A}_{V} $ 满足

记 $v_{n}(x):=u_{n}(x+y_{n})$. 那么有

(1) $I(\widetilde{V}, v_{n})=I(u_{n})+o(1);$

(2) $\|I^{\prime}(\widetilde{V}, v_{n})\|_{H^{-1}(\mathbb{R}^{3})}= \|I^{\prime}(u_{n})\|_{H^{-1}(\mathbb{R}^{3})}+o(1).$

${\bf证}$ 通过直接计算可得

同理, 直接计算可得

${\bf注 2.1}$ 假设 $\{y_{n}\}$ 和 $\widetilde{V}$ 满足引理 2.3 中的条件. 如果 $\{v_{n}\}\subseteq H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 是 $I(\widetilde{V},u)$ 的有界 $(PS)$ 序列, 那么 $\{v_{n}(\cdot-y_{n})\}$ 是 $I(u)$ 的有界 $(PS)$ 序列.

接下来, 我们建立一些一致估计, 这将用于表示定理 (定理 4.1) 的证明.

${\bf引理2.4}$ 对任意的 $\widetilde{V} \in \mathcal{A}_{V},$ 记 $\mathcal{N}^{\widetilde{V}}:=\{ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}\;|\;I^{\prime}(\widetilde{V}, u)=0\}.$ 那么下列论断成立.

(1) 存在 $\delta_0>0$ 使得 $\inf\limits_{\widetilde{V}\in \mathcal{A}_{V}}\inf\limits_{u\in \mathcal{N}^{\widetilde{V}}}\|u\|\geq\delta_0>0;$

(2) $\widetilde{c}_{0}:=\inf\limits_{\widetilde{V}\in \mathcal{A}_{V}}\inf\limits_{u\in \mathcal{N}^{\widetilde{V}}}I(\widetilde{V}, u)>0.$

${\bf证}$ 记 $C_{1}:=\min\{1,V_{-}\}>0$. 对 $\widetilde{V} \in \mathcal{A}_{V}$ 和 $ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\} $, 存在 $C_{2}>0$ 使得

因为 $p\in (4,6)$, 所以对所有的 $\widetilde{V} \in \mathcal{A}_{V}$ 和满足 $0<\|u\|\leq \delta_{0}:=\frac{1}{2}C_{2}^{-\frac{1}{p-2}}$ 的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 都有 $\left\langle I^{\prime}(\widetilde{V}, u),u\right\rangle >0$ 成立. 因此, 对所有的 $\widetilde{V} \in \mathcal{A}_{V}$ 和满足 $0<\|u\|\leq \delta_{0}$ 的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 有

所以, $B_{\delta_{0}}(0)\cap \mathcal{N}^{\widetilde{V}}=\emptyset$, 即: 对所有的 $\widetilde{V} \in \mathcal{A}_{V}$, $u \in \mathcal{N}^{\widetilde{V}}$, 都有 $\|u\|\geq \delta_0>0$. $(1)$ 得证.

对任意的 $\widetilde{V} \in \mathcal{A}_{V}$ 和 $ u\in \mathcal{N}^{\widetilde{V}}$, 都有

由 $\widetilde{V}$ 和 $u$ 的任意性, $(2)$ 得证.

现在, 我们准备研究 $(PS)$ 序列的性质.

${\bf引理2.5}$ 如果 $\{u_{n}\}\subset H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 满足当 $n\to\infty$ 时, $I(u_{n})\to \tilde{c}$ 和 $I^{\prime}(u_{n})\to 0$, 那么

(1) $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界;

(2) $\tilde{c}\geq0. $

${\bf证}$ 记 $\beta:=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{p} \right)\in\left(\frac{1}{p},\frac{1}{4}\right)$. 因为 $\{u_{n}\}$ 是一个 $(PS)_{\tilde{c}}$ 序列, 所以当 $n$ 充分大时, 有

这表明 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 因此,

所以,

进而有 $\tilde{c}\geq0.$

接下来, 我们给出泛函 $J$ 的一些性质.

${\bf引理2.6}$ 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$, 都存在唯一的 $t_{u}>0$ 使得 $t_{u}u\in \mathcal{N}$.

${\bf证}$ 类似于引理 2.4 的证明, 可得存在 $\rho_{1}>0$, 使得

任意固定 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$, 定义 $g(t)=J(tu)$, $t\in [0,\infty)$. 由 $p>4$ 和引理 2.1 (1), 可得当 $t\to+\infty$ 时,

因此, 存在 $l>0$ 使得当 $t \in [l,+\infty)$ 时, 有 $g(t)<0$. 由 (2.3) 式可知, 当 $0<t\leq\frac{\rho_{1}}{\|u\|}$ 时, 有 $g(t)=J(tu)>0$. 根据中值定理, 存在 $t_{u}\in (\frac{\rho_{1}}{\|u\|}, l)\subset(0,+\infty)$ 使得 $J(t_{u}u)=g(t_{u})=0$, 进而有 $t_{u}u\in \mathcal{N}$. 易证 $t_{u}$ 是唯一的, 在此不再赘述.

接下来, 我们给出一些先验估计, 这将用于定理 1.1 的证明. 记

对每一个 $a\in \mathbb{R}^-$, 设 $m_{a}:=\inf_{u\in \mathcal{M}_{a}}\xi(u),$ 其中 $\mathcal{M}_{a}:= \{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3}) | J(u)=a\}\neq \emptyset$. 为了建立 $m$ 和 $m_{a}$ 的关系, 我们需要下列引理.

${\bf引理2.7}$ 如果 $a<0$, 那么

其中 $\mathcal{M}^{\prime}_{a}:=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\big| J(u)=a, I(u)\leq m_{a}\}$. 并且, 对任意的 $u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}$, 存在 $t:=t^{\prime}_{u}\in (0,s)$ 使得 $tu\in \mathcal{N}$, 其中 $s\in (0,1)$ 且与 $u$ 无关.

${\bf证}$ 假设 $a<0$, $u\in \mathcal{M}_{a}$. 由 $p>4$, 可得

因此, $m_{a}=\inf\limits_{u\in \mathcal{M}_{a}}\xi(u) \geq -\frac{1}{4}a>0$.

接着, 我们证明 $\inf\limits_{u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}}\xi (u)= \inf\limits_{u\in \mathcal{M}_{a}}\xi(u).$ 因为 $\mathcal{M}^{\prime}_{a}\subset\mathcal{M}_{a}$, 我们只需证明 $\inf\limits_{u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}}\xi (u)\leq \inf\limits_{u\in \mathcal{M}_{a}}\xi(u).$ 事实上, 对任意的 $\epsilon\in(0,-\frac{a}{2})$, 存在 $v\in\mathcal{M}_{a}$ 使得

进而可得

这表明 $v\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}$. 结合(2.4)式, 我们有

令 $\epsilon\to 0^{+}$, 可得 $\inf\limits_{u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}}\xi (u)\leq \inf\limits_{u\in \mathcal{M}_{a}}\xi(u).$

接下来, 我们证明, 对任意的 $u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}$, 都存在 $t:=t^{\prime}_{u}\in (0,1)$ 使得 $tu\in \mathcal{N}$. 对任意固定的 $u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a} $, 定义 $G_{u}(t):=J(tu)=\left\langle I^{\prime}(tu),tu\right\rangle$, 其中 $t\in \mathbb{R}^{+}$. 由 (2.3) 式可得, 当 $t\in (0,\frac{\rho_{1}}{\|u\|}]$ 时, 有 $G_{u}(t)=J(tu)>0$. 另一方面有 $G_{u}(1)=J(u)=a<0$. 根据中值定理, 存在 $t:=t^{\prime}_{u}\in (\frac{\rho_{1}}{\|u\|},1)\subset(0,1)$ 使得 $\left\langle I^{\prime}(tu), tu\right\rangle=J(tu)=G_{u}(t)=0,$ 即: $tu\in \mathcal{N}$.

最后, 我们证明存在 $s\in (0,1)$, 使得对任意的 $u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}$, 都有 $t^{\prime}_{u}\leq s$ 成立. 如若不然, 则存在 $\{u_{n}\}\subset \mathcal{M}^{\prime}_{a}$ 满足当 $n\to\infty$ 时, $t_{n}:=t^{\prime}_{u_{n}}\to 1$. 由 $u_{n}\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}$ 可知

因为 $t_{n}u_{n}\in \mathcal{N}$, 所以

结合 (2.5) 式和 (2.6) 式可得

由于 $u_{n}\in\mathcal{M}^{\prime}_{a}$, 所以

这表明 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 根据 Sobolev 嵌入定理可知, $\{u_{n}\}$ 在 $L^{q}(\mathbb{R}^{3}) (q\in [2,6])$ 中有界. 再由引理 2.1 (3), 我们有 $\left \{ \int_{\mathbb{R}^{3}}\phi_{u_{n}}|u_{n}|^{2}\mathrm{d}x \right \} $ 在 $\mathbb{R}$ 中有界. 因此, 在 (2.7) 式两端取极限, 可得 $a=0$. 这与 $a<0$ 矛盾.

下一个引理表明了 $m$ 和 $m_{a}$ 之间的关系.

${\bf引理2.8}$ $m>0$ 成立. 并且, 如果 $a<0$, 则有 $m_{a} > m$.

${\bf证}$ 对每一个 $u\in \mathcal{N}$, 结合 $p>4$, (2.3) 式和引理 2.1 (3), 有

因此, $m=\inf\limits_{u\in \mathcal{N}}I(u)\geq C\rho_{1}^{2}>0$.

设 $a<0$, $u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}$. 由 $\xi$ 的定义和引理 2.7 知, 存在 $t=t^{\prime}_{u}\in (0,s)\subset (0,1)$ 使得 $tu\in \mathcal{N}$ 以及

因此, 对任意的 $u\in \mathcal{M}^{\prime}_{a}$, 都有

结合 (2.8) 式和引理 2.7, 可得

${\bf注 2.2}$ 类似于上述分析, 对任意的 $V^{h}\in {Hull} (V)$, 我们有下列结论.

(1) $0$ 是集合 $\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})| J^{h}(u)=0\}$ 的孤立点;

(2) 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$, 都存在唯一的 $t_{u}^{h}>0$ 使得 $t_{u}^{h}u\in \mathcal{N}^{h};$

(3) 类似于 $\mathcal{M}_{a}$ 和 $ m_{a}$ 的定义, 我们可以分别定义 $\mathcal{M}_{a}^{h}$ 和 $m^{h}_{a}$. 并且, 有 $m^{h}>0$ 以及当 $a<0$ 时, 有 $m^{h}_{a}>m^{h}$.

${\bf引理2.9}$ 对任意的 $V^{h}\in Hull(V)$, 我们有 $m\leq m^{h}$.

${\bf证}$ 由 $(V_{2})$, 对任意的 $V^{h}\in Hull(V)$, 存在 $\{x_{n}\}\subset \mathbb{R}^{3}$ 使得

根据 $m^{h}$ 的定义 (见 (2.2) 式), 对任意的 $\epsilon>0$, 都存在 $v\in \mathcal{N}^{h}$, 使得 $m^{h}+\epsilon>I^{h}(v)$. 设 $v_{n}(x):=v(x-x_{n})$, 易证

(1) $\|v_{n}\|_{V}^{2}\leq C\|v_{n}\|^{2}=C\|v\|^{2}\leq C_{2}$;

(2) $\phi_{v_{n}}(x+x_{n})=\phi_{v}(x);$

(3) $\int_{\mathbb{R}^{3}}\phi_{v_{n}}v_{n}^{2}\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^{3}}\phi_{v}v^{2}\mathrm{d}x$.

因为 $v\in \mathcal{N}^{h}$, 所以对每一个 $n\in\mathbb{N}$, 有 $v_{n}\neq 0$. 根据引理 2.6, 对每一个 $n$, 都存在唯一的 $t_{n}:=t_{v_{n}}>0$ 使得 $t_{n}v_{n}\in\mathcal{N}$, 即

记

$\textbf{第 1 步}$ 我们断言 $\mathcal{P}\neq \emptyset$. 并且, $0\notin \mathcal{P}$.

首先, 我们证明 $\mathcal{P}\neq \emptyset$, 这只需证明 $\{t_{n}\}$ 有界. 我们采用反证法, 假设存在 $\{t_{n}\}$ 的子列使得当 $n\to\infty$ 时, $t_{n}\to+\infty$. 由于 $p>4$, 在 (2.10) 式中令 $n\to\infty$, 可得 $0=-\infty$. 这是矛盾的.

接下来, 我们论证 $0\notin \mathcal{P}$. 由 (2.10) 式可得

如果 $0\in\mathcal{P}$, 则存在 $\{t_{n}\}$ 的子列 (仍记为 $\{t_{n}\}$), 使得当 $n\to\infty$ 时, $t_{n}\to 0$. 在 (2.12) 式中令 $n\to\infty$, 我们有 $0\geq C\|v\|^{2}>0$. 这是不可能的.

$\textbf{第 2 步}$ 对任意的 $\alpha\in \mathcal{P}$, 都有 $\alpha v\in \mathcal{N}^{h}$.

这只需证 $J^{h}(\alpha v)=0$. 因为 $\alpha\in \mathcal{P}$, 所以存在 $\{t_{n}\}$ 的子列, 使得当 $n\to\infty$ 时, $t_{n}\to \alpha$. 根据 (2.9) 和 (2.11) 式, 可得

这表明 $J^{h}(\alpha v)=0$. 由 $v\in \mathcal{N}^{h}$, $\alpha v\in \mathcal{N}^{h}$ 和注 2.2 中的 (2), 我们有 $\alpha =1$. 根据 $\alpha$ 的任意性, 可得 $\mathcal{P}=\{1\}$.

$\textbf{第 3 步}$ 证明 $m\leq m^{h}$.

由第 2 步可知, 存在 $\{t_{n}\}$ 的子列, 使得当 $n\to\infty$ 时, $t_{n}\to 1$. 类似于(2.13) 式的证明, 我们可得 $|I(t_{n}v_{n})-I^{h}(v)|=o(1).$ 所以, 当 $n$ 充分大时, 有 $I^{h}(v)>I(t_{n}v_{n})-\epsilon$. 由 $t_{n}v_{n}\in\mathcal{N}$ 可得 $m^{h}+\epsilon>I^{h}(v)>I(t_{n}v_{n})-\epsilon\geq m-\epsilon.$ 在上式中令 $\epsilon\to 0$, 该引理得证.

${\bf引理2.10}$ 假设 $u\in L^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$, 并且对所有的 $x\in\mathbb{R}^{3}$, 都有 $u(x)\geq 0$. 那么对任意的 $\rho_{3}>0$, 存在 $\bar{z}=\bar{z}(\rho_{3})\in\mathbb{R}^{3}$ 使得

${\bf证}$ 根据上确界的定义, 存在 $\{\bar{z}_{n}\}=\{\bar{z}_{n}(\rho_{3})\}\subset \mathbb{R}^{3}$ 使得

我们断言 $\{\bar{z}_{n}\}$ 在 $\mathbb{R}^{3}$ 中有界. 如若不然, 则存在 $\{\bar{z}_{n}\}$ 的子列 (仍记为$\{\bar{z}_{n}\}$), 使得当 $n\to\infty$ 时, $|\bar{z}_{n}|\to\infty$. 因此, 再取一次子列, 有

所以

这与 $u\in L^1(\mathbb{R}^{3})$ 矛盾. 因此, 我们假设, 在取子列后, 当 $n\to\infty$ 时, $\bar{z}_{n}\to \bar{z}$, 进而有

结合 (2.14) 和 (2.15) 式, 该引理得证.

在本节中, 我们使用 Lions 的集中紧原理 (参见文献 [29,引理 I.1]) 证明定理 1.1. 设 $\{u_{n}\}\subset \mathcal{N}$ 是 $m$ 的极小化序列. 类似于引理 2.5 的证明, 可得 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 定义

由引理 2.8, 有

对 $\{\rho_{n}\}$ 应用集中紧原理, 有以下三种可能性

(i) (消失) 对任意的 $R>0$, 都有 $\lim_{n\to\infty}\sup_{y\in \mathbb{R}^{3}}\int_{B_{R}(y)}\rho_{n}(x)\mathrm{d}x=0$ 成立;

(ii) (二分) 存在 $\mu\in(0,m)$ 使得 $\lim_{R\to+\infty}\lim_{n\to\infty}\sup_{y\in \mathbb{R}^{3}}\int_{B_{R}(y)}\rho_{n}(x)\mathrm{d}x=\mu;$

(iii) (紧性) 存在 $\{y_{n}\}\subset\mathbb{R}^{3}$ 使得对任意的 $\epsilon>0$, 都存在 $R>0$ 满足 $\int_{B_{R}(y_{n})}\rho_{n}(x)\mathrm{d}x \geq m-\epsilon.$

${\bf引理3.1}$ 对于 (3.1) 式定义的序列 $\{\rho_{n}\}$, 紧性成立.

${\bf证}$ 首先, 我们排除消失情形. 如若不然, 则对任意的 $R>0$, 都有

这表明 $\lim_{n\to\infty}\sup_{y\in \mathbb{R}^{3}}\int_{B_{R}(y)}u^{2}_{n}(x)\mathrm{d}x=0.$ 由消失引理 (参见文献 [30,引理 1.21]) 可得, 对任意的 $q\in (2,6)$, 在 $L^{q}(\mathbb{R}^{3})$ 中都有 $u_{n}\to 0$. 再结合引理 2.1 (3) 和 $\{u_{n}\}\subset\mathcal{N}$, 我们得到当 $n\to \infty$ 时有

这与 $0$ 是集合 $\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})| J(u)=0\}$ 的孤立点矛盾. 因此, 消失情形不会发生.

接下来, 我们排除二分情形. 如若不然, 由引理 2.10, 易证存在 $R_{n}>2$ 和 $ z_{n}\in \mathbb{R}^{3}$ 使得

根据 (3.2) 和 (3.3) 式, 可得

设 $\bar{u}_{n}(x):=u_{n}(x+z_{n})$, 则 $\{\bar{u}_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 根据 $(V_{2})$, 存在 $V^{h}\in C(\mathbb{R}^3)$ 使得

定义

根据 (3.5) 式和 Lebesgue 控制收敛定理, 可得

结合 (3.3) 和 (3.7) 式, 有

根据 (3.4) 式, 类似于 (3.8) 式的证明, 有

接下来, 我们考虑一个截断函数 $\chi_{n} \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{3})$ 满足: 在 $B_{R_{n}}$ 上, $\chi_{n}(x)\equiv 1$; 在 $\mathbb{R}^{3}\setminus B_{2R_{n}}$ 上, $\chi_{n}(x)\equiv 0$; $0\leq \chi_{n}(x)\leq 1$ 并且 $|\nabla \chi_{n} |\leq\frac{2}{R_{n}}.$ 另外, 记 $\Omega_{n}:=B_{2R_{n}}\setminus B_{R_{n}}$,

$\omega_{n}(x):=(1-\chi_{n}(x))\bar{u}_{n}(x),$$\begin{align*} \xi_{n} (x):=\chi_{n}(x)\bar{u}_{n}(x),\ \ \omega_{n}(x):=(1-\chi_{n}(x))\bar{u}_{n}(x), \end{align*}$

则有 $\phi_{\xi_{n}}(x)\leq \phi_{\bar{u}_{n}}(x)$ 以及 $\phi_{\omega_{n}}(x)\leq \phi_{\bar{u}_{n}}(x).$ 因为 $p>4$, 由 (3.6) 式和 (3.9) 式可得

结合 (3.10) 式和 $(V_{1})$, 有

现在, 我们给出一些估计.

$\textbf{断言 1}$

$\text{断言 1 的证明}$ 通过直接计算可知

由 (3.10) 式可得

根据 (3.11) 式, (3.14) 式和 (3.15) 式, 我们得到 (3.12) 式. (3.13) 式的证明是类似的, 我们在此不再赘述.

定义

则有 $n\to\infty$ 时, $\Psi(u_{n})=I(u_{n})\to m$. 类似地, 我们定义

$\textbf{断言 2}$

$\text{断言 2 的证明}$ 结合 (3.6) 式, (3.8) 式和 (3.12) 式, 我们有

于是, $\lim\limits_{n\to\infty}\Psi^{h}(\xi_{n})\leq \mu $. 由 (3.9), (3.13) 式以及与前文类似的讨论, 可得 $\lim\limits_{n\to\infty}\Psi^{h}(\omega_{n})\leq m-\mu$. 该断言证毕.

$\textbf{断言 3}$

断言 3 的证明 根据 (3.10) 式, (3.12) 式和 (3.13) 式, 我们有

(3.17) 式得证.

结合 (3.10), (3.12) 式和 (3.13) 式, 可得

(3.18) 式得证.

因为 $p\in (4,6)\subset (2,6)$, 所以存在 $\lambda\in (0,1)$ 使得 $p=2\lambda+6(1-\lambda)$. 由 Hölder 不等式和 (3.11) 式可得

因此, (3.19) 式成立, 从而有

断言 3 证毕.

结合 (2.1) 式, (3.17) 式, (3.18) 式和 (3.20) 式, 我们有 $J^{h}(\bar{u}_{n})\geq J^{h}(\xi_{n})+J^{h}(\omega_{n})+o(1).$ 另一方面, 由 (3.5) 式可得

上述讨论表明, 以下三种可能性之一是成立的

$\textbf{情况 1}$ 存在 $\{\xi_{n}\}$ 的子列, 仍记为 $\{\xi_{n}\}$, 使得 $J^{h}(\xi_{n})\leq 0;$

$\textbf{情况 2}$ 存在 $\{\omega_{n}\}$ 的子列, 仍记为 $\{\omega_{n}\}$, 使得 $J^{h}(\omega_{n})\leq 0;$

$\textbf{情况 3}$ 在取子列后, $J^{h}(\xi_{n})> 0$, $J^{h}(\omega_{n})> 0.$

由 (3.8) 式, 不失一般性, 我们可以假设对所有的 $n\in \mathbb{N}_+$, 都有 $\|\bar{u}_{n}\|_{H^{1}(B_{R_{n}})}\neq 0$. 于是, $\|\xi_{n}\|_{H^{1}(\mathbb{R}^{3})}\neq 0$. 根据注 2.2 中的 (2), 存在 $b_{n}:=t^{h}_{n}=t(\xi_{n},V^{h})>0$ 使得 $J^{h}(b_{n}\xi_{n})=0$, 即

如果情况 1 成立, 由 (3.21) 式, 有

进而有 $b_{n}\in (0,1]$. 根据引理 2.9, 可得 $m \leq m^{h}\leq I^{h}(b_{n}\xi_{n})\leq \Psi^{h}(\xi_{n})$. 再根据 (3.16) 式, 我们有 $m\leq \lim\limits_{n\to\infty}\Psi^{h}(\xi_{n})\leq \mu <m$, 矛盾. 因此, 情况 1 不会发生. 类似可证, 情况 2 不会发生.

如果情况 3 成立, 则有 $J^{h}(\xi_{n})=J^{h}(\omega_{n})= o(1).$ 我们有以下两种可能性.

如果 $\{b_{n}\}$ 无界, 不妨假设, $b_{n}\to +\infty$ 且 $b_{n}>1$. 由 (3.21) 式可得

从而可得 $\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla \xi_{n}|^{2}+V^{h}(x)\xi_{n}^{2} \mathrm{d}x=o(1)$. 根据 $(V_{1})$, Sobolev 不等式和引理 2.1 中的 (2), 有

另一方面,

结合 (3.22) 和 (3.23) 式, 可得

这与 (3.8) 式矛盾.

如果 $\{b_{n}\}$ 有界, 不妨假设, $b_{n}\to b_{0}\geq 0$. 类似于前文的讨论, 可以排除 $b_{0}>1$ 的情况, 从而有 $b_{0}\in [0,1]$. 因为 $\{\bar{u}_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界, 所以 $\{\xi_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 再根据引理 2.1 中的 (3) 知, 存在 $C>0$ 使得 $\int_{\mathbb{R}^{3}}\left( |\nabla \xi_{n}|^{2}+V^{h}(x)\xi_{n}^{2}\right)\mathrm{d}x \leq C $ 且 $\int_{\mathbb{R}^{3}}\phi_{\xi_{n}}\xi_{n}^{2}\mathrm{d}x\leq C$. 由引理 2.9, 有

根据 (3.16) 式可得 $m\leq \lim_{n\to\infty}\Psi^{h}(\xi_{n})\leq \mu<m$, 这是不可能的. 综上所述, 二分情况不会发生.

现在, 我们证明定理 1.1.

${\bf{定理 1.1 的证明}}$ 由引理 3.1, 对于序列 $\{\rho_{n}\}$, 紧性成立, 即: 存在 $\{y_{n}\}\subset\mathbb{R}^{3}$ 使得对任意的 $\epsilon>0$, 都存在 $R>0$ 满足 $\int_{B_{R}(y_{n})}\rho_{n}(x)\mathrm{d}x \geq m-\epsilon.$

$\textbf{情况 1}$$\{y_{n}\}$ 有界.

在该情况下, 我们将证明系统 (1.2) 有一个基态解. 因为 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界, 在取子列后, 我们可以假设当 $n\to \infty$ 时, 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中 $u_{n}\rightharpoonup u_{0}$, 在 $L_{\rm loc}^{q}(\mathbb{R}^{3})$ ($q\in [2,6)$) 中 $u_{n}\to u_{0}$, 在 $\mathbb{R}^{3}$ 上 $u_{n}(x)\to u_{0}(x)$ 几乎处处成立. 由于 $\{y_{n}\}$ 有界并且 $u_{0}\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 所以对任意的 $\epsilon>0$, 都存在充分大的 $R_{0}>0$ 使得

结合 $\int_{\mathbb{R}^{3}}\rho_{n}(x)\mathrm{d}x\to m$ 以及 $ (3.24)$ 式, 当 $n$ 充分大时, 有

进而有

注意到在 $L^{q}(B_{R_{0}})$ ($q\in [2,6)$) 中 $u_{n}\to u_{0}$. 由 (3.24) 式和(3.25) 式可得, 当 $n$ 充分大时,

由 $\epsilon$ 的任意性可知, 在 $L^q(\mathbb{R}^3)$ ($q\in [2,6)$) 中 $u_{n}\to u_{0}$. 因此, 我们有 $\|u_{n}\|_{p}^{p}\to \|u_{0}\|_{p}^{p}$.

接下来, 我们证明 $u_{0}$ 是 $m$ 的可达元, 即: $J(u_{0})=0, u_{0}\neq 0$ 且 $I(u_{0})=m$.

${\bf 第一步}$ 我们断言 $J(u_{0})=0$. 由范数的弱下半连续性, 可得 $\liminf\limits_{n\to\infty}\|u_{n}\|_{V}^{2}\geq \|u_{0}\|_{V}^{2}$. 根据引理 2.1 中的 (2)、(4) 和 Sobolev 不等式, 得到

因此, $J(u_{0})\leq \lim\limits_{n\to\infty}J(u_{n})=0.$ 如果 $a_{1}:=J(u_{0})<0$, 则有

这与引理 2.8 矛盾. 所以, $J(u_{0})=0.$

${\bf 第二步}$ 我们证明 $u_{0}\neq 0$. 由于对任意的 $n\in \mathbb{N}_+$ 都有 $J(u_{n})=0=J(u_{0})$, 因此

从而, 当 $n\to \infty$ 时, 有 $\|u_{n}-u_{0}\|\to 0$. 又因为 $0$ 是集合 $\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})| J(u)=0\}$ 的孤立点, 所以 $u_{0}\neq 0$, 进而有 $u_{0}\in \mathcal{N}$.

${\bf 第三步}$ 根据 $I\in C^{1}(H^{1}(\mathbb{R}^{3}), \mathbb{R})$, 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中 $u_{n}\to u_{0}$ 以及 $I(u_{n})\to m$, 可得 $I(u_{0})=m.$ 因此, $u_{0}$ 是 $m$ 的可达元, 并且 $u_{0}$ 是系统 (1.2) 的基态解.

$\textbf{情况 2}$$\{y_{n}\}$ 无界.

在该情况下, 我们将证明存在 $V^{h}\in {Hull} (V)$, 使得系统 (1.4) 存在一个基态解. 由条件 $(V_{2})$, 在取子列后, 存在连续函数 $V^{h}$ 使得 $\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}|V(x+y_{n})-V^{h}(x)|=o(1).$ 记 $\tilde{u}_{n}(x)=u_{n}(x+y_{n})$, 那么 $\{\tilde{u}_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 所以不妨假设当 $n\to \infty$ 时, 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中 $\tilde{u}_{n}\rightharpoonup \tilde{u}_{0}$, 在 $L_{\rm loc}^{q}(\mathbb{R}^{3})$ ($q\in [2,6)$) 中 $\tilde{u}_{n}\to \tilde{u}_{0}$, 在 $\mathbb{R}^{3}$ 上 $\tilde{u}_{n}(x)\to \tilde{u}_{0}(x)$ 几乎处处成立. 我们立即可得

其中

注意到紧性情况发生. 由 (3.26) 式, 对充分大的 $n$ 和所有 $R^{\prime}\geq R$, 有

因为 $\tilde{u}_{0}\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 所以存在 $R^{\prime\prime}\geq R$ 使得 $\int_{\mathbb{R}^{3}\setminus B_{R^{\prime\prime}}}|\nabla \tilde{u}_{0}|^{2}+V^{h}(x)\tilde{u}_{0}^{2}\mathrm{d}x\leq \epsilon^{2}.$ 记 $R_{0}:=\max\{R^{\prime},R^{\prime\prime}\}$, 对充分大的 $n$, 有

类似于情况 1, 我们得到在 $L^q(\mathbb{R}^3)$ ($q\in [2,6)$) 中 $\tilde{u}_{n}\to \tilde{u}_{0}$. 特别地, 当 $n\to\infty$ 时, $\|\tilde{u}_{n}\|_{p}^{p}\to\|u_{0}\|_{p}^{p}$. 由范数的弱下半连续性, 可得 $\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla \tilde{u}_{0}|^{2}\leq \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla \tilde{u}_{n}|^{2}\mathrm{d}x$. 类似于情况 1, 有 $\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^{3}}\phi_{\tilde{u}_{n}}\tilde{u}_{n}^{2}\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^{3}}\phi_{\tilde{u}_{0}}\tilde{u}_{0}^{2}\mathrm{d}x.$ 因此,

如果 $a_{2}:=J^{h}(\tilde{u}_{0})< 0,$ 那么根据引理 2.9, 有

这与注 2.2 中的 (3) 矛盾. 因此, $J^{h}(\tilde{u}_{0})=0.$

接下来, 我们证明 $\tilde{u}_{0}\neq 0$. 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 记 $\|u\|_{h}^{2}:=\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}+V^{h}(x)u^{2}\mathrm{d}x$. 因为对任意的 $n\in \mathbb{N}_+$ 都有 $J^{h}(\tilde{u}_{0})=0=J(u_{n})$, 所以

由 $(V_{1})$ 可得, $\|\cdot\|$ 和 $\|\cdot\|_{h}$ 是等价范数, 所以当 $n\to \infty$ 时, $\|\tilde{u}_{n}\|\to \|\tilde{u}_{0}\|$. 再根据在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中 $\tilde{u}_{n}\rightharpoonup \tilde{u}_{0}$, 可得当 $n\to \infty$ 时, $\|\tilde{u}_{n}-\tilde{u}_{0}\|\to 0$. 因此, $I^{h}(\tilde{u}_{0})=\lim \limits_{n\to \infty}I^{h} (\tilde{u}_{n})=\lim \limits_{n\to \infty}I(u_{n})=m>0$, 这表明 $\tilde{u}_{0}\neq 0$ 并且 $\tilde{u}_{0}\in \mathcal{N}^{h}$.

最后, 我们证明 $I^{h}(\tilde{u}_{0})=m^{h}$. 结合 $\tilde{u}_{0}\in \mathcal{N}^{h}$ 和引理 2.9, 可得

从而有 $I^{h}(\tilde{u}_{0})=m^{h}=m.$ 这表明 $\tilde{u}_{0}$ 是 $m^{h}$ 的可达元. 因此, 存在 $V^{h}\in {Hull}(V)$, 使得系统 (1.4) 有一个基态解.

在这一小节中我们将证明定理 1.2. 由于泛函 $I$ 满足山路定理的几何条件, 因此根据文献[28,定理 1.2] 知, 泛函 $I$ 在山路水平值 $\tilde{c}>0$ 处存在 $(PS)$ 序列 $\{u_{n}\}$ 满足 $\lim_{n\to\infty}\|u_{n+1}-u_{n}\|=0.$ 由于 $\{u_{n}\}$ 是 $(PS)$ 序列, 由引理 2.5 知 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 因此存在 $\{u_{n}\}$ 的子列 (仍记为 $\{u_{n}\}$), 使得 $u_{n}\rightharpoonup u$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 并且 $u$ 是泛函 $I$ 的一个临界点. 如果 $u\neq 0$, 那么 $u$ 是系统 (1.2) 的一个非平凡解. 因此, 在下文中, 我们不妨假设 $u_{n}\rightharpoonup 0$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$. 为了获得系统 (1.2) 的非平凡解, 我们研究 $(PS)$ 列 $\{u_{n}\}$ 的性质.

首先, 我们给出 $(PS)$ 序列的表示定理. 虽然它的证明是标准的 (参见文献 [29]), 但非稳定位势 $V$ 会带来些许不同. 为了论文的完整性, 我们给出其证明.

${\bf定理4.1}$ [表示定理] 假设 $V$ 满足 $(V_{1})$ 和 $(V_{2}^{\prime})$. 令 $\{u_{n}\}\subset H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 满足当 $n\to\infty$ 时, $I(u_{n})\to \tilde{c}>0$ 以及 $I^{\prime}(u_{n})\to 0$. 那么存在 $\{u_{n}\}$ 的子列 (仍记为 $\{u_{n}\}$), $u_{0}\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, $l=l(\tilde{c})\in \mathbb{N}$, $\widetilde{V_{i}}\in \mathcal{A}_{V}, v_{i}\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$ 以及 $\{y_{n}^{i}\}\subset\mathbb{R}^{3}$ ($i=1,2,\cdots, l$) 使得

(1) $|y_{n}^{i}|\to\infty, |y_{n}^{i}-y_{n}^{j}|\to\infty$, $n\to\infty$, $\forall\ i\neq j;$

(2) $I^{\prime}(\widetilde{V_{i}},v_{i})=0$ 并且 $I^{\prime}(u_{0})=0;$

(3) $\|u_{n}-u_{0}-\sum_{i=1}^{l}v_{i}(\cdot-y_{n}^{i})\|\to 0$,\, $n\to\infty;$

(4) $\tilde{c}=I(u_{0})+ \sum_{i=1}^{l}I(\widetilde{V_{i}},v_{i}).$

${\bf证}$ 由引理 2.5 知, 存在 $\{u_{n}\}$ 的子列 (仍记为 $\{u_{n}\}$) 使得 $u_{n}\rightharpoonup u_{0}$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 对任意的 $q\in [2,6)$, 都有 $u_{n}\to u_{0}$ 于 $L_{\rm loc}^{q}(\mathbb{R}^{3})$ 以及在 $\mathbb{R}^{3}$ 上 $u_{n}(x)\to u_{0}(x)$ 几乎处处成立. 由于 $\{u_{n}\}$ 是泛函 $I$ 的 $(PS)_{\tilde{c}}$ 列, 因此不难验证 $u_{0}$ 是系统 (1.2) 的一个弱解, 即 $I^{\prime}(u_{0})=0$. 由引理 2.2 可得

令

如果 $\sigma_{1}=0$, 那么不难证明 $u_{n}\to u_{0}\neq0$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$. 从而取 $l=0$ 完成证明.

如果 $\sigma_{1}>0$, 那么根据 Lions 的集中紧原理 [29,引理 I.1]{Lions1984}, 下述情形之一发生

(i) (消失) 对任意的 $R>0$ 都有 $\lim_{n\to\infty}\sup_{y\in \mathbb{R}^{3}}\int_{B_{R}(y)}|u_{n}-u_{0}|^{2}\mathrm{d}x=0;$

(ii) (二分或紧性) 存在 $\bar{R}>0$ 使得

如果消失情形发生, 那么根据消失引理 [30,引理 1.21]{W}}可得 $\sigma_{1}=0.$ 这与 $\sigma_{1}>0$ 矛盾. 因此, 二分或者紧性发生. 根据引理 2.10, 存在 $\{y_{n}^{1}\}:=\{(y_{n}^{1,1},y_{n}^{1,2},y_{n}^{1,3})\}\subset\mathbb{R}^{3}$ 使得

我们断言当 $n\to\infty$ 时, $|y_{n}^{1}|\to \infty$. 如若不然, 则存在 $R^{1}>0$ 使得 $B_{\bar{R}}(y_{n}^{1})\subset B_{R^{1}}(0)$. 从而由 (4.3) 式可得

这与 $u_{n}\to u_{0}$ 于 $L_{\rm loc}^{2}(\mathbb{R}^{3})$ 矛盾.

令 $v_{n}^{1}(x):=u_{n}(x+y_{n}^{1})-u_{0}(x+y_{n}^{1})$, 则 $\{v_{n}^{1}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 因此存在 $\{v_{n}^{1}\}$ 的子列 (仍记为 $\{v_{n}^{1}\}$) 使得 $v_{n}^{1}\rightharpoonup v_{1}$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 对任意的 $q\in [2,6)$ 都有 $v_{n}^{1}\to v_{1}$ 于 $L_{\rm loc}^{q}(\mathbb{R}^{3})$, 以及在 $\mathbb{R}^{3}$ 上 $v_{n}^{1}(x)\to v_{1}(x)$ 几乎处处成立. 由 (4.3) 式可得

因此 $v_{1}\neq0.$

由文献 [33,定理 1.3] 知, 存在 $\overline{V}_1 \in C(\mathbb{R}\times U,\mathbb{R})$ 以及 $\{y_{n}^{1}\}$ 的子列 (仍记为 $\{y_{n}^{1}\}$) 使得

将 $\overline{V}_1$ 周期延拓到 $\mathbb{R}^3$, 且仍旧记为 $\overline{V}_1$. 则 $\overline{V}_1\in \mathcal{A}_{V}$ 并且

选取 $k_{n}^{2}, k_{n}^{3}\in \mathbb{Z},\; (z_{n}^{1,2},z_{n}^{1,3})\in U=[T_{2}]\times[T_{3}]$ 使得 $(y_{n}^{1,2},y_{n}^{1,3})=(z_{n}^{1,2}+k_{n}^{2}T_{2},z_{n}^{1,3}+k_{n}^{3}T_{3})$. 不妨假设 $z_{n}^{1,j}\rightarrow z_{0}^{1,j} (j=2,3)$. 定义 $\widetilde{V}_{1}(x):=\overline{V}_1(x^1,x^2+z_{0}^{1,2},x^3+z_{0}^{1,3})$, 则 $\widetilde{V}_{1}\in \mathcal{A}_{V}$. 从而由 $(V_{2}^{\prime})$, (4.5) 式以及定理 A.1可得

由引理 2.3, (4.1) 式以及 (4.2) 式可得

这表明 $\{v_{n}^{1}\}$ 是泛函 $I(\widetilde{V}_{1},u)$ 的水平值为 $\widetilde{c}-I(u_{0})$ 的 $(PS)$ 序列. 由于 $v_{n}^{1}\rightharpoonup v_{1}$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 因此 $I^{\prime}(\widetilde{V}_{1},v_{1})=0.$

和引理 2.2 的证明类似, 由 (4.6) 和 (4.7) 式可得

(4.8) 和 (4.9) 式表明 $\{v_{n}^{1}-v_{1}\}$ 是泛函 $I(\widetilde{V}_{1},u)$ 的水平值为 $\widetilde{c}-I(u_{0})-I(\widetilde{V}_{1},v_{1})$ 的一个 $(PS)$ 序列. 由注 2.1 知, $\{u_{n}(x)-u_{0}(x)-v_{1}(x-y_{n}^{1})\}$ 是泛函 $I(u)$ 的水平值为 $\widetilde{c}-I(u_{0})-I(\widetilde{V}_{1},v_{1})$ 的一个 $(PS)$ 序列.

令

如果 $\sigma_{2}=0$, 那么 $u_{n}-u_{0}-v_{1}(\cdot-y_{n}^{1})\to 0$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 并且 $\widetilde{c}= I(u_{0})+I(\widetilde{V}_{1},v_{1})$. 从而取 $l=1$ 结束证明.

如果 $\sigma_{2}>0$, 那么对序列 $\{ |u_{n}-u_{0}-v_{1}(\cdot-y_{n}^{1}) |^{2}\}$ 运用集中紧原理可以排除消失的情形. 因此, 存在 $\bar{\bar{R}}>0$ 以及 $\{y_{n}^{2}\}=\{(y_{n}^{2,1},y_{n}^{2,2},y_{n}^{2,3})\}\subset\mathbb{R}^{3}$ 满足 $|y_{n}^{2}|\to\infty$ 使得

和证明 (4.4) 式类似可证, 当 $n\to\infty$ 时有 $|y_{n}^{2}-y_{n}^{1}|\to \infty$. 类似地, 存在 $\widetilde{V}_{2}\in \mathcal{A}_{V}$ 以及 $v_{2}\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$ 使得 $I^{\prime}(\widetilde{V}_{2},v_{2})=0$ 并且

最后, 我们断言上述过程最多在 $l:=[\frac{\widetilde{c}-I(u_{0})}{\widetilde{c}_{0}}]$ 步之后结束, 其中 $\widetilde{c}_{0}$ 由引理 2.4 给出. 如若不然, 则由引理 2.5 知

这是一个矛盾.

接下来我们引入一些记号. 令

对任意给定的 $\bar{l}\in \mathbb{N}_{+}$, 定义

定义映射 $X^{1}: \mathcal{Q}_{\infty}\to \mathbb{R}$ 如下

其中 $\delta>0$ 是由引理 A.3 给出的实数.

下述引理将被用来刻画 $(PS)$ 序列的性质.

${\bf引理4.1}$ 在 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 的任意有界集上, 映射 $X^{1}: \mathcal{Q}_{\infty}\to \mathbb{R}$ 是一致连续的.

${\bf证}$ 令 $w\in \mathcal{Q}_{\infty}$ 以及 $\Omega=\{x\in\mathbb{R}^{3}| x^{1}>X^{1}(w)\}$. 我们断言: 对任意的 $x\in \Omega$, 都有 $w(x)<\delta.$ 如若不然, 则存在 $x_{0}\in \Omega$ 使得 $w(x_{0})\geq\delta.$ 如果 $w(x_{0})=\delta$, 则由 $X^{1}$ 的定义可得 $X^{1}(w)\geq x_{0}^{1}$. 这与 $x_{0}\in \Omega$ 矛盾. 如果 $w(x_{0})>\delta$, 那么根据 $\lim_{|x|\to\infty}w(x)=0$ (见引理 A.2) 知, 存在 $y_{0}\in \Omega$ 满足 $y^{1}_{0}>x_{0}^{1}$ 和 $w(y_{0})<\delta$. 由于 $w\in C^{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R})$, 因此存在 $y_{1}$ 属于线段 $x_{0}y_{0}$ 满足 $w(y_{1})=\delta$, 从而有 $y_{1}^{1}\leq X^{1}(w)$. 根据 $y_{1}$ 属于线段 $x_{0}y_{0}$, 我们得到 $y_{1}^{1}>x_{0}^{1}>X^{1}(w)$, 这与 $y_{1}^{1}\leq X^{1}(w)$ 矛盾. 同理可得, 对任意的 $x\in \partial\Omega$ 都有 $w(x)\leq \delta$.

令 $v(x):=\delta e^{-\alpha\left( x^{1}-X^{1}(w)\right)}$ 和

其中 $x\in \Omega$, $\alpha \in \left( 0,\sqrt{\frac{V_{-}}{2}}\right)$. 由引理 A.3 可得, 对所有的 $x\in \Omega$ 有 $A(v(x)-w(x))\geq0$; 对所有的 $x\in \partial\Omega$ 有 $v(x)-w(x)\geq 0$. 由 $\liminf_{|x|\to\infty}(v(x)-w(x))=\liminf_{|x|\to\infty}v(x)\geq 0$ 和极大值原理可得, 对所有的 $x\in \Omega$, 都有 $v(x)-w(x)\geq 0$ 成立. 因此, 在 $\Omega$ 上有

接下来, 我们利用 (4.11) 式证明映射 $X^{1}$ 的一致连续性. 假设 $Q$ 是集合 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 中的有界集. 任取集合 $Q$ 中的两个元素 $w_{1}$ 和 $w_{2}$, 则存在

使得

不妨假设 $X^{1}(w_{1})>X^{1}(w_{2})$, 则由 (4.11) 式可得

结合 (4.12) 和 (4.13) 式易得

由引理 A.5 和 (4.14) 式得到

最后由 (4.15) 式可得

接下来, 我们证明 $(PS)$ 序列的如下性质, 这是证明定理 1.2 的关键.

${\bf命题4.1}$ 设 $\{u_{n}\}\subset H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 是泛函 $I$ 的水平值为 $\tilde{c}>0$ 的 $(PS)$ 序列, 且 $u_{n}\rightharpoonup 0$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 以及 $\lim\limits_{n\to\infty}\|u_{n+1}-u_{n}\|=0$. 则存在点列 $\{x_{n}\}\subset \mathbb{R}^{3}$ 满足

(i) $\lim\limits_{n\to\infty}|x_{n+1}^{1}-x_{n}^{1}|=0,$ 其中 $x_{n}=(x_{n}^{1},x_{n}^{2},x_{n}^{3});$

(ii) 存在 $R>0$ 使得 $\liminf\limits_{n\to\infty}\int_{B_{R}(x_{n})}|u_{n}|^{2}\mathrm{d}x>0;$

(iii) $\lim\limits_{n\to\infty}|x_{n}|=+\infty.$

${\bf证}$ 由定理 4.1 知, 存在 $\{u_{n}\}$ 的子列 (仍记为 $\{u_{n}\}$), $\{\widetilde{V_{i}}\}_{i=1}^{l}\subset \mathcal{A}_{V}$, $\{v_{i}\}_{i=1}^{l}\subset H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$ 以及 $\{y_{n}^{i}\}_{i=1}^{l}\subset\mathbb{R}^{3}$ 使得

(1$^{\circ}$) $\|u_{n}-\sum_{i=1}^{l}v_{i}(x+y_{n}^{i})\|\to 0$, $n\to \infty;$

(2$^{\circ}$) 对所有的 $i=1,2,\cdots,l$, 都有 $I^{\prime}(\widetilde{V_{i}},v_{i})=0;$

(3$^{\circ}$) $\sum_{i=1}^{l}I(\widetilde{V_{i}},v_{i})=\tilde{c};$

(4$^{\circ}$) 对所有的 $i=1,2,\cdots,l$, 都有 $|y_{n}^{i}|\to \infty$, $n\to \infty$.

令 $w_{n}=\sum_{i=1}^{l}v_{i}(x+y_{n}^{i})\in \mathcal{Q}_{\infty},$ 则由 $(1^{\circ})$ 可得, 当 $n\to\infty$ 时, $\|w_{n+1}-w_{n}\|\to 0$. 由 $X^{1}$ 的定义知, 存在 $x(w_{n}):=\left(X^{1}(\omega_{n}), x^{2}(\omega_{n}),x^{3}(\omega_{n}) \right) \in\mathbb{R}^{3}$ 使得 $w_{n}(x(w_{n}))=\delta.$ 记 $x_{n}:=x(w_{n})$. 因为 $\{u_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界, 所以 $\{w_{n}\}$ 在 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 中有界. 因此, 由引理 4.1 知 (i) 成立.

由引理 A.4 中的 (ii)和 $w_{n}(x_{n})=\delta$ 知, 选取 $\epsilon=\frac{\delta}{2}$, 存在 $R>0$, 使得对所有的 $x\in B_{R}(x_{n})$, 都有 $|w_{n}(x)-w_{n}(x_{n})|\leq \frac{\delta}{2}$. 这表明

结合 $\lim\limits_{n\to\infty}\|u_{n}-w_{n}\|=0$ 以及 (4.16)式, 可得

因此 (ii)成立.

最后, 我们用反证法证明 (iii). 如若不然, 则存在 $\widetilde{R} \in \mathbb{R}^{+}$ 以及 $\{x_{n}\}$ 的子列 (仍记为 $\{x_{n}\}$) 使得 $|x_{n}|\leq \widetilde{R}$. 因此

这与 $u_{n}\to0$ 于 $L^{2}_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3})$ 矛盾.

现在, 我们证明定理 1.2.

${\bf{定理 1.2 的证明}}$ 正如在本节开始时的论述, 我们能够得到泛函 $I$ 的水平值为 $\tilde{c}>0$ 的满足 $\lim_{n\to\infty}\|u_{n+1}-u_{n}\|=0$ 的 $(PS)$ 序列 $\{u_n\}$. 同时, $u_{n}\rightharpoonup u$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 且 $u$ 是泛函 $I$ 的临界点. 如果 $u\neq 0$, 那么我们找到了系统 (1.2) 的一个非平凡解. 因此, 在下文中, 我们总假设 $u_{n}\rightharpoonup 0$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$. 由命题 4.1 知, 存在 $\{x_{n}\}\subset \mathbb{R}^{3}$ 和 $R>0$ 满足命题 4.1 中的 (i)-(iii).

令 $\tau_{n}=\left( x_{n}^{1}, k_{n}^{2}T_{2}, k_{n}^{3}T_{3}\right)\in \mathbb{R}^{3} $, 其中 $k_{n}^{j}:=\min\{k\in \mathbb{Z}\big| |kT_{j}-x_{n}^{j}|\leq T_{j}\}, j=2,3.$ 因此

令 $v_{n}(x):=u_{n}(x+\tau_{n})$, 则 $\{v_{n}\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中有界. 因此, 在子列的意义下, $v_{n}\rightharpoonup v_{0}$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 对任意的 $q\in [2,6)$ 都有 $v_{n}\to v_{0}$ 于 $L_{\rm loc}^{q}(\mathbb{R}^{3})$, 并且在 $\mathbb{R}^{3}$ 中 $v_{n}(x)\to v_0(x)$ 几乎处处成立. 因此有

由上式以及命题 4.1 中的 (ii), 可得 $\lim_{n\to\infty}\int_{B_{R+T}}|v_{n}(x)|^{2}\mathrm{d}x>0.$ 因此 $v_{0}\neq 0.$

$\textbf{情形 1}$$\{x_{n}^{1}\}\subset \mathbb{R}$ 有界, 其中 $x_{n}^{1}$ 是 $\tau_{n}$ 的第一个分量.

不妨假设 $x_{n}^{1}\to x_{0}^{1}$. 由 $(V_{2}^{\prime})$ 可得

其中 $x^{\prime}=(x^{2},x^{3})\subset \mathrm{U}:=[T_{2}]\times [T_{3}]$. 由于 $V$ 对 $x^{\prime}\in \mathrm{U}$ 关于变量 $x^{1} \in\mathbb{R}$ 是一致概周期的, 再根据定理 A.1 可得

从而有

对任意的 $\varphi\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 记 $\bar{\varphi}(x)=\varphi(x^{1}+x_{0}^{1},x^{\prime})\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 由 (4.17) 可得

由于 $v_{n}\rightharpoonup v_{0}$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 因此

这表明

因此 $\left\langle I^{\prime}(\bar{u}_{0}), \varphi\right\rangle=0,$ 其中 $\bar{u}_{0}:=v_{0}(x^{1}-x_{0}^{1},x^{\prime})$. 由 $\varphi$ 的任意性知, $\bar{u}_{0}$ 是系统 (1.2) 的一个束缚态解.

$\textbf{情形 2}$$\{x_{n}^{1}\}\subset \mathbb{R}$ 无界, 其中 $x_{n}^{1}$ 是 $\tau_{n}$ 的第一个分量.

不妨假设 $|x_{n}^{1}|\to \infty$. 由 $(V_{2}^{\prime})$ 知, 存在 $\{\sigma_{n}\}\subset\mathbb{R}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}|\sigma_{n}|=\infty$ 并且

由于 $\lim\limits_{n\to\infty}|x_{n}^{1}|=\infty$, $\lim\limits_{n\to\infty}|x_{n+1}^{1}-x_{n}^{1}|=0$ 和 $\lim\limits_{n\to\infty}|\sigma_{n}|=\infty$, 因此存在子列 $\{x_{k_{n}}^{1}\}\subset\{x_{n}^{1}\}$ 使得 $\lim_{n\to+\infty}|x_{k_{n}}^{1}-\sigma_{n}|=0.$ 由 (4.18) 式可得

故

由于 $v_{k_{n}}\rightharpoonup v_{0}\neq 0$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 因此对任意的测试函数 $\varphi\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 有

由 $\varphi$ 的任意性可得 $I^{\prime}(v_{0})=0$, 因此 $v_{0}$ 是系统 (1.2) 的一个束缚态解. 至此, 我们完成了定理 1.2 的证明.

在本节中, 我们回顾概周期函数的定义及其部分性质, 同时给出 $\mathcal{K}_{\infty}$ 和 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 中元素的一些正则性结果. 这些结果对引理 4.1 的证明很重要.

设集合 $P\subset \mathbb{R}^3$. 如果存在数 $l>0$ 使得对任意的 $y\in \mathbb{R}^3$, 都有 $P\cap B_{l}(y)$ 非空, 则称集合 $P$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中相对稠密.

${\bf定义A.1}$ 设 $V:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ 是连续函数. 如果对每一个正数 $\varepsilon$, 都存在 $\mathbb{R}^3$ 中的相对稠密集 $P$, 使得对所有的 $\tau\in P$, 都有

则称 $V$ 是概周期函数.

根据 Bochner 准则 (参见文献 [定义 1] 或文献 [32,定理 1.14]), 有如下概周期函数的等价定义

${\bf定义A.2}$ 一个连续函数 $V:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ 是概周期函数的充要条件是对任意的序列 $\{x_{n}\}\subset \mathbb{R}^3$, 都存在其子列 (仍记为 $\{x_{n}\}$) 以及一个函数 $V^{h}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ 使得

为了方便起见, 我们此后用 ${Hull}$($V$) 表示所有这些 $V^{h}$ 构成的集合.

${\bf定义A.3}$ 设 $\mathrm{U}\subset \mathbb{R}^{2}$ 是紧集, $V:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ 是连续函数. 如果对任意的 $\epsilon>0$, 都存在实数 $l(\epsilon)>0$, 使得对任意长度为 $l(\epsilon)$ 的区间都至少包含一个实数 $\tau$ 满足

则称 $V(x^{1},x^{\prime})$ 对 $x^{\prime}\in \mathrm{U}$ 关于变量 $x^{1} \in\mathbb{R}$ 是一致概周期的.

${\bf定理A.1}$ ([33,定理 1.2]) 设 $\mathrm{U}\subset \mathbb{R}^{2}$ 是紧集. 如果连续函数 $V(x^{1},x^{\prime})$ 对 $x^{\prime}\in \mathrm{U}$ 关于变量 $x^{1} \in\mathbb{R}$ 是一致概周期的, 则 $V(x^{1},x^{\prime})$ 在 $\mathbb{R}\times \mathrm{U}$ 上是一致连续且有界的.

现在, 我们给出 $\mathcal{K}_{\infty}$ 中元素的正则性结果 (参见文献 [5,34]).

${\bf引理A.2}$ 如果 $v\in \mathcal{K}_{\infty}$, 则 $v\in C^{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R})$, 且对于某个 $\widetilde{V}\in \mathcal{A}_{V}$, $v$ 是如下方程的解

不失一般性, 我们假设对任意的 $v\in \mathcal{K}_{\infty}$, 都有 $v(x)>0$ 以及 $v\in C^{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R})$. 因此, 对任意的 $w\in \mathcal{Q}_{\infty}$, 我们有如下结果: $({1}) \; w\in C^{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R});\quad ({2})\; \lim\limits_{|x|\to\infty}w(x)=0;\quad ({3})\; w(x)>0$.

接下来, 我们给出 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 中元素的一些性质.

${\bf引理A.3}$ 存在 $\delta>0$ 使得对所有的 $w\in \mathcal{Q}_{\infty}$, 如果 $w(x)<\delta$, 那么 $\Delta w(x)>\frac{V_{-}}{2}w(x)$.

${\bf证}$ 因为 $p\in (4,6)$, 所以对任意的 $\epsilon>0$, 都存在 $\delta>0$, 使得对任意 $0<v(x)<\delta$, 有 $|v(x)|^{p-2}<\epsilon$. 取 $\epsilon=\frac{V_{-}}{2}$. 对任意的 $w(x)=\sum_{i=1}^{\underline{l}}v_{i}(x+z_{i})\in \mathcal{Q}_{\infty}$, 假设 $x\in \mathbb{R} ^3$ 满足 $w(x)<\delta$, 那么我们可得 $v_{i}(x+z_{i})<\delta$, $i=1,2,\cdots,\underline{l}$ 以及

对每一个 $v_{i}\in \mathcal{K}_{\infty}$, 由引理A.2可得, 存在 $\widetilde{V_{i}}\in \mathcal{A}_{V}$ 使得 $-\Delta v_{i}+\widetilde{V_{i}}(x)v_{i}=|v_{i}|^{p-2}v_{i} -\phi_{v_{i}}v_{i}$. 因此,

根据经典的椭圆正则性理论 (参见文献 [34]), 由 $(V_{1})$ 和 $(V_{2})$ 可知, 对所有的 $v\in \mathcal{K}_{\infty}$ 和每一个开球 $B\subset \mathbb{R}^{3}$, 有 $\|v\|_{C^{2,\gamma}(B)}\leq C\|v\|$, 其中 $\gamma\in (0,1)$, $C=C(V_{+},\gamma,\text{diam} B)>0$. 所以, 对任意的 $w\in \mathcal{Q}_{\infty}$, 都有 $\|w\|_{C^{2,\gamma}(B)}\leq C_{1}\|w\|$ 成立, 其中 $C_{1}$ 依赖的量与 $C$ 的相同. 考虑 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 中的一个有界子集 $Q$. 由上述分析可得, 对每一个 $w\in Q$, 有 $\|\nabla w\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^{3})}\leq C$, 其中 $C>0$ 与 $w$ 无关. 因此, 我们得到下述引理

${\bf引理A.4}$ 设 $Q$ 是 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 的一个有界子集. 那么下列论断成立

(i) 存在 $k=k(Q)>0$, 使得对任意的 $w\in Q$ 以及 $x,y \in \mathbb{R}^{3}$, 都有 $|w(x)-w(y)|\leq k|x-y|$ 成立;

(ii) 对任意的 $\epsilon>0$, 都存在 $r=r(\epsilon, Q)>0$, 使得对任意的 $w\in Q$, 当 $|x-y|<r$ 时, 有 $|w(x)-w(y)|\leq\epsilon$.

由引理A.4, 可得下列引理

${\bf引理A.5}$ 对 $\mathcal{Q}_{\infty}$ 中的每一个有界集 $Q$, 都存在常数 $C=C(Q)>0$, 使得对 $Q$ 中的任意两个元素 $w$ 和 $\iota$, 都有

${\bf证}$ 任意固定 $x_{0}\in\mathbb{R}^{3}$. 由引理A.4知, 存在 $k=k(Q)>0$, 使得对所有的 $x\in \mathbb{R}^{3}$, 都有

$\begin{equation}\label{eq60} |w(x)-w(x_{0})|\leq k|x-x_{0}|; \quad |\iota (x)-\iota (x_{0})|\leq k|x-x_{0}|. \end{equation}$(A.1)

不失一般性, 假设 $\iota (x_{0})>w(x_{0})$, 并且记 $r:=\frac{\iota (x_{0})-w(x_{0})}{4k}$. 那么, 由 (A.1)可知, 当 $x\in B_{r}(x_{0})$ 时, 有

由上式可得 $\iota (x)\geq \iota (x_{0})-kr$ 和 $ w(x) \leq w(x_{0})+kr$, 进而有

因此可得

从而有

上式对所有 $x_{0}\in\mathbb{R}^{3}$ 都成立, 所以该引理得证.