非线性 Schrödinger 方程半经典态的稳态解满足如下的椭圆方程

其中 $\varepsilon>0$ 是充分小的参数, 空间维数 $N\geq1$, $V(x)$是位势函数, $f(u)$ 是非线性项. 由于非线性 Schrödinger 方程半经典态的稳态解在物理学中有十分重要的应用, 因此其存在性和多重性是非线性分析研究领域长期的重点关注对象之一. 在过去的十多年中, 利用非线性分析的理论与方法, 国内外的许多学者在非线性 Schrödinger 方程半经典态的稳态解的存在性和多重性方面做出了很多重要的研究成果, 参见文献 [2,7,9,12,15] 等. 曹道民, 彭双阶和严树森更是在他们的文献 [3] 中系统性的介绍了如何利用非线性分析的理论与方法研究非线性 Schrödinger 方程半经典态的稳态解存在性和多重性. 特别是在文献 [3] 的第二章中, 曹道民等人总结了利用有限维约化方法研究非线性 Schrödinger 方程半经典态的稳态解的存在性和多重性的基本方法. 他们主要以方程

为模型, 其中 $1<p<\frac{N+2}{N-2}$, $N\geq3$. $V(y)$ 满足 $0\leq V_0 \leq V(y)\leq V_1$. 利用有限维约化方法, 他们证明了上述方程存在一个含有 $k$ 个峰的多峰解, 并且这 $k$ 个峰分别集中于位势函数 $V(y)$ 的 $k$ 个临界点上, 其中 $k$ 为任意的正整数.

近年来, 随着对非线性 Schrödinger 方程研究的深入, 有学者发现, 通过适当的引入变化的指数函数 $p(x)$, 非线性 Schrödinger 方程能够更贴近实际地描述扩散过程, 捕捉到传统模型难以捕捉的细微特征和动态变化. 因此, 在非线性分析研究领域, 有部分学者开始对变指数问题进行探索, 更多变指数相关的研究读者可参见文献 [1,4–6,8,10,13]等. 特别地, 姬超, 王志强和吴元泽在文献 [11] 中研究了以下非线性 Schrödinger 方程

其中 $2<p_{\rm min}:=\inf_{x\in\mathbb{R}^N}p(x)\leq p_{\rm max}:={\rm sup}_{x\in\mathbb{R}^N}p(x)<\frac{2N}{N-2}$, $N\geq3$ 且 $\lambda>0$. 他们证明了该方程最小能量解的集中性态和人们所熟知的常指数的非线性 Schrödinger 方程的半经典基态有较大的不同. 粗略的说, 当 $\lambda$ 较小时, 变指数非线性 Schrödinger 方程的最小能量半经典态的稳态解在 $\varepsilon\to0$ 时集中在 $p(x)$ 的全局最小值点附近, 而当 $\lambda$ 较大时, 变指数非线性 Schrödinger 方程的最小能量半经典态的稳态解在 $\varepsilon\to0$ 时集中在 $p(x)$ 的全局最大值点附近. 刘忠原, 罗鹏和谢华飞则在文献 [14] 中研究了以下非线性 Schrödinger 方程

其中 $\varepsilon>0$ 且 $1<p<\frac{N+2}{N-2}$, $a(x)\in C^1(\mathbb{R}^N)\bigcap L^\infty(\mathbb{R}^N)$, $N\geq3$. 在关于 $a(x)$ 的向量场的某些假设下, 他们利用约化方法证明了上述问题单峰解的存在性.

结合以上的结论, 我们不难发现, 常指数的非线性 Schrödinger 方程解的性态和变指数的非线性 Schrödinger 方程解的性态存在一定的差异. 因此, 一个自然的问题是: 关于变指数的非线性 Schrödinger 方程, 其是否和具有常指数的非线性 Schrödinger 方程一样, 存在多个具有多个峰的尖峰解? 特别地, 我们是否可以把曹道民等人在他们的文献 [3] 中关于常指数的非线性 Schrödinger 方程 (1.1) 具有多个峰的尖峰解的多重性结果推广到变指数非线性 Schrödinger 方程 (1.2)上来呢? 就我们所知, 目前这方面的研究还没有在文献中出现. 基于此, 本文将主要研究以下变指数非线性 Schrödinger 方程

受文献 [3] 的启发, 本文将利用有限维约化方法研究上述方程解的存在性和多重性. 首先给出本文关于 $V(y)$ 和 $p(y)$ 的假设条件.

i) $p(y)$ 属于 $C^1$ 函数类且满足 $1<p_{\rm min}<p(y)<p_{\rm max}<2^*-1$;

ii) $V(y)$ 属于 $C^2$ 函数类且 $V(y)$ 满足 $0<V_0 \leq V(y)\leq V_1$.

本文的主要结果叙述如下.

${\bf定理1.1}$ 假设 $p(y)$ 和 $V(y)$ 分别满足条件 i) 和 ii). 假设 $\{x_j\}_{j=1,\cdots,k}$ 是 $V(y)$ 的 $k$ 个临界点满足

i) 任意的 $j=1,\cdots,k$, deg$(\nabla V, B_\delta(x_j),0)\neq0$;

ii) $p(x_1)=p(x_2)=\cdots=p(x_k)\equiv p_0$,

那么存在与 $k$ 相关的 $\varepsilon_0>0$, 使得对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$, 方程 (1.3) 存在一个具有 $k$ 个峰的尖峰解. 且当 $\varepsilon\rightarrow0$ 时, 这 $k$ 个峰会分别集中在 $x_1, x_2, \cdots,x_k$ 附近.

首先介绍在下文中会用到 Sobolev 空间 $H^1 (\mathbb{R}^N)$, 该空间中的范数和内积分别为

同时, 本文需要引入与 ${\lVert u \rVert}_{H^1}$ 等价的 $\varepsilon$ 范数, 它的具体形式为

对应的 $\varepsilon$ 内积为

记 $w$ 为以下方程的解

则 $w$ 具有以下性质

i) $w$ 是径向对称的, $w'(r)<0$ 且

ii) $-\Delta +I-pw^{p-1}$ 在 $H^1 (\mathbb{R}^N)$ 空间中的核为

设 $\{x_j\}_{j=1,\cdots,k}$ 为 $V(y)$ 的 $k$ 个临界点. 如果想要构造方程 (1.3) 具有如下形式的解

并且当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时有 $x_{\varepsilon, j}\rightarrow x_j$. 那么, 我们需要去求解误差项 $\omega_\varepsilon$ 满足的方程

其中 $U_{\varepsilon,x_{\varepsilon, j}}=(V(x_j))^{\frac{1}{p_0-1}}w\left(\frac{(V(x_j))^{\frac12}(y-x_j)}{\varepsilon}\right)$,

是 $H^1 (\mathbb{R}^N)$ 空间里的有界线性算子,

在求解方程 (2.1) 的过程中, 由于 $L_\varepsilon(\omega_\varepsilon)$ 在整个空间上的逆算子是不一定有界的, 所以首先需要寻找 $L_\varepsilon$ 的近似核空间, 然后在 $L_\varepsilon$ 近似核空间的正交补空间上通过不动点定理来求解方程 (2.1). 由预备知识中 $w$ 的性质 ii), 可以找到 $L_\varepsilon$ 的近似核空间 $K_\varepsilon$ 为

然后进一步定义 $E_\varepsilon$ 为近似核空间的正交补空间

为了进一步利用不动点理论求解方程, 首先需要对 $l_\varepsilon$ 和 $R_\varepsilon(\omega_\varepsilon)$ 的范数进行估计.

${\bf引理3.1}$ 假设 $V(y)$ 属于 $C^2$ 函数类, 那么存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $C$, 使得

其中 $\varepsilon\rightarrow0$ 时 $|x_{\varepsilon,j}-x_j|<R\varepsilon^\gamma$, $\gamma\geq1$ 为参数.

${\bf证}$ 由 (2.3) 式可知

对于 $V(x_j)-V(y)$, 将其拆分为 $V(x_j)-V(x_{\varepsilon,j})+V(x_{\varepsilon,j})-V(y)$, 一方面,

其中 $|x_{\varepsilon,j}-x_j|<R\varepsilon^\gamma$, $\gamma\geq1$ 为参数.

另一方面, 文献 [3,引理2.2.4] 中详细证明了下述两项的结果, 这里不再展开论述.

和

那么结合 (3.2), (3.3), (3.4) 式, 很明显可以得到 (3.1) 式.

${\bf引理3.2}$ 假设 $p(y)$ 属于 $C^1$ 函数类且 $p(x_1)=p(x_2)=\cdots=p(x_k)\equiv p_0$, 那么存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $C$ 以及充分小的参数 $\delta>0$, 使得

其中 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时有 $x_{\varepsilon, j}\rightarrow x_j$.

${\bf证}$ 为了方便书写, 令

首先将 $R_\varepsilon(\omega_\varepsilon)$ 整理如下

其中

然后对 $R{_\varepsilon}_1(\omega_\varepsilon)$ 进行估计. 在这里, 令 $a(y):=W_{\varepsilon,x}+\omega_\varepsilon$, 进一步有

也就是说

其中

很明显, 对于 $R{_\varepsilon}_1(\omega_\varepsilon)$ 来说, 不同的区域里有不同的估计, 因而在这里需要对其进行分类讨论. 首先将整个 $\mathbb{R}^N$ 空间划分为

和

接着以 $I_1$ 为例进行分析.

在 $Q_1\cap A_1$ 中,

其中 $A_1=\{0<|W_{\varepsilon,x}+\omega_\varepsilon|<\beta\}$.

在 $Q_1\cap A_2$ 中,

其中 $A_2=\{\beta\leq|W_{\varepsilon,x}+\omega_\varepsilon|\leq M\}$.

在 $Q_1\cap A_3$ 中,

其中 $A_3=\{|W_{\varepsilon,x}+\omega_\varepsilon|>M\}$.

在 $Q_2\cap A_1$ 中,

在 $Q_2\cap A_2$ 中,

在 $Q_2\cap A_3$ 中,

接下来在每个区域内对 $|I_1\eta|$ 进行积分, 并将积分过程中的积分区域 $\mathbb{R}^N$ 分为球内和球外两个部分, 以区域 $Q_1\cap A_1$ 为例

其中 $d={\rm min}_{i\neq j}|x_i-x_j|>0$. 在区域 $\bigcup\limits_{j=1}^{k}B_{\frac{d}{2}}(x_{\varepsilon,j})$ 里, 对于 $p(y)-p_0$, 将其拆分为 $p(y)-p(x_{\varepsilon,j})+p(x_{\varepsilon,j})-p_0$, 一方面,

其中, 在 $B_{R}(0)$ 内部, $U_{\varepsilon,x_{\varepsilon,j}}(\varepsilon y+x_{\varepsilon,j})$ 是一个有界量, 在这里需要通过对 $p(\varepsilon y+x_{\varepsilon,j})$ 进行泰勒展开, 来使整个式子变得足够小, 也就是说,

在 $B_{R}(0)$ 外部, 当 $R$ 足够大时, $U_{\varepsilon,x_{\varepsilon,j}}$ 是一个指数衰减的小量, 所以此时不需要通过 $p(\varepsilon y+x_{\varepsilon,j})$ 进行泰勒展开使整个式子变得足够小, 因此 $(p(\varepsilon y+x_{\varepsilon,j})-p(x_{\varepsilon,j}))$ 在这里可以直接放成常数, 即

另一方面,

其中 $\gamma\geq1$ 为参数. 结合上面的计算, 可以看出,

而在 $\mathbb{R}^N\backslash\bigcup\limits_{j=1}^{k}B_{\frac{d}{2}}(x_{\varepsilon,j})$ 时, 直接将 $p(y)-p_0$ 放成常数

综上可以得到

同理, 在区域 $Q_1\cap A_2$ 和 $Q_1\cap A_3$ 中进行估计时, 除了 $W_{\varepsilon,x}$ 的指数有变化之外, 其他地方都和区域 $Q_1\cap A_1$ 的估计完全一样, 所以可以得到

接下来在 $Q_2$ 区域内对 $|I_1\eta|$ 进行积分.

对于任意的 $\xi$, 令 $\tilde{\xi}=\xi(\varepsilon y)$, 由 Sobolev 嵌入定理可知

进一步

同理有

和

结合上述计算可以得到

用同样的方法去计算 $\lvert \int_{\mathbb{R}^N}I_2\eta\rvert$ 可以得到

也就是说

对于 $R{_\varepsilon}_2(\omega_\varepsilon)$, 文献 [3,引理 2.2.5] 已有类似详细的论述, 易知

综上可得到 (3.5) 式.

我们定义一个由 $H^1 (\mathbb{R}^N)$ 到 $E_\varepsilon$ 的映射 $Q_\varepsilon$,

在这里, $b_{\varepsilon,i,j}$ 是满足 $\left\langle Q_\varepsilon u,\frac{\partial U_{\varepsilon,x_{\varepsilon,j}}}{\partial y_i}\right\rangle_\varepsilon=0$ 的常数, 其中\ $j=1,\cdots,k, \ i=1,\cdots,N$. 在文献 [3] 中, 彭双阶, 严树森和曹道民已经证明了以下结论.

${\bf命题3.1}$ 存在和 $\{x_{\varepsilon,j}\}$ 无关的量 $\varepsilon_0, \theta_0>0$, $\rho>0$, 使得对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ 以及 $x_{\varepsilon,j}\in B_{\theta_0}(x_j)$, $Q_\varepsilon L_\varepsilon$ 在 $E_\varepsilon$ 空间里是双射并且满足

也就是说, 线性算子 $Q_\varepsilon L_\varepsilon$ 的逆算子是有界线性算子. 为了求解 (2.1), 进一步考虑

${\bf引理3.3}$ 假设对任意的 $i\neq j$ 都有 $B_{\theta}\left(x_{i}\right) \bigcap B_{\theta}\left(x_{j}\right)=\emptyset$, 其中 $\theta>0$ 足够小, $i,j=1,\cdots,k$. 那么, 存在 $\varepsilon_0>0$ 使得对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$, $x_{\varepsilon,j}\in B_\theta(x_j)$, 都有唯一的 $\omega_\varepsilon\in E_\varepsilon$ 满足 (3.6) 式且

${\bf证}$ 首先将 (3.6) 式改写成如下形式

根据命题 3.1 可以得到

令

其中 $\tau>0$ 是一个固定的常数.

i) $B$ 是一个从 $S$ 到 $S$ 的映射

ii) $B$ 是一个压缩映射

对任意的 $\omega_1$, $\omega_2\in S$, 都有

假设 $\omega_1>\omega_2$, 接下来需要对 $R_\varepsilon(\omega_1)-R_\varepsilon(\omega_2)$ 的范数进行估计, 显然有

其中

且

一方面,

其中 $0<\theta<1$. 将其进一步展开得到

很容易可以看出, (3.8) 式和 $R{_\varepsilon}_1(\omega_\varepsilon)$ 展开后的形式基本上完全一样. 由于思路和前文中完全一样, 因而在这里不再对其进行详细讨论. 由引理 3.2 可知

由于 $X_2$ 是一个比 $X_1$ 还要小的项, 所以很明显有

从而

另一方面, 对于$|R_\varepsilon(\omega_1)-R_\varepsilon(\omega_2)|_2$, 文献 [3,命题 2.2.6]已有类似详细的论述, 易知

综上可以得到

利用压缩映射原理, 进一步可以得到对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$, $x_{\varepsilon,j}\in B_\theta(x_j)$, 都有唯一的 $\omega_\varepsilon\in E_\varepsilon$ 满足 $\omega_\varepsilon=B\omega_\varepsilon.$ 同时还可以得到

显然有 (3.7) 式成立.

引理 3.3 表明了 (3.6) 式是成立的. 进一步可以得出

也就是说, 只要可以证明 $a_{\varepsilon,i,j}=0$, 那么 (2.1) 式就是成立的. 根据 (2.2), (2.3), (2.4) 式显然有

在文献 [3] 中, 下述引理已被详细证明.

${\bf引理4.1}$ 已知 $p(y)$ 属于 $C^1$ 函数类且满足 $1<p(y)<2^*-1$, $0<V_0 \leq V(y)\leq V_1$, 假设 $x_{\varepsilon,j}$ 满足

那么 $a_{\varepsilon,i,j}=0$, $j=1,\cdots,k, i=1,\cdots,N$.

接下来, 我们需要去求解问题 (4.1), 这是一个有限维问题, 需要用度理论的相关知识去求解它, 出于这个目的, 首先要证明 (4.1) 式的左边是连续的.

${\bf命题4.1}$ 对于引理 3.3 中所定义的 $\omega_\varepsilon$, 可以看做是一个从 $B_\theta(x_1)\times \cdots \times B_\theta(x_k)$ 到 $H^1({\mathbb{R}^N})$ 的连续映射.

${\bf证}$ 假设

对任意的 $\eta_n\in E_{\varepsilon,x^{(n)}}$, 都有

令

那么当 $n,m\rightarrow+\infty$ 时有

进一步可得到 $c_{m,i,j}=o(1){\lVert\eta\rVert}_\varepsilon$. 因此, 对于任意的 $\eta\in E_{\varepsilon,x^{(n)}}$ 有

对于项

将其整理为

对于 $F_1$, 显然有

其中 $0<\theta<1$. 同样的, 对于 $F_2$, 当 $p(y)\leq2$ 时,

进一步,

对于 $f_1$,

对于 $f_2$, 存在 $p_1$, $p_2$ 满足 $1<p_1<p(y)<p_2\leq2$ 时有

所以在 $p(y)\leq2$ 时,

同理, 在 $p(y)>2$ 时, 显然可以得到

接下来, 令

当 $n,m\rightarrow+\infty$ 时,

显然可以得到, ${\bar{c}}_{n,m,i,j}=o(1)$.

在 $p(y)\leq2$ 时, 将 (4.3) 式带入 (4.2) 式, 得到对任意的 $\eta\in E_{\varepsilon,x^{(n)}}$

进一步

从而可以得到

显然, 当 $n,m\rightarrow+\infty$ 时, 有 ${\lVert\omega_{m,n}\rVert}_\varepsilon\rightarrow0$. 同理, $p(y)>2$ 时可以得到相同的结论. 进一步, 当 $n,m\rightarrow+\infty$ 时, 有 ${\lVert\omega_{\varepsilon,x^{(n)}}-\omega_{\varepsilon,x^{(m)}}\rVert}_\varepsilon\rightarrow0$. 也就是说, $\omega_{m,n}$ 在 $H^1({\mathbb{R}^N})$ 空间里强收敛到 $\omega$. 由 $\omega_{\varepsilon,x^\infty}$ 的唯一性, 可以得到 $\omega=\omega_{\varepsilon,x^\infty}$.

下面对定理 1.1 进行证明.

${\bf证}$ 在对该定理进行证明时, 需要检查约化中得到的误差项 $\omega_\varepsilon$ 是否可以忽略不计. 也就是说, 需要找到 (4.1) 式左边函数的主项, 即先在 $\omega_\varepsilon=0$ 时对其进行估计, 然后将结果和 $u_\varepsilon=W_{\varepsilon,x}+\omega_\varepsilon$ 得到的估计比较, 进而证明误差项 $\omega_\varepsilon$ 是可以忽略的. 接下来首先需要对函数的主项进行估计, 由文献 [3,定理 2.2.10], 可以得到

且

其中 $\tau$ 是大于 $0$ 的常数. 由于 $1<p_{\rm min}<p(y)<p_{\rm max}<2^*-1$, 从而

结合 (4.4)-(4.6) 式可以得到

对于 $\omega_\varepsilon \in E_\varepsilon$ 有

因而, 接下来需要对以下项进行估计

首先将括号里面的项整理如下

很明显

且

其中 $0<\theta<1$. 所以

对于 $t_1$, 类似的估计在引理 3.2 中已有过完整的讨论, 结合 Hölder 不等式可以得到

对于 $t_2$, 文献 [3,定理 2.2.10] 中已有几乎完全相同的讨论, 易知

进一步可以得到

因此, (4.1) 式等价于

根据假设 deg$(\nabla V, B_\delta(x_j),0)\neq0$, 可以得到 (4.7) 式有解, 也就是说, 能找到一个 $x_{\varepsilon,j}\in B_\delta(x_j)$ 满足 (4.7) 式, 且 $|x_{\varepsilon,j}-x_j|=O(\varepsilon^{{\rm min}(1,p_0-\delta-1)})$, $j=1,\cdots,k$.

${\bf定理4.1}$ 假设 $u_\varepsilon$ 是定理 1.1 找到的满足方程的解, 那么有以下结论成立.

i) $u_\varepsilon$ 有 $k$ 个局部极大值点 $x_{\varepsilon,j}\in\mathbb{R}^N$, 且在 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时有 $x_{\varepsilon,j}\rightarrow x_j$;

ii) 对任意给定的很小的常数 $\tau>0$, 存在一个足够大的常数 $R>0$, 使得

也就是说, $u_\varepsilon$ 有 $k$ 个波峰;

iii) 存在常数 $C>0$ 使得

${\bf证}$ 根据定理 1.1 的相关内容, 易得到 i) 和 iii)是成立的. 下面对结论 ii) 进行证明, 也就是说, 需要证明在 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时有 ${\lVert \omega_\varepsilon\rVert}_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\rightarrow 0$. 出于这个目的, 令 $\tilde{\omega_\varepsilon}(y)=\omega_\varepsilon(\varepsilon y)$, 进一步

对于 $Y_1$,

其中 $p_i=p_0-\delta,\ p_0,\ p_0+\delta$, $1<p_i<2^*-1$ 且 $\delta$ 是很小的正数, $i=1,2,3$.

对于 $Y_2$, 将其整理为

其中 $0<\theta<1$. 综上可以得到

且 ${\lVert\tilde{\omega_\varepsilon}\rVert}_{H^1(\mathbb{R}^N)}=o(1).$ 进一步通过 Moser 迭代可以得到 ${\lVert\tilde{\omega_\varepsilon}\rVert}_{L^\infty(B_1(x_0))}\leq C{\lVert\tilde{\omega_\varepsilon}\rVert}_{L^2(B_2(x_0))}+o(1)=o(1).$