Dirac 方程在量子电动力学和相对论量子力学中有重要应用, 它准确推导出电子的自旋和磁矩, 并预言了反粒子的存在, 且该方程在描述费米子、电子和中微子等自旋为 $\frac{1}{2}$ 的基本粒子的高速运动行为方面具有极高的精度; Dirac 方程在研究束缚态理论中也有重要应用, 例如在正负电子偶素、介子体系、重夸克偶素等由两个费米子所形成的束缚态的求解中, Dirac 方程提供了理论基础; Dirac 方程还可以描述粒子在高度弯曲时空中的行为, 如黑洞附近粒子的运动, 这为研究宇宙中的极端物理现象提供了重要的理论工具. 对于 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3$ 上的 Dirac 方程的研究, 人们首先关注的是如下稳态 Dirac 方程解的存在性和多重性^[1]

其中 $\alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$, $\beta$ 是 Pauli 矩阵, $h$ 是 Planck 常数, $a>0$, $M(x)$ 是对称矩阵值函数. 随后, 量子理论中非自治非线性 Dirac 方程的研究取得了突破, 从而引发了利用变分方法对非自治非线性 Dirac 方程的一系列研究, 获得了丰富的成果, 其中, Ding 等 ^[2]利用变分法研究了具有凹凸非线性项的 Dirac 方程解的存在性, 给出其具有无穷多的周期解.

随着几何与拓扑的发展, Atiyah 和 Singer 给出了紧 spin 流形上整体定义的 Dirac 算子. 设 $(M, g)$ 为具有 spin 结构的紧致无边的黎曼流形, $\Sigma M$ 为 $M$ 上复 spinor 丛, Dirac 算子是一阶椭圆微分算子 $D:C^\infty(M, \Sigma M)\rightarrow C^\infty(M, \Sigma M)$, 局部上可表示为: $Du=\sum^m_{i=1}e_i\cdot\nabla_{e_i}u, $ 其中 $u\in C^{\infty}(M, \Sigma M), $$\{e_i\}^m_{i=1}$ 是切丛 $TM$ 上的局部正交标架, $\nabla$ 是旋量丛 $\Sigma M$ 上诱导的 Levi-Civita 联络. 关于 spin 几何和微分几何的交叉研究, 获得了很多 spin 流形上的 Dirac 算子的性质^[3], 可以更好地理解几何结构和物理现象之间的关系. 关于紧 spin 流形上具有临界非线性 Dirac 方程的研究, 也有丰富的结果, 参考文献 [4-8] 等, 其中 Isobe ^[6] 利用对偶变分方法证明了具有临界指数的方程

存在非平凡解, 其中 $m\geq 4$, $\lambda>0$, $\lambda\not\in{\rm Spec}(D)$. 该方程的非线性项是临界增长的, 这导致了索伯列夫嵌入 $H^{\frac{1}{2}}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 失去紧性, 为了证明 $(PS)_c$ 条件成立, 文中通过指数映射把 spin 流形 $M$ 上的旋量拉回到欧式空间中球面 $S^{m}$ 上的旋量, 再利用球极投影 $\pi: S^{m} \backslash\{N\} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$, 把球面 $S^{m}$ 上的方程 $D_{g_{S^m}} \varphi=\lambda|\varphi|^{2^{*}-2} \varphi$ 的弱解, 与欧式空间 $ \mathbb{R}^{m}$ 上的方程 $D \psi=\lambda|\psi|^{2^{*}-2} \psi $ 的弱解一一对应, 然后利用欧式空间 $ \mathbb{R}^{m}$ 上 $(PS)_c$ 序列对应的能量泛函的分解技巧, 证明当 $c$ 小于能量面 $\frac{1}{2m}(\frac{m}{2})^m\omega_m$ 时, $(PS)_c$ 条件成立. 此证明过程比较繁琐. Maalaoui ^[7] 研究了球面 $S^{m}$ 上临界非线性 Dirac 方程 $ D\psi=|\psi|^{2^*-2}\psi $ 的解的存在性. 文中利用球面具有较好的对称性和群作用, 证明了连续嵌入$H^{\frac{1}{2}}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是紧的. 因此, 只须证明 $(PS)_c$ 序列有界, 就可以用标准的方法证明 $(PS)_c$ 条件成立.

目前关于拟线性 Dirac 方程解的存在性和多解性的研究很少. Pan 和 Bao ^[9] 在欧式空间中的有界区域上, 证明了非临界 $p$-Dirac 方程具有一列不减的正的特征值序列的存在性. Nolder 和 Ryan^[10] 在紧 spin 流形上首次引入了 $p$-Dirac 算子和 $p$-Harmonic 截面, 建立了这些算子的共形协方差, 得到了在球面 $S^N$上 $p$-Dirac 方程和 $p$-Harmonic 方程解的存在性. Nolder ^[11] 给出了形式为 $DA(x, Du) =0$ 的非线性 A-Dirac 方程的解, 其中 $p$-Dirac 算子是 A-Dirac 算子的一个特殊情形.

基于上述的研究结果, 本文研究具有临界指数的凹凸非线性项 $p$-Dirac 方程解的存在性, 但是 Isobe 在文献 [6] 中的球极投影技巧无法使用, 因为利用球极投影把球面 $S^{m}$ 上的 $p$-Dirac 方程拉回到欧式空间 $ \mathbb{R}^{m}$ 上, 这两个方程的形式不一致, 且对应的能量泛函的结构也不一致, 这将导致证明 $(PS)_c$ 条件极其困难. 为了避免这一困难, 本文借鉴 Maalaoui 在文献 [7] 中的方法, 把 $p$-Dirac 方程限制在球面上来研究, 利用球面具有较好的对称性和群作用, 克服临界增长的非线性项带来的失紧性. 此外, 由于空间 $W^{1, p}_G(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 不是一个 Hilbert 空间, 且目前尚不清楚 $p$-Dirac 算子谱的性质, 不能利用谱分解函数空间, 为此, 我们利用可分 Banach 空间上的双正交系理论^[12], 利用变形的喷泉定理^[13,14]获得 $p$-Dirac 方程的多解性.

假设 $(S^{N}, g_{0})$ 是标准球面 $( N\geq 3)$, $D_{p} u=:D({|Du|}^{p-2}Du)$ 是 $p$-Dirac 算子 $(1 < p < N)$. 下面考虑具有凹凸非线性项的 $p$-Dirac 方程

其中 $1<q<p<p^*$, $p^*=\frac{Np}{N-p}.$ 则方程 (1.1) 的弱解是如下能量泛函

的临界点, 其中 ${\rm dvol}_g$ 是 $(S^{N}, g)$ 上的黎曼体积测度, $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是 $\Sigma S^{N}$ 上与度量相容的埃米特内积.

由 Schr$\ddot{\rm o}$dinger-Lichnerowicz 公式可知, 紧 spin 流形上 Dirac 算子 $D$ 和 Laplace-Beltrami 算子 $\triangle$ 的关系为

其中 $S$ 是紧 spin 流形的数量曲率. 因此, 当 $p=2, \xi=0$ 时, 方程 (1.1) 简化为

此方程可以看作是紧 spin 流形上的 Yamabe 方程^[15].

本文的主要结果如下

${\bf定理 1.1}$ 假设 $q\in (1, p)$, 对每一个 $\xi>0, \eta\in \mathbb{R}$, 那么方程 (1.1) 有一列小能量弱解 $\{u_k\}\subset W^{1, p}_{G_{k}}(S^{N}, \Sigma S^{N}), $ 且当 $k\rightarrow\infty$ 时, $I(u_k)\rightarrow 0^-$.

${\bf定理 1.2}$ 假设 $q\in (1, p)$, 对每一个 $\eta>0, \xi\in \mathbb{R}$, 那么方程 (1.1) 有一列大能量弱解 $\{u_k\}\subset W^{1, p}_{G_{k}}(S^{N}, \Sigma S^{N}), $ 且当 $k\rightarrow \infty$ 时, $I(u_k)\rightarrow \infty$.

${\bf定理 1.3}$$\text{(i)}$ 当 $\xi\in \mathbb{R}, \eta\leq 0$ 时, 方程 (1.1) 不存在使$I(u)>0$ 的弱解. 此外, 当 $\eta\rightarrow 0^+$ 时, 有

$\text{(ii)}$ 当 $\eta\in \mathbb{R}, \xi\leq 0$ 时, 方程 (1.1) 不存在使 $I(u)<0$ 的弱解. 此外, 当 $\xi\rightarrow 0^+$ 时, 有

设光滑旋量 $u\in C^\infty(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 的范数定义为

$u$ 关于此范数的完备化空间是 Sobolev 空间 $W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N})$.

下面利用紧李群 $O(N+1)$ 的子群在球面 $S^{N}$ 上的作用, 使连续嵌入 $W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^{*}}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 重新获得紧性.

$S^{N}$ 的等距变换群是正交群 $O(N+1), $ 它是维数为 $\frac{N(N+1)}{2}$ 的紧李群. 定义群 $G: = O(N_1) \times $$O(N_2)\subset O(N+1)$ 在 $S^{N}$ 上的作用为: 对任意的 $(x, y) \in \mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2}, \, g=(g_{1}, g_{2})\in G$ 有

其中 $N_1\geq N_2\geq 2, N_1+N_2=N+1.$ 根据

群作用 $G$ 可以提升到 $S^{N}$ 上. 在文献 [16] 中, 利用这个群作用证明了变号 Yamabe 问题存在无穷多解. 在文献 [17] 中, 把球面 $S^{N}$ 看作是 $R^{N+1}$ 的一个子流形, 旋量丛 $\Sigma S^{N}$ 是 $\Sigma \mathbb{R}^{N+1}$ 的子流形, 从而把等距子群$G = O(N_1) \times O(N_2)$ 的作用提升到 $\Sigma S^{N}$ 上. 空间 $C^\infty(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中的元素在等距子群 $G$ 作用下不变的元素构成的空间记为 $C^\infty_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$, 即

其中 $G$ 中的元素 $g$ 作用于 $S^{N}$, $\widetilde{g}$ 是 $g$ 在 $\Sigma S^{N}$ 上的提升. 为了简便, 我们将用 $g \cdot u$ 代替 $ \widetilde{g}\cdot u$.

类似的, 定义旋量空间 $L^q_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 和 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 分别为

该空间上的范数分别定义为

和

据文献 [18] 可知, 空间 $C^\infty_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 在 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中是稠密的.

下面给出紧嵌入定理

${\bf定理2.1}$ (i) 如果 $N_1>p, $ 那么对任意的实数 $1\leq q\leq p_G^*, $ 嵌入 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是连续的, 当 $1\leq q< p_G^*$ 时, 连续嵌入 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是紧的, 其中$p_G^*=\frac{N_1p}{N_1-p}$;

(ii) 如果 $N_1\leq p, $ 那么对任意的实数 $1\leq q$, $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是连续紧嵌入.

特别地, 对任意的 $p\geq1$, $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是连续紧嵌入, 其中 $p^*=\frac{Np}{N-p}$.

${\bf证}$ 由于 $k=\min_{x\in S^N}\dim O_G^x=\min\{N_1, N_2\}-1, $ 其中 $O_G^x$ 为点 $x$ 在群 $G$ 作用下的轨道, 据 $N_1\geq N_2$ 可得 $k=N_2-1$, 因此 $N-k=N-N_2+1=N_1, $ 从而 $p_G^*=\frac{N_1p}{N_1-p}$. 据文献 [18] 可知: 如果 $N_1>p, $ 那么对任意实数 $1\leq q\leq p_G^*, $ 嵌入 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是连续的; 如果 $N_1\leq p, $ 那么对任意的实数 $1\leq q$, $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$是连续的.

然后, 利用 Arzel$\grave{\rm a}$-Ascoli 定理即可证明连续嵌入 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是紧的.

显然 $p^*=\frac{Np}{N-p}<p_G^*=\frac{N_1p}{N_1-p}, $ 据上述讨论可知: 对任意的 $p\geq1$, $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是连续紧嵌入, 其中 $p^*=\frac{Np}{N-p}.$

能量泛函 $I$ 在 $ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $ 上的限制, 记为$I\mid_{W^{1, p}_{G}}, $ 据对称临界点原理 ^[19]可知 $I\mid_{W^{1, p}_{G}}$ 的临界点也是 $I$ 在 $ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $ 中的临界点. 为了简便, 下文中 $I\mid_{W^{1, p}_{G}}$ 仍记为 $I$.

据定理 2.1, 易知泛函 (1.2) 式 $I\in \mathcal{C}^{1}(E, \mathbb{R}), $ 且对任意的 $\varphi\in W_G^{1, p}(\Sigma S^{N}), $ 泛函 $I$ 在 $u$ 处的 Gateaux 导数为

其中 Re$\, \langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示取埃米特内积的实部, 为了书写方便, 本文中的 Re$\, \langle \cdot, \cdot \rangle, $ 均简记成 $\langle \cdot, \cdot \rangle.$

因此, $p$-Dirac 方程 (1.1) 的弱解是如下泛函

的临界点.

下面给出定理 1.1, 定理 1.2 和定理 1.3 的证明.

下面利用双正交系理论和变形的喷泉定理来证明定理 1.1. 首先引入双正交系理论, 参考文献 [12], 如下

${\bf定义3.1}$ 设 $E$ 是一个 Banach 空间. $E^*$ 是 $E$ 的对偶空间. $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 和 $\{x^*_n\}_{n=1}^\infty$ 分别是 $E$ 和 $E^*$ 中的序列. 如果 $x^*_m(x_n)=\delta_n^m, $ 则称 $(x_n, x^*_n)$ 是双正交系. 如果存在序列$\{x^*_n\}_{n=1}^\infty\subset E^*$ 使得 $(x_n, x^*_n)$ 是双正交系, 则称$\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset E$ 是极小的.

${\bf定义3.2}$ 设 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$是 $E$ 中的极小系, 如果对所有的 $n$, $x^*(x_n)=0$ 蕴含$x^*=0, $ 则称 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 是基本的; 设 $\{x_n^*\}_{n=1}^\infty$ 是 $E^*$ 中的极小系, 如果对所有的 $n$, $x_n^*(x)=0$ 蕴含 $x=0, $ 则称 $\{x_n^*\}_{n=1}^\infty$ 是完全的.

${\bf引理3.1}$ 设 $E$ 是可分的 Banach 空间. 那么 $E$ 有一个基本的极小系, 且它的双正交泛函是完全的.

其次, 给出变形的喷泉定理 ^[13], 如下

${\bf定理3.1}$${\bf 喷泉定理变形 1}$^[13] 设 $C^1$ 泛函 $I_\lambda:E\rightarrow \mathbb{R}$ 为 $I_\lambda(u)=A(u)-\lambda B(u), \lambda\in [1,2]$, 且满足条件

${\bf(A_{1})}$$I_\lambda$ 映有界集为有界集关于 $\lambda$ 一致成立.此外, $I_\lambda(-u)=I_\lambda(u)$;

${\bf(A_{2})}$$B(u)\geq 0$; 在 $E$ 的任意有限维子空间上, 当 $\|u\|\rightarrow \infty$ 时, $B(u)\rightarrow \infty$;

${\bf(A_{3})}$ 存在 $\rho_k>r_k>0$, 使得当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有

那么, 存在 $\lambda_n\rightarrow 1, u(\lambda_n)\in Y_n$ 使得当 $n\rightarrow \infty$ 时,

特别地, 如果对每一个 $k$, $\{u(\lambda_n)\}$ 有收敛的子序列, 那么 $I_1$ 有无穷多的非平凡临界点 $\{u_k\}\in E\backslash \{0\}$ 满足当 $k\rightarrow \infty$ 时, $I_1(u_k)\rightarrow 0^-$.

根据双正交系理论, 由于 $ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是可分的 Banach 空间, 特别地, 取 $\{ e_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $W^{1, p}_{G}$$(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 的 Schauder 基, 据引理 $3.1$ 可得: 存在一个双正交系 $(e_{n}, e_{n}^{*}), $ 其中 $\{ e_{n}\}_{n=1}^\infty \subset W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$, $\{ e_{n}^{*}\}_{n=1}^\infty \subset (W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}))^{*}$ 且 $\|e_{n}\|=1.$ 此外, $\{e_{n}^{*}\}$ 关于 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是完全的双正交泛函, 即

记$ Y_{k} ={\rm span}\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{k} \}, \quad Z_{k} = \overline{{\rm span}\{e_k, e_{k+1}, e_{k+2}, \cdots \}}, $

显然,

设

那么

${\bf引理3.2}$ 设 $1\leq l \leq p^*$, 定义

那么对任意的 $u\in Z_k$, 有

且当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\beta_{n} \rightarrow \infty.$

${\bf证}$ 用反证法. 若 $\beta_{n}$ 有界, 则存在一列 $\{u_{n}\}, $ 使

而$ \|u_{n}\| \leq C. $

因为 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是自反的, 故存在子列, 仍记为$\{u_{n}\}, $ 使

因为 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是紧嵌入于 $L^l_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$, 因此有

由 Mazur 定理知, 若 $u_{n} \rightharpoonup u $ 则必有

其中 $\alpha^{(n)}_{j} \geq 0, \, \sum \limits_{j=n}\limits^{k_{n}}\alpha^{(n)}_{j} =1, \forall n \in N^{+}.$ 因而, 对任意的 $i$ 有

因为 $\{ e^*_{n} \}$ 是完全的, 故 $u=0, $ 但是 $\|u_{n}\|_l = 1, $ 而在$L^l_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中, $u_{n} \rightarrow u$, 故 $\|u\|_l = 1.$ 这与 $u=0$ 矛盾.

${\bf引理3.3}$ 对任意的 $\lambda\in [1,2]$, 当 $k\rightarrow \infty$ 时, 存在 $0<r_k<\rho_k\rightarrow 0$, 使得

${\bf证}$ 据 (3.1) 和 (3.2) 式有

令 $ \beta_{k} = \inf_{u \in Z_{k}} \| u \|, $ 对每一个 $u\in Z_{k}, $ 由于 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 嵌入 $L^{p^*}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是紧的, 因此据引理 3.2, 可得

对足够大的 $k, $ 使得 $\frac{|\eta|}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} \leq \frac{1}{2p}, $ 且令 $\|u\|:=\rho_k<1, $ 据 (3.4) 式和 $p<p^*$ 可得

取 $\rho_k=(\frac{8pC\xi\beta_k^{-q}}{q})^\frac{1}{p-q}$, 当 $k\rightarrow \infty$ 时, $\rho_k\rightarrow 0^+$. 因此对任意的 $u\in Z_k$ 且 $\|u\|=\rho_k$, 可得

这蕴含了对任意的 $\lambda\in [1,2]$, 有

此外, 据 (3.5) 式, 对任意的 $\lambda\in [1,2]$ 和 $u\in Z_k$ 且$\|u\|\leq\rho_k$, 当 $k\rightarrow \infty$ 时, 有

显然,

因此, 当 $k\rightarrow \infty$ 时, 对所有的 $\lambda\in [1,2]$, 有 $d_k(\lambda)\rightarrow 0$.

因为 dim$( Y_{k})=k<\infty, $ 据有限维空间上所有的范数是等价的, 所以存在 $C_1(k), C_2(k)> 0, $ 使得

从而

由于 $p^{*} > p>q$, 因此取充分小的 $r_k>0, $ 当 $u \in Y_{k}, \, \|u\| = r_k<\rho_k$ 时, 有

${\bf证}$$({\bf 定理 1.1})$ 由 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是连续紧嵌入, 易知 $I_\lambda$ 映有界集到有界集关于 $\lambda\in [1,2]$ 是一致的. 显然, 对每一个 $(\lambda, u)\in [1,2]\times W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$, 有 $I_\lambda(-u)=$$I_\lambda(u)$. 即 (A$_1)$ 成立.

对所有的 $u\in W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$, 有 $B(u)\geq 0$, 且根据有限维空间上的范数等价可得: 当 $\|u\|\rightarrow \infty$ 时, $B(u)\rightarrow \infty$. 即 (A$_2)$ 成立.

从引理 3.3 可得, 条件 (A$_3)$ 成立. 因此, 对每一个 $k\in \mathbb{Z}^+$, 存在$\lambda_n\rightarrow 1, u(\lambda_n)\in Y_n$ 使得

上式蕴含了当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有 $I_{\lambda_n}'(u(\lambda_n))\rightarrow 0$. 因此对充分大的 $n$, 据嵌入定理知

其中 $1<q<p<p^*$.

因此, 据 $(3.6)$ 式可知 $\{u(\lambda_n)\}$ 是 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中的有界序列.

由 $\{u(\lambda_n)\}$ 的有界性, 据定理 2.1 知: 存在子序列, 记为 $\{u_{n}\}, $ 使得在 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中 $u_{n}\rightharpoonup u, $ 在$L^r_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中 $u_{n}\rightarrow u, $ 且 $u_{n}\rightarrow u$ 几乎处处于 $S^{N}$ 中, 其中 $1\leq r\leq p^*$.

据 (2.1) 式可得

利用 H$\ddot{\rm o}$lder 不等式得

因此, 据 (3.7)-(3.9) 式可得

然后, 利用不等式[20]可得

当 $p\geq 2$ 时, 有

当 $1<p<2$ 时, 利用 H$\ddot{\rm o}$lder 不等式有

综上, 据 $(3.11)$, $(3.12)$ 式, 当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\|u_{n}-u\| \rightarrow 0$, 那么对每一个 $k\in \mathbb{Z}^+$, $I=I_1$ 具有无穷多的非平凡临界点 $u_k$, 且满足当 $k\rightarrow \infty$ 时, 有$I(u_k)\rightarrow 0^-$.

${\bf定理3.2}$$({\bf 喷泉定理变形 2})$^[13] 设 $C^1$ 泛函$J_\lambda:E\rightarrow \mathbb{R}$ 为 $J_\lambda(u)=A(u)-\lambda B(u), \lambda\in [1,2]$, 且满足条件

${\bf(B_1)}$$J_\lambda$ 映有界集为有界集关于 $\lambda$ 一致成立. 此外, $J_\lambda(-u)=J_\lambda(u)$;

${\bf(B_2)}$$B(u)\geq 0$, 且当 $\|u\|\rightarrow \infty$ 时, $A(u)\rightarrow \infty, B(u)\rightarrow \infty$, 或者 $B(u)\leq0$, 且当 $\|u\|\rightarrow \infty$ 时, $B(u)\rightarrow -\infty$;

${\bf(B_3)}$ 存在 $\rho_k>r_k>0$, 使得

那么

其中 $B_k=\{u\in Y_k:\|u\|\leq \rho_k \}$, $\Gamma_k=\{\gamma\in C(B_k, E):\gamma(-u)=-\gamma(u), \gamma\mid_{\partial B_k}={\rm id}\}$. 且对几乎所有的 $\lambda\in [1,2]$, 存在序列 $\{u_n^k(\lambda)\}$ 使得当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有

设

那么

${\bf引理3.4}$ 存在 $\rho_k>r_k>0$, 使得

${\bf证}$据 $(3.13)$, $(3.14)$ 式有

对每一个 $u\in Z_{k}, $ 由于 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 嵌入 $L^{p^*}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是紧的, 因此据引理 3.2, 可得

对足够大的 $k$, 使得 $C\frac{|\xi|}{q} \beta_{k}^{-q} \leq \frac{1}{2p}$, 那么对每一个 $u\in Z_k$, 且 $\|u\|=r_k>1, $ 据 (3.16) 式和 $p>q$ 可得

取 $r_k=(\frac{\beta_{k}^{p^{*}}p^*}{8p\eta})^\frac{1}{p^*-p}$, 当 $k\rightarrow \infty$ 时, $r_k\rightarrow +\infty$. 因此对任意的 $u\in Z_k$ 且 $\|u\|=r_k$, 可得

这蕴含了对任意的 $\lambda\in [1,2]$, 有

因为 dim$( Y_{k})=k<\infty, $ 据有限维空间上所有的范数是等价的, 所以存在 $C_1(k), C_2(k)> 0, $ 使得

从而

由于 $p^{*} > p>q$, 因此取充分大的 $\|u\| = \rho_k>0, $ 当 $u \in Y_{k}, \, r_k<\rho_k$ 时, 有

${\bf证}$$({\bf 定理 1.2})$ 由 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 是连续紧嵌入, 易知 $J_\lambda$ 映有界集到有界集关于 $\lambda\in [1,2]$ 是一致的. 显然, 对每一个 $(\lambda, u)\in [1,2]\times W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$, 有 $J_\lambda(-u)=$$J_\lambda(u)$. 即 (B$_1)$ 成立.

对所有的 $u\in W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$, 有 $B(u)\geq 0$, 且当$\|u\|\rightarrow \infty$ 时, $A(u)\rightarrow \infty$. 即 (B$_2)$ 成立.

从引理 3.4 可得, 条件 $(B_3)$ 成立.

据定理 3.2 可知: 取 $\lambda_m\in [1,2]$, 满足 $m\rightarrow \infty$ 时, $\lambda_m\rightarrow 1$. 存在序列 $\{u_n^k(\lambda_m)\}$ 使得当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有

由此可知序列 $\{u_n^k(\lambda_m)\}$ 有界. 类似于定理 1.1 的证明, 在 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中, 序列 $\{u_n^k(\lambda_m)\}$ 有收敛的子列, 仍记为 $\{u_n^k(\lambda_m)\}$. 因此对每一个 $m\in \mathbb{Z}^+$, 在 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有 $u_n^k(\lambda_m)\rightarrow u^k(\lambda_m)$. 据 $(3.19)$ 式可知

其中

据定理 3.2 和 $(3.18)$ 式可得

由此可得 $J_{\lambda_m}(u^k(\lambda_m))= c_k(\lambda_m)\in [\overline{b}_k, \overline{c}_k]$.

据 $(3.20)$ 式, 类似于定理 1.1 的证明可得: 在 $W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中, 序列 $\{u^k(\lambda_m)\}$ 有收敛的子列, 记为 $\{u_m^k\}$. 因此在$W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})$ 中当 $m\rightarrow \infty$ 时, 有$u_m^k\rightarrow u^k$. 从而可得

且当 $k\rightarrow \infty$ 时, 有 $\overline{b}_k\rightarrow \infty$. 因此, 方程$ (1.1)$ 具有大能量的无穷多弱解.

${\bf证}$$({\bf 定理 1.3})$$\text{(i)}$ 假设 $u$ 是方程 $ (1.1)$ 的弱解, 满足 $I(u)>0, I'(u)=0$, 那么

其中 $q<p<p^*$.

显然, $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}<0, \frac{1}{q}-\frac{1}{p^*}>0$, 当 $\eta\leq 0$ 时, 对方程 (1.1) 的每一个弱解 $u$, (3.22) 式不成立, 假设不成立.因此方程 (1.1) 不存在使 $I(u)>0$ 的弱解.

此外, 设 $u$ 是方程 (1.1) 的弱解, 满足 $I(u)>0$, 由 (3.22) 式可知: 存在 $C>0$, 使得

由此可推出, 当 $\eta\rightarrow 0^+$ 时,

$\text{(i)}$ 得证;

$\text{(ii)}$ 假设 $u$ 是方程 (1.1) 的弱解, 满足 $I(u)<0, I'(u)=0$, 那么

其中 $q<p<p^*$.

显然, $\frac{1}{p}-\frac{1}{P^*}>0, \frac{1}{p^*}-\frac{1}{q}<0$, 当 $\xi\leq 0$ 时, 对方程(1.1)的每一个弱解 $u$, (3.24) 式不成立假设不成立. 因此方程 (1.1) 不存在使 $I(u)<0$ 的弱解.

此外, 设 $u$ 是方程 (1.1) 的弱解, 满足 $I(u)<0$, 由 (3.24) 式可知: 存在 $C>0$, 使得

由此可推出, 当 $\xi\rightarrow 0^+$ 时,

$\text{(ii)}$ 得证.