数学物理学报, 2025, 45(5): 1671-1697

具有多级适应性休假和修正的 Min$(N,D)$-策略的 Geo/G/1 离散时间排队分析

魏瑛源,1,*, 余玅妙,2

1河西学院数学学院 甘肃张掖 734000

2四川师范大学数学科学学院 成都 610068

Analysis of Geo/G/1 Queue with Multiple Adaptive Vacations and Modified Min$(N, D)$-Policy

Wei Yingyuan,1,*, Yu Miaomiao,2

1School of Mathematics, Hexi University, Gansu Zhangye $734000$

2School of Mathematical Sciences, Sichuan Normal University, Chengdu 610068

通讯作者: * 魏瑛源, E-mail:wyy_70@126.com

收稿日期: 2024-11-1   修回日期: 2025-05-14  

基金资助: 教育部人文社会科学研究规划基金(24YJA630121)
河西学院校长基金创新团队项目(CXTD2022013)

Received: 2024-11-1   Revised: 2025-05-14  

Fund supported: MOE (Ministry of Education in China) Project of Humanities and Social Sciences(24YJA630121)
Faculty Research Grants Awarded by Principal's Funds(CXTD2022013)

作者简介 About authors

余玅妙,E-mail:mmyu75@163.com

摘要

考虑服务员具有多级适应性休假和系统采用修正的 Min$(N, D)$-控制策略的离散时间 Geo/G/1 排队系统, 运用更新过程理论、全概率分解技术和 $z$- 变换工具, 从任意初始状态开始, 研究队长的瞬时性态和平稳性态, 得到了任意时刻 $n^+$ 处队长瞬态分布的 $z$-变换表达式, 然后在队长瞬态分布的基础上, 使用洛必达法则, 通过直接运算得到了队长稳态分布的递推表达式, 同时给出了稳态队长的随机分解结构和附加队长分布的显示表达式, 并得到了不同时刻 $n^-$、$n$、$n^+$ 处和外部观测点处队长稳态分布之间的重要关系. 进一步, 以便于作数值计算的队长稳态分布的递推表达式为基础, 借助于数值算例, 讨论了系统容量的优化设计. 最后, 建立了费用结构模型, 应用更新报酬过程理论获得了系统长期运行下单位时间内所产生的期望费用函数, 并通过数值实例, 确定了使期望费用最小的最优控制策略.

关键词： Geo/G/1 离散时间排队; 修正的 Min$(N, D)$-策略; 多级适应性休假; 队长分布; 系统容量优化设计; 最优控制策略

Abstract

This paper considers a discrete-time Geo/G/1 queueing system in which the server takes multiple adaptive vacations and the system adopts modified Min$(N, D)$-control policy. By using the renewal process theory、total probability decomposition technique and $z$-transform tool, we study the transient and equilibrium properties of the queue length from the beginning of the arbitrary initial state, and obtain the expressions of the $z$-transformation of the transient queue length distribution at arbitrary time epoch $n^+$. Then, the recursive expressions of the steady-state queue length distribution are obtained by using L'Hospital's rule. Meanwhile, both the probability generating function of the stochastic decomposition structure of the steady-state queue length and the explicit expressions of the additional queue length distribution are presented. Additionally, the important relations between the steady-state queue length distributions at different time epochs $n^-$、$n$、$n^+$ and outside observer's are also reported. Furthermore, numerical examples are implemented to discuss the system capacity design based on the recursive formulas of the steady-state queue length distribution for calculating conveniently. Finally, employing the renewal reward theorem, the function of the long-run expected cost per unit time is derived under a given cost structure, and numerical calculation are provided to determine the optimal control policy for minimizing the long-run expected cost rate.

Keywords： discrete-time queue; modified Min$(N, D)$-policy; multiple adaptive vacations; queue length distribution; system capacity optimum design; optimal control policy

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本文引用格式

魏瑛源, 余玅妙. 具有多级适应性休假和修正的 Min$(N,D)$-策略的 Geo/G/1 离散时间排队分析[J]. 数学物理学报, 2025, 45(5): 1671-1697

Wei Yingyuan, Yu Miaomiao. Analysis of Geo/G/1 Queue with Multiple Adaptive Vacations and Modified Min$(N, D)$-Policy[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(5): 1671-1697

1 引言

离散时间排队系统是顺应数字化技术发展趋势而建立起来的一套数学分析模型, 离散时间排队系统理论的不断发展, 不仅丰富和拓展了连续时间排队系统理论, 而且为计算机系统和通信网络的设计优化与性能分析提供了十分有效的数学方法和研究手段, 其精确性和适用性得到了广泛验证. 现有研究成果表明, 离散时间排队系统及其延伸的深入研究, 需要较多的数学工具, 其讨论过程比较复杂和繁琐, 其结果也很冗长和复杂, 更具难度和挑战. 近年来离散时间排队的分析取得了惊人的进展[1-7], 为我们提供了有关离散时间排队的深入研究和广泛应用.

生活在高速发展的社会之中, 人们向现代服务不断提出新的要求, 由此引发了对既满足顾客需求又能保证服务系统经济效益的研究. 为此, 基于现实系统的复杂性和信息时代的快速发展, 根据不同的实际应用背景, 提出并研究了各种具有联合控制策略的排队模型, 不同策略的综合应用显示出了潜在的优势. 在 $N$-策略与 $D$-策略相结合方面, Lee 等[8]提出了二元 Min $(N,D)$-控制策略, 研究了具有 Min $(N,D)$-策略的连续时间 M/G/1 排队系统的一些稳态性能指标, 得到了队长稳态分布的概率母函数和平均稳态队长, 同时考虑了两个成本模型 (一个基于平均工作负载, 另一个基于平均队长), 并将最优 Min$(N, D)$-策略与最优 $N$-策略和最优 $D$-策略进行比较. 自此, 一系列后续研究成果不断涌现. 魏瑛源等[9]对 Min $(N,D)$-策略下的连续时间 M/G/1 排队系统进行了另一个角度的研究, 运用全概率分解技术、更新过程理论和拉普拉斯变换工具, 得到了队长瞬态分布的拉普拉斯变换表达式和队长稳态分布的递推表达式, 而且利用所得到的便于进行数值计算的队长稳态分布的解析表达式, 讨论了系统容量的优化设计. 顾建雄等[10]、刘仁彬等[11]、王荣秀[12]把问题延伸到离散时间刻画的排队系统, 讨论了基于 Min $(N,D)$-策略的 Geo/G/1 排队.

在实际应用中, 由于在休假期间顾客的过度积累会导致系统拥塞, 这不仅使得顾客因长时间等待而不耐烦, 还会降低服务质量和顾客满意度. 此外, 在带有阈值策略的控制排队系统中, 系统在空闲和繁忙之间的频繁切换, 会产生大量的费用成本. 因此, 把休假时间长短和假期中到达的顾客数多少结合起来, 能有效控制队长和等待时间, 解决系统的拥堵问题, 减少不耐烦顾客离开系统造成的损失, 从而提高系统的运行效率和经济效益. 文献 [13-23] 是近年来具有 $N$-策略的休假排队模型的出色研究工作. Divya 等 [13]研究了一个具有不耐烦顾客和 $N$-策略的休假排队系统, 计算了几个系统性能特征; Ayyappan 和 Karpagam [14] 对具有服务器启动故障与修复、多重休假及 $N$-策略的单服务器批量排队系统进行了分析,并推导出了模型的数值结果; 王勋和徐秀丽[15]基于工厂单装配系统的运行机制, 构建并分析了具有 $N$-策略和两种混合休假策略的 M/M/1 排队系统驱动的流体模型; 何亚兴等[16]讨论了具有延迟不间断多重休假和 $N$-策略的排队系统性能指标与优化分析. 唐应辉等[17,18]、蒋书丽和唐应辉 [19]、还有李建军和刘力维[20]把 $N$-策略与服务员休假机制相结合, 分别讨论了基于服务员单重休假、多重休假和多级适应性休假及在 Min$(N,V)$-策略控制下的 M/G/1 排队系统, 通过使用全概率分解方法和拉普拉斯变换工具, 研究了在任意初始状态条件下系统队长的瞬态分布, 并给出了队长瞬态分布关于时间 $t$ 的拉普拉斯变换表达式和队长稳态分布的递推表达式. 兰绍军和唐应辉[21,22]、旷欣宇和唐应辉 [23]将 Min$(N,V)$-策略引入离散时间 Geo/G/1 排队中, 运用全概率分解技术、更新过程理论和 $z$-变换, 得到了队长瞬态分布的 $z$-变换表达式和队长稳态分布的递推表达式, 并讨论了使得系统长期运行下单位时间内所产生的期望费用最小的最优策略. 李丹和唐应辉[24]把双阈值 Min$(N, D)$-策略与服务员的单重休假相结合, 讨论了三元 Min$(N,D,V)$-控制策略下的 M/G/1 排队系统. 此外, 由于经典$D$-策略是根据等待顾客需要的总服务时间来设计的, 但顾客的服务时间在服务完成之前是随机的, 是无法确定的. 考虑到顾客在接受服务之前, 其服务时间长度是未知的这一事实, 使得根据经典 $D$-策略进行系统的设计和运行管理成为很难执行的一项复杂任务. 因此, 王敏等 [25]、罗乐等 [26]、刘琼琳等[27]对经典的 $D$-策略作了改进, 引入服务员对顾客的 "服务工作量" 的概念, 提出 "修正的 Min $(N,D)$-控制策略", 其中的 $D$-策略是根据服务员对等待顾客需要服务的总工作量来设计的, 这在开始服务顾客前是能够确定的, 克服了经典 $D$-策略在实际应用中的局限.

休假排队模型是在处理大量复杂系统的设计和控制问题的实际应用背景中产生的, 随着休假排队理论研究的进展, 所得结果迅速在众多领域取得了卓有成效的应用. 例如, 最优保养策略的拟定和实施、生产过程的经济效益分析、物流与仓储管理、通信网络与数据传输、柔性制造系统的生产调度、异步转换模式中的拥塞问题分析等等. 作为多重休假与单重休假的推广, 多级适应性休假[2]仍以空竭服务规则作为控制休假开始的机制, 而何时终止休假既取决于服务员当前所要从事的辅助工作量的多少, 又适当的受到顾客到达过程的制约, 因此服务员的连续休假次数是不确定的. 多级适应性休假策略体现了在为主队列顾客服务和从事辅助工作之间权衡得失决定整个休假期长度的思想, 为系统的优化设计和运行控制提供了极大的灵活性.

在本文中, 我们所关注的问题与中转仓库的调度策略有关. 物流行业中, 包装好的货物暂时存放在中转站仓库中, 管理者需要安排货运车将货物运往相应的目的地. 由于货物到达的随机性, 一个自然方法是将货物装载过程建模为排队模型. 为了减少运输次数, 降低运输成本, 从中转站出发的一辆货运车装载不止一件货物包裹应该是合情合理的, 同时当仓库中货物的总重量远低于货运车的载重能力时, 将货物装载并运往目的地也是极不合理的. 因此, 如果需要运送的货物包裹不足 $N$ 个, 货运车就在中转站等待, 一旦累积了 $N$ 个货物包裹, 就立即开始装载工作 (对应 $N$-策略). 然而, 仓库中等待装载的货物也会导致库存成本, 货运车不能为了凑齐 $N$ 个货物包裹而等待过长时间, 为此, 即使该中转站累积的货物包裹数少于 $N$ 个, 但货物的总重量大于等于以货运车的装载能力为依据预先设定的总重量 $D$ 时, 也立即开始装车 (对应基于工作量的$D$-策略). 另外, 每当中转站没有货物时, 装卸工人或处于休息或去做其他辅助工作 (对应服务员休假机制).

目前, 对联合策略控制的排队系统开展的研究工作主要集中在连续时间情形. 基于离散时间排队系统更适合于计算机通信网络的建模和性能分析的应用背景, 本文研究服务员具有多级适应性休假和系统采取修正的 Min$(N,D)$-控制策略的 Geo/G/1 离散时间排队系统, 通过瞬态分析和稳态分析, 获得队长瞬态分布的 $z$-变换表达式和队长稳态分布的递推表达式, 并借助具体数值实例, 探讨获得便于进行数值计算的队长稳态分布的递推表达式在系统容量的优化设计中所具有的清晰应用前景, 并且考察了系统的空闲率 $p^+_{_{0}}$ 与稳态平均队长 $E[L^+]$ 关于系统参数的敏感性. 进一步, 通过建立费用结构模型, 讨论了使得系统长期运行下单位时间内的期望费用函数值最小的最优控制策略.

2 模型描述和预备知识

2.1 模型描述

考虑一个 Geo/G/1 离散时间排队系统, 时间轴被分割成间隔时间相等的时隙序列, 表示为 $0, 1, 2, \cdots$. 假设

1) 本文讨论的模型为晚到达延迟进入系统 (LAS-DA), 即顾客到达只能发生在时隙末端 $(n^{-},n)$ 处, $n=0, 1, 2, \cdots$, 顾客被服务的开始时刻及服务完顾客的离去时刻都只能发生在时隙首端 $(n, n^{+})$ 处, $n=1, 2, \cdots$; 也就是说, 在 $(n^{-}, n)$ 处到达的顾客遇到即将空闲的服务台, 被阻隔在服务台之外, 直到当前服务完全结束后才能进入空闲的服务台接受服务, 即顾客在 $(n^{-}, n)$ 处不能直接进入空闲的服务台, 需延迟到 $(n, n^{+})$ 处才能开始接受服务, 任何顾客的服务至少跨越一个完整的时隙 (见图 1).

图 1

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图 1   晚到达延迟进入系统的几个特殊时刻点


2) 顾客相继到达的间隔时间序列 $\{\tau_{_{k}}, k=1, 2, \cdots\}$ 相互独立且均服从参数为 $p$ 的几何分布, 其概率函数为 $P\{\tau=j\}=p(1-p)^{j-1}, j=1, 2, \cdots, 0<p<1$, 即在 $(n^{-}, n)$ 内以概率 $p$ 到达一个顾客, 以概率 $1-p$ 无到达, 并且不同时刻的到达行为是相互独立的.

3) 服务员对每个顾客服务的工作量是指该顾客需要服务员完成的服务项目中所包含的事件数量, 工作量的度量单位可以是计数单位、重量单位等. 例如到达储存钢材的某仓库的一辆卡车, 要求装载 2000 公斤直径为 3cm 的螺纹钢筋, 以及 1000 公斤直径为 2cm 的螺纹钢筋, 那么此时仓库的服务员对这个顾客 (卡车) 服务的工作量就是 3000 公斤. 服务员对第 $k$ 个顾客服务的工作量为 $W_{_{k}}$, 序列 $\{W_{_{k}}, k=1, 2, \cdots\}$ 相互独立且服从同一个一般的离散分布 $P\{W=j\}=w_{_{j}}, j=1, 2, \cdots$.

4) 系统中只有一个服务台, 服务员完成工作量 $W_{_{k}}$ 所需服务时间为 $\chi_{_{k}}$, 即为第 $k$ 个顾客的服务时间, 服务时间序列 $\{\chi_{_{k}}, k=1, 2, \cdots\}$ 相互独立且服从同一个一般的离散分布 $ P\{\chi=j\}=g_{_{j}}, j=1, 2, \cdots$, 其概率母函数为 $G(z)=\sum_{j=1}^\infty g_{_{j}}z^{j}, |z|<1$, 平均服务时间是有限的, 用 $\mu(1 \leqslant \mu< \infty)$ 表示. 顾客被一个接一个地服务, 服从先到先服务的服务规则.

5) 服务员采取空竭服务多级适应性休假机制和系统采取基于顾客数和服务员工作量的修正 Min$(N, D)$-控制策略且服务员休假可中断, 即每当系统变空时, 系统管理者根据当前需要完成的辅助工作量, 要求服务员连续进行 $H$ 次休假, 且 $H$ 是正整数值随机变量, 服从一般的离散分布 $P\{H=j\}=h_j, j=1, 2, \cdots$, 其概率母函数为 $H(z)=\sum_{j=1}^\infty h_{_{j}}z^{j}, |z|<1$; 相继的每次休假时间相互独立且服从一般的离散分布 $P\{V=j\}=v_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots$, 其概率母函数为 $V(z)=\sum_{j=1}^\infty v_{_{j}}z^{j}, |z|<1$, 平均休假时间 $E[V]$ 有限; 另外, 若对某一个自然数 $k$, 在第 $k$ 次休假内, 如果系统中的顾客数达到了事先设置的顾客数阈值 $N$, 或者服务员对到达系统等待服务的所有顾客所需的服务工作量的总和不小于事先设置的工作量阈值 $D$, 无论哪一个先发生, 处于休假期的服务员立即中断休假回到系统中为顾客服务 (在这种情况下, 服务员的实际休假时间长度达不到约定的休假时间长度 $V$); 若在第 $k$ 次休假期间内, 系统中有顾客到达, 但到达的顾客数没有达到 $N$ 个, 且到达的顾客所需的服务工作量的总量小于 $D$, 则服务员在第 $k$ 次休假结束后才回到系统并开始为顾客服务; 若在第 $k$ 次休假期间内, 系统中没有顾客到达, 则服务员继续进行第 $k+1$ 次休假, 如此下去, 直到第 $H$ 次休假. 如果在第 $H$ 次休假内系统中仍无顾客到达, 则结束休假后服务员返回系统进入通常闲期 (空闲但在岗), 直到闲期中有顾客到达就立即为顾客服务. 简单地说, 开始一个新的服务员忙期可分为以下三种情况

(1) 在服务员休假期间开始一个新的服务员忙期 (假期中有顾客到达, 且系统中的顾客数达到了 $N$ 个, 或者到达系统等待服务的顾客的总工作量不小于 $D$);

(2) 在服务员的某一次休假结束后, 开始一个新的服务员忙期 (假期中有顾客到达, 但顾客数没有达到 $N$ 个, 且到达系统等待服务的顾客的总工作量也小于 $D$);

(3)在服务员闲期开始一个新的服务员忙期 (服务员连续 $H$ 次休假中都没有顾客到达).

6) $\tau$、$\chi$、$W$、$H$ 和 $V$ 是相互独立的随机变量.

7) 系统在时刻 $0^+$ 处的顾客数为 $L(0^+)=i(i=0, 1, 2, \cdots)$, 且假设在初始时刻 $n^+=0^+$ 处, 系统不采取修正的 Min$(N, D)$-控制策略, 且服务员也不休假, 即如果在时刻 $0^+$ 处没有顾客, 则服务员待在系统中等待第一个顾客到达后立即开始为其服务; 如果在时刻 $0^+$ 处有顾客, 则服务员立即开始为顾客服务 (此假设更符合实际情况, 且对稳态结果没有影响).

${\bf注 2.1}$ 本文采用 $L(n^-), L(n), L(n^+)$ 分别表示系统在任意时刻 $n^-, n, n^+$ 处的队长; $\rho=p\mu, \bar{p}=1-p; f(z)=\dfrac{pz}{1-\bar{p}z}; S_H=V_1+V_2+\cdots+V_H$; $N$ 和 $D$ 都是预先给定的正整数.

2.2 预备知识

为了方便后面的讨论, 先给出一些定义和引理.

${\bf定义2.1}$ "系统闲期" 是指从系统刚变空闲的时刻起, 直到第一个新顾客到达系统为止的这段时间. 系统闲期长度是到达间隔的剩余时间, 用 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle k}}$ 表示系统的第 $k$ 个闲期长度. 根据到达间隔时间服从参数为 $p$ 的几何分布可知 $P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle k}}=j\}=p(1-p)^{j-1}, j=1, 2, \cdots, k\geq1$.

${\bf定义2.2}$ "服务员非忙期" 是指从系统刚变空的时刻起, 直到服务员结束 (或中断) 休假返回到系统开始为顾客服务的时刻为止的这段时间, 其中包括服务员的实际休假时间和服务员待在系统中没有为顾客服务的时间.

${\bf定义2.3}$ "服务员忙期" 是从服务员开始为顾客服务的时刻起, 直到系统再次变空为止的这段时间.

在该系统中, 服务员忙期开始时系统中可能有若干个顾客, 如果令 $b$ 表示仅由一个顾客开始的服务员忙期长度, 则有如下引理

${\bf引理2.1}$[1] 令 $B(z)=\sum\limits_{j=1}^\infty P\{b=j\}z^{j}, |z|<1$, 则 $B(z)$ 满足方程 $B(z)=G((1-p+pB(z))z)$, 且均值为

${E[b]=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\rho}{p(1-\rho)}, \ & \rho<1,\\ \infty, \ & \rho \geq 1. \end{array} \right.}$

又令 $b^{<i>}$ 表示由 $i$ 个顾客开始的服务员忙期, 由几何分布的无记忆性知, $b^{<i>}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{i}, i=1, 2, \cdots$, 其中 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{i}$ 相互独立且与 $b$ 同分布, 则 $\sum\limits_{j=i}^\infty P\{b^{<i>}=j\}z^j=[B(z)]^i, i=1, 2, \cdots, |z|<1$.

设 $Q_{j}(n^+)=P\{b>n^+, L(n^+)=j\}, j=1, 2, \cdots$ 表示在服务员忙期 $b$ 内时刻 $n^+$ 处队长为 $j$ 的瞬态概率, 其中 $n^+=0^+$ 是忙期 $b$ 的开始时刻, $Q_{1}(0^+)=1, Q_{j}(0^+)=0, j=2, 3, \cdots$.

${\bf引理2.2}$[28] 对于 $|z|<1$, 令 $q^+_{_{\scriptstyle j}}(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty Q_{j}(n^+)z^{n}$ 表示 $Q_{j}(n^+)$ 的概率母函数, 则有

${ \begin{eqnarray*} &&q^+_{_{\scriptstyle 1}}(z)=\dfrac{B(z)[1-G(\bar{p}z)]}{[1-\bar{p}z]G(\bar{p}z)},\\ &&q^+_{_{\scriptstyle j}}(z)=\dfrac{1}{G(\bar{p}z)}\Bigg\{ B(z)\sum_{n=j-1}^\infty z^{n}\sum_{k=n+1}^\infty g_{_{\scriptstyle k}}\binom{n}{j-1}p^{j-1}\bar{p}^{n-j+1} \\ && \hspace{1.2cm}+\sum_{i=1}^{j-1}\dfrac{q^+_{_{\scriptstyle j-i}}(z)}{B^i(z)} \left[B(z)-G(\bar{p}z)-\sum_{m=1}^{i}\sum_{k=m}^\infty \binom{k}{m}g_{_{\scriptstyle k}}z^k(pB(z))^{m}{\bar{p}}^{k-m} \right] \Bigg\}, j=2, 3, \cdots, \end{eqnarray*}}$

其中当 $j<k$ (上标小于下标) 时, $\sum\limits_{i=k}^j=0$ (下面同).

3 时刻 $n^+$ 处队长的瞬态分布与 $z$-变换表达式

令条件概率 $P_{ij}(n^+)=P\{L(n^+)=j|L(0^+)=i\}$ 表示排队系统从任意初始状态$L(0^+)=i$ 开始, 在时刻 $n^+$ 处队长为 $j$ 的瞬态分布, $p^+_{_{ij}}(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty P_{ij}(n^+)z^{n}$ 为 $P_{ij}(n^+)$ 的 $z$-变换, $i, j=0, 1, 2, \cdots$. 下面我们运用一种直接的概率分析法和 $z$-变换工具来讨论队长的瞬态分布, 并给出其 $z$-变换表达式.

${\bf定理3.1}$ 对于 $|z|<1$, 有

$p^+_{_{\scriptstyle 00}}(z)=\dfrac{1}{1-\bar{p}z}\left\{1+\frac{f(z)B(z)[1-V(\bar{p}z)]}{\Delta(z)}\right\}$
$p^+_{_{\scriptstyle i0}}(z)=\dfrac{[B(z)]^i[1-V(\bar{p}z)]}{[1-\bar{p}z]\Delta(z)}, i=1, 2, \cdots,$

其中 $B(z)$ 由引理 $2.1$ 给出, 且 $A_m=\sum\limits_{k=1}^m W_{_{\scriptstyle k}}, W^{(m)}(D)=P\{A_m<D\}, W^{(0)}(D)=1,$

$\begin{aligned} C_{m}(D) & =P\left\{A_{m-1}＜D \leq A_{m}\right\}=W^{(m-1)}(D)-W^{(m)}(D), m=1,2, \cdots, N-1, \\ \Delta(z)= & {[1-V(\bar{p} z)][1-f(z) B(z) H(V(\bar{p} z))] } \\ & -[1-H(V(\bar{p} z))]\left\{\sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m}[p z B(z)]^{m}[\bar{p} z]^{u-m}\right. \\ & +\sum_{m=1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}[p z B(z)]^{m}[\bar{p} z]^{r-m} \\ & \left.+W^{(N-1)}(D) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}[p z B(z)]^{N}[\bar{p} z]^{r-N}\right\}. \end{aligned}$

${\bf证}$ 令 $S_k=\sum\limits_{i=1}^kV_i$ 表示 $k$ 个连续休假时间之和, $l_k=\sum\limits_{i=1}^k\tau_{_{\scriptstyle i}}$ 表示 $k$ 个相继到达间隔时间之和, 且 $S_0=l_0=0$. 时刻 $n^+$ 处队长等于零的充分必要条件是时刻 $n^+$ 落在 "系统闲期" 内. 由于顾客的到达间隔时间服从几何分布, 具有 "无记忆性", 所以服务员忙期的开始时刻和结束时刻都是系统的更新点, 考虑到 $L(0^+)=0$, 利用更新过程理论和全概率分解技术, 有

${ \begin{matrix} &&\hspace{-0.5cm}P_{00}(n^+)=P\{0\leq n^+ <\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle1}} \} +P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1\leq n^+ <\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\}+P\{\widehat{\tau}_{_{1}}+b_1+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq n^+;L(n^+)=0\}\nonumber\\ &&\hspace{0.7cm}=\bar{p}^n+\sum_{t=2}^n P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1=t\}\bar{p}^{n-t}+P\{\widehat{\tau}_{_{1}}+b_1+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq n^+;L(n^+)=0\}, \end{matrix}}$

其中 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle k}}$ 表示从初始状态 $L(0^+)=0$ 出发的第 $k(k\geq 1)$ 个系统闲期, $b_1$ 是第一个 "服务员忙期".

(3.3) 式中的第三项表示 "时刻 $n^+$ 处于第二个系统闲期之后且队长为零" 的概率, 则下一个 "服务员忙期" 开始前又可以分解为如下四种情况进行讨论.

${\bf情况 1}$ 在 $H$ 次休假期间系统中无顾客到达, 则结束休假后服务员返回到系统且待在系统中等待第一个顾客到达后立即开始为其服务, 此时服务员忙期 $b_2$ 是由一个顾客启动的 (见图 2). 图中箭头 $\downarrow$ 的位置表示顾客到达系统的时刻, $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 是在 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}>S_{H}$ 的条件下 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 的剩余时间.

图 2

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图 2   当 $L(0^+)=0$ 时, 情况 1 下系统的运行进程


${\bf情况 2}$ 若对某一个自然数 $k$, 前 $k-1$ 次连续休假期间无顾客到达, 第 $k$ 次休假中恰好到达 $m(1\leq m \le N-1)$ 个顾客, 且此时服务员对系统中这 $m$ 个顾客的服务工作量之和满足 $A_m<D$, 则休假不中断, 服务员结束第 $k$ 次休假后返回到系统并开始为顾客服务, 此时, 服务员忙期 $b^{<m>}$ 是由 $m$ 个顾客引起的 (见图 3), 图中 $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 表示在 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}>S_{k-1}$ 的条件下 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 的剩余时间.

图 3

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图 3   当 $L(0^+)=0$ 时, 情况 2 下系统的运行进程


${\bf情况 3}$ 若对某一个自然数 $k$, 前 $k-1$ 次连续休假中无顾客到达, 第 $k$ 次休假期间一旦到达的 $m(1\leq m \le N-1)$ 个顾客使得服务员对系统中该 $m$ 个顾客的服务工作量之和满足 $A_{m-1}<D\le A_m$, 则在第 $m$ 个顾客到达系统时服务员立即中断休假返回到系统开始为顾客服务, 此时, 第 $k$ 次休假达不到约定的休假时间长度, 服务员忙期 $b^{<m>}$ 从 $m$ 个顾客开始 (见图 4).

图 4

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图 4   当 $L(0^+)=0$ 时, 情况 3 下系统的运行进程


${\bf情况 4}$ 若对某一个自然数 $k$, 前 $k-1$ 次连续休假内无顾客到达, 第 $k$ 次休假期间一旦到达 $N$ 个顾客, 且服务员对前 $N-1$ 个顾客的服务工作量之和满足 $A_{N-1}<D$, 则在第 $N$ 个顾客到达系统时服务员立即中断休假返回到系统开始为顾客服务, 此时, 第 $k$ 次休假达不到约定的休假时间长度, 服务员忙期 $b^{<N>}$ 从 $N$ 个顾客开始 (见图 5).

图 5

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图 5   当 $L(0^+)=0$ 时, 情况 4 下系统的运行进程


于是, (3.3) 式中的第三项为

$\begin{aligned} P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+} ; L\left(n^{+}\right)=0\right\}= & P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+}, \widehat{\tau}_{2}>S_{H} ; L\left(n^{+}\right)=0\right\} \\ & +P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+}, \widehat{\tau}_{2} \leq S_{H} ; L\left(n^{+}\right)=0\right\}, \end{aligned}$

进一步可得 (3.4) 式中的第一项为

$\begin{aligned} & P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+}, \widehat{\tau}_{2}>S_{H} ; L\left(n^{+}\right)=0\right\}=\sum_{k=1}^{\infty} h_{k} P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+S_{k}+\widetilde{\tau}_{2} \leq n^{+}, \widehat{\tau}_{2}>S_{k} ; L\left(n^{+}\right)=0\right\} \\ = & \sum_{k=1}^{\infty} h_{k} \sum_{t=2}^{n-k-1} P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}=t\right\} \sum_{v=k}^{n-t-1} P\left\{S_{k}=v\right\} \bar{p}^{v} \sum_{u=1}^{n-t-v} P\left\{\widetilde{\tau}_{2}=u\right\} P_{10}\left((n-t-v-u)^{+}\right) \end{aligned}, $

其中 $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 是在$\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}>S_{H}$ 的条件下 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 的剩余时间, 且由几何分布的无记忆性知, $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 与 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 同分布.

(3.4) 式中的第二项为

$\begin{aligned} & P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+}, \widehat{\tau}_{2} \leq S_{H} ; L\left(n^{+}\right)=0\right\} \\ = & \sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{m=1}^{N-1} P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+S_{k} \leq n^{+}, S_{k-1}＜\widehat{\tau}_{2} \leq S_{k}, l_{m-1} \leq S_{k}-\widehat{\tau}_{2}＜l_{m}, A_{m}＜D ; L\left(n^{+}\right)=0\right\} \\ & +\sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{m=1}^{N-1} P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+\widehat{\tau}_{2}+l_{m-1} \leq n^{+}, S_{k-1}＜\widehat{\tau}_{2} \leq S_{k}-l_{m-1}, A_{m-1}＜D \leq A_{m} ; L\left(n^{+}\right)=0\right\} \\ & +\sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b_{1}+\widehat{\tau}_{2}+l_{N-1} \leq n^{+}, S_{k-1}＜\widehat{\tau}_{2} \leq S_{k}-l_{N-1}, A_{N-1}＜D ; L\left(n^{+}\right)=0\right\} \end{aligned}$

(3.6) 式中的第一项为

${ \begin{matrix} &&\hspace{0.1cm}\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1+S_k\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_k, l_{m-1}\leq S_k-\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}<l_{m}; L(n^+)=0\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum_{t=2}^{n-k-m+1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1=t\}\sum\limits_{v=k-1}^{n-t-m}P\{S_{k-1}=v\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}\cdot \sum_{u=m}^{n-t-v}P\{V=u\}\binom{u}{m}p^m\bar{p}^{v+u-m}P_{m0}((n-t-v-u)^+), \end{matrix}} $

(3.6) 式中的第二项为

${ \begin{matrix} &&\hspace{0.1cm}\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_m(D)P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{m-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_k-l_{m-1}; L(n^+)=0\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_m(D)P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1+S_{k-1}+\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{m-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}},\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{m-1}\leq V_k; L(n^+)=0\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_m(D)\sum_{t=2}^{n-m-k+1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1=t\}\sum\limits_{v=k-1}^{n-t-m}P\{S_{k-1}=v\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}\cdot\sum_{r=m}^{n-t-v}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{v+r-m}\sum_{u=r}^\infty P\{V=u\}P_{m0}((n-t-v-r)^+), \end{matrix}}$

其中 $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 表示在 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}>S_{k-1}$ 的条件下 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 的剩余时间, 且由几何分布的无记忆性知, $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 与 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 同分布.

(3.6) 式中的第三项为

${ \begin{matrix} &&\hspace{0.1cm}W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{N-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_k-l_{N-1}; L(n^+)=0\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1+S_{k-1}+\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{N-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}},\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{N-1}\leq V_k; L(n^+)=0\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s \sum_{t=2}^{n-N-k+1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b_1=t\}\sum\limits_{v=k-1}^{n-t-N}P\{S_{k-1}=v\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}\cdot\sum_{r=N}^{n-t-v}\binom{r-1}{N-1}p^N\bar{p}^{v+r-N}\sum_{u=r}^\infty P\{V=u\}P_{N0}((n-t-v-r)^+), \end{matrix}} $

将 (3.4)-(3.9) 式代入 (3.3) 式, 并作 $z$-变换得

$\begin{aligned} p_{00}^{+}(z)= & \frac{1+f(z) B(z)}{1-\bar{p} z}+[f(z)]^{2} B(z) H(V(\bar{p} z)) p_{10}^{+}(z) \\ & +\frac{f(z) B(z)[1-H(V(\bar{p} z))]}{1-V(\bar{p} z)}\left\{\sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{u-m} p_{m 0}^{+}(z)\right. \\ & +\sum_{m=1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{r-m} p_{m 0}^{+}(z) \\ & \left.+W^{(N-1)}(D) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}(p z)^{N}(\bar{p} z)^{r-N} p_{N 0}^{+}(z)\right\} \end{aligned}$

当 $L(0^+)=i, i=1, 2, \cdots$ 时, 服务员立即开始为顾客服务. 于是, 同理可得

$\begin{aligned} P_{i 0}\left(n^{+}\right)= & \sum_{t=i}^{n} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \bar{p}^{n-t} \\ & +\sum_{k=1}^{\infty} h_{k} \sum_{t=i}^{n-k-1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k}^{n-t-1} P\left\{S_{k}=v\right\} \bar{p}^{v} \sum_{u=1}^{n-t-v} P\left\{\widetilde{\tau}_{1}=u\right\} P_{10}\left((n-t-v-u)^{+}\right) \\ & +\sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{t=i}^{n-k-m+1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k-1}^{n-t-m} P\left\{S_{k-1}=v\right\} \\ & \cdot \sum_{u=m}^{n-t-v} P\{V=u\}\binom{u}{m} p^{m} \bar{p}^{v+u-m} P_{m 0}\left((n-t-v-u)^{+}\right) \\ & +\sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{m=1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{t=i}^{n-k-m+1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k-1}^{n-t-m} P\left\{S_{k-1}=v\right\} \\ & \cdot \sum_{r=m}^{n-t-v}\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{v+r-m} \sum_{u=r}^{\infty} P\{V=u\} P_{m 0}\left((n-t-v-r)^{+}\right) \\ & +W^{(N-1)}(D) \sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{t=i}^{n-N-k+1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k-1}^{n-t-N} P\left\{S_{k-1}=v\right\} \\ & \cdot \sum_{r=N}^{n-t-v}\binom{r-1}{N-1} p^{N} \bar{p}^{v+r-N} \sum_{u=r}^{\infty} P\{V=u\} P_{N 0}\left((n-t-v-r)^{+}\right) \end{aligned}$

其中 $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}$ 是在 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}>S_{H}$ 的条件下 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}$ 的剩余时间, 且由几何分布的无记忆性知, $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}$ 与 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}$ 同分布.

对 (3.11) 式作 $z$-变换, 得

$\begin{aligned} p_{i 0}^{+}(z)= & \frac{[B(z)]^{i}}{1-\bar{p} z}+f(z)[B(z)]^{i} H(V(\bar{p} z)) p_{10}^{+}(z) \\ & +\frac{[B(z)]^{i}[1-H(V(\bar{p} z))]}{1-V(\bar{p} z)}\left\{\sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{u-m} p_{m 0}^{+}(z)\right. \\ & +\sum_{m=1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{r-m} p_{m 0}^{+}(z) \\ & \left.+W^{(N-1)}(D) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}(p z)^{N}(\bar{p} z)^{r-N} p_{N 0}^{+}(z)\right\}, \end{aligned}$

由 (3.10) 式和 (3.12) 式可得 $p^+_{_{\scriptstyle 00}}(z)$ 和 $p^+_{_{\scriptstyle i0}}(z)$ 之间的关系式:

${ \begin{matrix} p^+_{_{\scriptstyle i0}}(z)=\dfrac{[B(z)]^{i-1}}{f(z)} \left[p^+_{_{\scriptstyle 00}}(z)-\dfrac{1}{1-\bar{p}z}\right], i=1, 2, \cdots. \end{matrix}}$

将 (3.13) 式代入 (3.10) 式整理可得 (3.1) 式, 再将 (3.1) 式代入 (3.13) 式得 (3.2) 式.

${\bf定理3.2}$ 当 $j=1, 2, \cdots, N-1$ 时, 对 $|z|<1$, 有

$p_{0 j}^{+}(z)=f(z)\left\{q_{j}^{+}(z)+\frac{f(z) B(z)[1-V(\bar{p} z)] H(V(\bar{p} z)) q_{j}^{+}(z)+\sigma_{j}(z)+\eta_{j}(z)}{\Delta(z)}\right\},$
$\begin{aligned} p_{i j}^{+}(z)= & \sum_{k=1}^{i}[B(z)]^{k-1} q_{j-i+k}^{+}(z) \\ & +\frac{[B(z)]^{i-1}\left\{f(z) B(z)[1-V(\bar{p} z)] H(V(\bar{p} z)) q_{j}^{+}(z)+\sigma_{j}(z)+\eta_{j}(z)\right\}}{\Delta(z)}, i=1,2, \cdots, \end{aligned}$

其中 $B(z)$ 和 $q^+_{_{\scriptstyle j}}(z)$ 分别由引理 2.1 和引理 2.2 确定, $\Delta(z)$由定理 3.1 给出,

$\begin{aligned} \sigma_{j}(z)= & {[1-H(V(\bar{p} z))]\left\{\sum_{m=1}^{j} W^{(m)}(D) \sum_{k=1}^{m}[B(z)]^{k} q_{j-m+k}^{+}(z) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{u-m}\right.} \\ & +\sum_{m=j+1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{k=m-j+1}^{m}[B(z)]^{k} q_{j-m+k}^{+}(z) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{u-m} \\ & +\sum_{m=1}^{j} C_{m}(D) \sum_{k=1}^{m}[B(z)]^{k} q_{j-m+k}^{+}(z) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{r-m} \\ & +\sum_{m=j+1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{k=m-j+1}^{m}[B(z)]^{k} q_{j-m+k}^{+}(z) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{r-m} \\ & \left.+W^{(N-1)}(D) \sum_{k=N-j+1}^{N}[B(z)]^{k} q_{j-N+k}^{+}(z) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}(p z)^{N}(\bar{p} z)^{r-N}\right\} \\ & \eta_{j}(z)=B(z)[1-H(V(\bar{p} z))] W^{(j)}(D) \sum_{u=j+1}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{k=j}^{u-1}\binom{k}{j}(p z)^{j}(\bar{p} z)^{k-j}. \end{aligned}$

${\bf证}$ 当 $j=1, 2, \cdots, N-1$ 时, $N(n^+)=j$ 当且仅当时刻 $n^+$ 处于服务员忙期中且队长等于 $j$, 或者时刻 $n^+$ 处于服务员非忙期中且队长等于 $j$, 考虑到 $L(0^+)=0$, 有

$\begin{aligned} P_{0 j}\left(n^{+}\right)= & P\left\{\widehat{\tau}_{1} \leq n^{+}＜\widehat{\tau}_{1}+b ; L\left(n^{+}\right)=j\right\}+P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+} ; L\left(n^{+}\right)=j\right\} \\ = & \sum_{t=1}^{n} P\left\{\widehat{\tau}_{1}=t\right\} Q_{j}\left((n-t)^{+}\right)+P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+}, \widehat{\tau}_{2}>S_{H} ; L\left(n^{+}\right)=j\right\} \\ & +P\left\{\widehat{\tau}_{1}+b+\widehat{\tau}_{2} \leq n^{+}, \widehat{\tau}_{2} \leq S_{H} ; L\left(n^{+}\right)=j\right\}, \end{aligned}$

其中 (3.16) 式中的第一项表示 "时刻 $n^+$ 处于服务员忙期 $b$ 内且队长为 $j$" 的概率; (3.16) 式中的第二项表示 "在 $H$ 次休假期间系统中无顾客到达, 时刻 $n^+$ 处于第二个系统闲期 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 之后且队长为 $j$" 的概率; (3.16) 式中的第三项表示 "休假期间有顾客到达系统, 时刻 $n^+$ 处于第二个系统闲期 $\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 之后且队长为 $j$" 的概率.

于是, (3.16) 式中的第二项为

${ \begin{matrix} &&P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq n^+,\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}> S_H;L(n^+)=j\} =\sum\limits_{k=1}^\infty h_kP\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_k+\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq n^+,\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}> S_k;L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=\sum\limits_{k=1}^\infty h_k\sum_{t=2}^{n-k-1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b=t\}\sum\limits_{v=k}^{n-t-1}P\{S_{k}=v\} \sum_{u=1}^{n-t-v} p\bar{p}^{v+u-1}P_{1j}((n-t-v-u)^+), \end{matrix}}$

(3.16) 式中的第三项为

${ \begin{matrix} &&\hspace{0.1cm}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq n^+,\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_H;L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_k\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_k,l_{m-1}\leq S_k-\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}<l_{m}, A_m<D;L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}+\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{m-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_k-l_{m-1},A_{m-1}<D\leq A_m;L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}+\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{N-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_k-l_{N-1},A_{N-1}<D; L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}+\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq n^+<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_k,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}},l_{j-1}\leq n^+-(\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}})<l_{j},A_j<D\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_k\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq S_k,l_{m-1}\leq S_k-\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}<l_{m};L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}+\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_m(D)P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_{k-1}+\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{m-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}},\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{m-1}\leq V_k;L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}+W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_{k-1}+\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{N-1}\leq n^+,S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}},\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}+l_{N-1}\leq V_k;L(n^+)=j\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.1cm}+W^{(j)}(D)\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s P\{\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}\leq n^+-(\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_{k-1})<V_k,\\ && S_{k-1}<\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 2}},l_{j-1}\leq n^+-(\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b+S_{k-1}+\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}})<l_{j}\}\nonumber\\ &&\hspace{-0.3cm}=\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum_{t=2}^{n-k-m+1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b=t\}\sum\limits_{v=k-1}^{n-t-m}P\{S_{k-1}=v\}\nonumber\\ && \cdot \sum_{u=m}^{n-t-v}P\{V=u\}\binom{u}{m}p^m\bar{p}^{v+u-m}P_{mj}((n-t-v-u)^+)\nonumber\\ && +\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_m(D)\sum_{t=2}^{n-m-k+1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b=t\}\sum\limits_{v=k-1}^{n-t-m}P\{S_{k-1}=v\}\nonumber\\ && \cdot\sum_{r=m}^{n-t-v}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{v+r-m}\sum_{u=r}^\infty P\{V=u\}P_{mj}((n-t-v-r)^+)\nonumber\\ && +W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s \sum_{t=2}^{n-N-k+1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b=t\}\sum\limits_{v=k-1}^{n-t-N}P\{S_{k-1}=v\}\nonumber\\ && \cdot\sum_{r=N}^{n-t-v}\binom{r-1}{N-1}p^N\bar{p}^{v+r-N}\sum_{u=r}^\infty P\{V=u\}P_{Nj}((n-t-v-r)^+)\nonumber\\ && +W^{(j)}(D)\sum\limits_{s=1}^\infty h_s\sum\limits_{k=1}^s\sum_{t=2}^{n-k-j+1}P\{\widehat{\tau}_{_{\scriptstyle 1}}+b=t\}\sum\limits_{v=k-1}^{n-t-j}P\{S_{k-1}=v\}\nonumber\\ && \cdot\binom{n-t-v}{j}p^j\bar{p}^{n-t-j}\sum_{u=n-t-v+1}^\infty P\{V=u\}, \end{matrix}}$

其中 ${\tau}_{_{k}}, k\geq 1$ 和 $\widetilde{\tau}_{_{\scriptstyle 2}}$ 在定理 3.1 的证明中给出.

将 (3.17) 式和 (3.18) 式代入 (3.16) 式, 并作 $z$-变换得

$\begin{aligned} p_{0 j}^{+}(z)= & f(z) q_{j}^{+}(z)+[f(z)]^{2} B(z) H(V(\bar{p} z)) p_{1 j}^{+}(z) \\ & +\frac{f(z) B(z)[1-H(V(\bar{p} z))]}{1-V(\bar{p} z)}\left\{\sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{u-m} p_{m j}^{+}(z)\right. \\ & +\sum_{m=1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{r-m} p_{m j}^{+}(z) \\ & +W^{(N-1)}(D) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}(p z)^{N}(\bar{p} z)^{r-N} p_{N j}^{+}(z) \\ & \left.+W^{(j)}(D) \sum_{u=j+1}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{k=j}^{u-1}\binom{k}{j}(p z)^{j}(\bar{p} z)^{k-j}\right\} \end{aligned}$

当 $L(0^+)=i, i=1, 2, \cdots$ 时, 同理可得

$\begin{aligned} P_{i j}\left(n^{+}\right)= & \sum_{k=1}^{i} \sum_{t=k-1}^{n} P\left\{\sum_{m=1}^{k-1} b_{m}=t\right\} Q_{j-i+k}\left((n-t)^{+}\right) \\ = & \sum_{k=1}^{\infty} h_{k} \sum_{t=i}^{n-k-1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k}^{n-t-1} P\left\{S_{k}=v\right\} \sum_{u=1}^{n-t-v} p \bar{p}^{v+u-1} P_{1 j}\left((n-t-v-u)^{+}\right) \\ & +\sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{t=i}^{n-k-m+1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k-1}^{n-t-m} P\left\{S_{k-1}=v\right\} \\ & \cdot \sum_{u=m}^{n-t-v} P\{V=u\}\binom{u}{m} p^{m} \bar{p}^{v+u-m} P_{m j}\left((n-t-v-u)^{+}\right) \\ & +\sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{m=1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{t=i}^{n-k-m+1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k-1}^{n-t-m} P\left\{S_{k-1}=v\right\} \\ & \cdot \sum_{r=m}^{n-t-v}\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{v+r-m} \sum_{u=r}^{\infty} P\{V=u\} P_{m j}\left((n-t-v-r)^{+}\right) \\ + & W^{(N-1)}(D) \sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{t=i}^{n-N-k+1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k-1}^{n-t-N} P\left\{S_{k-1}=v\right\} \\ & \cdot \sum_{r=N}^{n-t-v}\binom{r-1}{N-1} p^{N} \bar{p}^{v+r-N} \sum_{u=r}^{\infty} P\{V=u\} P_{N j}\left((n-t-v-r)^{+}\right) \\ + & W^{(j)}(D) \sum_{s=1}^{\infty} h_{s} \sum_{k=1}^{s} \sum_{t=i}^{n-k-j+1} P\left\{b^{＜i>}=t\right\} \sum_{v=k-1}^{n-t-N} P\left\{S_{k-1}=v\right\} \\ & \cdot\binom{n-t-v}{j} p^{j} \bar{p}^{n-t-j} \sum_{u=n-t-v+1}^{\infty} P\{V=u\}. \end{aligned}$

对 (3.20) 式作 $z$-变换, 得

$\begin{aligned} p_{i j}^{+}(z)= & \sum_{k=1}^{i}[B(z)]^{k-1} q_{j-i+k}^{+}(z)+f(z)[B(z)]^{i} H(V(\bar{p} z)) p_{1 j}^{+}(z) \\ & +\frac{[B(z)]^{i}[1-H(V(\bar{p} z))]}{1-V(\bar{p} z)}\left\{\sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{u-m} p_{m j}^{+}(z)\right. \\ & +\sum_{m=1}^{N-1} C_{m}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}(p z)^{m}(\bar{p} z)^{r-m} p_{m j}^{+}(z) \\ & +W^{(N-1)}(D) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}(p z)^{N}(\bar{p} z)^{r-N} p_{N j}^{+}(z) \\ & \left.+W^{(j)}(D) \sum_{u=j+1}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{k=j}^{u-1}\binom{k}{j}(p z)^{j}(\bar{p} z)^{k-j}\right\} \end{aligned}$

由 (3.19) 式和 (3.21) 式可得 $p^+_{_{0j}}(z)$ 和 $p^+_{_{ij}}(z)$ 之间的关系式

${ \begin{matrix} p^+_{_{ij}}(z)=\sum_{k=1}^{i} [B(z)]^{k-1}q^+_{_{j-i+k}}(z) +\dfrac{[B(z)]^{i-1}}{f(z)}\big\{p^+_{_{0j}}(z)-f(z)q^+_{_{j}}(z)\big\}, i=1, 2, \cdots. \end{matrix} }$

将 (3.22) 式代入 (3.19) 式, 整理可得 (3.14) 式, 再将 (3.14) 式代入 (3.22) 式可得 (3.15) 式.

${\bf定理3.3}$ 当 $j=N, N+1, N+2, \cdots $ 时, 对于 $|z|<1$, 有

$p^+_{_{ 0j}}(z)=f(z)\left\{q^+_{_{ j}}(z)+\dfrac{f(z)B(z)[1-V(\bar{p}z)]H(V(\bar{p}z))q^+_j(z)+\gamma_j(z)}{\Delta(z)}\right\},$
$ p^+_{_{ ij}}(z)=\sum_{k=1}^{i}[B(z)]^{k-1}q^+_{_{ {j-i+k}}}(z)\nonumber+\dfrac{[B(z)]^{i-1}\{f(z)B(z)[1-V(\bar{p}z)]H(V(\bar{p}z))q^+_j(z)+\gamma_j(z)\}}{\Delta(z)}, i=1, 2, \cdots, $

其中 $B(z)$ 和 $q^+_{_{j}}(z)$ 分别由引理 2.1 和引理 2.2 确定, $\Delta(z)$ 由定理 3.1 给出, 且

${ \begin{eqnarray*} &&\hspace{-0.5cm}\gamma_j(z)=[1-H(V(\bar{p}z))]\Bigg\{\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{k=1}^m[B(z)]^kq^+_{j-m+k}(z)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{m}(pz)^m(\bar{p}z)^{u-m}\\ &&\hspace{0.5cm}+\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_m(D)\sum\limits_{k=1}^m[B(z)]^kq^+_{j-m+k}(z)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}(pz)^m(\bar{p}z)^{r-m}\\ &&\hspace{0.5cm}+W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{k=1}^N[B(z)]^kq^+_{j-N+k}(z)\sum\limits_{u=N}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}(pz)^N(\bar{p}z)^{r-N}\Bigg\}. \end{eqnarray*}}$

${\bf证}$ 当 $j=N, N+1, N+2, \cdots$ 时, $N(n^+)=j$ 充要条件是时刻 $n^+$ 位于服务员忙期中且队长等于 $j$, 则类似于定理 3.2 的推证过程, 可得 (3.23) 式和 (3.24) 式.

4 队长的稳态分布

下面以时刻 $n^+$ 处队长的瞬态分布为基础, 运用洛必达法则, 讨论时刻 $n^+$ 处队长的稳态分布. 值得注意的是, 使用嵌入马尔科夫链和补充变量法得到的是队长稳态分布的概率母函数表达式, 通过其概率母函数的反演得到队长稳态分布的表达式是十分困难的.

4.1 时刻 $n^+$ 处队长的稳态分布与随机分解结构

${\bf定理4.1}$ 令 $p^+_{_{j}}=\lim\limits_{n\to \infty}P\{N(n^+)=j\}, j=0, 1, 2, \cdots$ 表示时刻 $n^+$ 处系统中有 $j$ 个顾客的稳态概率, 则对于时刻 $n^+$ 处队长的稳态分布 $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$, 有

(1) 当 $\rho\geq1$ 时, $p^+_{_{j}}=0, j=0, 1, 2, \cdots$, 从而 $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$不构成概率分布.

(2) 当 $\rho<1$ 时, $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$ 存在且构成概率分布, 并满足如下递推表达式

$p^+_{_{0}}=\dfrac{(1-\rho)[1-V(\bar{p})]}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta},$
$p^+_{_{j}}= \dfrac{p(1-\rho)\left\{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))q^+_{_{j}}+[1-H(V(\bar{p}))](\sigma_j+\eta_j)\right\}}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta}, j=1, 2, \cdots, N-1,$
$p^+_{_{j}}=\dfrac{p(1-\rho)\left\{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))q^+_{_{j}}+[1-H(V(\bar{p}))]\gamma_j\right\}}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta},j=N, N+1, N+2, \cdots,$

此时 $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$ 构成概率分布, 其中 $V(\bar{p})=\sum_{k=0}^{\infty} \bar{p}^{k} P\{V=k\}, q_{1}^{+}=\frac{1-G(\bar{p})}{p G(\bar{p})}$,

${ \begin{eqnarray*} &&q^+_{_{j}}=\dfrac{1}{G(\bar{p})}\Bigg\{\sum\limits_{n=j-1}^\infty \sum\limits_{k=n+1}^\infty g_{_{k}}\binom{n}{j-1}p^{j-1}\bar{p}^{n-j+1}\\ &&\hspace{1cm}+\sum\limits_{i=1}^{j-1}q^+_{j-i}(1) \left[1-G(\bar{p})-\sum\limits_{m=1}^{i}\sum\limits_{k=m}^\infty \binom{k}{m}g_{_{k}}p^{m}{\bar{p}}^{k-m} \right] \Bigg\}, j=2, 3, \cdots,\\ &&\Delta=\sum\limits_{m=1}^NW^{(m-1)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m},\\ &&\sigma_j=\sum\limits_{m=1}^jW^{(m-1)}(D)q^+_{_{j-m+1}}\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}, j=1, 2, \cdots, N-1,\\ &&\eta_j=W^{(j)}(D)\sum\limits_{u=j+1}^\infty P\{V=u\}\sum_{k=j}^{u-1}\binom{k}{j}p^j\bar{p}^{k-j}, j=1, 2, \cdots, N-1,\nonumber\\ &&\gamma_j=\sum\limits_{m=1}^NW^{(m-1)}(D)q^+_{_{j-m+1}}\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}, j=N, N+1, \cdots. \end{eqnarray*}}$

${\bf证}$(1) 首先用归纳法证明下面的公式

$\begin{aligned} T(m)= & \sum_{k=1}^{m} \sum_{u=k}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=k}^{u}\binom{r-1}{k-1} p^{k-1} \bar{p}^{r-k}-E[V] \\ & +\sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}(u-r)\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{r-m}=0. \end{aligned}$

当 $m=1$ 时, 得

${ \begin{matrix} T(1)=\sum_{u=1}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=1}^{u}\bar{p}^{r-1}-E[V]+\sum_{u=1}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=1}^{u}(u-r)p\bar{p}^{r-1}=0.\nonumber \end{matrix}}$

假设当 $m=n(n>1)$ 时, $T(n)=0$ 成立. 对于 $m=n+1$, 有

${ \begin{matrix} &&\hspace{-0.2cm}T(n+1) =\sum\limits_{k=1}^{n+1}\sum_{u=k}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=k}^{u}\binom{r-1}{k-1}p^{k-1}\bar{p}^{r-k}-E[V]\nonumber\\ &&\hspace{1.3cm}+\sum_{u=n+1}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=n+1}^{u}(u-r)\binom{r-1}{n}p^{n+1}\bar{p}^{r-n-1}\nonumber\\ &&\hspace{1cm}=\sum_{u=n+2}^\infty P\{V=u\}\binom{u-2}{n}p^{n}\bar{p}^{u-n-1}+\sum_{u=n+2}^\infty P\{V=u\}\sum_{j=1}^{u-n-2}(u-j-n)\binom{j+n-1}{n}p^{n}\bar{p}^{j}\nonumber\\ &&\hspace{1.3cm}-\sum_{u=n+2}^\infty P\{V=u\}\sum_{j=1}^{u-n-1}(u-j-n)\binom{j+n-1}{n}p^{n}\bar{p}^{j}=0. \nonumber \end{matrix}}$

(2) 根据 $z$-变换极限理论 [29]知 $p^+_{_{j}}=\lim\limits_{z\to 1^{-}}(1-z)p^+_{_{ij}}(z)$. 因此, 对于 $p^+_{_{0}}$, 有 $p^+_{_{0}}=\lim\limits_{z\to 1^{-}}(1-z)p^+_{_{i0}}(z)$, 进一步由定理 3.1 可得

${ \begin{matrix} p^+_{_{0}}=\dfrac{1-V(\bar{p})}{p}\lim\limits_{z\to 1^{-}}\dfrac{1-z}{\Delta(z)}.\nonumber \end{matrix}}$

同理, 当 $j=1,2,\cdots,N-1$ 时, 由定理 3.2 可得

${ \begin{matrix} p^+_{_{j}}=[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))q^+_{_{j}}+[1-H(V(\bar{p}))](\sigma_j+\eta_j)\lim\limits_{z\to 1^{-}}\dfrac{1-z}{\Delta(z)}, j=1, 2, \cdots, N-1.\nonumber \end{matrix}}$

类似地, 当 $j=N,N+1,\cdots$ 时, 由定理 3.3 可得

${ \begin{matrix} p^+_{_{j}}=[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))q^+_{_{j}}+[1-H(V(\bar{p}))]\gamma_j\lim\limits_{z\to 1^{-}}\dfrac{1-z}{\Delta(z)}, j=N, N+1, \cdots.\nonumber \end{matrix}}$

由于

$\begin{aligned} \lim _{z \rightarrow 1-} \Delta(z)= & {[1-V(\bar{p})][1-H(V(\bar{p}))] } \\ & -[1-H(V(\bar{p}))]\left\{W^{(N-1)}(D) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1} p^{N} \bar{p}^{r-N}\right. \\ & +\sum_{m=1}^{N-1}\left[W^{(m-1)}(D)-W^{(m)}(D)\right] \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{r-m} \\ & \left.+\sum_{m=1}^{N-1} W^{(m)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\left[\sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{r-m}-\sum_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m} p^{m+1} \bar{p}^{r-m-1}\right]\right\} \\ = & 0. \end{aligned}$

于是当 $z\to 1^{-}$ 时, $\dfrac{1-z}{\Delta(z)}$ 是 $\dfrac{0}{0}$ 型.

另外, 我们注意到

${ \begin{matrix} &&\lim\limits_{z\to 1^{-}}\left[-{\dfrac{{\mathrm{d}}\Delta(z)}{{\mathrm{d}} z}}\right] \\ &=&[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{u=1}^\infty u\bar{p}^uP\{V=u\}+[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))\left(\dfrac{1}{p}+E[b]\right)\nonumber\\ && +E[b][1-H(V(\bar{p}))]\Bigg\{NW^{(N-1)}(D)\sum\limits_{u=N}^{\infty}P\{V=u\}\sum\limits_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}p^N\bar{p}^{r-N}\nonumber\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_{m}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}m\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}\\ &&+\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m}^{\infty}mP\{V=u\}\binom{u}{m}p^m\bar{p}^{u-m}\Bigg\}\nonumber\\ && +[1-H(V(\bar{p}))]\Bigg\{W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{u=N}^{\infty}P\{V=u\}\sum\limits_{r=N}^{u}r\binom{r-1}{N-1}p^N\bar{p}^{r-N}\nonumber\\ && +\!\sum\limits_{m=1}^{N-1}C_{m}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V\!=\!u\}\sum\limits_{r=m}^{u}r\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m} \!+\!\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m}^{\infty}uP\{V\!=\!u\}\binom{u}{m}p^m\bar{p}^{u-m}\Bigg\}\nonumber\\ & =&[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{u=1}^\infty u\bar{p}^uP\{V=u\}+[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))\left(\dfrac{1}{p}+E[b]\right)\nonumber\\ && +E[b][1-H(V(\bar{p}))]\Bigg\{NW^{(N-1)}(D)\sum\limits_{u=N}^{\infty}P\{V=u\}\sum\limits_{r=N}^{u}\binom{r-1}{N-1}p^N\bar{p}^{r-N}\nonumber\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}[W^{(m-1)}(D)-W^{(m)}(D)]\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}m\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}\nonumber\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m}^{\infty}P\{V=u\}m\Bigg[\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}-\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}\Bigg]\Bigg\}\nonumber\\ && +[1-H(V(\bar{p}))]\Bigg\{W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{u=N}^{\infty}P\{V=u\}\sum\limits_{r=N}^{u}r\binom{r-1}{N-1}p^N\bar{p}^{r-N}\nonumber\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}[W^{(m-1)}(D)-W^{(m)}(D)]\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}r\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}\nonumber\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m}^{\infty}uP\{V=u\}\Bigg[\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}-\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}\Bigg]\Bigg\}\nonumber\\ &=&\dfrac{[1-V(\bar{p})][1-H(V(\bar{p}))]}{p}+[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))\left(\dfrac{1}{p}+E[b]\right)\nonumber\\ && +E[b][1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N}W^{(m-1)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}\nonumber\\ && +[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^u(u-r)\binom{r-1}{m-1}p^{m}\bar{p}^{r-m}\nonumber\\ && +[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m+1}^{\infty}P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}(r-u)\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}\nonumber\\ &=&\dfrac{[1-V(\bar{p})][1-H(V(\bar{p}))]}{p}+[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))\left(\dfrac{1}{p}+E[b]\right)+E[b][1-H(V(\bar{p}))]\Delta\nonumber\\ && -[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\Bigg[\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{u=k}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=k}^u\binom{r-1}{k-1}p^{k-1}\bar{p}^{r-k}-E[V]\Bigg]\nonumber\\ && +[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\Bigg[\sum\limits_{k=1}^{m+1}\sum\limits_{u=k}^{\infty}P\{V=u\}\sum\limits_{r=k}^{u}\binom{r-1}{k-1}p^{k-1}\bar{p}^{r-k}-E[V]\Bigg]\nonumber\\ &=&\dfrac{[1-V(\bar{p})][1-H(V(\bar{p}))]}{p}+[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))\left(\dfrac{1}{p}+E[b]\right)+E[b][1-H(V(\bar{p}))]\Delta\nonumber\\ && +[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N-1}W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^u\binom{r-1}{m}p^{m}\bar{p}^{r-m-1}\nonumber\\ &=&\left\{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta\right\}\left(\dfrac{1}{p}+E[b]\right). \end{matrix}}$

由引理 2.1 知, 当 $\rho \geq 1$ 时, $E[b]=\infty$, 那么由 (4.5) 式得 $\lim\limits_{z\to 1^{-}}\left[-{\dfrac{{\mathrm{d}}\Delta(z)}{{\mathrm{d}} z}}\right]=\infty$. 则当 $\rho \geq 1$ 时, 使用 L'Hospital 法则, 经过计算可得 $p^+_{_{j}}=0, j=0, 1, 2, \cdots$.

当 $\rho < 1$ 时, $E[b]=\dfrac{\rho}{p(1-\rho)}$, 此时结合 (4.5) 式, 有

${ \begin{matrix} &&\lim\limits_{z\to 1^{-}}\left[-{\dfrac{{\mathrm{d}}\Delta(z)}{{\mathrm{d}} z}}\right]=\dfrac{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta}{p(1-\rho)},\nonumber \end{matrix}}$

再使用 L'Hospital 法则, 并经过一些代数运算可得 $p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots$ 的表达式 (4.1)-(4.3).

下面证明当 $\rho<1$ 时, $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$ 构成概率分布. 事实上

${ \begin{matrix} &&\sum\limits_{j=0}^\infty p^+_{_{j}}=\dfrac{p(1-\rho)}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta}\Bigg\{\dfrac{1-V(\bar{p})}{p} +[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))\sum\limits_{j=1}^\infty q_{_{j}}^{+}\nonumber\\[2mm] &&\hspace{1.2cm}+[1-H(V(\bar{p}))]\left[\sum\limits_{j=1}^{N-1}\eta_{_{j}}+\sum\limits_{j=1}^{N-1}\sigma_{_{j}}+\sum\limits_{j=N}^\infty\gamma_{_{j}}\right]\Bigg\}=1,\nonumber \end{matrix}}$

其中

$\begin{aligned} \sum_{j=1}^{\infty} q_{j}^{+}= & \frac{1-G(\bar{p})}{p G(\bar{p})}+\sum_{j=2}^{\infty} \frac{1}{G(\bar{p})}\left\{\sum_{n=j-1}^{\infty} \sum_{k=n+1}^{\infty} g_{k}\binom{n}{j-1} p^{j-1} \bar{p}^{n-j+1}\right. \\ & \left.+\sum_{i=1}^{j-1} q_{j-i}^{+}(1)\left[1-G(\bar{p})-\sum_{m=1}^{i} \sum_{k=m}^{\infty}\binom{k}{m} g_{k} p^{m} \bar{p}^{k-m}\right]\right\}=\frac{\rho}{p(1-\rho)}, \\ \sum_{j=1}^{N-1} \eta_{j}= & \sum_{j=1}^{N-1} W^{(j)}(D) \sum_{k=j}^{\infty} \sum_{u=k+1}^{\infty} P\{V=u\}\left[\sum_{r=j}^{k}\binom{r-1}{j-1} p^{j} \bar{p}^{r-j}-\sum_{r=j+1}^{k}\binom{r-1}{j} p^{j+1} \bar{p}^{r-j-1}\right] \\ = & E[V]+\frac{V(\bar{p})-1}{p}-W^{(N)}(D) \sum_{u=N+1}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=N}^{u-1}(u-r)\binom{r-1}{N-1} p^{N} \bar{p}^{r-N} \\ & -\sum_{m=1}^{N}\left[W^{(m-1)}(D)-W^{(m)}(D)\right] \sum_{u=m+1}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u-1}(u-r)\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{r-m} \\ = & E[V]+\frac{V(\bar{p})-1}{p}+W^{(N)}(D)\left[\sum_{k=1}^{N} \sum_{u=k}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=k}^{u}\binom{r-1}{k-1} p^{k-1} \bar{p}^{r-k}-E[V]\right] \\ & +\sum_{m=1}^{N}\left[W^{(m-1)}(D)-W^{(m)}(D)\right]\left[\sum_{k=1}^{m} \sum_{u=k}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=k}^{u}\binom{r-1}{k-1} p^{k-1} \bar{p}^{r-k}-E[V]\right] \\ = & \frac{V(\bar{p})+\Delta-1}{p}, \\ \sum_{j=1}^{N-1} \sigma_{j}+\sum_{j=N}^{\infty} \gamma_{j}= & \sum_{m=1}^{N} W^{(m-1)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{r-m} \sum_{j=m}^{\infty} q_{j-m+1}^{+}=\frac{\rho \Delta}{p(1-\rho)} \end{aligned}$

${\bf推论4.1}$ 令 $\pi^+(z)=\sum\limits_{j=0}^\infty p^+_{_{j}}z^j, |z|<1$ 表示在任意时刻 $n^+$ 处队长稳态分布 $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$ 的概率母函数, $E[L^+]$ 表示在时刻 $n^+$ 处的平均稳态队长, 则对 $\rho<1$, 有

$\begin{aligned} \pi^{+}(z)= & \frac{(1-\rho)(1-z) G(\bar{p}+p z)}{G(\bar{p}+p z)-z} \\ & \cdot \frac{1-V(\bar{p})+[1-H(V(\bar{p}))] \sum_{m=1}^{N-1} z^{m} W^{(m)}(D) \sum_{u=m+1}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m} p^{m+1} \bar{p}^{r-m-1}}{[1-V(\bar{p})] H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))] \Delta} \end{aligned} $
$\begin{aligned} E\left[L^{+}\right]= & \rho+\frac{p^{2}}{2(1-\rho)} E\left[\chi^{2}-\chi\right] \\ & +\frac{[1-H(V(\bar{p}))] \sum_{m=1}^{N-1} m W^{(m)}(D) \sum_{u=m+1}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m} p^{m+1} \bar{p}^{r-m-1}}{[1-V(\bar{p})] H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))] \Delta} \end{aligned}$

其中 $E[\chi^2]=\sum\limits_{j=1}^\infty j^2g_j$, $\Delta$ 由定理 4.1 给出.

${\bf证}$ 利用概率母函数的定义, 并结合定理 4.1, 可得

$\begin{aligned} \pi^{+}(z)= & \frac{p(1-\rho)}{[1-V(\bar{p})] H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))] \Delta}\left\{\frac{1-V(\bar{p})}{p}+[1-V(\bar{p})] H(V(\bar{p})) \sum_{j=1}^{\infty} q_{j}^{+} z^{j}\right. \\ & \left.+[1-H(V(\bar{p}))]\left[\sum_{j=1}^{N-1} \eta_{j} z^{j}+\sum_{j=1}^{N-1} \sigma_{j} z^{j}+\sum_{j=N}^{\infty} \gamma_{j} z^{j}\right]\right\}, \end{aligned}$

其中

$\sum\limits_{j=1}^{\infty} q_{_{j}}^{+}z^j=\dfrac{z[1-G(\bar{p}+pz)]}{p[G(\bar{p}+pz)-z]},$
$\sum\limits_{j=1}^{N-1}\eta_{_{j}}z^j=\dfrac{-1+V(\bar{p})}{p}+\dfrac{1}{p}\sum\limits_{m=1}^Nz^{m-1}W^{(m-1)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m},$
$\sum\limits_{j=1}^{N-1}\sigma_{_{j}}z^j+\sum\limits_{j=N}^\infty\gamma_{_{j}}z^j=\sum\limits_{j=1}^{\infty} q_{_{j}}^{+}z^j\sum\limits_{m=1}^Nz^{m-1}W^{(m-1)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}.$

将 (4.9) 式、(4.10) 式和 (4.11) 式代入 (4.8) 式, 可得 (4.6) 式. 再运用 $E[L^+]=\left.{\left[\dfrac{{\mathrm{d}}\pi^+(z)}{{\mathrm{d}} z}\right]} \right|_{z=1}$, 并使用洛必达法则得到 $(4.7)$ 式.

${\bf推论4.2}$ 本文研究的排队系统在时刻 $n^+$ 处的稳态队长可以分解成独立的两部分之和: 一部分是经典 Geo/G/1 排队系统的稳态队长, 另一部分是由服务员多级适应性休假和修正的 Min(N,D)-策略引起的附加队长, 并且附加队长 $L_d^+$ 具有如下的离散分布

${ \begin{matrix} &&P\{L_d^+=0\}=\dfrac{1-V(\bar{p})}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta},\nonumber\\ &&P\{L_d^+=m\}=\dfrac{[1-H(V(\bar{p}))]W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta}, \nonumber \end{matrix}}$

其中, $m=1, 2, \cdots, N-1.$

${\bf证}$ 本文研究的排队系统在时刻 $n^+$ 处的附加队长的概率母函数为

${ \begin{matrix} \pi_d^+(z)=\dfrac{1-V(\bar{p})+[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N-1}z^mW^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\Delta},\nonumber \end{matrix}}$

则附加队长 $L_d^+$ 的概率分布可直接由$P\{L_d^+=m\}=\dfrac{1}{m!}\left.{\left[{\dfrac{{\mathrm{d^m}}\pi_d^+(z)}{{\mathrm{d}} z^m}} \right]}\right|_{z=0}$ 得到.

一些离散时间排队系统是本文讨论的排队模型的特例, 可以通过选择参数的不同取值直接获得.

${\bf推论4.3}$ 当 $D\rightarrow\infty$ 且 $P\{H=\infty\}=1$ 时, 本文研究的排队系统成为具有多重休假和 Min$(N,V)$-策略控制的 Geo/G/1 离散时间排队系统. 当 $\rho<1$ 时, 有

${\begin{matrix} \pi^+(z)=\dfrac{(1-\rho)(1-z)G(\bar{p}+pz)}{G(\bar{p}+pz)-z} \cdot \dfrac{\sum\limits_{m=0}^{N-1}z^m\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}}{\sum\limits_{m=1}^N\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}}.\nonumber \end{matrix}}$

这与文献 [21] 的相应结果一致.

${\bf推论 4.4}$ 当 $D\rightarrow\infty$ 且 $P\{H=1\}=1$ 时, 本文研究的排队系统成为具有单重休假和 Min$(N,V)$-策略控制的 Geo/G/1 离散时间排队系统. 当 $\rho<1$ 时, 有

${\begin{matrix} \pi^+(z)=\dfrac{(1-\rho)(1-z)G(\bar{p}+pz)}{G(\bar{p}+pz)-z} \cdot \dfrac{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}z^m\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}}{V(\bar{p})+\sum\limits_{m=1}^N\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}}.\nonumber \end{matrix}}$

这与文献 [22] 的相应结果一致.

${\bf推论 4.5}$ 当 $D\rightarrow\infty$ 时, 本文研究的排队系统成为具有多级适应性休假和 Min$(N,V)$-策略控制的 Geo/G/1 离散时间排队系统. 当 $\rho<1$ 时, 有

${\begin{matrix} &&\pi^+(z)=\dfrac{(1-\rho)(1-z)G(\bar{p}+pz)}{G(\bar{p}+pz)-z}\nonumber\\ &&\hspace{1.3cm}\cdot \dfrac{1-V(\bar{p})+[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^{N-1}z^m\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}}{[1-V(\bar{p})]H(V(\bar{p}))+[1-H(V(\bar{p}))]\sum\limits_{m=1}^N\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}}.\nonumber \end{matrix}}$

这与文献 [23] 的相应结果一致.

${\bf推论 4.6}$ 当 $P\{H=1\}=1$ 时, 本文所讨论模型成为具有单重休假和修正的 Min $(N,D)$-策略的 Geo/G/1 离散时间排队系统. 当 $\rho<1$ 时, 有

${\begin{matrix} \pi^+(z)=\dfrac{(1-\rho)(1-z)G(\bar{p}+pz)}{G(\bar{p}+pz)-z} \cdot \dfrac{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}z^mW^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}}{V(\bar{p})+\sum\limits_{m=1}^NW^{(m-1)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}}.\nonumber \end{matrix}}$

${\bf推论 4.6}$ 当 $P\{H=\infty\}=1$ 时, 本文所讨论模型成为具有多重休假和修正的 Min $(N,D)$-策略的 Geo/G/1 离散时间排队系统. 当 $\rho<1$ 时, 有

${\begin{matrix} \pi^+(z)=\dfrac{(1-\rho)(1-z)G(\bar{p}+pz)}{G(\bar{p}+pz)-z} \cdot \dfrac{\sum\limits_{m=0}^{N-1}z^mW^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m+1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m+1}^{u}\binom{r-1}{m}p^{m+1}\bar{p}^{r-m-1}}{\sum\limits_{m=1}^NW^{(m-1)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1}p^m\bar{p}^{r-m}}.\nonumber \end{matrix}}$

4.2 时刻 $n^-$, $n$ 和外部观测点处队长的稳态分布

下面讨论时刻 $n^-$ 和 $n$ 处队长的稳态分布.

令 $P_{ij}(n^-)=P\{N(n^-)=j|N(0^-)=i \}, P_{ij}(n)=P\{N(n)=j|N(0)=i \}$, 且 $p^-_{_{ j}}=\lim\limits_{n\to \infty}P\{N(n^-)$$=j\}, p_{_{j}}=\lim\limits_{n\to \infty}P\{N(n)=j\}$. 假设系统在 $(0^-, 0)$ 内没有顾客到达, 在 $(0, 0^+)$内也没有顾客离去, 即 $P\{N(0^-)=i\}=P\{N(0)=i \}=P\{N(0^+)=i \}$.

${\bf定理4.2}$ 对 $\rho<1$, 有

${ \begin{matrix} p^-_{_{j}}=p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots.\nonumber \end{matrix}}$

${\bf证}$ 对于 LAS-DA 系统, 当 $i, j=0, 1, 2, \cdots, n=1, 2, \cdots$ 时, 由图 2.1 可得

${ \begin{matrix} &&\hspace{-1cm}P_{ij}(n^-)=P\{N(n^-)=j|N(0^-)=i\} =P\{N((n-1)^+)=j|N(0^+)=i\} =P_{ij}((n-1)^+). \end{matrix}}$

对 (4.12) 式求 $n\rightarrow\infty$ 时的极限, 即可得证.

${\bf定理4.3}$ 对 $\rho<1$, 有

${ \begin{matrix} p_{_{0}}=(1-p)p^+_{_{0}}, p_{_{j}}=pp^+_{_{j-1}}+(1-p)p^+_{_{j}}, j=1, 2, \cdots.\nonumber \end{matrix}}$

${\bf证}$ 由 $p_{_{0}}=(1-p)p^-_{_{0}}, p_{_{j}}=pp^-_{_{j-1}}+(1-p)p^-_{_{j}}, j=1, 2, \cdots$, 并结合定理 4.2 易得.

${\bf注 4.1}$ 由定理 4.2 和定理 4.3 表明, 系统在时刻 $n^-$ 和 $n^+$ 处队长有相同的稳态分布, 但与时刻 $n$ 处队长的稳态分布不同. 这是离散时间排队系统和连续时间排队系统之间的一个重要区别.

下面讨论在系统外部观测点处队长的稳态分布 $p^{out}_j$. 外部观察点处队长的分布在研究系统指标方面起着关键的作用. 比如, 要想使用 Little 公式来获得排队系统中的平均等待时间, 则需要外部观察时刻点的平均顾客数. 对于 LAS-DA 系统, 外部观测点落在间隔 $(n^+, (n+1)^-)$ 中间, $n=0, 1, 2, \cdots$. 由于在时刻 $n^+$ 和 $(n+1)^-$ 之间既不发生到达, 也没有服务完成, 故在外部观测点处的系统状态与时刻 $n^+$ 和 $(n+1)^-$处的系统状态完全一样, 所以对 $\rho<1$, 有

${ \begin{matrix} p^{out}_j=p^-_{_{j}}=p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots.\nonumber \end{matrix}}$

5 数值实例

5.1 系统的空闲率 $p^+_{_{0}}$ 与稳态平均队长 $E[L^+]$ 关于系统参数的敏感性

在本节中, 根据定理 4.1 和推论 4.1 得出的重要结论, 通过数值计算实例来分析系统的空闲率 $p^+_{_{0}}$ 与稳态平均队长 $E[L^+]$ 随着交通强度 $\rho$、服务启动临界值 $N$ 和 $D$、休假时间 $V$ 和连续休假次数 $H$ 的变化情况.

${\bf例 5.1}$ 假设服务时间 $\chi$ 服从分布 $P\{\chi=j\}=\dfrac{1}{\mu}\left(1-\dfrac{1}{\mu}\right)^{j-1}, j=1, 2, \cdots$, 服务工作量 $W$ 服从分布 $P\{W=j\}=\theta(1-\theta)^{j-1}, j=1, 2, \cdots$, 休假时间 $V$ 服从分布 $P\{V=j\}=q(1-q)^j, j=0, 1, 2, \cdots$, 服务员连续休假的次数 $H$ 服从分布 $P\{H=j\}=h(1-h)^{j-1}, j=1, 2, \cdots$. 依据 (4.1) 式和 (4.7) 式, 运用 Matlab 软件编程作图, 图 6 和图 7 反映了随着 $\rho$ 的变化, $N$ 取不同值时 $p^+_{_{0}}$ 和 $E[L^+]$ 的变化曲线; 图 8 和图 9 反映了随着 $\rho$ 的变化, $D$ 取不同值时 $p^+_{_{0}}$ 和 $E[L^+]$ 的变化曲线.

图 6

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图 6   $p^+_{_{0}}$ 随 $\rho$ 和 $N$ 的变化情况


图 7

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图 7   $\mathrm{E}[L^+]$ 随 $\rho$ 和 $N$ 的变化情况


图 8

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图 8   $p^+_{_{0}}$ 随 $\rho$ 和 $D$ 的变化情况


图 9

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图 9   $\mathrm{E}[L^+]$ 随 $\rho$ 和 $D$ 的变化情况


由图 6 和图 8 可以看出, $p^+_{_{0}}$ 是关于 $\rho$、$N$、$D$ 的递减函数. 这是由于固定 $N$ (或 $D$) 不变, $\rho$ 越大, 系统越繁忙, 因而系统的空闲率 $p^+_{_{0}}$ 越小; 另外, 固定 $\rho$ 不变, 阈值$N$ (或 $D$) 越大, 服务员忙期开始时的初始顾客数越多, 系统的忙期越长, 从而使得系统的空闲率 $p^+_{_{0}}$ 越小.

由图 7 和图 9 中的曲线表明, $E[L^+]$ 是关于 $\rho$、$N$、$D$ 的递增函数. 这是由于固定 $N$ (或 $D$) 不变, $\rho$ 越大, 使得单位时间内到达系统的顾客越多; 另一方面, 固定 $\rho$ 不变, 阈值 $N$ (或 $D$) 越大, 累积在系统中等待服务的顾客数越多, 从而使得系统的平均队长 $E[L^+]$ 增大.

${\bf例 5.2}$ 假设服务时间 $\chi$、 服务工作量 $W$ 和休假时间$V$分别服从与例 5.1 中完全一样的分布, 服务员连续休假的次数 $H$ 服从分布 $P\{H=J\}=1$. 依据 (4.1) 式和 (4.7) 式, 运用 Matlab 软件编程作图, 图 10 和图 11 反映了随着 $q$ 的变化, $H$ 取不同值时 $p^+_{_{0}}$ 和$E[L^+]$ 的变化曲线.

图 10

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图 10   $p^+_{_{0}}$ 随 $q$ 和 $H$ 的变化情况


图 11

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图 11   $\mathrm{E}[L^+]$ 随 $q$ 和 $H$ 的变化情况


由图 10 可以看出, $p^+_{_{0}}$ 关于 $q$ 是递增的. 另外, 由图 11 可以看出, $E[L^+]$ 关于 $q$ 是递减的. 这是由于 $q$ 越大, 平均休假时间 $E[V]=\dfrac{1-q}{q}$ 越短, 到达系统的顾客被及时服务的机率增大, 因此系统中累积的顾客数减少, 从而使得系统的空闲率 $p^+_{_{0}}$ 增大, 而系统的平均队长 $E[L^+]$ 减小. 同时观察到 $H=5$ 与 $H=\infty$ 的结果很接近, 这更有利于系统的优化设计和运行控制.

5.2 队长稳态分布 $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$ 与系统容量优化设计的数值计算

下面依据定理 4.1 给出的便于作数值计算的队长稳态分布的递推公式, 通过数值计算实例, 定量探讨系统容量的优化设计.

${\bf例 5.3}$ 假设服务时间 $\chi$、服务工作量 $W$、休假时间 $V$ 和服务员连续休假的次数 $H$ 分别服从与例 5.1 中完全一样的分布. 当 $p=0.4, \mu=2, h=0.2, q=0.1, \theta=0.3, N=4, D=20$时, 依据定理 4.1, 运用 Matlab 软件编程计算, 由表 1 给出了队长稳态分布 $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$ 的数值结果. 此外, 根据推论 4.1, 经计算可得平均稳态队长 $E[L^+]=3.5603$.

表1   队长稳态分布 $\{p^+_{_{j}}, j=0, 1, 2, \cdots\}$ 的数值结果

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由表 1 可知, 当 $j$ 大于某一值后, $p^+_{_{j}}$ 已经接近于零了. 根据表1中的数据, (5.1) 式给出了系统中顾客数超过平均稳态队长的概率, 这意味着如果只以平均稳态队长为参考标准来设计系统容量, 到达的顾客由于系统无法容纳而流失的概率将达到 41.9617%, 进一步由 (5.2) 式可得即使以比平均稳态队长大1个单位为参考标准设计, 到达顾客的流失概率也达到了27.9747%, 此时, 顾客的流失概率也是相当大的! 因此, 在设计系统容量时, 不能仅仅以平均稳态队长作为参考依据.

$P\{L^+>E[L^+]\}=1-\sum_{j=0}^{E[L^+]} p^+_{_{j}}=1-\sum_{j=0}^3 p^+_{_{j}}=0.419617,$
$P\{L^+>E[L^+]+1\}=1-\sum_{j=0}^{E[L^+]+1} p^+_{_{j}}=1-\sum_{j=0}^4 p^+_{_{j}}=0.279747.$

为了减少顾客的流失率, 现在来计算合理的系统容量 $M$. 如果要求到达的顾客流失的概率不超过万分之一, 即

${ \begin{eqnarray*} P\{L^+>M\}=1-\sum_{j=0}^M p^+_{_{j}}\le 0.0001. \end{eqnarray*}}$

那么根据表 1 的数据可得 $M\geq 24$, 即可取系统容量 $M=24$. 由此可见, 使用队长稳态分布 (系统中有 $j$ 个顾客的稳态概率) 的递推表达式, 给出更合理的系统容量设计, 从而降低系统的运行成本, 提高系统的经济效益.

6 费用结构模型下的最优控制策略

建立如下费用结构模型

(1) 在一个更新周期内, 系统由于启动等因素产生的固定消耗费用为 $a$ 个单位;

(2) 一个顾客在系统中逗留 (包括等待和服务) 单位时间所需的费用为 $b$ 个单位;

(3) 在服务员忙期内向服务员支付的单位时间服务费为 $c$ 个单位.

${\bf定理6.1}$ 当 $\rho<1$ 时, 系统长期运行下单位时间内所产生的期望总费用函数为

$F(N, D)=\frac{a p(1-\rho)[1-V(\bar{p})]}{[1-H(V(\bar{p}))][V(\bar{p})+\Delta]}+b E\left[L^{+}\right]+c \rho.$

其中 $V(\bar{p})=\sum_{k=0}^{\infty}\bar{p}^kP\{V=k\}$, $\Delta $由定理 4.1 给出, $E[L^+]$ 由推论 4.1 给出.

${\bf证}$令 $Q_b$ 表示服务员忙期开始时系统中的顾客数, 则 $Q_b$ 的概率分布为

${ \begin{matrix} &&P\{Q_b=1\}=\sum\limits_{r=1}^\infty h_r\sum\limits_{k=1}^r\sum\limits_{v=k}^\infty P\{S_{k}=v\}\bar{p}^v\nonumber\\ &&\hspace{2cm}+W(D)\sum\limits_{r=1}^\infty h_r\sum\limits_{k=1}^r\sum\limits_{v=k-1}^\infty P\{S_{k-1}=v\}\bar{p}^v\sum\limits_{u=1}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{1}p\bar{p}^{u-1}\nonumber\\ &&\hspace{2cm}+[1-W(D)]\sum\limits_{r=1}^\infty h_r\sum\limits_{k=1}^r\sum\limits_{v=k-1}^\infty P\{S_{k-1}=v\}\bar{p}^v\sum\limits_{j=1}^\infty\sum\limits_{u=j}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{j}p^j\bar{p}^{u-j}\nonumber\\ &&\hspace{1.7cm}=\dfrac{1-H(V(\bar{p}))}{1-V(\bar{p})}\Bigg[V(\bar{p})+W(D)\sum\limits_{u=1}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{1}p\bar{p}^{u-1}\nonumber\\ &&\hspace{2.1cm}+[1-W(D)]\sum\limits_{u=1}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{j=1}^u\binom{u}{j}p^j\bar{p}^{u-j}\Bigg],\nonumber\\ &&P\{Q_b=m\}=W^{(m)}(D)\sum\limits_{r=1}^\infty h_r\sum\limits_{k=1}^r\sum\limits_{v=k-1}^\infty P\{S_{k-1}=v\}\bar{p}^v\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{m}p^m\bar{p}^{u-m}\nonumber\\ &&\hspace{2.2cm}+C_m(D)\sum\limits_{r=1}^\infty h_r\sum\limits_{k=1}^r\sum\limits_{v=k-1}^\infty P\{S_{k-1}=v\}\bar{p}^v\sum\limits_{j=m}^\infty\sum\limits_{u=j}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{j}p^j\bar{p}^{u-j}\nonumber\\ &&\hspace{1.8cm}=\dfrac{1-H(V(\bar{p}))}{1-V(\bar{p})}\Bigg[W^{(m)}(D)\sum\limits_{u=m}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{m}p^m\bar{p}^{u-m}\nonumber\\ &&\hspace{2.2cm}+C_m(D)\sum\limits_{u=m}^\infty h_rP\{V=u\}\sum\limits_{j=m}^u\binom{u}{j}p^j\bar{p}^{u-j}\Bigg],m=2, 3, \cdots, N-1,\nonumber\\ &&P\{Q_b=N\}=W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{r=1}^\infty h_r\sum\limits_{k=1}^r\sum\limits_{v=k-1}^\infty P\{S_{k-1}=v\}\bar{p}^v\sum\limits_{j=N}^\infty\sum\limits_{u=j}^\infty P\{V=u\}\binom{u}{j}p^j\bar{p}^{u-j}\nonumber\\ &&\hspace{1.8cm}=\dfrac{1-H(V(\bar{p}))}{1-V(\bar{p})}W^{(N-1)}(D)\sum\limits_{u=N}^\infty P\{V=u\}\sum\limits_{j=N}^u\binom{u}{j}p^j\bar{p}^{u-j}.\nonumber \end{matrix}}$

因此, 服务员忙期开始时系统中的平均顾客数 $E[Q_b]$ 为

$\begin{aligned} E\left[Q_{b}\right]= & \sum_{m=1}^{N-1} m P\left\{Q_{b}=m\right\}+N P\left\{Q_{b}=N\right\} \\ = & \frac{1-H(V(\bar{p}))}{1-V(\bar{p})}\left\{V(\bar{p})+\left[\sum_{m=1}^{N-1} m W^{(m)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\binom{u}{m} p^{m} \bar{p}^{u-m}\right.\right. \\ & +\sum_{m=1}^{N-1} m C_{m}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{j=m}^{u}\binom{u}{j} p^{j} \bar{p}^{u-j} \\ & \left.\left.+N W^{(N-1)}(D) \sum_{u=N}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{j=N}^{u}\binom{u}{j} p^{j} \bar{p}^{u-j}\right]\right\} \\ = & \frac{1-H(V(\bar{p}))}{1-V(\bar{p})}\left[V(\bar{p})+\sum_{m=1}^{N} W^{(m-1)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{k=m}^{u}\binom{u}{k} p^{k} \bar{p}^{u-k}\right] \\ = & \frac{1-H(V(\bar{p}))}{1-V(\bar{p})}\left\{V(\bar{p})+\sum_{m=1}^{N} W^{(m-1)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\}\right. \\ & \left.\cdot \sum_{k=m}^{u}\left[\sum_{r=k}^{u}\binom{r-1}{k-1} p^{k} \bar{p}^{r-k}-\sum_{r=k+1}^{u}\binom{r-1}{k} p^{k+1} \bar{p}^{r-k-1}\right]\right\} \\ = & \frac{1-H(V(\bar{p}))}{1-V(\bar{p})}\left[V(\bar{p})+\sum_{m=1}^{N} W^{(m-1)}(D) \sum_{u=m}^{\infty} P\{V=u\} \sum_{r=m}^{u}\binom{r-1}{m-1} p^{m} \bar{p}^{r-m}\right] \\ = & \frac{[1-H(V(\bar{p}))][V(\bar{p})+\Delta]}{1-V(\bar{p})}. \end{aligned}$

设 $C$ 表示系统的一个更新周期的长度, $B$ 表示服务员忙期的长度, $I$ 表示服务员非忙期的长度, $E(C), E(I), E(B)$ 分别表示 $C, B$ 和 $I$ 的平均长度, 则服务员忙期的平均长度为

$E[B]=E[b] E\left[Q_{b}\right]=\frac{\rho[1-H(V(\bar{p}))][V(\bar{p})+\Delta]}{p(1-\rho)[1-V(\bar{p})]}, \rho＜1.$

另外, 由于服务员忙期开始时在系统内的顾客数为上一个 "服务员非忙期" 内到达的顾客数, 且顾客的到达间隔时间服从参数为 $p$ 的几何分布, 因此服务员非忙期的平均长度为

${ \begin{eqnarray*} E[I]=\dfrac{E[Q_b]}{p}=\dfrac{[1-H(V(\bar{p}))][V(\bar{p})+\Delta]}{p[1-V(\bar{p})]}, \rho<1. \end{eqnarray*}}$

服务员忙期和服务员非忙期形成了系统的一个更新周期, 则系统的一个更新周期的平均长度为

${ \begin{matrix} E[C]=E(I)+E(B)=\dfrac{[1-H(V(\bar{p}))][V(\bar{p})+\Delta]}{p(1-\rho)[1-V(\bar{p})]}, \rho<1. \end{matrix}}$

于是由更新报酬过程理论知, 系统长期运行下单位时间内所产生的期望总费用为

${ \begin{matrix} F(N,D)=\dfrac{\mbox{一个更新周期内的期望费用}}{\mbox{一个更新周期的平均长度}}=\dfrac{a}{E[C]}+bE[L^+]+\dfrac{cE[B]}{E[C]}. \end{matrix}}$

将 (6.2) 式和 (6.3) 式代入 (6.4) 式, 可得 (6.1) 式.

${\bf例 6.1}$ 假设服务时间 $\chi$、服务工作量 $W$、休假时间 $V$ 和服务员连续休假的次数 $H$ 分别服从与例 5.1 中完全一样的分布. 于是由 (6.1) 式进一步可得 $F(N, D)$ 的表达式为

$\begin{aligned} F(N, D)= & \frac{a(1-p \mu)}{\frac{1-q}{p+h q-p q}\left\{\frac{q}{p(1-q)}+\sum_{m=1}^{N}\left[\frac{p \theta(1-q)}{p+q-p q}\right]^{m-1} \sum_{k=m-1}^{D-1}\binom{k-1}{m-2}(1-\theta)^{k-m+1}\right\}} \\ & +b\left\{\frac{p \mu(1-p)}{1-p \mu}+\frac{\sum_{m=1}^{N-1} m\left[\frac{p \theta(1-q)}{p+q-p q}\right]^{m} \sum_{k=m}^{D-1}\binom{k-1}{m-1}(1-\theta)^{k-m}}{\frac{h q}{p(1-q)}+\sum_{m=1}^{N}\left[\frac{p \theta(1-q)}{p+q-p q}\right]^{m-1} \sum_{k=m-1}^{D-1}\binom{k-1}{m-2}(1-\theta)^{k-m+1}}\right\}+c p \mu. \end{aligned}$

由上式可知, $F(N, D)$ 是关于决策变量 $N$ 和 $D$ 的非线性函数, 直接通过函数解析式求得最优解是非常困难的. 下面借助于 Matlab 软件编程, 运用数值解法, 寻求使得系统长期运行下单位时间内所产生的成本费用均值达到最小值的最优控制策略 $(N^*, D^*)$. 由表 2 给出了当 $p=0.3, \mu=2, h=0.2, q=0.1, \theta=0.3, a=100, b=1, c=2$ 时的数值计算结果. 我们的思路是先固定 $N$ 的取值, 然后计算并找出在固定 $N$ 值下达到最小值 $F(N, D^*_N)$ 的 $D^*_N$, 最后再比较不同 $N$ 值下 $F(N, D^*_N)$ 的大小, 确定出最优策略 $(N^*, D^*)$.

表2   不同 $N$ 值下 $F(N, D^*_N)$ 的数值结果

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表 2 中数据表明, 随着 $N$的增大, $F(N, D^*_N)$ 的值先逐渐减小, 达到最小值后接着逐渐增大, 增大到某个值后就一直保持不变了 (见图 12). 同时可知, 期望费用的最小值为 $F(5, 42)=7.5112$, 最优控制策略为 $(N^*, D^*)=(5,42)$. 于是, 当系统中顾客数达到 5 个或者到达系统等待服务的顾客所需服务的总工作量不小于 42 时, 无论哪一个先发生, 处于休假的服务员立即中断休假回到系统开始为顾客服务.

图 12

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图 12   $F(N,D)$ 随 $N$ 和 $D$ 的变化情况


${\bf例 6.2}$ 假设服务时间 $\chi$、服务工作量 $W$ 和休假时间 $V$ 分别服从与例 5.1 中完全一样的分布, 服务员连续休假的次数 $H$ 服从分布 $P\{H=J\}=1$. 于是由 (6.1) 式可得 $F(N, D, J)$ 的表达式为

$\begin{array}{c} \quad F(N, D, J)=\frac{a p(1-p \mu)}{\left[1-\left(\frac{q}{p+q-p q}\right)^{J}\right]\left\{\frac{q}{p(1-q)}+\sum_{m=1}^{N}\left[\frac{p \theta(1-q)}{p+q-p q}\right]^{m-1} \sum_{k=m-1}^{D-1}\binom{k-1}{m-2}(1-\theta)^{k-m+1}\right\}}+c p \mu \\ +b\left\{\frac{\left[1-\left(\frac{q}{p+q-p q}\right)^{J}\right] \sum_{m=1}^{N-1} m\left[\frac{p \theta(1-q)}{p+q-p q}\right]^{m} \sum_{k=m}^{D-1}\binom{k-1}{m-1}(1-\theta)^{k-m}}{\frac{p \mu(1-p)}{1-p \mu}+\frac{q}{\left(\frac{q}{p+q-p q}\right)^{J}+\left[1-\left(\frac{q}{p+q-p q}\right)^{J}\right] \sum_{m=1}^{N}\left[\frac{p \theta(1-q)}{p+q-p q}\right]^{m-1} \sum_{k=m-1}^{D-1}\binom{k-1}{m-2}(1-\theta)^{k-m+1}}}\right\}. \end{array}$

由上式可知, 如果服务员连续休假 $J$ 次, 即 $P\{H=J\}=1$, 当 $\rho<1$ 时, 系统长期运行下单位时间内所产生的期望总费用函数 $F(N, D, J)$ 是关于决策变量 $N$、$D$ 和 $J$ 的非线性函数, 仍然运用 Matlab 软件编程, 通过数值算例, 探讨系统长期运行下单位时间内所产生的的成本费用均值最小的最优控制策略 $(N^*, D^*, J^*)$. 由表 3 给出了当 $p=0.3, \mu=2, q=0.1, \theta=0.3, a=100, b=1, c=2$ 时的数值计算结果. 我们的思路是先固定 $N$ 的取值, 然后计算并找出在固定 $N$ 值下使得 $F(N, D, J)$ 达到最小值 $F(N, D^*_N, J^*_N)$ 的 $(D^*_N, J^*_N)$, 最后再比较不同 $N$ 值下 $F(N, D^*_N, J^*_N)$ 的大小, 确定出最优策略 $(N^*, D^*,, J^*_N)$.

表3   不同 $N$ 值下 $F(N, D^*_N, J^*_N)$ 的数值结果

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表 3 中数据可知, 随着 $N$ 的取值不断增大, $F(N, D^*_N, J^*_N)$ 的值呈现出先逐渐减小, 达到最小值后接着逐渐增大的趋势, 并且增大到某个值后就保持不变了. 此时, 期望费用的最小值为 $F(5, 41, 10)=7.2766$, 最优控制策略为 $(N^*, D^*, J^*_N)=(5, 41, 10)$. 也就是说, 当服务员至少连续休假 10 次时, 若系统中顾客数达到 5 个或者到达系统等待服务的顾客所需服务的总工作量不小于 41 时, 无论哪一个先发生, 正在休假的服务员立即中断休假回到系统开始为顾客服务.

7 结论

本文以获得系统队长概率分布的具体表达式为重点内容展开研究, 从任意初始状态出发, 得到时刻 $n^+$ 处队长瞬态分布的 $z$-变换表达式 (不需要首先假定系统处于平稳状态) 和稳态分布 (系统中有 $j$ 个顾客的稳态概率) 的递推表达式 (在一般情况下, 通过队长稳态分布的概率母函数表达式反演求出队长稳态分布的表达式是相当困难的, 有时实际上是不可能的) 及稳态平均队长, 同时获得不同时刻 $n^-$、$n$、$n^+$ 和外部观测点处队长稳态分布之间的重要关系. 进一步, 以便于进行数值计算的队长稳态分布的解析表达式和稳态平均队长为基础, 借助数值实例, 考察了系统的空闲率 $p^+_{_{0}}$ 与稳态平均队长 $E[L^+]$ 关于系统参数的敏感性, 并且讨论了系统容量的优化设计. 最后, 获得了系统长期运行下单位时间内所产生的期望费用的显示表达式, 并通过数值算例, 探讨使期望费用最小的最优控制策略. 本文的研究丰富和拓展了排队系统的性能分析理论, 为系统的设计和运行管理提供更具说服力的决策依据.

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DOI:10.20142/j.cnki.amas.202401022     

The research on customer strategy behavior in queueing system combined with game theory is a hot topic in the current queueing theory. This paper studies the strategic behavior of risk-sensitive customers in discrete-time queueing systems. Different from the classical economics of queues, the utility function in this paper is an expectation-variance quadratic utility function. Based on the Nash equilibrium and Markov process theory, we study the game behavior of <i>Geo</i>/<i>Geo</i>/1 queueing system with risk-sentitive customers under fully observable case and fully unobservable case, respectively. The individual optimal joining strategy, the joining strategy for the social net welfare and the server’s profit optimization are obtained. It is found that the smaller the risk sensitivity coefficient is, the more customers like to take risks and the stronger the willingness to join the system. Some numerical experiments are provided to illustrate the effect of the risk sensitivity coefficient on the customer strategic behavior.

Cao C, Liu Z M, Gao S, Wu Y F.

Strategies research on the discrete-time queueing system with risk-sensitive customers

Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2024, 47(2): 284-311

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The research on customer strategy behavior in queueing system combined with game theory is a hot topic in the current queueing theory. This paper studies the strategic behavior of risk-sensitive customers in discrete-time queueing systems. Different from the classical economics of queues, the utility function in this paper is an expectation-variance quadratic utility function. Based on the Nash equilibrium and Markov process theory, we study the game behavior of <i>Geo</i>/<i>Geo</i>/1 queueing system with risk-sentitive customers under fully observable case and fully unobservable case, respectively. The individual optimal joining strategy, the joining strategy for the social net welfare and the server’s profit optimization are obtained. It is found that the smaller the risk sensitivity coefficient is, the more customers like to take risks and the stronger the willingness to join the system. Some numerical experiments are provided to illustrate the effect of the risk sensitivity coefficient on the customer strategic behavior.

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考虑基于 Min $(N, D)$-策略的M/G/1排队系统, 运用全概率分解技术和拉普拉斯变换工具, 获得了队长瞬态分布的拉普拉斯变换的递推表达式和稳态队长分布的递推表达式, 进一步通过数值实例, 讨论了稳态队长分布对系统参数的敏感性, 并阐述了稳态队长分布的表达式在系统容量优化设计中的重要价值. 最后, 建立了费用模型, 对最优 Min $(N, D)$-策略与单一的最优$N$-策略和单一的最优$D$-策略进行了比较分析.

Wei Y Y, Tang Y H, Yu M M.

Queue length distribution and optimum policy for M/G/1 queueing system under Min$(N, D)$-policy

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考虑基于 Min $(N, D)$-策略的M/G/1排队系统, 运用全概率分解技术和拉普拉斯变换工具, 获得了队长瞬态分布的拉普拉斯变换的递推表达式和稳态队长分布的递推表达式, 进一步通过数值实例, 讨论了稳态队长分布对系统参数的敏感性, 并阐述了稳态队长分布的表达式在系统容量优化设计中的重要价值. 最后, 建立了费用模型, 对最优 Min $(N, D)$-策略与单一的最优$N$-策略和单一的最优$D$-策略进行了比较分析.

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研究了具有多级适应性休假和${\rm Min}(N,V)$-策略控制的$M/G/1$排队系统, 运用全概率分解技术和拉普拉斯(L)变换工具, 研究了从任意时刻出发队长的瞬态分布, 得到了队长瞬态分布的拉普拉斯变换的表达式和稳态队长分布的递推表达式, 同时求出了稳态队长分布的概率母函数和平均队长的表达式. 进一步, 在一些特殊情况下, 例如当休假次数服从几何分布或休假次数为固定正整数值$M$时, 我们获得了相应稳态队长分布更简洁的显示表达式, 并通过数值实例阐述了稳态队长分布的显示表达式在系统容量的优化设计中的重要价值. 最后, 在建立系统费用结构模型基础上, 我们导出了系统长期单位时间的期望费用的显示表达式, 并通过数值实例不但确定了使得系统在长期单位时间内的期望费用最小的控制策略${{N}^{*}}$, 而且还确定了当休假次数为固定正整数值$M$时的联合控制策略$({{N}^{*}},{{M}^{*}})$.

Jiang S L, Tang Y H.

M/G/1 queueing system with multiple adaptive vacations and Min$(N, V)$-policy

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研究了具有多级适应性休假和${\rm Min}(N,V)$-策略控制的$M/G/1$排队系统, 运用全概率分解技术和拉普拉斯(L)变换工具, 研究了从任意时刻出发队长的瞬态分布, 得到了队长瞬态分布的拉普拉斯变换的表达式和稳态队长分布的递推表达式, 同时求出了稳态队长分布的概率母函数和平均队长的表达式. 进一步, 在一些特殊情况下, 例如当休假次数服从几何分布或休假次数为固定正整数值$M$时, 我们获得了相应稳态队长分布更简洁的显示表达式, 并通过数值实例阐述了稳态队长分布的显示表达式在系统容量的优化设计中的重要价值. 最后, 在建立系统费用结构模型基础上, 我们导出了系统长期单位时间的期望费用的显示表达式, 并通过数值实例不但确定了使得系统在长期单位时间内的期望费用最小的控制策略${{N}^{*}}$, 而且还确定了当休假次数为固定正整数值$M$时的联合控制策略$({{N}^{*}},{{M}^{*}})$.

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DOI:10.12011/1000-6788(2015)3-799      [本文引用: 2]

考虑服务员具有多重休假和系统采用min(N,V)- 策略控制的离散时间Geo/G/1 排队系统, 使用全概率分解技术和更新过程理论, 研究了系统在任意时刻n<sup>+</sup> 的瞬态队长分布和稳态队长分布, 得到了瞬态队长分布的z- 变换表达式和稳态队长分布的递推表达式. 进一步, 得到了系统在时刻点n, n<sup>-</sup> 和外部观察时刻点的稳态队长分布. 特别地, 本文直接获得了一些特殊离散时间排队系统相应的结果. 最后, 通过数值实例阐述了获得便于计算的稳态队长分布的表达式在系统容量设计中的重要价值.

Lan S J, Tang Y H.

Geo/G/1 discrete-time queue with multiple server vacations and Min$(N, V)$-policy

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考虑服务员具有多重休假和系统采用min(N,V)- 策略控制的离散时间Geo/G/1 排队系统, 使用全概率分解技术和更新过程理论, 研究了系统在任意时刻n<sup>+</sup> 的瞬态队长分布和稳态队长分布, 得到了瞬态队长分布的z- 变换表达式和稳态队长分布的递推表达式. 进一步, 得到了系统在时刻点n, n<sup>-</sup> 和外部观察时刻点的稳态队长分布. 特别地, 本文直接获得了一些特殊离散时间排队系统相应的结果. 最后, 通过数值实例阐述了获得便于计算的稳态队长分布的表达式在系统容量设计中的重要价值.

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[本文引用: 2]

旷欣宇, 唐应辉.

具有多级适应性休假和 Min$(N, V)$-策略的 Geo/G/1 排队系统分析

应用数学, 2024, 37(4): 1133-1153

[本文引用: 3]

Kuang X Y, Tang Y H.

Analysis of Geo/G/1 queueing system with multiple adaptive vacations and Min$(N, V)$-policy

Mathematica Applicata, 2024, 37(4): 1133-1153

[本文引用: 3]

李丹, 唐应辉.

基于 Min$(N, D, V)$-策略和单重休假且休假不中断的 M/G/1 排队系统

系统科学与数学, 2021, 41(2): 533-556

DOI:10.12341/jssms14148      [本文引用: 1]

研究在 Min$(N,D,V)$- 策略控制下服务员具有单重休假且休假不中断的~$M/G/1$ 排队系统, 其中服务员休假归来如果系统中的顾客数不小于事先给定的正整数阈值~$N$ 或者系统中的顾客所需的服务时间总和不小于事先给定的另一正数阈值~$D$, 服务员就立即开始服务. 应用更新过程理论, 全概率分解技术和拉普拉斯变换工具, 讨论了系统队长的瞬态分布和稳态分布, 得到了队长的瞬态分布关于时间~$t$ 的拉普拉斯变换表达式和稳态队长分布的递推表达式. 进一步给出了稳态队长的随机分解结构和附加队长的显示表达式. 同时, 一些特殊情况, 如~$N\to \infty $, 或~$D\to \infty $, 或~$p\left\{ V=0 \right\}=1$ 等也进行了讨论, 并指出了唐应辉和刘名武(2008)的错误. 最后, 建立费用结构模型, 给出了系统长期运行单位时间内的成本期望费用的显示表达式, 并通过数值计算例子讨论了使得系统长期运行单位时间内的成本期望费用最小的最优控制策略~$({{N}^{*}},{{D}^{*}})$.

Li D, Tang Y H.

M/G/1 queueing system based on Min$(N, D, V)$-policy and single server vacation without interruption

Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2021, 41(2): 533-556

DOI:10.12341/jssms14148      [本文引用: 1]

研究在 Min$(N,D,V)$- 策略控制下服务员具有单重休假且休假不中断的~$M/G/1$ 排队系统, 其中服务员休假归来如果系统中的顾客数不小于事先给定的正整数阈值~$N$ 或者系统中的顾客所需的服务时间总和不小于事先给定的另一正数阈值~$D$, 服务员就立即开始服务. 应用更新过程理论, 全概率分解技术和拉普拉斯变换工具, 讨论了系统队长的瞬态分布和稳态分布, 得到了队长的瞬态分布关于时间~$t$ 的拉普拉斯变换表达式和稳态队长分布的递推表达式. 进一步给出了稳态队长的随机分解结构和附加队长的显示表达式. 同时, 一些特殊情况, 如~$N\to \infty $, 或~$D\to \infty $, 或~$p\left\{ V=0 \right\}=1$ 等也进行了讨论, 并指出了唐应辉和刘名武(2008)的错误. 最后, 建立费用结构模型, 给出了系统长期运行单位时间内的成本期望费用的显示表达式, 并通过数值计算例子讨论了使得系统长期运行单位时间内的成本期望费用最小的最优控制策略~$({{N}^{*}},{{D}^{*}})$.

王敏, 唐应辉, 兰绍军.

在修正二元 Min$(N, D)$-策略下多级适应性休假 M/G/1 排队的性能分析

数学物理学报, 2021, 41A(4): 1166-1180

[本文引用: 1]

Wang M, Tang Y H, Lan S J.

The performance analysis of the M/G/1 queue with multiple adaptive vacations under the modified dyadic Min$(N, D)$-policy

Acta Math Sci, 2021, 41A(4): 1166-1180

[本文引用: 1]

罗乐, 唐应辉, 余玅妙, 吴文青.

在修正的 Min$(N, D)$-策略控制下延迟多级适应性休假 M/G/1 排队分析

系统科学与数学, 2021, 41(9): 2549-2570

[本文引用: 1]

Luo L, Tang Y H, Yu M M, Wu W Q.

Analysis of the M/G/1 queue with delayed multiple adaptive vacations under the modified Min$(N, D)$-policy control

Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2021, 41(9): 2549-2570

[本文引用: 1]

Liu Q L, Tang Y H, Yu M M, Wu W Q.

Analysis of $M^{(\lambda_1, \lambda_2)}$/G/1 queue with uninterrupted single vacation and server's workload controlled $D$-policy

Journal of Industrial & Management Optimization, 2023, 19(6): 4523-4550

[本文引用: 1]

Wei Y Y, Yu M M, Tang Y H, Gu J X,

Queue size distribution and capacity optimum design for $N$-policy Geo$^{(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)}$/G/1 queue with setup time and variable input rate

Mathematical and Computer Modelling, 2013, 57: 1559-1571

[本文引用: 1]

Jury E I. Theory and Application of the Z-Transform Method. New York: John Wiley and Sons, 1964

[本文引用: 1]

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