我们从拟凸函数的定义开始. 我们称定义在 $ m\times n $ 矩阵集合 $ M^{m\times n} $ 上的实值连续函数 $ f $ 是拟凸的, 如果对于每个矩阵 $ A\in\mathbb{M}^{m\times n} $ 和每个 $ \eta\in C^{\infty}_0(B;\mathbb{R}^{m}) $ 满足

其中 $ D\eta $ 是 $ \eta $ 的微分矩阵, $ B\subset\mathbb{R}^{n} $ 是单位球, $ |B| $ 是其体积.

拟凸性是由 Morrey^[8] 提出的一个概念, 事实证明, 它是刻画向量变分法中泛函下半连续性的恰当方法. 遗憾的是, 从定义出发判断一个函数是否为拟凸函数是非常困难的.

凸性总是蕴含拟凸性, 而拟凸性又蕴含秩一凸性. 在 $ n=1 $ 或 $ m=1 $ 的情况下, 拟凸性等价于凸性 (以及秩一凸性). Morrey^[8] 曾推测, 当 $ m>1 $ 和 $ n>1 $ 时, 秩一凸性并不蕴含拟凸性. 在 $ m>3 $ 的情况下, Šverák^[10] 正面解决了这一推测. 在 $ m=2 $ 的情况下, 这一推测仍是公开问题; 即便在 $ m=n=2 $ 这一特殊情形中, 该问题也尚未得到解决.

在文献 [3] 中, Ball 提出了多凸性的概念, 尤为重要的是, 该概念蕴含拟凸性. 然而, 反之则不成立, 并且在某些情况下, 多凸性条件过于严格. 实际上, 已知的非多凸但拟凸的函数例子为数不多. 寻找这类函数的意义在于, 所有已知的例子都有其自身的应用. 例如, 在文献 [11] 中, Šverák 通过截断行列式, 构造了限制在对称矩阵上的拟凸函数例子. 事实证明, 这些例子在多凸性不足以解决问题的很多场景中非常有用. 受文献 [11] 的启发, 文献 [6] 中通过截断主子式的和, 提供了更多拟凸函数, 这些函数也有其自身的应用.

在本文中, 我们考虑一个秩一凸函数, 该函数由 Burkholder^[5] 和 Šverák^[9] 分别独立提出. 我们将其称为 Burkholder-Šverák 函数. 令 $ z=(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^{2} $, $ w=(w_1,w_2)\in\mathbb{R}^{2} $ 和 $ A=A^{+}+A^{-}\in\mathbb{M}^{2\times 2} $, 其中

分别是矩阵 $ A $ 的共形部分和反共形部分. Šverák^[9] 证明了如下定义在 $ \mathbb{M}^{2\times 2} $ 上的函数 $ f : \mathbb{M}^{2\times 2}$$\to\mathbb{R} $是秩一凸的

他在文献 [9] 中提出了该函数是否拟凸的问题. 依照文献 [2,12], 我们将其称为 Šverák 猜想.

猜想 1 (Šverák^[9]) 如上述 (1.2) 式定义的函数 $ f $ 是拟凸的.

对 Šverák 猜想的研究在以下层面具有重要意义. 若该猜想不成立, 那么 Morrey 问题的其余情形便能得到解决; 若该猜想成立, 那么我们就能解决以下这些猜想.

猜想 2 (Bañuelos-Wang^[4]) 对于任何在 $ \mathbb{C} $ 中具有紧支集的光滑复函数 $ \eta $, 有

其中函数 $ \Phi_{p}:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{R} $ 定义为

且 $ p^*=\max\{p,p/(p-1)\} $, $ 1<p<\infty $.

如果 $ f $ 在 $ A=0 $ 处是拟凸的, 那么根据文献 [2] 可以很容易地得出 Bañuelos 和 Wang 的猜想是正确的. 如果 Bañuelos 和 Wang 的猜想是正确的, 那么下面这个由 Iwaniec 提出的猜想^[7]也是正确的.

猜想 3 (Iwaniec^[7]) 对于任何在 $ \mathbb{C} $ 中具有紧支集的光滑复函数 $ \eta $, 都有

其中 $ p^*=\max\{p,p/(p-1)\} $, $ 1<p<\infty $.

Ahlfors-Beurling 算子将 $ \partial_{z}\eta $ 映射到 $ \partial_{\bar{z}}\eta $. 因此, 上述猜想表明, Ahlfors-Beurling 算子从 $ L^p $ 到 $ L^p $ 的范数恰好是 $ p^*-1 $.

在本文中, 我们研究 Burkholder-Šverák 函数 $ f $ 在对称矩阵集合 $ \mathbb{S}^{2\times 2} $ 中的拟凸性. 在这种情况下, 上述积分不等式 (1.1) 式简化为

其中对于每个对称矩阵 $ A\in\mathbb{S}^{2\times 2} $ 和每个 $ \varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{D}) $, $ D^{2}\varphi $ 是 $ \varphi $ 的黑塞矩阵, $ \mathbb{D} $ 是单位圆盘. 我们证明, 对于所有径向对称函数, Burkholder-Šverák 函数 $ f $ 在集合 $ \mathbb{S}^{2\times 2} $ 中的 $ A=0 $ 处是拟凸的.

定理 1.1 设 $ f $ 是如上述 (1.2) 式定义的 Burkholder-Šverák 函数, 且 $ \varphi(z)=h(|z|)\in C^{\infty}_0(\mathbb{D}) $, 则积分不等式 (1.3) 对 $ A=0 $ 成立.

在此我们指出, 关于上述积分不等式 (1.3), 目前已知的结果由 Baernstein II 和 Montgomery-Smith^[2] 得出. 他们证明了该不等式在 $ A=0 $ 处对于所有径向对称函数 $ \varphi(x)=h(|x|) $, 若 $ h $ 为非增函数时成立.

我们对定理 (1.1) 中积分不等式 (1.3) 式的证明基于这样一个观察: 它与 Šverák 在文献 [11] 中得出的一个结果有着紧密联系. 我们将运用这一结果来证明定理 (1.1). 下面的定理是 Šverák 在文献 [11] 中证明的.

定理 1.2 设

那么, $ g $ 在 $ \mathbb{S}^{n\times n} $ 中是拟凸的.

我们注意到上述结果适用于所有维度 $ n\geq2 $.

回想一下, $ A=A^{+}+A^{-}\in\mathbb{M}^{2\times 2} $, 其中

在下文中, 我们只考虑对称矩阵的情况, 即 $ z_2=0 $. 若 $ A\in\mathbb{S}^{2\times 2} $, 我们将 $ A $ 的特征值记为 $ \lambda_1(A)=z_1-|w| $ 和 $ \lambda_2(A)=z_1+|w| $, 其中 $ w=(w_1,w_2) $. 注意到 $\lambda_1(A)\leq\lambda_2(A)$; 同时, $ \det(A)=z_1^2-|w|^2 $.

固定 $ \varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb{D}) $, 其中 $ \mathbb{D} $ 是单位圆盘. 那么函数

在集合 $ \mathbb{D}\setminus E^- $ 中是凸的, 其中

且函数

在集合 $ \mathbb{D}\setminus E^+ $ 中是凸的, 其中

我们记 $ E=E^-\cup E^+ $. 为证明定理 1.1, 我们需要以下引理.

引理 2.1 假设存在一个集合 $ F\supset\{z\in\mathbb{D}:\lambda_1(D^2\varphi(z))>1\} $, 使得

进一步假设存在一个函数 $ \tilde{\varphi}\in C_0^{1,1}(\mathbb{D}) $, 使得在 $ \mathbb{D}\setminus F $ 中 $ D^2\tilde{\varphi}=D^2\varphi $, 且在 $ F $ 中 $ I+D^2\tilde{\varphi}\geq0 $. 那么我们有

其中 $ I $ 是单位矩阵, $ \text{tr}(D^2\varphi(z)) $ 是 $ D^2\varphi(z) $ 的迹.

证 应用定理 1.2, 我们有

由此可得

这是因为

注意到, 根据引理中的假设, 我们在集合 $ F $ 上有 $ \lambda_1(D^2\tilde{\varphi}(z))\geq-1 $. 同时, 在 $ \mathbb{D}\setminus F $ 中 $ D^2\tilde{\varphi}=D^2\varphi $. 因此, 上述不等式可化为

现在, 结论 (2.2) 式可由上述不等式 (2.3) 和假设 (2.1） 推出. 事实上, 假设 (2.1)告诉我们

其中, 最后一个不等式我们用到了两个事实. 其一, 当 $ z\in\mathbb{D}\setminus E^- $ 时, 特别是当 $ z\in F\cap(\mathbb{D}\setminus E^-) $ 时, $ \det(I-D^2\varphi(z))\geq0 $ ; 其二, 根据引理中 $ F\supset\{z\in\mathbb{D}:\lambda_1(D^2\varphi(z))>1\} $ 的假设, 当 $ z\in$$ E^-\setminus F $ 时, $ \det(I-D^2\varphi(z))\leq0 $.

注意到,

因此, 我们有

其中最后一个不等式由 (2.3) 式和 (2.4) 式推导得出. 引理证明完毕.

现在我们给出定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 我们考虑定义在 $ [0,1] $ 上的函数

令 $ F:=\{z\in\mathbb{D}:\gamma(|z|)\leq0\} $. 那么显然有 $ F\supset\{z\in\mathbb{D}:\lambda_1(D^2\varphi(z))>1\} $. 同时我们也有

因此, 引理 2.1 中的条件 (2.1) 式成立. 现在定义一个新函数 $ \tilde{\varphi}(z)=\tilde{h}(|z|) $, 使得 $ \tilde{h}(1)=0 $, 并且

那么, 我们可以轻松验证 $ \tilde{\varphi} $ 满足引理 2.1 中的条件. 根据引理 2.1, 我们得到引理 2.1 的结论 (2.2), 它等价于(1.3) 式对于 $ A=0 $ 和 $ \varphi(z)=h(|z|) $ 时的不等式. 这就完成了定理 1.4 的证明.