数学物理学报, 2025, 45(6): 1752-1767

一类含临界增长项的 Kirchhoff 型四阶椭圆方程解的存在性——献给李工宝教授 70 寿辰

刘晓春,, 王莅炜,*

武汉大学数学与统计学院 武汉 430072

The Existence of Solutions to a Class of Fourth-Ordered Kirchhoff-Type Equations with Critical Growth

Liu Xiaochun,, Wang Liwei,*

School of mathematics and statistics, Wuhan University, Wuhan 430072

通讯作者: *王莅炜,E-mai: 2019302010138@whu.edu.cn

收稿日期: 2025-05-30   修回日期: 2025-08-10  

基金资助: 国家自然科学基金(12131017)
国家自然科学基金(12071364)

Received: 2025-05-30   Revised: 2025-08-10  

Fund supported: NSFC(12131017)
NSFC(12071364)

作者简介 About authors

刘晓春,E-mai:lxcliu@whu.edu.cn

摘要

该文考虑以下带线性扰动项的四阶 Kirchhoff 型临界椭圆方程解的存在性$\left\{ \begin{aligned} &\Delta^2 u-(a+b\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x)\Delta u=\lambda|u|^{2^\#-2}u+\sigma h(x),\;x\in\mathbb{R}^N,\\ &u\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N), \end{aligned} \right.$

其中 $\displaystyle2^\#=\frac{2N}{N-4}$ 是 Sobolev 临界指标. 利用集中紧原理, Ekeland 变分原理和山路引理, 证明 (P.S.)$_c$ 条件局部成立, 并证明该方程在 $a,\lambda,\sigma$ 满足一定条件时至少存在两个非平凡弱解.

关键词： Kirchhoff 型方程; 集中紧原理; 山路引理

Abstract

In this paper, we consider the existence of solutions to a class of fourth-order Kirchhoff-type elliptic equations with critical term and linear pertubation$\begin{aligned} &\Delta^2 u-\bigg(a+b\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)\Delta u=\lambda|u|^{2^\#-2}u+\sigma h(x),\;x\in\mathbb{R}^N,\\ &u\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N), \end{aligned}$

where $\displaystyle2^\#=\frac{2N}{N-4}$ is the critical Sobolev exponent. With the help of the Concentration Compactness Principle, Ekeland's Variational Principle and Mountain Pass Lemma, we show that the (P.S.)$_c$ condition is locally satisfied and then obtain at least two nontrivial weak solutions under some assumptions on $a,\lambda$ and $\sigma$.

Keywords： Kirchhoff-type Equations; Concentration Compactness Principle; Mountain Pass Lemma

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本文引用格式

刘晓春, 王莅炜. 一类含临界增长项的 Kirchhoff 型四阶椭圆方程解的存在性——献给李工宝教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2025, 45(6): 1752-1767

Liu Xiaochun, Wang Liwei. The Existence of Solutions to a Class of Fourth-Ordered Kirchhoff-Type Equations with Critical Growth[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(6): 1752-1767

1 简介与主要结果

本文中, 我们考虑以下方程

$\left\{\begin{aligned} &\Delta^2 u-(a+b\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x)\Delta u=\lambda|u|^{2^\#-2}u+\sigma h(x),\;x\in\mathbb{R}^N,\\ &u\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N), \end{aligned} \right.$

其中 $ \displaystyle a\geq0,b>0,\lambda,\sigma>0 $, 而 $ h\in L^{\frac{2^\#}{2^\#-1}}(\mathbb{R}^N)$ 为一个正函数. $ \Delta^2 u=\Delta(\Delta u)$ 为双调和算子, $ \displaystyle2^\#=\frac{2N}{N-4} $ 为 Sobolev 临界指标. $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 定义见第 2 节.

近年来, 以下 Kirchhoff 型方程的 Dirichlet 问题引起了广泛关注

$\left\{ \begin{aligned} &-\bigg(a+b\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)\Delta u=f(x,u),\quad&& x\in\Omega,\\ &u=0,\quad &&x\in\partial\Omega. \end{aligned} \right.$

该方程最早由 Kirchhoff 在 1883 年考虑弦振动过程中弦长的变化推导而得[1]. 他提出了以下方程

$\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\bigg(\frac{P_0}{h}+\frac{E}{2L}\int_{0}^{L}\bigg|\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|^2{\rm d}x\bigg)\frac{\partial^2 u}{\partial x ^2}=f(x,u),$

其中 $ \rho,P_0,h,E,L $ 为常数. $ \rho $ 为密度, $ P_0 $ 为初始张力, $ E $ 为材料的杨氏模量, $ L $ 为弦长, $ h $ 为横截面积而 $ f(x,u)$ 表示外力. 该方程则诱导了以下二阶 Kirchhoff 型椭圆方程

$-\bigg(a+b\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)\Delta u=f(x,u).$

目前, 已有许多学者关于该椭圆方程右端 $ f(x,u)$ 为临界增长的情形开展了相关研究. 例如, 在 2015 年 Liu, Liao 与 Tang[2] 通过 Ekeland 变分原理与山路引理研究了以下问题

$\left\{\ \begin{aligned} &-(a+b\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x)\Delta u=|u|^{2^\ast-2}u+\mu h(x),\;x\in\mathbb{R}^N,\\ &u\in\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N), \end{aligned} \right.$

并得到了解的存在性与多解结果. 在此之后, 更多数学家中研究了含 Kirchhoff 项的临界 $ p $-Laplace 方程的解的存在性问题与多解问题, 见文献 [3-5]; 在文献 [6-11] 中则研究了该方程变号解的存在性问题. 还有更多的结果可参考文献 [12-18].

尽管已有许多文献研究了 (1.2) 式, 但有关双调和方程的结果相对较少. 问题 (1.1) 来自于以下四阶 Kirchhoff 型方程

$u_{tt}+\Delta^2 u-\bigg(a+b\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)\Delta u=f(x,u),\; x\in\mathbb{R}^N,$

其中 $ \Delta^2 $ 是如上述定义的双调和算子. 2012 年, Ma 在文献 [19] 中利用不动点定理考虑了四阶方程正解的存在性与多重性; 而 Wang 等在文献 [20] 中应用了山路引理和截断方法证明了以下 Kirchhoff 型四阶椭圆方程非平凡解的存在性

$\left\{ \begin{aligned} &\Delta^2 u-\lambda(a+b\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x)\Delta u=f(x,u),&\quad {\rm in}\quad\Omega,\\ &u=\Delta u=0,&\quad {\rm on}\;\partial\Omega, \end{aligned} \right.$

其中 $ \Omega\subset\mathbb{R}^N $ 是有界区域, $ f(x,u)$ 满足次临界增长条件.

在文献 [21,22] 中, 作者用变分方法得到了 $ \mathbb{R}^N $ 上含临界增长非线性项的四阶Kirchhoff型椭圆方程非平凡解的存在性与多重性, 变号解存在性问题则可参考文献 [23]. 受以上一系列研究的启发, 我们利用集中紧原理和山路引理来研究方程 (1.1) 在 $ 5 \leq N \leq 8 $ 时解的存在性. 我们得到的结果如下

定理 1.1 在 $ 5\leq N\leq8 $ 时, 存在常数 $ a_0>0,\lambda_0>0 $ 及 $ 0<\sigma_\ast<\sigma_{\ast\ast} $, 当 $ 0<a<a_0,\, \lambda>\lambda_0,\,\sigma_\ast<\sigma<\sigma_{\ast\ast} $ 时, 方程 (1.1) 在 $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 中至少存在两个非平凡弱解.

因为方程 (1.1) 含临界增长非线性项, 这将导致 Sobolev 嵌入紧性缺失, 我们将利用集中紧原理克服这个困难, 并分别利用山路引理和 Ekeland 变分原理找到两个非平凡弱解解. 本文内容安排如下

在第 2 节中, 我们说明本文中将用到的一些记号和预备知识; 在第 3 节中, 我们利用集中紧原理, Ekeland 变分原理和山路引理来证明定理 1.1 中 $ 5\leq N\leq 7 $ 的部分; 而在 $ N=8 $ 时, 由于右端非线性项次数与左端非局部项次数相同, 我们需要精细处理, 因此在第 4 节中, 我们单独给出 $ N=8 $ 情形的证明.

2 预备知识

本文中, 我们将用到以下一些记号和辅助定理.

设 $ E $ 为 Banach 空间, 我们用 $ E^\ast $ 表示其对偶空间而用 $ \langle u, v \rangle $ 表示配对, 其中 $ u\in E^\ast $, $ v\in E $. 记

$B(x_0,\rho)=\{x\in E:\|x-x_0\|<\rho\}, \\ \overline{B(x_0,\rho)}=\{x\in E:\|x-x_0\|\leq\rho\},\\ \partial B(x_0,\rho)=\{x\in E:\|x-x_0\|=\rho\},$

其中 $ x_0\in E,\rho\in\mathbb{R}_+ $.

我们用 $ \displaystyle 2^\ast=\frac{2N}{N-2} $, $ 2^\#=\frac{2N}{N-4} $ 表示两个 Sobolev 临界指标, 而记 $ 2^\# $ 的对偶指标为 $ \displaystyle q=\frac{2^\#}{2^\#-1} $ 并用 $ |h|_q $ 表示 $ h $ 在 $ L^\frac{2^\#}{2^\#-1}(\mathbb{R}^N)$ 空间中的范数.

令 $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)\stackrel{\triangle}{=}\{u\in L^{2^\#}(\mathbb{R}^N):\nabla u\in L^{2^\ast}(\mathbb{R}^N),\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\} $ 并赋予以下范数

$\|u\|=\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}.$

由 Sobolev 嵌入定理知 $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)\hookrightarrow L^{2^\#}(\mathbb{R}^N)$, 且记

$S=\inf\limits_{u\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)\backslash\{0\}}\frac{\|u\|^2}{|u|_{2^\#}^2}$

为最佳嵌入常数, 其到达函数为

$u_0(x)=C_N\bigg(\frac{1}{1+|x|^2}\bigg)^\frac{N-4}{2},$

其中 $ C_N $ 是正规化系数. 由此可知 $ u_0 $ 满足方程

$\Delta^2 u=u^{2^\#-1}.$

方程 (1.1) 对应的能量泛函为

$\begin{align*}I_{\lambda,\sigma}(u)&=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2{\rm d}x +\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{b}{4}\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)^2\\ &~~~-\frac{\lambda}{2^\#}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#} {\rm d}x-\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu {\rm d}x.\end{align*}$

可以验证 $ I\in C(\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N),\mathbb{R})$ 并且对任意 $ v\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 有

$\begin{align*}\langle I'(u), v \rangle&=\int_{\mathbb{R}^N}\Delta u\Delta v{\rm d}x+\bigg(a+b\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)\int_{\mathbb{R}^N}\nabla u\nabla v{\rm d}x\\ &~~~-\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#-2}uv{\rm d}x-\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hv{\rm d}x.\end{align*}$

下面是文中将要用到的一些重要结论.

引理 2.1 (集中紧原理) 设 $ \{u_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 为一有界函数列, 则子列意义下存在 $ u\in \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 使得

$u_n\rightharpoonup u\quad \text{于}\; \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N), u_n\rightharpoonup u\quad \text{于}\; L^{2^\#}(\mathbb{R}^N),\\ u_n\rightarrow u \quad \text{于}\; L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^N),\\ u_n\rightarrow u \quad {\rm a.e.}\;\text{于}\;\mathbb{R}^N,$

且 $ |\Delta u_n|^2\rightharpoonup\mu,|u_n|^{2^\#}\rightharpoonup\nu $ 是 $ \mathbb{R}^N $ 上两个有界测度. 记

$\lim\limits_{R\rightarrow+\infty}\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_{\mathbb{R}^N\backslash B(0,R)}|\Delta u_n|^2{\rm d}x=\mu_\infty,\\ \lim\limits_{R\rightarrow+\infty}\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_{\mathbb{R}^N\backslash B(0,R)}|u_n|^{2^\#}{\rm d}x=\nu_\infty.$

那么, 存在至多可数指标集 $ J $, 以及 $ \{x_j\}_{j\in J}\subset\mathbb{R}^N,\{\mu_j\}_{j\in J},\{\nu_j\}_{j\in J}\subset[0,+\infty)$, 满足

$\begin{align*} &\mu_\infty\geq S\nu_\infty^{2/2^\#},\label{F2.1}\\ &\mu=|\Delta u_n|^2+\sum_{j\in J}\mu_j \delta_{x_j},\nu=|u_n|^{2^\#}+\sum_{j\in J}\nu_j\delta_{x_j},\nonumber\end{align*}$
$\begin{align*} &\mu_j\geq S\nu_j^{2/2^\#},\label{F2.2}\\ &\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2{\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2{\rm d}x+\|\mu\|+\mu_\infty,\nonumber\\ &\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}{\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#}{\rm d}x+\|\nu\|+\nu_\infty.\nonumber \end{align*}$

证 与 Lions 的证明相似, 可参考文献 [24,25].

引理 2.2 (Ekeland 变分原理, [26]) 设 $ E $ 为 Banach 空间, 泛函 $ F:E\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\} $ 下半连续, Gâteaux 可微且 $-\infty<\inf\limits_{u\in E} F(u)<+\infty $. 则对任意 $ \varepsilon>0 $, 任意满足 $ F(u)<\inf\limits_{u\in E} F(u)+\varepsilon $ 的 $ u\in E $ 及 $ \lambda>0 $, 存在 $ v\in E $ 使得

(i) $ F(v)\leq F(u)$;

(ii) $ \|v-u\|\leq\lambda $;

(iii) $ \|F'(v)\|\leq\frac{\varepsilon}{\lambda} $.

引理 2.3 (山路引理, [27]) 设 $ E $ 为实 Banach 空间, 而 $ I\in C^1(E,\mathbb{R})$ 且满足

(i) $ I(0)=0 $ 且存在 $ \rho>0 $ 使得 $ I|_{\partial B(0,\rho)}\geq\alpha>0 $, 这里 $ \alpha $ 为常数;

(ii) 存在 $ e\in E\backslash\overline{B(0,\rho)} $ 使得$ I(e)<0 $.

令

$c_1=\inf\limits_{h\in\Phi}\max\limits_{t\in[0,1]}I(h(t)),$

其中 $ \displaystyle \Phi\stackrel{\triangle}{=}\{h\in C([0,1],E):h(0)=0,h(1)=e\} $ 是连续道路集合. 那么有 $ c_1\geq\alpha $ 且存在 $ I $ 的 (P.S.)$ _{c_1} $ 序列.

3 $ 5\leq N\leq 7 $ 时定理 1.1 的证明

接下来, 在 $ 5\leq N\leq 7 $ 时, 我们将利用集中紧原理, Ekeland 变分原理及山路引理证明该方程至少存在两个非平凡弱解. 注意引理 3.1-引理 3.3 对 $ N=8 $ 也成立.

引理 3.1 设 $ \{u_n\}_{n=1}^{+\infty} $ 为 $ I_{\lambda,\sigma} $ 的任意 (P.S.)$ _c $ 序列, 若常数 $ c $ 满足

$c<\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S},$

则 $ \{u_n\}_{n=1}^{+\infty} $ 在 $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 中存在收敛子列.

证 我们将分为五步完成引理的证明.

步骤一 我们证明序列 $ \{u_n\}_{n=1}^{+\infty} $ 有界. 事实上设 $ \{u_n\}_{n=1}^{+\infty} $ 为一个 (P.S.)$ _c $ 序列, 由 Hölder 不等式与 Sobolev 不等式, 并注意到当 $ N\leq8 $ 时, 有 $ 2^\#\geq4 $, 于是

$\begin{aligned}c+1+o(1)\|u_n\| \geq& I_{\lambda,\sigma}(u_n)-\frac{1}{2^\#}\langle I'_{\lambda,\sigma}(u_n),u_n \rangle\\ \geq&\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\|u_n\|^2+\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^\#}\bigg)a|\nabla u_n|_2^2\\ &+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)b|\nabla u_n|_2^4-\bigg(1-\frac{1}{2^\#}\bigg)\int_{\mathbb{R}^N}hu_n{\rm d}x\\ \geq&\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\|u_n\|^2-\bigg(1-\frac{1}{2^\#}\bigg)|h|_q|u_n|_{2^\#}\\ \geq&\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\|u_n\|^2-\bigg(1-\frac{1}{2^\#}\bigg)\frac{1}{\sqrt{S}}|h|_q\|u_n\|. \end{aligned}$

这蕴含着 $ \{u_n\}_{n=1}^{+\infty} $ 在 $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 中有界.

步骤二 证明对任意 $ \nu_j $, 有 $ \nu_j=0 $ 或 $ \nu_j\geq(\lambda^{-1}S)^\frac{N}{4} $ 成立. 取 $ \phi_{j,\varepsilon}\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^N)$, 使得

$\phi_{j,\varepsilon}(x)= \left\{ \begin{aligned} &1,\quad x\in\overline{B(x_j,\varepsilon)},\\ &0,\quad x\in\mathbb{R}^N\backslash B(x_j,2\varepsilon), \end{aligned} \right.$

且 $ \displaystyle0\leq|\phi_{j,\varepsilon}|\leq1,|\nabla\phi_{j,\varepsilon}|\leq\frac{2}{\varepsilon},|\Delta\phi_{j,\varepsilon}|\leq\frac{2}{\varepsilon^2} $, 则 $ u_n\phi_{j,\varepsilon}\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N),\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\langle I'_{\lambda,\sigma}(u_n),u_n\phi_{j,\varepsilon}\rangle=0 $, 从而得到

$\begin{align*} \int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x= &-2\int_{\mathbb{R}^N}\Delta u_n\nabla u_n\nabla\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}u_n\Delta u_n\Delta\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\\ &-a\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x-a\int_{\mathbb{R}^N}u_n\nabla u_n\nabla\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\\ &-b\|u_n\|^2\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x-b\|u_n\|^2\int_{\mathbb{R}^N}u_n\nabla u_n\nabla\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\\ &+\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x+\sigma\int_{\mathbb{R}^N}h u_n\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x+o(1), \end{align*}$

这里当 $ n\rightarrow+\infty $ 时 $ o(1)\rightarrow0 $. 但同时, 我们有

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x=\int_{B(x_j,2\varepsilon)}|\Delta u_n|^2\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\int_{B(x_j,2\varepsilon)}\phi_{j,\varepsilon} {\rm d}\mu\stackrel{\varepsilon\rightarrow0^+}{\longrightarrow}\mu_j, \end{equation*}$
$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x=\int_{B(x_j,2\varepsilon)}|u_n|^{2^\#}\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\int_{B(x_j,2\varepsilon)}\phi_{j,\varepsilon} {\rm d}\nu\stackrel{\varepsilon\rightarrow0^+}{\longrightarrow}\nu_j. \end{equation*}$

由 Hölder 不等式, 得到

$\begin{align*} & \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\bigg|\int_{\mathbb{R}^N}\Delta u_n\nabla u_n\nabla\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\bigg|\\ &=\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\bigg|\int_{B(x_j,2\varepsilon)}\Delta u_n\nabla u_n\nabla\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\bigg|\\ &\leq\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\bigg(\int_{B(x_j,2\varepsilon)}|\Delta u_n|^2\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{B(x_j,2\varepsilon)}|\nabla u_n|^{2^\ast}\bigg)^{\frac{1}{2^\ast}}\bigg(\int_{B(x_j,2\varepsilon)}|\nabla\phi_{j,\varepsilon}|^N\bigg)^{\frac{1}{N}}\\ &\leq C\bigg(\int_{B(x_j,2\varepsilon)}|\nabla u|^{2^\ast}\bigg)^{\frac{1}{2^\ast}}, \end{align*}$

其中 $ C $ 为常数. 令 $ \varepsilon\rightarrow0^+,n\rightarrow+\infty $ 便得到

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}\Delta u_n\nabla u_n\nabla\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\rightarrow0. \end{equation*}$

类似地, 当 $ \varepsilon\rightarrow0^+,n\rightarrow+\infty $ 时

$\begin{gather*} \int_{\mathbb{R}^N}u_n\Delta u_n\Delta \phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\rightarrow0,\\ \int_{\mathbb{R}^N}u_n\nabla u_n\nabla\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\rightarrow0,\\ \hspace{-.8cm}\int_{\mathbb{R}^N}hu_n\phi_{j,\varepsilon}{\rm d}x\rightarrow0. \end{gather*}$

于是得到

$\begin{equation*} \mu_j\leq\lambda\nu_j, \end{equation*}$

结合引理 2.1 中的 (2.2) 式, 有

$\begin{equation*} \lambda\nu_j\geq S\nu_j^{2/2^\#}, \end{equation*}$

并进一步得到 $ \nu_j=0 $ 或 $ \nu_j\geq(\lambda^{-1}S)^\frac{N}{4} $.

步骤三 类似地, 我们证明 $ \nu_\infty=0 $ 或 $ \nu_\infty\geq(\lambda^{-1}S)^\frac{N}{4} $ 成立. 取

$\phi_R(x)= \left\{ \begin{aligned} &1,\quad x\not\in B(0,R+1),\\ &0,\quad x\in \overline{B(0,R)}, \end{aligned} \right.$

满足 $ 0\leq|\phi_R|\leq1 $.

于是 $ u_n\phi_R\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N),\,\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\langle I'_{\lambda,\sigma}(u_n),u_n\phi_R\rangle=0 $, 进而有

$\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2\phi_R{\rm d}x= &-2\int_{\mathbb{R}^N}\Delta u_n\nabla u_n\nabla\phi_R{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}u_n\Delta u_n\Delta\phi_R{\rm d}x\\ &-a\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2\phi_R{\rm d}x-a\int_{\mathbb{R}^N}u_n\nabla u_n\nabla\phi_R{\rm d}x\\ &-b\|u_n\|^2\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2\phi_R{\rm d}x-b\|u_n\|^2\int_{\mathbb{R}^N}u_n\nabla u_n\nabla\phi_R{\rm d}x\\ &+\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}\phi_R{\rm d}x+\sigma\int_{\mathbb{R}^N}h u_n\phi_R{\rm d}x+o(1). \end{aligned}$

我们还可以计算得到

$\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2\phi_R{\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^N\backslash B(0,R)}|\Delta u_n|^2\phi_R{\rm d}x\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\int_{\mathbb{R}^N\backslash B(0,R)}\phi_R{\rm d}\mu\stackrel{R\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\mu_\infty,$
$\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}\phi_R{\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^N\backslash B(0,R)}|u_n|^{2^\#}\phi_R{\rm d}x\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\int_{\mathbb{R}^N\backslash B(0,R)}\phi_R {\rm d}\nu\stackrel{R\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\nu_\infty.$

类似地, 由 Hölder 不等式, 当 $ R\rightarrow+\infty,n\rightarrow+\infty $ 时, 有

$\begin{gather*} \int_{\mathbb{R}^N}\Delta u_n\nabla u_n\nabla\phi_R{\rm d}x\rightarrow0,\quad \int_{\mathbb{R}^N}u_n\Delta u_n\Delta \phi_R{\rm d}x\rightarrow0,\\ \hspace{-1.1cm} \int_{\mathbb{R}^N}u_n\nabla u_n\nabla\phi_R{\rm d}x\rightarrow0,\quad \int_{\mathbb{R}^N}hu_n\phi_R{\rm d}x\rightarrow0. \end{gather*}$

于是得到

$\begin{equation*} \mu_\infty\leq\lambda\nu_\infty, \end{equation*}$

结合引理 2.1 中的 (2.1) 式, 有

$\begin{equation*} \lambda\nu_\infty\geq S\nu_\infty^{2/2^\#}, \end{equation*}$

更进一步可以得到 $ \nu_\infty=0 $ 或 $ \displaystyle\nu_\infty\geq(\lambda^{-1}S)^\frac{N}{4} $.

步骤四 我们将证明当 $ c $ 满足一定条件时, 只有 $ \nu_j=\nu_\infty=0,j\in J $ 成立. 若不然, 注意到

$\begin{equation*} \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}[I_{\lambda,\sigma}(u_n)-\frac{1}{4}\langle I'_{\lambda,\sigma}(u_n),u_n \rangle]=c. \end{equation*}$

取 $ \psi_R\in C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ 使得

$\psi_R(x)= \left\{ \begin{aligned} &1,\quad x\in B(0,R),\\ &0,\quad x\not\in \overline{B(0,2R)}, \end{aligned} \right.$

我们得到

$\begin{align*} c &=\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2{\rm d}x+\frac{a}{4}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}{\rm d}x-\frac{3}{4}\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu_n{\rm d}x+o(1)\\ &\geq\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2\psi_R{\rm d}x+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}\psi_R{\rm d}x-\frac{3}{4}\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu_n{\rm d}x+o(1)\\ &\geq\frac{1}{4}\|u\|^2+\frac{1}{4}\mu_j+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\nu_j-\frac{3}{4}\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu {\rm d}x \end{align*}$

及

$\begin{align*} c &=\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n|^2{\rm d}x+\frac{a}{4}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}{\rm d}x-\frac{3}{4}\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu_n{\rm d}x+o(1)\\ &\geq\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\mu_\infty+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#}{\rm d}x\\&~~~+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\nu_\infty-\frac{3}{4}\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu_n{\rm d}x+o(1)\\ &\geq\frac{1}{4}\|u\|^2+\frac{1}{4}\mu_\infty+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\nu_\infty-\frac{3}{4}\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu {\rm d}x. \end{align*}$

由 Hölder 不等式, Sobolev 不等式以及 Young 不等式可得

$\begin{aligned} \frac{3}{4}\sigma\int_{\mathbb{R}^N} hu{\rm d}x \leq\frac{3}{4}\sigma|h|_q\cdot|u|_{2^\#}\leq\frac{3}{4}\sigma|h|_q\frac{1}{\sqrt{S}}\|u\| \leq\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}+\frac{\|u\|^2}{4}. \end{aligned}$

可以推知

$\begin{gather*} c\geq \frac{1}{4}\mu_j+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\nu_j-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S},\quad c\geq \frac{1}{4}\mu_\infty+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\nu_\infty-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}, \end{gather*}$

再结合 (2.2) 式, 有

$\begin{align*} c \geq\frac{1}{4}S\nu_j^{2/2^\#}+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\nu_j-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S} \geq\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S} \end{align*}$

和

$\begin{align*} c \geq\frac{1}{4}S\nu_\infty^{2/2^\#}+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)\lambda\nu_\infty-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S} \geq\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{align*}$

因此, 若

$\begin{equation*} c<\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}, \end{equation*}$

我们可以断言 $ \nu_j=\nu_\infty=0,j\in J $ 并进一步得到

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}{\rm d}x\rightarrow\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#}{\rm d}x. \end{equation*}$

步骤五 我们证明 (P.S.)$ _c $ 条件成立.

由 Brézis-Lieb 引理与范数的弱下半连续性, 可以得到

$\begin{align*} o(1)\|u_n\| =&\langle I'_{\lambda,\sigma}(u_n),u_n \rangle\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}(|\Delta u_n|^2+a|\nabla u_n|^2){\rm d}x+b\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x\bigg)^2-\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{2^\#}{\rm d}x-\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu_n{\rm d}x\\ \geq &\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_n-\Delta u|^2{\rm d}x + a \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n-\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^N}\big(|\Delta u|^2+a|\nabla u|^2\big){\rm d}x\\ &+b\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)^2-\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#}{\rm d}x-\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu{\rm d}x\\ \geq&\|u_n-u\|^2+\langle I'_{\lambda,\sigma}(u),u \rangle\\ =&\|u_n-u\|^2+o(1)\|u\|. \end{align*}$

因此得到 $ \|u_n-u\|\rightarrow0 $, 这蕴含着 $ u_n\rightarrow u $ 成立, 引理证毕.

接下来, 我们将构造符合引理 3.1 的 (P.S.)$ _c $ 序列. 事实上, 方程 (1.1) 对应的能量泛函为

$\begin{align*} I_{\lambda,\sigma}(u)= \,&\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2{\rm d}x+\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{b}{4}(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x)^2\\ &-\frac{\lambda}{2^\#}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#}{\rm d}x-\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu{\rm d}x. \end{align*}$

我们可以利用 Ekeland 变分原理构造 $ c<0 $ 的 (P.S.)$ _c $ 序列; 然后通过验证该能量泛函满足山路几何结构, 并给出山路水平的估计, 证明其满足 (3.1) 式.

注意到 $ I_{\lambda,\sigma}(0)=0 $; 而对于任意固定的满足 $ |u|_{2^\#}>0 $ 的$ u\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$, 当 $ t $ 充分大时, $ I_{\lambda,\sigma}(tu)<0 $. 这保证了存在 $ e\in\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 使得 $ I_{\lambda,\sigma}(e)<0 $.

为保证山路几何结构, 我们只需验证以下引理

引理 3.2 若

$\begin{equation}\label{F3.2} \sigma^2\lambda^\frac{N-4}{4}<\frac{16}{N^2}(\frac{N}{N+4})^\frac{N+4}{4}\frac{S^\frac{N+4}{4}}{|h|_q^2}, \end{equation}$

则存在 $ \rho_1>0 $, 使得 $ \|u\|=\rho_1 $ 时, 有 $ I_{\lambda,\sigma}(u)\geq\alpha>0 $, 其中 $ \alpha $ 为常数.

证 由 Hölder 不等式与 Sobolev 不等式, 可以得到

$\begin{align*} I_{\lambda,\sigma}(u) &=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2{\rm d}x+\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{b}{4}\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2\bigg)^2-\frac{\lambda}{2^\#}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2^\#}{\rm d}x-\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu{\rm d}x\\ &\geq\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{\lambda}{2^\# S_2^{2^\#/2}}\|u\|^{2^\#}-\frac{\sigma|h|_q}{\sqrt{S}}\|u\|\\ &=\bigg[\frac{1}{2}\|u\|-\frac{\lambda}{2^\# S_2^{2^\#/2}}\|u\|^{2^\#-1}-\frac{\sigma|h|_q}{\sqrt{S}}\bigg]\|u\|. \end{align*}$

令

$\begin{equation*} f(t)=\frac{1}{2}t-\frac{\lambda}{2^\#S_2^{2^\#/2}}t^{2^\#-1}-\frac{\sigma|h|_q}{\sqrt{S}}, \end{equation*}$

则

$\begin{equation*} f'(t)=\frac{1}{2}-\frac{(2^\#-1)\lambda}{2^\#S^{2^\#/2}}t^{2^\#-2}. \end{equation*}$

通过计算可以得到, 当 $ \displaystyle t=\bigg[\frac{2^\#S^{2^\#/2}}{2(2^\#-1)\lambda}\bigg]^\frac{1}{2^\#-2} $ 时 $ f(t)$ 取最大值如下

$\begin{equation*} \max_{t\geq0}f(t)=\frac{4}{N}\big(\frac{N}{N+4}\big)^{\frac{N+4}{8}}\frac{S^{\frac{N+4}{8}}}{\lambda^{\frac{N-4}{8}}}-\frac{\sigma|h|_q}{\sqrt{S}}. \end{equation*}$

于是, 若

$\begin{equation*} \sigma^2\lambda^\frac{N-4}{4}<\frac{16}{N^2}(\frac{N}{N+4})^\frac{N+4}{4}\frac{S^\frac{N+4}{4}}{|h|_q^2}, \end{equation*}$

我们有 $ f(t_0)>0 $, 从而完成了引理 3.2 的证明.

接下来, 为简便起见, 我们再引入以下记号.

$\begin{aligned} &A=\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u_0|^2{\rm d}x+a\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_0|^2{\rm d}x,\quad B=b\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_0|^2{\rm d}x\bigg)^2,\\ &C=\lambda\int_{\mathbb{R}^N}|u_0|^{2^\#}{\rm d}x,\quad H=\int_{\mathbb{R}^N}hu_0 {\rm d}x,\quad \kappa=\frac{|\nabla u_0|_2^2}{|u_0|_{2^\#}^2}.\bigg. \end{aligned}$

引理 3.3 当 $ 5\leq N\leq 8 $ 时, 若 $ \sigma>0 $, 则存在 $ I_{\lambda,\sigma}(u)$ 的 (P.S.)$ _c $ 序列 $ \{v_n\}_{n=1}^{+\infty} $, 且

$\begin{equation*} -\infty<\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}I_{\lambda,\sigma}(v_n)<0. \end{equation*}$

证 由 Hölder 不等式与 Sobolev 不等式, 可以得到

$\begin{aligned} I_{\lambda,\sigma}(u) &\geq\frac{1}{2}\|u\|^2+\frac{a}{2}|\nabla u|_2^2+\frac{b}{4}|\nabla u|_2^4-\frac{\lambda}{2^\#}|u|_{2^\#}^{2^\#}-\sigma|h|_q|u|_{2^\#}\\ &\geq\frac{1}{2}\|u\|^2-\lambda C_1\|u\|^{2\#}-\sigma C_2\|u\|, \end{aligned}$

其中 $ C_1,C_2 $ 为常数. 可见

$\begin{equation*} c_2\stackrel{\triangle}{=}\inf\limits_{u\in\overline{B(0,\rho_1)}} I_{\lambda,\sigma}(u)>-\infty. \end{equation*}$

而考虑

$\begin{equation*} I_{\lambda,\sigma}(tu_0) =\frac{1}{2}At^2+\frac{1}{4}Bt^4-\frac{1}{2^\#}Ct^{2^\#}-Ht. \end{equation*}$

又存在 $ t_0>0 $, 使得

$\begin{equation*} c_2=\inf\limits_{u\in\overline{B(0,\rho_1)}} I_{\lambda,\sigma}(u)\leq I_{\lambda,\sigma}(t_0u_0)<0. \end{equation*}$

由引理 2.2 即 Ekeland 变分原理可得, 存在序列 $ \{v_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$, 满足

$\begin{align*} I_{\lambda,\sigma}(v_n)\rightarrow c_1\in(-\infty,0),\quad \|I'_{\lambda,\sigma}(v_n)\|\rightarrow0^+, \end{align*}$

这样就完成了引理的证明.

下面先给出 $ 5\leq N\leq 7 $ 时山路水平估计. 由于 $ N=5,7 $ 情形表达式较为复杂, 我们先考虑 $ N=6 $ 的情况来展示证明的思路.

引理 3.4 当 $ N=6 $ 时, 存在常数 $ a_0>0,\lambda_0>0 $ 及$ 0<\sigma_\ast<\sigma_{\ast\ast} $, 当 $ 0<a<a_0,\, \lambda>\lambda_0,\,\sigma_\ast<\sigma<\sigma_{\ast\ast} $ 时, 山路水平 $ c_1 $ 满足不等式 (3.1), 且不等式 (3.2) 成立.

证 令

$\begin{aligned} &I_{\lambda,\sigma}(tu_0)=g(t)=\frac{1}{2}At^2+\frac{1}{4}Bt^4-\frac{1}{6}Ct^6-Ht,\\ &g_1(t)=\frac{1}{2}At^2+\frac{1}{4}Bt^4-\frac{1}{6}Ct^6. \end{aligned}$

则 $ g_1'(t)=(A+Bt^2-Ct^4)t $, 若令 $ g_1'(t)=0 $, 可计算得到最大值点与最大值如下

$\begin{equation*} t_1^2=\frac{B+\sqrt{B^2+4AC}}{2C}, \end{equation*}$
$\begin{aligned} \max_{t\geq0}g_1(t)=g_1(t_1) =&\frac{B^3+6ABC+(B^2+4AC)^\frac{3}{2}}{24C^2}\\ =&\frac{b^3}{24\lambda^2}\kappa^6+\frac{b}{4\lambda}S\kappa^2+\frac{ab}{4\lambda}\kappa^3+\frac{1}{24\lambda^2}(b^2\kappa^4+4\lambda S+4a\lambda\kappa)^\frac{3}{2}>0. \end{aligned}$

注意到

$\begin{equation}\label{F3.6} \lim\limits_{\lambda\rightarrow+\infty}3\sqrt{\lambda}g_1(t_1)=K(a)^\frac{3}{2}\stackrel{\triangle}{=}(S+a\kappa)^{\frac{3}{2}}, \end{equation}$

于是有

$\begin{equation*} g_1(t_1)>\frac{1}{3\sqrt{\lambda}}K(a)^\frac{3}{2}. \end{equation*}$

现设常数 $ 0<\theta<1 $ 和 $ \tau>1 $ 均待定. 令

$\begin{equation}\label{F3.7} \sigma_1^2=\theta\frac{16SK(a)^\frac{3}{2}}{27\tau\sqrt{\lambda}|h|_q^2}. \end{equation}$

在 $ 0<\sigma<\sigma_1 $ 时, 有

$\begin{equation*} g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}>g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma_1^2|h|_q^2}{16S}>\frac{1-\theta}{3\sqrt{\lambda}}K(a)^\frac{3}{2}>0. \end{equation*}$

令

$\begin{equation*} \xi=\frac{1-\theta}{3}\cdot\frac{K(a)^\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B}, \end{equation*}$

取 $ t_2=\min\Big\{1,\sqrt{\frac{\xi}{\sqrt{\lambda}}}\Big\} $, 当 $ \sigma\in(0,\sigma_1)$ 时, 对任意的 $ 0<t<t_2 $, 有

$\begin{equation*} g(t)<\frac{A}{2}t^2+\frac{B}{4}t^4<\bigg(\frac{A}{2}+\frac{B}{4}\bigg)\frac{\xi}{\sqrt{\lambda}}=\frac{1-\theta}{3\sqrt{\lambda}}K(a)^\frac{3}{2}<g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma_1^2|h|_q^2}{16S}<g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation*}$

再取

$\begin{equation}\label{F3.9} \sigma_2=\min\bigg\{\sigma_1,\frac{16SHt_2}{9\tau|h|_q^2}\bigg\}, \end{equation}$

于是当 $ 0<\sigma<\sigma_2 $ 时, 有

$\begin{equation*} \sigma Ht_2>\tau\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation*}$

综上所述, 存在 $ \sigma_2>0 $ 如 (3.7) 式 f 定义, 当 $ 0<\sigma<\sigma_2 $ 时, 有

$\begin{equation*} \max_{t\geq0}g(t)\leq g_1(t_1)-\sigma Ht_2<g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation*}$

于是, 若

$\begin{equation}\label{F3.10} g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}<\frac{1}{3\sqrt{\lambda}}S^{\frac{3}{2}}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation}$

成立, 则 (3.1) 式必然成立. 现在依次由 (3.2)、(3.6)、(3.7) 及 (3.8) 式, 我们证明存在 $ a,~\lambda,~\sigma $ 使以下不等式同时成立

$\begin{align*} &0<\sigma^2\sqrt{\lambda}<\frac{4\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}\frac{S^{\frac{5}{2}}}{|h|_q^2},\quad 0<\sigma^2\sqrt{\lambda}<\frac{\theta}{\tau}\frac{16SK(a)^\frac{3}{2}}{27|h|_q^2},\quad 0<\sigma^2<\frac{1}{\tau^2}\bigg(\frac{16SH}{9|h|_q^2}\bigg)^2,\\ &0<\sigma^2\sqrt{\lambda}<\frac{1-\theta}{3\tau^2}\bigg(\frac{16SH}{9|h|_q^2}\bigg)^2\frac{K(a)^\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B},\quad \frac{1}{\tau-1}\cdot\frac{16S}{27|h|_q^2}\bigg[3\sqrt{\lambda}g_1(t_1)-S^\frac{3}{2}\bigg]<\sigma^2\sqrt{\lambda}. \end{align*}$

为此, 选取

$\begin{equation*} \theta=\frac{\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}}{(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B)\tau+\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}}, \end{equation*}$

并考虑以下不等式

$\begin{align*} \frac{1}{\tau-1}\cdot\frac{16S}{27|h|_q^2}\bigg[3\sqrt{\lambda}g_1(t_1)-S^\frac{3}{2}\bigg]&<\frac{\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}}{(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B)\tau^2+\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}\tau}\frac{16S}{27|h|_q^2}K(a)^\frac{3}{2},\\ \frac{1}{\tau-1}\cdot\frac{16S}{27|h|_q^2}\bigg[3\sqrt{\lambda}g_1(t_1)-S^\frac{3}{2}\bigg]&<\frac{4\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}\frac{S^{\frac{5}{2}}}{|h|_q^2}, \end{align*}$

联合 (3.5) 式, 只需要以下两个不等式成立

$\begin{align*} &\bigg(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B\bigg)[K(a)^\frac{3}{2}-S^\frac{3}{2}]\tau^2+\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}K(a)^\frac{3}{2}-\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}S^\frac{3}{2}\tau<0, \end{align*}$
$\begin{align*}\label{F3.11}\\ &\bigg[K(a)^\frac{3}{2}-S^\frac{3}{2}\bigg]-\frac{27\sqrt{3}}{100\sqrt{5}}S^\frac{3}{2}(\tau-1)<0.\label{F3.12} \end{align*}$

对于 (3.9) 式, 定义

$\begin{equation*} F(s_1,\tau)=\bigg(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B\bigg)[K(s_1)^\frac{3}{2}-S^\frac{3}{2}]\tau^2+\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}K(s_1)^\frac{3}{2}-\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}S^\frac{3}{2}\tau, \end{equation*}$

其中 $ s>0,\tau>1 $, 我们得到

$\begin{equation*} \frac{\partial F(s_1,\tau)}{\partial s_1}=\frac{1}{2}|\nabla u_0|_2^2\cdot[K(s_1)^\frac{3}{2}-S^\frac{3}{2}]\tau^2+\frac{3}{4}\bigg(A+\frac{1}{2}B\bigg)K(s_1)^\frac{1}{2}\kappa\tau^2+\frac{8SH^2}{3|h|_q^2}K(s_1)^\frac{1}{2}\kappa>0. \end{equation*}$

注意到 $ F(0,1)=0 $, 依据隐函数定理, 由 $ F(s_1,\tau)=0 $ 可以在 $ \tau=1 $ 附近定义函数 $ s_1=s_1(\tau)$ 且

$\begin{equation*} s'_1(\tau)=-\frac{F_\tau(s_1,\tau)}{F_{s_1}(s_1,\tau)}. \end{equation*}$

一方面, 注意到 $ s_1\rightarrow0^+(\tau\rightarrow1^+)$, 于是存在 $ \tau_0>1 $, 当 $ 1<\tau<\tau_0 $ 时, 有 $ s'_1(\tau)>0 $. 但另一方面, 在 $ s_1 $ 充分大时, 对任意 $ \tau>1 $ 皆有 $ F(s_1,\tau)>0 $. 故可知存在 $ \tau_1>0 $, 使得 $ s_1(\tau)$ 在 $ \tau_1 $ 处取得正最大值. 因此, 由 $ F(s_1,\tau)$ 关于 $ s_1 $ 单调性, 我们可知当 $ 0<a<s_1(\tau)\leq s_1(\tau_1)$ 时, 不等式 (3.9) 成立.

对于 (3.10) 式, 令

$\begin{equation*} G(s_2,\tau)=\bigg[K(s_2)^\frac{3}{2}-S^\frac{3}{2}\bigg]-\frac{27\sqrt{3}}{100\sqrt{5}}S^\frac{3}{2}(\tau-1)=0. \end{equation*}$

可知存在严格增函数 $ s_2(\tau)$, 且满足 $ \displaystyle\lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}s_2(\tau)=+\infty $, 使得 $ 0<a<s_2(\tau)$ 时, 不等式 (3.10) 成立.

最后, 设

$\begin{equation*} a_0=\max\limits_{\tau>1}\frac{|s_1(\tau)+s_2(\tau)|-|s_1(\tau)-s_2(\tau)|}{2} \end{equation*}$

并设在 $ \tau_\ast $ 处达到. 于是当 $ 0<a<a_0 $, 存在 $ \lambda_0>0 $, 若 $ \lambda>\lambda_0 $ 且成立

$\begin{align*} \frac{1}{(\tau_\ast-1)\sqrt{\lambda}}\cdot\frac{16S}{27|h|_q^2}\bigg[3\sqrt{\lambda}g_1(t_1)-S^\frac{3}{2}\bigg]&<\sigma^2<\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\frac{\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}}{(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B)\tau_\ast^2+\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}\tau_\ast}\frac{16S}{27|h|_q^2}K(a)^\frac{3}{2},\\ \frac{1}{(\tau_\ast-1)\sqrt{\lambda}}\cdot\frac{16S}{27|h|_q^2}\bigg[3\sqrt{\lambda}g_1(t_1)-S^\frac{3}{2}\bigg]&<\sigma^2<\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\frac{4\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}\frac{S^{\frac{5}{2}}}{|h|_q^2}, \end{align*}$

则有不等式 (3.1) 与 (3.2) 成立. 取

$\begin{align*} &\sigma_\ast=\frac{1}{(\tau_\ast-1)\sqrt{\lambda}}\cdot\frac{16S}{27|h|_q^2}\bigg[3\sqrt{\lambda}g_1(t_1)-S^\frac{3}{2}\bigg],\\ &\sigma_{\ast\ast}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\min\Bigg\{\frac{16SH^2}{9|h|_q^2(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B)\tau_\ast^2+16SH^2\tau_\ast}\frac{16S}{27|h|_q^2}K(a)^\frac{3}{2},\frac{4\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}\frac{S^{\frac{5}{2}}}{|h|_q^2}\Bigg\} \end{align*}$

即可满足, 证毕.

关于 $ N=5,\,7 $ 的情形, 沿用类似引理 (3.4) 证明思想, 我们仍可得下述引理, 但由于计算中具体表达式会变得相当复杂, 我们略去中间证明细节.

引理 3.5 当 $ N=5 $ 或 7 时, 存在常数 $ a_0>0,\lambda_0>0 $ 及 $ 0<\sigma_\ast<\sigma_{\ast\ast} $, 当 $ 0<a<a_0,\, \lambda>\lambda_0,\,\sigma_\ast<\sigma<\sigma_{\ast\ast} $ 时, 山路水平 $ c_1 $ 满足不等式 (3.1), 且不等式 (3.2) 成立.

证 现在设

$\begin{aligned} &I_{\lambda,\sigma}(tu_0)=g(t)=\frac{1}{2}At^2+\frac{1}{4}Bt^4-\frac{1}{2^\#}Ct^{2^\#}-Ht,\\ &g_1(t)=\frac{1}{2}At^2+\frac{1}{4}Bt^4-\frac{1}{2^\#}Ct^{2^\#},\\ &g'_1(t)=[A+Bt^2-Ct^{2^\#-2}]t. \end{aligned}$

计算知代数方程 $ A+Bt^2-Ct^{2^\#-2}=0 $ 有且仅有一个正的实数根, 记作 $ t_1 $, 于是有

$\begin{equation*} \max\limits_{t\geq0}g_1(t)=g_1(t_1)=t_1^2\bigg[\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^\#}\bigg)A+\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^\#}\bigg)Bt_1^2\bigg]>0. \end{equation*}$

注意到

$\begin{equation*} A+Bt^2-Ct^{2^\#-2}=A+\frac{B}{\lambda^{\frac{N}{4}-1}}\lambda^{\frac{N}{4}-1}t_1^2-\frac{C}{\lambda}(\lambda^{\frac{N}{4}-1}t_1^2)^\frac{2^\#-2}{2}=0, \end{equation*}$

于是有

$\begin{align*} \lim\limits_{\lambda\rightarrow+\infty}\frac{N}{2}\lambda^{\frac{N}{4}-1}g_1(t_1) &=\lim\limits_{\lambda\rightarrow+\infty}\lambda^{\frac{N}{4}-1}t_1^2\bigg[A+\frac{2^\#-4}{2\cdot2^\#-4}B\bigg]\\ &=(S+a\kappa)^\frac{2^\#}{2^\#-2}\stackrel{\triangle}{=}K(a)^\frac{2^\#}{2^\#-2}. \end{align*}$

进而同样得到

$\begin{equation*} g_1(t_1)>\frac{2}{N}\frac{1}{\lambda^{\frac{N}{4}-1}}K(a)^\frac{2^\#}{2^\#-2}. \end{equation*}$

接下来的证明将与引理 3.4 类似, 我们此处略去. 最后可得到存在常数 $ a_0>0,\lambda_0>0 $ 及 $ 0<\sigma_\ast<\sigma_{\ast\ast} $, 当 $ 0<a<a_0,\, \lambda>\lambda_0,\,\sigma_\ast<\sigma<\sigma_{\ast\ast} $ 时, 相应山路水平 $ c_1 $ 满足不等式 (3.1), 且不等式 (3.2) 成立.

接下来将完成定理 1.1 中 $ 5\leq N\leq 7 $ 情形的证明.

定理 1.1 的证明 ($ 5\leq N\leq 7 $ 的情形) 在定理 1.1 条件下, 由 (3.2) 式知

$\begin{equation*} 0<\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation*}$

引理 3.3 保证存在有界序列 $ \{v_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 满足当 $ n\rightarrow+\infty $ 时,

$\begin{aligned} &I(v_n)\rightarrow c_2<0<\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S},\\ &I'(v_n)\rightarrow0. \end{aligned}$

由引理 3.2, 引理 3.4 及引理 3.5 知存在有界序列 $ \{w_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 满足

$\begin{aligned} &I(w_n)\rightarrow c_1\in \bigg(0,\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}\bigg),\\ &I'(w_n)\rightarrow0. \end{aligned}$

最后, 引理 3.1 保证了 $ \{v_n\}_{n=1}^{+\infty},\{w_n\}_{n=1}^{+\infty} $ 分别在 $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 中存在收敛子列, 故可设当 $ n\rightarrow+\infty $ 时, 有 $ v_n\rightarrow v, \, w_n\rightarrow w $ 且满足 $ I(v)=c_2,\,I'(v)=0 $ 及 $ I(w)=c_1,\,I'(w)=0 $, 这说明 $ v,w $ 是方程 (1.1) 的两个临界点, 即得到两个非平凡弱解.

4 $ N=8 $ 时定理 1.1 的证明

在 $ N=8 $ 时, 由于右端非线性项次数与左端非局部项次数相同, 我们需要如下另外精细处理.

引理 4.1 当 $ N=8 $ 时, 存在常数 $ a_0>0,\lambda_0>0 $ 及 $ 0<\sigma_\ast<\sigma_{\ast\ast} $, 当 $ 0<a<a_0,\, \lambda>\lambda_0,\,\sigma_\ast<\sigma<\sigma_{\ast\ast} $ 时, 山路水平 $ c_1 $ 满足不等式 (3.1), 且不等式 (3.2) 成立.

证 令

$\begin{aligned} &I_{\lambda,\sigma}(tu_0)=g(t)=\frac{1}{2}At^2+\frac{1}{4}(B-C)t^4-Ht,\\ &g_1(t)=\frac{1}{2}At^2+\frac{1}{4}(B-C)t^4,\\ &g_1'(t)=[A+(B-C)t^2]t, \end{aligned}$

其中 $ A,B,C,H,\kappa $ 含义均与 (3.3) 式保持一致. 若

$\begin{equation*} b|\nabla u_0|_2^2<\lambda|u_0|_4^4, \end{equation*}$

有 $ C-B>0 $, 此时令 $ g_1'(t)=0 $, 可计算得零点 $ \displaystyle t_1^2=\frac{A}{C-B} $, 对应最大值

$\begin{aligned} \max_{t\geq0}g_1(t)=g_1(t_1) =\frac{A^2}{4(C-B)}=\frac{K(a)^2}{4(\lambda-b\kappa^2)}, \end{aligned}$

其中

$\begin{equation*} K(a)=S+a\kappa, \end{equation*}$

注意到

$\begin{equation}\label{F2.18} \lim\limits_{\lambda\rightarrow+\infty}4\lambda g_1(t_1)=K(a)^2, \end{equation}$

与引理 3.4 类似, 可待定系数 $ \tau>1,0<\theta<1 $ 并令

$\begin{align*} &\sigma_1^2=\theta\frac{4S}{9\tau|h|_q^2}K(a)^2,\quad \xi=(1-\theta)\frac{K(a)^2}{2A+B},\\ &t_2=\min\Bigg\{1,\sqrt{\frac{\xi}{\lambda}}\Bigg\},\quad \sigma_2=\min\Bigg\{\sigma_1,\frac{16SHt_2}{9\tau|h|_q^2}\Bigg\}. \end{align*}$

在 $ 0<\sigma<\sigma_2 $ 时, 有

$\begin{equation*} \max_{t\geq0}g(t)\leq g_1(t_1)-\sigma\int_{\mathbb{R}^N}hu_0 {\rm d}x\cdot t_2<g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation*}$

因此只需保证

$\begin{equation}\label{F2.22} g_1(t_1)-\tau\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}<\frac{1}{4\lambda}S^2-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation}$

类似引理 3.4, 我们只需满足如下条件

$\begin{align*} &0<\sigma^2\lambda<\frac{2S^3}{27|h|_q^2},\quad 0<\sigma^2\lambda<\frac{\theta}{\tau}\frac{4S}{9|h|_q^2}K(a)^2,\quad 0<\sigma^2<\frac{1}{\tau^2}\bigg(\frac{16SH}{9|h|_q^2}\bigg)^2,\\ &0<\sigma^2\lambda<\frac{1-\theta}{4\tau^2}\bigg(\frac{16SH}{9|h|_q^2}\bigg)^2\frac{K(a)^2}{\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B},\quad \frac{1}{\tau-1}\cdot\frac{4S}{9|h|_q^2}[4\lambda g_1(t_1)-S^2]<\sigma^2\lambda. \end{align*}$

通过与引理 3.4 类似分析, 可计算出常数 $ a_0>0,\tau_\ast>1 $, 并得到当 $ 0<a<a_0 $ 时, 存在 $ \lambda_0>0 $ 充分大, 使得若 $ \lambda>\lambda_0 $ 且成立

$\begin{align*} \frac{1}{(\tau_\ast-1)\lambda}\frac{4S}{9|h|_q^2}\bigg[4\lambda g_1(t_1)-S^2\bigg]&<\sigma^2<\frac{1}{\lambda}\frac{\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}}{(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B)\tau_\ast^2+\frac{16SH^2}{9|h|_q^2}\tau_\ast}\frac{4S}{9|h|_q^2}K(a),\\ \frac{1}{(\tau_\ast-1)\lambda}\frac{4S}{9|h|_q^2}\bigg[4\lambda g_1(t_1)-S^2\bigg]&<\sigma^2<\frac{1}{\lambda}\frac{2S^3}{27|h|_q^2},\quad b|\nabla u_0|_2^2<\lambda|u_0|_4^4, \end{align*}$

则有不等式 (3.1) 与 (3.2) 成立. 取

$\begin{align*} &\sigma_\ast=\frac{1}{(\tau_1-1)\lambda}\frac{4S}{9|h|_q^2}\bigg[4\lambda g_1(t_1)-S^2\bigg],\\ &\sigma_{\ast\ast}=\frac{1}{\lambda}\min\Bigg\{\frac{16SH^2}{9|h|_q^2(\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B)\tau_\ast^2+16SH^2\tau_\ast}\frac{4S}{9|h|_q^2}K(a)^2,\frac{2S^3}{27|h|_q^2}\Bigg\}, \end{align*}$

便完成了引理的证明.

定理 1.1 的证明 ($ N=8 $ 的情形) 在定理 1.1 条件下, 同样由 (3.2) 式知

$\begin{equation*} 0<\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}. \end{equation*}$

引理 3.3 保证存在有界序列 $ \{v_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 满足

$\begin{aligned} &I(v_n)\rightarrow c_2<0<\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S},\\ &I'(v_n)\rightarrow0. \end{aligned}$

由引理 3.2, 引理 4.1 知存在有界序列 $ \{w_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 满足

$\begin{aligned} &I(w_n)\rightarrow c_1\in\bigg(0,\frac{2}{N}\lambda^{1-\frac{N}{4}}S^\frac{N}{4}-\frac{9\sigma^2|h|_q^2}{16S}\bigg),\\ &I'(w_n)\rightarrow0. \end{aligned}$

最后, 引理 3.1 保证了 $ \{v_n\}_{n=1}^{+\infty},\{w_n\}_{n=1}^{+\infty} $ 在 $ \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 中分别存在收敛子列, 故可设当 $ n\rightarrow+\infty $ 时, 有 $ v_n\rightarrow v, \, w_n\rightarrow w $ 且满足 $ I(v)=c_2,\,I'(v)=0 $ 及 $ I(w)=c_1,\,I'(w)=0 $, 这说明 $ u,w $ 是方程 (1.1) 的两个临界点, 即得到两个非平凡弱解.

参考文献

Kirchhoff G. Mechanik. Gennany: Teubner Leipzig, 1883

[本文引用: 1]

Liu J, Liao J F, Tang C L.

Positive solutions for Kirchhoff-type equations with critical exponent in $\mathbb{R}^N$

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015, 429(2): 1153-1172

DOI:10.1016/j.jmaa.2015.04.066      URL     [本文引用: 1]

Miyagaki O H, Paes-Leme L C, Rodrigues B M.

Multiplicity of positive solutions for the Kirchhoff-type equations with critical exponent in $\mathbb{R}^n$

Computers & Mathematics with Applications, 2018, 75(9): 3201-3212

DOI:10.1016/j.camwa.2018.01.041      URL     [本文引用: 1]

Ke X F, Liu J, Liao J F.

Positive solutions for a critical $p$-Laplacian problem with a Kirchhoff term

Computers & Mathematics with Applications, 2019, 77(9): 2279-2290

DOI:10.1016/j.camwa.2018.12.021      URL    

Li G B, Niu Y H.

The existence of nontrivial solutions for $p$-Kirchhoff type equations with critical exponent in $\mathbb{R}^N$

Scientia Sinica Mathematica, 2019, 49(2): 139-160

DOI:10.1360/N012017-00142      URL     [本文引用: 1]

Yao X Z, Mu C L.

Multiplicity of solutions for Kirchhoff type equations involving critical Sobolev exponents in high dimension

Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2016, 39(13): 3722-3734

DOI:10.1002/mma.v39.13      URL     [本文引用: 1]

Tang C L, Zhong X J.

The existence and nonexistence results of ground state nodal solutions for a Kirchhoff type problem

Communications on Pure and Applied Analysis, 2017, 16(2): 611-627

He X M, Wu X.

Multiple sign-changing solutions for Kirchhoff-type equations in $\mathbb{R}^3$

Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2018, 41(2): 512-524

DOI:10.1002/mma.v41.2      URL    

Sun Z H, Lei Y F.

Infinitely many sign-changing solutions to Kirchhoff-type equations

Analysis and Mathematical Physics, 2019, 9(1): 565-584

DOI:10.1007/s13324-018-0218-8     

In this paper we study the existence of multiple sign-changing solutions for the following nonlocal Kirchhoff-type boundary value problem: Using a new method, we prove that this problem has infinitely many sign-changing solutions and has a least energy sign-changing solution for p. (3, 5). Few existence results of multiple sign-changing solutions are available in the literature. This new method is that, by choosing some suitable subsets which separate the action functional and on which the functional is bounded, so that we can use genus and the method of invariant sets of descending flow to construct the minimax values of the functional. Our work generalize some results in literature.

Chen X P, Tang C L.

Least energy sign-changing solutions for Kirchhoff-type problems with potential well

Journal of Mathematical Physics, 2022, 63(6): Art 061501

Zhao Y X, Wu X P, Tang C L.

Ground state sign-changing solutions for Schördinger-Kirchhoff-type problem with critical growth

Journal of Mathematical Physics, 2022, 63(10): Art 101503

[本文引用: 1]

Fan H N.

Existence of ground state solutions for Kirchhoff-type problems involving critical Sobolev exponents

Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2018, 41(1): 371-385

DOI:10.1002/mma.v41.1      URL     [本文引用: 1]

Wang Y.

The third solution for a Kirchhoff-type problem with a critical exponent

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2023, 526(1): Art 127174

Luo L P, Tang C L.

Existence and concentration of ground state solutions for critical Kirchhoff-type equation with steep potential well

Complex Variables and Elliptic Equations, 2022, 67(7): 1756-1771

DOI:10.1080/17476933.2021.1897795      URL    

Liu J, Liu T, Pan H L.

A result on a non-autonomous Kirchhoff type equation involving critical term

Applied Mathematics Letters, 2018, 85: 82-87

DOI:10.1016/j.aml.2018.05.026      URL    

Lei C Y, Suo H M, Chu C M, Guo L T.

On ground state solutions for a Kirchhoff type equation with critical growth

Computers & Mathematics with Applications, 2016, 72(3): 729-740

DOI:10.1016/j.camwa.2016.05.027      URL    

Liu J, Liu T, Li H Y.

Ground state solution on a Kirchhoff type equation involving two potentials

Applied Mathematics Letters, 2019, 94: 149-154

DOI:10.1016/j.aml.2019.02.035      URL    

Liu J, Liao J F, Pan H L.

Multiple positive solutions for a Kirchhoff type equation involving two potentials

Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2020, 43(17): 10346-10354

DOI:10.1002/mma.v43.17      URL     [本文引用: 1]

Ma T F.

Positive solutions for a nonlinear nonlocal elliptic transmission problem

Applied Mathematics Letters, 2003, 16(2): 243-248

DOI:10.1016/S0893-9659(03)80038-1      URL     [本文引用: 1]

Wang F L, Avci M, An Y K.

Existence of solutions for fourth order elliptic equations of Kirchhoff type

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, 409: 140-146

DOI:10.1016/j.jmaa.2013.07.003      URL     [本文引用: 1]

Cabada A, Figueiredo G M.

A generalization of an extensible beam equation with critical growth in $\mathbb{R}^N$

Nonlinear Analysis-Real World Applications, 2014, 20: 134-142

DOI:10.1016/j.nonrwa.2014.05.005      URL     [本文引用: 1]

Zhang J H, Liang S H.

Existence and multiplicity of solutions for fourth-order elliptic equations of Kirchhoff type with critical growth in $\mathbb{R}^N$

Journal of Mathematical Physics, 2016, 57(11): Art 111505

[本文引用: 1]

Pu H L, Li S Q, Liang S H, Repov D D.

Nodal solutions of fourth-order Kirchhoff equations with critical growth in $\mathbb{R}^N$

Electronic Journal of Differential Equations, 2021, 1-20

[本文引用: 1]

Lions P L.

The concentration-compactness principle in the calculus of variations-the locally compact case.1

Annales De L Institut Henri Poincare-Analyse Non Lineaire, 1984, 1(2): 109-145

[本文引用: 1]

Lions P L.

The concentration-compactness principle in the calculus of variations-the locally compact case.2

Annales De L Institut Henri Poincare-Analyse Non Lineaire, 1984, 1(4): 223-283

[本文引用: 1]

Ekeland I.

On the variational principle

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1974, 47(2): 324-353

DOI:10.1016/0022-247X(74)90025-0      URL     [本文引用: 1]

Ambrosetti A, Rabinowitz P H.

Dual variational methods in critical point theory and applications

Journal of Functional Analysis, 1973, 14(4): 349-381

DOI:10.1016/0022-1236(73)90051-7      URL     [本文引用: 1]

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