数学物理学报, 2025, 45(6): 1768-1790

抛物 Allen-Cahn 方程 Dirichlet 问题解的收敛性——献给李工宝教授 70 寿辰

王常健1, 郑高峰,2,*

1信阳师范大学数学与统计学院 河南信阳 464000

2华中师范大学数学与统计学学院, 非线性分析教育部重点实验室, 数学物理湖北省重点实验室 武汉 430079

Convergence of Solutions to Dirichlet Problem of Parabolic Allen-Cahn Equation

Wang Changjian1, Zheng Gaofeng,2,*

1School of Mathematics and Statistics, Xinyang Normal University, Henan Xinyang 464000

2School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis and Applications (Ministry of Education), Hubei Provincial Key Laboratory of Mathematical Physics, Central China Normal University, Wuhan 430079

通讯作者: *郑高峰,E-mail: gfzheng@mail.ccnu.edu.cn

收稿日期: 2025-01-6   修回日期: 2025-04-25  

基金资助: 国家自然科学基金(12271195)
国家自然科学基金(12401144)
河南省自然科学基金(242300421695)

Received: 2025-01-6   Revised: 2025-04-25  

Fund supported: NSFC(12271195)
NSFC(12401144)
NSF of Henan Province(242300421695)

摘要

关于 Allen-Cahn 方程收敛性问题的研究, 目前主要集中于 Neumann 边值问题, 然而对相关的其他边值问题却鲜有研究. 该文主要探讨当参数趋于 0 时, 由抛物 Allen-Cahn 方程 Dirichlet 边值问题诱导的极限 varifold 是 Brakke 意义下的平均曲率流.

关键词： 抛物 Allen-Cahn 方程; Dirichlet 问题; Brakke 平均曲率流

Abstract

The studies on the convergence of Allen-Cahn equation mainly focus on Neumann boundary value problems, but there are few researches on other related boundary value problems. This paper mainly explores the limit varifold induced by the Dirichlet boundary value problem of the parabolic Allen-Cahn equation when the parameters tend to 0, which is Brakke's mean curvature flow.

Keywords： parabolic Allen-Cahn equation; Dirichlet problem; Brakke's mean curvature flow

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本文引用格式

王常健, 郑高峰. 抛物 Allen-Cahn 方程 Dirichlet 问题解的收敛性——献给李工宝教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2025, 45(6): 1768-1790

Wang Changjian, Zheng Gaofeng. Convergence of Solutions to Dirichlet Problem of Parabolic Allen-Cahn Equation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(6): 1768-1790

1 引言

考察如下带有 Dirichlet 边界条件的 Allen-Cahn 方程

$\left\{ \begin{array}{ll} \partial_{t}v^{\varepsilon}=\Delta v^{\varepsilon}-\frac{W'(v^{\varepsilon})}{\varepsilon^{2}}, \ &\ \ t>0,x\in \Omega,\\[2.5mm] {v^{\varepsilon}} |_{\partial\Omega}=1, \ & \ \ t>0,\\[2.5mm] v^{\varepsilon}(x,0)=v_{0}^\varepsilon(x),&\ \ x\in \Omega, \end{array} \right.$

其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n} (n\geq 1)$ 中的有界光滑区域, $\varepsilon>0$ 是充分小的参数, $W(s)=\frac{1}{8}(1-s^2)^2,$ 初值 $v_{0}^\varepsilon(x)$ 满足某些光滑性条件. 方程 (1.1) 的能量泛函可以表示为

$\begin{equation}\label{1.2} E^{\varepsilon}[v^{\varepsilon}]:=\int_\Omega \left(\frac{\varepsilon}{2} |\nabla v^{\varepsilon}|^2+\frac{W(v^{\varepsilon})}{\varepsilon}\right) \mathrm{d}x. \end{equation}$

相应地, 可以定义能量测度

$\begin{equation} \mathrm{d}\mu^{\varepsilon}_t=\left(\frac{\varepsilon}{2}|\nabla v^{\varepsilon}|^2+ \frac{W(v^{\varepsilon})}{\varepsilon}\right) \mathrm{d}x. \end{equation}$

在初始能量有界的条件下, 本文的主要目标是研究当 $\varepsilon\to0$ 时测度 $\mathrm{d}\mu^{\varepsilon}_t$ 的极限测度是什么, 它具有什么样的性质, 特别是动力学行为.

方程 (1.1) 是由 Allen 和 Cahn[3] 在研究合金相变时提出的, 当 $\varepsilon\to 0$ 时，反应项 $\frac{W'}{\varepsilon^{2}}$ 迫使 $v^{\varepsilon}$ 逼近于一特征函数，在其中的一个子区域取值为 $+1,$ 另一个为 $-1,$ 在这两个子区域间会形成一个交界面. 随着几何分析和几何测度论等工具的引入, 人们发现交界面能量测度的奇异极限可以用来刻画某些超曲面的平均曲率运动, 相关结果参见文献 [5,8,10,20]所谓的平均曲率运动, 即给定一初始超曲面 $M_{0},$ 若存在超曲面簇 $\{M_{t}\}_{t\geqslant 0}$ 使得其运动速度 $\textbf{v}$ 等于其平均曲率向量 $h$, 亦称之为平均曲率流. 值得注意的是, 超曲面在运动的过程中对应点的曲率可能会变成无界量, 即奇点 (如尖点) 可能会在有限时间内出现, 而超曲面在产生奇点后的运动则不能用经典意义下的平均曲率流来刻画. 自然地, 人们需要给出一些和平均曲率流有关的广义流来帮助理解带有奇性的曲面运动. 在这些广义流中, 其中有一种是水平集流, 它分别是由 Chen 等[12]以及 Evans 和 Spruck 等[14,15]在证明一个退化抛物方程粘性解的存在唯一性时提出的, 而这种解的水平集恰好在某种意义下形成了平均曲率流, 有关该方面的介绍也可以参见文献 [28,29]. 还有一种则是 Brakke 意义下的平均曲率流 (简称 Brakke 流), 它是由 Brakke[6] 于 1978 年基于几何测度论中的 varifold 理论[2,27]提出的, 这种广义流的优点在于可以刻画界面形成过程中产生的多种不同类型的奇点, 例如初始条件可以是由一族~varifold~ 所表示的广义曲面或奇点是三分支的连接点等. Brakke 的主要成就之一是证明了这种曲率流关于时间的广义整体存在性. 然而, 该存在性结果也有一定的局限性, 那就是无法保证非平凡曲率流的整体存在性. 后来, Kim 和 Tonegawa[22] 改进了 Brakke 的研究方法, 在初始条件非常弱的情况下, 证明了非平凡 Brakke 流关于时间的整体存在性.

在现有的文献中, Brakke~流主要是运用相场方法, 结合抛物 Allen-Cahn 方程能量测度的奇异极限构造出来的. 1993 年, Ilmanen[18] 运用该方法考察了全空间上的 Allen-Cahn 方程, 证明了由非平凡整体解的能量测度所诱导 varifold 的极限满足 Brakke 积分不等式, 进而阐明其是一不带边界的 Brakke 流. Takasao 和 Tonegawa[30] 考察了带有传输项的 Allen-Cahn 方程

$\partial_t \varphi_{\varepsilon} +u_{\varepsilon} \cdot \nabla \varphi_{\varepsilon} =\Delta \varphi_{\varepsilon}-\frac{W'(\varphi_{\varepsilon})}{\varepsilon^2}.$

他们证明了 $\mathrm{d}\mu^{\varepsilon}_t=\left(\frac{\varepsilon}{2}|\nabla \varphi^{\varepsilon}|^2+\frac{W(\varphi^{\varepsilon})}{\varepsilon}\right) \mathrm{d}x$ 收敛于一可求长且具有整数重密度的 Radon 测度 $\mathrm{d}\mu_t.$ 此外, 对应 varifold $V_t$ 的运动速度在弱意义下满足 $\textbf{v}=h+u^{\perp},$ 这里 $u$ 是 $u_{\varepsilon}$ 的光滑逼近值, $u^{\perp}$ 表示与 $V_t$ 的切空间正交的向量场. 当考虑 $\Omega$ 是一严格凸的有界光滑区域时, Mizuno 和 Tonegawa[23] 研究了 Allen-Cahn 方程 Neumann 问题的奇异极限, 他们证明了由 Allen-Cahn 方程能量测度所诱导的 varifold 的极限是带有广义直角边界条件的 Brakke 流. Qi 和 Zheng[26] 考察了有界凸区域上带有加权项的 Allen-Cahn 方程 Neumann 问题, 他们得到了一个与权函数有关的 Brakke 不等式, 证明了相应极限 varifold 是 Brakke 流. 后来, 在文献[19] 中, 若同时考虑传输项和权函数的影响, 作者探讨了一类广义 Allen-Cahn 方程 Neumann 问题, 进一步推广了 Brakke 流. 当 $\Omega$ 是一非凸有界区域时, 作者[21]运用极值原理和反射理论修正了文献 [23] 中的方法, 得到了与之类似的结果.

分析上述文献可知, 无论研究区域是全空间还是严格凸或非凸的有界区域, 在考察能量测度奇异极限时, 证明 “残差测度的极限在整个区域上等于 0” 这一结论是至关重要的. 对于 Neumann 边值问题, 为了得到这一结论需要建立梯度平方的法向导数与边界曲率之间的联系, 而此时区域的严格凸性和 Neumann 边界条件起着关键作用. 然而, 对于一些其他边值情形 (如 Dirichlet 边界或 Robin 边界) 的 Allen-Cahn 方程收敛性问题, 由于解的边界梯度不容易得到控制, 目前相关研究还相对较少, 仅仅是在数值方面, 亦或是在光滑意义下和 $\Gamma$-收敛下有一些结果, 分别见文献 [11] 和 [1,7,25]. 此外, Giga 等在文献 [16] 中考察了抛物 Allen-Cahn 方程的动态边值问题, 他们也明确指出, 在此种边值条件下严格证明 “残差测度的极限在边界等于 0” 这一结论是困难的. 为了刻画由能量测度诱导的极限 varifold 是一带有动态边界条件的 Brakke 流, 他们仅仅是结合一些具体的例子来佐证该结论的正确性, 并未给出严格的证明过程. 基于此, 本文考察方程 (1.1), 在初始值满足某些合适条件下, 试图严格证明 “残差测度的极限在整个区域上等于 0” 这一结论, 进而阐明在 Dirichlet 边值条件下由能量测度诱导的极限 varifold 是 Brakke 曲率流. 具体而言, 我们将证明如下定理

定理 1.1 若区域 $\Omega$ 和初值 $v_{0}^{\varepsilon}$ 满足第 2 小节中的假设条件 (1) 和 (2), 则方程 (1.1) 的解存在子序列 $\{v^{\varepsilon_i}\}$ (当 $ i\rightarrow \infty$ 时, $ \varepsilon_i \to 0$), 一族 Radon 测度 $\{\mu_t\}_{t\geq 0}$ 和一族 varifold $\{V_t\}_{t\geq 0} \subset\mathbb{V}_{n-1}(\Omega)$ 使得如下结论成立

(a) 对于一切 $t\geqslant 0$, 当 $i \to \infty$ 时, 有 $\mu_t^{\varepsilon_i} \rightharpoonup \mu_t$;

(b) 对于几乎处处 $t\geqslant 0$, 有 $\mu_t=\|V_t\|$;

(c) 当 $i \to \infty$ 时, 对于几乎处处 $t\geqslant 0$, 有 $V^{\varepsilon_i}_t \rightharpoonup V_t$;

(d) 对于几乎处处 $t\geqslant 0$, 有 $\sigma^{-1}V_{t}\lfloor_{\Omega}\in \mathbb{IV}_{n-1}(\Omega)$;

(e) 对于几乎处处 $t\geqslant 0$, 有 $\|\delta V_t\| (\overline {\Omega}) <\infty$, 以及对于一切 $T>0$, 有 $\int_{0}^{T}\|\delta V_t\| (\overline {\Omega})d t <\infty $;

(f) 对于一切 $T>0$, 存在 $h_{b}=h_{b}(t)\in L^{2}(\|V_{t}\|)$ 使得

$\int_{0}^T d t \int_{\Omega} \left|h_{b}\right|^2 d \|{V}_t\| < \infty;$

(g) 对于任意 $\phi \in C^1(\Omega \times [0,\infty); \mathbb{R}^+)$, 当 $0\leqslant t_1<t_2<\infty$ 时, 存在 $h_{b}=h_{b}(t)\in L^{2}(\|V_{t}\|)$ 使得

$ \int_{\Omega}\phi(\cdot,t)d\| V_{t}\|\Big|_{t=t_{1}}^{t_{2}}\leqslant \int_{t_{1}}^{t_{2}}\int_{\Omega} V_t\| d t.$

上述定理中 $\mathbb{V}_{k}(\Omega)$ 表示区域 $\Omega$ 中由广义 $k$-varifolds 构成的集合, $\mathbb{IV}_{k}(\Omega)$ 表示区域 $\Omega$ 中具有整数重密度的 $k$-varifolds 构成的集合, 这些概念可以参考文献 [2,6,13,27].

本文的具体结构如下: 第 2 节构造一重要的辅助函数 $z^{\varepsilon}(x,t)$, 并给出一些假设条件. 第 3 节建立一涉及能量测度的单调公式. 第 4 节得到了方程解在区域边界附近的梯度估计. 第 5 节运用极大值原理得到了残差的一个上界估计. 第 6 节验证残差测度的极限在整个区域上等于 0. 在第 7 节我们给出了定理 1.1 的证明.

2 预备知识

本小节, 我们首先构造一个辅助函数 $z^{\varepsilon}(x,t)$, 在第 4 小节中将证明它是方程 (1.1) 的一个下解. 此外, 本小节还将给出一些假设条件.

对于某一固定常数 $\tau>0$, 定义区域

$\begin{equation}\label{2.1b} \Omega_{2\tau}=\{x\in\Omega : d(x)<2\tau\}, \end{equation}$

其中 $d(x)$ 表示到边界 $\partial\Omega$ 的距离函数. 由于边界 $\partial\Omega$ 是光滑的, 由文献 [17,引理 3.1.8] 可知, 对于 $k\geqslant 2$ 有 $d(x)\in C^{k}(\Omega_{2\tau})$, 其中 $\tau>0$ 是一仅依赖于 $\Omega$ 的常数.

由于

$\begin{equation} W(s)=\frac{1}{8}(1-s^2)^2, \ \ \ \ s\in \mathbb{R}, \end{equation}$

特别地, 令

$\begin{equation}\label{4.3a} \varphi'(y)=\frac{1}{2}(1-\varphi^2(y)), \ \ \ \ y\in \mathbb{R}, \end{equation}$

则有

$\begin{equation} \varphi(y)=\tanh \frac{y}{2}, \ \ \ \ y\in \mathbb{R}. \end{equation}$

因此, 不难得出

$\begin{equation} \varphi''=W'(\varphi). \end{equation}$

对于任意给定的 $\varepsilon\in(0,1),$ 令 $\ell_{\varepsilon}:=4|\log\varepsilon|.$ 当 $\varepsilon$ 充分小时, 我们记 $g=O (\varepsilon^a|\log\varepsilon|^b)$ 表示 $|g|\leqslant C\varepsilon^a|\log\varepsilon|^b,$ 其中 $C>0$ 为某一常数. 由 $\varphi$ 的表达式可知

$\begin{equation}\label{4.6a} \varphi (\ell_{\varepsilon})=(1-\varepsilon^4)(1+\varepsilon^4)=1+O (\varepsilon^4) \end{equation}$

和

$\begin{equation}\label{4.7a} \varphi' (\ell_{\varepsilon})=\frac{1}{2}(1-(\varphi(\ell_{\varepsilon}))^2)=O (\varepsilon^4). \end{equation}$

定义函数

$\varphi^{\varepsilon}\in \mathcal{C}^{1,1}\cap \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R}\setminus \{\tau\pm\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau\pm2\varepsilon\ell_{\varepsilon}\}\right),$

满足

$\varphi^{\varepsilon}(d(x))=\left\{ \begin{array}{ll} 1, \ &\ \ 0\leqslant d(x)<\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] f_{\varepsilon}(d(x)), \ & \ \ \tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon}\leqslant d(x) \leqslant \tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] \varphi \left(\frac{\tau-d(x)}{\varepsilon}\right),\ & \ \ \tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon} < d(x) < \tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] h_{\varepsilon}(d(x)),\ & \ \ \tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon} \leqslant d(x) \leqslant\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] -1,\ & \ \ \tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}<d(x)<2\tau \ \ \mbox{或}\ \ d(x)\geqslant 2\tau,\\[2.5mm] \end{array} \right.$

其中 $f_{\varepsilon}$ 和 $h_{\varepsilon}$ 是关于 $d(x)$ 的三次多项式, 满足

$\begin{align*} &f_{\varepsilon}(\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon})=\varphi(\ell_{\varepsilon}),\ \ \ \ f'_{\varepsilon}(\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon})=\varphi'(\ell_{\varepsilon}),\end{align*}$
$\begin{align*}&f_{\varepsilon}(\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon})=1,\ \ \ \ f'_{\varepsilon}(\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon})=0 \end{align*}$

和

$\begin{align*} &h_{\varepsilon}(\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon})= \varphi(-\ell_{\varepsilon}),\ \ \ \ h'_{\varepsilon}(\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon})= \varphi'(-\ell_{\varepsilon}),\end{align*}$
$\begin{align*}&h_{\varepsilon}(\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon})=-1,\ \ \ \ h'_{\varepsilon}(\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon})=0. \end{align*}$

具体而言, $f_{\varepsilon}$ 和 $h_{\varepsilon}$ 可以表示如下, 当 $d(x)\in [\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}]$ 时, 有

$\begin{align*} f_{\varepsilon}(d(x))=A_{\varepsilon}\left(\frac{d(x)+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}-\tau}{\varepsilon\ell_{\varepsilon}}\right)^3+B_{\varepsilon} \left(\frac{d(x)+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}-\tau}{\varepsilon\ell_{\varepsilon}}\right)^2+1, \end{align*}$

其中

$\begin{align*} A_{\varepsilon}=2(1-\varphi(\ell_{\varepsilon}))+\varepsilon\ell_{\varepsilon}\varphi'(\ell_{\varepsilon})),\ \ \ \ B_{\varepsilon}=-3(1-\varphi(\ell_{\varepsilon}))-\varepsilon\ell_{\varepsilon}\varphi'(\ell_{\varepsilon})). \end{align*}$

当 $d(x)\in [\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}]$ 时, 有

$\begin{align*} h_{\varepsilon}(d(x))=C_{\varepsilon}\left(\frac{2\varepsilon\ell_{\varepsilon}+\tau-d(x)}{\varepsilon\ell_{\varepsilon}}\right)^3+D_{\varepsilon} \left(\frac{2\varepsilon\ell_{\varepsilon}+\tau-d(x)}{\varepsilon\ell_{\varepsilon}}\right)^2-1, \end{align*}$

其中

$\begin{align*} C_{\varepsilon}=-2(1+\varphi(-\ell_{\varepsilon}))-\varepsilon\ell_{\varepsilon}\varphi'(-\ell_{\varepsilon})),\ \ \ \ D_{\varepsilon}=3(1+\varphi(-\ell_{\varepsilon}))+\varepsilon\ell_{\varepsilon}\varphi'(-\ell_{\varepsilon})). \end{align*}$

接下来, 我们给出关于 $f_{\varepsilon}$ 和 $h_{\varepsilon}$ 的一些估计. 这里不难发现, 对于 $d(x)\in[\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon} ],$ 表达式 $\frac{d(x)+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}-\tau}{\varepsilon\ell_{\varepsilon}}$ 关于 $\varepsilon$ 是一致有界的. 此外, 由 (2.3) 式可知

$\begin{align*} A_{\varepsilon}=(1-\varphi(\ell_{\varepsilon}))\left(2+\frac{1}{2}\varepsilon\ell_{\varepsilon}(1+\varphi(\ell_{\varepsilon}))\right) \end{align*}$

和

$\begin{align*} B_{\varepsilon}=(1-\varphi(\ell_{\varepsilon}))\left(-3-\frac{1}{2}\varepsilon\ell_{\varepsilon}(1+\varphi(\ell_{\varepsilon}))\right). \end{align*}$

因此, 结合 (2.6) 式, 我们有

$\begin{align*} A_{\varepsilon}=O(\varepsilon^4) \ \ \mbox{和} \ \ B_{\varepsilon}=O(\varepsilon^4), \end{align*}$

由此不难得到

$\begin{align*}\label{4.20a} \|f_{\varepsilon}-1\|_{L^{\infty}((\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}))}= O(\varepsilon^4), \end{align*}$

及

$ \begin{align*}\label{4.21a} \|f'_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}((\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}))}= O(\varepsilon^3|\log\varepsilon|^{-1}) \ \ \mbox{和} \ \ \|f''_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}((\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}))}= O(\varepsilon^2|\log\varepsilon|^{-2}). \end{align*}$

类似地, 我们有

$\begin{align*} C_{\varepsilon}=O(\varepsilon^4), \ \ D_{\varepsilon}=O(\varepsilon^4)\ \ \mbox{和}\ \ \|h_{\varepsilon}+1\|_{L^{\infty}((\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}))}= O(\varepsilon^4) \end{align*}$

以及

$\begin{align*} \|h'_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}((\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}))}= O(\varepsilon^3|\log\varepsilon|^{-1}) \ \ \mbox{和} \ \ \|h''_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}((\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon},\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}))}= O(\varepsilon^2|\log\varepsilon|^{-2}). \end{align*}$

综上, 可以定义辅助函数 $z^{\varepsilon}(x)=\varphi^{\varepsilon}(d(x))-\varepsilon^3,$

$\begin{equation}\label{4.24a} z^{\varepsilon}(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1-\varepsilon^3, \ &\ \ 0\leqslant d(x)<\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] f_{\varepsilon}(d(x))-\varepsilon^3, \ & \ \ \tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon}\leqslant d(x) \leqslant \tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] \varphi \left(\frac{\tau-d(x)}{\varepsilon}\right)-\varepsilon^3,\ & \ \ \tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon} < d(x) < \tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] h_{\varepsilon}(d(x))-\varepsilon^3,\ & \ \ \tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon} \leqslant d(x) \leqslant\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon},\\[2.5mm] -1-\varepsilon^3,\ & \ \ \tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}<d(x)<2\tau \ \ \mbox{或}\ \ d(x)\geqslant 2\tau,\\[2.5mm] \end{array} \right. \end{equation}$

在第 4 小节, 我们将证明 $z^{\varepsilon}(x)$ 为方程 (1.1) 的一个下解.

据此, 我们给出本文将要用到的一些假设以及方程 (1.1) 解的部分先验估计.

(1) $\label{item:1}$$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n} (n\geq 1)$ 中严格凸的有界光滑区域, 且满足一致外球条件;

(2) 设初值 $\{v_0^\varepsilon\} \subset W^{1,2}(\Omega)$ 满足如下条件

$z^{\varepsilon}(x)\leqslant v_{0}^{\varepsilon}(x), \ \ x\in \overline{\Omega};\label{2.1bb}$
$\ v_{0}^{\varepsilon}(x)|_{\Omega_{\frac{\tau}{2}}}=1;\label{2.2bb}$
$\ \|v_0^\varepsilon(x)\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1; \label{2.1}$
$\ \sup_{0<\varepsilon <1} E^{\varepsilon} (v_0^\varepsilon) \leqslant c_1; \label{2.2} $
$\ \sup_{i}\max_{x\in \bar \Omega} \varepsilon^i |\nabla^i v_0^\varepsilon| \leqslant c_2, \ \ \ i\in \{1, 2, 3\}. \label{2.3} $

注 2.1 事实上, 条件 (2.27)-(2.29) 是合理的, 并且在文献 [21,23,24,26] 得到了验证. 此外, 对于 $W(s)=\frac{1}{8}(1-s^2)^2,$ 不难得出

$ W(s)\in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \ \ W(\pm 1)=0, \ W(s)\geqslant 0, \forall s\in \mathbb{R}; \label{2.4}$
$\ W'(s)<0, \ \forall s\in (0, 1); \ W'(s)>0, \forall s\in (-1, 0); \label{2.5}$
$\ W''(s)\geqslant \frac{1}{2}, \mbox{ 当 } \sqrt{\frac{2}{3}} \leqslant |s| \leqslant 1. \label{2.6}$

命题 2.1 对于任意给定 $\varepsilon \in (0, 1)$, 存在方程 (1.1) 的解 $v^{\varepsilon}$ 满足

$v^{\varepsilon} \in L^2_{loc}([0, \infty); W^{2,2}(\Omega))\cap C^{\infty}(\overline \Omega \times (0, \infty)), \partial_tv^{\varepsilon} \in L^2((0,\infty); L^2(\Omega)),$

使得

$E^{\varepsilon} (v^{\varepsilon}(\cdot, t)) +\int_0^t \int_{\Omega} \varepsilon \left(\Delta v^{\varepsilon}- \frac{W'(v^{\varepsilon})}{\varepsilon^2}\right)^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}t =E^{\varepsilon}(v_0^\varepsilon) \leqslant c_1,$

即 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mu^{\varepsilon}_t (\Omega) \leqslant 0, \ \ \mu^{\varepsilon}_t (\Omega) \leqslant c_1.$

证 运用分部积分公式, 结合 Dirichlet 边界条件不难得出

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E^{\varepsilon}(v^{\varepsilon})&=\int_{\Omega} \varepsilon \nabla v^{\varepsilon} \cdot \nabla \partial_t v^{\varepsilon} + \frac{W'(v^{\varepsilon})}{\varepsilon} \partial_t v^{\varepsilon} \mathrm{d}x =-\int_{\Omega} \varepsilon \left(\Delta v^{\varepsilon} - \frac{W'(v^{\varepsilon})}{\varepsilon}\right)^2 \mathrm{d}x \leqslant 0. \end{aligned}$

由上述不等式, 结合假设条件 (2.28) 和 $\mathrm{d}\mu^{\varepsilon}_t$ 的定义, 即可得出我们想要的结论.

引理 2.1[23,引理 4.4] 设 $v^{\varepsilon}$ 是方程 (1.1) 的解, 对一切 $\varepsilon\in(0,1)$, 存在仅依赖于 $n, c_1$ 和 $W$ 的常数 $c_3>0$ 使得

$\begin{equation}\label{2.11} \sup_{t\in [0,\infty)} \|v^{\varepsilon}(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\overline {\Omega})} \leqslant 1 \end{equation}$

和

$\begin{equation}\label{2.8*} \sup_{\overline {\Omega} \times [{0}, \infty)} \varepsilon |\nabla v^{\varepsilon}| \leqslant c_3. \end{equation}$

3 单调公式

在本小节, 我们建立一个单调型公式. 为此, 需要给出一些和反射理论有关的记号和定义.

定义 $\kappa_{0}:=\parallel \partial\Omega \ \mbox{的主曲率} \parallel_{L^{\infty}(\partial\Omega)}$. 对于 $r>0,$ 定义 $\mathbb{R}^n$ 中的管状邻域 $N_r:= \{ x\in \mathbb{R}^n : \mbox{dist}(x,\partial\Omega)<r \}.$ 不难发现, 存在仅依赖于 $\partial\Omega$ 的常数 $c_{0}\in (0,\frac{1}{\kappa_{0}}]$, 对于每一点 $x\in N_{c_{0}}$, 都有唯一的点 $\xi (x)\in \partial \Omega$ 使得 $\mbox{dist}(x, \partial \Omega)=|x-\xi(x)|$. 记 $x$ 关于 $\partial \Omega$ 的反射点为 $\tilde{x}:=2\xi (x) -x.$

对于 $s>t>0$, $y\in \mathbb{R}^n$, 定义反向热核函数

$\begin{equation}\label{3.1} \rho_{(y,s)}(x,t):=\frac{1}{(4\pi (s-t))^{\frac{n-1}{2}}} \mbox{e}^{-\frac{|x-y|^2}{4(s-t)}}. \end{equation}$

为了得到局部估计, 定义径向对称截断函数 $\eta(r) \in C^{\infty} (\mathbb{R}^{n})$ 使得

$0\leqslant \eta(r) \leqslant 1,\ \ \frac{d \eta}{d r}\leqslant 0,\ \ spt \ \eta \subset [0,\frac{c_{0}}{2}); \ \ \eta=1, \ r\in [0,\frac{c_{0}}{4}].$

此外, 当 $x,y\in N_{c_{0}}$ 时, 对应的截断反向热核函数与反射反向热核函数可分别表示为

$\begin{equation}\label{3.3} \rho_1=\rho_1(x,t)=\eta (\mid x-y \mid) \rho_{(y,s)} (x,t) \ \mbox{和} \ \ \rho_2=\rho_2(x,t)=\eta (\mid \tilde{x} -y \mid) \rho_{(y,s)} (\tilde{x},t). \end{equation}$

同时, 我们给出如下符号测度

$\begin{equation}\label{3.4} d \xi^{\varepsilon}_t=\left(\frac{\varepsilon}{2}|\nabla v^{\varepsilon}(x,t)|^2 -\frac{W(v^{\varepsilon}(x, t))}{\varepsilon}\right)d x. \end{equation}$

引理 3.1 当 $t\in (0, s)$, $y\in N_{c_{0}/2}$ 时, 存在仅依赖于 $n, c_0$ 和 $c_1$ 的正数 $c_4, c_5$, 使得如下微分不等式成立

$\begin{equation}\label{3.5} \frac{d}{d t} \left(e^{c_4 (s-t)^{\frac{1}{4}}} \int_{\Omega} (\rho_1 +\rho_2) d \mu^{\varepsilon}_t (x)\right) \leqslant e^{c_4 (s-t)^{\frac{1}{4}}} \left(c_5 +\int_{\Omega} \frac{\rho_1 +\rho_2}{2(s-t)} d \xi^{\varepsilon}_t (x)\right). \end{equation}$

当 $t\in (0, s)$, $y\in \Omega \setminus N_{c_{0}/2}$ 时, 有

$\begin{equation}\label{3.6} \frac{d}{d t} \int_{\Omega} \rho_1 d \mu^{\varepsilon}_t (x) \leqslant c_5 +\int_{\Omega} \frac{\rho_1}{2(s-t)} d \xi^{\varepsilon}_t (x). \end{equation}$

证 不妨假设 $l_{\varepsilon}:=-\varepsilon \Delta v^{\varepsilon} +\frac{W'(v^{\varepsilon})}{\varepsilon}.$ 由分部积分公式可得

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{d t} \int_{\Omega} \rho_i d \mu^{\varepsilon}_t &=& \int_{\Omega} -\frac{1}{\varepsilon} \left(l_{\varepsilon} -\frac{\varepsilon \nabla v^{\varepsilon}\cdot \nabla \rho_i}{\rho_i}\right)^2 \rho_i d x+ \int_{\Omega} \varepsilon \frac{(\nabla v^{\varepsilon} \cdot \nabla \rho_i)^2}{\rho_i} d x \\ && + \int_{\Omega} \left(\partial_t \rho_i +\Delta \rho_i\right) d \mu^{\varepsilon}_t -\int_{\Omega} \varepsilon (\nabla v^{\varepsilon}\otimes \nabla v^{\varepsilon} \cdot \nabla^2 \rho_i) d x\\ && -\int_{\partial \Omega} \nabla \rho_i \cdot \nu \left(\frac{\varepsilon}{2} |\nabla v^{\varepsilon}|^2 +\frac{W(v^{\varepsilon})}{\varepsilon}\right) d \mathcal{H}^{n-1}\\ && +\int_{\partial \Omega}\varepsilon(\nabla v^{\varepsilon}\cdot\nu)(\nabla\rho_{i}\cdot\nabla v^{\varepsilon})d \mathcal{H}^{n-1}, \end{eqnarray*}$

这里用到了 Dirichlet 边界条件 $v^{\varepsilon}|_{\partial\Omega}=1$. 下面, 记 $a^{\varepsilon}=\frac{\nabla v^{\varepsilon} }{|\nabla v^{\varepsilon}|}$. 由于 $\mu^{\varepsilon}_t =\varepsilon |\nabla v^{\varepsilon}|^2 -\xi^{\varepsilon}_t,$ 故有

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \int_{\Omega}\left(\rho_{1}+\rho_{2}\right) \mathrm{d} \mu_{t}^{\varepsilon} \leqslant & \sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega}\left(\frac{\left(a^{\varepsilon} \cdot \nabla \rho_{i}\right)^{2}}{\rho_{i}}+\left(I-a^{\varepsilon} \otimes a^{\varepsilon}\right) \cdot \nabla^{2} \rho_{i}+\partial_{t} \rho_{i}\right) \varepsilon\left|\nabla v^{\varepsilon}\right| \mathrm{d} x \\ & -\sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega}\left(\partial_{t} \rho_{i}+\Delta \rho_{i}\right) \mathrm{d} \xi_{t}^{\varepsilon}+\int_{\partial \Omega} \varepsilon\left(\nabla v^{\varepsilon} \cdot \nu\right)\left(\left(\nabla \rho_{1}+\nabla \rho_{2}\right) \cdot \nabla v^{\varepsilon}\right) \mathrm{d} \mathcal{H}^{n-1} \\ = & : I_{1}+I_{2}+I_{3} \end{aligned}$

运用类似于文献 [23] 中的方法, 分别可得

$I_1 \leqslant c_4 (s-t)^{-\frac{3}{4}} \int_{\Omega} \rho_2 d \mu^{\varepsilon}_t +c_5$
和$I_2 \leqslant \int_{\Omega} \frac{\rho_1 +\rho_2}{2(s-t)} d \xi^{\varepsilon}_t +c_4 (s-t)^{-\frac{3}{4}} \int_{\Omega} \rho_2 d \mu^{\varepsilon}_t +c_5.$

对于 $x\in\partial \Omega$, $x=\tilde{x}$, 不难得到 $\nabla |\tilde{x}-y|^{2}\cdot \nu+\nabla |x-y|^{2}\cdot \nu=0$, 这意味着 $\nabla (\rho_1 +\rho_2) \cdot \nu |_{\partial \Omega} =0$. 由于 ${v^{\varepsilon}} |_{\partial\Omega}=1$, 可知 $\nabla v^{\varepsilon}$ 平行于边界 $\partial\Omega$ 上每一点处的法向量, 因此有 $\nabla v^{\varepsilon}= \pm|\nabla v^{\varepsilon}|\nu$. 据此, 我们计算 $I_3$ 可得

$\begin{align*} I_3&=\int_{\partial \Omega}\varepsilon(\nabla v^{\varepsilon}\cdot\nu)((\nabla\rho_{1}+\nabla\rho_{2})\cdot\nabla v^{\varepsilon})d \mathcal{H}^{n-1} \\ &=\int_{\partial \Omega}\varepsilon(\nabla v^{\varepsilon}\cdot\nu)((\nabla\rho_{1}+\nabla\rho_{2})\cdot(\pm)|\nabla v^{\varepsilon}|\nu)d \mathcal{H}^{n-1} =0. \end{align*}$

最后, 结合 $I_1, I_2, I_3$ 的估计则有

$\frac{d}{d t}\int_{\Omega} (\rho_1 +\rho_2) d \mu^{\varepsilon}_t \leqslant \frac{ c_4}{ (s-t)^{\frac{3}{4}}} \int_{\Omega} (\rho_1+\rho_2) d \mu^{\varepsilon}_t +c_5+ \int_{\Omega} \frac{\rho_1+\rho_2}{2(s-t)} d \xi^{\varepsilon}_t.$

对上式简单变形即可得不等式 (3.4). 值得注意的是当 $y\in \Omega\backslash N_{c_{0}/2}$ 时, 有 $\rho_2 \equiv 0$. 重复上述步骤, 不等式 (3.5) 亦可得出.

4 解的边界梯度估计

在本节, 我们首先证明 $z^{\varepsilon}(x,t)$ 是方程 (1.1) 的一个下解, 然后构造闸函数得到解在边界附近的梯度估计.

引理 4.1 若 $\tau>0$ 是某一常数, 满足 $2\tau \kappa_{0}<1$ (其中 $\kappa_{0}$ 的定义见第 3 节), 则存在 $\varepsilon_{0}>0$, 对任意 $\varepsilon\in (0,\varepsilon_{0}),$ 及 $x\in\Omega\setminus \{\{x\in\Omega : d(x)=\tau\pm 2\varepsilon\ell_{\varepsilon}\}\cup\{x\in\Omega : d(x)=\tau\pm \varepsilon\ell_{\varepsilon}\}\},$ 有

$\begin{align*}\label{4.26a} -\Delta z^{\varepsilon}+\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2} \leqslant 0.\end{align*}$

证 当 $\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}<d(x)<\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时, 则有

$\begin{align*} -\Delta z^{\varepsilon}+\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2}&=-\frac{1}{\varepsilon^2}\varphi''+\frac{1}{\varepsilon} \varphi'\Delta d +\frac{W'(\varphi)}{\varepsilon^2}-\varepsilon W''(\varphi)+O(\varepsilon^2)\end{align*}$
$\begin{align*}&=\frac{1}{\varepsilon} \varphi'\Delta d -\varepsilon W''(\varphi)+O(\varepsilon^2), \end{align*}$

其中 $|\nabla d|=1$, $\varphi''=W'(\varphi)$. 对于任意 $x\in \Omega_{2\tau}$, 存在唯一 $y\in\partial\Omega$ 使得 $d(x)=|x-y|$ 和 $\nabla d(x)=\nu(y),$ 故由文献 [17,引理 3.1.9] 可知

$\begin{equation} -\Delta d(x)=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\kappa_{i}(y)}{1-\kappa_{i}(y)d(x)}, \end{equation}$

这里 $\kappa_{1},\cdots,\kappa_{n-1}$ 表示边界 $\partial\Omega$ 关于法向 $\nu$ 的主曲率. 由区域 $\Omega$ 的严格凸性可知 $\kappa_{1},\cdots,\kappa_{n-1}>0$. 此外, 由于 $ 0 <\kappa_{i}d\leqslant 2\tau\kappa_{0} <1,$ 故存在 $m,M>0$ 使得 $ 0<m\leqslant-\Delta d(x)\leqslant M.$ 因为 $\varphi'>0,$ 不难推出

$\begin{align*} \frac{1}{\varepsilon} \varphi'\Delta d -\varepsilon W''(\varphi)+O(\varepsilon^2)\leqslant -\varepsilon\left(m\frac{1}{\varepsilon^2}\varphi'+ W''(\varphi)\right)+O(\varepsilon^2). \end{align*}$

由函数 $\varphi'$ 和 $W''(\varphi)$ 的性质可知, 存在 $c>0$ 使得 $c\varphi'+ W''(\varphi)>0$ 成立. 因此, 存在充分小的 $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(c,m)>0$, 当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$ 时, 我们有

$\begin{align*} -\varepsilon\left(m\frac{1}{\varepsilon^2}\varphi'+ W''(\varphi)\right)+O(\varepsilon^2) \leqslant -\varepsilon (c\varphi'+ W''(\varphi))+O(\varepsilon^2)\leqslant 0. \end{align*}$

因此, 当 $\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}<d(x)<\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时有

$\begin{align*} -\Delta z^{\varepsilon}+\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2} \leqslant 0. \end{align*}$

接下来, 我们验证当 $\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon}<d(x)<\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时, 不等式 (4.1) 成立. 由 $f_{\varepsilon}$ 的估计 (2.21) 并结合泰勒展开式可得

$\begin{align*}\label{4.35a} -\Delta z^{\varepsilon}+\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2} &=-f''_{\varepsilon}-f'_{\varepsilon}\Delta d +\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2} non \\ &=O(\varepsilon^2|\log\varepsilon|^{-2})+O(\varepsilon^3|\log\varepsilon|^{-1})+\frac{W'(f_{\varepsilon})}{\varepsilon^2} -\varepsilon W''(f_{\varepsilon})+O(\varepsilon^2). \end{align*}$

由 (2.20) 式可知 $f_{\varepsilon}=1+O(\varepsilon^4)$, 因此有 $W'(f_{\varepsilon})=-\frac{1}{2}f_{\varepsilon}(1+f_{\varepsilon})(1-f_{\varepsilon})=O(\varepsilon^4)$ 和 $W''(f_{\varepsilon})=\frac{3}{2}f_{\varepsilon}^2-\frac{1}{2}=1+O(\varepsilon^4).$ 由于 (4.8) 式的正负情况主要依赖于 $-\varepsilon W''(f_{\varepsilon}),$ 而且 $-\varepsilon W''(f_{\varepsilon})=-\varepsilon +O(\varepsilon^5)$, 因此当 $\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon}<d(x)<\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时, 有

$\begin{align*} -\Delta z^{\varepsilon}+\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2} \leqslant 0. \end{align*}$

运用类似的方法, 不难得出, 当 $\tau+\varepsilon\ell_{\varepsilon}<d(x)<\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时, 亦有

$\begin{align*} -\Delta z^{\varepsilon}+\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2} \leqslant 0. \end{align*}$

最后, 当 $d(x)<\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 和 $d(x)>\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时, 我们证明 (4.1) 式成立. 由于当 $d(x)<\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 和 $d(x)>\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时, $z^{\varepsilon}(x)$ 分别为 $1-\varepsilon^3 $ 和 $-1-\varepsilon^3 $, 故而可得 $\Delta z^\varepsilon=0$. 此外, 由于 $W'(\pm1)=0$ and $W''(\pm1)=1,$ 故当 $d(x)<\tau-2\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 和 $d(x)>\tau+2\varepsilon\ell_{\varepsilon}$ 时, 有

$\frac{W'(z^{\varepsilon})}{\varepsilon^2}=-\varepsilon+O(\varepsilon^2)\leqslant 0.$

综上可知, 当 $x\in\Omega\setminus \{\{x\in\Omega : d(x)=\tau\pm 2\varepsilon\ell_{\varepsilon}\}\cup\{x\in\Omega : d(x)=\tau\pm \varepsilon\ell_{\varepsilon}\}\}$ 时, 有 (4.1) 式成立.

下面, 我们给出方程 (1.1) 弱下解的定义, 并运用类似文献 [9] 中的方法证明 $z^{\varepsilon}(x,t)$ 是方程 (1.1) 的一个弱下解.

定义 4.1 设 $h(x,t)$ 满足 $h(x,t)\in L^{2}((0,\infty); H^{1}(\Omega))\cap H^{1}([0,\infty); L^{2}(\Omega)),$ 若对于任意非负函数 $\phi\in H^{1}(\Omega)$ 有

$\begin{array}{l} \int_{\Omega}\left\{\phi(x) \frac{\partial h}{\partial t}(x, t)+\langle\nabla(h(x, t), \nabla \phi(x)\rangle\right. \\ \left.+\varepsilon^{-2} \phi(x) W^{\prime}(h(x, t))\right\} \mathrm{d} x-\int_{\partial \Omega} \phi \frac{\partial h}{\partial \nu}(x, t) \mathrm{d} S \leqslant 0 \end{array}$

其中 $\nu$ 是边界$\partial\Omega$ 的外法向量, 则称 $h(x,t)$ 是方程 (1.1) 的弱下解.

引理 4.2 设 $z^{\varepsilon}$ 是 (2.24) 式中定义的函数, $v^{\varepsilon}$ 是方程 (1.1) 的解, 满足 $z^{\varepsilon},v^{\varepsilon}\in L^{2}((0,\infty); $$H^{1}(\Omega))\cap H^{1}([0,\infty); L^{2}(\Omega)).$ 若对任意非负函数 $\phi\in H^{1}(\Omega),$$t\in(0,\infty),$ 有

$\begin{array}{l} \int_{\Omega}\left\{\phi(x) \frac{\partial}{\partial t}\left(z^{\varepsilon}(x, t)-v^{\varepsilon}(x, t)\right)+\left\langle\nabla\left(z^{\varepsilon}(x, t)-v^{\varepsilon}(x, t)\right), \nabla \phi(x)\right\rangle\right. \\ \left.+\varepsilon^{-2} \phi(x)\left[W^{\prime}\left(z^{\varepsilon}(x, t)\right)-W^{\prime}\left(v^{\varepsilon}(x, t)\right)\right]\right\} \mathrm{d} x-\int_{\partial \Omega} \phi \frac{\partial\left(z^{\varepsilon}(x, t)-v^{\varepsilon}(x, t)\right)}{\partial \nu} \mathrm{d} S \leqslant 0, \end{array}$

以及在 $\Omega$ 上几乎处处有

$\begin{align*}\label{4.43a} z^{\varepsilon}(x)\leqslant v^{\varepsilon}_{0}(x) \end{align*}$

成立, 那么对任意 $t\in[0,\infty)$, 在 $\Omega$ 上几乎处处有

$\begin{align*}\label{4.44a} z^{\varepsilon}(x)\leqslant v^{\varepsilon}(x,t). \end{align*}$

证 对任意 $\sigma\in \mathbb{R},$ 记 $\alpha(\sigma):=\max\{\sigma,0\}$, 以及 $e(x,t): =\alpha(z^\varepsilon-v^{\varepsilon}).$ 注意到

$e(x,t)=\max\{z^\varepsilon-v^{\varepsilon},0\}\in L^{2}((0,\infty); H^{1}(\Omega))\cap H^{1}([0,\infty); L^{2}(\Omega)),$

结合 （4.13） 式, 则在 $\Omega$ 上几乎处处有

$\begin{align*} e(x,0)=0. \end{align*}$

要证明的不等式 (4.14) 等价于证明对任意 $t\in[0,\infty)$, 在 $\Omega$ 上几乎处处有 $e(x,t)=0$ 成立.

对任意 $t\in[0,\infty),$ 定义

$\begin{align*} I(t):=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(e(x,t))^2d x, \end{align*}$

注意到 $I(0)=0.$ 接下来, 我们需要证明 $I(t)=0$ 在 $(0,\infty)$ 成立. 为此, 需要得出一个关于 $I(t)$ 的微分不等式. 由文献 [4] 可知 $I(t)$ 在 $(0,\infty)$ 一致连续, 而且

$I'(t)=\int_{\Omega}e\frac{\partial}{\partial t}(z^{\varepsilon}-v^{\varepsilon})d x,$

在 $(0,\infty)$ 上几乎处处成立. 由 $z^{\varepsilon}$ 的定义可知 $z^{\varepsilon}|_{\partial\Omega}=1-\varepsilon^3<v^{\varepsilon}|_{\partial\Omega}=1,$ 则 $e|_{\partial\Omega}=0$ 几乎处处成立, 因此

$\begin{align*} \int_{\partial\Omega}e\frac{\partial(z^{\varepsilon}(x,t)-v^{\varepsilon}(x,t))}{\partial \nu}d \mathcal{H}^{n-1}=0. \end{align*}$

由引理 4.1 可得

$I^{\prime}(t)+\int_{\Omega}\left\langle\nabla\left(z^{\varepsilon}-v^{\varepsilon}\right), \nabla e\right\rangle \mathrm{d} x \leqslant \varepsilon^{-2} \int_{\Omega} e\left(W^{\prime}\left(v^{\varepsilon}\right)-W^{\prime}\left(z^{\varepsilon}\right)\right) \mathrm{d} x$

在 $(0,\infty)$ 上几乎处处成立. 注意到

$\int_{\Omega}\left\langle\nabla\left(z^{\varepsilon}-v^{\varepsilon}\right), \nabla e\right\rangle \mathrm{d} x=\int_{A_{t}}|\nabla e|^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 0$

其中集合 $A_{t}=\{x\in \Omega: z^{\varepsilon}(x,t)-v^{\varepsilon}(x,t)>0\}.$ 结合 (4.18) 和 (4.19) 式可得

$\begin{align*} I'(t)\leqslant \varepsilon^{-2}\int_{\Omega} e(W'(v^{\varepsilon})-W'(z^{\varepsilon}))d x \end{align*}$

在 $(0,\infty)$ 上几乎处处成立. 由于 $W'(s)=\frac{1}{2}(s^3-s)=-\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}s^3:=\varpi_{l}+\varpi_{i},$ 不难得出 $\varpi_{l}\in \mbox{Lip}(\mathbb{R})$, 以及 $\varpi_{i}$ 在 $\mathbb{R}$ 上是非减函数, 于是有

$\begin{align*} \int_{\Omega}e(W'(v^{\varepsilon})-W'(z^{\varepsilon}))d x &=\int_{\Omega}e(\varpi_{l}(v^{\varepsilon})-\varpi_{l}(z^{\varepsilon}))d x+\int_{\Omega}e(\varpi_{i}(v^{\varepsilon})-\varpi_{i}(z^{\varepsilon}))d x non \\ &=\int_{\Omega}e(\varpi_{l}(v^{\varepsilon})-\varpi_{l}(z^{\varepsilon}))d x+\int_{A_{t}}e(\varpi_{i}(v^{\varepsilon})-\varpi_{i}(z^{\varepsilon}))d x non \\ &\leqslant \int_{\Omega}e(\varpi_{l}(v^{\varepsilon})-\varpi_{l}(z^{\varepsilon}))d x. \end{align*}$

因此, 对任意 $t\in(0,\infty)$ 有

$\begin{align*} I(t)&\leqslant \varepsilon^{-2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega} e(\theta,x)|\varpi_{l}(v^{\varepsilon}(\theta,x))-\varpi_{l}(z^{\varepsilon}(\theta,x))|d xd \theta non\\ &\leqslant \mbox{Lip}(\varpi_{l})\varepsilon^{-2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega} e(\theta,x)|v^{\varepsilon}(\theta,x)-z^{\varepsilon}(\theta,x)|d xd \theta non\\ &=\mbox{Lip}(\varpi_{l})\varepsilon^{-2}\int_{0}^{t}\|e(\theta,\cdot)\|^{2}_{L^2(\Omega)}d \theta =2\mbox{Lip}(\varpi_{l})\varepsilon^{-2}\int_{0}^{t}I d \theta, \end{align*}$

其中 $\mbox{Lip}(\varpi_{l})$ 是函数 $\varpi_{l}$ 的 Lipschtiz 常数. 由 Gronwall 引理, 可知 $I(t)\leqslant 0.$ 由 $I(t)$ 的定义可知 $I(t)=0$, 这样就完成了该引理的证明.

推论 4.1 设 $v^{\varepsilon}(x,t)$ 是方程 (1.1) 的解, 当 $(x,t)\in \Omega_{\frac{\tau}{2}}\times[0,\infty)$ 时, 存在 $\varepsilon_{0}>0$ 对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$, 使得

$\begin{align*} v^{\varepsilon}(x,t)\geqslant 1-\varepsilon^3, \end{align*}$

在 $\overline{\Omega}\times [0,\infty)$ 上几乎处处成立.

证 由引理 4.2 可知 $z^{\varepsilon}(x)\leqslant v^{\varepsilon}(x,t)$ 在 $\overline{\Omega}\times [0,\infty)$ 上几乎处处成立. 若取充分小的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 使得 $\frac{\tau}{2}<\tau-\varepsilon\ell_{\varepsilon}$, 则由 $z^{\varepsilon}(x)$ 的定义可知结论成立.

命题 4.1 设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n} (n\geq 1)$ 中严格凸的有界光滑区域, 满足一致外球条件. 对任意的 $\varepsilon \in(0,1),$ 存在 $\tau>0$ 使得 $u^{\varepsilon}(x,t)$ 满足

$\left\{ \begin{array}{ll} u^{\varepsilon}_{t}=\Delta u^{\varepsilon}+g(x,t), \ &\ \ t\in({0},\infty), x\in {\Omega}_{\frac{\tau}{2}},\\[2.5mm] {u^{\varepsilon}}|_{\partial\Omega}=0, \ & \ \ t\in(0,\infty),\\[2.5mm] 0\leqslant{u^{\varepsilon}}|_{\Gamma}\leqslant \varepsilon^{3},\ & \ \ t\in(0,\infty),\\[2.5mm] u^{\varepsilon}(x,0)=0,\ & \ \ x\in {\Omega}_{\frac{\tau}{2}},\\[2.5mm] \end{array} \right.$

这里 $\Gamma$ 表示区域 $\Omega_{\frac{\tau}{2}}$ 的内边界. 若 $\|g\|_{L^{\infty}}\leqslant N,$ 其中 $N>0$ 是一不依赖于 $\varepsilon$ 的数, 那么

$\begin{equation}\label{4.65a} \sup_{\partial \Omega \times [0,\infty) }|\nabla u^{\varepsilon}|\leqslant C, \end{equation}$

这里 $C>0$ 仅依赖于 $n$, $N$, $\Omega$ 的外球半径, 以及区域 $\Omega$ 的直径.

证 对固定 $x_{0}\in \partial \Omega,$ 定义

$\begin{equation} \omega^{+}(x,t)=K\left(\frac{1}{r^{n-1}}-\frac{1}{|x-y|^{n-1}}\right) \end{equation}$

其中 $y$ 为 $x_{0}$ 处的外球的球心, $r>0$ 是外球的半径,常数 $K>0$ 待定.

对任何 $K>0,$ 都有 $u^{\varepsilon}|_{\partial \Omega}=0\leqslant\omega^{+}|_{\partial \Omega},$$u^{\varepsilon}(x,0)|_{{\Omega}_{\frac{\tau}{2}}}=0\leqslant \omega^{+}|_{{\Omega}_{\frac{\tau}{2}}}$, 以及

$\begin{equation}\label {4.67a} \omega^{+}|_{\Gamma}=K\left(\frac{1}{r^{n-1}}-\frac{1}{|r+\frac{\tau}{2}|^{n-1}}\right) >\varepsilon^{3}\geqslant u^{\varepsilon}|_{\Gamma}. \end{equation}$

对 $(x,t)\in {\Omega}_{\frac{\tau}{2}}\times (0,\infty)$, 当 $K\geqslant \frac{N(r+{\rm diam}\Omega)^{n+1}}{(n-1)}$ 时, 有

$\omega^{+}_{t}-\Delta \omega^{+}=\frac{K(n-1)}{|x-y|^{n+1}}\geqslant \frac{K(n-1)}{(r+{\rm diam}\Omega)^{n+1}}\geqslant\|g\|_{L^{\infty}} \geqslant g=u^{\varepsilon}_{t}-\Delta u^{\varepsilon}.$

于是我们取 $K=\frac{N(r+{\rm diam}\Omega)^{n+1}}{(n-1)}.$ 由抛物方程极值原理可知 $\omega^{+}(x,t)\geqslant u^{\varepsilon}(x,t),\ \forall(x,t)\in\overline{\Omega}_{\frac{\tau}{2}}\times [0,\infty). $ 由于 $\omega^{+}(x_{0},t)=u^{\varepsilon}(x_{0},t),$ 故而

$\begin{align*} \frac{\omega^{+}(x,t)-\omega^{+}(x_{0},t)}{x-x_{0}}\geqslant \frac{u^{\varepsilon}(x,t)-u^{\varepsilon}(x_{0},t)}{x-x_{0}}. \end{align*}$

令 $x$ 沿着 $x_{0}$ 处的法线趋于 $x_{0}$, 便得

$\frac{\partial u^{\varepsilon}}{\partial \nu}\Big{|}_{x_{0}}\leqslant \frac{\partial \omega^{+}}{\partial \nu}\Big{|}_{x_{0}}=\frac{K(n-1)}{r^{n}}=\frac{N(r+{\rm diam}\Omega)^{n+1}}{r^n}\leqslant C $

这里 $C>0$ 仅依赖于 $n$, $N$, $\Omega$ 的外球半径, 以及 ${\rm diam}\Omega$. 同理, 对于上述选取的 $K$, 令

$\begin{equation} \omega^{-}(x,t)=-K\left(\frac{1}{r^{n-1}}-\frac{1}{|x-y|^{n-1}}\right), \end{equation}$

不难验证

$\frac{\partial u^{\varepsilon}}{\partial \nu}\Big{|}_{x_{0}}\geqslant \frac{\partial \omega^{-}}{\partial \nu}\Big{|}_{x_{0}}\geqslant -C. $

由于 ${u^{\varepsilon}}|_{\partial\Omega}=0$ 蕴含了 $u^{\varepsilon}$ 的边界切向导数为 0, 因此有

$\begin{equation} \sup_{\partial \Omega \times [0,\infty) }|\nabla u^{\varepsilon}|\leqslant C. \end{equation}$

由于 $W^{'}(1)=0,$ 由微分中值定理可得

$v^{\varepsilon}_{t}-\Delta v^{\varepsilon}=-\frac{W^{'}(v^{\varepsilon})}{\varepsilon^{2}}=\frac{W^{'}(1)-W^{'}(v^{\varepsilon})}{\varepsilon^{2}(1-v^{\varepsilon})} (1-v^{\varepsilon})=\frac{W^{''}(\xi_{0})}{\varepsilon^{2}}(1-v^{\varepsilon})$

这里 $\xi_{0}$ 介于 $v^{\varepsilon}$ 和 $1$ 之间. 若令 $\varphi^{\varepsilon}=1-v^{\varepsilon},$ 则有

$\varphi_{t}^{\varepsilon}-\Delta \varphi^{\varepsilon}=\frac{-W^{''}(\xi_{0})}{\varepsilon^{2}}\varphi^{\varepsilon}.$

当 $(x,t)\in \Omega_{\frac{\tau}{2}}\times [0,\infty),$ 由假设条件 (2.26), 可知 $\varphi^{\varepsilon}(x,0)|_{\Omega_{\frac{\tau}{2}}}=0.$ 此外, 由推论 4.1, 可得 $0\leqslant \varphi^{\varepsilon}\leqslant \varepsilon^{3}$, 以及当 $(x,t)\in \Omega_{\frac{\tau}{2}}\times [0,\infty)$ 时, 有

$|\varphi_{t}^{\varepsilon}-\Delta \varphi^{\varepsilon}|=|\frac{-W^{''}(\xi_{0})}{\varepsilon^{2}}\varphi^{\varepsilon}|\leqslant B \varepsilon,$

其中 $B>0$ 是一依赖于 $W^{''}$ 的数. 这里不难验证 $\varphi^{\varepsilon}$ 满足命题 4.1, 而且 $|\nabla\varphi^{\varepsilon}|=|\nabla v^{\varepsilon}|,$ 因此由命题 4.1, 我们可以直接得出如下结论.

推论 4.2 设 $v^{\varepsilon}$ 是方程 (1.1) 的解, 若 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n} (n\geq 1)$ 中严格凸的有界光滑区域, 满足一致外球条件, 以及初值 $v_{0}^{\varepsilon}$ 满足条件 (2.25)-(2.26). 对任意 $\varepsilon\in(0,1),$ 则存在常数 $C>0$ 使得

$\begin{equation} \sup_{\partial \Omega \times [0,\infty) }|\nabla v^{\varepsilon}|\leqslant C\varepsilon. \end{equation}$

5 残差估计及能量测度的收敛性

本节, 我们运用极值原理得出残差函数的上界估计, 此外还将给出能量测度的收敛性.

引理 5.1 对任意 $\varepsilon\in (0,1)$ 和 $T>0$, 存在仅依赖于 $T$ 的正数 $\tilde{c}$, 使得

$\begin{equation}\label{5.1} \sup_{x\in \Omega, t\in [T,\infty)} \xi^{\varepsilon}_t \leqslant \tilde{c}. \end{equation}$

证 记 $v(x,t)=v^{\varepsilon}(\varepsilon x, \varepsilon^2 t)$, 令 $\Omega_{\varepsilon}=\Omega/\varepsilon$, 则在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上 $v$ 满足

$\begin{equation}\label{5.2} \partial_t v=\Delta v -W'(v) \ \mbox{和} \ v|_{\partial \Omega_{\varepsilon}}=1. \end{equation}$

定义

$\begin{equation}\label{5.3} \xi:=\frac{|\nabla v|^2}{2} -W(v) -G(v), \end{equation}$

这里 $G(v)$ 为一待定函数. 由 (5.2) 式不难得到

$\partial_t \xi -\Delta \xi =W'(W'+G') -|\nabla^2 v|^2 +G''|\nabla v|^2,$

以及

$\begin{align*} \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^n \partial_{x_i} v \partial_{x_i x_j} v\right)^2 &= \sum_{j=1}^n \left(\partial_{x_j}\xi + (W' +G')\partial_{x_j} v\right)^2 non \\ &\geq 2(W' +G')\nabla \xi \cdot \nabla v +(W' +G')^2|\nabla v|^2. \label{5.5} \end{align*}$

运用 Cauchy-Schwarz 不等式, 则有

$\begin{equation}\label{5.6} \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^n \partial_{x_i} v \partial_{x_i x_j} v\right)^2\leqslant |\nabla v|^2|\nabla^2 v|^2. \end{equation}$

在集合 $\{(x,t) | |\nabla v (x,t)|\neq 0\}$ 上, 结合 (5.5) 和 (5.6) 式, 并除以 $|\nabla v|^2$, 我们有

$\begin{align*} |\nabla^2 v|^2 & \geqslant \frac{2(W' +G') \nabla \xi \cdot \nabla v}{|\nabla v|^2} + \left(W' +G'\right)^2. \label{5.7} \end{align*}$

将 (5.7) 式带入 (5.4) 式可得

$\begin{align*} \partial_t \xi -\Delta \xi &\leqslant -(G')^2 -W'G' +G''|\nabla v|^2- \frac{2(W' +G') \nabla \xi \cdot \nabla v }{|\nabla v|^2}. \label{5.8} \end{align*}$

对于 $T>0,$ 由引理 2.1 可知, 存在仅依赖于 $T$ 的数 $\Lambda>0$ 使得 $\Lambda:=\sup_{t\geqslant \frac{T}{2\varepsilon^2}, x\in \Omega_{\varepsilon}}\frac{|\nabla v|^2}{2}$. 定义光滑函数 $\psi(t)$ 使得其满足当 $t\leqslant \frac{T}{2\varepsilon^2}$ 时, $\psi(t)=\Lambda$; 当 $t\geqslant \frac{T}{\varepsilon^2}$ 时, $\psi(t)=0$; 对于一切 $t$ 有 $0\leqslant\psi(t)\leqslant\Lambda$ 及 $|\psi'|\leqslant \frac{4\Lambda\varepsilon^2}{T}$. 不妨令

$\begin{align*} \bar{\xi}=\xi-\psi \ \ \mbox{和} \ \ G(v):=L\varepsilon\left(1-\frac{1}{8}v^2\right), \end{align*}$

这里 $L$ 是一待定的数. 由 $G$ 的表达式, 当 $|v|\leqslant 1$ 时, 不难得出

$\begin{equation}\label{5.10} 0<G<L\varepsilon, \ \ G'W'\geqslant 0, \ \ G''=-\frac{L\varepsilon}{4}. \end{equation}$

接下来, 对充分大的 $\tilde {T}$, 我们在区间 $\Omega_{\varepsilon}\times[\frac{T}{2\varepsilon^2},\tilde {T}]$ 上考察 $\bar\xi$ 的极大值点. 由 $\Lambda$ 和 $\psi$ 的定义可知, 当 $t=\frac{T}{2\varepsilon^2}$ 时有 $\bar\xi\leqslant 0$. 基于反证法, 不妨假设当 $\varepsilon\in(0,1)$ 时有

$\begin{equation}\label{5.11} \sup_{{\overline{\Omega}_{\varepsilon}}\times[\frac{T}{\varepsilon^2},\tilde {T}]}\xi>L\varepsilon. \end{equation}$

由于 $t=\frac{T}{2\varepsilon^2}$ 时, 有 $\psi(t)=0$, 那么由 (5.11) 式可知

$\begin{equation}\label{5.12} \sup_{{\overline{\Omega}_{\varepsilon}}\times[\frac{T}{2\varepsilon^2},\tilde {T}]}\bar\xi>L\varepsilon. \end{equation}$

设 $(x_0,t_0)$ 是 $\bar\xi$ 的一个极大值点, 注意到 $x_0$ 不可能是 $\Omega$ 边界上的点, 因为当 $x_0\in \partial\Omega$ 时, 由推论 4.2 和 Dirichlet 边界条件, 不难得到此时 $\xi\leqslant C\varepsilon^4$, 这与假设 (5.11) 矛盾. 因此, $x_0$ 只能是 $\Omega$ 的内点, 而且当 $(x_0,t_0)\in\Omega_{\varepsilon}\times(\frac{T}{2\varepsilon^2},\tilde {T}]$ 时, 我们有

$\begin{align*}\label{5.13} \partial_{t}\bar\xi\geqslant0,\ \ \nabla\bar\xi=\nabla\xi=0,\ \ \Delta\bar\xi=\Delta\xi\leqslant0, \ \ \mbox{和} \ \ |\nabla v|^2\geqslant 2\bar\xi. \end{align*}$

结合 (5.8), (5.10) 式和 (5.13) 式可得

$\begin{align*} -\frac{4\Lambda\varepsilon^2}{T}\leqslant G''|\nabla v|^2<-\frac{L^2\varepsilon^2}{2}, \end{align*}$

这里若取 $L$ 充分大, 亦可推出矛盾, 因此有

$\begin{align*} \sup_{{\overline{\Omega}_{\varepsilon}}\times[\frac{T}{2\varepsilon^2},\tilde {T}]}\bar\xi\leqslant L\varepsilon. \end{align*}$

由 $\psi$ 的定义, $\tilde {T}$ 的任意性以及 $G\leqslant L\varepsilon,$ 若令 $\tilde {c}=L+1,$ 则可得到 (5.1) 式.

结合引理 3.1 和残差 $\xi_{t}^{\varepsilon}$ 的上界估计引理 5.1, 可以得到如下结论. 由于所采用的方法与文献 [23] 类似, 在此仅陈述结论, 省略其证明过程.

引理 5.2[23,推论 4.5] 对任意 $\varepsilon \in (0, 1)$, $r_{0}\in(0,\frac{c_{0}}{4})$, 存在仅依赖于 $c_{0}$,$c_{1}$ 和 $T$ 的常数 $D_{0}\in(0,\infty)$ 使得

$\sup_{t\in [T, \infty), y\in \overline{\Omega}}\mu_{t}^{\varepsilon}(B_{r_{0}}{(y)\cup \Omega}) \leqslant D_{0}r_{0}^{n-1}.$

引理 5.3[23,引理 5.1] 当 $t\in[0,\infty)$ 时, 对任意非负函数 $\phi \in C^2(\overline{\Omega})$, 以及 $\varepsilon \in (0,1)$, 函数

$\int_{\Omega} \phi d \mu^{\varepsilon}_t - c_1 \|\phi\|_{C^2(\overline \Omega)} t$

关于 $t$ 是单调递减的.

证 根据 $d \mu^{\varepsilon}_t$ 的定义, 直接求导可得

$\begin{align*} \frac{d}{d t} \int_{\Omega} \phi d \mu^{\varepsilon}_t &= \int_{\Omega} \phi \left(\varepsilon \nabla v^{\varepsilon} \nabla \partial_t v^{\varepsilon} +\frac{W'(v^{\varepsilon})}{\varepsilon} \partial_t v^{\varepsilon} \right) d x \\ &= \int_{\partial\Omega}(\nabla v^{\varepsilon} \cdot \nu)\phi \partial _{t}v^{\varepsilon}d \mathcal{H}^{n-1}-\int_{\Omega} \varepsilon \nabla \phi \cdot \nabla v^{\varepsilon} \partial_t v^{\varepsilon} d x -\int_{\Omega} \varepsilon \phi (\partial_t v^{\varepsilon})^2 d x\\ &= \int_{\Omega} \frac{\varepsilon (\nabla \phi)^2}{4\phi} d x -\varepsilon \int_{\Omega} \varepsilon \phi \left(\partial_t v^{\varepsilon} +\frac{\nabla \phi \cdot \nabla v^{\varepsilon}}{2\phi} \right)^2 d x\\ &\leqslant \int_{\Omega} \frac{|\nabla \phi|^2}{2\phi} d \mu^{\varepsilon}_t \leqslant \|\phi\|_{C^2(\Omega)} c_1, \end{align*}$

这里用到了 Dirichlet 边界条件和命题 2.1.

命题 5.1[23,命题 5.2] 对一切 $t\geqslant 0$, 在 $\overline \Omega$ 上存在一族 Radon 测度 $\{\mu_t\}_{t\geqslant0}$ 和 $\{\mu^{\varepsilon}_t\}_{t\geqslant0}$ 的子序列 $\{\mu^{\varepsilon_i}_t\}_i^{\infty}$ 使得当 $i\to \infty$ 时, 有 $\mu^{\varepsilon_i}_t \rightharpoonup \mu_t$.

6 残差测度消失为 0

在本小节, 我们证明 $|\xi^{\varepsilon_i}_t|$ 的 $L^{1}$ 极限在 $\overline{\Omega}\times(0,\infty)$ 上消失为 0. 由命题 2.1 和 Radon 测度的弱紧性可知, 对一切 $0\leqslant t_0 <t_1<\infty$ 和 $\phi \in C(\Omega \times [0, \infty))$, 存在一 Radon 测度 $|\xi|$ 使得

$\begin{equation}\label{7.1} \lim_{i\to \infty} \int_{t_0}^{t_1} \int_{\Omega} |\xi^{\varepsilon_i}_t| \phi d x d t =\int_{t_0}^{t_1} \int_{\Omega} \phi d |\xi|, \end{equation}$

即我们阐明这个极限测度 $|\xi|=0$ 在 $\overline{\Omega}\times(0,\infty)$ 上成立. 在 $\overline{\Omega}\times(0,\infty)$ 上, 定义 $d \mu^{\varepsilon}:=d \mu^{\varepsilon}_{t} d t$ 及子列的极限为 $\mu$. 下文, 我们将用到记号 $v^{\varepsilon_i}, \mu^{\varepsilon_i}_t, \xi^{\varepsilon_i}_t$, 简便起见, 有时会省略指标 $i.$

引理 6.1 对任意的 $(x', t')\in spt \mu,$ 其中 $t'>0$, $x'\in \overline {\Omega},$ 存在点列 $\{(x_i,t_i)\}_{i=1}^{\infty}$ 和子序列 $\varepsilon_i$ (仍记为同一指标) 使得当 $t_i>0, x_i\in \Omega$ 时, 有 $(x_i, t_i)\to (x', t')$, $i\to \infty$, 以及对一切 $i\in \mathbb{N}$ 有 $|u^{\varepsilon_i}(x_i,t_i)|< \sqrt{\frac{2}{3}}$.

证 采用反证法, 假设结论不成立, 那么对充分小的 $\varepsilon>0$, 可以找到 $r_0 \in (0, \sqrt{t'})$ 使得

$\begin{equation}\label{7.2} \inf_{(B_{r_0}(x')\cap \Omega)\times (t' -r_0^2, t'+r_0^2)} |v^{\varepsilon}(x, t)| \geqslant \sqrt{\frac{2}{3}}. \end{equation}$

定义函数 $\phi \in C^2(B_{r_0}(x'))$ 满足 $|\nabla \phi|\leqslant \frac{3}{r_0}, \phi|_{B_{\frac{r_0}{2}}(x')} =1, 0\leqslant \phi \leqslant 1.$ 在方程 (1.1) 等号左右两侧同时乘 $\varepsilon \phi^2 W^{'}(v^{\varepsilon})$, 然后在 $\Omega$ 上积分可得

$\begin{align*}\label{6.3w} \varepsilon \frac{d}{d t}\int_{\Omega}\phi^{2}W(v^{\varepsilon})d x =&\int_{\Omega}\left(\varepsilon \phi^{2}W{'}(v^{\varepsilon})\Delta v^{\varepsilon}-\frac{(W{'}(v^{\varepsilon}))^{2}\phi^{2}}{\varepsilon} \right)d x non \\ =&\int_{\Omega}\varepsilon \phi^{2}W{'}(v^{\varepsilon})\Delta v^{\varepsilon} d x -\int_{\Omega}\frac{(W{'}(v^{\varepsilon}))^{2}\phi^{2}}{\varepsilon} d xnon \\ =&\int_{\partial\Omega}\varepsilon(\nabla v^{\varepsilon} \cdot \nu)\phi^{2} W{'}(v^{\varepsilon})d\mathcal{H}^{n-1}-\int_{\Omega} 2\varepsilon W{'}(v^{\varepsilon})\phi \nabla \phi \cdot\nabla v^{\varepsilon} d x non \\ &-\int_{\Omega}\varepsilon \phi^{2} W{''}(v^{\varepsilon}))|\nabla u^{\varepsilon} |^{2} d x -\int_{\Omega}\frac{(W{'}(v^{\varepsilon}))^{2}\phi^{2}}{\varepsilon} d x non \\ \leqslant& \int_{\partial\Omega}\varepsilon(\nabla v^{\varepsilon} \cdot \nu)\phi^{2} W^{'}(v^{\varepsilon})d\mathcal{H}^{n-1}+\int_{\Omega}2\varepsilon^3|\nabla\phi|^{2}|\nabla v^{\varepsilon}|^{2} d x non \\ &- \int_{\Omega}\frac{(W^{'}(v^{\varepsilon}))^{2}\phi^{2}}{2\varepsilon} d x-\int_{\Omega}\frac{1}{2}\varepsilon\phi^{2} |\nabla v^{\varepsilon} |^{2} d x, \end{align*}$

在 $t\in(t' -r_0^2,t' +r_0^2)$ 上成立, 这里我们用到了 Young 不等式以及函数 $W$ 的性质, 即当 $\sqrt{\frac{2}{3}} \leqslant |s| \leqslant 1$ 时, $W^{''}(s)\geqslant \frac{1}{2}$. 对 (6.3) 式变形可得

$\begin{align*} \int_{\Omega}\phi^{2}\bigg(\frac{\varepsilon}{2}|\nabla v^{\varepsilon}|^{2} +\frac{(W{'}(v^{\varepsilon}))^{2}}{ 2\varepsilon} \bigg)d x \leqslant& \int_{\partial\Omega}\varepsilon(\nabla v^{\varepsilon} \cdot \nu)\phi^{2} W{'}(v^{\varepsilon})d\mathcal{H}^{n-1}+2\varepsilon^{3}\int_{\Omega}|\nabla\phi|^{2}|\nabla v^{\varepsilon}|^2d x non \\ &-\varepsilon \frac{d}{d t}\int_{\Omega}\phi^{2}W(v^{\varepsilon})d x. \end{align*}$

对上式在 $t{'}-r_0^2$ 到 $t{'}+r_0^2$ 上积分, 结合 $\Omega$ 的有界性则有

$\begin{align*} & \int_{t'-r_0^2}^{t'+r_0^2}\int_{\Omega} \phi^{2}\bigg(\frac{\varepsilon}{2} |\nabla v^{\varepsilon}|^{2} +\frac{(W{'}(v^{\varepsilon}))^{2}}{ 2\varepsilon} \bigg)d x d tnon \\ \leqslant& \int_{t'-r_0^2}^{t'+r_0^2}\int_{\partial\Omega}\varepsilon(\nabla v^{\varepsilon} \cdot \nu)\phi^{2} W{'}(v^{\varepsilon})d\mathcal{H}^{n-1} d tnon \\ &+\int_{t'-r_0^2}^{t'+r_0^2}\int_{\Omega}2\varepsilon^{3}|\nabla\phi|^{2}|\nabla v^{\varepsilon}|^2d x d t -\varepsilon \int_{\Omega}\phi^{2}W(v^{\varepsilon})d x\big{|}_{t=t{'}-r_0^2}^{t{'}+r_0^2} non \\ \leqslant& C\varepsilon^{2}\mathcal{H}^{n-1}({\partial\Omega})+(72+2r_{0}^{2})\varepsilon^{2}\mu_{t}^{\varepsilon}(\Omega), \end{align*}$

其中 $C>0$, 而且这里用到了命题 2.1, (2.33) 式, 以及推论 (4.2). 若令 $\varepsilon \to 0$, 则有

$\int_{t^{\prime}-r_{0}^{2}}^{t^{\prime}+r_{0}^{2}} \int_{B_{r_{0} / 2}\left(x^{\prime}\right)}\left(\varepsilon\left|\nabla v^{\varepsilon}\right|^{2}+\frac{\left(W^{\prime}\left(v^{\varepsilon}\right)\right)^{2}}{\varepsilon}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \rightarrow 0$

由 (2.30) 式可知存在 $c(W)>0$, 使得当 $s\in [\sqrt{\frac{2}{3}},1]$ 时 $W(s)\leqslant c(W)(s-1)^2$. 此外, (2.32) 式和 (2.30) 式意味着对于一切 $s\in [\sqrt{\frac{2}{3}},1]$ 有 $W'(s)=W'(s)-W'(1)\leqslant \frac{1}{2} (s-1)\leqslant 0$, 因此可得 $W(s)\leqslant 4c(W)(W'(s))^2$, 那么有

$\int_{t^{\prime}-r_{0}^{2}}^{t^{\prime}+r_{0}^{2}} \int_{B_{r_{0} / 2}\left(x^{\prime}\right)} \frac{W\left(v^{\varepsilon}\right)}{\varepsilon} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant 4 c(W) \int_{t^{\prime}-r_{0}^{2}}^{t^{\prime}+r_{0}^{2}} \int_{B_{r_{0} / 2}\left(x^{\prime}\right)} \frac{\left(W^{\prime}\left(v^{\varepsilon}\right)\right)^{2}}{\varepsilon} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t.$

因此, 我们有 $\mu(B_{\frac{r_0}{2}}(x')\times (t'-r_{0}^{2},t'+r_{0}^{2}))=0,$ 也即 $(x', t')\not \in spt \mu$, 与条件矛盾, 故引理结论成立.

结合引理 5.2 和引理 5.3, 运用文献 [23] 中的方法亦可得到下述引理, 这里略去证明过程.

引理 6.2[23,引理 6.2] 对任意 $T>0,$ 存在仅依赖于 $T$ 和 $W$ 的数 $\delta_{0},r_{0},\gamma_{0}>0$ 使得如下结论成立: 当 $T<t<s<t+\frac{r_{0}^{2}}{2}$, $x \in \overline{\Omega},$ 若 $\int_{\overline {\Omega}}\eta(|x-y|)\rho_{(y,s)}(x,t)d \mu_{s}<\delta_{0},$ 那么对一切 $y'\in B_{\gamma_{0} r}(y)\cap \overline{\Omega}$ 有 $(y',t') \notin \mbox{spt} \mu$, 这里 $t'=2s-t$, $r=\sqrt{2(s-t)}.$

引理 6.3[23,引理 6.3] 对于 $T>0,$ 设 $\delta_0(T)$ 是引理 6.2 中给定的常数, 定义

$Z_T:=\left\{ (x,t)\in spt \mu : \limsup_{s\downarrow t} \int_{\overline {\Omega}}\eta(|x-y|)\rho_{(y,s)}(x,t)d \mu_{s}<\delta_{0}, t>T \right\},$

则有 $\mu (Z_T)=0.$

结合引理 6.1, 6.2, 6.3, 可以得出下述结论.

引理 6.4 在 $\overline{\Omega} \times (0,\infty)$ 上有 $|\xi|=0$.

证 该引理的详细证明过程可参考文献 [23,命题 6.4], 这里我们简述证明思路.

对于 $0<T_{1}<T_{2}<\infty$ 时, 不难验证 $|\xi|=0$ 在 $\overline{\Omega} \times (T_{1},T_{2})$ 成立. 接下来, 固定 $T_{1}$, $T_{2}$, 当 $y\in N_{\frac{c_{0}}{2}}$ ($y\in \Omega\setminus N_{\frac{c_{0}}{2}}$ 情形类似), $T_{2}>s>t>T_{1}$ 时, 可通过如下步骤完成证明.

步骤一 结合 (3.4) 式和 (5.1) 式, 运用 Fubini 定理可得

$\int_{\overline{\Omega} \times (T_1,T_2)}d |\xi| (x,t) \int_{\overline{\Omega} \times (t,T_{2})}\frac{\rho_1 (x,t)+\rho_2 (x,t)}{2(s-t)} d \mu_s(y) d s < \infty,$

其中 $\rho_1$, $\rho_2$ 的定义见第 3 小节. 这就意味着

$\int_{\overline{\Omega} \times (t,T)}\frac{\rho_1 (x,t)+\rho_2 (x,t)}{2(s-t)} d \mu_s(y) d s <\infty$

在 $(x,t)\in \overline{\Omega} \times (T_1,T_{2})$ 上关于 $|\xi|$ 几乎处处成立.

步骤二 可以证明

$\lim_{s\downarrow t} \int_{\overline{\Omega}} \rho_1(x,t) d \mu_s(y) =0$

在 $(x,t)\in \overline{\Omega} \times (T_1,T_{2})$ 上关于 $|\xi|$ 几乎处处成立.

步骤三 第二步则可说明 $|\xi|((\overline {\Omega}\times(T_{1},T_{2}))\setminus Z_{T_1})=0$. 由 $|\xi|$ 和 $\mu$ 的定义可知 $|\xi|\ll\mu$, 且引理 6.2 表明 $\mu(Z_{T_{1}})=0.$ 因此, $|\xi|(\overline{\Omega} \times (0,\infty))=0$.

7 主要结论的证明

定义 7.1 设 $\phi \in C(G_{n-1}(\overline {\Omega}))$, 定义

$V^{\varepsilon_i}_t (\phi) := \int_{\Omega \cap \{ |\nabla v^{\varepsilon_i}(\cdot, t)|\neq 0 \}} \phi(x, I-a^{\varepsilon_i} \otimes a^{\varepsilon_i}) d \mu^{\varepsilon_i}_t (x),$

其中 $a^{\varepsilon_i}=\frac{\nabla v^{\varepsilon_i}}{|\nabla v^{\varepsilon_i}|}.$

按照上述定义可知 $\|V^{\varepsilon_i}_t\| =\mu^{\varepsilon_i}_t\lfloor_{\{ |\nabla v^{\varepsilon_i}(\cdot, t)|\neq 0 \}}$. 接下来, 我们计算 $V^{\varepsilon_i}_t$ 的第一变分.

引理 7.1 设 $g\in C^1(\overline {\Omega}; \mathbb{R}^n),$ 那么

$\begin{align*} \delta V^{\varepsilon_i}_t (g) =& \int_{\Omega} (g\cdot \nabla v^{\varepsilon_i}) \left(\varepsilon_i \Delta v^{\varepsilon_i} -\frac{W'}{\varepsilon_i}\right) d x +\int_{\Omega \cap \{|\nabla v^{\varepsilon_i}|\neq 0\}} \nabla g\cdot (a^{\varepsilon_i }\otimes a^{\varepsilon_i}) \xi^{\varepsilon_i}_t d x non \\ &+ \int_{\partial \Omega} (g\cdot \nu) \left(\frac{\varepsilon_i |\nabla v^{\varepsilon_i}|^2}{2} +\frac{W}{\varepsilon_i}\right) d \mathcal{H}^{n-1} -\int_{\Omega \cap \{|\nabla v^{\varepsilon_i}|= 0\}} \nabla g\cdot I \frac{W}{\varepsilon_i} d x non \\ &-\int_{\partial{\Omega}}\varepsilon_{i} (g\cdot \nabla v^{\varepsilon})\frac{\partial v^{\varepsilon}}{\partial\nu} d \mathcal{H}^{n-1}, \label{7.8} \end{align*}$

其中 $\xi^{\varepsilon_i}_t=\frac{\varepsilon_i}{2}|\nabla v^{\varepsilon_i}|^2 -\frac{W(v^{\varepsilon_i})}{\varepsilon_i}$.

证 由定义 7.1 可得

$\begin{align*}\label{7.9} \delta V_{t}^{\varepsilon_{i}}(g)=&\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\nabla g(x) \cdot(I-a^{\varepsilon_{i}}\otimes a^{\varepsilon_{i}})d \mu_{t}^{\varepsilon_{i}}non\\ =&\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\nabla g\cdot I\Big(\frac{\varepsilon_{i}}{2}|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2} +\frac{W(v^{\varepsilon_{i}})}{\varepsilon_{i}}\Big)d xnon\\ &-\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\nabla g\cdot(a^{\varepsilon_{i}}\otimes a^{\varepsilon_{i}}) \Big(\frac{\varepsilon_{i}}{2}|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}+\frac{W(v^{\varepsilon_{i}})}{\varepsilon_{i}}\Big)d x\nonumber\\ =&\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\varepsilon_{i}\nabla g\cdot I\frac{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}}{2} d x +\int_{\Omega\cap\{|\nabla u^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\frac{W(v^{\varepsilon_{i}})}{\varepsilon_{i}}\nabla g\cdot I d xnon \\ &-\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\nabla g\cdot(a^{\varepsilon_{i}}\otimes a^{\varepsilon_{i}}) \frac{\varepsilon_{i}|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}}{2} d xnon\\ &-\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\nabla g\cdot(a^{\varepsilon_{i}}\otimes a^{\varepsilon_{i}}) \frac{W(v^{\varepsilon_{i}})}{\varepsilon_{i}} d x. \end{align*}$

由分部积分公式可得

$\begin{align*} &\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\varepsilon_{i}\nabla g\cdot I\frac{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}}{2} d xnon\\ =&\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq 0\}}\varepsilon_{i}\nabla g\cdot I\frac{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}}{2} d x +\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|=0\}}\varepsilon_{i}\nabla g\cdot I\frac{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}}{2} d xnon\\ =&\int_{\Omega}\varepsilon_{i}\nabla g\cdot I\frac{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}}{2} d xnon\\ =&\int_{\partial\Omega}\varepsilon_{i}(g\cdot\nu)\frac{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|^{2}}{2} -\int_{\partial{\Omega}}\varepsilon_{i}(g\cdot \nabla v^{\varepsilon})(\nabla v^{\varepsilon}\cdot\nu) d \mathcal{H}^{n-1}non\\ &+\int_{\Omega}\varepsilon_{i} \left[\nabla g\cdot(\nabla v^{\varepsilon_{i}}\otimes\nabla v^{\varepsilon_{i}})+(g\cdot\nabla u^{\varepsilon_{i}}) \Delta v^{\varepsilon_{i}}\right] d x. \label{7.10} \end{align*}$

类似地, 我们有

$\begin{align*}\label{7.11} &\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|\neq0\}}\frac{1}{\varepsilon_{i}}W\nabla g\cdot I d xnon\\ =&-\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i}}|=0\}}\frac{1}{\varepsilon_{i}}W\nabla g\cdot I d x -\int_{\Omega}\frac{1}{\varepsilon_{i}}(g\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i}})W' d x +\int_{\partial\Omega}\frac{1}{\varepsilon_{i}}(g\cdot\nu)W d \mathcal{H}^{n-1}.\end{align*}$

将 (7.3) 和 (7.4) 式代入 (7.2) 式, 则可得到想要的结果.

命题 7.1 设 $v^{\varepsilon_{i_{j}}}$ 是方程 (1.1) 的解, 定义 $c(t)$ 如下

$\begin{aligned} c(t):= & \liminf _{j \rightarrow \infty}\left[\int_{\Omega}\left|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right|\left|\varepsilon_{i_{j}} \Delta v^{\varepsilon_{i_{j}}}-\frac{W^{\prime}}{\varepsilon_{i_{j}}}\right| \mathrm{d} x+\int_{\partial \Omega}\left(\frac{\varepsilon_{i_{j}}\left|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right|^{2}}{2}+\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\right) \mathrm{d} \mathcal{H}^{n-1}\right. \\ & \left.+\int_{\partial \Omega} \varepsilon_{i_{j}}\left|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right|\left|\frac{\partial v^{\varepsilon_{i_{j}}}}{\partial \nu}\right| \mathrm{d} \mathcal{H}^{n-1}\right], \end{aligned}$

则有 $c(t)\in L_{loc}^{1}([0,\infty))$, 以及对几乎处处 $t\in[0,\infty)$ 有 $c(t)<\infty$.

证 对任意 $T>0$, 不妨记

$H_{1}=\int_{\Omega}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|\Big|\varepsilon_{i_{j}}\Delta v^{\varepsilon_{i_{j}}}-\frac{W^{'}}{\varepsilon_{i_{j}}}\Big|d x, \ \ H_{2}=\int_{\partial \Omega}\left(\frac{\varepsilon_{i_{j}}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}}{2} +\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\right)d \mathcal{H}^{n-1},$

以及

$H_{3}=\int_{\partial \Omega} \varepsilon_{i_{j}}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|\Big|\frac{\partial v^{\varepsilon_{i_{j}}}}{\partial \nu}\Big|d \mathcal{H}^{n-1}.$

由命题 2.1 和 Cauchy-Schwarz 不等式, 则有

$\left(\int_{0}^{T}H_{1} d t \right)^{2}\leqslant \left(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}\varepsilon_{{i_{j}}}|\nabla v^{\varepsilon_{{i_{j}}}}|^{2}d x d t\right) \left[\int_{0}^{T}\int_{\Omega}\varepsilon_{{i_{j}}}\left(\Delta v^{\varepsilon_{{i_{j}}}}-\frac{W^{'}}{\varepsilon_{{i_{j}}}}\right)^{2}d x d t\right] \leqslant 2c_{1}^{2}T. $

运用推论 (4.2), 引理 6.4, 由 $\Omega$ 的有界性可得

$\int_{0}^{T}(H_{2}+H_{3}) d t\leqslant C {\varepsilon_{{i_{j}}}^{3}}\mathcal{H}^{n-1}(\partial\Omega)T.$

由 Fatou's 引理可知

$\int_{0}^{T}c(t) d t\leqslant \liminf_{j\rightarrow\infty}\int_{0}^{T}(H_{1}+H_{2}+H_{3})d t\leqslant\sqrt{2T}c_{1},$

这就完成了该引理的证明.

命题 7.2$\mu_t$ 在 $\overline {\Omega}$ 上关于 $t$ 是几乎处处可求长的. 子序列 $\{V^{\varepsilon_{i_j}}_t\}_{j=1}^{\infty}$ 收敛于由 $\mu_t$ 诱导的 varifolds $V_t$. 此外,

$\begin{equation}\label{7.16} \|\delta V_t\| (\overline {\Omega}) <\infty, \end{equation}$

及对任意 $T<\infty$, 有

$\begin{equation}\label{7.17} \int_{0}^T \|\delta V_t\| (\overline {\Omega}) d t <\infty. \end{equation}$

证 由控制收敛定理和引理 6.4 可知, 对于几乎处处 $t\geqslant 0$, 我们有

$\begin{equation}\label{7.18} \lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\Omega}|\xi^{\varepsilon_{i}}(t,\cdot)|d x=0. \end{equation}$

当 $g\in C^{1}(\overline{\Omega};\mathbb{R}^{n})$ 时, 由 (7.1) 和 (7.8) 式可知

$\begin{equation*} \lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|\neq0\}} \nabla g\cdot(a^{\varepsilon_{i_{j}}}\otimes a^{\varepsilon_{i_{j}}})\xi^{\varepsilon_{i_{j}}}d x=0 \end{equation*}$

和

$\begin{align*} &\lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|=0\}} -\nabla g\cdot I\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}d xnon\\ =&\lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|=0\}} \Big[(\nabla g\cdot I)\Big(\frac{\varepsilon_{i_{j}}}{2}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2} -\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\Big)-\nabla g\cdot I\frac{\varepsilon_{i_{j}}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}}{2}\Big]d xnon\\ =&\lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|=0\}} \Big(\nabla g\cdot I\xi^{\varepsilon_{i_{j}}}-\nabla g\cdot I\frac{\varepsilon_{i_{j}}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}}{2}\Big)d x =0. \end{align*}$

由引理 7.1 可得

$\begin{aligned} \lim _{j \rightarrow \infty}\left|\delta V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}(g)\right|= & \lim _{j \rightarrow \infty} \left\lvert\, \int_{\Omega}\left(g \cdot \nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right)\left(\varepsilon_{i_{j}} \Delta v^{\varepsilon_{i_{j}}}-\frac{W^{\prime}}{\varepsilon_{i_{j}}}\right) \mathrm{d} x+\int_{\partial \Omega}(g \cdot \nu)\left(\frac{\varepsilon_{i_{j}}\left|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right|^{2}}{2}+\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\right) \mathrm{d} \mathcal{H}^{n-1}\right. \\ & -\int_{\partial \Omega} \varepsilon_{i_{j}}\left(g \cdot \nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right)\left(\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}} \cdot \nu\right) \mathrm{d} \mathcal{H}^{n-1} \mid \\ \leqslant & \max _{\bar{\Omega}}|g| \lim _{j \rightarrow \infty}\left[\int_{\Omega}\left|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right|\left|\varepsilon_{i_{j}} \Delta v^{\varepsilon_{i_{j}}}-\frac{W^{\prime}}{\varepsilon_{i_{j}}}\right| \mathrm{d} x+\int_{\partial \Omega}\left(\frac{\varepsilon_{i_{j}}\left|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right|^{2}}{2}+\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\right) \mathrm{d} \mathcal{H}^{n-1}\right. \\ & \left.+\int_{\partial \Omega} \varepsilon_{i_{j}}\left|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}\right|\left|\frac{\partial v^{\varepsilon_{i_{j}}}}{\partial \nu}\right| \mathrm{d} \mathcal{H}^{n-1}\right] \\ \leqslant & c(t) \max _{\bar{\Omega}}|g|. \end{aligned}$

对于上述 $t\geqslant 0$, 存在一收敛子序列 $\{V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}\}_{j=1}^{\infty}$ 和它的极限 $V_{t}$, 使得

$\begin{equation}\label{7.20} |\delta V_{t}(g)|=\lim_{j\rightarrow\infty}|\delta V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}(g)|\leq c(t)\sup_{\overline{\Omega}}|g|, \end{equation}$

对于几乎处处 $t\geqslant 0$ 成立, 这里 $c(t)$ 的定义见命题 7.1. 这说明全变分 $\|\delta V_{t}\|$ 是一 Radon 测度, 因此 (7.6) 式成立. 因为 ~$\|V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}\|=\mu_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}},$ 则有 $\|V_{t}\|=\mu_{t}$, 其中 $V_{t}$ 是由 $\mu_{t}$ 所唯一确定. 此外, 采用文献 [30] 或 [31] 中的方法可以证明 $V_{t}$ 具有整数重密度, 即 $\sigma^{-1}V_{t}\in \mathbb{IV}_{n-1}(\Omega)$, 其中 $\sigma=\int_{-1}^{1}\sqrt{2W(s)}{\rm d}s.$ 运用覆盖理论和单调公式 (见文献 [30,推论 6.1] 可得

$\begin{align*}\label{w7.21} \mathcal{H}^{n-1}(spt \mu_{t})<\infty. \end{align*}$

由 (7.11) 式 (详细证明见 [30,命题 6.1] 和 (7.10) 式, 运用 Allard 可求长定理可得 $V_{t}$ 是一可求长 varifold, 且被 $\|V_{t}\|=\mu_{t}$ 所唯一确定. 上述论证同样适用于任何满足 (7.10) 式和命题 7.1 的收敛子序列, 因此极限 varifold 是唯一的. 由于 $c(t)$ 是局部一致可积的, 因此由 Fatou 引理即可得对任意 $T<\infty$ 有 (7.7) 式成立.

接下来, 我们证明第一变分关于 $\|V_{t}\|$ 是绝对连续的, 进而构造 Brakke 不等式. 下面, 记 $l_{\varepsilon_{i}}:=-\varepsilon_{i}\Delta v^{\varepsilon_{i}}+\frac{W'(v^{\varepsilon_{i}})}{\varepsilon_{i}}.$

命题 7.3 对于固定的 $t\geqslant 0$ 满足命题 7.2, 那么有

$\begin{equation}\label{8.2} \|\delta V_{t}\lfloor_{\overline\Omega}\|\ll\|V_{t}\|. \end{equation}$

定义 Radon-Nikodym 导数 $h_{b}(t):=-\frac{\delta V_{t}\lfloor_{\overline\Omega}}{\|V_{t}\|},$ 于是当 $\phi\in C^{2}(\overline\Omega; [0,\infty))$ 时有

$\begin{equation}\label{8.4} \int_{\overline{\Omega}}\phi|h_{b}|^{2}d \|V_{t}\|\leqslant \liminf_{i\rightarrow\infty} \int_{\Omega}\varepsilon_{i}\left(\Delta v^{\varepsilon_{i}}-\frac{W'}{\varepsilon_{i}^{2}}\right)^{2}\phi d x. \end{equation}$

证 设 $\{V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}\}_{j=1}^{\infty}$ 是一收敛于 $V_{t}$ 的子序列. 对于 $\forall g\in C^{1}(\overline\Omega;\mathbb{R}^{n}),$ 由 (7.1) 式可得

$\begin{align*} |\delta V_{t}(g)|=&\lim_{j\rightarrow\infty}|\delta V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}(g)| \leqslant\Big(\int_{\Omega}|g|^{2}d\|V_{t}\|\Big)^{\frac{1}{2}}\liminf_{j\rightarrow\infty} \left(\int_{\Omega}\frac{(l_{\varepsilon_{i_{j}}})^{2}} {\varepsilon_{i_{j}}}d x\right)^{\frac{1}{2}}non \\ &+\liminf_{j\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}|g|\Big| \Big(\frac{\varepsilon_{i_{j}}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}}{2} +\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\Big)\Big|d \mathcal{H}^{n-1} +\liminf_{j\rightarrow\infty}\int_{\partial{\Omega}}\varepsilon_{i_{j}} (|g| |\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}})|^2d \mathcal{H}^{n-1}. \end{align*}$

结合推论 4.2 和引理 6.4, 则有

$\begin{align*} \liminf_{j\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}|g|\Big| \Big(\frac{\varepsilon_{i_{j}}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}}{2} +\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\Big)\Big| d \mathcal{H}^{n-1} +\liminf_{j\rightarrow\infty}\int_{\partial{\Omega}}\varepsilon_{i_{j}} (|g| |\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}})|^2d \mathcal{H}^{n-1}=0, \end{align*}$

故

$\begin{align*}\label{8.5} |\delta V_{t}(g)|=\lim_{j\rightarrow\infty}|\delta V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}(g)| \leqslant\Big(\int_{\Omega}|g|^{2}d\|V_{t}\|\Big)^{\frac{1}{2}}\liminf_{j\rightarrow\infty} \left(\int_{\Omega}\frac{(l_{\varepsilon_{i_{j}}})^{2}} {\varepsilon_{i_{j}}}d x\right)^{\frac{1}{2}}. \end{align*}$

因此, 有

$\begin{equation*} \|\delta V_{t}\lfloor_{\overline\Omega}\|\ll\|V_{t}\| \end{equation*}$

和

$\begin{equation*} \delta V_{t}\lfloor_{\overline\Omega}=-h(V_{t},\cdot)\|V_{t}\|, \ h(V_{t},\cdot)\in L^{2}(\|V_{t}\|). \end{equation*}$

即对 $\forall g\in C^{1}(\overline\Omega;\mathbb{R}^{n}),$ 有

$\begin{equation}\label{8.6} \delta V_{t}(g)=-\int_{\overline{\Omega}}g\cdot h_{b} d\|V_{t}\|. \end{equation}$

设 $\phi\in C^{2}(\overline\Omega; [0,\infty))$ 满足 $\phi^{\frac{1}{2}}\in C^{1},$ 运用文献 [18] 中的方法, 可以得到

$\begin{equation}\label{8.7} \left(\int_{\Omega}\phi|h_{b}|^{2}d \|V_{t}\|\right)^{\frac{1}{2}}=\sup\left\{\int_{\Omega}\phi^{\frac{1}{2}}h_{b}\cdot g \ d \|V_{t}\| {\mid}, \ g\in C^{1}(\overline\Omega,\mathbb{R}^{n}), \|g\|_{L^{2}({\|V_{t}\|})}\leqslant 1\right\}, \end{equation}$

对于 $g\in C^{1}(\overline\Omega; \mathbb{R}^{n}),$ 我们有

$\begin{align*}\label{8.8} \int_{\overline\Omega}\phi^{\frac{1}{2}}h_{b}\cdot g \ d \|V_{t}\|&=-\delta V_{t}(\phi^{\frac{1}{2}}g)= \lim_{j\rightarrow\infty} \int_{\Omega}(\phi^{\frac{1}{2}}g \cdot \nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}})\left(\varepsilon_{i_{j}}\Delta v^{\varepsilon_{i_{j}}}-\frac{W^{'}}{\varepsilon_{i_{j}}}\right)d x non \\ &\leqslant \lim \inf_{j\rightarrow\infty}\left(\int_{\Omega}\varepsilon_{i_{j}}\phi|\partial_{t} v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}d x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\Omega}\varepsilon_{i_{j}}|g|^{2}|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}d x\right)^{\frac{1}{2}}non \\ &\leqslant\lim \inf_{j\rightarrow\infty}\left(\int_{\Omega}\varepsilon_{i_{j}}\phi|\partial_{t} v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}d x\right)^{\frac{1}{2}}\lim_{j\rightarrow\infty}\left(\int_{\Omega}\varepsilon_{i_{j}}|g|^{2} d \mu_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}\right)^{\frac{1}{2}}non \\ &\leqslant \lim \inf_{j\rightarrow\infty}\left(\int_{\Omega}\varepsilon_{i_{j}}\phi|\partial_{t} v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}d x\right)^{\frac{1}{2}}. \end{align*}$

由 (7.16), (7.18) 式和 (7.19) 式, 当 $\phi\in C^{2}(\overline\Omega; [0,\infty))$ 时可得

$\begin{align*}\label{8.9} \int_{\overline{\Omega}}\phi|h_{b}|^{2}d \|V_{t}\| \leqslant\lim \inf_{j\rightarrow\infty}\left(\int_{\Omega}\varepsilon_{i_{j}}\phi|\partial_{t} v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}d x\right), \end{align*}$

这就得出了 (7.13) 式. 对 (7.20) 式在 $t\in (0,\infty)$ 上积分, 然后令 $\phi\lfloor_{\overline{\Omega}}\equiv 1$, 运用 Fatou 引理和命题 2.1 即可得出定理 1.1 中的 (f).

引理 7.2 对任意 $g\in C^{1}(\overline{\Omega};\mathbb{R}^{n}),$ 我们有

$\begin{equation} -\int_{\overline{\Omega}}g\cdot h_{b} d\|V_{t}\|=\lim_{j\rightarrow\infty} \int_{\Omega}(g\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}})(-l_{\varepsilon_{i_{j}}})d x. \end{equation}$

证 由于 $V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}$ 收敛于 $V_{t},$ 结合 (7.17) 式可得

$\begin{equation} \lim_{j\rightarrow\infty}\delta V_{t}^{\varepsilon_{i_{j}}}(g)=\delta V_{t}(g)=-\int_{\overline{\Omega}}g\cdot h_{b} d\|V_{t}\|. \end{equation}$

基于 (7.8) 式和推论 (4.2), 不难得到

$\lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|\neq0\}} \nabla g\cdot(a^{\varepsilon_{i_{j}}}\otimes a^{\varepsilon_{i_{j}}})\xi^{\varepsilon_{i_{j}}}d x=0, \ \lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\Omega\cap\{|\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|=0\}}\nabla g\cdot I\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}d x=0$

和

$\lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(g\cdot\nu)\Big(\frac{\varepsilon_{i_{j}}| \nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}|^{2}}{2}+\frac{W}{\varepsilon_{i_{j}}}\Big)d \mathcal{H}^{n-1}=0,\ \lim_{j\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\varepsilon_{i_{j}}(g\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}}){\frac{\partial v^{\varepsilon_{i_{j}}}}{\partial\nu}}d \mathcal{H}^{n-1}=0.$

因此, 对 (7.1) 式取极限可得

$\begin{equation*} -\int_{\overline{\Omega}}g\cdot h_{b} d\|V_{t}\|=\lim_{j\rightarrow\infty} \int_{\Omega}(g\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i_{j}}})(-l_{\varepsilon_{i_{j}}})d x. \end{equation*}$

命题 7.4 对任意的 $\phi \in C^2(\overline {\Omega} \times [0,\infty); \mathbb{R}^+)$, 当 $0\leqslant t_{1}<t_{2}<\infty$ 时有

$\begin{equation}\label{8.10} \int_{\overline{\Omega}}\phi(\cdot,t)d\|V_{t}\|\Big|_{t=t_{1}}^{t_{2}}\leqslant\int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{\overline{\Omega}}\left(-\phi|h_{b}|^{2} +\nabla\phi\cdot h_{b} +\partial_{t}\phi\right)d\|V_{t}\|d t. \end{equation}$

证 对任意的 $\phi \in C^2(\overline {\Omega} \times [0,\infty); \\mathbb{R}^+)$, 我们有

$\begin{equation}\label{8.11} \int_{\Omega}\phi d\mu_{t}^{\varepsilon_{i}}\Big|_{t=t_{1}}^{t_{2}}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\Big(\int_{\Omega}-\frac{1}{\varepsilon_{i}} (l_{\varepsilon_{i}})^{2}\phi+l_{\varepsilon_{i}}\nabla\phi\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i}}d x +\int_{\Omega}\partial_{t}\phi d\mu_{t}^{\varepsilon_{i}}\Big)d t. \end{equation}$

由于对一切 $t\geqslant 0,$ 有 $\mu_{t}^{\varepsilon_{i}}\rightharpoonup\|V_{t}\|$, 故

$\begin{equation*} \lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\phi d\mu_{t}^{\varepsilon_{i}}\Big|_{t=t_{1}}^{t_{2}} =\int_{\overline{\Omega}}\phi d\|V_{t}\|\Big|_{t=t_{1}}^{t_{2}}, \end{equation*}$

及

$\begin{equation*} \lim_{i\rightarrow\infty}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\int_{\Omega}\partial_{t}\phi d\mu_{t}^{\varepsilon_{i}}d t =\int_{t_{1}}^{t_{2}}\int_{\overline{\Omega}}\partial_{t}\phi d\|V_{t}\|d t. \end{equation*}$

由引理 5.3 可知

$\begin{equation*} \int_{\Omega}\Big(\frac{(l_{\varepsilon_{i}})^{2}}{\varepsilon_{i}}\phi -l_{\varepsilon_{i}}\nabla\phi\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i}}\Big)d x\geqslant-c_{1}\|\phi\|_{C^{2}}. \end{equation*}$

运用 Fatou 引理可得

$\begin{equation}\label{8.12} \lim_{i\rightarrow\infty}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\int_{\Omega}\frac{(l_{\varepsilon_{i}})^{2}}{\varepsilon_{i}} \phi-l_{\varepsilon_{i}}\nabla\phi\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i}}d x d t \geqslant\int_{t_{1}}^{t_{2}}\liminf_{i\rightarrow\infty}\int_{\Omega} \frac{(l_{\varepsilon_{i}})^{2}}{\varepsilon_{i}}\phi-l_{\varepsilon_{i}} \nabla\phi\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i}}d x d t. \end{equation}$

由命题 7.3 和引理 7.2 分别可得

$\begin{equation*} \int_{\overline{\Omega}}\left| h_{b} \right|^{2}\phi d\|V_{t}\|\leqslant \liminf_{i\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\frac{(l_{\varepsilon_{i}})^{2}}{\varepsilon_{i}}\phi d x \end{equation*}$

和

$\begin{equation*} -\int_{\overline{\Omega}}\nabla\phi\cdot h_{b}d\|V_{t}\|=\lim_{i\rightarrow\infty} \int_{\Omega}(\nabla\phi\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i}})(-l_{\varepsilon_{i}})d x. \end{equation*}$

将上述两式相加则有

$\begin{equation}\label{8.13} \liminf_{i\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\frac{(l_{\varepsilon_{i}})^{2}}{\varepsilon_{i}}\phi -l_{\varepsilon_{i}}\nabla\phi\cdot\nabla v^{\varepsilon_{i}}d x\geqslant\int_{\overline{\Omega}}\phi \Big|h_{b} \Big|^{2} -\nabla\phi\cdot h_{b} d\|V_{t}\|. \end{equation}$

因此, 结合 (7.24), (7.25) 式和 (7.26) 式, 则可得出 (7.23) 式.

综上, 结合命题 5.1, 命题 7.2, 命题 7.3 以及命题 7.4, 即可完成定理 1.1 的证明.

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