数学物理学报, 2025, 45(6): 1806-1813

偶数阶椭圆方程组的临界正则性与紧性理论——献给李工宝教授 70 寿辰

向长林,1, 王杰,2, 张彬航,2, 周艳平,2

1三峡大学三峡数学研究中心 湖北宜昌 443002

2三峡大学数理学院 湖北宜昌 443002

Borderline Regularity and Compactness Theory for An Even Order Elliptic Systems

Xiang Changlin,1, Wang Jie,2, Zhang Binhang,2, Zhou Yanping,2

1There Gorges Mathematical Research, China Three Gorges University, Hubei Yichang 443002

2College of Mathematics and Physics, China Three Gorges University, Hubei Yichang 443002

收稿日期: 2025-02-13   修回日期: 2025-04-27  

基金资助: 国家自然科学基金(12271296)

Received: 2025-02-13   Revised: 2025-04-27  

Fund supported: NSFC(12271296)

作者简介 About authors

向长林,E-mail：changlin.xiang@ctgu.edu.cn;

王杰,E-mail：jie.wang@ctgu.edu.cn;

张彬航,E-mail：evanustc@mail.ustc.edu.cn;

周艳平,E-mail：zhyp5208@163.com

摘要

该文研究如下偶数阶几何型椭圆偏微分方程组$\begin{equation*} \Delta^{k}u=\sum_{l=0}^{k-1}\Delta^{l}\left\langle V_{l},{\rm d}u\right\rangle +\sum_{l=0}^{k-2}\Delta^{l}\delta\left(w_{l}{\rm d}u\right)+f \qquad \text{在}~ B_1 \subset\mathbb{R}^m~\text{上}, \end{equation*}$

其中, 假设所有系数 $ \{V_l, w_l\}_{l} $ 具有最小正则性, 并且 $ f $ 属于临界函数空间 $ L\log L(B_1) $. 该文获得上述方程弱解的最优高阶正则性结果. 作为应用, 本文进一步证明相关的紧性结果.

关键词： 偶数阶椭圆方程组; 正则性; 紧性; 衰减估计

Abstract

We deduce optimal higher order regularity result for the even order geometrical elliptic system$\begin{equation*} \Delta^{k}u=\sum_{l=0}^{k-1}\Delta^{l}\left\langle V_{l},{\rm d}u\right\rangle +\sum_{l=0}^{k-2}\Delta^{l}\delta\left(w_{l}{\rm d}u\right)+f \quad \text{in } B_1 \subset\mathbb{R}^m,\end{equation*}$

where all the coefficients $ \{V_l, w_l\}_{l} $ are assumed to have the smallnest regularity and $ f $ lies in the borderline function space $ L\log L(B_1) $. As an application, we also obtain a compactness result.

Keywords： even order elliptic system; regularity; compactness; decay estimate

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本文引用格式

向长林, 王杰, 张彬航, 周艳平. 偶数阶椭圆方程组的临界正则性与紧性理论——献给李工宝教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2025, 45(6): 1806-1813

Xiang Changlin, Wang Jie, Zhang Binhang, Zhou Yanping. Borderline Regularity and Compactness Theory for An Even Order Elliptic Systems[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(6): 1806-1813

1 引言与主要结果

令 $ m\ge1 $, $ B_1=B^{2m}=\{x\in\mathbb{R}^{2m}:|x|<1\} $ 是 $ \mathbb{R}^{2m} $ 中的标准单位球. 本文研究 $ B_1 $ 中的下述偶数阶椭圆型偏微分方程组

$\begin{equation} \Delta^{m}u=\sum_{l=0}^{m-1}\Delta^{l}\left\langle V_{l},{\rm d}u\right\rangle +\sum_{l=0}^{m-2}\Delta^{l}\delta\left(w_{l}{\rm d}u\right)+f,\label{eq: nonhomo-Longue-Gastel system} \end{equation}$

其中的系数函数满足

$\begin{equation*}\label{eq:coefficient w V} \begin{aligned} &w_{l} \in W^{2 l+2-m, 2}\left(B_1, \mathbb{R}^{n \times n}\right) \qquad\qquad\qquad\, l \in\{0, \cdots, m-2\}, \\ &V_{l} \in W^{2 l+1-m, 2}\left(B_1, \mathbb{R}^{n \times n} \otimes \wedge^{1} \mathbb{R}^{2 m}\right) \qquad l \in\{0, \cdots, m-1\} \end{aligned} \end{equation*}$

且 $ V_{0}={\rm d} \eta+F $ 满足额外的性质

$\begin{equation*}\label{eq:coefficient eta F} \eta \in W^{2-m, 2}\left(B_1, s o(n)\right), \quad F \in W^{2-m, \frac{2 m}{m+1}, 1}\left(B_1, \mathbb{R}^{n \times n} \otimes \wedge^{1} \mathbb{R}^{2 m}\right). \end{equation*}$

为了方便理解方程 (1.1), 首先考虑 $ m=1, f\equiv 0 $ 的情形, 即二阶齐次偏微分方程组 $ -\Delta u=\Omega\cdot\nabla u. $ 这一方程首先由 Rivière[18] 提出, 目的之一是为了解决具有共形不变性的二阶几何映照正则性理论以及发展调和映照的守恒律理论. Rivière[18] 借助上述方程成功地达成了他的目的, 尤其是在预定平均曲率方程组方面解决了多年未能解决的正则性公开问题. 这一巨大成功激发了人们讨论类似方程的热情. Lamm 与 Rivière[14] 以及 Struwe[21] 很快便在四阶的时候各自独立做出了推广, 并在研究双调和映照的正则性理论上获得了应用, 感兴趣的读者可以进一步参考 Guo-Wang-Xiang[9] 在该问题上做出的具体应用. 在上述研究进展的基础上, Rivière 在 2011 年的国际会议上进一步预期上述方程组及其理论应该可以推广到任意阶, 参见文献 [19] 为此, de Longueville 和 Gastel[5] 于 2019 年首先在齐次的情况下 (即 $ f\equiv 0 $) 提出了一般性的偶数阶方程 (1.1), 即

$\begin{equation} \Delta^{m}u=\sum_{l=0}^{m-1}\Delta^{l}\left\langle V_{l},{\rm d}u\right\rangle +\sum_{l=0}^{m-2}\Delta^{l}\delta\left(w_{l}{\rm d}u\right),\label{eq:Longue-Gastel system} \end{equation}$

并指出了上述方程可以看作是多调和映照方程的一般化, 感兴趣的读者可以参见文献 [5,14,18]了解更多相关的几何背景信息. 在文献 [19] 的预期之下, 奇数阶甚至分数阶相关方程的推广也获得了很大发展, 参见文献 [2-4,16,17] 及其中文献.

与 Rivière[18] 和 Lamm-Rivière[14] 一样, 为了处理上述极其一般的方程 (1.2), de Longueville 和 Gastel[5] 首先证明了以下结果, 设

$\begin{equation}\label{eq:theta for small coefficient} \begin{aligned} \theta_{D}:=&\sum_{k=0}^{m-2}\|w_k\|_{W^{2k+2-m,2}(D)}+\sum_{k=1}^{m-1}\|V_k\|_{W^{2k+1-m,2}(D)}\\ &+\|\eta\|_{W^{2-m,2}(D)}+\|F\|_{W^{2-m,\frac{2m}{m+1},1}(D)}, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $ D\subset \mathbb{R}^{2m} $. 则在小性条件

$\begin{equation}\label{eq:smallness assumption} \theta_{B_1}<\epsilon_m \end{equation}$

下, 存在 $ A\in W^{m,2}\cap L^\infty(B_{1/2},Gl(n)) $ 和 $ B\in W^{2-m,2}(B_{1/2},\mathbb{R}^{n\times n}\otimes \wedge^2\mathbb{R}^{2m}) $, 使得 $ u $ 在 $ B_{{1}/{2}} $ 上是方程 (1.2) 的解当且仅当 $ u $ 是下述守恒律的分布解

$\begin{equation}\label{eq:conservation law of D-G} \begin{aligned} 0&=\delta\Bigg[\sum_{l=0}^{m-1}\left(\Delta^{l} A\right) \Delta^{m-l-1}{\rm d}u-\sum_{l=0}^{m-2}\left({\rm d} \Delta^{l} A\right) \Delta^{m-l-1} u \\ &\quad -\sum_{k=0}^{m-1} \sum_{l=0}^{k-1}\left(\Delta^{l} A\right) \Delta^{k-l-1} {\rm d}\left\langle V_{k}, {\rm d} u\right\rangle+\sum_{k=0}^{m-1} \sum_{l=0}^{k-1}\left({\rm d} \Delta^{l} A\right) \Delta^{k-l-1}\left\langle V_{k}, {\rm d} u\right\rangle \\ &\quad -\sum_{k=0}^{m-2} \sum_{l=0}^{k-2}\left(\Delta^{l} A\right) {\rm d} \Delta^{k-l-1} \delta\left(w_{k}{\rm d}u\right)+\sum_{k=0}^{m-2} \sum_{l=0}^{k-2}\left({\rm d} \Delta^{l} A\right) \Delta^{k-l-1} \delta\left(w_{k}{\rm d}u\right) -\langle B, {\rm d} u\rangle\Bigg], \end{aligned} \end{equation}$

其中 $ \delta $ 表示外微分算子 d 的共轭算子, $ {\rm d} \Delta^{-1} \delta $ 表示恒等映射. 利用这个等价方程, 他们得到了方程 (1.2) 的弱解的处处连续性. Guo-Xiang[10] 进一步证明了方程(1.2) 的弱解的 Hölder 连续性. 为了后文的方便, 我们在此指出上述守恒律的一个局限及相关进展: 虽然小性条件 (1.4) 是假定在单位球上的, 但是上述守恒律却局限在内部更小的球 $ B_{1/2} $ 上. 实际上, 这一局限是证明方法造成的. 最近, Guo-Xiang-Zheng[13] 已经证明上述守恒律可以在整个球 $ B_1 $ 上成立. 因此, 在后文的证明过程中, 我们总是在整个球 $ B_1 $ 上应用上述守恒律.

当 $ f \neq 0 $ 时 (称 $ f $ 为方程 (1.1) 的非齐次项), 问题 (1.1) 首先由 Sharp 和 Topping[20] 在二阶情况下研究, 即 $ -\Delta u=\Omega\cdot \nabla u+f, $ 其中 $ \Omega\in L^2(B^2, so(n)\otimes\mathbb{R}^2) $. 引进上述非齐次项的动机来源于调和映照流等多个相关问题, 相应的结果也能在调和映照流等问题中得到应用, 譬如后文将要进一步提到的 Li-Zhu[15], 感兴趣的读者可以参阅该文中的更多文献. 最近, Guo, Xiang 与 Zheng 在文献 [11,12] 中分别将文献 [20] 的正则性理论推广到了 $ m=2 $ 和 $ m \geq 3 $ 的情形. 他们证明了: 如果 $ f \in L^{p}(B_{1}) $, 其中 $ 1 < p < \frac{2m}{m+1} $, 那么 $ u $ 的最优正则性是 $ W_{loc}^{m+1,\tilde{p}}(B_{1}) $, 其中 $ \tilde{p} = \frac{2mp}{2m - (m-1)p} $. 文献 [6,822]更进一步把文献 [11,12,20] 中的结果推广到了 $ f $ 属于 Morrey 空间 $ M^{p,s} $ 的情形, 形成了关于方程 (1.1) 正则性理论比较完备的体系. 目前, 一个自然的问题是: 当 $ p=1 $ 时, 是否有对应的正则性理论存在? 这就是本文的主要目的之一. 在这一方面, 仅有 Sharp-Topping[20] 讨论了 $ m=1 $ 的情形. 我们将在文献 [12] 与文献 [20] 的基础上考虑问题(1.1) 中 $ f\in L^1 $ 的临界情形. 主要结果如下.

定理 1.1 (正则性) 设 $ u\in W^{m,2}(B_{1},\mathbb{R}^{n}) $ 是方程 (1.1) 的弱解, $ f\in L\log L(B_{1}) $. 则 $ u\in W_{loc}^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(B_{1}). $ 此外, 对于任意的紧集 $ U\subset\subset B_{1} $, 存在一个常数 $ C=C(n,m,U)>0 $, 使得

$\|u\|_{W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(U)}\le C\left(\|u\|_{L^{1}(B_{1})}+\|f\|_{L\log L(B_{1})}\right).$

特别地, 上述空间蕴含着 $ u\in C(B_{1},\mathbb{R}^{n}) $, 即 $ u $ 在 $ B_{1} $ 中处处连续.

在上述定理中取 $ m=1 $ 即可得到文献 [20,定理 1.6]. 函数空间 $ L\log L(B_1) $ 以及 $ W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(U) $ 的定义将于本文的第 2 节给出. 我们在此仅指出如下的包含关系

$L^p(B_1)\subset L\log L(B_1)\subset L^1(B_1).$

同时指出在上述条件下定理 1.1 的结果是最优的, 反例可以参见文献 [11,12]. 目前, 本文还没有得到当 $ f\in L^1(B_1) $ 时的一般正则性理论. 我们将在以后继续研究这一问题.作为定理 1.1 的正则性结果和衰减估计的应用, 我们的第二个主要结果是

定理 1.2 (紧性) 设 $ \{u_{k}\}_{k\ge1}\subset W^{m,2}(B_{1},\mathbb{R}^{n}) $ 是方程 (1.1) 的一个弱解序列, 同时该弱解序列对应于一致有界的系数 $ \{V_{l}^{k},w_{l}^{k}\}_{l} $ 和 $ \{f_{k}\}_{k\ge1}\subset L\log L(B_{1}) $, 并且 $ u_{k}\rightharpoonup u $ 在 $ W^{m,2}(B_{1}) $ 中. 则在某个子列的意义下, 我们有 $u_{k_j}\to u\ \text{在}~W^{m,2}(B_{1})$中.

通过这一定理, 我们可以推广 Li-Zhu[15] 关于近似调和映照的紧性结果到一般的偶数阶近似调和映照, 同时也把 Sharp-Topping[20] 的定理 1.2 推广到了高阶的情形.

最后, 我们简要指出上述两个定理的证明方法. 定理 1.1 的证明将采用文献 [12] 中的方法, 即能量衰减估计的方法, 核心工具是调和分析中的位势理论. 定理 1.2 的证明将采用文献 [20] 中的方法, 即集中紧原理, 通过引入测度空间, 证明测度序列的弱极限中不包含奇性项.

我们的符号遵循标准规范. 用 $ B_{r}(x)\subset\mathbb{R}^{2m} $ 表示以 $ x $ 为中心半径为 $ r $ 的球, 用 $ L^{p,q}(D) $ 和 $ W^{k,p,q}(D) $ 分别表示 Lorentz 空间和 Sobolev-Lorentz 空间, 参见文献 [12]. 我们用 $ A\lesssim B $ 表示 $ A\le CB $, 其中 $ C>0 $ 是不依赖于解的常数, 在估计中每一行都可以不相等.

2 衰减引理

在本节中, 我们将证明以下衰减估计, 该衰减估计是证明定理 1.1 和定理 1.2 的关键.

引理 2.1 (衰减估计) 设 $ u\in W^{m,2}(B_{1},\mathbb{R}^{n}) $ 是方程 (1.1) 的一个弱解, $ f\in L\log L(B_{1},\mathbb{R}^{n}) $. 则, 存在仅依赖于 $ m,n>0 $ 的常数 $ \epsilon,C>0 $ 和 $ \tau\in(0,1) $, 使得如果 $ \theta_{B_{1}}<\epsilon $, 那么

$\begin{equation} \sum_{j=1}^{m}\left\Vert \nabla^{j}u\right\Vert _{L^{\frac{2m}{j},2}(B_{\tau})}\le\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{m}\left\Vert \nabla^{j}u\right\Vert _{L^{\frac{2m}{j},2}(B_{1})}+C\left\Vert f\right\Vert _{L^{1}(B_{1})}^{1/2}\left\Vert f\right\Vert _{L\log L(B_{1})}^{1/2}.\label{eq: decay esti} \end{equation}$

在证明此引理之前, 简要介绍相关的函数空间. 设 $ f\colon \Omega\to\mathbb{R} $ 是可测函数. 用 $ \delta_{f}(t)=|\{x\in\Omega:|f(x)|>t\}| $ 表示其分布函数, $ f^{\ast}(t)=\inf\{s>0:\delta_{f}(s)\le t\} $, $ t\ge0 $ 表示其非减重排函数. 定义

$\begin{eqnarray*}f^{\ast\ast}(t)\equiv\frac{1}{t}\int_{0}^{t}f^{\ast}(s)d s, & & t>0. \end{eqnarray*}$

洛伦兹空间 $ L^{p,q}(\Omega) $ ($ 1<p<\infty,1\le q\le\infty $) 表示满足如下可积性的函数空间: $ f\in L^{p,q}(\Omega) $ 当且仅当 $ f $ 是可测函数且

$\|f\|_{L^{p,q}(\Omega)}\equiv\begin{cases} \left(\int_{0}^{\infty}(t^{1/p}f^{\ast\ast}(t))^{q}\frac{d t}{t}\right)^{1/q}, & \text{if }1\le q<\infty,\\ \sup_{t>0}t^{1/p}f^{\ast\ast}(t) & \text{if }q=\infty \end{cases}$

是有限的. 在此基础上, 称可测函数 $ f:\Omega\to \mathbb{R} $ 属于函数空间 $ L\log L(\Omega) $, 如果

$\|f\|_{L\log L(\Omega)}\equiv \int_0^{\infty}f^\ast(t)\log(2+1/t){\rm d}t<\infty.$

称可测函数 $ f:\Omega\to \mathbb{R} $ 属于 Sobolev-Lorentz 空间 $ W^{k,p,q}(\Omega) $, 如果 $ f $ 存在 $ k $ 阶弱导数且其弱导数 $ \nabla^\alpha f\in L^{p,q}(\Omega) $ (其中 $ \alpha $ 表示所有不超过 $ k $ 的多重指标), 范数定义为

$\|f\|_{W^{k,p,q}(\Omega)}\equiv \sum_{|\alpha|\le k}\|\nabla^\alpha f\|_{L^{p,q}(\Omega)}.$

在定理 1.1 中我们用到了如下的空间嵌入结论: $W^{k,\frac{2m}{k},1}(\mathbb{R}^{2m})\subset C(\mathbb{R}^{2m}).$ 关于上述空间更多的性质可以参见文献 [1,12,20] 及其中的参考文献.

引理 2.1 的证明 我们将遵循文献 [12,引理 3.2] 的证明思路.

1. 根据文献 [12,命题 3.3], 我们有以下等式

$\begin{equation} \delta\Delta^{m-1}(A{\rm d}u)=\sum_{i=1}^{m-1}\delta^{i}\left(\sum_{j=m-i}^{m}\nabla^{j}A\nabla^{2m-i-j}u\right)+\delta K+Af\label{eq: equation of Adu} \end{equation}$

成立.

2. 接下来, 我们把所有 Sobolev 函数从 $ B_1 $ 以有界方式延拓到到全空间 $ \mathbb{R}^{2m} $ 上且具有紧支撑. 同时在下文中不改变现有的符号. 对于 $ f $, 我们简单地令 $ f\equiv0 $ 在 $ \mathbb{R}^{2m}\backslash B_{1} $ 上. 然后, 我们定义

$u_{11}\equiv c\log\ast\left(\sum_{i=1}^{m-1}\delta^{i}\left(\sum_{j=m-i}^{m}\nabla^{j}A\nabla^{2m-i-j}u\right)+\delta K\right),\quad u_{12}=c\log\ast(Af),$
$u_{2}=c\log\ast\Delta^{m-1}({\rm d}A\wedge {\rm d}u),$

其中 $ c\log $ 是 $ \Delta^{m} $ 在 $ \mathbb{R}^{2m} $ 中的基本解. 正如文献 [12,(3.7) 式] 所示, 我们从方程 2.2 得到相似结果

$A{\rm d}u = {\rm d}u_{11} + {\rm d}u_{12} + {\rm d}^{\ast}u_{2} + h$ 在$ B_{1}$ 中,

其中 $ h $ 是 $ B_{1} $ 上的一个多调和映照, 即 $ \Delta^{m}h=0 $.

3. 根据文献 [12] 中的估计 (3.15), (3.17) 和 (3.18) 式, 我们得到以下估计

$\begin{equation} \sum_{j=1}^{m}\|\nabla^{j}u_{11}\|_{L^{2m/j,2}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\epsilon\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}u\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})},\label{eq: estimate of u11} \end{equation}$
$\begin{equation} \sum_{j=1}^{m}\|\nabla^{j}u_{2}\|_{L^{2m/j,2}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\epsilon\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}u\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})},\label{eq: estimate of u2} \end{equation}$

并且对任意的 $ 0<\tau<1 $,

$\begin{equation} \sum_{j=1}^{m}\|\nabla^{j}h\|_{L^{2m/j,2}(B_{\tau})}\lesssim \tau\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}h\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})}.\label{eq: decay of h} \end{equation}$

由 $ f\in L\log L(B^{2m})\subset L^{1}(B^{2m}) $ 和 $ f\equiv0 $ 在$ \mathbb{R}^{2m}\backslash B^{2m} $ 上, 我们知道 $ Af\in L\log L(B^{2m}) $. 并且由于$ \|A\|_{\infty}\le C(m,n) $, 我们知道对于某个 $ C=C(m,n)>0 $, 有 $ \|Af\|_{L\log L(\mathbb{R}^{2m})}\le C\|f\|_{L\log L(B^{2m})} $ 和 $ \|Af\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{2m})}\le C\|f\|_{L^{1}(B^{2m})} $.

从而, 根据标准调和分析理论, 我们推导出 $ u_{2}\in W^{2m,1}(\mathbb{R}^{2m}) $ 且

$\left\Vert u_{12}\right\Vert _{W^{2m,1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|Af\|_{L\log L(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|f\|_{L\log L(B_{1})}$

和

$\left\Vert u_{12}\right\Vert _{W^{2m,1,\infty}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|Af\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|f\|_{L^{1}(B_{1})}.$

因此, Sobolev 嵌入定理意味着

$\begin{equation} \begin{aligned}\sum_{j=1}^{m}\|\nabla^{j}u_{12}\|_{L^{2m/j,2}(\mathbb{R}^{2m})} & \le\sum_{j=1}^{m}\|\nabla^{j}u_{12}\|_{L^{2m/j,1}(\mathbb{R}^{2m})}^{1/2}\|\nabla^{j}u_{12}\|_{L^{2m/j,\infty}(\mathbb{R}^{2m})}^{1/2}\\ & \lesssim\|f\|_{L^{1}(B_{1})}^{1/2}\|f\|_{L\log L(B_{1})}^{1/2}. \end{aligned} \label{eq: estimate of u12} \end{equation}$

4. 现在使用与文献 [第 18 页] 的步骤 4 相同的论证, 我们由方程 (2.3), (2.4), (2.5) 和 (2.6) 式可以得到, 对于所有的 $ 0<\tau<1 $, 都有

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}u\|_{L^{\frac{2m}{i},2}(B_{\tau})} &\lesssim\tau\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}h\|_{L^{\frac{2m}{i},2}(B_{1})}+\epsilon\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}u\|_{L^{\frac{2m}{i},2}(B_{1})}+\|f\|_{L^{1}(B^{2m})}^{1/2}\|f\|_{L\log L(B_{1})}^{1/2}\\ & \lesssim\tau\sum_{i=1}^{m}\left(\|\nabla^{i}u\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})}+\|\nabla^{i}u_{11}\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})}+\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}u_{12}\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})}\right)\\ & \quad+\epsilon\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}u\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})}+\|f\|_{L^{1}(B_{1})}^{1/2}\|f\|_{L\log L(B_{1})}^{1/2}\\ & \le C(\tau+\epsilon)\sum_{i=1}^{m}\|\nabla^{i}u\|_{L^{2m/i,2}(B_{1})}+\|f\|_{L^{1}(B_{1})}^{1/2}\|f\|_{L\log L(B_{1})}^{1/2}, \end{aligned}$

其中 $ C>0 $ 是不依赖于 $ \tau $ 和 $ \epsilon $ 的常数. 最后选择足够小的 $ \tau $ 和 $ \epsilon $, 使得 $ C(\tau+\epsilon)\le1/2 $.

3 主要结果证明

定理 1.1 中的最优正则性结果依赖于以下关键观察: 若 $ f\in L^{p_{1},s_{1}}(\mathbb{R}^{n}) $, $ g\in L^{p_{2},s_{2}}(\mathbb{R}^{n}) $ 其中 $ 1<p_{1},p_{2}<\infty $ 和 $ 1\le s_{1},s_{2}\le\infty $, 则 $ fg\in L^{p,s}(\mathbb{R}^{n}) $ 且

$\begin{equation}\label{eq: observation} \|fg\|_{L^{p,s}}\le\|f\|_{L^{p_{1},s_{1}}(\mathbb{R}^{n})}\|g\|_{L^{p_{2},s_{2}}(\mathbb{R}^{n})}, \end{equation}$

其中

$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}},\quad \frac{1}{s}=\frac{1}{s_{1}}+\frac{1}{s_{2}}.$

更多细节请参见文献 [11,12].

定理 1.1 的证明 与上一节一样, 首先将所有 Sobolev 函数以有界的方式延拓到全空间上, 然后按照上文所述定义 $ u_{11},u_{12},u_{2} $ 和 $ h $.

为了估计 $ u_{11} $, 我们令

$v_{1}=c\log\ast\left(\sum_{i=1}^{m-1}\delta^{i}\left(\sum_{j=m-i}^{m}\nabla^{j}A\nabla^{2m-i-j}u\right)\right),\quad v_{2}=c\log\ast(\delta K),$

使得 $ u_{11}=v_{1}+v_{2} $. 那么

$\nabla^{m+1}v_{1}\approx I_{m-1}\ast\sum_{i=1}^{m-1}\delta^{i}\left(\sum_{j=m-i}^{m}\nabla^{j}A\nabla^{2m-i-j}u\right)\approx\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=m-i}^{m}I_{m-1-i}\left(\nabla^{j}A\nabla^{2m-i-j}u\right).$

通过观察方程 (3.1), 对于每个 $ 1\le i\le m-1 $ 和 $ m-i\le j\le m $, 我们有 $ \nabla^{j}A\nabla^{2m-i-j}u\in L^{\frac{2m}{2m-i},1}(\mathbb{R}^{2m}) $. 因此, 由标准位势理论, 我们推断出 $ I_{m-1-i}\left(\nabla^{j}A\nabla^{2m-i-j}u\right)\!\in\! L^{2m/(m+1),1}(\mathbb{R}^{2m}) $ 且

$\left\Vert \nabla^{m+1}v\right\Vert _{L^{\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|A\|_{W^{m,2}}\|u\|_{W^{m,2}}\lesssim\epsilon\|u\|_{W^{m,2}}.$

这就表明 $ v_{1}\in W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m}) $ 且

$\|v_{1}\|_{W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\epsilon\|u\|_{W^{m,2}}.$

类似地, 我们也可以推导出 $ v_{2} $ 的正则性. 因此, $ u_{11}\in W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m}) $ 且

$\|u_{11}\|_{W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\epsilon\|u\|_{W^{m,2}}.$

因为 $ Af\in L\log L(\mathbb{R}^{2m}) $, 标准位势理论表明 $ u_{12}\in W^{2m,1}(\mathbb{R}^{2m}) $ 且

$\|u_{12}\|_{W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|u_{12}\|_{W^{2m,1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|Af\|_{L\log L}\lesssim\|f\|_{L\log L(B_{1})}.$

为了估计 $ g $, 注意到由于 $ A,u\in W^{m,2}(\mathbb{R}^{2m}) $, 根据上述的观察可得 $ \nabla^{m-1}({\rm d}A\wedge {\rm d}u)\in L^{\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m}) $. 因此,

$g\approx I_{m+1}\ast\left(\nabla^{m-1}(dA\wedge du)\right)\in W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m})$

且

$\|g\|_{W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\left\Vert \nabla^{m-1}({\rm d}A\wedge {\rm d}u)\right\Vert _{L^{\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m})}\lesssim\|A\|_{W^{m,2}}\|u\|_{W^{m,2}}\lesssim\epsilon\|u\|_{W^{m,2}}.$

最后, 注意到因为 $ h $ 是 $ m $ 阶调和的, 所以 $ h\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{2m}) $. 这与 $ A^{-1}\in W^{m,2}\cap L^{\infty} $ 一起意味着

${\rm d}u=A^{-1}({\rm d}u_{11}+{\rm d}u_{12}+u_{2}+h)\in W^{m,2,1}(\mathbb{R}^{n}),$

这进一步表明 $ u\in W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(\mathbb{R}^{2m}) $. 因此, 定量估计可以使用与文献 [11,命题4.3] 相同的论证推导得出.

现在我们证明定理 1.2.

定理 1.2 的证明 我们遵循 Sharp 和 Topping[20] 的证明思路, 也参考了文献 [11,定理 1.7] 的论证.

1. 根据定理 1.1, 我们知道 $ \{u^{k}\} $ 是 $ W^{m+1,\frac{2m}{m+1},1}(B_{3/4}) $ 中的一列有界序列. 从而, Sobolev 嵌入定理表明, 对于每个 $ 1\le j\le m $, $ \{\nabla^{j}u^{k}\}_{k\ge1} $ 是 $ L^{2m/j}(B_{3/4}) $ 中的一列有界序列. 由集中紧原理 (参见文献 [20,引理 A.5], 我们有以下测度的弱收敛成立

$\left|\nabla^{j}u^{k}\right|^{2m/j}{\rm d}x\rightharpoonup\nu^{j}\equiv\left|\nabla^{j}u\right|^{2m/j}{\rm d}x+\sum_{i\in J_{j}}^{\infty}a_{i}^{j}\delta_{x_{i}^{j}}\qquad\forall\,1\le j\le m,$

其中, 当 $ J_{j}\neq\emptyset $ 和 $ x_{i}^{j}\in B_{3/4} $ 时, $ a_{i}^{j}>0 $.

2. 下面我们证明对于每个 $ 1\le j\le m $, $ J_{j}=\emptyset $ 成立. 为了证明这一点, 对于任意的球 $ B_{r}(y)\subset B_{1} $, 我们定义

$\Phi(r,y,v)\equiv\sum_{j=1}^{m}\left\Vert \nabla^{j}v\right\Vert _{L^{2m/j,2}(B_{r}(y))}.$

衰减估计 (2.1) 意味着, 对于所有的 $ k\ge1 $, 都有

$\Phi(\tau r,y,u_{k})\le\frac{1}{2}\Phi(r,y,u_{k})+C\left\Vert f\right\Vert _{L^{1}(B_{r})}^{1/2}\left\Vert f\right\Vert _{L\log L(B_{r})}^{1/2}.$

结合估计 $ \left\Vert f\right\Vert _{L^{1}(B_{r})}\le C|\log r|^{-1}\left\Vert f\right\Vert _{L\log L(B_{r})} $ (参见文献 [20]), 可以得到

$\Phi(\tau r,y,u_{k})\le\frac{1}{2}\Phi(r,y,u_{k})+C|\log r|^{-1/2}\left\Vert f\right\Vert _{L\log L(B_{1})}.$

因此, 先令 $ k\to\infty $, 再令 $ r\to0 $, 我们得到

$\lim_{r\to0}\limsup_{k\to\infty}\Phi(\tau r,y,u_{k})\le\frac{1}{2}\lim_{r\to0}\limsup_{k\to\infty}\Phi(r,y,u_{k}),$

这表明

$\sum_{j=1}^{m}\lim_{r\to0}\limsup_{k\to\infty}\left\Vert \nabla^{j}u_{k}\right\Vert _{L^{2m/j,2}(B_{r}(y))}=\lim_{r\to0}\limsup_{k\to\infty}\Phi(r,y,u_{k})=0,\qquad\forall\,B_{r}(y)\subset B_{1}.$

因此, 根据对于每个 $ 1\le j\le m $, $ |\nabla^{j}u^{k}|^{2m/j}{\rm d}x\rightharpoonup\nu^{j} $ 的弱收敛的性质 (参见文献 [7]), 对于任意的开球 $ B_{r}(x_{i}^{j}) $ 其中 $ i\in J_{j} $, 我们有

$0=\lim_{r\to0}\liminf_{k\to\infty}\int_{B_{r}(x_{i}^{j})}|\nabla^{j}u_{k}|^{\frac{2m}{j}}{\rm d}x\ge\lim_{r\to0}\nu^{j}(B_{r}(x_{i}^{j}))\ge a_{i}^{j}.$

故而 $ a_{i}^{j}=0 $, 所以 $ J_{j}=\emptyset $, $\nu^{j}=|\nabla^{j}u|^{2m/j}{\rm d}x.$

3. 现在我们可以证明, 对于每个 $ 1\le j\le m $, $ \nabla^{j}u_{k}\to\nabla^{j}u $ 在$ L^{2m/j}(B_{3/4}) $ 中成立. 实际上, 由于对于任意的球 $ B_{r}(y)\subset B_{3/4} $, 都有 $ \int_{\partial B_{r}(y)}\left|\nabla^{j}u\right|^{2m/j}{\rm d}x=0 $, 根据测度的弱收敛等价性质 (参见文献 [7]), 我们可以得出以下结论

$\lim_{k\to\infty}\int_{B_{r}(y)}|\nabla^{j}u_{k}|^{2m/j}{\rm d}x=\nu^{j}\left(B_{r}(y)\right)=\int_{B_{r}(y)}|\nabla^{j}u|^{2m/j}{\rm d}x.$

这个结论进一步保证了, 随着 $ k\to\infty $, $ \nabla^{j}u_{k} $ 在 $ L^{2m/j}(B_{r}(y)) $ 中强收敛到 $ \nabla^{j}u $. 最后, 通过简单的覆盖论证, 我们就可以得出对于每个 $ 1\le j\le m $, $ \nabla^{j}u_{k} $ 在 $ L^{2m/j}(B_{1/2}) $ 中强收敛到 $ \nabla^{j}u $.

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In this paper, we consider the elliptic systems [Formula: see text] where u ∈ W1, 2(R2, RK) and f ∈ L ln+L, and Ω belongs to L2(R2, MK(R)⊗R2) which is antisymmetric. In the first part we prove a compactness theorem for this system. As a corollary, we obtain the compactness theorem for a sequence of mappings from a Riemannian surface to a compact Riemannian manifold with tension fields bounded in L ln+L. In the second part we prove the energy identity for a sequence of mappings from a surface to a sphere with tension fields bounded in L ln+L. In the last section we construct a blow-up sequence of mappings from B1to S2with tension fields bounded in L ln+L but there exists a neck with positive length during blowing up.

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