微分方程能描述世界万事万物的运动规律, 在经典力学中, 最重要的是牛顿第二定律, 它是一个常微分方程组. 在电磁学中, 最关键的方程是麦克斯韦方程, 它是一个偏微分方程组. 上个世纪, 科学领域最重要的两大发现是量子力学和广义相对论, 量子力学最重要的定律是薛定谔方程, 而广义相对论的基本理论用爱因斯坦方程来描述. 从上面的分析可以看出, 偏微分方程在数学物理中发挥着至关重要的作用, 因此, 研究偏微分方程解的存在唯一性结果, 是偏微分方程研究领域的重要课题. 对于具有变分结构的椭圆方程, 科学家常常用变分法或临界点理论来证明方程弱解的存在性结果. 然而对于非变分问题, 变分法却无能为力, 科学家常常用拓扑度方法, 如 Leray-Schauder 度理论来得到解的存在性结果. 要利用拓扑度方法, 最关键的步骤是得到解的先验界, 即证明 $ \|u\|_{L^\infty}\leq C $. 在过去几十年中, 为了证明先验界, 常常采用爆破 (Blow-up) 方法. 爆破方法的实质是反证法, 先反设 $ \|u\|_{L^\infty}\leq C $ 不成立, 那么存在一列解 $ \{u_n\} $, 使得 $ M_n=u_n(x_n)=\max_{x\in \Omega} u_n(x)\to \infty $. 然后作下面的变换

其中 $ \theta>0 $ 是根据非线性项的性质选取的一个正常数. 变换后的函数 $ v_n $ 满足$ \|v_n\|_{L^\infty}=1 $, 且在 $ \Omega_n=\{x|M_n^{-\theta} x+x_n\in \Omega\} $ 上满足一个对应的方程. 因为 $ \theta>0 $, 所以当 $ n\to \infty $ 的时候, $ \Omega_n $ 要么趋于全空间 $ \mathbb R^N $, 要么趋于半空间 $ \mathbb R_+^N $. 此外, 由椭圆方程的正则性理论, 可以假设在 $ C_{\rm loc}^2(\Omega_\infty) $ 意义下, $ v_n\to v $, 那么我们有 $ \|v\|_{L^\infty}=1 $, 且 $ v $ 在 $ \mathbb R^N $ 或 $ \mathbb R_+^N $ 中满足某个极限方程. 另一方面, 如果我们能够证明这个极限方程没有非平凡的解, 那么就得到了矛盾. 所以我们得到 $ \|u\|_{L^\infty}\leq C $, 即证明了先验界.

从上面的分析过程可以看出, 证明先验界最关键的步骤是, 如何证明极限方程没有非平凡的解, 即刘维尔型定理. 过去几十年中, 这方面取得了很大的进步, 最早的结果是文献 [3], 在这篇论文中, 作者证明了在 $ 1\leq p<\frac {N+2}{N-2} $ 的情况下, 方程

没有正解. 此外, 指数 $ \frac {N+2}{N-2} $ 还是最优的, 即当 $ p\geq \frac {N+2}{N-2} $ 的时候, 方程 (1.2) 有无穷多个正解. 因此, 通常称指数 $ \frac {N+2}{N-2} $ 为方程 (1.2)的临界指数.

然而, 仅仅由方程 (1.2) 的刘维尔型定理, 还不能得到有界区域上的椭圆方程的先验界. 原因在于, $ \Omega_n $ 可能趋于半空间. 因此, 为了证明先验界, Gidas 和 Spruck 在文献 [4] 中, 研究了半空间上的方程

的刘维尔型定理. 他们证明了当 $ 1<p\leq \frac{N+2}{N-2} $ 的时候, 方程 (1.3) 也没有正解. 有了方程 (1.2) 和方程 (1.3) 的刘维尔型定理, 就可以证明有界区域上的半线性椭圆方程解的先验界, 从而进一步得到解的存在性结果.

然而, 除了半线性椭圆方程以外, 科学领域中还存在另一类椭圆方程, 即完全非线性椭圆方程. 在所有的完全非线性椭圆算子中, 最简单和具有代表性的算子是 Pucci 算子. 假定参数 $ 0<\lambda\leq \Lambda<\infty $, 函数 $ u\in C^2(\mathbb R^N)$ $(N\geq 3) $, Pucci 正算子和 Pucci 负算子分别定义为

和

其中 $ e_i $ 是矩阵 $ D^2u $ 的特征值, 关于 Pucci 算子的性质, 详情可参考文献 [1]. 由于 Pucci 方程没有变分结构, 因此为了证明有界区域上 Pucci 方程解的存在性结果, 需要全空间和半空间上 Pucci 方程的刘维尔型定理. 在文献 [2] 中, 作者研究了 Pucci 方程

的刘维尔型定理, 他们证明了当 $ 0<p\leq \frac{\tilde N_+}{\tilde N_+-2} $ 的时候, 微分不等式 (1.6) 没有正解, 其中 $ \tilde N_+=\frac{\lambda}{\Lambda}(N-1)+1 $. 特别的, 当 $ \lambda=\Lambda=1 $ 的时候, 方程 (1.6) 化为

$ \tilde N_+ $ 就是空间的维数 $ N $, 文献 [2] 中的结果就是拉普拉斯方程的刘维尔型定理.

为了得到 Pucci 方程的先验界, 仅有全空间上的刘维尔型定理还不够, 在随后的一篇文献 [5] 中, 作者研究了半空间上的 Pucci 方程

的刘维尔型定理, 他们用移动平面法证明了, 当指数 $ 1<p\leq \frac{\lambda(N-2)+\Lambda}{\lambda(N-2)-\Lambda} $ 的时候, 方程 (1.8) 没有有界的正解. 此外, 杨健夫和余晓辉^[6]研究了方程组

的刘维尔型定理.

本文研究带权的 Pucci 方程的刘维尔型定理, 为此, 我们首先定义带权的 Pucci 算子. 假定$ u\in C^2(\Omega) $, 其中 $ \Omega $ 是 $ \mathbb R^N $ 中的有界区域或整个 $ \mathbb R^N $, $ \alpha \in \mathbb R $, 用 $ D(|x|^\alpha Du) $ 表示 $ N\times N $ 阶矩阵, 其第 $ i $ 行、第 $ j $ 列的元素为

我们称 $ \mathcal M_{\lambda,\Lambda}^+(D(|x|^\alpha Du)) $ 和 $ \mathcal M_{\lambda,\Lambda}^-(D(|x|^\alpha Du)) $ 分别为带权的 Pucci 正算子和带权的 Pucci 负算子.

接下来, 我们研究带权的 Pucci 方程

和

的刘维尔型定理. 关于带权的 Pucci 正算子, 我们的主要结论是

定理 1.1 (1) 记 $ \tilde N_+=\frac{\lambda}{\Lambda}(N-1)+1 $, 如果 $ \tilde N_++\alpha\leq 2 $, 那么微分不等式

的正解必为常数, 特别的, 微分不等式 (1.10) 没有正解;

(2) 如果 $ \tilde N_++\alpha> 2 $ 且 $ \beta=\alpha-2 $, 那么当 $ 0<p< 1 $ 的时候, 微分不等式 (1.10) 没有正解; 如果 $ \tilde N_++\alpha> 2 $ 且 $ \beta<\alpha-2 $, 那么当 $ 0<p\leq \frac{\tilde N_++\beta}{\tilde N_++\alpha-2} $ 的时候, 微分不等式 (1.10) 没有正解.

关于带权的 Pucci 负算子, 我们有类似的结果.

定理 1.2 (1) 记 $ \tilde N_-=\frac{\Lambda}{\lambda}(N-1)+1 $, 如果 $ \tilde N_-+\alpha\leq 2 $, 那么微分不等式

的正解必为常数, 特别的, 微分不等式 (1.11) 没有正解;

(2) 如果 $ \tilde N_-+\alpha> 2 $ 且 $ \beta=\alpha-2 $, 那么当 $ 0<p< 1 $ 的时候, 微分不等式 (1.11) 没有正解; 如果 $ \tilde N_-+\alpha> 2 $ 且 $ \beta<\alpha-2 $, 那么当 $ 0<p\leq \frac{\tilde N_-+\beta}{\tilde N_-+\alpha-2} $ 的时候, 微分不等式 (1.11) 没有正解.

本文的后面主要是定理 1.1 和定理 1.2 的证明, 我们用比较定理和带权的 Pucci 算子的基本解来证明我们的结论. 为此, 我们先在第 2 节中计算带权的 Pucci 算子的基本解. 有了基本解以后, 我们再利用比较定理, 在第 3 节中证明定理 1.1 和定理 1.2. 我们只证明定理 1.1, 定理 1.2 可用类似的方法予以证明.

在这一节中, 我们来计算带权的 Pucci 算子的基本解. 我们只证明 $ \mathcal M_{\lambda,\Lambda}^+(D(|x|^\alpha Du)) $ 的基本解, 对于带权的 Pucci 负算子, 可以采用类似的方法证明.

引理2.1 假定 $ \varphi(r)\in C^2((0,+\infty)) $, $ \Phi(x)=\varphi(|x|)(x\neq 0) $, 那么 $ \alpha |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)+|x|^{\alpha}\varphi''(|x|) $ 是$ D(|x|^\alpha D\Phi) $ 的特征值, 其对应的特征向量是 $ \frac x{|x|} $, 且 $ \alpha |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)+|x|^{\alpha}\varphi''(|x|) $ 是单重的; $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|) $ 是 $ D(|x|^\alpha D\Phi) $ 的另一个特征值, 每一个与 $ \frac {x}{|x|} $ 垂直的向量都是它的特征向量, 因而它是 $ N-1 $ 重的.

证 直接计算可知, $ D(|x|^\alpha D\Phi) $ 的第 $ i $ 行、第 $ j $ 列的元素

从而

因此, $ \alpha |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)+|x|^{\alpha}\varphi''(|x|) $ 是 $ D(|x|^\alpha D\Phi) $ 的特征值, $ \frac x{|x|} $ 是对应的特征向量, 且 $ \alpha |x|^{\alpha-1}\varphi'$ $(|x|)+|x|^{\alpha}\varphi''(|x|) $ 至少是单重特征值.

此外, 对任意与 $ \frac x{|x|} $ 垂直的向量 $ \xi $, 我们有

因此, $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|) $ 是 $ D(|x|^\alpha D\Phi) $ 的特征值, $ \xi $ 是其对应的特征向量. 由于与 $ \frac{x}{|x|} $ 垂直的单位特征向量有 $ N-1 $ 个, 因此 $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|) $ 至少是 $ N-1 $ 重特征值.

由于 $ D(|x|^\alpha D\Phi) $ 刚好有 $ N $ 个特征向量, 因此 $ \alpha |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)+|x|^{\alpha}\varphi''(|x|) $ 只能是单重特征值, $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|) $ 只能是 $ N-1 $ 重特征值.

基于上述引理, 我们接下来求算子 $ \mathcal M_{\lambda,\Lambda}^+(D^2u) $ 的基本解. 我们的结果是

引理 2.2 (1) 记 $ \tilde N_+=\frac{\lambda}{\Lambda}(N-1)+1 $, 如果 $ \tilde N_++\alpha>2 $, 那么 $ \Phi(x)=\varphi(|x|)=|x|^{2-\tilde N_+-\alpha} $ 满足方程

(2) 如果 $ \tilde N_++\alpha=2 $, 那么 $ \Phi(x)=\varphi(|x|)=-\ln|x| $ 满足方程 (2.1);

(3) 如果 $ \tilde N_++\alpha<2 $, 那么 $ \Phi(x)=\varphi(|x|)=-|x|^{2-\tilde N_+-\alpha} $ 满足方程 (2.1).

证 因为 $ \Phi(x) $ 是径向函数, 所以由引理 2.1 可知, $ D(|x|^\alpha D\Phi(x)) $ 的特征值为 $ \alpha |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)+|x|^{\alpha}\varphi''(|x|) $ 和 $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|) $, 前者是单重的, 后者是 $ N-1 $ 重的. 下面我们根据 $ \alpha |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)+|x|^{\alpha}\varphi''(|x|) $ 和 $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|) $ 的正负号, 来验证 $ \Phi(x) $ 满足方程 (2.1).

(1) 直接计算可得

而

因此

所以我们得到, 当 $ x\neq 0 $ 的时候,

(2) 由 $ \varphi(|x|)=-\ln |x| $ 可知,

因此特征值 $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)=-|x|^{\alpha-2}<0 $. 而

因此

所以我们得到, 当 $ x\neq 0 $ 的时候,

(3) 直接计算可得

因此特征值 $ |x|^{\alpha-1}\varphi'(|x|)=-(2-\tilde N_+-\alpha)|x|^{-\tilde N_+}<0 $. 而

因此特征值

所以我们得到, 当 $ x\neq 0 $ 的时候,

关于带权的 Pucci 负算子, 我们也有类似的结果

引理 2.3 (1) 记 $ \tilde N_-=\frac{\Lambda}{\lambda}(N-1)+1 $, 如果 $ \tilde N_-+\alpha>2 $, 那么 $ \Phi(x)=|x|^{2-\tilde N_-\alpha} $ 满足方程

(2) 如果 $ \tilde N_-+\alpha=2 $, 那么 $ \Phi(x)=-\ln|x| $ 满足方程 (2.2);

(3) 如果 $ \tilde N_-+\alpha<2 $, 那么 $ \Phi(x)=-|x|^{2-\tilde N_-\alpha} $ 满足方程 (2.2).

引理 2.3 的证明和引理 2.2 类似, 我们省略具体证明过程.

在本节中, 我们利用上一节的基本解与比较定理, 来证明定理 1.1. 由于在任何远离原点的有界区域以内, 算子 $ \mathcal M_{\lambda,\Lambda}^+(D(|x|^\alpha Du(x))) $ 都是一致椭圆的, 因此它满足比较定理. 我们用反证法来证明定理 1.1. 我们反设 $ u\in C^2(\mathbb R^N\setminus\{0\})\cap C^1(\mathbb R^N) $ 是方程 (1.10) 的正解, 我们将在定理 1.1 的假设条件下得到矛盾. 对任意的 $ r>0 $, 定义

那么我们有 $ m(r)> 0 $, 且 $ m(r) $ 关于 $ r $ 单调递减.

下面我们来证明定理 1.1 中的 (1), 即 $ \tilde N_++\alpha\leq 2 $ 的情况下的刘维尔型定理. 对任意的 $ R_2>R_1 $, 如果 $ \tilde N_++\alpha= 2 $, 我们选取

那么函数 $ \psi(x)=-C_1\ln |x|+C_2 $ 满足

由于 $ C_1>0 $, 因此由引理 2.2 可知,

由比较定理可得, 对任意的 $ x\in\mathbb R^N $, 只要 $ R_1<|x|<R_2 $, 就有

即对任意的 $ R_1<r<R_2 $, 我们有

在方程 (3.4) 中令 $ R_2\to \infty $, 我们得到

特别的, $ u $ 在 $ B_r $ 的内部达到最小值, 因此由强最大值原理可知, $ u $ 为常数.

$ \tilde N_++\alpha< 2 $ 的情况可以类似地证明. 事实上, 如果我们选取

那么函数 $ \psi(x)=-C_1|x|^{2-\tilde N_+-\alpha}+C_2 $ 满足

由于 $ C_1>0 $, 因此由引理 2.2 可知,

由比较定理可得, 对任意的 $ x\in\mathbb R^N $, 只要 $ R_1<|x|<R_2 $, 就有

即对任意的 $ R_1<r<R_2 $, 我们有

在方程 (3.8) 中令 $ R_2\to \infty $, 我们得到

所以 $ u $ 在 $ B_r $ 的内部达到最小值, 因此由强最大值原理可知, $ u $ 为常数.

最后, 我们来证明 $ \tilde N_+ + \lambda - 2 > 0 $ 的情况. 在这种情况下, 由引理 2.2 可知, 函数 $\varphi_1(x)=|x{|^{2 - \tilde N_+ - \lambda }} $ 满足

对任意的 $ {r_1} > {r_2} $, 我们令

那么当 $ |x| = {r_1} $ 的时候, $ C_1\varphi _1(x)+C_2 = m({r_1}) $ ; 当 $ |x| = {r_2} $ 的时候, $ C_1\varphi _1(x)+C_2 = m({r_2}) $.由比较定理可得

引理 3.1 假定 $\tilde N_+ + \alpha - 2 > 0$, 如果 $u\in C^2(\mathbb R^N\setminus\{0\})\cap C^1(\mathbb R^N)$ 是方程 (1.10) 的正解, 那么 $ {r^{\tilde N_+ + \alpha - 2}}m(r) $ 关于 $ r $ 单调递增, 其中 $ m(r) $ 由 (3.1) 式定义.

证 事实上, 由方程 (3.10) 可知, 对任意满足 $ r_2<|x|<r_1 $ 的 $ x $, 我们有

在方程 (3.11) 中令 $ {r_1} \to + \infty $, 我们得到

也就是说, 对任意的 $ r>r_2 $, 我们有

即 $ m(r)r^{\tilde N_+ + \alpha - 2} $ 关于 $ r $ 单调递增.

引理 3.2 假定 $ \tilde N_+ + \alpha - 2 > 0 $, 如果 $ u\in C^2(\mathbb R^N\setminus\{0\})\cap C^1(\mathbb R^N) $ 是方程 (1.10) 的正解, 那么

其中常数 $ C $ 只依赖 $ N,\ \lambda,\ \Lambda, \alpha $ 和 $ \beta $.

证 对任意的 $ R>r>0 $ 和 $ x\in \mathbb R^N $, 定义

那么当 $ |x| \ge R $ 的时候, 我们有 $ {\varphi _2}(x) = 0 < u(x) $, 当 $ |x| \leq r $ 的时候, 我们有 $ {\varphi _2}(x) = m(r) \leq u(x) $. 此外, 在 $ \partial {B_r} $ 上的某点 $ x $, 我们有 $ u(x) = {\varphi _2}(x) $. 因此, 函数 $ (u - {\varphi _2})(x) $ 的最小值是非正的, 并且在某点 $ x_R^r $ 达到. 由前面的分析, 我们有 $ r \le |x_R^r| < R $. 由 $ u $ 是方程 (1.10) 的粘性解可知,

下面我们来计算 $ \mathcal M_{\lambda,\Lambda}^+(D(|x_R^r|^\alpha D {\varphi _2}(x_R^r))) $. 直接计算可得

因此, 特征值

特征值

所以我们得到

将方程 (3.15) 代入方程 (3.14) 可得

如果 $ |x_R^r|=r $, 那么我们由 (3.16) 式可得 $ u(x_R^r)=0 $, 这与 $ u $ 是正解矛盾, 所以我们得到 $ r<|x_R^r|<R $. 此时, 方程 (3.16) 可以推出

当 $ \beta\geq 0 $ 的时候, 我们从 $ m(r) $ 的定义可以得到

由方程 (3.17) 和方程 (3.18) 可得

由引理 3.1 可知

将方程 (3.20) 带入方程 (3.19), 并令 $ r = \frac{1}{2}R $ 可得

而当 $ \beta<0 $ 的时候, 我们有

由方程 (3.17) 和方程 (3.22) 可得

同理, 由引理 3.1 可知

将方程 (3.24) 带入方程 (3.23), 并令 $ r = \frac{1}{2}R $ 可得

这样我们就完成了引理 3.2 的证明.

有了前面的准备工作, 我们就可以来证明定理 1.1 中的 (2) 了.

证 我们将定理 1.1 中的 (2) 的证明分为以下四种情况.

情况一 $\alpha-\beta-2=0 $ 且 $ 0<p<1 $. 在这种情况下, 我们由方程 (3.13) 可知, 对任意的 $ R>0 $, 我们都有

所以我们得到

令 $ v(x)=u(x)-\mu $, 那么 $ v(x) $ 仍然是方程 (1.10) 的粘性正解. 对解 $ v $ 应用上面的证明可得

但另一方面, 当 $ R\to \infty $ 的时候, 我们有

这样我们就得到了矛盾. 所以在这种情况下, 方程 (1.10) 不存在正解.

情况二 $\alpha-\beta-2<0 $ 且 $ 0<p\leq 1 $. 在这种情况下, 我们由方程 (3.13) 可得

因而当 $ R\to \infty $ 的时候,

这是不可能的.

情况三 $\alpha-\beta-2<0 $ 且 $ 1<p<\frac{\tilde N_++\beta}{\tilde N_++\alpha-2} $. 在这种情况下, 由方程 (3.13) 可得

即

由于 $ \tilde N_++\alpha-2>0 $ 且 $ 1<p<\frac{\tilde N_++\beta}{\tilde N_++\alpha-2} $, 所以我们有 $ \frac{\alpha-\beta-2}{p-1}+\tilde N_++\alpha-2<0 $. 因此, 当 $ R\to \infty $的时候, 方程 (3.26) 的右端项趋于零, 然而由引理 3.1 可知, $ R^{\tilde N_++\alpha-2}m(R) $ 是 $ R $ 的增函数, 矛盾.

最后, 我们证明情况四下的刘维尔型定理, 在这种情况下, $ \tilde N_++\alpha-2>0 $, $ \alpha-\beta-2<0 $ 且 $ p=\frac{\tilde N_++\beta}{\tilde N_++\alpha-2} $. 首先由方程 (3.26) 可知, $ R^{\tilde N_++\alpha-2}m(R) $ 有上界. 接下来, 固定 $ R_1 > \max\{ {\rm e}^{\frac 1{\tilde N_++\alpha-2}}-1,{\rm e}^{|2\tilde N_++\alpha-4|+1}-1\} $, 对任意的 $ R_2 > R_1 $ 以及

定义

容易验证 $ \Gamma(R_1)\leq m(R_1) $, $ \Gamma(R_2)= m(R_2) $. 此外, 对任意的 $ R_1<|x|<R_2 $, 那么还有

和

因为 $ R_1 > {\rm e}^{\frac 1{\tilde N_++\alpha-2}}-1 $, 所以我们得到, $ D(|x|^\alpha(D\Gamma)) $ 的特征值

此外, 由 $ R_1 >{\rm e}^{|2\tilde N_++\alpha-4|+1}-1 $ 可得, 另一个特征值

由 $ \mathcal M_{\lambda,\Lambda}^+ $ 的定义可知

另一方面, 由于

因此, 由方程 (1.10) 可得

如果我们选取 $ \gamma_1>0 $ 充分小, 那么由方程 (3.27) 和方程 (3.28) 可得

又因为 $ \Gamma(R_1)\leq m(R_1) $, $ \Gamma(R_2)= m(R_2) $, 所以由比较定理可得

由 $ \gamma_1,\gamma_2 $ 的定义可知, 当 $ R_2 $ 充分大的时候, $ \frac{{m(R_2) - m(R_1)}}{\frac{\ln (1 + {R_2})}{R_2^{\tilde N_+ + \alpha - 2}}-\frac{\ln (1 + {R_1})}{R_1^{\tilde N_+ +\alpha - 2}}} $ 有正的下界, 而对于固定的 $ \gamma_1 $, 当 $ R_2\to \infty $ 的时候, $ \gamma_2\to 0 $. 因此, 可以选取不依赖于 $ R_2 $ 的 $ \gamma _1>0 $, 使得

令方程 (3.31) 中的 $ R_2 \to \infty $, 我们得到

特别的, 我们有

这与 $ R^{\tilde N_+ +\alpha - 2}m(R) $ 有上界矛盾. 因此在这种情况下, 方程 (1.10) 也没有正解.

定理 1.2 的证明与定理 1.1 的证明类似, 我们省略具体的细节.