在本文中, 我们考虑如下具一般对数非线性项的分数阶薛定谔方程

(1.1)$(-\Delta)^{s} u=u(\log |u|)^{\alpha} \text { 在 } \mathbb{R}^{N} \text {, }$

其中 $0<s<1$, $N>2s$, $\alpha\ge1$ 是满足 $(-1)^{\alpha} = -1$ 的常数. 这里的 $(-\Delta)^s$ 为分数阶 Laplacian, 其定义为

(1.2)$\begin{equation}\label{eq1.2a} (-\Delta)^su(x):=C_{N,s}\mathrm{P.V.}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{N+2s}} {\rm d}y=C_{N,s}\lim\limits_{r\to 0}\int_{\mathbb{R}^N\backslash B_r(x)}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{N+2s}} {\rm d}y, \end{equation}$

其中 $C_{N,s}=\left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1-\cos(\zeta_1)}{|\zeta|^{N+2s}}{\rm d}\zeta\right)^{-1}$ (见文献[12]). 当 $\alpha=1$ 时, (1.1) 即为下述问题

(1.3)$\begin{equation}\label{eq1.2}(-\Delta)^s u = u\log |u|\ \text{在}\ \mathbb{R}^N.\end{equation}$

在物理中, 该问题源自于分数阶薛定谔方程

(1.4)$\begin{equation}\label{eq1.3}{\rm i}\frac{\partial\Phi}{\partial t}= -(-\Delta)^s\Phi+ \Phi\log |\Phi|, (x,t)\in \mathbb{R}^N\times\mathbb{R}_+.\end{equation}$

驻波解 $\Phi(t,x):={\rm e}^{-{\rm i}t}eu(x)$ 的研究.当 $s=1$ 时, 其被广泛应用到量子力学, 量子光学, 核物理学, 反应扩散, 开放重力系统, 量子引力, 超导和 Bose-Einstein 凝聚理论等领域(见文献[33,35] 以及其中的参考文献为例); 当 $0<s<1$ 时, Laskin^[23,24]利用其来模拟分数阶动力系统, 进而研究由 Lévy 随机过程模拟的随机粒子场; 其还被应用于化学和生物领域, 详见文献[12].

(1.1) 和 (1.3) 式的一般形式为

(1.5)$\begin{equation}\label{eq1.4}(-\Delta)^s u = f(u)\ \text{在}\ \Omega,\end{equation}$

其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 为一个区域. 近几十年来, 当 $f$ 满足条件

(1.6)$-\infty＜\liminf _{t \rightarrow 0^{+}} f(t) / t \leq \limsup _{t \rightarrow 0^{+}} f(t) / t=-m＜0,$

(1.7)$-\infty \leq \limsup _{t \rightarrow+\infty} f(t) / t^{l} \leq 0 \text {, 其中 } l=\frac{N+2}{N-2 s} \text {, }$

(1.8)$\text { 存在 } \theta>2 \text { 使得 } 0＜\theta \int_{0}^{t} f(s) \mathrm{d} s \leq f(t) t \text { ，}$

(1.9)$\text { 函数 } \frac{f(t)}{t} \text { 关于 } t>0 \text { 递增 }$

时, 人们对问题 (1.5) 做了大量的研究并获得了大量有价值的结果.文献[14,16]考虑了该问题正解 (基态解) 的存在性、正则性、衰减性和对称性. 由定义 (1.2) 可知, (1.5) 式为非局部问题, 这使得以往研究唯一性的 ODE 技巧 (例如文献[21,22,26-28]) 失效. 利用隐函数定理, 算子分析等理论, 文献[18,19] 在特殊的次临界 $f(u) = |u|^{p-2}u-u$, $2<p<2^*_s = \frac{2N}{(N-2s)_+}$ 以及全空间 $\Omega = \mathbb{R}^N(N\ge 1)$ 的情形证明了基态解的唯一性和非退化性. 关于该问题在半经典情形的研究可参阅文献[1,2,4,13,17].

易见, 当 $\alpha$ 满足 $(-1)^{\alpha}=-1$ 时, 有

(1.10)$\begin{equation}\label{eq1.10}\lim_{t\to 0^+}\frac{t(\log t)^{\alpha}}{t} = -\infty.\end{equation}$

这表明问题 (1.1) 中的非线性项不再满足条件(1.6). 特别地, 问题 (1.1) 对应的泛函不是 $C^1$ 的. 这使得以往在条件 (1.6)-(1.9) 下的研究方法不能被直接应用到问题(1.1) 上. 在 $s=1,\alpha=1$ 的情形, 人们发现了一些新的技巧来克服此困难: 构建合适的 Banach 空间使得泛函在此空间上是 $C^1$ 的^[9]; 利用罚函数技巧截断非线性项构造辅助问题^[20], 将泛函视作弱下半连续型泛函并将解空间限制为 $H^1_{\mathrm{rad}}(\mathbb{R}^N)$; 文献[30] 通过将非线性项拆分的方式, 将泛函分解为 $C^1$ 泛函和凸弱下半连续泛函的和, 并应用文献[31] 中针对此类型泛函的变分理论证明了基态解以及多解的存在性; 文献[34]考虑了半经典情形, 通过惩罚位势项和非线性项的方式, 其在位势无下界的情形证明了集中在位势几类临界点的存在性, 类似的还可参阅文献[5]. 利用同样的想法, 人们也对非局部 $0<s<1$ 和 $\alpha = 1$ 的情形做了一些研究: 在文献[11] 中, d'Avenia 等利用非光滑临界点理论构造了无穷多解; 在文献[8] 中, Ardila 通过在 Nehari 流形上取极小极大的方式得到了基态解; 在文献[7] 中, X. An 等通过用罚函数思想构造具 $C^1$ 泛函的惩罚问题的方式证明了单峰解的存在性.

值得一提的是具对数非线性项的薛定谔方程与幂次型薛定方程之间有着内在联系: 当 $s=1$ 时, 文献[3,33] 分别在 $\alpha = 1$ 和 $\alpha>1$ 的情形证明了当 $\sigma\to 0^+$ 时, 方程

的唯一径向正基态解 $U_{\sigma,\alpha}$^[22,26,27]在经过适当的伸缩变换后将会收敛到(1.1) 式的一个径向正基态解. 当 $0<s<1$ 和 $\alpha = 1$ 时, 同样的收敛性也被 X. An 和 X. Yang 观察到, 详见文献[6].

在本文中, 我们也想探究 (1.1) 式和如下幂次型薛定谔方程的关系

(1.11)$\begin{equation}\label{eq1.9}(-\Delta)^s u = u(|u|^{\sigma}-1)^{\alpha}.\end{equation}$

易见, $u_{\sigma,\alpha}$ 是方程 (1.11) 的解当且仅当 $v_{\sigma,\alpha}(\cdot) = u_{\sigma,\alpha}\Big(\frac{\cdot}{\sigma^{\frac{\alpha}{2s}}}\Big)$ 是方程

(1.12)$\begin{equation}(-\Delta)^s v = v\Big(\frac{|v|^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^\alpha\end{equation}$

的解. 据此, 我们有如下主要结果

定理1.1 设 $0<s<1$, $N>2s$ 以及 $(\sigma_n)_{n=0}^\infty\subset(0,+\infty)$ 为满足 $\lim\limits_{n\to\infty}\sigma_n = 0$ 和 $\{2+\alpha\sigma_n\}\subset(2,2^*_s)$ 的序列, 取 $u_{\sigma_n,\alpha}$ 为方程(1.11)对应的一个径向正基态解. 则在取子列的意义下, 当 $n\to\infty$ 时, 对任意的 $\gamma\in(0,\min\{2s,1\})$, $v_{\sigma_n,\alpha} = u_{\sigma_n,\alpha}\Big(\frac{\cdot}{(\sigma_n)^{\frac{\alpha}{2s}}}\Big)$ 在 $H^s(\mathbb{R}^N)\cap C^{2s+\gamma}(\mathbb{R}^N)$ 的意义下收敛到 $v_{0,a}$ 且 $v_{0,\alpha}$ 是问题(1.1) 的一个径向递减的正基态解, 其中

在第 2 节中, 我们将验证 $\hat{f}(t) = (|t|^{\sigma}-1)^\alpha t + t$ 满足条件 (1.6)-(1.9)(见命题 2.1), 这和文献[14] 中的证明方式表明了 $u_{\sigma_n,\alpha}$ 的存在性和对称性.

针对由 (1.10) 式所带来的泛函的非光滑性, 如前述所说, 人们发现了一些针对此种泛函的非光滑理论来构造对数型薛定谔方程的解. 尤其是该泛函可以被分解为一个 $C^1$ 泛函和凸弱下半连续泛函之和, 进而可以用文献[31] 中针对此类泛函的临界点理论构造 $(P.S)_c$ 序列. 对比起来, 我们这里的收敛方式不涉及复杂的变分理论, 同时还揭示了一般分数阶幂次薛定谔方程和一般分数阶对数薛定谔方程之间的内在关联.

在以往考虑幂次型薛定谔方程到对数型方程收敛现象的文献中 (如文献[3,6,33]), 都需要幂次型方程解的唯一性. 这里一方面问题 (1.11) 基态解的唯一性仍然未知, 另一方面, 因为取的是径向对称解序列, 对其我们可以有更加精确的衰减估计 (详见引理 2.2), 进而可以去掉此限制. 另外, 与文献[3] 所考虑的 $s=1$ 的情形不同的是引理 2.2中的正则性估计涉及到了一些非局部的计算, 对比起来证明更加复杂.

行文结构. 在第 2 节, 我们给出一些预备知识, 包括问题 (1.1) 弱解的正则性估计等. 在第 3 节, 我们给出定理 1.1 的证明.

在本节中, 我们给出一些记号和预备知识. 特别地, 我们给出一些第 3 节会用到的正则性估计 (见引理2.2).

根据文献[12], 对任意的 $s\in(0,1)$, 定义集合 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 为

其与内积

以及范数

形成一个 Hilbert 空间. 由文献[12,命题3.6], 对任意的 $u,v\in H^s(\mathbb{R}^N)$, 我们有

由文献[12,定理 6.5,7.1] 可知, 对所有的 $q\in[2^*_s]$, $H^s(\mathbb{R}^N)$ 可连续地嵌入到 $L^q(\mathbb{R}^N)$ 以及在 $p\in[1,2^*_s)$ 时, 紧嵌入到 $L^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^N)$, 其中

而且, 由文献[25] 可知, 对所有的 $q\in(2,2^*_s)$, $H^s(\mathbb{R}^N)$ 的闭子空间

可紧嵌入到 $L^q(\mathbb{R}^N)$.

易见 $v_{\sigma}(x) = u_{\sigma}\Big(\frac{x}{\sigma^{\frac{\alpha}{2s}}}\Big)$ 满足方程

(2.1)$\begin{equation}\label{eq2.1}(-\Delta)^s v_{\sigma} = \Big(\frac{|v_{\sigma}|^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^{\alpha}v_{\sigma}\end{equation}$

当且仅当 $u_{\sigma}$ 是 (1.11) 式的解. 定理 1.1 的证明将会通过观察 (2.1) 在 $\sigma\to 0^+$ 时的收敛现象得到.

为简便起见, 我们记

从这里开始, 我们假设 $0<\sigma<1$ 以及 $2+\sigma \alpha<2^*_s$. 接下来我们验证条件 (1.6)-(1.9) 以及一些关键性质.

命题2.1 设 $\alpha\ge 1$ 满足 $(-1)^{\alpha}=-1$. 则以下式子成立

(i) $F_\sigma(t) = F_\sigma(|t|),\ G_\sigma(t) = G_\sigma(|t|);$

(ii)对任意满足 $p_{\delta_0,\sigma_0}:=2+\alpha(\sigma_0+\delta_0)\in(2,2^*_s)$的$\sigma_0,\delta_0>0$,存在正常数$C_i,\ i=1,2$,使得 $-G_\sigma(t)\ge C_1 t^2 - C_2 t^{p_{\delta_0,\sigma_0}}\chi_{t\ge 1}$以及$\frac{t^2}{2}\Big(\frac{t^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^{\alpha}_+\le C_2t^{p_{\delta_0,\sigma_0}}\ \forall\ 0<\sigma<\sigma_0;$

(iii)$\hat{G}_\sigma(t)\ge C_3t^{p_\sigma}\ \text{当}\ t\ge 1,\ \text{其中}\ p_\sigma = 2+\sigma,\sigma<\sigma_0;$

(iv)$\lim_{t\to 0^+}\frac{F_\sigma(t)}{t^2/2} = -1,\ \lim_{t\to +\infty}\frac{F_\sigma(t)}{t^{p_{\delta_0,\sigma_0}}}=0\ \text{如果}\ 0<\sigma<\sigma_0;$

(v)$\hat{f}_\sigma$满足条件 (1.6-1.9)

注 2.1 该命题在 $\alpha=1$ 时是显然的.

证 (i) 由变量替换定理易得. 由 (i), 我们不妨取 $t>0$.

对 (ii), 由分部积分法, 有

(2.2)$\begin{equation}\label{eq2.2}-G_\sigma(t) = - \frac{t^2}{2}\Big(\frac{t^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^{\alpha} + \hat{G}_\sigma(t).\end{equation}$

当 $0<t\le \frac{1}{2}$ 时, 易见存在 $\sigma_1>0$ 使得

(2.3)$\begin{equation}\label{Aeq2.3}-\frac{t^2}{2}\Big(\frac{t^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^{\alpha}\ge \frac{t^2}{2}\Big(\frac{1-\frac{1}{2^\sigma}}{\sigma}\Big)^{\alpha}\ge \frac{(\log2)^{\alpha}}{2^{\alpha+1}}t^2\end{equation}$

对所有的 $0<\sigma<\sigma_1$ 都成立. 注意到 $(-1)^{\alpha-1}=1$, 当 $\frac{1}{2}\le t\le \frac{3}{2}$ 时, 由中值定理, 我们有

以及当 $t\ge \frac{3}{2}$ 时,

于是, 取 $C_1= \min\{\frac{(\log 2)^{\alpha}}{2^{\alpha+1}},\frac{4\hat{C}_1}{9},\hat{C}_2\}$, 我们有

但再由中值定理, 当 $0<\sigma<\sigma_0$ 时, 成立

(2.4)$\begin{equation}\label{eq2.3}\frac{t^2}{2}\Big(\frac{t^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^{\alpha}_+\le \frac{t^{2+\alpha\sigma}}{2}(\log t)^{\alpha}\le \hat{C}_{2,\delta_0}t^{2+\alpha\sigma+\alpha\delta_0}\le \hat{C}_{2,\delta_0}t^{p_{\delta_0,\sigma_0}}.\end{equation}$

因此, 取 $\sigma_0\le \sigma_1$, 由以上估计, 有

对 (iii), 由与 (ii) 同样的分析方式, 有

以及

当 $t\ge 3$. 因此 $\hat{G}_\sigma(t)\ge \min\{\hat{C}_4,\frac{\hat{C}_3}{3^{p_\sigma}}\}t^{p_\sigma} = C_3 t^{p_\sigma}$ 当 $t\ge 1$.

(iv) 是显然的. 最后我们验证 (v). 由 (i)-(iv) 可知我们只需要检验(1.8) 式. 易见

但 $\frac{\sigma\alpha}{2}\int^t_0(s^\sigma-1)^{\alpha-1}s^{1+\sigma}{\rm d}s>0$ 当 $t\ne 0$, 且由洛必达法则知

故存在 $\theta'\in(0,\frac{1}{2})$ 使得

故性质 (v) 成立.

与 (2.1) 和 (1.1) 式对应的泛函分别为

由命题2.1(iv), $I_\sigma$ 在 $H^s$ 中有定义且是 $C^2$ 的. 然而, $I_0$ 在 $H^s$ 中并不连续. 实际上, 对 $u_{T}(x) = \frac{1}{(Te+|x|)^{\frac{N}{2}}[\log(e+|x|)]^{\frac{1+\alpha}{2}}}$, 可验证 $u_T\in H^s$ 且当 $T>0$ 足够大时, 有

类似于文献[32], 虽然 $I_0$ 在 $H^s$ 中没有定义, 但其临界点可在如下集合中定义

接下来的命题即可定义(1.1) 式的弱解.

命题2.2 $\int_{\mathbb{R}^N}|uv(\log|u|)^{\alpha}|<\infty,\ \forall\ u,v\in\mathcal{D}_{s,\alpha}$.

证 由 $\mathcal{D}_{s,\alpha}$ 的定义, 不妨设 $|u|,|v|\le {\rm e}^{-\alpha}$. 于是, 由文献[32,引理 2.1], 我们有

命题得证.

由命题 2.2, 尽管 $I_0$ 在 $H^s$ 中不是 $C^1$ 的, 我们仍可在 $\mathcal{D}_{s,\alpha}$ 中定义其导数.

定义2.1 1. 对 $u,v\in\mathcal{D}_{s,\alpha}$, 定义 $\langle I'_0(u),v\rangle:=\int_{\mathbb{R}^N}(-\Delta)^{s/2}u(-\Delta)^{s/2}v - \int_{\mathbb{R}^N}uv(\log|u|)^{\alpha}$.

2. 如果

则我们称 $u\in\mathcal{D}_{s,\alpha}$ 是 (1.1) 式的弱解,

在考虑从幂次型的解收敛到对数型的解的过程中, 我们需要对 (2.1) 式的解做如下的一致范数估计 (见 (3.2) 式)

引理2.1 设 $N>2s$. 存在 $\hat{\sigma}_0>0$ 使得对任意的 $d_1,d_2>0$ 和 $\sigma\in(0,\hat{\sigma}_0)$, 若 $u\in H^s(\mathbb{R}^N)$ 和 $\sigma\in(0,\hat{\sigma}_0)$ 满足

则存在常数 $C(d_1,d_2)>0$ 使得

证 由 (2.2) 式, 得

于是, 由命题2.1(iii), 我们有

(2.5)$\begin{equation}\label{eq2.6} \int_{|u|\ge 1}|u|^{p_\sigma}\le C_3(d_1,d_2)(1+\|u\|_{H^s(\mathbb{R}^N)}). \end{equation}$

另一方面, 由命题 2.1(ii), 我们有

(2.6)$ d_1\ge \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|(-\Delta)^{s/2}u|^2 - \int_{\mathbb{R}^N}G_\sigma(u)\ge\min\{\frac{1}{2},C_1\}\|u\|^2_{H^s}- C_2\int_{|u|\ge 1}|u|^{p_{\delta_0,\sigma_0}}. $

但是, 取 $\theta = \frac{2^*_s-p_{\delta_0,\sigma_0}}{2^*_s-p_{\sigma}}\in(0,1)$, 由 (2.5) 式, Hölder 不等式以及 Sobolev 嵌入, 我们有

注意到 $(\theta + 2^*_s(1-\theta)) \to 1$ ($\sigma_0+\delta_0\to 0$). 因此, 取 $\delta_0$ 满足 $2+\delta_0\alpha = \frac{5}{4}$, 回到 (2.6) 式, 当 $\hat{\sigma}_0$ 充分小时, 对 $0<\sigma<\hat{\sigma}_0$, 我们有 $\theta + 2^*_s(1-\theta)\le \frac{3}{2}$ 和

于是,$ \|u\|_{H^s}\le C(d_1,d_2). $从而, $\int_{\mathbb{R}^N}\hat{G}_\sigma(u)\le C(d_1,d_2)$.

最后, 由 $\langle I'_\sigma(u),u\rangle\le C(d_1,d_2)$, 我们得出

这和 (2.4) 式表明

自此往后, 不失一般性地我们选定命题 2.1(ii) 中的 $\sigma_0$ 为引理2.1 中的 $\hat{\sigma}_0$ 并且固定 $p_{\delta_0,\sigma_0}$. 我们还需要对问题 (2.1) 的解做一致 Hölder估计和衰减估计.

引理2.2 设 $N>2s$, $\kappa>0$, $\varrho\in (0, \min\{2s,1\})$, $\sigma\in (0,\sigma_0)$ 以及 $v_\sigma\in H^s(\mathbb{R}^N)$ 满足

我们有

(i) $v_\sigma\in C^{2s+\varrho}(\mathbb{R}^N)$,$\|v_\sigma\|_{C^{2s+\varrho}(\mathbb{R}^N)}\le C_{\kappa,\varrho}$, $C_{\kappa,\varrho}>0$ 是与 $\sigma$ 无关的常数;

(ii) 如果 $v_\sigma$ 非负且径向递减, 则

其中 $C_{R,\kappa,\varrho}>0$ 是与 $\sigma$ 无关且满足 $C_{R,\kappa,\varrho}\to0(R\to+\infty)$ 的常数.

证(i) 的证明 第一步是给出 $L^{\infty}$ 估计. 取 $\gamma\ge1$, $T>0$. 定义

显然, $\varphi_{\gamma,T}(t)$ 是 $C^1$ 的、凸的以及 $\varphi'_{\gamma,T}\ge 0$.因此 $\varphi_{\gamma,T}(v_\sigma)$ 是

(2.7)$\begin{equation}\label{dg} \begin{aligned} (-\Delta)^s\varphi_{\gamma,T}(v_\sigma)\le\varphi_{\gamma,T}'(v_\sigma)(-\Delta)^sv_\sigma \end{aligned} \end{equation}$

的弱解. 注意到 $\varphi_{\gamma,T}(t)=0, t\le0$ 和 $t\varphi_{\gamma,T}'(t)\le\gamma\varphi_{\gamma,T}(t)$. 由 Sobolev 不等式, (2.7) 式, $I'_\sigma(v_\sigma)$ $=0$ 和命题 2.1, 我们有

让 $T\to\infty$, 由控制收敛定理, 得

(2.8)$ \left(\int_{\mathbb{R}^N}(v_\sigma)_+^{\gamma2^*_s}\right)^{\frac{2}{2^*_s}}\le C\gamma\int_{\mathbb{R}^N}(v_\sigma)_+^{2\gamma+(p_{\delta_0,\sigma_0}-2)}. $

选取 $\{\gamma_{i}\}_{i\ge0}$ 满足

我们有 $\gamma_{i+1}+d=\frac{2_s^*}{2}(\gamma_i+d)$, $d=\frac{p_{\delta_0,\sigma_0}-2}{2-2_s^*}\in(-1,0)$. 于是, 将 $\gamma=\gamma_{i+1}$ 带入 (2.8) 式, 得

通过迭代, 即得

$i\ge1$. 于是, $(v_\sigma)_+\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ 且 $\|(v_\sigma)_+\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\le C\kappa^{\frac{1}{1+d}}$, $C>0$ 为与 $\sigma$ 无关的常数.在上述估计中将 $v_\sigma$ 换为 $-v_\sigma$, 即得 $\|(v_\sigma)_-\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\le C\kappa^{\frac{1}{1+d}}$. 所以

(2.9)$\begin{equation}\label{wq} \|v_\sigma\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\le C\kappa^{\frac{1}{1+d}}. \end{equation}$

接着, 我们利用 $L^{\infty}$ 估计 (2.9) 证明 Hölder 估计. 由引理 2.1 和 (2.9) 式, 存在常数 $C'_{\kappa}>0$ 使得对所有的 $\sigma\in(0,\sigma_0)$, 都有 $\|g_\sigma\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\le C'_\kappa$. 于是, $v_\sigma\in H^s(\mathbb{R}^N)\cap L^\infty(\mathbb{R}^N)$ 是

的弱解. 因此, 由文献[29,命题 5], 我们得 $v_\sigma\in C^\mu(\mathbb{R}^N)\ \forall\mu\in (0,\min\{2s,1\})$ 且

(2.10)$\begin{equation}\label{hd} \|v_\sigma\|_{C^\mu(\mathbb{R}^N)}\le C'_{\kappa,\mu}. \end{equation}$

固定 $\varrho\in (0,\min\{2s,1\})$. 由 (2.9), (2.10) 式和数学分析知识, 我们有 $g_\sigma(v_\sigma)\in C^\varrho(\mathbb{R}^N)$ 和 $\|g_\sigma(v_\sigma)\|_{C^\varrho(\mathbb{R}^N)}\le C''_{\kappa,\varrho}$. 若 $2s+\varrho$ 不是整数, 则由文献[10,定理 12.2.5], 可推断出 $v_\sigma\in C^{2s+\varrho}$ $(\mathbb{R}^N)$ 以及

如果 $2s+\varrho$ 是整数, 则可取 $\varrho'\in (\varrho, \min\{2s,1\})$ 使得 $2s+\varrho'$ 不是整数, 从而由上述推理可知 $v_\sigma\in C^{2s+\varrho'}(\mathbb{R}^N)$, 这同样表明 $v_\sigma\in C^{2s+\varrho}(\mathbb{R}^N)$ (因为 $\varrho'>\varrho$). (i) 得证.

(ii) 的证明 取 $R>>1$. 因为 $v_\sigma$ 非负径向递减, 我们有

进而有

(2.11)$\label{rs2} 0\le v_\sigma(x)\le v_\sigma(R)\le \frac{\kappa}{\sqrt{\omega_N}}\frac{1}{R^{\frac{N}{2}}}, |x|\ge R, $

这表明 $v_\sigma\to 0$ ($|x|\to \infty$) 是一致的, 其中 $\omega_N$ 为 $N$ 维单位球面的表面积.

任给 $y\in\mathbb{R}^N\backslash B_{2R}(0)$ 记 $v^y_\sigma(\cdot)=v_\sigma(\cdot+y)$. 通过平移,$v^y_\sigma$ 满足

(2.12)$(-\Delta)^{s} v_{\sigma}^{y}=g_{\sigma}\left(v_{\sigma}^{y}\right) \quad \text { 在 } B_{1}(0) \text {. }$

于是, 任给 $\nu\in(0,\min\{2s,1\})$, 由文献[15,推论 4.3] 和文献[29,命题 5], 可知存在与 $\sigma,v_\sigma,y$ 无关的常数 $C_{\nu}$ 使得

(2.13)$\begin{equation}\label{rs3} \|v^y_\sigma\|_{C^\nu(B_{1/4}(0))}\le C_{\nu}\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v^y_\sigma(x)|}{1+|x|^{N+2s}}+\|g_\sigma(v^y_\sigma)\|_{L^\infty(B_1(0))}\bigg). \end{equation}$

进而, 有

(2.14)$\begin{equation}\label{rs4} \|v_\sigma\|_{C^\nu(B_{1/4}(y))}\le C_{\nu}\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v_\sigma(x+y)|}{1+|x|^{N+2s}}{\rm d}x+\|g_\sigma(v_\sigma)\|_{L^\infty(B_1(y))}\bigg). \end{equation}$

对 $\|g_\sigma(v_\sigma)\|_{L^\infty(B_1(y))}$, 因为 $B_1(y)\subset \mathbb{R}^N\backslash B_{R}(0)$, 所以

(2.15)$\begin{equation}\label{rs1q0} \|g_\sigma(v_\sigma)\|_{L^\infty(B_1(y))}\le\|g_\sigma(v_\sigma)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N\backslash B_R(0))}. \end{equation}$

注意到 (2.11) 式以及 $v_\sigma$ 在 $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ 中一致有界, 由中值定理, 有

因此, 由 (2.15) 式, 我们有

对非局部积分 $\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v_\sigma (x+y)|}{1+|x|^{N+2s}}{\rm d}x$, 由 (2.11) 式, 我们有

(2.17)$\begin{align*}\label{rs6} \int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v_\sigma(x+y)|}{1+|x|^{N+2s}}{\rm d}x=&\int_{B_R(0)}\frac{|v_\sigma(x+y)|}{1+|x|^{N+2s}}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^N\backslash B_R(0)}\frac{|v_\sigma (x+y)|}{1+|x|^{N+2s}}{\rm d}x\nonumber\\ \le&\frac{C}{R^{\frac{N}{2}}}+\|v_\sigma\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\int_{\mathbb{R}^N\backslash B_R(0)}\frac{1}{1+|x|^{N+2s}}\le C\bigg(\frac{1}{R^{N/2}}+\frac{1}{R^{2s}}\bigg). \end{align*}$

于是, 将 (2.16)-(2.17) 式带入 (2.14) 式, 我们得到

其中 $C_{\nu}>0$ 是与 $v_\sigma$ 以及 $y\in\mathbb{R}^N\backslash B_{2R}(0)$ 无关的常数.

不失一般性, 设 $2s+\varrho$ 不是整数. 由 (2.12) 式, 文献[10,定理 12.2.4] 和平移, 我们有

(2.19)$\|v_\sigma\|_{C^{2s+\varrho}(B_{1/12}(y))}\le \|g_\sigma(v_\sigma)\|_{C^\varrho(B_{1/4}(y))}+\|v_\sigma\|_{L^\infty(B_{1/4}(y))}+\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v_\sigma(x+y)|}{1+|x|^{N+2s}}{\rm d}x.$

由 (2.11), (2.16) 和 (2.17)} 式, 我们仅需估计 $[g_\sigma(v_\sigma)]_{C^\varrho(B_{1/4}(y))}$.显然, 存在 $A>0$ 使得 $[\|u_\sigma\|_{L^{\infty}}]\subset [-A,A]$, $0<\sigma<\sigma_0$. 并且, 任给 $\bar{\nu}\in(\varrho,1)$, 我们有 $|t|(\log t)^{\alpha}\in C^{\bar{\nu}}$ 和

于是, 对任意的 $x_1,x_2\in B_{1/4}(y)$, $x_1\ne x_2$ 和 $v_\sigma(x_1)\ne v_\sigma(x_2)$, 我们有

特别地, 取 $\bar{\nu} = \frac{1}{2}\Big(\frac{\varrho}{\min\{2s,1\}}+1\Big)$,

进而, 由 (2.18) 式中 $\nu$ 的任意性, 有

(2.20)$\begin{split} \frac{|g_\sigma(v_\sigma(x_1))-g_\sigma(v_\sigma(x_2))|}{|x_1-x_2|^\varrho}=&\frac{|g_\sigma(v_\sigma(x_1))-g_\sigma(v_\sigma(x_2))|}{|v_\sigma(x_1))-v_\sigma(x_2)|^{\bar{\nu}}}\frac{|v_\sigma(x_1))-v_\sigma(x_2)|^{\bar{\nu}}} {|x_1-x_2|^\varrho}\\ \le& C^{\bar{\nu}}_{\varrho/\bar{\nu}}(R^{-N/4}+R^{-2s})^{\bar{\nu}}. \end{split}$

最终, 因为 $B_{1/4}(y)\subset \mathbb{R}^N\backslash B_{R}(0)$, 将 (2.20), (2.11) 式以及 (2.17) 式带入 (2.19) 式, 即得

其中 $C_R$ 是与 $y$ 无关且满足 $C_R\to0(R\to\infty)$ 的常数. 由 $y$ 的任意性以及 $\mathbb{R}^N\backslash B_{2R}(0)\subset \cup_{y\in\mathbb{R}^N\backslash B_{2R}(0)}B_{1/12}(y)$ 可知

这就完成了 (ii) 的证明.

在本节我们给出定理 1.1 的证明, 即证明问题(2.1)径向对称的正基态解将会收敛到问题 (1.1) 的一个径向递减的正基态解. 对 (2.1) 和 (1.1) 式, 我们分别定义对应的 Nehari 流形

记

如果 $v_0$ 是 (1.1) 式的解且 $I_0(v_0)=c_0$, 则我们称 $v_0$ 是(1.1)式的一个基态解.

为简便起见, 我们将接下来的证明分为三个断言.

断言 1 存在 $\rho_1,\rho_2>0$ 使得 $\rho_1\le c_\sigma\le \rho_2$ 对所有的 $0<\sigma<\sigma_0$ 都成立.

断言 1 的证明 由命题 2.1(ii), 存在 $\delta,\rho_1>0$, 使得对所有的 $\sigma\in(0,\sigma_0)$, 有

这给出了 $c_\sigma$ 的一致下界. 取 $\phi(x)={\rm e}^{-|x|}$. 记 $\breve{f}(t\phi) = I_\sigma(t\phi)$, $C_{\phi} = \int_{\mathbb{R}^N}|(-\Delta)^{s/2} \phi|^2$. 让 $t\ge$ $ 2{\rm e}^2$, 由变量替换定理, 我们有

其中 $\breve{g}(t) = \frac{1}{2}C_{\phi}- \int_{\mathbb{R}^N}\int^{\phi}_0\Big(\frac{t^{\sigma} s^\sigma-1}{\sigma}\Big)^{\alpha}s{\rm d}s$. 显然, 我们有

易见, 当 $|x|\ge \log\frac{t}{2}$ 和 $t\ge {\rm e}^2>1$ 时, 有 ${\rm e}^{-|x|}t\le 2$. 由中值定理, 我们有

对 $A_{2,\sigma}$, 我们有

于是, 我们得到

这表明 $\breve{f}(t)< 0$ 当 $t>2{\rm e}^2 {\rm e}^{\frac{\frac{1}{2}C_\phi + C_{2,\alpha}+\tilde{C}_{3,\alpha}}{C_{4,\alpha}}}:=T_\alpha$. 因此,

断言 1 得证.

设 $(\sigma_n)_{n=0}^\infty\subset(0,+\infty)$ 为满足 $\lim\limits_{n\to\infty}\sigma_n = 0$ 和 $2+\alpha\sigma_n\subset(2,2^*_s)$ 的序列, 取 $u_{\sigma_n,\alpha}$ 为方程 (1.11) 对应的一个径向递减正基态解. 记 $v_{\sigma_n,\alpha}(\cdot) = u_{\sigma_n,\alpha}\Big(\frac{\cdot}{\sigma^{\frac{\alpha}{2s}}_n}\Big)$. 由断言 1 和 引理 2.1, $\|v_{\sigma_n,\alpha}\|_{H^s(\mathbb{R}^N)}$ 以及 $\int_{\mathbb{R}^N}|v_{\sigma_n,\alpha}|^2\Big|\frac{|v_{\sigma_n,\alpha}|^{\sigma_n}-1}{\sigma_n}\Big|^{\alpha}$ 在 $(0,\sigma_0)$ 上一致有界. 由此, 在取子列的意义下, 我们不妨设

因为 $v_{\sigma_n,\alpha}(x)$ 是正的以及径向递减的, 我们有 $v_{0,\alpha}(x)=v_{0,\alpha}(|x|)$ 是非负径向递减的.

断言 2 $v_{0,\alpha}$ 是 (1.1) 式的一个非负弱解.

断言 2 的证明 首先注意到对所有的 $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N)$, $v_{\sigma_n,\alpha}$ 满足

(3.1)$\begin{equation}\label{eq3.7a} \int_{\mathbb{R}^N}(-\Delta)^{s/2} v_{\sigma_n,\alpha}(-\Delta)^{s/2} \varphi = \int_{\mathbb{R}^N}\Big(\frac{|v_{\sigma_n,\alpha}|^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^{\alpha}v_{\sigma_n,\alpha}\varphi. \end{equation}$

由法度引理, 有

(3.2)$\begin{equation}\label{eq2.15} \int_{\mathbb{R}^N}|v_{0,\alpha}|^2|\log|v_{0,\alpha}||^{\alpha}\le \liminf_{\sigma\to 0^+}\int_{\mathbb{R}^N}\Big|\frac{|v_{\sigma_n,\alpha}|^{\sigma}-1}{\sigma}\Big|^{\alpha}|v^2_{\sigma_n,\alpha}|<\infty, \end{equation}$

即 $v_{0,\alpha}\in\mathcal{D}_{s,\alpha}$. 对任意的 $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N)$, 由控制收敛定理, 有

当 $|v_{\sigma_n,\alpha}|\ge 1$, 由命题 (2.1)(ii) 和 (2.4) 式, 有

于是, 因为 $v_{\sigma_n,\alpha}\to v_{0,\alpha}$ 在 $L^{p_{\delta_0,\sigma_0}}_{loc}(\mathbb{R}^N)$, 我们得到

从而, 由上述分析, 在 (3.1) 式中让 $n\to \infty$, 我们得到 $v_{0,\alpha}$ 是 (1.1) 式的弱解.

接着, 我们证明 $v_{0,\alpha}\ne 0$. 如果 $v_{0,\alpha}\equiv 0$, 则 $v_{\sigma_n,\alpha}$ 在 $L^{p_{\delta_0,\sigma_0}}(\mathbb{R}^N)$ 中强收敛到 $0$. 于是, 由命题 2.1(ii) 和估计 (2.3), 我们有

由此, 得 $\|(-\Delta)^{s/2} v_{\sigma_n,\alpha}\|^2_{L^2(\mathbb{R}^N)} + \int_{|v_{\sigma_n,\alpha}|\le\frac{1}{2}}v^2_{\sigma_n,\alpha}\to 0$ as $\sigma\to 0^+$.另一方面, 由引理 2.2, 可知 $v_{\sigma_n,\alpha}(x)$ 一致径向递减, 故存在 $R_0>0$, 使得对所有的 $\sigma\in(0,\sigma_0)$, 都有

(3.3)$\begin{equation}\label{eq3.9a} \left\{x\in\mathbb{R}^N|v_{\sigma_n,\alpha}>\frac{1}{2}\right\}\subset B_{R_0}, \end{equation}$

从而有

这表明 $\|v_{\sigma_n,\alpha}\|_{H^s}\to 0$($n\to\infty$), 从而与 $I_\sigma(v_{\sigma_n,\alpha})\ge \rho_1>0$ 矛盾. 因此 $v_{\sigma_n,\alpha}\not\to 0$ 在 $L^{p_{\delta_0,\sigma_0}}(\mathbb{R}^N)$ 中且由紧嵌入可知 $v_{0,\alpha}\ne 0$.

断言 3 $v_{0,\alpha}$ 满足 $c_0$ 且 $v_{\sigma_n,\alpha}$ 在 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中强收敛到 $v_{0,\alpha}$.

断言 3 的证明 由法度引理和分部积分, 有

(3.4)$\begin{align*}\label{eq2.17} \begin{split} \liminf_{n\to\infty}c_\sigma & = \liminf_{n\to\infty}\bigg(I_\sigma(v_{\sigma_n,\alpha}) - \frac{1}{2}\langle I'_\sigma(v_{\sigma_n,\alpha}),v_{\sigma_n,\alpha}\rangle\bigg)\\ & = \liminf_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^N}\hat{G}_\sigma(v_{\sigma_n,\alpha}) \ge \int_{\mathbb{R}^N}\hat{G}_0(v_{0,\alpha}) = I_0(v_{0,\alpha})-\frac{1}{2}\langle I'_0(v_{0,\alpha}),v_{0,\alpha}\rangle\big) \ge c_0, \end{split} \end{align*}$

其中 $\hat{G}_0(t) = \frac{\alpha}{2}\int^t_0s(\log s)^{\alpha-1}{\rm d}s$.

任给 $\varepsilon>0$, 取 $v_0\in\mathcal{N}_0$ 满足

注意到存在唯一的 $t_\sigma>0$ 使得 $t_\sigma v_0\in \mathcal{N}_\sigma$. 因此 $c_\sigma \le I_\sigma(t_\sigma v_0)$, 并且对所有的 $0<\sigma<\sigma_0$, 存在 $t_1,t_2>0$ 使得 $t_1\le t_\sigma\le t_2$. 同样注意到

但由控制收敛定理可知 $I_\sigma(tv_0)\to I_0(tv_0)$ 在 $[t_1,t_2]$ 上是一致的, 从而有

这和 (3.4) 式表明 $c_0=I(v_{0,\alpha})=\lim\limits_{\sigma\to0^+}c_\sigma$.

回到 (3.4) 式, 我们得到

法度引理和 (2.2) 式表明

于是, 当 $n\to\infty$ 时, $\int_{\mathbb{R}^N}|(-\Delta)^{s/2} v_{\sigma_n,\alpha}|^2\to \int_{\mathbb{R}^N}|(-\Delta)^{s/2} v_{0,\alpha}|^2$, $|v_{\sigma_n,\alpha}|^2\Big(\frac{|v_{\sigma_n,\alpha}|^{\sigma}-1}{\sigma}\Big)^{\alpha}\to |v_{0,\alpha}|^2\big(\log|v_{0,\alpha}|)^{\alpha}$ 在 $L^1(\mathbb{R}^N)$. 由泛函分析知识, 存在 $f\in L^1(R^N)$ 使得 $|v_{\sigma_n,\alpha}|^2\Big|\frac{|v_{\sigma_n,\alpha}|^{\sigma}-1}{\sigma}\Big|^{\alpha}\le f$. 于是, $\chi_{|v_{\sigma_n,\alpha}|\le 1/2}|v_{\sigma_n,\alpha}|^2\le\frac{1}{(\log 2)^{\alpha}}|v_{\sigma_n,\alpha}|^2|\log|v_{\sigma_n,\alpha}||^{\alpha}\le f$. 进而, 由控制收敛定理和 (3.3), 有 $v_{\sigma_n,\alpha}\to v_{0,\alpha}$ 在 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 中是强的. 因此, $v_{\sigma_n,\alpha}\to v_{0,\alpha}$ 在 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中是强的. 断言 3 得证.

本节的最后, 我们利用以上三个断言以及引理 2.2 的正则性估计给出定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 由引理 2.2 (i), $\{v_{\sigma_n,\alpha}\}$ 在 $C^{2s+\varrho}(\mathbb{R}^N)$ 中对 $\varrho\in (0, \min\{2s,1\}),n\in N$ 是一致有界的. 不失一般性, 假设 $2s+\varrho$ 不是正整数, 由 Arzelà-Ascoli 定理和引理 2.2 (ii), 在取子列的意义下, 我们有 $v_{\sigma_n,\alpha}\to v_{0,\alpha}$ 在 $C^{2s+\varrho}(\mathbb{R}^N)$. 由此可知 $v_{0,\alpha}\in C^{2s+\varrho}(\mathbb{R}^N)$ 是 (1.1) 式的经典解. 假设 $x_*\in \mathbb{R}^N$ 满足 $v_{0,\alpha}(x_*)=0$, 则有

这与 $v_{0,\alpha}\not\equiv0$ 矛盾. 故 $v_{0,\alpha}$ 是正解.