考虑全空间中非截断玻尔兹曼方程的柯西问题

(1.1)$\begin{align*}\label{eq-Boltzmann} \begin{cases} \partial_t F+v\cdot \nabla_x F=Q(F,F), \\ F(0,x,v)=F_0(x,v). \end{cases} \end{align*}$

其中, 未知量 $F=F(t,x,v)\geq 0$ 表示在时间 $t\geq 0$, 位置 $x\in \mathbb{R}^3$ 且速度 $v\in \mathbb{R}^3$ 的气体粒子密度的分布函数, $F_0(x,v)$ 为给定初始值, 双线性碰撞算子 $Q$ 定义如下

其中速度对 $(v,u)$ 和 $(v',u')$ 满足

假定碰撞核 $B$ 具有如下形式

其中 $\cos \theta=\frac{v-u}{\vert v-u\vert}\cdot \sigma.$ 对 $Q$ 进行对称化处理, 使得 $B$ 的支集位于 $0<\theta\leq \frac{\pi}{2}$ 范围内, 参考文献 [32]. 角截断核满足

(1.2)$\begin{align*}\label{condition1} \text{当 }\theta\to 0 \text{时}, \sin \theta b(\cos\theta)&\simeq \theta^{-1-2s},\, 0<s<1. \end{align*}$

在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上, $\sin \theta b(\cos\theta)$ 是不可积的, 特别地

在稳态函数

附近对分布函数展开

柯西问题 (1.1) 可改写为

(1.3)$\begin{align*}\label{eq-1} \begin{cases} \partial_t f+v\cdot \nabla_x f+Lf=\Gamma(f,f),\\ f(0,x,v)=f_0(x,v), \end{cases} \end{align*}$

其中线性化碰撞算子 $L$ 和非线性化碰撞算子 $\Gamma$ 分别如下给出

(1.4)$\begin{align*} &Lf=L_1f+L_2f=-\mu^{-1/2}Q(\mu, \mu^{1/2}f)-\mu^{-1/2} Q(\mu^{1/2}f, \mu), \label{LinearOp}\\ &\Gamma(f,f)=\mu^{-1/2}Q(\mu^{1/2}f, \mu^{1/2}f).\notag \end{align*}$

定义如下空间及其范数, 对于 $L^p$ 空间, 用 $\Vert \cdot \Vert_{L^p}$ 表示其范数, 加权 $L^p$ 空间的范数表示为

其中 $\alpha\in\mathbb{R}$. 像 $L^p_t L^q_v$ 这样的 Bochner 空间被赋予范数 $\big\Vert \Vert \cdot \Vert_{L^q_v} \big\Vert_{L^p_t}$. 令三范数 $\vert\!\vert\!\vert \cdot \vert\!\vert\!\vert$ 为能量耗散范数, 由文献 [2] 定义, 其形式如下

定义傅里叶变换 $f(t,x,v)$ 如下

对于 $1\leq p\leq\infty$, Banach 空间 $L^p_\xi$ 表示把 $L^p$ 范数作用在傅里叶空间上

其范数为

同时, 定义 Banach 空间 $\mathcal{X}^{-p}_{\xi}$, 其范数为

其中, 当 $p=2$ 时, $\mathcal{X}^{-p}_{\xi}=\dot{H}^{-1}(\mathbb{R}^3)$. 为简便起见, 定义 $L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v=L^p(\mathbb{R}^3_{\xi};L^{\infty}([T];L^2(\mathbb{R}^3_v)))$, $L^p_{\xi}L^2_T=L^p(\mathbb{R}^3_{\xi};L^2([T])),$ 其范数为

特别地,

同时

截止目前为止, 有许多研究涉及玻尔兹曼方程及其相关模型的解的全局适定性、最优衰减性问题, 例如参考文献 [1,2,4,7,8,16,17]. 在周期区域 $\mathbb{T}^3$, 郭岩^[17]建立了朗道方程平衡态解附近线性化经典解的全局存在性, 而 Gressman-Strain^[16] 将此结果延拓至非截断玻尔兹曼方程. 其原理可以归结为: 通过低频区域的一阶宏观耗散估计, 结合 Poincaré 不等式重构零阶宏观耗散估计, 从而有效控制非线性项的宏观部分, 使得 Wiener 空间 $L^1_k$ 中的先验估计得以自封闭, 可参考文献 [13]. 然而, 该方法在全空间 $\mathbb{R}^3$ 不再适用. 针对全空间低正则性解的研究,Duan-Liu-Xu^[14] 创新性地引入微观 Chemin-Lerner 型 Sobolev 空间, 首次建立了截断玻尔兹曼方程平衡态附近强解的全局存在性理论. 随后, Morimoto-Sakamoto^[25] 通过使用由 Alexandre-Morimoto-Ukai-Xu-Yang^[2,4] 引入的三重范数方法, 将该结果延拓到非截断情形. Hsiao-Yu^[20] 在 Sobolev 空间框架下将郭岩的结果延拓至全空间. 在谱分析方面, Baranger-Mouhot^[5] 给出了硬势情形下线性化朗道算子的显式谱隙估计. Mouhot^[26] 建立了涵盖硬势与软势的普适性强制估计. 特别地, Cao-Li-Xu-Xu^[6] 通过谱分析方法证明了麦克斯韦分子模型下朗道方程的全局适定性. 最近 Duan-Sakamoto-Ueda^[15] 引入了 $L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi}$ 方法以及时间加权方法, 首次在全空间 $\mathbb{R}^3_x$ 中建立了非截断玻尔兹曼方程的全局适定性与最优衰减估计. 该 $L^1\cap L^p$ 方法源自于 Kawashima-Nishibata-Nishikawa^[22] 对多维粘性守恒律的研究, 其优势在于: 无需依赖线性化傅里叶分析获得半群显式表示, 仅需通过插值不等式与时间加权方法即可实现 $L^p$-$L^1$ 时间衰减估计, 为 $W^{1,p}$ 空间中的最优衰减估计提供了新途径.

除了存在性问题, 玻尔兹曼方程的衰减性也是一个长期存在的课题, Ukai^[29] 利用谱分析方法, 得到了周期区域上解的衰减性. 但在整个空间上, 由于运输算子 $\partial_t + v\cdot \nabla_x$ 主导的色散效应, 使得线性化方程的解表现出与热方程类似的衰减特性, 所以预计衰减率会比在周期区域上的情况差. 在截断问题的研究中, Kawashima^[21]采用由十三个矩构造的补偿函数方法, 建立了 $L^2_vH^l_x$ 空间的理论框架. 文献 [11]对此作出重要改进, 引用宏观-微观分解技术,该方法现已成为该领域的标准分析工具. 关于衰减行为的刻画, Ukai-Yang^[31] 给出了无导数空间 $L^2\cap L^\infty_\beta$ 下的最优衰减结果, 而文献 [12] 则对含时变系数的线性化玻尔兹曼方程进行了研究. 需要说明的是, 这些研究均限定于硬势情形. 在早期研究中, 全空间上软势情形 $(-1<\gamma\le 0)$ 的衰减分析仅由 Ukai-Asano^[30] 给出,他们通过半群方法建立初步理论. Duan-Sakamoto^[10] 对此做出改进: 通过引入文献 [18,19] 和文献 [9] 发展的技术框架, 将函数空间从 Besov 空间 $B^{3/2}_x$ 拓展至$L^\infty_x$ 空间, 从而将结果延拓至全软势范围 $(-3<\gamma< 0)$, 并在 Chemin-Lerner 型空间中建立了系统的衰减理论. 对于全空间非截断方程, AMUXY^[3] 首次证明了 $(1+t)^{-1}$ 阶的衰减率, 但该结果并非最优. 随后, Strain^[28] 给出在软势情形下, 混合空间 $L^2_v L^r_x$ ($r\ge 2$) 中的最优衰减估计, 进一步地, 文献 [27]证明, 若初始值属于负阶 Besov 空间 $\dot{B}^{-q,\infty}_2L^2_v$, 文献 [16,28] 所得解在 $L^r_xL^2_v$$(2\le r\le \infty)$ 范数下具有相应的衰减性. 最近, 文献 [24]采用类似方法完善了文献 [14] 中截断情形的最优衰减理论.

对于 $\frac{3}{2}<p\le\infty$, 在 Banach 空间 $L^1_\xi\bigcap L^p_\xi\bigcap\mathcal{X}^{-p}_{\xi}$ 下, 本文旨在证明全空间 $\mathbb{R}^3$ 中硬位势下玻尔兹曼方程 (1.1) 存在低正则性全局解.

在下文中, $\mathbf{P}$ 是 $L^2_v$ 到核 $L$ 的一个正交投影, 其形式为

(1.5)$\begin{equation}\label{Pdecomposition} \mathbf{P}f(v)=[a+b\cdot v + c(\vert v\vert^2-3)]\mu^{1/2}(v). \end{equation}$

其中 $f=\mathbf{P}g+(\mathbf{I}-\mathbf{P})g$ 是宏微观分解, $\mathbf{I}$ 是单位投射.

定义能量泛函和耗散泛函如下

(1.6)$\begin{equation}\label{ET} \mathcal{E}_T(f)=\|f\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}+\|f\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}+\|f\|_{\mathcal{X}^{-p}_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v} \end{equation}$

且

(1.7)$\begin{equation}\label{DT} \mathcal{D}_T(f) =\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}+\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}+ \vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-p}_{\xi}L^2_T}. \end{equation}$

本文主要定理涉及硬势情形下解的全局存在性以及衰减性.

定理 1.1 令 $\gamma+2s\ge 0$, $\frac{3}{2}<p\le\infty,$存在 $\epsilon>0$, 使得当 $F_0(x,v)=\mu+\mu^{\frac{1}{2}}f_0(x,v)\ge 0$ 并且

柯西问题 (1.1) 存在唯一的全局解 $f(t,x,v)$, (其中 $t>0$, $x\in \mathbb{R}^3$, $v\in \mathbb{R}^3$), 该解满足 $F(t,x,v)=\mu+\mu^{\frac{1}{2}}f(t,x,v)\ge 0$ 以及以下估计: 对任意 $T>0$,

(1.8)$\begin{equation}\label{energy-estimate} \mathcal{E}_T(f)+\mathcal{D}_T(f)\leq C_0\mathcal{E}(f_0), \end{equation}$

其中 $C_0$ 和 $T$ 无关. 若 $\epsilon>0$ 足够小, 当 $t>0$, 对任意小的 $\delta>0$, 有如下衰减估计

(1.9)$\begin{equation}\label{decay-rate} \|f(t)\|_{L^1_{\xi}L^2_v}\leq C_0(1+t)^{-\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{p}\right)+\delta}\mathcal{E}(f_0). \end{equation}$

注 (a) 对于 $\frac{3}{2}<p\leq \infty$, 空间 $L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi}$ 显然满足

其中 $L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi}\subset \text{BMO}^{-1}$(参考文献 [23]), $\text{BMO}^{-1}$ 空间是保持平移和伸缩不变性最大的分布空间. 对于 $f\in L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi}$, 记 $f=\nabla\cdot(\nabla\Delta^{-1} f)$, 当 $\frac{3}{2}<p\leq \infty$ 时,

则有

(b)受 Duan-Sakamoto-Ueda^[15] 的启发,本文证明了全空间中玻尔兹曼方程一类低正则性解的整体存在性. 相对于文献 [15] 中利用 $L^1_{\xi}$ 估计和 $L^p_{\xi}$ 估计的相互作用,以及 $(1+t)^{\sigma-1}$ 的时间加权估计来完成先验估计, 本研究中的先验估计是在 $L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi}$ 空间中无需时间权重完成的. 在函数空间 $L^p_{\xi}$ 中引入 Riesz 位势来恢复零阶宏观耗散, 是重新审视整体存在性理论的一种新方法. 该证明可统一适用于朗道方程和玻尔兹曼方程两种情形.

(c) 关于玻尔兹曼方程低正则解的衰减问题, 本文证明了 Duan-Sakamoto-Ueda 猜想, 并在 Sobolev 空间 $L^1_\xi L^2_v\cap L^p_\xi L^2_v$ 中获得了玻尔兹曼方程解的衰减估计 $(1+t)^{-\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{p}\right)+\delta}$. 该衰减率与全空间中热方程或线性化玻尔兹曼方程在 $L^{\infty}\cap L^r$ 时间衰减框架下 (基于 Hausdorff-Young 不等式) 的衰减率一致.

(d) 需要指出的是, 正如文献 [13] 所述, 对于玻尔兹曼方程的软势情形, 由于证明策略的相似性, 类似的结论应当成立. 本文将不探讨这一部分内容.

本文结构安排如下: 在第 2 节中, 建立若干关键的非线性估计, 包括玻尔兹曼算子的三线性估计, 微观估计, 宏观部分 $\mathbf{P}f$ 的耗散估计以及时间衰减的先验估计. 在第3 节中, 基于线性朗道算子的强制性构造先验估计, 通过迭代方法证明方程(1.3) 解的局部存在性, 最后证明玻尔兹曼方程解的整体存在性. 附录 4 基于对偶论证和 Hahn-Banach 延拓定理证明线性玻尔兹曼方程的可解性.

在本节中, 将做定理 1.1 的先验估计.

在本小节中, 将在 $L^1_\xi\bigcap L^p_\xi\bigcap\mathcal{X}^{-p}_{\xi}$ 框架下做先验微观估计, 参考文献 [13]. 引入非线性项 $\Gamma(f,g)$ 的傅里叶变换. 令

其中关于速度变量的卷积 $\ast_{\xi}$ 定义如下

引理 2.1 对于 $0<s<1$ 且 $\gamma>\max\{-3,-3/2-2s\}$, 以下结论成立

(2.1)$\begin{equation}\label{lem.ibn1} \left| \left(\hat{\gamma}(\hat{f},\hat{g})(\xi),\hat{h}(\xi)\right)_{l^2_v}\right|\le c\int_{\mathbb{r}^3_\eta}\vert \hat{f}(\xi-\eta)\vert_{l^2_v}\vert\!\vert\!\vert \hat{g}(\eta) \vert\!\vert\!\vert\cdot \vert\!\vert\!\vert \hat{h}(\xi) \vert\!\vert\!\vert {\rm d}\eta. \end{equation}$

证 引理 2.1 的证明可参考文献 [15,引理 3.1].

考虑柯西问题 (1.3), 借助引理 2.1, 通过在 $L^1_\xi\bigcap L^p_\xi\bigcap\mathcal{X}^{-p}_{\xi}$ 中的能量估计, 可得如下引理

引理 2.2 当 $1\leq p\leq\infty$, 对于任意 $T>0$, 存在 $C>0$, 使得柯西问题 (1.3) 的解满足

(2.2)$\begin{equation} \Vert f\Vert_{L^p_\xi L^\infty_T L^2_v}+\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_\xi L^2_T} \le C\Vert f_0 \Vert_{L^p_\xi L^2_v} +C\Vert f\Vert_{L^p_\xi L^\infty_T L^2_v} \vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L^1_\xi L^2_T} \label{ineq: L^p micro a priori} \end{equation}$

和

(2.3)$\begin{equation} \begin{split} &\Vert f\Vert_{\mathcal{X}^{-p} L^\infty_T L^2_v}+\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-p} L^2_T}\\ \le\,& C\Vert f_0 \Vert_{\mathcal{X}^{-p} L^2_v} +C\Vert f\Vert_{L_\xi^p L_T^\infty L_v^2}\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-1} L_T^2} +\Vert f\Vert_{\mathcal{X}^{-1} L_T^\infty L_v^2}\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L_\xi^p L_T^2 }. \label{ineq: X micro a priori} \end{split} \end{equation}$

证 本文将按照与文献 [13] 中相同的方式来证明 (2.2) 和 (2.3) 式.对关于 $x$ 的方程进行傅里叶变换, 有

(2.4)$\begin{align*}\label{eq: fourier} \partial_t \hat{f}+iv\cdot \xi \hat{f}+L\hat{f}=\hat{\Gamma}(\hat{f},\hat{f}). \end{align*}$

将 (2.4) 式乘以 $\bar{\hat{f}}(t,\xi,v)$, 然后取实部, 得到

其中 $(\cdot,\cdot)$ 表示通常的复内积,将其在 $[0,T]\times \mathbb{R}^3_v$ 上进行积分, 可得

(2.5)$\begin{align*}\label{eq: dt} \frac{1}{2} \Vert \hat{f}(t,\xi)\Vert_{L^2_v}^2 +\int^T_0 \mathrm{Re} (L\hat{f},\hat{f})_{L^2_v} {\rm d}\tau =\frac{1}{2} \Vert \hat{f}_0 (\xi)\Vert_{L^2_v}^2+\int^T_0 \mathrm{Re} (\hat{\Gamma}(\hat{f},\hat{f}),\hat{f})_{L^2_v} {\rm d}\tau. \end{align*}$

对于线性化碰撞算子 $L$, 存在某个 $\delta>0$,满足强制性估计^{[4,命题 2.1]}

将这个估计代入 (2.5) 式中, 并取 $L^\infty_T$ 范数, 可得

(2.6)$\begin{align*} \Vert \hat{f}(\xi)\Vert_{L^\infty_T L^2_v} +\delta \Big(\int^T_0 \vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f}(t,\xi) \vert\!\vert\!\vert {\rm d}t \Big)^{1/2} \!\le\! \Vert \hat{f}_0(\xi)\Vert_{L^2_v}+\Big(\int^T_0 \vert (\hat{\Gamma}(\hat{f},\hat{f}), \hat{f})_{L^2_v}\vert^2{\rm d}t\Big)^{1/2}. \label{lem.nont.p1} \end{align*}$

其中 $\Gamma(f,f)\in (\ker L)^\perp$, 可以将内积 $(\hat{\Gamma}(\hat{f},\hat{f}), \hat{f})_{L^2_v}$ 替换为 $(\hat{\Gamma}(\hat{f},\hat{f}), (\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f})_{L^2_v}$. 由于引理 2.1, (2.6) 式的最后一项有界, 则有

利用 Minkowski 不等式可得

将上述两个估计相结合并代回 (2.6) 式中, 取 $L^p_\xi$ 范数, 并利用卷积不等式

可得

由此可得估计式 (2.2).

通过同样的方式来证明 (2.3) 式. 当 $|\xi|\geq\frac{|\xi-\eta|}{2}$ 或 $|\xi|\geq\frac{\eta}{2}$, 可得

取 $\mathcal{X}^{-p}$ 范数可得

引理 2.2 证毕.

在本小节中将推导宏观部分 $\mathbf{P}f\sim[a,b,c]$ 的一个先验估计. 先给出两个预备引理, 其结论将在后续证明中使用.

引理 2.3 设 $\psi(v)$ 为特征函数的线性组合

则对于 $T>0$, $1\leq p\leq \infty$, 存在和 $T$ 无关的常数 $C>0$, 以下式子成立

(2.7)$\begin{equation}\label{nonlinear-est} \begin{split} \Big\|\Big(\int^T_0|(\widehat{\mathbf{\Gamma}(f,g)},\psi)_{L^2_v}|^2{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}}\Big\|_{\mathcal{X}^{-p}} \leq C\Big(\|f\|_{\mathcal{X}^{-p} L^{\infty}_TL^2_v} \vert\!\vert\!\vert \hat{g} \vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}+\|f\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v} \vert\!\vert\!\vert \hat{g} \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-p}L^2_T}\Big). \end{split} \end{equation}$

证 利用引理 2.1 和 $\vert\!\vert\!\vert \psi \vert\!\vert\!\vert\leq C$, 则有

利用 $\|f*g\|_{L^p_{\xi}}\leq \|f\|_{L^p_{\xi}}\|g\|_{L^1_{\xi}}$ 和 Minkowski 不等式, 可得

引理 2.3 证毕.

回顾 $\widehat{\mathcal{L}f}=\mathcal{L}\hat{f}\in\mathcal{N}^{\bot}$, 可以验证线性玻尔兹曼算子的估计.

引理 2.4 设 $\psi(v)$ 定义于引理 2.3 中, 对于任意 $T>0$, 当$1\leq p\leq \infty$, 存在和 $T$ 无关的常数 $C>0$, 使得

(2.8)$\begin{equation}\label{linear-est} \bigg\|\bigg(\int^T_0|(\mathcal{L}\hat{f},\psi)_{L^2_v}|^2{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|_{\mathcal{X}^{-p}}\leq C\|(\mathbf{I}-\mathbf{P})f\|_{\mathcal{X}^{-p}L^2_TL^2_v}. \end{equation}$

下面考虑考虑宏观耗散估算, 回顾 (1.5) 式中的符号 $\mathbf{P}f$, 其由下式给出

方程的宏观-微观分解如下

(2.9)$\begin{align*}\label{eq: linearized BE} \begin{cases} \partial_t \mathbf{P}f +v\cdot \nabla_x f +Lf=-\partial_t (\mathbf{I}-\mathbf{P})f+\Gamma(f,f),\\ f(0,x,v)=f_0(x,v), \end{cases} \end{align*}$

本文将在下面的引理中给出宏观部分的先验估计, 由于这是一个标准流程, 在这一部分中, 对玻尔兹曼碰撞算子的宏观耗散做一个上界估计, $f$ 的宏观耗散包含在以下命题中.

引理 2.5 对于 $1\leq p\leq \infty$, 设 $f$ 为柯西问题 (1.3) 的解, 则对于任意 $T>0$

(2.10)$\begin{equation}\label{macro} \begin{split} & \vert\!\vert\!\vert \mathbf{P}f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}=\|(\hat{a},\hat{b},\hat{c})\|_{L^p_{\xi}L^2_T}\\ &\lesssim \left(\|\mathbf{P}f_0\|_{\mathcal{X}^{-p}L^2_v}+\|f_0\|_{L^p_{\xi}L^2_v}+\|\mathbf{P}f\|_{\mathcal{X}^{-p}L^{\infty}_TL^2_v}+\|f\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}\right)+\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{L^{p}_{\xi}L^2_T}\\ &\quad+\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-p}L^2_T}+\Big(\|f\|_{\mathcal{X}^{-1}L^{\infty}_TL^2_v}\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}+\|f\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v} \vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-1}L^2_T}\Big). \end{split} \end{equation}$

证 取 13 个速度基底

对于玻尔兹曼方程 (1.3), 其中 $j,k=1,2,3$, 借助速度基底的正交性, 推断出宏观分量 $\mathbf{P}f$ 的系数 $(a,b,c)$ 满足流体力学方程组

(2.11)$\begin{equation}\label{fluid-system} \left\{ \begin{aligned} &\partial_ta+\nabla_x\cdot\,b=0,\\ &\partial_tb_j+\partial_{x_j}(a+2c)+\{\nabla_x\cdot\Theta((\mathbf{I}-\mathbf{P})f)\}_j=0,\\ &\partial_tc+\frac{1}{3}\nabla_x\cdot\,b+\frac{1}{6}\nabla_x\cdot\Lambda((\mathbf{I}-\mathbf{P})f)=0, \\ &\partial_t\left(\Theta_{jk}((\mathbf{I}-\mathbf{P})f)+2c\delta_{jk}\right)+\partial_{x_j}b_k+\partial_{x_k}b_j =\Theta_{jk}\left(\mathbf{r}+\mathbf{h}\right), \\ &\partial_t\Lambda_j((\mathbf{I}-\mathbf{P})f)+\partial_{x_j}c=\Lambda_j(\mathbf{r}+\mathbf{h}), \end{aligned} \right. \end{equation}$

其中 $j,k=1,2,3$,

是高阶矩函数, 以及

当 $\gamma+2s\ge0$ 时, 有

(2.12)$\begin{equation}\label{11} |\Theta(f)|,|\Lambda(f)|\lesssim \|f\|_{L^2_v}\lesssim\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert. \end{equation}$

对方程组 (2.11) 关于 $x$ 做傅里叶变换

(2.13)$\begin{equation}\label{fluid-system1} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t\hat{a}+i\xi\cdot\,\hat{b}=0,\\ &\partial_t\hat{b}_j+i\xi_j(\hat{a}+2\hat{c})+i\sum\xi_k\cdot\Theta_{jk}((\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f})=0,\\ &\partial_t\hat{c}+\frac{1}{3}i\xi\cdot\,\hat{b}+\frac{1}{6}i\xi\cdot\Lambda((\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f})=0, \\ &\partial_t\left(\Theta_{jk}((\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f})+2\hat{c}\delta_{jk}\right)+i\xi_j\hat{b}_k+i\xi_k\hat{b}_j =\Theta_{jk}\left(\hat{\mathbf{r}}+\widehat{\mathbf{h}}\right), \\ &\partial_t\Lambda_j((\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f})+i\xi_j\hat{c}=\Lambda_j(\hat{\mathbf{r}}+\widehat{\mathbf{h}}). \end{aligned} \right. \end{equation}$

用 $\mathbb{R}^3$ 中的复内积表示 $(,)_{\xi}$ 通过 $\frac{i\xi_j\hat{c}}{|\xi|^2}$ 将 (2.13) 式第五个等式乘以 $j$ 并对 $j=1,2,3$ 求和, 可以得到

通过使用 Cauchy-Schwartz 不等式和不等式 (2.12), 有

(2.14)$\begin{equation}\label{1} \begin{split} \|\hat{c}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}\leq& C\left(\|\hat{c}(0)\|_{\mathcal{X}^{-p}}+\|(\mathbf{I}-\mathbf{P})f_0\|_{L^p_{\xi}L^2_v}+\|\hat{c}\|_{\mathcal{X}^{-p}L^{\infty}_T}+\|(\mathbf{I}-\mathbf{P})f\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}\right)\\ &+C_{\epsilon_{1}}\vert\!\vert\!\vert(\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}+\epsilon_{1}\|\hat{b}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}+C\|\Lambda(\hat{\mathbf{r}}+\widehat{\mathbf{h}})\|_{\mathcal{X}^{-p}L^2_T}. \end{split} \end{equation}$

对于 $\hat{b}$, 将 (2.13) 式的第四个等式与其相乘, 通过 $\frac{i\xi_j\hat{b}_k+i\xi_k\hat{b}_j}{|\xi|^2}$ 并对 $1\leq j,k\leq3$ 求和, 得到

通过再次使用 Cauchy-Schwartz 不等式和不等式 (2.12) 有

(2.15)$\begin{equation}\label{2} \begin{split} \|\hat{b}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}&\leq C\left(\|\hat{b}(0)\|_{\mathcal{X}^{-p}}+\|f_0\|_{L^p_{\xi}L^2_v}+\|\hat{b}\|_{\mathcal{X}^{-p}L^{\infty}_T}+\|f\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}\right)\\ &\quad+C_{\epsilon_2}\vert\!\vert\!\vert(\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}+(4+\epsilon_2+\epsilon_2^{-1})\|\hat{c}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}+\epsilon_2\|\hat{a}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}\\ &\quad+C\|\Theta(\hat{\mathbf{r}}+\widehat{\mathbf{h}})\|_{\mathcal{X}^{-p}L^2_T}. \end{split} \end{equation}$

现在考虑 $\hat{a}$ 的估计, 将 (2.13) 式的第二个等式乘上 $\frac{i\xi_j\hat{a}}{|\xi|^2}$, 并对 $1\leq j\le3$ 求和, 通过与上述类似的计算, 得到

对 $\hat{a}$ 取 $L^p_{\xi}L^2_T$ 范数, 并利用不等式 (2.12), 可以验证

(2.16)$\begin{equation}\label{3} \begin{split} \|\hat{a}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}&\leq C\Big(\|\hat{a}(0)\|_{\mathcal{X}^{-p}}+\|\hat{b}(0)\|_{L^p_{\xi}}+\|\hat{a}\|_{\mathcal{X}^{-p}L^{\infty}_T}+\|\hat{b}\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_T}\\ &\quad+\|\hat{b}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}+\|\hat{c}\|_{L^p_{\xi}L^2_T}+\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}\Big). \end{split} \end{equation}$

选取充分小的常数 $0<\kappa_2<\kappa_1\ll1$, 并求和(2.14)+$\kappa_1\times$(2.15)+$\kappa_2\times$(2.16), 可得

通过使用引理 2.3, 引理 2.4 和不等式 (2.12), 可以得到

结论如下

至此, 完成了宏观耗散的估算.

全局存在性在很大程度上依赖于先验估计. 因此, 回顾 (1.6) 式的能量泛函的定义

耗散函数为 (1.7) 式

为方便起见, 定义没有宏观部分的耗散函数

由宏微观估计结果可得如下命题

命题2.1 设 $f$ 是柯西问题 (1.3) 的解, 对于任意 $T>0$, 当 $\frac{3}{2} < p\leq \infty$, 存在与 $T$ 无关的常数 $C>0$, 使得

(2.17)$\begin{equation}\label{priori} \mathcal{E}_T(f)+\mathcal{D}_T(f)\leq C\left(\|f_0\|_{L^1_{\xi}L^2_v}+\|f_0\|_{L^p_{\xi}L^2_v}+\|f_0\|_{\mathcal{X}^{-p}L^2_v}\right)+C\mathcal{E}_T(f)\mathcal{D}_T(f). \end{equation}$

证 对于 $T>0$, $1\leq p \leq \infty $, 利用引理 2.2 中的 (2.2) 和 (2.3) 式可得, 存在 $C_1>0$ 使得

(2.18)$\begin{equation}\label{coeff1} \begin{split} \Vert f\Vert_{L^p_\xi L^\infty_T L^2_v}+\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_\xi L^2_T} \le& C_1\Vert f_0 \Vert_{L^p_\xi L^2_v} +C_1\Vert f\Vert_{L^p_\xi L^\infty_T L^2_v} \vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L^1_\xi L^2_T}\\ \leq&C_1\left(\|f_0\|_{L^p_{\xi}L^2_v}+\mathcal{E}_T(f)\mathcal{D}_T(f)\right), \end{split} \end{equation}$

同理, 对于 $\frac{3}{2} < p\leq \infty$, 利用引理 2.2 中(2.3) 式以及插值不等式

(2.19)$\begin{equation}\label{inter} \begin{split} \|f\|_{\mathcal{X}^{-1}}&=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{|\hat{f}|}{|\xi|}{\rm d}\xi\leq \|f\|_{L^1_{\xi}}+\int_{|\xi|\leq1}\frac{|\hat{f}|}{|\xi|}{\rm d}\xi\\ &\leq \|f\|_{L^1_{\xi}}+\left(\int_{|\xi|\leq1}|\hat{f}|^p {\rm d}\xi\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{|\xi|\leq1}\frac{1}{|\xi|^{\frac{p}{p-1}}}{\rm d}\xi\right)^{\frac{p-1}{p}}\\ &\leq \|f\|_{L^1_{\xi}}+\|f\|_{L^p_{\xi}} \end{split} \end{equation}$

可得, 存在 $C_1>0$ 使得

(2.20)$\begin{equation}\label{coeff2} \begin{split} & \Vert f\Vert_{\mathcal{X}^{-p} L^\infty_T L^2_v}+\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-p} L^2_T}\\ &\le C_1\Vert f_0 \Vert_{\mathcal{X}^{-p} L^2_v} +C_1\left(\Vert f\Vert_{L_\xi^p L_T^\infty L_v^2}\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-1} L_T^2} +\Vert f\Vert_{\mathcal{X}^{-1} L_T^\infty L_v^2}\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L_\xi^p L_T^2 }\right)\\ &\leq C_1\left(\|f_0\|_{\mathcal{X}^{-p}L^2_v}+\mathcal{E}_T(f)\mathcal{D}_T(f)\right). \end{split} \end{equation}$

同时, 根据引理 2.5 对宏观耗散的估计以及 (2.19) 式, 可以证明存在 $C_2>0$

(2.21)$\begin{equation}\label{coeff3} \begin{split} \vert\!\vert\!\vert \mathbf{P}f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}&=\|(\hat{a},\hat{b},\hat{c})\|_{L^p_{\xi}L^2_T}\\ &\leq C_2 \left(\|\mathbf{P}f_0\|_{\mathcal{X}^{-p}L^2_v}+\|f_0\|_{L^p_{\xi}L^2_v}+\|\mathbf{P}f\|_{\mathcal{X}^{-p}L^{\infty}_TL^2_v}+\|f\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}\right)\\ &\quad+C_2\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{L^{p}_{\xi}L^2_T}+C_2\vert\!\vert\!\vert (\mathbf{I}-\mathbf{P})f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-p}L^2_T}\\ &\quad+C_2\Big(\|f\|_{\mathcal{X}^{-1}L^{\infty}_TL^2_v}\vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{L^p_{\xi}L^2_T}+\|f\|_{L^p_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v} \vert\!\vert\!\vert f \vert\!\vert\!\vert_{\mathcal{X}^{-1}L^2_T}\Big)\\ &\leq C_2 \left(\|f_0\|_{L^p_{\xi}L^2_v}+\|\hat{f}_0\|_{X^{-p}_{\xi}L^2_v}+\mathcal{E}_T(f)+\widetilde{\mathcal{D}}_T(f)+\mathcal{E}_T(f)\mathcal{D}_T(f)\right). \end{split} \end{equation}$

对于 $\delta>0$ 通过计算 $(2.18)+(2.20)+\delta\times(2.21)$, 可以得到

若 $\delta=\frac{1}{4C_2}>0$ 足够小, 则直接得到 (2.17) 式.

对于任意小的 $\delta>0$, 不妨记 $\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})-\delta$, 给出宏观耗散的时间加权估计如下

引理2.6 对于 $\frac{3}{2} < p\leq \infty$, 设 $f$ 是柯西问题 (1.3) 的一个解, 存在一个正常数 $C_3>0$, 使得

证 通过类似于命题 2.5 的证明, 例如关于项 $\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{c}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}$ 的估计, 有

与 (2.14) 式的唯一区别在于含 $(1+t)^{3(1-\frac{1}{p})^--1}$ 权重的项.我们需要单独处理这一项, 即

利用插值不等式 (2.19),通过类似于命题 2.5 证明中 (2.14) 式的分析方法可得

(2.22)$\begin{equation}\label{1t} \begin{split} & \|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{c}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\leq C\left(\big\||\xi|^{-1}|\hat{c}(0)|\big\|_{L^1_{\xi}}+\|(\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f}_0\|_{L^1_{\xi}L^2_v}\right)\\ &\quad+C\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}(1+|\xi|^{-1})\hat{f}\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}+C_{\epsilon_{1}}\vert\!\vert\!\vert (1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}(\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f} \vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\quad+\epsilon_{1}\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{b}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}+C\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}|\xi|^{-1}\Lambda(\hat{\mathbf{r}}+\widehat{\mathbf{h}})\|_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\leq C\|\widehat{f_0}\|_{(L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi})L^2_v}+C\|\left(1+|\xi|^{-1}\right)(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{f}\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}\\ &\quad+C_{\epsilon_{1}}\vert\!\vert\!\vert (1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}(\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f}\vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\quad+\epsilon_{1}\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{b}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}+C\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}|\xi|^{-1}\Lambda(\hat{\mathbf{r}}+\widehat{\mathbf{h}})\|_{L^1_{\xi}L^2_T}. \end{split} \end{equation}$

同理可推及 $\hat{b}$ 和 $\hat{a}$ 项, 由此可得

(2.23)$\begin{equation}\label{2t} \begin{split} & \|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{b}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\leq C\|\widehat{f_0}\|_{(L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi})L^2_v}+C\|\left(1+|\xi|^{-1}\right)(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{f}\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v} \\ &\quad+C_{\epsilon_2}\vert\!\vert\!\vert (1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}(\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f} \vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}+(4+\epsilon_2+\epsilon_2^{-1})\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{c}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\quad+\epsilon_2\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{a}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}+C\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}|\xi|^{-1}\Theta(\hat{\mathbf{r}}+\widehat{\mathbf{h}})\|_{L^1_{\xi}L^2_T} \end{split} \end{equation}$

和

(2.24)$\begin{equation}\label{3t} \begin{split} & \|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{a}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\leq C\Big(\|\widehat{f_0}\|_{(L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi})L^2_v}+\|\left(1+|\xi|^{-1}\right)(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{f}\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}+\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{b}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\quad+\|(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{c}\|_{L^1_{\xi}L^2_T}+\vert\!\vert\!\vert (1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}(\mathbf{I}-\mathbf{P})\hat{f}\vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}\Big). \end{split} \end{equation}$

选取充分小的常数 $0<\kappa_4<\kappa_3\ll1$, 将(2.22)+$\kappa_3\times$(2.23)+$\kappa_4\times$(2.24) 相加可得

运用引理 2.3, 引理 2.4 和不等式 (2.12) 可证得

再次应用插值不等式 (2.19), 可得

至此, 完成了含时间加权项的宏观耗散估计.

最后, 只需证明含时间权重的微观先验估计的一个引理. 结合引理 2.6, 则可证明玻尔兹曼方程低正则解的衰减估计.

引理 2.7 对于 $\frac{3}{2}<p\leq \infty$, $T>0$, 在 $\epsilon$ 充分小的情况下, 若柯西问题 (1.3) 的解 $f(t,x,v)$ 满足能量估计 (1.8), 则有

证 通过类似于引理 2.2 中不等式 (2.2) 的证明方法, 可知存在常数 $C_4>0$ 使得

根据引理 2.6 可得

选取充分小的常数 $0<\kappa\ll1$ (其具体取值将在下文确定), 可得

(2.25)$\begin{equation}\label{optimal} \begin{split} & \|\left(1+|\xi|^{-1}\right)(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{f}\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}+\kappa\vert\!\vert\!\vert (1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\mathbf{P}\hat{f}\vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\quad+(1-\kappa C_3)\vert\!\vert\!\vert\left(1+|\xi|^{-1}\right)(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}\right)\hat{f} \vert\!\vert\!\vert_{L^1_{\xi}L^2_T}\\ &\leq C_4\|\left(1+|\xi|^{-1}\right)\widehat{f_0}\|_{L^1_{\xi}L^2_v}+\kappa C_3\|\widehat{f_0}\|_{(L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi})L^2_v} \\ &\quad+C_4\int_{\mathbb{R}^3_{\xi}}\left(1+|\xi|^{-1}\right)\left(\int^T_0(1+t)^{3(1-\frac{1}{p})^--1}\|\hat{f}\|^2_{L^2_v}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}{\rm d}\xi\\ &\quad+C_4\int_{\mathbb{R}^3_{\xi}}\left(1+|\xi|^{-1}\right)\left(\int^T_0(1+t)^{3(1-\frac{1}{p})^-}\Big|\|\hat{f}(t)\|_{L^2_v}*_{\xi}\vert\!\vert\!\vert \hat f(t)\vert\!\vert\!\vert\Big|^2{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}{\rm d}\xi\\ &\quad+ \kappa C_3\|\left(1+|\xi|^{-1}\right)(1+t)^{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{p})^-}\hat{f}\|_{L^1_{\xi}L^{\infty}_TL^2_v}\Big(\vert\!\vert\!\vert \hat f\vert\!\vert\!\vert_{(L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi})L^2_T}+1\Big)\\ &\equiv\mathcal{J}_1+\mathcal{J}_2+\mathcal{J}_3+\mathcal{J}_4. \end{split} \end{equation}$

对于 $\mathcal{J}_1$, 结合插值不等式 (2.19) 和能量估计假设(1.8) 可得

对于 $\mathcal{J}_2$ 的估计, 利用 Hölder 不等式,

从而有

对于上式中的最后一个积分, 我们再一次用到 Hölder 不等式, 其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,

考虑到 $3(1-\frac{1}{p})^-q<3(1-\frac{1}{p})q=3,$ 可得

于是

对于 $\mathcal{J}_3$, 通过应用 Minkowski 不等式, 插值不等式 (2.19) 能量估计条件 (1.8) 以及 Young 不等式, 可以得到

末项 $\mathcal{J}_4$ 可直接由能量估计条件 (1.8) 推得,

将估计式 $\mathcal{J}_1$ 至 $\mathcal{J}_4$ 代入 (2.25) 式, 最终可得

根据初始能量估计$ \mathcal{E}({f_0})\leq \epsilon$ (其中 $\epsilon\ll1$ 充分小), 取

并设 $\kappa=\frac{1}{4(C_3+1)}$,可得

引理 2.7 证毕.

注 2.1 引理 2.7 在 Sobolev 空间 $L^1_{\xi}L^2_v\cap L^p_{\xi}L^2_v$ 中揭示了硬位势下玻尔兹曼方程解的时间衰减率为 $(1+t)^{-\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{p}\right)+\delta}$, 该结论和文献 [15] 中结论一致.

在本节中, 将证明定理 1.1 中关于非齐次玻尔兹曼方程解的全局存在性, 解的时间衰减性可直接由引理 2.7 得出.

对于 $\frac{3}{2}<p\leq\infty$, 记

同时定义空间

以及

首先证明柯西问题 (1.3) 中解在局部时间上的存在性.

命题 3.1 对于一个足够小的常数 $\varepsilon_0>0$, 存在 $T>0$, 使得若

那么柯西问题 (1.3) 存在一个局部解 $f(t,v,x)$, 其定义域为 $(0,T)\times \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3$ 且满足

证 首先, 构造如下迭代近似解序列:

(3.1)$\begin{equation}\label{equationA} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t f^{n+1}+v\,\cdot\,\nabla_x\, f^{n+1}+\mathcal{L}_{1}f^{n+1}={\bf \Gamma}(f^n, f^{n+1})-\mathcal{L}_{2}f^{n},\,\,\, t>0,\, v\in\mathbb{R}^3, \\& f^{n+1}(t,x,v)|_{t=0}=f_{0}(x,v), \end{aligned} \right. \end{equation}$

从 $f^{0}(t,x,v)\equiv\,f_{0}(x,v)$ 开始,在命题 4.2 中令 $g=f^{n+1}, f=f^n$ 以及 $T=\min\{T_{0},1/(4B^{2})\}$ 可得

其中, 选取 $\varepsilon_{0}>0$ 使得 $2B\varepsilon_{0}\leq\eta$.

下面只需证明序列$\{f^{n}\}$ 在空间 $Y= XL^{\infty}_TL^2_v\cap \mathcal{X}L^2_T$中收敛即可.

令 $w_{n}=f^{n+1}-f^{n}$, 且当 $w^{n}|_{t=0}=0$ 时, 由 (3.1) 式可得

通过采用与命题4.2 中类似的能量估计方法, 可得

从而, 只要 $\eta$ 和 $T$ 足够小 (例如, 取 $C\sqrt{\eta}, C\sqrt{T}=\frac{1}{8}$), 就存在 $0<\lambda<1$, 有

显然可得 $\{f^{n}\}$ 是空间 $Y$ 中的一个柯西序列, 故存在某个极限函数 $g\in Y$, 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, $f^{n}\rightarrow g$, 通过标准的步骤可以知道, $f$ 是柯西问题 (1.3) 的解, 且满足

命题 3.1 证毕.

对于在命题 3.1 中得到的柯西问题 (1.3) 的解, 它是 (3.1) 序列的极限, 回到原始的玻尔兹曼方程, 它也是由以下线性柯西问题依次构造的一个序列的极限.

然后, 柯西问题 (1.1) 解的非负性可以通过与文献 [3,17] 中相同的方法来证明.

上述局部时间解可以延拓为一个整体时间解, 但该延拓在一定程度上依赖于前面的先验估计, 回顾能量泛函

以及耗散函数

基于上述命题 2.1 中的整体先验估计 (2.17)

以及局部存在性结果 (命题 3.1), 通过标准的连续性论证就可以得出定理 1.1. 在此省略具体过程. 有兴趣的读者可查阅文献 [4,14,17] 以了解相关的细节.

本节将研究线性玻尔兹曼方程的局部可解性, 其研究基于对偶性论证以及 Hahn-Banach 延拓定理, 该思路主要源自文献 [2,4,13,15,25].

研究线性化玻尔兹曼方程在 $Y$ 空间中的局部存在性. 对于柯西问题

(4.1)$\begin{equation}\label{local-A} \left\{\begin{aligned} &\partial_tf+v\,\cdot\,\nabla_x\, f+\mathcal{L}_{1}f={\bf \Gamma}(g,f)-\mathcal{L}_{2}g,\\ &f(t,x,v)|_{t=0}=f_{0}(x,v), \end{aligned} \right. \end{equation}$

有如下局部存在性结论

命题4.1 对于 $g_{0}\in L^{2}(\mathbb{R}^6_{x,v}), g\in L^{\infty}([T]\times\mathbb{R}^{3}_{x};L^{2}(\mathbb{R}^{3}_{v}))$ 满足

存在 $\epsilon_{1}>0$ 和 $T_{0}>0$ 使得对于所有 $0<T\leq T_{0}$, 柯西问题 (4.1) 存在一个弱解

证 考虑联合算子

其中 $(\cdot)^{\ast}$ 是关于 \(L^{2}(\mathbb{R}^{6}_{x,v})\) 中的标量积取的伴随. 由文献 [4,17] 可知

对于所有满足 $h\in C^{\infty}([T], \mathcal{S}(\mathbb{R}^{6}_{x,v}))$ 且 $h(T)=0$ 的函数, 有

对于 $0\leq t\leq T$, 因为 $\mathrm{Re}(v\cdot\nabla_{x}h,h)=0$,当$\left\|g\right\|_{L^{\infty}([T]\times\mathbb{R}^{3}_{x};L^{2}_{v})}$ 足够小, 可得

和

从而可得

(4.2)$\begin{equation}\label{local-4} \begin{split} \|h\|_{L^{\infty}([T],L^{2}_{x,v})}\leq2{\rm e}^{2CT}\|\mathcal{G}h\|_{L^{1}([T],L^{2}_{x,v})}. \end{split} \end{equation}$

随后, 考虑向量子空间

实际上, 由于与引理 2.1 中类似的计算, 上述包含关系是成立的.

对于 $f_{0}\in L^{2}(\mathbb{R}^{6}_{x,v}) f_{0}\in L^{2}(\mathbb{R}^{6}_{x,v})$ 定义如下线性泛函

其中 $h\in C^{\infty}([T],\mathcal{S}(\mathbb{R}^{6}_{x,v}))$ 且 $h(T)=0$.由 (4.2) 式可知算子 $\mathcal{G}$ 是单射的, 因此, 线性泛函 $\mathcal{Q}$ 是良定义的, 则有

所以, $\mathcal{Q}$ 是 $(\mathbb{U},\|\cdot\|_{L^{1}([T],L^{2}_{x,v})})$ 上的连续线性形式, 通过使用 Hahn-Banach 定理, $\mathcal{Q}$ 可以被延拓为 $L^{1}([T];L^{2}(\mathbb{R}^{6}_{x,v}))$ 上的连续线性形式. 由此可知, 存在 $f\in L^{\infty}([T]; L^{2}(\mathbb{R}^{6}_{x,v}))$ 满足

使得

对于所有 $h\in C^{\infty}_{0}((-\infty,T),\mathcal{S}(\mathbb{R}^{6}_{x,v})) h\in C^{\infty}_{0}((-\infty,T),\mathcal{S}(\mathbb{R}^{6}_{x,v}))$,

因此, $f\in L^{\infty}([T];L^{2}(\mathbb{R}^{6}_{x,v}))$ 是柯西问题 (4.1) 的一个弱解, 命题 4.1 证毕.

命题 4.2 对于足够小的 $\eta>0$, 任意 $0<T\leq T_0$, $f_{0}\in XL^2_v, g\in XL^{\infty}_TL^2_v\cap \mathcal{X}L^2_T$ 满足

则存在一个弱解 $f\in XL^{\infty}_TL^2_v\cap \mathcal{X}L^2_T$ 满足: 存在 $C>0$, 使得

证 使用磨光函数 $0\le\psi(x)\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^3)$ 它具有 $\int_{\mathbb{R}^3}\psi(x){\rm d}x=1$ 的性质, 并且设 $g_{\epsilon}=g*\psi_{\epsilon}(x)g_{\epsilon}=g*\psi_{\epsilon}(x)$, $f_{0,\epsilon}=f_0*\psi_{\epsilon}(x)$, 其中 $\psi_{\epsilon}(x)=\epsilon^{-3}\psi(\frac{x}{\epsilon})$. 显然

则可得

通过能量估计, 对于命题 4.1 中给定的 $T_0>0$, 有

然后选取足够小的 $T_0$ 和 $\eta$, 例如

$T_0=\frac{1}{2C^2},\quad \eta=\frac{\delta}{4C^2},$可得

这个估计关于 $\epsilon$ 是一致的, 命题 4.2 证毕.