本文研究下述带有Navier边界条件的双调和方程

$\begin{equation}\label{I1} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta^2u=|u|^{p-1}u+f, &x\in\Omega,\\ \Delta u=u=0, &x\in \partial\Omega,\tag{$1.1_f$} \end{array} \right. \end{equation}$

其中$1<p<\frac{N+4}{N-4}$ (当$N=1,\,2,\,3,\,4$时, $1<p<\infty$), $\Omega$是$\mathbb{R}^N$中的有界光滑区域, $\partial\Omega$为$\Omega$的边界.

双调和方程起源于物理学中一些经典的弹性问题, 例如细长梁的静态加载(见Lazer-McKenna^[13], McKenna-Walter^[14])以及 Kirchhoff-Love 薄板理论 (见Kirchhoff^[12], Birman^[4]). 在数学上, 双调和方程在共形几何方面得到了广泛的研究, 例如Paneitz-Branson方程 (见Paneitz^[16], Chang-Yang^[7],Djadli-Hebey-Ledoux^[10]).

众所周知, 极大值原理不能直接应用于双调和方程, 即使对下列带有线性项的双调和方程

其中给定$f>0$, (1.1)的解不一定是正解. 然而, 存在$\lambda^*<0$使得当$\lambda\in(\lambda^*,0)$时, (1.1)的解是正的. 详情参考文献Sweers^[18], Caristi-Mitidieri^[5,6] 和de Figueiredo-Mitidieri^[9].

在文献 [8]中, Clément和Figueiredo利用山路引理证明了以下方程

(1.2)$\begin{equation}\label{IA2} \Delta^2u=g(u),\ x\in\Omega,\quad\Delta u=u=0,\ x\in \partial{\Omega} \end{equation}$

非平凡解的存在性, 其中$\Omega\subset\mathbb{R}^N$光滑有界, $N\geq2$, $g(u)$是局部Lipschitz连续, 次临界且满足$(AR)$条件. 此外, 针对问题

作者得到了在平凡解和形式如$(0,u)$ (即方程(1.2)的解) 处分岔的正解分支. 同时, 作者得到了形如$(\lambda, u)$的解, 其中$\lambda$是负数且$u$为正.

在文献 [1]中, Alves和Nóbrega考虑了下列问题

其中$f$是次临界增长的$C^1$函数. 作者通过对偶方法证明了节点基态解的存在性. 更多的结果参见文献von Wahl^[20], Soranzo^[17], Oswald^[15], Bartsch-Weth-Willem^[3], Ebobisse-Ould Ahmedou^[11]以及Van der Vorst^[19].

在本文中, 我们关心的是方程(1.1f)的无穷多解的存在性. 这可以看作是文献Bahri^[2]中泛函拓扑理论的一个应用. 在文献 [2]中, Bahri定义了一类泛函, 记为$(C)$, 并研究了在$(C)$中泛函的下水平集的拓扑性质. 准确地说, 当泛函在区间内没有临界值时, 作者研究了相应的下水平集的拓扑性质. 利用下水平集的拓扑性质, 作者证明了对几乎所有的$f\in L^2(\Omega)$, 问题

存在无穷多个解, 其中$p$是次临界的, $\Omega$光滑有界.

为了陈述主要结果, 我们需要给出一些记号.

定义Sobolev空间$ H=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega), $其内积和由内积生成的范数分别为

方程(1.1f)的能量泛函为

(1.3)$\begin{equation}\label{I2} I(u)=\frac12\|u\|^2-\frac{1}{p+1}\int_{\Omega}|u|^{p+1}\,\text{d}x-\int_{\Omega}fu\,\text{d}x,\quad u\in H. \end{equation}$

若$f\in H^*$, $H^*$是$H$的对偶空间, $u\in H$是$I$的一个临界点, 即 $ I'(u)=0\ \mbox{于}\ H^*,$则我们称$u\in H$是方程(1.1f)的一个解.

注 1.1 如上定义的方程(1.1f)的解的确是一类弱解. 令$u\in H$是$I$的一个临界点, 由(1.3)式知

若$u\in C^4(\Omega)\cap C^3(\overline{\Omega})$且$f\in C(\overline{\Omega})$, 则根据分部积分可知对任意的$v\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, 下式

成立. 这意味着

(1.4)$\begin{equation}\label{IB1} \Delta^2 u=|u|^{p-1}u+f, x\in \Omega. \end{equation}$

如果存在$x_0\in\partial\Omega$使得$\Delta u(x_0)\neq 0$, 那么我们假设对充分小的$\delta>0$, $\Delta u(x)>0$, $x\in B_{2\delta}(x_0)\cap \Omega$. 令$v_0\in C^2(\overline{B_{\delta}(x_0)\cap\Omega})$是

的唯一解. 由Hopf引理可知$\frac{\partial v}{\partial\nu}<0$, $x\in\partial(B_{\delta}(x_0)\cap\Omega)$.若取$v=v_0$, 则通过分部积分可得

再结合(1.4)式可得

这是不可能的. 因此, $\Delta u=0$, $x\in\partial\Omega$. 注意到$u\in C(\overline\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$, 所以$u=0$, $x\in\partial\Omega$.

本文的主要结果为

定理1.1 对任意整数$\nu>0$, 存在开集$\theta_\nu\subset H^*$使得对任意的$f\in\theta_\nu$, 问题(1.1f)有$\nu$个解. 此外, 令$\theta=\cap_{\nu\in \mathbb{N}}\theta_\nu$, 对任意的$f\in\theta$, 问题(1.1f)存在无穷多个解.

受文献Bahri [2]启发, 我们可以采用隐函数定理和归纳法证明定理1.1. 其关键在于证明命题3.1, 即对任意的$f\in H^*$, 问题(1.1f)存在任意大范数的近似解. 为此,我们首先研究临界点的能量泛函$I$和$J$的关系, 见引理2.1, 并且证明了$J\in (C)$-泛函类, 见引理2.2. 然后, 我们利用文献Bahri [2]中的拓扑结果得到了泛函$J$的无临界点的下水平集的拓扑性质, 见命题2.1. 最后, 根据泛函$J$的增长性条件, 见引理2.3, 我们由梯度流和Lefschetz-Hopf不动点定理得到了任意大范数近似解的存在性, 见命题3.1.

本文安排如下: 在第2节, 我们介绍一些预备知识以证明定理1.1. 在第3节, 我们采用隐函数定理和归纳法完成定理1.1的证明.

定义

(2.1)$\begin{equation}\label{I3} J(v)=\sup_{\lambda\in(0,\infty)}I(\lambda v),\quad v\in S:=\left\{v\in H\big|\|v\|=1\right\}. \end{equation}$

引理2.1 定义$\mathring{J}_0:=\{v\in S|J(v)>0\}$, 则

(i) $J\in C^0(S,\mathbb{R})\cap C^2(\mathring{J}_0,\mathbb{R})$;

(ii) $I'(\lambda(v)v)=\lambda^{-1}(v)J'(v)$, 其中$v\in \mathring{J}_0$, $\lambda(v)$是$J(v)=I(\lambda v)$的唯一正解;

(iii) 在$J$和$I$的正临界点之间存在一一对应关系

证 对任意的$v\in S$, 令$g_v(\lambda)=I(\lambda v)$, 则

由Hölder不等式和Young不等式可得

对任意固定的$v\in S$, 易知当$\lambda\to\infty$时, $g_v(\lambda)\to-\infty$. 选取充分大的$\lambda^*(v)>0$使得

因此, 当$\lambda>\lambda^*(v)$时, $g_v(\lambda)$严格单调减少. 由于$g_v(\lambda)$关于$\lambda$连续, 所以存在$\lambda(v)\in [0,\lambda^*(v)]$使得

固定$v_0\in S$, 选取$v_n\in S$使得当$n\to \infty$, $v_n\to v_0$于$H$, 则$v_n\to v_0$于$L^{p+1}(\Omega)\cap L^2(\Omega)$. 注意到当$n$充分大时,

因此, 选取$\lambda(v_n)\in [0,\lambda^*(v_0)+1]$使得

经过简单的计算可得

令$n\to\infty$, $J(v_n)\to J(v_0)$. 于是, $J\in C^0(S,\mathbb{R})$.

注意到

由此可知, $g'(\lambda)$在区间$\big(0,p^{-\frac{1}{p-1}}\|v\|_{L^{p+1}(\Omega)}^{-\frac{p+1}{p-1}}\big)$上单调增加, 在区间$\big(p^{-\frac{1}{p-1}}\|v\|_{L^{p+1}(\Omega)}^{-\frac{p+1}{p-1}},+\infty\big)$ 上单调减少. 这意味着对任意的$v\in\mathring{J}_0$, 极大值点$\lambda(v)$是唯一的. 所以, $\lambda(v)$可以看作是$v\in\mathring{J}_0$的函数.

因为对任意的$v\in\mathring{J}_0$, $\lambda(v)$是唯一的极大值点, 所以

由隐函数定理知$\lambda(v)\in C^1(\mathring{J}_0,\mathbb{R})$. 因此, 对任意的$\omega\in T_vS$,

这意味着$J'(v)=\lambda(v)I'(\lambda(v)v)$. 再次求导, 易知$J\in C^2(\mathring{J}_0,\mathbb{R})$.

令$u$是$I$的正临界点, 则$\|u\|$必是$I(t\frac{u}{\|u\|})$的正临界点. 令$\omega=\frac{u}{\|u\|}$, 则根据极大值点的唯一性可知$\lambda(\omega)=\|u\|$和$u=\lambda(\omega)\omega$. 此外, $\omega$是$J$在$S\cap \mathring{J}_0$中的临界点. 于是, 结论成立.

令$(e_i)$是$H$的标准正交基且满足

令$E_n=\mbox{span}\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$和$p_n$是从$H$到$E_n$的正交投影. 我们定义泛函类$(C)$, 参考文献Bahri [2].

定义2.1 定义在$S$上的泛函$J\in (C)$, 若

(i) $J\in C^0(S,\mathbb{R})\cap C^2(\mathring{J}_0,\mathbb{R})$;

(ii) $v_n\rightharpoonup 0$于$H$当且仅当$J(v_n)\to\infty$;

(iii) $J$满足 $(PS)^{+*}$条件, 即

(1) 对任意的$(v_n)\subset\mathring{J}_0$满足 $C<J(v_n)<C'$, 且在$H^*$中 $J'(v_n)\to 0$, 其中: $C>0$, $C'>0$, 则$(v_n)$在$H$中存在收敛子列;

(2) 对任意的$(v_n)\subset S\cap E_n$满足$C<J(v_n)<C'$且$p_n(J'(v_n))=0$, 其中: $C>0$, $C'>0$, 则$(v_n)$在$H$中存在收敛子列.

注2.1 由引理2.1知 $J'(v)=\lambda(v)I'(\lambda(v)v)$. 利用Resiz定理, 空间$H$可视为其对偶空间$H^*$. 因此, $J'(v)$可看作是空间$H$的一个元素. 这意味着$p_n(J'(v_n))=0$是有意义的.

回顾泛函$I(u)$和$J(v)$的定义, 见(1.3)和(2.1) 式, 可以证明泛函 $J$ 在$(C)$中.

引理2.2 令$J$如(2.1)所定义, 则$J\in (C)$.

证 根据引理2.1可知$J\in C(S,\mathbb{R})\cap C^2(\mathring{J}_0,\mathbb{R})$, 所以(i)成立.

对于(ii), 如果$v_n\rightharpoonup0$于$H$, 那么由Sobolev紧嵌入定理可得当$n\to\infty$时,

因此,

(2.2)$\begin{equation}\label{L2-1} \lambda(v_n)=\lambda^p(v_n)\int_{\Omega}|v_n|^{p+1}\,\text{d}x+\int_{\Omega}v_nf\,\text{d}x=\lambda^p(v_n)o(1)+o(1). \end{equation}$

这意味着$\lambda(v_n)\to 0$或者$\lambda(v_n)\to +\infty$. 但是$\lambda(v_n)\to 0$是不可能的, 因为

所以 $\lambda(v_n)\to+\infty$. 通过Hölder不等式,

(2.3)$\begin{equation}\label{L2-2} \begin{split} J(v_n)&=\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1}\Big)\lambda^2(v_n) -\frac{p}{p+1}\lambda(v_n)\int_{\Omega}v_nf\,\text{d}x\\ &\geq\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1}\Big)\lambda^2(v_n)-\frac{p\|f\|_{L^2(\Omega)}}{(p+1)\mu_1^\frac12} \lambda(v_n)\to +\infty. \end{split} \end{equation}$

与此同时, 如果$J(v_n)\to+\infty$, 那么利用事实

(2.4)$\begin{equation}\label{L2-3} \begin{split} J(v_n)&=\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1}\Big)\lambda^2(v_n) -\frac{p}{p+1}\lambda(v_n)\int_{\Omega}v_nf\,\text{d}x\\ &\leq\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1}\Big)\lambda^2(v_n)+\frac{p\|f\|_{L^2(\Omega)}}{(p+1)\mu_1^\frac12} \lambda(v_n) \end{split} \end{equation}$

可得$\lambda(v_n)\to +\infty$. 在(2.2)式两侧同时乘以$\lambda^{-p}(v_n)$,

于是, $v_n\to 0$于$L^{p+1}(\Omega)$. 因此, $v_n\rightharpoonup 0$于$H$.

对于(iii), 令$J(v_n)\in[C,C']$且在$H^*$中, $J'(v_n)\to 0$. 结合(2.3)和(2.4)式可得$\lambda(v_n)\in [A,A']$, 其中$A>0$, $A'>0$. 如果令$u_n=\lambda(v_n)v_n$, 那么$\|u_n\|\in [A,A']$. 在子列的意义下, $u_n\rightharpoonup u$于$H$且$u_n\to u$于$L^{p+1}(\Omega)\cap L^2(\Omega)$. 因此, $I'(u)=0$. 此外, 由引理2.1可得 $I(u_n)\in[C,C']$且$I'(u_n)\to 0$ 于$H^*$. 利用Hölder不等式可知

这意味着$u_n\to u$于$H$. 令$v=\frac{u}{\|u\|}$, 则$v_n\to v$于$H$.

注意到通过引理2.1可知如果$p_n(J'(v_n))=0$, 那么$\lambda(v_n)p_n(I'(\lambda(v_n)v_n))=0$. 重复上述步骤可得$\lambda(v_n)$有正的下界, 并且$p_n(I'(u_n))=0$. 此外, $u_n\rightharpoonup u$于$H$且$I'(u)=0$. 又因为$u_n=\sum_{i=1}^n\langle u_n, e_i\rangle e_i\in E_n$, 所以$u=\sum_{i=1}^n\langle u, e_i\rangle e_i\in E_n$. 因此,

总之, $v_n\to v$于$H$.

设$\mathbb{R}^N$为$N$维欧几里得空间, $Y$为拓扑空间, $X$为$\mathbb{R}^N$中的一个子集. 如果存在开集$\theta\subset\mathbb{R}^N$使得$X$可以连续嵌入到$\theta$中, 则该嵌入是$X$的一个收缩. 如果存在同胚$\phi$将拓扑空间$Y$映射到$X$上, 则称$Y$为欧几里得邻域收缩, 简称ENR.

如果存在连续的映射$u(t,\cdot):[0,1]\times Y\to Y$使得

那么称$Y$是可收缩的.利用文献Bahri [2,定理1]可知如下命题.

命题2.1 对任意的$a>0$, 存在$\mu(a)\geq a$和充分大的$n_0(a)>0$使得当$J$在区间$[a,\mu(a)]$上无临界点且$n\geq n_0(a)$时, $J_a\cap E_n$是一个紧的可收缩的ENR.

证 由引理2.2可知$J\in (C)$. 根据文献Bahri [2,引理1]可得$\mu(a)$的存在性. 此外, 利用文献Bahri [2,定理1]可推出存在充分大的$n_0(a)>0$使得当$n\geq n_0(a)$时, $J_a\cap E_n$是一个可收缩的ENR. 因为$J_a\cap E_n$是有限维空间$E_n$中的闭子集, 所以$J_a\cap E_n$是紧的.

最后, 我们用下述引理给出$J(v)$增长性的估计, 其中$v\in S$.

引理2.3 令$v\in S$, 则

(i) 存在$A_i>0$且$B_i>0$, 其中$i=1,2$, 使得

(ii) 存在$C_i>0$, 其中$i=1,2$, 使得

证

对于(i), 因为

(2.5)$\begin{equation}\label{I4} J(v)=\frac{\lambda^2(v)}{2}-\frac{\lambda^{p+1}(v)}{p+1}\int_{\Omega}|v|^{p+1}\,\text{d}x-\lambda(v)\int_{\Omega}vf\,\text{d}x, \end{equation}$

(2.6)$\begin{equation}\label{I5} \hspace{-1.2cm}\lambda(v)-\lambda^{p}(v)\int_{\Omega}|v|^{p+1}\,\text{d}x-\lambda(v)\int_{\Omega}vf\,\text{d}x=0. \end{equation}$

所以

又因为$\lambda(v)>0$, 所以

(2.7)$\begin{equation}\label{I6} \lambda(v)=\frac{p}{p-1}\int_{\Omega}vf\,\text{d}x+\sqrt{\frac{2(p+1)}{p-1}J(v)+\Big(\frac{p}{p-1}\Big)^2 \Big(\int_{\Omega}vf\,\text{d}x\Big)^2}. \end{equation}$

一方面, 由(2.7)式可知

其中$A_1=\sqrt{\frac{2(p+1)}{p-1}}$和$A_2=\sqrt{\frac{2p^2}{(p^2-1)\mu_1}}\|f\|_{L^2(\Omega)}$.

另一方面, 又利用(2.7)式可得

其中$B_1=\sqrt{\frac{2(p+1)}{p-1}}$和$B_2=\frac{2p}{(p-1)\sqrt{\mu_1}}\|f\|_{L^2(\Omega)}$.

对于(ii), 结合(2.5)和(2.6) 式, 利用Hölder不等式和Young不等式可得

由此可知

再利用Hölder不等式可得

(2.8)$\begin{equation}\label{I7} \lambda(v)\Big|\int_{\Omega}vf\,\text{d}x\Big|\leq\lambda(v)\|f\|_{L^2(\Omega)} \|v\|_{L^{p+1}(\Omega)}|\Omega|^{\frac{p-1}{2(p+1)}}\leq D_1J^{\frac{1}{p+1}}(v)+D_2, \end{equation}$

其中

由$J(v)$的定义和$J(-v)$以及(2.8)可推出

与此同时,

若$D_1J^{\frac{1}{p+1}}(-v)<\frac14J(-v)$, 即 $J(-v)>(4D_1)^{\frac{p+1}{p}}$, 则

由此可得

若$D_1J^{\frac{1}{p+1}}(-v)\geq\frac14J(-v)$, 即$J(-v)\leq(4D_1)^{\frac{p+1}{p}}$, 则

如果选取$C_1=2^{\frac{p+2}{p+1}}D_1$和$C_2=\max\Big\{2^{\frac{p+3}{p+1}}D_1D_2^{\frac{1}{p+1}},2^{\frac{p+2}{p}}D_1^{\frac{p+1}{p}}\Big\}+2D_2$, 那么

本节采用隐函数定理和归纳法证明主要定理. 首先, 我们证明近似解的存在性.

命题3.1 对任意的$f\in H^*$, $A>0$和$\varepsilon>0$, 存在$u_\varepsilon\in H$使得

证 不失一般性, 假设$f\in L^2(\Omega)$. 设

若在区间$[b,+\infty)$上, $I$有临界值, 则存在$u\in H$使得$I'(u)=0$和$I(u)>b$. 取$u_\varepsilon=u$, 则对任意的$\varepsilon>0$,

若在区间$[b,+\infty)$上, $I$没有临界值, 则定义

其中$C_1$和$C_2$的定义见引理2.3. 因为

所以存在足够大的$c>0$使得对任意的$x\geq c$,

注意到$I$在区间$[c,\mu(c)]$上没有临界值, 因此由命题2.1可知存在$n_0>0$使得当$n\geq n_0$时,

$ \text{$J_c\cap E_n$是一个紧的可收缩的ENR.} $

令$J_n=J|_{E_n}$, 则存在$n_1>0$使得当$n\geq n_1$时, $J_n$在区间$[\phi(c),c]$上没有临界值. 事实上, 如果$J_n$存在临界点$v_n\in E_n$满足$J(v_n)\in[\phi(c),c]$, 那么$p_n(J'(v_n))=0$. 由泛函类$(C)$的定义可知在子列的意义下, $v_n\to v$于$H$. 对任一固定的$k\in \mathbb{N}$, $p_k(J'(v))=0$. 这推断出$J'(v)=0$, 与假设矛盾.

根据$J'$的连续性, 选取$\varepsilon_1>0$充分小使得在区间$(\phi(c)-\varepsilon_1,c+\varepsilon_1)$上, $J_n$没有临界值. 令$0\leq\omega(v)\leq 1$是光滑的函数且满足

对任意的$v\in S\cap E_n$, 令$\eta(t,v):[0,\infty)\times (S\cap E_n)\to S\cap E_n$是以下初值问题

的唯一解. 因为

所以$J_n(\eta(t,v))$在$[0,+\infty)$上是非减的. 特别地,当$J_n(\eta(t,v))\in [\phi(c),c]$时,$\frac{\text{d}}{\text{d}t}J_n(\eta(t,v))=1$.

当$v\in J_c\cap E_n$时, 定义$Z(v)=\eta(\sup(0,c-J_n(-v)),-v)$. 我们想要证明$Z(v)\in J_c\cap E_n$. 事实上, 如果$J_n(-v)\geq c$, 那么

如果$J_n(-v)<c$, 那么$Z(v)=\eta(c-J_n(-v),-v)$. 因为$v\in J_c\cap E_n$, 即$J(v)\geq c$, 所以由引理2.3可知

通过$J_n(\eta(t,-v))$的单调性可知

因此, 对任意的$t\in [c-J_n(-v)]$, $\frac{\text{d}}{\text{d}t}J_n(\eta(t,-v))=1$. 注意到

则$J_n(Z(v))=c$, 于是$Z(v)\in J(c)\cap E_n$.

注意到当$n\geq n_2=\max\{n_0,n_1\}$时, $J_c\cap E_n$是一个紧的可收缩的ENR且$Z(v)$是一个从$J_c\cap E_n$到自身的连续映射. 从而由Lefschetz-Hopf不动点定理可知$Z(v)$在$J_c\cap E_n$中有一个不动点$v_0$, 即

如果$J_n(-v_0)\geq c$, 那么$Z(v_0)=\eta(0,-v_0)=-v_0$, 这是不可能的. 因此, 我们得出结论:

记$L:\eta(t,-v_0), t\in [c-J_n(-v_0)]$为$S\cap E_n$中连接点$-v_0$和$Z(v_0)=v_0$的曲线. 因为

所以存在$\xi\in [c-J_n(-v_0)]$使得

令$u_n(c)=\lambda(\eta(\xi,-v_0))\eta(\xi,-v_0)$, 则利用引理2.1可得

根据引理2.3,

这里我们用到了$J(-v_0)\geq\phi(c)$和函数$\frac{A_1t}{\sqrt{t}+A_2}$在区间$[0,+\infty)$上是增加的. 再次利用引理2.3可知

由此可得

因为

所以存在$c_0>0$使得对任意的$c>c_0$,

由引理2.3可得

那么对任意固定的$c>0$, $u_n(c)$在$H$中有界. 由于$1<p<\frac{N+4}{N-4}$, 其中$N>4$且当$N=1,2,3,4$时, $1<p<\infty$, 因此在子列的意义下,

易知

则对任意的$\varepsilon>0$, 存在$n_3>n_2$使得对任意的$n>n_3$,

因此, 对任意的$c>c_0$和$n>n_3$,

选取$u_\varepsilon=u_n(c)$, 其中$n>n_2$且$c>c_0$.

在本节的最后，我们用隐函数定理和归纳法证明主要结果.

定理1.1的证明 令

$ \theta_{\nu}=\big\{f\in H^*\big|\mbox{问题(1.1f)至少有$\nu$个不同的解}\big\}. $

对任意的$f\in\theta_{\nu}$, 设$u_1, u_2, \cdots, u_{\nu}$为问题(1.1f)的$\nu$个不同的解, 并且

是从$H$到$H^*$的同构.

首先, 我们证明$\theta_\nu$是开的. 事实上, 对任意的$f\in\theta_{\nu}$, 存在$u_i\in H$使得在$H^*$中$I'(u_i)=0$, 且$T_i(f):h \mapsto \Delta^2h-p|u_i|^{p-1}$是从$H$到$H^*$的同构, 其中$i=1,2,\cdots,\nu$. 利用Banach逆算子定理可知$T_i(f)\in\mathcal{L}(H,H^*)$有有界逆. 因为$I\in C^2(H,\mathbb{R})$, 所以由隐函数定理可得存在$\varepsilon>0$和$\delta_i>0$使得$B(f,\varepsilon)\subset H^*$和$B(u_i,\delta_i)\subset H$是微分同胚的. 即, 如果记同胚映射$u_i=u_i(f)$, 那么对任意的$\|g-f\|_{H^*}<\varepsilon$, $I'(u_i(g))=0$于$H^*$, 且$T_i(g)$是从$H$到$H^*$的同构. 这意味着$g\in \theta_\nu$.

接下来, 我们采用归纳法证明$\theta_\nu$在$H^*$中稠密.

步骤 1 $\theta_1$在$H^*$中稠密. 我们只要证明对任意的$\varepsilon>0$ 和$f\in H^*$, 存在$g_\varepsilon\in H^*$使得$\|f-g_\varepsilon\|<\varepsilon$.

令$f\in H^*$, 由命题3.1可知对任意的$\varepsilon>0$和$A>0$, 存在$u_\varepsilon\in H$使得

其中$f_\varepsilon=\Delta^2 u_\varepsilon-|u_\varepsilon|^{p-1}u_\varepsilon$.

如果$T_1(f_\varepsilon)$是$H$到$H^*$的同构, 即$f_\varepsilon\in\theta_1$, 只要取$g_\varepsilon=f_\varepsilon$即可.

如果$T_1(f_\varepsilon)$不是$H$到$H^*$的同构, 那么意味着存在$h\neq 0$使得

因此,

这意味着$\frac1p$是$T$的一个特征值. 注意到$T$是一个紧的线性算子, 由泛函分析的知识可得$T$的特征值的极限是$0$. 因此, 存在$0<\delta<1$充分小使得对任意的$\mu\in [1+\delta]$, 问题

只有零解. 定义

则映射

是从$H$到$H^*$的同构. 当 $\mu\to 1$时,

选取$\mu_\varepsilon$靠近$1$, $v_\varepsilon=v_\varepsilon(\mu_\varepsilon)$ 以及$g_\varepsilon=g_\varepsilon(\mu_\varepsilon)$使得 $\|g_\varepsilon-f_\varepsilon\|_{H^*}<\frac{\varepsilon}{2}$. 于是,$\|g_\varepsilon-f\|_{H^*}<\varepsilon$. 由于$T_1(g_\varepsilon)=\Delta^2-p|v_\varepsilon|^{p-1}$是$H$到$H^*$的同构, 所以$g_\varepsilon\in \theta_1$.

步骤2 假设$\theta_{\nu-1}$, $\nu>1$在$H^*$中稠密, 下证$\theta_{\nu}$在$\theta_{\nu-1}$中稠密. 令$f\in\theta_{\nu-1}$且 $u_1(f),u_2(f),\cdots,u_{\nu-1}(f)$是方程(1.1f)的$\nu-1$个不同的解. 此外, $T_i(f)$是从$H$到$H^*$的同构, $i=1,2,\cdots,\nu-1$. 由隐函数定理, 存在$\varepsilon>0$使得对任意的$\|g-f\|_{H^*}<\varepsilon$, 问题(1.1f)存在 $\nu-1$个不同的解$u_1(g),u_2(g),\cdots,u_{\nu-1}(g)$满足

且$T_i(g)$是$H$到$H^*$的同构.根据命题3.1可知, 存在$u_\varepsilon\in H$满足

由步骤 1 的证明过程, 存在$v_\varepsilon\in H$使得

$ \|g_{\varepsilon}-f\|_{H^*}<\varepsilon,\quad \|v_\varepsilon\|>A,\quad \text{$T_{i}(g_\varepsilon)$是$H$到$H^*$的同构}, $

其中$g_{\varepsilon}=\Delta v_{\varepsilon}-|v_{\varepsilon}|^{p-1}v_{\varepsilon}$. 因此, $g_{\varepsilon}\in \theta_{\nu}$.

最后, 令$\theta=\cap_{\nu=1}^{\infty}\theta_{\nu}$. 易知$\theta$是$H^*$中稠密的开集. 于是, 对任意的$f\in\theta$, (1.1f)有无穷多个解.