我们研究下述奇异摄动问题

(1.1) $\left\{\begin{array}{l} -\epsilon^{2} \Delta u_{1}+V_{1}(x) u_{1}=\alpha u_{1} u_{2}, x \in \mathbb{R}^{N} \\ -\epsilon^{2} \Delta u_{2}+V_{2}(x) u_{2}=\frac{\alpha}{2} u_{1}^{2}+\beta u_{2}^{2} x \in \mathbb{R}^{N} \end{array}\right.$

其中$2\leq N<6$, $\epsilon>0$为小参数,$\beta>\alpha>0,$ 位势$V_i$是正的, $V_i$, $|\nabla V_i| \in L^\infty(\mathbb{R}^N)$.

三次非线性薛定谔方程

(1.2)$\begin{equation}\label{à} \begin{split} {\rm i} \frac{\partial \psi}{\partial z}+r \nabla^{2} \psi+\chi|\psi|^{2} \psi=0, \end{split} \end{equation}$

是描述在Kerr型介质中光弧子的形成和传播的基本方程^[3]. 其中$\psi$代表电场强度随时间变化的缓慢波动函数, $\chi$和$\tau$表示折射率的相对变化参数, 反映了介质中的非线性效应, $z$是波长的距离坐标. 在平均场近似理论中, 该方程成为Gross-Pitaevskii方程.

$\chi^{(2)}$二次谐波方程作为新型的光学方程引起了广泛关注, 20世纪60年代发明的激光器使得物理学家获得了相干光源 (波源相同且频率相同的光源), 此时光学材料具有 $\chi^{(2)}$ (即二次) 非线性效应而非三次效应,从而产生了二次谐波等非线性效应^[6-9], 而传统的Kerr型$\chi^{(3)}$光学效应所对应的物理模型的变形就是方程组(1.1). 正是$\chi^{(2)}$光学材料的二次非线性导致二次谐波的出现, 随着20世纪60年代超快激光技术和精密非线性晶体 (例如$LiNbO_{3}, KTP$) 制造技术的进步, Torruellas 等人在钛宝石激光器实验中首次观察到$\chi^{(2)}$ 光弧子,1997年 Mordechai 团队在铌酸锂光波导中实现了二次光弧子的稳定传输, 随后Christodoulides提出了二次非线性介质中的弧子耦合模型, 做出了重大理论贡献. 至此, 二次光弧子的实验研究将耦合非线性薛定谔方程与孤立子的自相位调制结合, 使得两个科学领域的思想交织结合在一起, 进一步促进了利用二阶串级效应间接分析$\chi^{(3)}$非线性效应.

考虑在$\chi^{(2)}$非线性介质中频率为$\omega_{i}(i=1,2,3)$的三个单色波的强参数的相互作用, 谐波之间不存在平移, 相互作用波的频率精准匹配$(\omega_{1}+\omega_{2}=\omega_{3})$, 对应波矢量满足$ k_{1} \omega_{1}+k_{2} \omega_{2}-k_{3} \omega_{3}=\Delta k \ll k_{i}$. 通过归一化处理并且假设$\omega_{1}=\omega_{2}=\frac{\omega_{3}}{2}$, 我们得到了I型二次谐波方程 (归一化过程参考文献 [5]).

其中$u_{1},u_{2}$分别是频率为$w_{1},w_{3}$的包络波, $\sigma,\alpha>0$ 且$r,s=\pm 1$. 方程组在包含时间和空间两个维度时$r,s=\pm 1$, 而在只有空间坐标的情况时$r=s=1$. 物理学上空间维度通常是$N=1$或$N=2$, 因此上述双波粒子可以找到下列稳态$\big(\frac{\partial}{\partial z}=0\big)$方程组

(1.3)$\begin{equation}\label{é} \begin{cases} \Delta u_{1}-u_{1}+u_{2} u_{1}=0, & x \in \mathbb{R}^{N}, \\ \Delta u_{2}-\alpha u_{2}+\frac{u_{1}^{2}}{2}=0, & x \in \mathbb{R}^{N}, \\ \lim \limits_{|x| \rightarrow \infty} u_{1}(x)=\lim\limits_{|x| \rightarrow \infty} u_{2}(x)=0 & \end{cases} \end{equation}$

的实值解.当$N=1$时, Yew在文献 [27]中通过变分方法得到了方程组(1.3)的非平凡基态解, 同时在文献 [27]中通过数值模拟最早观察到多脉冲解, 随后Yew在文献 [28]中通过奇异扰动理论证明了解析形式解的存在性.

本文考虑如下更一般的非线性薛定谔方程组

(1.4)$\begin{equation}\label{4444} \begin{cases} {\rm i} \frac{\partial \psi_{1}}{\partial t}=-\epsilon^{2} \Delta \psi_{1}+\tilde{V}_{1}(x) \psi_{1}-\mu_{1}\lvert\psi_{1}\rvert \psi_{2}, & (x, t) \in \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{+}, \\ {\rm i} \frac{\partial \psi_{2}}{\partial t}=-\epsilon^{2} \Delta \psi_{2}+\tilde{V}_{2}(x) \psi_{2}-\frac{\mu_{2}}{2}\lvert\psi_{1}\rvert^{2}-\gamma\lvert\psi_{2}\rvert^{2}, & (x, t) \in \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{+}, \end{cases} \end{equation}$

其中$\epsilon>0$是小参数, $i$是虚数单位, 常数$\mu_{1},\mu_{2}$和$\gamma$表示相似粒子和无关粒子的相互作用. 方程组(1.4)描述了强参数下I型二次谐波中粒子的相互作用过程, 这也是非线性光学领域的重要成果. 实际上, 非线性薛定谔方程组的驻波解与对应椭圆方程组的基态解密切相关, 令$\psi_{1}(x,t)=u(x){\rm e}^{{\rm i}\mu_{1}t}, \psi_{2}(x,t)=v(x) {\rm e}^{{\rm i} \mu_{2}t}$, 其中$\mu_{1}=\mu_{2}$且$V_1 (x)=P_{1}(x)-\mu_{1}$, $V_2 (x)=\tilde{V}_{2}(x)-\mu_{2}$, 则$\psi_{1}(x, t),\psi_{2}(x, t)$是方程组(1.4)的驻波解当且仅当函数$\big(u(x),v(x)\big)$满足椭圆方程组(1.1). Wang和Zhou在文献 [24] 中利用有限维约化方法研究了$\epsilon=1,\mu_{1}=\mu_{1}=\alpha$的情况, 证明了无穷远处多峰解的存在性.关于单个的非线性薛定谔方程解的存在性和解的性质的结果很多.当位势函数$V(x)\equiv 1$时, 文献 [8]给出单个非线性椭圆方程

在$1<p<2^{*}-1$时存在唯一非退化的正解. 利用非退化性结果, 诸多学者研究了下列奇异扰动的非线性椭圆问题

当$N=1,f(u)=u^{3} $时, Floer和Weinstein在文献 [7]中首次研究方程(1.5)的半经典解, 其中$V(x)$是有界的位势函数且有非退化的临界点, 他们利用Lyapunov-Schmidt约化方法证明了方程(1.5)存在单峰解, 且解集中于位势函数$ V(x)$的非退化临界点. 当$N=1, f(u)=u^{p}, 1<p<5$且$V(x)$ 是径向对称函数时, Benci和D'Aprile在文献 [3] 中通过极小化约束的变分方法, 证明了方程(1.5)径向集中解的存在性. 此外, Oh在文献 [17]中证明了高维情况下, 当方程(1.5)的非线性项$f(u)=u^{p}, p\in(1,2^{*}-1)$时存在集中在$V(x)$的非退化临界点的单峰解, 并在文献 [18]对薛定谔方程的多峰解展开了大量研究. 对于只存在非退化临界点的位势函数的次临界方程, Ambrosetti在文献 [1]中证明了方程(1.5)集中在位势函数临界点的存在性结果. 更进一步, Guo,Musso,Peng和Wang 在文献 [15]中利用有限维约化方法得到了$f(u)=K(\lvert y \rvert)u^{2^{*}-1}$ 时的峰值点分别取在不同维度无穷远圆周上的二分峰解. Berestycki 和Lions在文献 [4,21]中选取极小化序列, 利用约束极小方法, 得到径向对称的基态解$u(x)$, 并且解在无穷远处指数衰减.Grossi在文献 [10] 中应用有限维约化方法构造了(1.5)集中在位势函数非退化临界点的单峰解并证明了该单峰解是唯一的.

另一方面, 非线性耦合薛定谔方程组集中解的存在性和解的局部唯一性也引起了学者的研究, 数学家们利用变分方法, Lyapunov-Schmidt约化方法或分歧方法, 研究非线性薛定谔方程组的基态解、变号解、非平凡解的存在性和多样性. 正如文献 [16]中的讨论, Lin和Wei研究了非线性项为三次的耦合非线性薛定谔方程组, 他们发现当耦合常数大于零时集中点聚集, 而当耦合常数小于零时集中点分离, 因此耦合常数取值影响着解的构造, 具体内容参考文献 [2,11-14]等. 在排斥情况下向量解趋于分离, Peng和Wang在文献 [20]中利用有限维约化方法构造了三次耦合方程组的无界非径向分离正解.

假设位势函数是径向的, 且在无穷远处满足代数衰减时,在文献 [24]中Wang和Zhou首次利用有限维约化方法构造了(1.1)式的无穷多个非径向解,且解的能量趋于无穷大.当 (1.1) 式中 $V_{i}(x)=(1+\epsilon \tilde{V}_{1}(x))$ 时, 假设$\tilde{V}_{i}(x)(i=1,2)$在无穷远处消失且满足:存在$0<\tau<1$, 使得 $\lim \limits_{|x| \rightarrow \infty}\big(\gamma_{1}^{2} V_{1}(x)+\gamma_{2}^{2} V_{2}(x)\big) {\rm e}^{\tau|x|}=+\infty$.在文献 [25] 中, 她们证明了: 对固定充分大的 $\varrho$, 若 $\min \limits_{j \neq k}\lvert O^{j}-O^{k} \rvert \geq \varrho$, 则方程组(1.1)存在峰值点位于$O_{j}, j=1,2,\cdots,m$处的同步正$m$-波峰解.假设位势函数Lipschiz连续有严格正的下界时,在文献 [22]中Tang和Xie证明了对任意小的$\epsilon>0,$方程组(1.1)存在集中在零点的多峰解.假设位势函数含有退化非孤立临界点时,Yang和Zhou在文献 [26]中同样研究了方程组(1.1)集中在位势函数非退化非孤立临界点的单峰解的存在性和局部唯一性.受文献 [10]的启发,本文主要想研究 (1.1) 集中在由位势函数 $V_{i}(x)$构成的新函数的非退化临界点的单峰解的存在性和局部唯一性.

本文的主要结果如下

定理1.1 假设$\xi_0\in \mathbb{R}^N$是

的非退化的临界点,其中$\gamma_i=\int_{\mathbb{R}^N}U_i^2$, $i=1,2$, $(U_1,U_2)$ 满足(2.2) 式. 则存在 $\epsilon_0>0$ 使得对任意的 $\epsilon\in (0,\epsilon_0)$, 当$\epsilon\to 0$时,方程组 (1.1) 存在集中在一个 $\xi_0$ 的单峰解.

下面我们给出单峰解的唯一性结果.

定理1.2 假设$\xi_0$是$V(x)$的一个非退化的临界点.则存在(1.1)式唯一的一个集中在$\xi_0$处的单峰解.

行文结构 第2节我们将给出一阶逼近解并陈述定理1.1的主要证明思路.第3节在逼近解附近研究线性化问题的线性理论并将问题转化为一个有限维的约化问题. 在4节中,我们将证明定理1.1.最后,在5节, 我们证明定理1.2.

给定$\xi\in\mathbb R^N,$我们将(1.1)式改写成

(2.1)$\begin{align*}\label{sps1} \begin{cases} -\Delta u_1+ V_1(\epsilon x+\xi)u_1=\alpha u_1 u_{2}, \ x\in \mathbb{R}^N,\\ -\Delta u_2+V_2(\epsilon x+\xi)u_2=\frac{\alpha}{2}u_1^2+\beta u_2^2, \ x\in \mathbb{R}^N.\\ \end{cases} \end{align*}$

我们假设$(U_1,U_2)$是下述方程组的非退化的解

(2.2)$\begin{align*}\label{limsps} \begin{cases} -\Delta U_1+\lambda_1 U_1=\alpha U_1U_2, \ x\in \mathbb{R}^N,\\ -\Delta U_2+\lambda_2 U_2=\frac{\alpha}{2}U_1^2+\beta U_2^2, \ x\in\mathbb{R}^N,\\ \end{cases} \end{align*}$

其中$\lambda_1=V_1(\xi)$和$\lambda_2=V_2(\xi), $即(2.2)式的所有的解是

的线性组合.我们想要指出$(U_1,U_2)$是依赖于$\xi$的.

定义空间

(2.3)$\begin{align*}\label{K} K:=\left\{\left({\partial U_1\over \partial x_i},{\partial U_2\over \partial x_i}\right),\ i=1,\cdots,N \right\} \end{align*}$

和

(2.4)$\begin{align*}\label{Kperp} K^\perp=\left\{(\phi_1,\phi_2)\in H^1(\mathbb R^N)\times H^1(\mathbb R^N)\! :\! \left\langle(\phi_1,\phi_2),\left({\partial U_1\over \partial x_i},{\partial U_2\over \partial x_i}\right) \right\rangle=0,\ i=1,\cdots,N \right\}. \end{align*}$

我们假设$(u_1,u_2)\in H$, 其中 $ H:=H^1(\mathbb R^N)\times H^1(\mathbb R^N) $ 赋予范数 $ \|(\phi_1,\phi_2)\|^2=\|\phi_1\|^2 _1+\|\phi_2\|^2_2 $ 和内积 $ \left\langle (\phi_1,\phi_2),(\psi_1,\psi_2)\right\rangle= \langle \phi_1, \psi_1 \rangle_1+ \langle \phi_2, \psi_2 \rangle_2. $ 这里 $ \langle \phi_i, \psi_i\rangle_i:=\int\limits_{\mathbb R^n}\big(\nabla \phi_i\nabla \psi_i+\lambda_i\phi_i\psi_i\big),\ i=1,2. $ 我们记 $ \|(u_1,u_2)\|^{2}_{L^2(\mathbb R^N)}:=\|u_1\|^{2}_{L^2(\mathbb R^N)}+\|u_2\|^{2}_{L^2(\mathbb R^N)}. $

我们将方程组(2.1)改写成

这里$\mathcal I_i^*:=(-\Delta+\lambda_i \mathtt I)^{-1}:L^{\frac{3}{2}}(\mathbb R^N)\to H^1(\mathbb R^N)$ 定义为

我们注意到

(2.5)$\begin{align*}\label{norm-f} \|u\|_i\lesssim C\|f\|_{L^{\frac{3}{2}}(\mathbb R^N)},\ i=1,2. \end{align*}$

我们将寻找(2.1)式下述形式的解 $ (u_1,u_2)=(U_1,U_2)+(\phi_1,\phi_2) $ 和

因此(2.1)式等价于

(2.6)$\begin{align*}\label{sps1to2} \mathcal L (\phi_1,\phi_2)+\mathcal E+\mathcal Q(\phi_1,\phi_2)=0. \end{align*}$

这里线性算子

定义为

(2.7)$\begin{align*}\label{L1} L_1 (\phi_1,\phi_2)=\phi_1+\mathcal I_1^*\left[(V_1(\epsilon x+\xi)-V_1(\xi))\phi_1 -\alpha \phi_1 U_2 -\alpha U_{1}\phi_2 \right] \end{align*}$

和

(2.8)$\begin{align*}\label{L2} L_2 (\phi_1,\phi_2)= \phi_2+\mathcal I_2^*\left[(V_2(\epsilon x+\xi)-V_2(\xi))\phi_2 -\alpha U_1\phi_1 -2\beta U_{2}\phi_2 \right]. \end{align*}$

非线性项

定义为

(2.9)$\begin{align*}\label{Q1} Q_1(\phi_1,\phi_2)=-\mathcal I_1^*\left[\alpha \phi_1\phi_2\right], \end{align*}$

(2.10)$\begin{align*}\label{Q2} Q_2(\phi_1,\phi_2)=-\mathcal I_2^*\left[\frac{\alpha}{2}\phi_1^2+\beta \phi_2^2\right]. \end{align*}$

误差项

定义为

(2.11)$\begin{align*}\label{E} E_1=\mathcal I_1^*\left\{ \left[V_1(\epsilon x+\xi)-V_1(\xi)\right]U_1\right\}\ \hbox{和}\ E_2=\mathcal I_1^*\left\{\left[V_2(\epsilon x+\xi)-V_2(\xi)\right]U_2\right\}. \end{align*}$

于是(2.6)式等价于下述方程

(2.12)$\begin{align*}\label{sps2to31} \Pi^\perp\{\mathcal L (\phi_1,\phi_2)+\mathcal E+\mathcal Q(\phi_1,\phi_2)\}=0 \end{align*}$

和

(2.13)$\begin{align*}\label{sps2to32} \Pi\{\mathcal L (\phi_1,\phi_2)+\mathcal E+\mathcal Q(\phi_1,\phi_2)\}=0, \end{align*}$

其中$\Pi: H\to K$和$\Pi^\perp: H \to K^\perp$是正交投影.

我们首先解问题(2.12). 为了实现这个目的,首先我们研究下述算子的可逆性

和

则有下面的结果.

引理 3.1 存在充分小$\epsilon_0>0$和$C>0$, 使得如果$\epsilon\in (0,\epsilon_0)$, 则

(3.1)$\begin{align*}\label{lphiineq} \|\mathbf{L}(\phi_1,\phi_2)\|\geq C\|(\phi_1,\phi_2)\|,\ \forall (\phi_1,\phi_2)\in K^\bot. \end{align*}$

证 我们采用反证法. 假设存在序列$\epsilon_{n}\to 0$和$\phi_n:=(\phi_{1,n},\phi_{2,n})$, $\psi_n:=(\psi_{1,n},\psi_{2,n})\in K^\bot$ 使得

(3.2)$\begin{align*}\label{linver1} \|(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\|=1,\text{和 } \|\mathbf{L}(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\|=\|\psi_n\|\to 0\ \text{当 }n\to \infty. \end{align*}$

由$\mathbf{L}(\phi_{1,n},\phi_{2,n})$的定义,存在$\omega_{n}\in K$使得

(3.3)$\begin{align*}\label{Linveri} &\phi_{n}+\big(\mathcal I_1^*\left[(V_1(\epsilon x+\xi)-V_1(\xi))\phi_{1,n} -\alpha \phi_{1,n}U_2 -\alpha U_{1}\phi_{2,n} \right], \nonumber\\ &\mathcal I_2^*\left[(V_2(\epsilon x+\xi)-V_2(\xi))\phi_{2,n} -\alpha U_1\phi_{1,n} -2\beta U_{2}\phi_{2,n}\right]\big) =\psi_{n}+\omega_{n}. \end{align*}$

第一步 我们将证明

(3.4)$\begin{align*}\label{omegan} \|\omega_{n}\|\to 0,\ \text{当 }n\to \infty. \end{align*}$

由于 $\omega_{n}\in K$, 则存在常数使得 $\omega_{n}=\sum_{i=1}^Nc_{i,n}\left({\partial U_{1}\over\partial x_i},{\partial U_{2}\over\partial x_i}\right)$. 我们将方程 (3.3) 乘以 $\left({\partial U_{1}\over\partial x_j},{\partial U_{2}\over\partial x_j}\right)$. 由 $\phi_n:=(\phi_{1,n},\phi_{2,n}), \psi_n:=(\psi_{1,n},\psi_{2,n})\in K^\bot$, 得到

(3.5)$\begin{align*}\label{omegaright} &\left\langle \omega_{n},\left({\partial U_{1}\over\partial x_j},{\partial U_{2}\over\partial x_j}\right)\right\rangle \nonumber\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}\big[(V_1(\epsilon x+\xi)-V_1(\xi))\phi_{1,n} -\alpha U_2\phi_{1,n} -\alpha \phi_{2,n} U_1 \big]{\partial U_{1}\over\partial x_j} \nonumber\\ &+\int_{\mathbb{R}^N}\big[(V_2(\epsilon x+\xi)-V_2(\xi))\phi_{2,n} -\alpha U_1\phi_{1,n}-2\beta U_2\phi_{2,n} \big]{\partial U_{2}\over\partial x_j} \nonumber\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}\big[(V_1(\epsilon x+\xi)-V_1(\xi))\phi_{1,n}-\alpha \phi_{2,n} U_1 \big]{\partial U_{1}\over\partial x_j} +\alpha\int_{\mathbb{R}^N}U_1\phi_{1,n}{\partial U_{2}\over\partial x_j} \nonumber\\ &+\int_{\mathbb{R}^N}\big[(V_2(\epsilon x+\xi)-V_2(\xi))\phi_{2,n} -\alpha U_1\phi_{1,n} \big]{\partial U_{2}\over\partial x_j} +\alpha\int_{\mathbb{R}^N}U_1\phi_{2,n}{\partial U_{1}\over\partial x_j} \nonumber\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}\big[(V_1(\epsilon x+\xi)-V_1(\xi))\phi_{1,n}{\partial U_{1}\over\partial x_j} +(V_2(\epsilon x+\xi)-V_2(\xi))\phi_{2,n}{\partial U_{2}\over\partial x_j} \big] =O(\epsilon). \end{align*}$

此外,

(3.6)$\begin{align*}\label{omegaleft} \left\langle \omega_{n},\left({\partial U_{1}\over\partial x_j},{\partial U_{2}\over\partial x_j}\right)\right\rangle =\sum_{i=1}^Nc_{i,n}\left\langle \left({\partial U_{1}\over\partial x_i},{\partial U_{2}\over\partial x_i}\right),\left({\partial U_{1}\over\partial x_j},{\partial U_{2}\over\partial x_j}\right)\right\rangle =c_{j,n}A_j, \end{align*}$

其中

(3.7)$\begin{align*}\label{A} A_j=&\left\langle \left({\partial U_1\over \partial x_j},{\partial U_2\over \partial x_j}\right),\left({\partial U_1\over \partial x_j},{\partial U_2\over \partial x_j}\right)\right\rangle \nonumber\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}\left[\nabla\frac{\partial U_{1}}{\partial x_j} \nabla\frac{\partial U_{1}}{\partial x_j} +V_1(\xi) \frac{\partial U_{1}}{\partial x_j}\frac{\partial U_{1}}{\partial x_j}\right] +\int_{\mathbb{R}^N}\left[\nabla\frac{\partial U_{2}}{\partial x_j} \nabla\frac{\partial U_{2}}{\partial x_j} +V_2(\xi) \frac{\partial U_{2}}{\partial x_j}\frac{\partial U_{2}}{\partial x_j} \right] \nonumber\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}\left(\alpha U_{2}\frac{\partial U_{1}}{\partial x_j} +\alpha U_{1} \frac{\partial U_{2}}{\partial x_j}\right){\partial U_1\over \partial x_j} +\int_{\mathbb{R}^N}\left(\alpha U_{1}\frac{\partial U_{1}}{\partial x_j} +2\beta \frac{\partial U_{2}}{\partial x_j}U_{2} \right){\partial U_2\over \partial x_j}. \end{align*}$

因此, 由(3.5)和(3.6) 式,推出 (3.4) 式成立.

第二步 由$\|(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\|=1$我们知道, 在子列的意义下, 有$(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\rightharpoonup (\tilde{\phi}_{1},\tilde{\phi}_{2})$弱收敛到$H^{1}(\mathbb{R}^N)\times H^{1}(\mathbb{R}^N)$. 接着, 证明 $(\tilde{\phi}_{1},\tilde{\phi}_{2})=(0,0)$. 事实上, 由$\|\psi_n\|\to 0,$当$n\to \infty$时和(3.4) 式, 对任意的$\eta:=(\eta_1,\eta_2)\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)\times C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$,有

因此,得到

(3.8)$\begin{align*}\label{eqnon} \begin{cases} -\Delta \tilde{\phi}_{1}+V_1(\xi) \tilde{\phi}_{1}=\alpha \tilde{\phi}_{1} U_2+\alpha U_1\tilde{\phi}_{2}\ \text{ 在} \mathbb{R}^N,\\ -\Delta \tilde{\phi}_{2}+V_2(\xi) \tilde{\phi}_{2}=\alpha U_1\tilde{\phi}_{1}+2\beta U_2\tilde{\phi}_{2} \ \text{ 在 } \mathbb{R}^N.\\ \end{cases} \end{align*}$

此外, 由$(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\in K^\perp$和弱收敛,有

(3.9)$\begin{align*}\label{orthcondi} 0=&\left\langle(\phi_{1,n},\phi_{2,n}), \Bigg(\frac{\partial U_{1}}{\partial x_i}, \frac{\partial U_{2}}{\partial x_i}\Bigg)\right\rangle \nonumber\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}\Bigg(\nabla \phi_{1,n}\nabla \frac{\partial U_{1}}{\partial x_i}+V_1(\xi)\phi_{1,n}\frac{\partial U_{1}}{\partial x_i}\Bigg) +\int_{\mathbb{R}^N}\Bigg(\nabla \phi_{2,n}\nabla \frac{\partial U_{2}}{\partial x_i}+V_2(\xi)\phi_{2,n}\frac{\partial U_{2}}{\partial x_i} \Bigg) \nonumber\\ =&\int_{\mathbb{R}^N}\Bigg(\alpha \frac{\partial U_{1}}{\partial x_i}U_{2} +\alpha U_{1}\frac{\partial U_{2}}{\partial x_i} \Bigg)\phi_{1,n} +\int_{\mathbb{R}^N}\Bigg(\alpha U_{1}\frac{\partial U_{1}}{\partial x_i} +2\beta U_{2}\frac{\partial U_{2}}{\partial x_i} \Bigg)\phi_{2,n} \nonumber\\ \to &\int_{\mathbb{R}^N}\Bigg(\alpha \frac{\partial U_{1}}{\partial x_i}U_{2} +\alpha U_{1}\frac{\partial U_{2}}{\partial x_i} \Bigg)\tilde{\phi}_{1} +\int_{\mathbb{R}^N}\Bigg(\alpha U_{1}\frac{\partial U_{1}}{\partial x_i} +2\beta U_{2}\frac{\partial U_{2}}{\partial x_i} \Bigg)\tilde{\phi}_{2}. \end{align*}$

因此, 我们有$(\tilde{\phi}_{1},\tilde{\phi}_{2})\in K^\perp$. 于是, 由(3.8)和(3.9) 式, 得到 $(\tilde{\phi}_{1},\tilde{\phi}_{2})=(0,0)$.

第三步 我们证明当$n\to \infty$时,$\|(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\|\to 0$. 将方程(3.3)乘以 $(\phi_{1,n},\phi_{2,n})$, 当 $n\to \infty$ 时,则有$\|\psi_n\|\to 0$ 和$\|\omega_n\|\to 0,$

$\begin{aligned}\left\|\left(\phi_{1, n}, \phi_{2, n}\right)\right\|^{2}= & \left\langle\left(\phi_{1, n}, \phi_{2, n}\right),\left(\phi_{1, n}, \phi_{2, n}\right)\right\rangle \\= & -\int_{\mathbb{R}^{N}}\left[\left(V_{1}(\epsilon x+\xi)-V_{1}(\xi)\right) \phi_{1, n}-\alpha \phi_{1, n} U_{2}-\alpha U_{1} \phi_{2, n}\right] \phi_{1, n} \\& -\int_{\mathbb{R}^{N}}\left[\left(V_{2}(\epsilon x+\xi)-V_{2}(\xi)\right) \phi_{2, n}-\alpha U_{1} \phi_{1, n}-2 \beta U_{2} \phi_{2, n}\right] \phi_{2, n} \\& +\left\langle\psi_{n}+\omega_{n},\left(\phi_{1, n}, \phi_{2, n}\right)\right\rangle \\= & -\int_{\mathbb{R}^{N}}\left[\left(V_{1}(\epsilon x+\xi)-V_{1}(\xi)\right) \phi_{1, n}-\alpha \phi_{1, n} U_{2}-\alpha U_{1} \phi_{2, n}\right] \phi_{1, n} \\& -\int_{\mathbb{R}^{N}}\left[\left(V_{2}(\epsilon x+\xi)-V_{2}(\xi)\right) \phi_{2, n}-\alpha U_{1} \phi_{1, n}-2 \beta U_{2} \phi_{2, n}\right] \phi_{2, n}+o(1),\end{aligned}$

其中

类似地, 有

因此, $ \|(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\|=o(1), $ 这与$\|(\phi_{1,n},\phi_{2,n})\|=1$矛盾. 于是完成了证明.

引理3.2 我们有$ \|E\| \lesssim \epsilon. $

证 注意到

由$E_1$的定义和(2.5) 式, 有

类似地,我们可以得到 $ \|E_2\| \lesssim \epsilon. $ 因此,有 $ \|E\| \lesssim \epsilon. $

引理3.3 若$2\leq N<6,$有

证 由$Q_1(\phi_1,\phi_2)$的定义, 有

(3.10)$\begin{align*}\label{q1est} \|Q_1(\phi_1,\phi_2)\| &=O\big(\|\alpha\phi_1\phi_2\|_{L^{\frac{3}{2}}(\mathbb R^N)}\big) = O\Big(\int_{\mathbb{R}^n}(\alpha\phi_1\phi_2)^{\frac{3}{2}}\Big)^{\frac{2}{3}} \nonumber\\&=O\Big(\big(\int_{\mathbb{R}^n}|\phi_1|^3\big)^{\frac{1}{3}} \big(\int_{\mathbb{R}^n}|\phi_2|^3\big)^{\frac{1}{3}}\Big) =O\big(\|\phi_1\|\|\phi_2\|\big). \end{align*}$

类似地,有

(3.11)$\begin{align*}\label{q2eat} \|Q_2(\phi_1,\phi_2)\| =O\big(\|\phi_1\|^2+\|\phi_2\|^2\big). \end{align*}$

由(3.10)和(3.11) 式, 我们完成了证明.

基于上述引理, 我们将在$(\phi_1,\phi_2)\in K^\perp$中应用压缩映射原理唯一地求解(2.12). 这个解$(\phi_1,\phi_2)$的存在性和估计陈述如下

命题3.1 存在$\epsilon_0>0$和$C>0$使得对任意的$\epsilon\in (0, \epsilon_0)$ 和任意的$\xi\in \mathbb{R}^N$,存在唯一的$(\phi_1,\phi_2)\in K^\perp$ 为 (2.12) 式的解且满足

(3.12)$\begin{align*}\label{phiest} \|(\phi_1,\phi_2)\|\leq C\epsilon. \end{align*}$

证 由引理3.1, 求解(2.12)等价于求解下述问题

定义

第一步 $T$将$S$映射到$S$. 事实上, 对任意的 $(\phi_1,\phi_2)\in S$, 由引理3.1, 3.2和3.3, 有

(3.13)$\begin{align*}\label{phiest1} \|T((\phi_1,\phi_2))\| \leq C(\|\mathcal E\|+\|\mathcal Q(\phi_1,\phi_2)\|)\leq C\epsilon. \end{align*}$

第二步 $T$是一个压缩映射. 事实上, 对任意的$(\phi_1^1,\phi_2^1)$, $(\phi_1^2,\phi_2^2)\in S$, 有

我们将估计$\|\mathcal Q(\phi_1^1,\phi_2^1)-\mathcal Q(\phi_1^2,\phi_2^2) \|$. 则

其中$\theta_1\in (0,1)$. 同样地, 存在$\theta_2\in (0,1)$使得

因此, 存在$\theta\in (0,1)$使得

由压缩映射原理, 我们推出对任意的$\epsilon\in (0,\epsilon_0)$, 存在唯一的$(\phi_1,\phi_2)\in K^\perp$使得

最后, 由(3.13) 式,我们推出(3.12)式成立.

现在我们需要求解(2.13) 式, 我们的主要目标是寻找点$\xi_0 \in \mathbb{R}^N$使得问题(2.13)满足. 主要结果如下

命题4.1 存在$\epsilon_0>0$使得对任意的$\epsilon\in (0, \epsilon_0)$存在$\xi_0\in \mathbb{R}^N$使得问题(2.13)成立.

证 由(2.12)式我们知道存在实数$c_i$使得

(4.1)$\begin{align*}\label{xi1} \mathcal L (\phi_1,\phi_2)+\mathcal E+\mathcal Q(\phi_1,\phi_2)=\sum_{i=1}^Nc_i\left({\partial U_1\over \partial x_i},{\partial U_2\over \partial x_i}\right). \end{align*}$

将(4.1)式乘以$\left({\partial U_1\over \partial x_j},{\partial U_2\over \partial x_j}\right)$. 另一方面,

(4.2)$\begin{align*}\label{xileft} &\left\langle \mathcal L (\phi_1,\phi_2)+\mathcal E+\mathcal Q(\phi_1,\phi_2),\left({\partial U_1\over \partial x_j},{\partial U_2\over \partial x_j}\right)\right\rangle \nonumber\\ =&\sum_{i=1}^Nc_i\left\langle \left({\partial U_1\over \partial x_i},{\partial U_2\over \partial x_i}\right),\left({\partial U_1\over \partial x_j},{\partial U_2\over \partial x_j}\right)\right\rangle =c_jA_j, \end{align*}$

其中$A_j$与(3.7)式相同. 另一方面, 有

这里由$(\phi_1,\phi_2)\in K^\perp$和下述事实

有

应用$U_i(i=1,2)$是偶的, 有

由Hölder不等式, 我们推出

因此, 有

对于正数$A_j$. 这个等式表明存在$\xi_0\in B(\xi,\rho)$使得

即

因此, 我们推出 $ c_1=\cdots=c_N=0. $

定理1.1的证明 由命题3.1和4.1,定理1.1成立.

在本节中,这节我们主要证明定理1.2

类似于文献 [10,命题2.7,命题6.1] 的证明, 可以证明下述结果.

命题5.1 假设$\epsilon_n$为趋于0的子列和$(u_1,u_2)$为(1.1)的单峰解. 令$\xi$为$(u_1,u_2)$的峰并假设(5.7)式成立. 则

和$i=1,2$,

定义5.1 令$G\in C(\mathbb{R}^{N},\mathbb{R}^{N})$为向量域.若$G$满足

(i)$G(u)=0$;

(ii)$y$是孤立的;

(iii)若$G_{n}$ 是一列向量域,存在某个$\rho>0$,$\|G_{n}-G\|_{C(B_{y,\rho})}\rightarrow 0$,则存在 $y_{n}$ 使得 $G_{n}(y_{n})=$ $0$ 和 $y_{n}\rightarrow y.$

则称 $y$ 为是$G$的稳定临界点.

定义

(5.1)$\begin{align*}\label{stablel} \mathbb{L}_{\xi_0}(y)= \Big(\int_{\mathbb{R}^N}h_i^1(y+x+\xi_0)U_1^2{\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^N}h_i^2(y+x+\xi_0)U_2^2{\rm d}x \Big)_{i=1,\cdots,N}, \end{align*}$

其中$(U_1, U_2)$为(2.2)式的解, $h_i^1(x):=\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_1}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)(x_k-\xi_{0k}),$ $ h_i^2(x):=\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_2}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)$ $(x_k-\xi_{0k}).$ 记

(5.2)$\begin{align*}\label{stablez} Z=\{y\in \mathbb{R}^N \text{使得} y \text{是} \mathbb{L}\text{的稳定零点}\}. \end{align*}$

于是有下述结果.

命题5.2

假设$\sharp Z<\infty$. 则存在$\epsilon_0>0$使得对任意的$0<\epsilon<\epsilon_0$, 我们有

证 从定理1.1的证明, 推出对任意的稳定零点$\xi_0\in Z$, 存在 (2.1) 式的解$(u_1^\epsilon,u_2^\epsilon)$满足

类似于文献 [24,定理1.3]的证明,我们可以证明 $u_1^\epsilon>0$ 和 $u_2^\epsilon>0.$

下面我们证明两个不同的稳定零点$y_1$和$y_2$生成两个不同的解.令 $(u_1^\epsilon, u_2^\epsilon)$ 和 $(\tilde{u}_1^\epsilon, \tilde{u}_2^\epsilon)$ 为 (2.1) 式由 $y_1$ 和 $y_2$ 生成的解,满足 $y_{1,\epsilon}\to y_1$, $y_{2,\epsilon}\to y_2$ 且$y_1\neq y_2$. 则

和

假设

和

因此, $(u_1(x),u_2(x))$和$(\tilde{u}_1(x),\tilde{u}_2(x))$是(1.1)式的解. 此外,

这表明$(u_1^\epsilon, u_2^\epsilon)\neq (\tilde{u}_1^\epsilon, \tilde{u}_2^\epsilon)$.

引理5.1 假设$\xi_0$为$V\in C^3(B_r(\xi_0))$的非退化的临界点. 则$Z =\{0\}$.

证 由$Z$的定义和$U_i(i=1,2)$是偶函数, 我们有

(5.3)$\begin{align*}\label{T1} 0=&\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_1}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)\int_{\mathbb{R}^N}(x_i+y_i)U_1^2(x){\rm d}x +\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_2}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)\int_{\mathbb{R}^N}(x_i+y_i)U_2^2(x){\rm d}x \nonumber\\ =&\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_1}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)\int_{\mathbb{R}^N}y_iU_1^2(x){\rm d}x +\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_2}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)\int_{\mathbb{R}^N}y_iU_2^2(x){\rm d}x \nonumber\\ =&y_i\Bigg(\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_1}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)\int_{\mathbb{R}^N}U_1^2(x){\rm d}x +\sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 V_2}{\partial x_i \partial x_k}(\xi_0)\int_{\mathbb{R}^N}U_2^2(x){\rm d}x \Bigg). \end{align*}$

鉴于矩阵

是可逆的, 我们推出$y_i=0,i=1,\cdots,N$和$Jac\mathbb{L}_{\xi_0}(0)\neq 0$. 则$y$是$\mathbb{L}_{\xi_0}$的稳定零点.

接下来, 我们估计$\left|\frac{\xi-\xi_0}{\epsilon}\right|$, 其中$\xi$ 是(1.1)式的解$(u_1, u_2)$集中的位置.

命题5.3 假设$(u_1,u_2)$是方程组(1.1)的解. 则存在一个正常数$C$使得

(5.4)$\begin{align*}\label{pointest} \left|\frac{\xi-\xi_0}{\epsilon}\right|\leq C. \end{align*}$

证 采用反证法. 假设存在子列$\epsilon_n\to 0$使得

(5.5)$\begin{align*}\label{pointest1} \left|\frac{\xi-\xi_0}{\epsilon_n}\right|\to \infty. \end{align*}$

首先, 我们将证明

定义$u_i(\epsilon_n x+\xi):=\tilde{u}_i(x)(i=1,2).$则$(\tilde{u}_1,\tilde{u}_2)$满足

类似于文献 [23, p241]中的第3步,有

因此,

其中$\nu$是$B_{R}(0)$的外法向.

由于

有

则

这表明对每一个固定的$n$存在子列$R_m$使得当$m\to \infty$时, $I_{R_m}\to 0.$ 在(5.6) 式中, 令 $m\to \infty$ 并应用控制收敛定理, 有

因此, 对于$j=1,\cdots,N$,

和定理1.1, $u_i(\epsilon_n x+\xi)\to U_i$在 $L^2(\mathbb{R}^N)$中, $i=1,2,$有

这里用到$\left|\frac{\xi-\xi_0}{\varepsilon_n}\right|\to \infty$和$\frac{\xi-\xi_0}{|\xi-\xi_0|}\to \zeta$ 且$|\zeta|=1$, 有

由命题5.1知,$(u_{1},u_{2})$在无穷远处呈指数衰减, 有

因此,有

同样地, 有

因此, 有

即

与命题5.1矛盾,由于$|\zeta|=1$. 我们完成了证明.

基于上述结果, 得到关于$\left|\frac{\xi-\xi_0}{\epsilon}\right|$ 更好的估计.

命题5.4 假设$\epsilon_n$为收敛到0的子列和$(u_1,u_2)$是方程组(1.1) 的解. 则

(5.7)$\begin{align*}\label{pointy} \frac{\xi-\xi_0}{\epsilon_n}\to y, \end{align*}$

其中$y$满足$\mathbb{L}_{\xi_0}(y)=0$.

证 关于命题5.3, 我们假设存在$y$使得 $\frac{\xi-\xi_0}{\epsilon}\to y$. 类似于命题5.3的证明, 有

和

因此,

类似地,

因此,

在上述等式中令$n\to \infty,$ 完成了证明.

命题5.5 假设$\sharp Z<\infty$. 如果对任意的$y\in Z$, 若

(5.8)$\begin{align*}\label{jac} det Jac\mathbb{L}_{\xi_0}(y)\neq 0, \end{align*}$

则存在$\epsilon_0>0$使得对任意的$0<\epsilon<\epsilon_0$有

证 由命题5.2, 有

反证法, 假设

由$\sharp Z<\infty$和命题5.4存在$y\in Z$, $\epsilon_n\to 0$ 和(1.1)的两组不同的正解$(u_1,u_2)$和 $(\tilde{u}_1,\tilde{u}_2)$使得

其中$\xi$和$\tilde{\xi}$是$(u_1,u_2)$和 $(\tilde{u}_1,\tilde{u}_2)$的峰.

令 $(Q_1(x),Q_2(x)):=(u_1(\epsilon_n x+\xi_0),u_2(\epsilon_n x+\xi_0))$ 和 $(\tilde{Q}_1(x),\tilde{Q}_2(x)):=(\tilde{u}_1(\epsilon_n x+\xi_0),\tilde{u}_2(\epsilon_n x+\xi_0))$. 则由命题 5.1, 我们推出$(Q_1(x),Q_2(x)), (\tilde{Q}_1(x),\tilde{Q}_2(x))$在 $\mathbb{R}^N$ 中一致收敛于 $(U_1(|x-y|),U_2(|x-y|)).$

下面, 令

则$|\omega_i|\leq C$和$(\omega_1,\omega_2)$满足

(5.9)$\begin{align*}\label{limitomega12} \begin{cases} -\Delta \omega_1+V_1(\epsilon_n x+\xi_0)\omega_1=\alpha \tilde{Q}_2(x)\omega_1+\alpha Q_1\omega_2,\ x\in\mathbb{R}^N,\\ -\Delta \omega_2+V_2(\epsilon_n x+\xi_0)\omega_2=\frac{\alpha}{2} (Q_1+\tilde{Q}_1)\omega_1+\beta(Q_2+\tilde{Q}_2)\omega_2,\ x\in\mathbb{R}^N, \end{cases} \end{align*}$

在 (5.9)式中, 令$n\to \infty$, 我们有$(\omega_1,\omega_2)\to (\bar{\omega}_1,\bar{\omega}_2)$于$C^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$和 $(\bar{\omega}_1,\bar{\omega}_2)$满足

(5.10)$\begin{align*}\label{limitomega123} \begin{cases} -\Delta \bar{\omega}_1+V_1(\xi_0)\bar{\omega}_1 =\alpha U_2(|x-y|)\bar{\omega}_1+\alpha U_1(|x-y|)\bar{\omega}_2, \ x\in\mathbb{R}^N,\\ -\Delta \bar{\omega}_2+V_2(\xi_0)\bar{\omega}_2, =\alpha U_1(|x-y|)\bar{\omega}_1+2\beta U_2(|x-y|)\bar{\omega}_2, \ x\in\mathbb{R}^N. \end{cases} \end{align*}$

因此, 存在$a_i$, $i=1,\cdots,N$, 使得

第一步 断言:$a_i=0$, $i=1,\cdots,N$. 由于

有

(5.11)$\begin{align*}\label{limitomega12s1} \int_{\mathbb{R}^N}\frac{\partial V_1(\epsilon_n x+\xi_0)}{\partial x_j}\omega_1(x)(Q_1+\tilde{Q}_1)(x){\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\partial V_2(\epsilon_n x+\xi_0)}{\partial x_j}\omega_2(x)(Q_2+\tilde{Q}_2)(x){\rm d}x =0. \end{align*}$

在(5.11)式中令$n\to \infty,$ 得到

(5.12)$\begin{align*}\label{linearsys} &\int_{\mathbb{R}^N}h_j^1(x+\xi_0)\Big(\sum_{i=1}^Na_i\frac{\partial U_1(|x-y|)}{\partial x_i}\Big)U_1(|x-y|){\rm d}x \nonumber\\ &+\int_{\mathbb{R}^N}h_j^2(x+\xi_0)\Big(\sum_{i=1}^Na_i\frac{\partial U_2(|x-y|)}{\partial x_i}\Big)U_2(|x-y|){\rm d}x \nonumber\\ =&\sum_{i=1}^Na_i\Big(\int_{\mathbb{R}^N}h_j^1(x+\xi_0)\frac{\partial U_1(|x-y|)}{\partial x_i}U_1(|x-y|){\rm d}x \nonumber\\ &+\int_{\mathbb{R}^N}h_j^2(x+\xi_0)\frac{\partial U_2(|x-y|)}{\partial x_i}U_2(|x-y|){\rm d}x \Big) =0. \end{align*}$

由(5.8)式和

我们推出线性问题(5.12)只有平凡解$a_i=0$, $i=1,\cdots,N.$ 则 $(\bar{\omega}_1,\bar{\omega}_2)\equiv(0,0).$

第二步 我们证明$(\bar{\omega}_1,\bar{\omega}_2)\equiv(0,0)$不成立. 由$\omega_i$的定义, 存在常数$M$使得$\|\omega_i \|_{\infty}\leq M$, $i=1,2$. 令$x_n$使得$\omega_1(x_n)=\|\omega_1\|_{\infty}=1$和 $\omega_2(x_n)=\|\omega_2\|_{\infty}=1$(若$\omega_1(x_n)=-1$ 和$\omega_1(x_n)=-1$,类似地我们可以证明). 由$(\omega_1,\omega_2)\to (0,0)$ 于$C^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ 我们有$|x_n|\leq C$不成立. 关于$|x_n|\to \infty$, 我们有$\Delta \omega_1(x_n)\leq 0$和$\Delta \omega_2(x_n)\leq 0$. 于是应用(5.9)式和命题5.1, 我们有$0<V_{i,0}=\min_{x\in \mathbb{R}^{N}}V_{i}(x)\leq V_i(\epsilon_n x_n+\xi_0)\leq o(1)\to 0$, 得到矛盾.

基于以上结果, 可以证明定理1.2.

定理1.2的证明 由命题5.5和引理5.1 我们知道(1.1)式只有唯一的一个集中在点 $\xi_0$ 的单峰解.

致谢: 本文作者感谢华中师范大学李工宝教授的鼓励与帮助.