在过去的几十年里, 如下的含时拟线性 Schrödinger 方程得到了人们的广泛关注

(1.1)$\begin{equation}\label{1.1} {\rm i}\partial_t\varphi+\Delta \varphi+\varphi\Delta(|\varphi|^2)+f(\varphi)=0, (t,x)\in \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^N, \end{equation}$

其中 i 表示虚数单位且 $ \varphi:\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C} $, $ N\geq1 $. 拟线性 Schrödinger 方程与量子力学、等离子体物理学和流体力学等物理领域的现象息息相关, 方程 (1.1) 更多物理背景知识的介绍参见文献 [9,10,23].

从数学和物理的角度看, 人们常常感兴趣的是方程 (1.1) 驻波解的存在性, 即形如 $ \varphi(t,x)={\rm e}^{-{\rm i}\lambda t}u(x) $ 的解, 其中 $ \lambda\in\mathbb{R} $ 是一个参数, $ u:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R} $ 是一个未知函数. 为此, 我们假设 $ f({\rm e}^{-{\rm i}\theta}z)$ $={\rm e}^{-{\rm i}\theta}f(z) $, $ \theta\in\mathbb{R},z\in \mathbb{R} $. 方程 (1.1) 的驻波解 $ \varphi(t,x)={\rm e}^{-{\rm i}\lambda t}u(x) $ 对应于 $ u $ 是下述稳态拟线性 Schrödinger 方程的解

(1.2)$\begin{equation}\label{1.2} -\Delta u-\lambda u-u\Delta(|u|^2)=f(u), x\in\mathbb{R}^N,\lambda\in\mathbb{R}. \end{equation}$

我们首先考虑 $ \lambda $ 是一个事先给定的参数的情形. 利用临界点理论, 方程 (1.2) 的弱解对应于下述能量泛函

的临界点, 其中 $ F(u)=\int_0^uf(s){\rm d}s $,

$ u\in H $ 的范数定义为 $ \|u\|=[\int_{\mathbb{R}^N}(|\nabla u|^2+|u|^2)]^{\frac12} $, 它是由 $ H $ 上的相应内积诱导得到的范数. 我们称 $ u $ 是方程 (1.2) 的一个弱解, 若 $ u\in H $ 且

不同于半线性方程, 当 $ N\geq2 $ 时, 泛函 $ \Phi(u) $ 中的拟线性项 $ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2 $ 在 $ H $ 中不可微, 这会带来一些数学处理上的困难, 也使得人们对方程 (1.2) 的研究变得有意义. 为了克服拟线性项带来的困难, 在过去的很长一段时间里, 许多学者对拟线性 Schrödinger 方程做了大量的研究并得到了一些很好的方法, 如约束极小化方法、变量替换法、Nehari 流形方法和扰动法等. 利用这些方法, 人们得到了许多关于方程 (1.2) 解的存在性与多解性的结果, 具体可参看文献 [1,3,6,7,17-22,24] 及其相关文献. 这种情形下得到的解的 $ L^2 $-范数无法进行先验估计.

许多物理学者非常关注方程的规范化解的存在性问题, 所谓的规范化解是指方程满足事先给定的 $ L^2 $-范数的解. 我们感兴趣的是方程 (1.2) 是否存在规范化解. 对任意的 $ c>0 $, 方程 (1.2) 的规范化解对应于下述泛函

(1.3)$\begin{equation}\label{1.3} I(u)= \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2 - \int_{\mathbb{R}^N}F(u) \end{equation}$

限制在 $ H $ 中的 $ L^2 $-球面

上的临界点, 其中 $ |u|_2:=(\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2)^{\frac12}. $ 此时, 方程中的 $ \lambda $ 不再是固定的参数而是作为一个与 $ c $ 相关的未知拉格朗日乘子出现. 我们称 $ (u_c,\lambda_c)\in S_c\times\mathbb{R} $ 是方程 (1.2) 的解, 若$ u_c $ 是泛函 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的临界点且 $ \lambda_c $ 是对应的拉格朗日乘子. 为了得到规范化解, 我们引入下述约束极小化问题

(1.4)$\begin{equation}\label{1.4} i_{c}:=\inf\limits_{u\in S_c}I(u). \end{equation}$

由拉格朗日乘子定理, $ i_{c} $ 的极小达到函数是泛函 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的临界点. 我们通常称 $ i_{c} $ 的极小达到函数为全局极小达到函数.

据我们所知, 目前人们研究极小化问题 (1.4) 主要考虑了齐次非线性项的情形, 即 $ f(u)=|u|^{p-2}u $ (参看文献 [4,5,11-13,15,25,28] 等).

在文献 [4] 中, Colin, Jeanjean 和 Squassina 证明 $ p=4+\frac{4}{N} $ 是问题 (1.4) 的 $ L^2 $-临界指标, 即对所有的 $ c>0 $, 当 $ p\in(2,4+\frac{4}{N}) $ 时, $ I(u) $ 在 $ S_c $ 中下有界且是强制的; 当 $ p\in(4+\frac{4}{N},2\cdot2^*) $ 时, $ I(u) $ 在 $ S_c $ 中没有下界, 即 $ i_{c}=-\infty $, 其中 $ 2^*=\frac{2N}{N-2} $, $ N\geq3 $; $ 2^*=+\infty $, $ N=1,2 $. 当 $ p=4+\frac{4}{N} $ 时, $ I(u) $ 在 $ S_c $ 中是否有下界取决于 $ c $ 的范围. 文献 [28] 证明了存在 $ c_N\in(0,+\infty) $ 使得对所有的 $ c\in(0,c_N] $ 有 $ i_{c}=0 $; 对所有的 $ c>c_N $ 有 $ i_{c}=-\infty $ (也可参看文献 [5,11]).

当 $ f(u)=|u|^{p-2}u, p\in(2,4+\frac{4}{N}) $ 时, 此时称非线性项满足 $ L^2 $-次临界增长, 由 $ L^2 $-保范伸缩形变方法, Colin, Jeanjean 等在文献 [4,25] 证明了对所有的 $ c>0 $ 都有 $ i_c\leq0 $. 文献 [4,11,28] 证明了当 $ p\in(2,2+\frac4N) $ 时, 对所有的 $ c>0 $ 都有 $ i_c<0 $, 当 $ p\in[2+\frac4N,4+\frac4N) $ 时, 则存在一个正常数 $ c(p,N)\in(0,+\infty) $ 使得对所有 $ c\in(0,c(p,N)] $ 有 $ i_c=0 $; 对所有的 $ c>c(p,N) $ 有 $ i_c<0 $. 并且当且仅当

时 $ i_c $ 存在极小达到函数.

当 $ 2+\frac4N<p<4+\frac4N $ 时, Jeanjean 和 Luo 在文献 [11] 证明了存在某个常数 $ \hat{c}>0 $ 使得对所有的 $ c\in (0,\hat{c}) $, $ I(u) $ 都不存在限制在 $ S_c $ 上的临界点, 即方程 (1.2) 不存在规范化解; Jeanjean, Luo 和 Wang 在文献 [12] 证明存在某个常数 $ \breve{c}<c(p,N) $ 使得对任意的 $ c\in (\breve{c},c(p,N)) $, $ I(u) $ 存在限制在 $ S_c $ 上的局部极小达到函数, 即限制在 $ S_c $ 的某个子流形上的极小达到函数. 并且, 当 $ 2+\frac4N<p<2^* $ 且$ N\geq5 $ 时, 他们证明了对任意的 $ c>\check{c} $, $ I(u) $ 存在限制在 $ S_c $ 上的第二个临界点, 它是 $ S_c $ 上的具有山路几何结构的临界点.

文献 [12,15] 研究了当 $ f(u)=|u|^{p-2}u, p\in(4+\frac{4}{N},22^*) $ 时, $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的临界点的存在性, 此时称非线性项满足 $ L^2 $-超临界增长.

据我们所知, 目前似乎很少关于具有一般非线性项的约束极小化问题 (1.4) 的研究, 这是由于在规范化解存在性问题研究中, 伸缩形变方法对于一般非线性项有局限造成的. 在本文中, 我们考虑了这类问题, 我们考虑的是一般非线性项满足 $ L^2 $-次临界增长的情形. 我们假设 $ f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) $ 满足以下条件

$ (f_1) $ $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{f(t)}{t}=0 $;

$ (f_2) $ $ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{f(t)}{|t|^{3+\frac4N}}=0; $

$ (f_3) $ 存在某个 $ t_0>0 $ 使得 $ F(t_0)>0, $ 其中 $ F(t)=\int_0^{t}f(s){\rm d}s $, $ t\in\mathbb{R} $.

本文的第一个结果是关于泛函 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的全局极小达到函数的存在性与不存在性.

定理1.1 假设 $ (f_1)$-$(f_3) $ 成立. 则存在常数 $ c_*\geq0 $ 使得

并且

(1) 对任意的 $ c>c_* $, $ i_c $ 都存在极小达到函数;

(2) 若 $ c_*>0 $, 则对任意的 $ 0<c<c_* $, $ i_{c} $ 不存在极小达到函数.

条件 $(f_1)$-$(f_3)$ 对于具有 $ L^2 $-次临界增长一般非线性项的拟线性 Schrödinger 方程 (1.2) 来说是最基本最简单的假设.

接下来很有意思的问题是 $ c_*>0 $ 是否成立, 并且当 $ c_*>0 $ 时, $ i_{c_*} $ 是否存在极小达到函数. 经过研究发现, 这两个问题的解答依赖于当 $ t\rightarrow0 $ 时, 函数 $ \frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}} $ 的极限情况. 本文的第二个结果如下

定理1.2 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 成立.

(1) 若 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=+\infty $, 则 $ c_*=0 $;

(2) 若 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}<+\infty $, 则 $ c_*>0 $;

(3) 若 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 且 $ f $ 是奇函数, 则 $ i_{c_*} $ 存在极小达到函数.

注 1.1 若 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=l>0 $, 则我们可以证明

其中在平移不变性的意义下, $ Q $ 是下述 Schrödinger 方程

(1.5)$\begin{equation}\label{1.5} -\Delta Q+\frac 2NQ=|Q|^{\frac4N}Q, x\in\mathbb{R}^N \end{equation}$

的唯一基态解.

然而, 我们无法推断出 $ i_{c_*} $ 是否存在极小达到函数. 事实上, 当 $ f(t)=l(2+\frac4N)|t|^{\frac4N}t $ 时, 文献 [28,定理 1.5] 已经证明 $ c_*=\Big(\frac{1}{l(2+\frac 4N)}\Big)^{\frac N4}|Q|_2 $ 且 $ i_{c_*} $ 不存在极小达到函数. 但当 $ f(t)=l(2+\frac4N)$ $|t|^{\frac4N}t+|t|^{q-2}t $ 时, 其中 $ 2+\frac4N<q<4+\frac4N $, 则 $ c_*<\Big(\frac{1}{l(2+\frac 4N)}\Big)^{\frac N4} |Q|_2 $ 且 $ i_{c_*} $ 存在极小达到函数 (具体证明细节见注3.1).

当 $ 0<c<c_* $ 时, 定理 1.1(2) 表明 $ I(u) $ 不存在限制在 $ S_c $ 上的全局极小达到函数. 为了得到规范化解, 我们将寻找 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的局部极小达到函数并证明它是方程 (1.2) 的规范化解.

任取 $ c>0 $ 和 $ \mu>0 $, 定义

本文的第三个结果如下

定理1.3 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 成立, $ N\geq2 $. 则存在一个只依赖于 $ N $ 的常数 $ \mu_0>0 $ 和存在 $ c_0\in (0,c_*) $ 使得对任意的 $ c_0<c<c_* $, 都存在 $ \tilde{u}\in S_c\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $ 使得

且 $ \tilde{u} $ 是 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的临界点.

注 1.2 当 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 成立时, 我们可以证明对任意的 $ c\geq c_* $, 都存在一个依赖于 $ N $ 和 $ c $ 的正常数 $ \mu_0(c) $ 使得

本文的最后一个结果考虑了当 $ c>0 $ 充分小时, 泛函 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的临界点的不存在性.

定理1.4 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}<+\infty $ 成立, 则存在一个常数 $ \check{c}>0 $ 使得对任意的 $ c\in(0,\check{c}] $, $ I(u) $ 都不存在限制在 $ S_c $ 上的临界点. 并且当 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 时, $ \check{c}\leq c_0 $.

本文的主要结果可以看做是文献 [4,11,12] 关于具有齐次非线性项的拟线性 Schrödinger 方程 (1.2) 规范化解存在性结果的一个推广.

我们将给出本文主要定理的证明思路. 由 $(f_1)$-$(f_3)$ 可知对任意的 $ c>0 $, $ I(u) $ 在 $ S_c $ 中下有界且 $ i_c $ 的任意极小化序列都满足 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\} $ 一致有界. 证明的主要困难在于克服极小化序列可能出现的紧性缺失问题. 为此, 人们往往通过把研究空间限制为具有 Sobolev 紧嵌入的子空间或者应用集中紧致原理来克服这一困难. 在定理1.1 的证明中, 我们将应用集中紧致原理来解决这一问题. 对于任意的有界极小化序列 $ \{u_n\}\subset S_c $, 以下三种情况之一将发生

消失: $ u_n\rightharpoonup 0 $ 于 $ H $;

两分: $ u_n\rightharpoonup u\neq0 $ 于 $ H $ 但 $ |u|_2<c $;

紧性: 在子列和平移的意义下, $ u_n\rightarrow u $ 于 $ H $.

为了证明定理 1.1, 我们将通过分别证明 $ i_c<0 $ 和如下的严格次可加不等式

(1.6)$\begin{equation}\label{1.11} i_c<i_{\alpha}+i_{c^2-\alpha^2}, \forall 0<\alpha<c\end{equation}$

来排除消失和两分的情形.

为了证明定理1.2, 利用 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=+\infty $ 和 $ L^2 $-保范形变伸缩技巧可知对任意的 $ c>0 $, 都有 $ i_c<0 $, 即 $ c_*=0 $. 若 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}<+\infty $, 则由 Gagliardo-Nirenberg 不等式^[26] 和文献 [4,(4.5) 式]可知, 存在一个常数 $ C>0 $ 使得

(1.7)$\begin{equation}\label{1.10} \int_{\mathbb{R}^N}F(u)\leq Cc^{\frac4N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2\right), \forall u\in S_c, \end{equation}$

故当 $ c>0 $ 充分小时有 $ i_c=0 $. 因此 $ c_*>0 $.

假设 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $, 令 $ c_n:=c_*+\frac1n $, 由函数 $ c\mapsto i_c $ 的连续性, 则 $ i_{c_n} $ 的极小达到函数列 $ \{u_n\}\subset S_{c_n} $ 满足 $ I(u_n)=i_{c_n}\rightarrow i_{c_*}=0 $. 并且 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\} $ 有界. 由于当 $ c\in(0,c_*] $ 时 $ i_c\equiv0 $ 且不满足严格次可加不等式 (1.6), 这就给排除消失和两分的情形带来困难, 从而导致集中紧致原理不能应用于此. 为了克服这一困难, 应用 Schwartz 对称化方法, 我们假设 $ \{u_n\} $ 是 $ \{i_{c_n}\} $ 的 Schwartz 对称化后的极小达到函数列. 则在子列的意义下, 存在一个 $ u\in H $ 使得 $ u_n\rightharpoonup u $ 于 $ H $ 且 $ u_n\rightarrow u $ 于$ L^p(\mathbb{R}^N)(2<p<22^*) $, 于是 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}F(u) $. 若 $ u=0 $, 则 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\rightarrow0 $. 利用 Gagliardo-Nirenberg 不等式^[26] 和下述不等式: 存在正常数 $ C=C(N,c) $ 和 $ \beta>1 $ 使得

(1.8)$\begin{equation}\label{1.8} \int_{\mathbb{R}^N}|u|^{4+\frac4N}\leq C\left(\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2\right)^{\beta}, \forall u\in S_c. \end{equation}$

我们可以证明

从而当 $ n $ 充分大时,

这与序列 $ \{u_n\} $ 的选取矛盾. 故 $ u\neq0 $. 于是由 Fatou 引理得到 $ I(u)=0=i_{|u|_2} $. 故 $ u $ 是 $ i_{c_*} $ 的一个极小达到函数.

构建适当的子流形是证明定理 1.3的关键.由 Gagliardo-Nirenberg 不等式^[26] 和 (1.8) 式可知对任意的 $ c>0 $, 都存在一个常数 $ \mu_0=\mu_0(c,N)>0 $ 使得对所有的 $ \mu\in (0,\mu_0] $ 和 $ u\in B_{\mu} $ 都有 $ I(u)\geq\frac14 \mu>0 $. 特别地, 当 $ 0<c\leq c_* $ 时, 常数 $ \mu_0 $ 与 $ c $ 无关. 故对任意的 $ c>0 $,

是定义好的, 并且当 $ 0<c<c_* $ 时, $ m_c>0 $; 当 $ c\geq c_* $ 时, $ m_c=i_c $.

我们将应用集中紧致原理证明这个定理. 当 $ 0<c<c_* $ 时, 假设 $ \{u_n\}\subset S_c\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $ 是 $ m_c $ 的任意一个极小化序列, 由于 $ m_c>0 $, 我们不能像定理1.1 那样排除消失的情形, 一般非线性项的存在使得我们似乎无法证明相应的拉格朗日乘子是负的, 文献 [12] 的方法也不能直接借用来排除两分的情形. 为了克服这一困难, 子流形的构造提示我们去估计 $ m_c $ 的上界. 我们证明当 $ c $ 充分靠近 $ c_* $ 时, $ m_c<\frac14\mu_0 $. 因此若消失的情形发生, 则 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)\rightarrow0 $ 且

(1.9)$\begin{equation}\label{1.9} \mu_0\leq\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}I(u_n)= m_c<\frac14\mu_0, \end{equation}$

这就产生了一个矛盾, 故消失的情形被排除. 我们将证明 $ m_c $ 也满足严格次可加不等式以排除两分的情形, 这个过程要求了 $ N\geq2 $.

最后我们借助 Pohozaev 恒等式和不等式 (1.7) 来证明定理1.4.

在本文中, 我们使用了标准记号. 为了简便起见, 我们记 $ \int_{\mathbb{R}^N} h $ 表示函数 $ h(x) $ 在全空间 $ \mathbb{R}^N $ 上的 Lebesgue 积分. $ L^{p}:= L^{p}(\mathbb{R}^{N}) (1\leq p\leq+\infty) $ 表示具有标准范数 $ |\cdot|_{p} $ 的Lebesgue 空间. 我们记 $`` \rightarrow" $ 和 $`` \rightharpoonup" $ 分别表示在相应函数空间中的强收敛和弱收敛. 除非特别说明, $ C $ 表示一个正常数. 我们记 `` $ :=" $ 表示定义. 为了记号的简便性, 序列 $ \{u_n\} $ 的子序列仍记为 $ \{u_n\} $.

本文的结构如下: 在第二部分, 我们证明定理1.1. 在第三部分, 我们证明定理1.2. 在第四部分, 我们证明定理1.3 和定理1.4.

我们首先给出证明定理1.1 用到的一些引理。

由文献 [4,(4.5) 式] 可知, 对任意的 $ u\in H $, 存在一个只依赖于 $ N $ 的正常数 $ C_N $ 使得

(2.1)$\begin{equation}\label{2.1} \int_{\mathbb{R}^N}|u|^{4+\frac{4}{N}}\leq C_N\left(\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2\right)^{\frac{2}{N}}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2.\end{equation}$

引理2.1 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 成立. 则对任意的 $ c>0 $, $ I(u) $ 在 $ S_c $ 中下有界.

证 由 $(f_1)$-$(f_3)$ 可知对任意的 $ \varepsilon>0 $, 都存在一个常数 $ C_{\varepsilon}>0 $ 使得

(2.2)$\begin{equation}\label{2.3} |F(t)|\leq \varepsilon|t|^{4+\frac{4}N}+C_{\varepsilon}|t|^2, \forall t\in\mathbb{R}. \end{equation}$

则对任意的 $ u\in H^1(\mathbb{R}^N) $ 有

(2.3)$\begin{equation}\label{2.2} \left|\int_{\mathbb{R}^N}F(u)\right|\leq \varepsilon \int_{\mathbb{R}^N}|u|^{4+\frac{4}{N}}+C_{\varepsilon}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2. \end{equation}$

所以由 (2.1) 式可知, 对任意的 $ c>0 $ 和任意的 $ u\in S_c $, 有

通过取 $ 0<\varepsilon\leq\frac 1{C_Nc^{\frac{4}{N}}} $, 则存在一个与 $ u $ 无关的常数 $ C>0 $ 使得

故对任意的 $ c>0 $, $ I(u) $ 在 $ S_c $ 中下有界.

对任意的 $ c>0 $, 令

则由引理2.1 可知 $ i_c $ 都是定义好的.

引理2.2 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 成立. 则对任意的 $ c>0 $, 都有 $ i_c\leq0 $.

证 由 $ (f_1) $ 得到当 $ t\rightarrow0 $ 时, $ \frac{F(t)}{t^2}\rightarrow 0 $.

任取 $ c>0 $ 和 $ u\in S_c $, 对任意的 $ t>0 $, 令 $ u_t(x):=t^{\frac N2}u(tx) $, 则 $ u_t\in S_c $. 由 Lebesgue 控制收敛定理, 当 $ t\rightarrow0 $ 时有

故对任意的 $ c>0 $ 都有 $ i_c\leq\lim\limits_{t\to0}I(u_t)=0 $.

引理2.3 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 成立. 则存在一个正常数 $ C_0>0 $ 使得对任意的 $ c>0 $ 和任意满足 $ I(u)\leq 1 $ 的 $ u\in S_c $, 都有

证 任取 $ c>0 $ 和 $ u\in S_c $, 由 (2.1) 和 (2.3) 得到对任意的 $ \varepsilon>0 $, 都存在一个常数 $ C_{\varepsilon}>0 $ 使得

取 $ 0<\varepsilon\leq\frac 1{2C_Nc^{\frac{4}{N}}} $, 则存在一个与 $ u $ 无关的常数 $ C>0 $ 使得当 $ I(u)\leq 1 $ 有

故存在一个正常数 $ C_0 $ 使得 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2\leq C_0 $.

引理2.4 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 成立. 则函数 $ c\mapsto i_c $ 在区间 $ (0,+\infty) $ 内连续.

证 任取 $ c>0 $, 只需证明对满足 $ c_n\rightarrow c $ 的任意序列 $ \{c_n\}\subset(0,+\infty) $ 均有 $ i_{c_n}\rightarrow i_c $.

任取 $ u\in S_c $, 令 $ v_n:=\frac{c_n}{c}u $. 则 $ v_n\in S_{c_n} $ 且$ v_n(x)\rightarrow u(x) $ 于 $ H $. 由 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 Lebesgue 控制收敛定理可知 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(v_n)\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}F(u) $. 于是,

其中当 $ c_n\rightarrow c $ 时, $ o_n(1)\rightarrow 0 $. 由 $ u\in S_c $ 的任意性得到 $ \overline{\lim\limits_{c_n\rightarrow c}}i_{c_n}\leq i_c. $

另一方面, 假设 $ \{u_n\}\subset S_{c_n} $ 是一个满足 $ I(u_n)\leq i_{c_n}+\frac1n $ 的序列, 由引理 2.2 得到 $ I(u_n)\leq 1(\forall n\geq1) $. 则由引理 2.3 可知存在一个与 $ n $ 无关的常数 $ C_0>0 $ 使得

令 $ w_n:=\frac{c}{c_n}u_n\in S_c $, 则类似地可以证明 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(w_n)=\int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)+o_n(1) $. 故

这意味着 $ i_c\leq \varliminf\limits_{c_n\rightarrow c}i_{c_n}, $ 所以$ \lim\limits_{c_n\rightarrow c}i_{c_n}=i_c $. 引理得证.

引理2.5 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 成立. 则存在一个常数 $ c_*\geq0 $ 使得当 $ c>c_* $ 时有 $ i_c<0 $. 并且当 $ c_*>0 $ 时, 对任意的 $ 0<c\leq c_* $, 均有 $ i_c=0 $.

证 任取 $ u\in S_1 $, 对任意的 $ c>0 $, 令 $ u^c(x):=u(c^{-\frac{2}{N}}x), $ 则 $ u^c\in S_c $. 并且当 $ c\rightarrow+\infty $ 时,

则当 $ c>0 $ 充分大时有 $ i_c<0 $. 因此,

断言: 若存在某个 $ c_0>0 $ 使得 $ i_{c_0}<0 $, 则对所有的 $ c>c_0 $, 都有$ i_c<0 $.

事实上, 任取 $ u\in S_{c_0} $, 令 $ v^c(x):=u((\frac{c}{c_0})^{-\frac 2N}x) $, 则 $ v^c\in S_c $ 且由 $ c>c_0 $ 得到

由 $ u\in S_{c_0} $ 的任意性可知 $ i_c\leq (\frac{c}{c_0})^{2}i_{c_0}<0 $.

定义

则 $ c_*\in[0,+\infty) $ 定义好的且对所有的 $ c>c_* $, 都有 $ i_c<0 $.

若 $ c_*>0 $, 则由引理 2.2 可知对所有的 $ c<c_* $, 都有 $ i_c=0 $. 由函数 $ c\mapsto i_c $ 的连续性得到 $ i_{c_*}=0. $

引理2.6 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 成立. 则对每一个 $ c>c_* $ 都有

证 因为 $ c>c_* $, 由引理 2.5 可知 $ i_c<0 $. 假设 $ \{u_n\}\subset S_c $ 是 $ i_c $ 的任意一个极小化序列, 即 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}I(u_n)=i_c $. 则存在一个与 $ n $ 无关的常数 $ C_1>0 $ 使得

(2.4)$\begin{equation}\label{2.4}\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\geq C_1.\end{equation}$

事实上由反证法, 若当 $ n\rightarrow\infty $ 时, $ \int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\rightarrow 0 $, 则由 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 (2.1) 式可知对任意的 $ \varepsilon>0 $, 都有一个与 $ n $ 无关的常数 $ C_{\varepsilon}>0 $ 使得

故由 $ \varepsilon $ 的任意性可知 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)=0 $. 故 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}I(u_n)\geq0 $, 这与 $ \{u_n\} $ 的定义矛盾.

令 $ u_n^\theta(x):=u_n(\theta^{-\frac 2N}x) $, 其中 $ \theta>1 $. 则 $ u_n^{\theta}\in S_{\theta c} $ 且由 (2.4) 式得到

(2.5)$\begin{equation}\label{2.12} \begin{array}{ll} I(u_n^\theta)&= \theta^2I(u_n)-(\theta^2-\theta^{2-\frac{4}{N}})\left(\frac 12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\right)\\[5mm] &\leq\theta^2I(u_n)-(\theta^2-\theta^{2-\frac{4}{N}})C_1. \end{array} \end{equation}$

让 $ n\rightarrow\infty $ 得到

(2.6)$\begin{equation}\label{2.5} i_{\theta c}\leq \theta^2 i_{c}-(\theta^2-\theta^{2-\frac{4}{N}})C_1<\theta^2 i_{c}, \forall\theta>1. \end{equation}$

对任意的 $ 0<\alpha<c $, 不失一般性我们假设 $ \alpha\geq\sqrt{c^2-{\alpha}^2}. $

若 $ c_*\geq \alpha\geq\sqrt{c^2-{\alpha}^2} $, 则$ i_{\alpha}=i_{\sqrt{c^2-{\alpha}^2}}=0 $, 故$ i_c<0=i_{\alpha}+i_{\sqrt{c^2-{\alpha}^2}}. $

若 $ \alpha >c_*\geq \sqrt{c^2-{\alpha}^2} $, 则 $ i_{\alpha}<0 $ 且 $ i_{\sqrt{c^2-{\alpha}^2}}=0 $. 故由 (2.6) 式得到 $ i_c<\frac{c^2}{\alpha^2}i_{\alpha}<i_{\alpha}=i_{\alpha}+i_{\sqrt{c^2-{\alpha}^2}}. $

若 $ \alpha\geq\sqrt{c^2-{\alpha}^2}>c_* $,则由 (2.6) 式可知 $ i_c<\frac{c^2}{\alpha^2}i_{\alpha}=i_{\alpha}+\frac{c^2-\alpha^2}{\alpha^2}i_{\alpha}\leq i_{\alpha}+i_{\sqrt{c^2-{\alpha}^2}}. $引理得证.

为了证明定理 1.1, 我们需要下述重要的集中紧致原理.

引理2.7^{[16,引理 1.1]} 假设 $ \{\rho_n\} $ 是 $ \mathbb{R}^N $ 上的一列非负的 $ L^1 $ 函数列且满足 $ \int_{\mathbb{R}^N}\rho_n=\lambda $, 其中 $ \lambda>0 $ 是常数. 则存在 $ \{\rho_n\} $ 的子列, 仍记为 $ \{\rho_n\} $ 满足以下三种情形之一

(i) (消失) 对所有的 $ R>0 $, 有

(ii) (紧性) 存在一列 $ \{y_n\}\subset\mathbb{R}^N $ 使得对任意的 $ \varepsilon>0, $ 存在 $ R>0 $ 满足

(iii) (二分) 存在一个 $ \alpha\in (0,\lambda) $ 和一列 $ \{y_n\}\subset\mathbb{R}^N $ 使得对任意的 $ \varepsilon>0 $, 存在 $ R>0 $, 对所有的 $ r\geq R $ 和 $ r^\prime\geq R $, 有

成立.

下述两个已知的结果将在定理 1.1 的证明中用到.

引理2.8^{[27,引理 1.21]} 假设 $ r>0 $ 和 $ 2\leq q<2^* $. 若 $ \{u_n\} $ 是 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 中的有界序列且

则对任意的 $ 2<s<2^* $ 都有 $ u_n\rightarrow0 $ 于 $ L^s(\mathbb{R}^N) $.

引理2.9^{[4,引理 4.3]} 假设 $ \{u_n\}\subset H $ 是一个有界序列且满足 $ u_n\rightharpoonup u $ 于 $ H $, 则

定理 1.1 的证明

证 引理 2.5 证明了存在一个常数 $ c_*\geq0 $ 使得当 $ c>c_* $ 时有 $ i_c<0 $. 并且当 $ c_*>0 $ 时, 对任意的 $ 0<c\leq c_* $, 均有 $ i_c=0 $.

(1) 对任意的 $ c>c_* $, 由引理 2.5 可知 $ i_c<0 $. 假设 $ \{u_n\}\subset S_c $ 是 $ i_c $ 的一个极小化序列, 则由引理 2.3 得到存在一个与 $ n $ 无关的常数 $ C_0>0 $ 使得 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\leq C_0 $.

我们应用集中紧致原理证明定理 1.1. 令 $ \rho_n:=u_n^2 $, 则 $ \{\rho_n\} $ 是 $ \mathbb{R}^N $ 上一列非负的 $ L^1 $ 函数列且满足 $ \int_{\mathbb{R}^N}\rho_n=c^2>0. $ 由引理 2.7, 我们只需排除消失和两分的情形不会发生.

我们首先证明消失的情形不会发生. 由反证法假设对任意的 $ r>0 $, 有 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{y\in\mathbb{R}^N}\int_{B_r(y)}u_n^2=0, $ 则由引理 2.8 可知 $ u_n\rightarrow 0 $ 于 $ L^p(\mathbb{R}^N) $, $ \forall 2<p<2^* $. 由插值不等式和 Sobolev 不等式可知存在一个与 $ n $ 无关的常数 $ C>0 $ 使得当 $ n\rightarrow\infty $ 时,

其中 $ \frac{1}{4+\frac4N}=\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{22^*},2<p<\min\{2^*,4+\frac4N\} $. 由 $(f_1)$-$(f_3)$, 对任意的 $ \varepsilon>0 $, 都存在一个常数 $ C_{\varepsilon}>0 $ 使得

故由 $ \varepsilon $ 的任意性得到当 $ n\rightarrow\infty $ 时, $ \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)\rightarrow 0 $. 于是

这与 $ \{u_n\} $ 的定义矛盾. 故消失的情形不会发生.

我们再证明两分的情形不会发生. 由反证法我们假设存在 $ \alpha\in (0,c) $ 和一列 $ \{y_n\}\subset\mathbb{R}^N $ 使得对任意的 $ \varepsilon_n\to0 $, 存在一列 $ \{R_n\}\subset\mathbb{R}_+ $ 满足 $ R_n\to+\infty $ 和

(2.7)$\begin{equation}\label{2.6} \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\left|\alpha^2- \int_{B_{R_n}(y_n)}u^2_n\right|+\left|(c^2-\alpha^2) - \int_{\mathbb{R}^N\backslash B_{2R_n}(y_n)}u^2_n\right|\right)<\varepsilon_n. \end{equation}$

假设 $ \xi_{n}:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}_+ $ 是一个截断函数且满足 $ 0\leq\xi_{n}\leq1 $; $ \xi_{n}(x)\equiv1 $, $ x\in B_{R_n}(y_n) $; $ \xi_{n}(x)\equiv0 $, $ x\in \mathbb{R}^N\backslash B_{2R_n}(y_n) $ 和 $ |\nabla\xi_{n}|\leq \frac{2}{R_n}. $ 令 $ \Omega_n:=B_{2R_n}(y_n)\backslash B_{R_n}(y_n) $ 且

则由 (2.7) 式可知 $ \int_{\Omega_n}u^2_n\rightarrow0 $. 于是 $ \int_{\Omega_n}v_n^2,\int_{\Omega_n}w_n^2\rightarrow0 $. 因此

(2.8)$\begin{equation}\label{2.7} \int_{\mathbb{R}^N}v_n^2\rightarrow \alpha^2, \int_{\mathbb{R}^N}w_n^2\rightarrow c^2-\alpha^2. \end{equation}$

由 (2.1)、(2.2) 式可知对任意的 $ \varepsilon>0 $, 存在一个常数 $ C_{\varepsilon}>0 $ 使得

故当 $ n\rightarrow\infty $ 时, $ \int_{\Omega_n}F(u_n)\rightarrow0 $. 类似地, $ \int_{\Omega_n}F(v_n),\int_{\Omega_n}F(w_n)\rightarrow0 $. 则

(2.9)$\begin{equation}\label{2.8} \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)= \int_{\mathbb{R}^N}F(v_n)+ \int_{\mathbb{R}^N}F(w_n)+o_n(1), \end{equation}$

其中当 $ n\rightarrow\infty $ 时, $ o_n(1)\rightarrow0 $.

因为当 $ n\rightarrow\infty $ 时,

我们得到

(2.10)$\begin{equation}\label{2.9} \begin{array}{ll} & \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{\mathbb{R}^N}\left(|\nabla u_n|^2-|\nabla v_n|^2-|\nabla w_n|^2\right)\\[5mm] &= 2\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}\nabla v_n\nabla w_n \geq 2\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}[(1-2\xi_n)\nabla \xi_{n}u_n\nabla u_n-(\nabla \xi_n)^2 u_n^2] =0. \end{array} \end{equation}$

通过插值不等式和精细计算可知

其中 $ \frac14=\frac{\theta'}{2}+\frac{1-\theta'}{4+\frac4N} $. 由 Hölder 不等式得到

其中 $ C $ 是一个与 $ n $ 无关的正常数. 则

(2.11)$\begin{equation}\label{2.10}\begin{array}{ll} & \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{\mathbb{R}^N}\left(u_n^2|\nabla u_n|^2-v_n^2|\nabla v_n|^2-w_n^2|\nabla w_n|^2\right)\\[5mm] &\geq 2\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}u_n^2\nabla v_n\nabla w_n = 2\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}[(1-2\xi_n)\nabla \xi_{n}u_n^3\nabla u_n-(\nabla \xi_n)^2 u_n^4]=0. \end{array}\end{equation}$

因此由 (2.8)-(2.11) 可知

这与引理 2.6 矛盾. 故两分的情形不会发生.

所以由集中紧致原理可知存在一列 $ \{y_n\}\subset\mathbb{R}^N $ 使得对任意的 $ \varepsilon>0 $, 都存在 $ R>0 $ 使得

(2.12)$\begin{equation}\label{2.11} \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_{B_R(y_n)}u^2_n\geq c^2-\varepsilon.\end{equation}$

令 $ \tilde{u}_n(x):=u_n(x+y_n) $, 则 $ \{\tilde{u}_n\} $ 也是 $ i_c $ 的一个极小化序列且 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla \tilde{u}_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|\tilde{u}_n|^2|\nabla \tilde{u}_n|^2\} $ 是有界的. 则存在一个 $ \tilde{u}\in H $ 使得在子列的意义下, $ \tilde{u}_n\rightharpoonup\tilde{u} $ 于 $ H $. 由 (2.12) 式可知 $ \tilde{u}_n\rightarrow \tilde{u} $ 于 $ L^2(\mathbb{R}^N) $, 故 $ \tilde{u}\in S_c $. 由 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 Lebesgue 控制收敛定理得到 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(\tilde{u}_n)\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}F(\tilde{u}) $. 由引理 2.9 得到

故 $ \tilde{u} $ 是 $ i_c $ 的一个极小达到函数.

(2) 由反证法我们假设对于某个 $ \tilde{c}\in(0,c_*) $, 存在一个$ u_{\tilde{c}}\in S_{\tilde{c}} $ 使得 $ I(u_{\tilde{c}})=i_{\tilde{c}}=0 $. 则

令 $ u^{c_*}(x):=u_{\tilde{c}}((\frac{c_*}{\tilde{c}})^{-\frac 2N}x) $. 则$ u^{c_*}\in S_{c_*} $ 且

这与 $ i_{c_*}=0 $ 矛盾. 故对所有的 $ c\in (0,c_*) $, $ i_c $ 均不存在极小达到函数.

为了证明这个定理, 我们需要下述含有最佳常数的 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (见文献 [26,28])

(3.1)$\begin{equation}\label{3.1} \int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2+\frac{4 }{N}}\leq \frac{N+2}{N|Q|_2^{\frac N4}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2\right)^{\frac{2}{N}}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2, \forall u\in H^1(\mathbb{R}^N), \end{equation}$

当 $ u=Q $ 时上述等式成立, 其中在平移不变性意义下, $ Q $ 是方程 (1.5) 的唯一基态解.

当 $ N=1,2,3 $ 时, $ 4+\frac{4}{N}<2^* $. 由 Gagliardo-Nirenberg 不等式可知当 $ N=1,2,3 $ 时, 存在一个仅依赖于 $ N $ 的正常数 $ C_2 $ 使得

(3.2)$\begin{equation}\label{3.2} \int_{\mathbb{R}^N}|u|^{4+\frac{4}{N}}\leq C_2\left(\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2\right)^{\frac{-N^2+ 2N+4}{2N}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2\right)^{\frac{N+2}2}, \forall u\in H^1(\mathbb{R}^N). \end{equation}$

当 $ N\geq4 $ 时, $ 2^*<4+\frac{4}{N}<22^* $. 类似于文献 [12,(3.7) 式], 存在一个仅依赖于 $ N $ 的正常数 $ C_3 $ 使得

(3.3)$\begin{equation}\label{3.3}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{4+\frac4N}\leq C_3\left(\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u |^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u |^2|\nabla u |^2\right)^{\frac N{N-2}}, \forall u\in H. \end{equation}$

定理 1.2 的证明

证 (1)对任意的 $ u\in H\backslash\{0\} $, 由 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=+\infty $ 和 Fatou 引理可知

任取 $ c>0 $ 和 $ u\in S_c $, 对任意的 $ t>0 $, 令 $ u_t(x):=t^{\frac N2}u(tx) $. 则 $ u_t\in S_c $ 和

于是当 $ t\rightarrow0^+ $ 时, $ \frac{i_c}{t^2}\rightarrow-\infty $. 故对所有的 $ c>0 $ 都有 $ i_c<0 $, 所以 $ c_*=0 $.

(2) 由 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}<+\infty $ 和 $ (f_2) $, 存在一个常数 $ C>0 $ 使得

任取 $ c>0 $ 和 $ u\in S_c $, 由 (2.1) 和 (3.1) 式, 存在一个与 $ u $ 无关的常数 $ C>0 $ 使得

(3.4)$\begin{equation}\label{3.5}\left|\int_{\mathbb{R}^N}F(u)\right|\leq C c^{\frac4N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+\int_{\mathbb{R}^N}u^2|\nabla u|^2\right).\end{equation}$

则 $ I(u)\geq \left(\frac 12-Cc^{\frac4N}\right)\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+\left(1-Cc^{\frac4N}\right)\int_{\mathbb{R}^N}u^2|\nabla u|^2. $

通过取 $ 0<c\leq (\frac 1{4C})^{\frac N4} $, 则 $ I(u)\geq \frac 14\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2\geq0, $ 故对于充分小的 $ c>0 $ 有 $ i_c\geq0 $. 由引理 2.2 得到对于充分小的 $ c>0 $ 有 $ i_c=0 $. 因此 $ c_*>0 $.

(3) 令 $ c_n:=c_*+\frac1n $, 则 $ i_{c_n}<0 $. 由定理 1.1(1) 可知对每一个 $ n $, $ i_{c_n} $ 存在一个极小达到函数 $ u_{n}\in S_{c_n} $, 即 $ I(u_n)=i_{c_n} $. 由引理 2.3 得到 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2\},\{\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\} $ 是有界的.

因为 $ f $ 是奇函数, 所以 $ F $ 是偶函数且对任意的 $ u\in H $ 都有 $ I(u)=I(|u|) $. 不失一般性, 我们假设 $ u_n\geq0 $.

假设 $ \{u_n^*\} $ 是 $ \{u_n\} $ 的 Schwartz 对称化序列, 则由 Pólya-Szegö 不等式 (见文献 [4,引理 4.3] 可知

于是 $ u_n^*\in S_{c_n} $ 且

即 $ \{u_n^*\} $ 是 $ i_{c_n} $ 的 Schwartz 对称化极小化序列. 并且 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n^*|^2\},\{\int_{\mathbb{R}^N}|u_n^*|^2|\nabla u_n^*|^2\} $ 也是有界的. 由文献 [2,性质1.7.1], 在子列的意义下, 存在一个 $ v\in H $ 使得

(3.5)$\begin{equation}\label{3.6} \left\{ \begin{array}{ll} u_n^*\rightharpoonup v,\,\,\, \hbox{于} H, \\ u_n^*\rightarrow v,\,\,\, \hbox{于} L^p(\mathbb{R}^N), \forall p\in (2,22^*),\\ u_n^*(x)\rightarrow v(x),\,\,\, \hbox{a.e. 于} \mathbb{R}^N. \end{array} \right. \end{equation}$

则由引理 2.9 可知

(3.6)$\begin{equation}\label{3.7}\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|v|^2|\nabla v|^2\leq\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n^*|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n^*|^2|\nabla u_n^*|^2\right). \end{equation}$

由 (3.5) 式和 Lebesgue 控制收敛定理得到

(3.7)$\begin{equation}\label{3.8} \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n^*)\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}F(v). \end{equation}$

断言: $ v\neq0 $. 事实上, 由反证法假设 $ v=0 $, 则由 (3.7) 式可知 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n^*)\rightarrow0 $. 于是由 $ I(u_n^*)\rightarrow0 $ 得到当 $ n\rightarrow\infty $ 时, $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n^*|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n^*|^2|\nabla u_n^*|^2\rightarrow0 $. 利用 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 和 $ (f_2) $ 可知对任意的 $ \varepsilon>0 $, 存在一个常数 $ C_{\varepsilon}>0 $ 使得

情况 1 $ N\leq3 $.

由 (3.1)、(3.2) 式, 存在一个与 $ n $ 无关的正常数 $ C $ 使得

取 $ 0<\varepsilon\leq \frac{1}{4C} $, 由于 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n^*|^2\rightarrow0 $, 则存在一个与 $ n $ 无关的正常数 $ C $ 使得

故当 $ n $ 充分大时, $ I(u_n^*)>0 $, 这与 $ \{u_n^*\} $ 的选取矛盾, 故 $ v\neq0 $.

情况2 $ N\geq4 $.

由 (3.1)、(3.3) 式, 存在一个与 $ n $ 无关的正常数 $ C $ 使得

取 $ 0<\varepsilon\leq \frac{1}{4C} $, 由于 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n^*|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n^*|^2|\nabla u_n^*|^2\rightarrow0 $, 则存在一个与 $ n $ 无关的正常数 $ C $ 使得

故当 $ n $ 充分大时, $ I(u_n^*)>0 $, 这也与 $ \{u_n^*\} $ 的选取矛盾, 故 $ v\neq0 $.

因为 $ 0<|v|_2\leq \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}|u_n^*|_2=\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}c_n=c_* $, 由 (3.6)、(3.7) 式得到

(3.8)$\begin{equation}\label{3.10} 0=i_{|v|_2}\leq I(v)\leq \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}I(u_n^*)= \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}i_{c_n}=i_{c_*}=0, \end{equation}$

则 $ I(v)=0=i_{|v|_2} $. 由定理 1.1(2) 可知 $ |v|_2=c_* $. 所以 $ i_{c_*} $ 存在一个极小达到函数.

注 3.1 当 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=l>0 $ 时, 由定理1.2(2) 可知 $ c_*>0 $ 且 $ i_{c_*}=0 $.

任取 $ u\in S_{c_*} $, 则 $ I(u_t)\geq0 $, 其中 $ u_t(x)=t^{\frac N2}u(tx) $, $ t>0 $. 由 Lebesgue 控制收敛定理可知

故对任意的 $ u\in S_{c_*} $, $ \Phi(u):=\frac 12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2-l\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2+\frac 4N}\geq0 $.

由 (1.5) 式可知

(3.9)$\begin{equation}\label{3.9} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla Q|^2=\int_{\mathbb{R}^N}|Q|^2=\frac{2}{2+\frac4N}\int_{\mathbb{R}^N}|Q|^{2+\frac4N}. \end{equation}$

则对任意的 $ c>(\frac{1}{l(2+\frac 4N)})^{\frac N4}|Q|_2 $ 都有 $ \Phi(\frac{c}{|Q|_2}Q)<0, $ 于是 $ \inf\limits_{u\in S_c}\Phi(u)<0 $. 因此

由文献 [8,14] 可知 $ Q $ 是径向对称、单调递减的函数且当 $ |x|\rightarrow+\infty $ 时, $ Q(x),|\nabla Q(x)|=O(|x|^{-\frac12}{\rm e}^{-|x|}). $ 则 $ \int_{\mathbb{R}^N}|Q|^2|\nabla Q|^2,\int_{\mathbb{R}^N}|Q|^q<+\infty $, 其中 $ 2+\frac4N<q<4+\frac4N $.

下面我们将考虑 $ f(u)=l(2+\frac4N)|u|^{\frac4N}u+|u|^{q-2}u $, $ 2+\frac4N<q<4+\frac4N $ 的情形. 由 (3.9) 式可知, $ (\frac{1}{l(2+\frac 4N)})^{\frac N4}Q_t\in S_{(\frac{1}{l(2+\frac 4N)})^{\frac N4}|Q|_2} $ 且当 $ t>0 $ 充分小时有

则 $ i_{ (\frac{1}{l(2+\frac 4N)})^{\frac N4}|Q|_2}<0 $, 因此 $ c_*<\Big(\frac{1}{l(2+\frac 4N)}\Big)^{\frac N4}|Q|_2 $.

令 $ c_n:=c_*+\frac1n $, 则 $ i_{c_n}<0 $. 类似于定理 1.2(3) 的证明, 对每一个 $ n $, $ i_{c_n} $ 存在一个 Schwartz 对称化极小达到函数 $ u_{n}\in S_{c_n} $. 并且 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2\},\{\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\} $ 有界.

在子列的意义下, 存在一个 $ u\in H $ 使得

则由 Lebesgue 控制收敛定理可知 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}F(u). $

若 $ u=0 $, 则 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)\rightarrow0 $ 和 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n |^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n |^2|\nabla u_n |^2\rightarrow0 $. 由于 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n=c_*<\Big(\frac{1}{l(2+\frac 4N)}\Big)^{\frac N4}|Q|_2 $, 所以我们可以取充分大的 $ n $ 使得

(3.10)$\begin{equation}\label{3.11} c_n<\Big(\frac{1}{l(2+\frac 4N)}\Big)^{\frac N4}|Q|_2. \end{equation}$

由插值不等式和 (3.1)-(3.3) 式, 存在一个与 $ n $ 无关的常数 $ C>0 $ 使得

其中 $ \frac1q=\frac{\theta}{2+\frac4N}+\frac{1-\theta}{4+\frac4N} $; 当 $ N=1,2,3 $ 时, $ \alpha=\frac{N+2}2 $; 当 $ N\geq4 $ 时, $ \alpha=\frac{N}{N-2} $. 由 (3.10) 和 (3.1) 式, 因为 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\rightarrow0 $, 则对充分大的 $ n $, 存在一个与 $ n $ 无关的常数 $ C>0 $ 使得

其中 $ 1-\frac{l(2+\frac4N)}{|Q|_2^{\frac 4N}}c_n^{\frac N4}>0 $, $ q\left(\frac{\theta}{2+\frac4N}+\frac{\alpha (1-\theta)}{2+\frac4N}\right)>1 $. 这与 $ \{u_n\} $ 的选取矛盾, 故 $ u\neq 0 $.

因此 $ 0<|u|_2\leq c_* $. 类似于 (3.8) 式的证明可以得到

故 $ u $ 是 $ i_{c_*} $ 的一个极小达到函数.

任取 $ c>0 $ 和 $ \mu>0 $, 定义 $ S_c $ 的子流形如下

(4.1)$\begin{equation}\label{4.1} B_{\mu}=\left\{u\in S_c | \frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2=\mu\right\}. \end{equation}$

引理4.1 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 和$ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 成立. 任取 $ c>0 $, 则存在 $ \mu_0>0 $ 使得对任意的 $ 0<\mu\leq\mu_0 $, 都有

成立. 并且当 $ 0<c\leq c_* $ 时, 则 $ \mu_0 $ 是一个与 $ c $ 无关的常数.

证 任取 $ c>0 $ 和 $ u\in S_c $, 由 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $, $ (f_2) $ 和 (3.1)-(3.3) 式可知对任意的 $ \varepsilon>0 $, 都存在 $ C_{\varepsilon}>0 $ 使得

(4.2)$\begin{equation}\label{4.2} \begin{array}{ll} \int_{\mathbb{R}^N}F(u)& \leq\varepsilon \int_{\mathbb{R}^N}| u|^{2+\frac4N}+C_{\varepsilon} \int_{\mathbb{R}^N}| u|^{4+\frac4N}\\[5mm] & \leq \varepsilon \frac{N+2}{N|Q|_2^{\frac 4N}} c^{\frac4N}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^{2}+C_{\varepsilon}C_4\left(\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^{2}+\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2\right)^{\alpha}, \end{array}\end{equation}$

其中

这里常数 $ C_2,C_3 $ 在 (3.2) 和 (3.3) 式中给出. 取 $ \varepsilon=\frac{ N|Q|_2^{\frac 4N}}{4 (N+2)c^{\frac4N}} $, 则存在一个常数 $ C>0 $ 使得

由于 $ \alpha>1 $, 则存在 $ \mu_0=(4CC_4)^{-\frac1{\alpha-1}} $ 使得对任意的 $ 0<\mu\leq\mu_0 $ 都有

若 $ 0<c\leq c_* $, 则 (4.2) 式可变替换为

其中当 $ N=1,2,3 $ 时, $ C_4= C_22^{\frac{N+2}{2}}c_*^{\frac{-N^2+2N+4}{N}} $; 当 $ N\geq4 $ 时, $ C_4= C_3 $ 是与 $ c $ 无关的常数. 故常数 $ \mu_0 $ 与 $ c $ 无关.

对任意的 $ c>0 $, 定义

(4.3)$\begin{equation}\label{4.3} m_c:=\inf\limits_{S_c\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu}}I(u), \end{equation}$

其中常数 $ \mu_0 $ 在引理 4.1 中给出. 由 $ m_c\geq i_c $ 和定理 1.1 可知对任意的 $ c>0 $, $ m_c $ 是定义好的. $ m_c $ 的极小达到函数是泛函 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 的临界点.

引理4.2 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 成立.

(1) 对任意的 $ 0<c\leq c_* $, $ m_c\geq0 $;

(2) 当 $ N\geq2 $ 时, 对任意的 $ 0<c<c_* $, $ m_c>0 $;

(3) 当 $ N\geq2 $ 时, 对任意的 $ 0<c<c_* $, 有

成立.

证 (1) 由定理 1.1 可知对任意的 $ 0<c\leq c_* $, 都有 $ m_c\geq i_c=0 $;

(2) 由反证法假设存在某个 $ \tilde{c}\in (0,c_*) $ 使得 $ m_{\tilde{c}}=0 $. 任取 $ u\in S_{\tilde{c}}\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $, 令 $ u^{c_*}(x)=u((\frac{c_*}{\tilde{c}})^{-\frac2N}x) $, 则 $ u^{c_*}\in S_{c_*} $. 由 $ N\geq2 $ 和 $ \tilde{c}<c_* $ 得到

(4.4)$\begin{equation}\label{4.4} \frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u^{c_*}|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u^{c_*}|^2|\nabla u^{c_*}|^2 = \left(\frac{c_*}{\tilde{c}}\right)^{2-\frac4N}\left(\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2|\nabla u|^2\right)>\mu_0, \end{equation}$

则 $ u^{c_*}\in S_{c_*}\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $. 类似于 (2.5) 式的证明可知

(4.5)$\begin{equation}\label{4.5} m_{c_*}\leq I(u^{c_*})\leq (\frac{c_*}{\tilde{c}})^2I(u)- [(\frac{c_*}{\tilde{c}})^2-(\frac{c_*}{\tilde{c}})^{2-\frac{4}{N}}]\mu_0. \end{equation}$

由 $ u $ 的任意性, 则 $ m_{c_*}\leq -[(\frac{c_*}{\tilde{c}})^2-(\frac{c_*}{\tilde{c}})^{2-\frac{4}{N}}]\mu_0<0 $, 这与 (1) 矛盾. 故对任意的 $ 0<c<c_* $, $ m_c>0 $;

(3)任取 $ c\in (0,c_*) $ 和 $ u\in S_{c}\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $, 对任意的 $ 1<\theta<\frac{c_*}{c} $, 令 $ u^{\theta}(x)=u(\theta^{-\frac2N}x) $. 则类似于 (4.4), (4.5) 式的证明可知 $ u^{\theta}\in S_{\theta c}\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $ 且

对任意的 $ 0<\alpha<c $, 不失一般性, 假设 $ 0<\sqrt{c^2-{\alpha}^2}\leq\alpha<c<c_*. $ 则 $ 1<\frac{c}{\alpha}<\frac{c_*}{\alpha},1<\frac{\alpha}{\sqrt{c^2-\alpha^2}}<\frac{c_*}{\sqrt{c^2-\alpha^2}} $. 因此

任取 $ c\in (0,c_*) $ 和 $ u\in S_c\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $, 则当 $ t>0 $ 充分接近 $ 1 $ 时有 $ tu\in S_{tc}\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $. 故类似于引理 2.4 的证明, 下述连续性成立.

引理4.3 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 成立. 则函数 $ c\mapsto m_c $ 在区间 $ (0,c_*) $ 内连续.

引理4.4 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 成立.则存在 $ c_0\in (0,c_*) $ 使得对任意的 $ c\in (c_0,c_*) $, 都有

证 由定理 1.2(3), $ i_{c_*} $ 存在一个全局极小达到函数 $ u_* $, 即 $ I(u_*)=i_{c_*}=0 $. 因为 $ \lim\limits_{c\rightarrow c_*^-}I(\frac{c}{c_*}u_*)=0<\frac14\mu_0 $, 则存在 $ c_0\in(0,c_*) $ 充分接近 $ c_* $ 使得对任意的 $ c\in (c_0,c_*) $, 有

故由引理 4.1 可知对任意的 $ c\in (c_0,c_*) $, 有

即对任意的 $ c\in (c_0,c_*) $, 有 $ \frac{c}{c_*}u_*\not\in \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $. 因此对任意的 $ c\in (c_0,c_*) $, 都存在 $ \frac{c}{c_*}u_*\in S_c\backslash\bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $ 使得

引理4.5 假设 $(f_1)$-$(f_3)$ 和 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 成立. 则对任意的 $ c\geq c_* $ 都有 $ m_c=i_c $.

证 由定理 1.1 和 1.2(3), 对任意的 $ c\geq c_* $, $ i_{c} $ 都存在一个极小达到函数 $ u_c $, 即 $ I(u_c)=i_c\leq 0 $. 由引理 4.1 可知 $ u_c\in S_c\backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $. 故 $ i_c\leq m_c\leq I(u_c)=i_c $, 即 $ m_c=i_c $.

引理 4.5 表明对任意的 $ c\geq c_* $, $ m_c $ 均存在极小达到函数,但 $ m_c $ 的极小达到函数就是 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的全局极小达到函数.

定理 1.3的证明

证 任取 $ c\in (c_0,c_*) $, 则 $ m_c>0 $. 假设 $ \{u_n\}\subset S_c\backslash\bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $ 是 $ m_c $ 的一个极小化序列, 则 $ \{I(u_n)\} $ 一致有界. 类似于引理 2.3 的证明可知 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\} $ 有界.

令 $ \rho_n:=u_n^2 $, 我们将应用集中紧致原理来证明这个定理.

由反证法假设对任意的 $ r>0 $, $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{y\in\mathbb{R}^N}\int_{B_r(y)}|u_n|^2=0 $, 则类似于定理 1.1(1) 的证明可知 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}F(u_n)= 0 $. 于是 $ \mu_0\leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac12\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2\right)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}I(u_n)=m_c, $ 这与引理 4.4 矛盾. 故消失的情形不会发生.

由反证法假设存在 $ \alpha\in (0,c) $ 和一列 $ \{y_n\}\subset\mathbb{R}^N $ 使得对任意的 $ \varepsilon_n\to0 $,存在一列 $ \{R_n\}\subset\mathbb{R}_+ $ 满足 $ R_n\to+\infty $ 和

假设 $ \xi_{n}:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}_+ $ 是一个截断函数且满足 $ 0\leq\xi_{n}\leq1 $; $ \xi_{n}(x)\equiv1 $, $ x\in B_{R_n}(y_n) $; $ \xi_{n}(x)\equiv0 $, $ x\in \mathbb{R}^N\backslash B_{2R_n}(y_n) $ 和 $ |\nabla\xi_{n}|\leq \frac{2}{R_n}. $ 令 $ \Omega_n:=B_{2R_n}(y_n)\backslash B_{R_n}(y_n) $ 且

类似于 (2.8)-(2.11) 式的证明得到

(4.6)$\begin{equation}\label{4.6} \int_{\mathbb{R}^N}v_n^2\rightarrow \alpha^2, \int_{\mathbb{R}^N}w_n^2\rightarrow c^2-\alpha^2. \end{equation}$

(4.7)$\begin{equation}\label{4.7} \hspace{-1.6cm}\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{\mathbb{R}^N}[F(u_n)-F(v_n)-F(w_n)]=0. \end{equation}$

(4.8)$\begin{equation}\label{4.8} \hspace{-1.2cm}\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{\mathbb{R}^N}\left(|\nabla u_n|^2-|\nabla v_n|^2-|\nabla w_n|^2\right) \geq0. \end{equation}$

(4.9)$\begin{equation}\label{4.9} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{\mathbb{R}^N}\left(u_n^2|\nabla u_n|^2-v_n^2|\nabla v_n|^2-w_n^2|\nabla w_n|^2\right)\geq 0.\end{equation}$

由 (4.6) 式可知当 $ n $ 充分大时有

由 (4.7)-(4.9) 式得到

(4.10)$\begin{equation}\label{4.10}m_c=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}I(u_n)\geq \lim\limits_{n\rightarrow\infty} [I(v_n)+I(w_n)].\end{equation}$

因为 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} I(v_n)\geq \lim\limits_{n\rightarrow\infty}i_{|v_n|_2}=i_{\alpha}=0 $, 则由引理 4.4 和 (4.10) 式可知

故当 $ n $ 充分大时有 $ I(w_n)<\frac14\mu_0 $. 于是由引理 4.1 可知当 $ n $ 充分大时, $ w_n \in S_{|w_n|_2}\backslash\bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $. 类似地当 $ n $ 充分大时 $ v_n \in S_{|v_n|_2} \backslash \bigcup\limits_{0<\mu\leq\mu_0}B_{\mu} $.

由 (4.10) 式和引理 4.3 可知

这与引理 4.2(3) 矛盾. 故两分的情形不会发生.

因此由集中紧致原理可知, 存在一列 $ \{y_n\}\subset\mathbb{R}^N $ 使得对任意的 $ \varepsilon>0 $, 都存在一个 $ R>0 $ 满足

令 $ \tilde{u}_n(x):=u_n(x+y_n) $, 则 $ \{\tilde{u}_n\} $ 也是 $ m_c $ 的极小化序列且 $ \{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla \tilde{u}_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|\tilde{u}_n|^2|\nabla \tilde{u}_n|^2\} $ 有界. 故存在一个 $ \tilde{u}\in H $ 使得 $ \tilde{u}_n\rightharpoonup\tilde{u} $ 于 $ H $ 且 $ \tilde{u}_n\rightarrow \tilde{u} $ 于 $ L^2(\mathbb{R}^N) $, 所以 $ \tilde{u}\in S_c $. 由 $(f_1)$-$(f_3)$ 得到 $ \int_{\mathbb{R}^N}F(\tilde{u}_n)\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}F(\tilde{u}) $ 且

则由引理 4.1 可知 $ \tilde{u}\in S_c\backslash\bigcup\limits_{0<\mu\leq \mu_0}B_{\mu} $. 故 $ I(\tilde{u})=m_c $, 即 $ \tilde{u} $ 是 $ m_c $ 的一个极小化达到函数. 故 $ \tilde{u} $ 是 $ I(u) $ 限制在 $ S_c $ 上的临界点.

证明定理 1.4 需要用到下述的 Pohozaev 恒等式.

引理4.6^{[4,引理 3.1]} 若 $ u\in H $ 是方程 (1.2) 的一个非平凡解, 则 $ u $ 满足下述的恒等式

定理 1.4 的证明

证 由反证法若存在一列 $ \{c_n\}\subset(0,+\infty) $ 满足 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n=0 $ 和一列 $ \{u_n\}\subset S_{c_n} $ 满足 $ u_n $ 是泛函 $ I $ 限制在 $ S_{c_n} $ 上的临界点, 则存在一列 $ \{\lambda_n\}\subset\mathbb{R} $ 使得 $ u_n $ 是下述方程

的非平凡解. 于是由引理 4.6 可知 $ u_n $ 满足下述恒等式

则由 (3.4) 得到

(4.11)$\begin{equation}\label{5.1}\begin{array}{ll} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2 & \leq N\int_{\mathbb{R}^N}[\frac12 f(u_n)u_n-F(u_n)]\\[5mm] &\leq 2NCc_n^{\frac4N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+ \int_{\mathbb{R}^N}u_n^2|\nabla u|^2\right), \end{array}\end{equation}$

其中 $ C>0 $ 是一个与 $ n $ 无关的常数. 因为 $ c_n\rightarrow0 $, 则当 $ n $ 充分大时有 $ NCc_n^{\frac4N}\leq\frac{1}{4} $. 由 (4.11) 式可知 $ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_n|^2+ \int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^2|\nabla u_n|^2=0 $, 即 $ u_n=0 $, 这是不可能的. 因此存在一个充分小的 $ \check{c}>0 $ 使得对任意的 $ 0<c\leq\check{c} $, $ I(u) $ 不存在限制在 $ S_c $ 上的临界点. 并且当 $ \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{F(t)}{|t|^{2+\frac4N}}=0 $ 时, 则由定理 1.3 可知 $ \check{c}\leq c_0 $.