本文考虑带有混合排异非线性项的薛定谔方程

(1.1)$\begin{equation}\label{E:1.01} \begin{cases} -\Delta u+\lambda u=|u|^{p-2}u-|u|^{q-2}u,\\\|u\|_2=m,\\u\in H^1(\mathbb{R}^{N}),&\end{cases} \end{equation}$

其中$N=2,3$,$2<p<q<2^*$. 当$N=2$时,$2^*=\infty$; 当$N=3$时,$2^*=\frac{2N}{N-2}=6$.$m>0$是一个给定的质量,$H^1(\mathbb{R}^{N})$是索伯列夫空间, 频率$\lambda \in \mathbb{R}$是作为拉格朗日乘子出现的未知常数. 注意到, 问题 (1.1) 期望解具有给定的$L^2$范数, 物理学家把这种类型的解称为标准化解. 问题 (1.1) 来源于如下含时非线性薛定谔问题驻波解的研究

(1.2)$\begin{equation}\label{E:1.02} {\rm i}\partial_t\psi+\Delta\psi+|\psi|^{p-2}\psi-|\psi|^{q-2}\psi=0, \psi{:} \quad \mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\to\mathbb{C}. \end{equation}$

我们考虑问题 (1.2) 的具有形式$\psi(t,x):={\rm e}^{{\rm i}\lambda t}u(x)$的解, 其中$\lambda\in \mathbb{R}$,$u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$. 显然, 函数$\psi(t,x):={\rm e}^{{\rm i}\lambda t}u(x)$是问题 (1.2) 的解当且仅当$u(x)$满足

(1.3)$\begin{equation}\label{E:1.03} -\Delta u+\lambda u=|u|^{p-2}u-|u|^{q-2}u. \end{equation}$

问题 (1.2) 出现在物理学的许多模型中, 可以用来描述非线性光学、场论、超导性的平均场理论、玻色-爱因斯坦凝聚的运动. 当$p=4$,$q=6$时, 问题 (1.1) 称为三次-五次非线性薛定谔方程, 这个方程出现在很多物理模型中, 近些年已经引起了广泛的研究, 见参考文献 [2,3,8,9,11,19].

问题 (1.1) 具有变分结构, 因此我们研究它的基本策略是利用临界点理论. 问题 (1.1) 对应的能量泛函为

(1.4)$\begin{equation}\label{E:1.04} F(u):=\frac{1}{2}\|\nabla u\|_2^2+\frac{1}{q}\|u\|_q^q-\frac{1}{p}\|u\|_p^p. \end{equation}$

显然, 能量泛函在$H^1(\mathbb{R}^N)$上是$C^1$的, 并且对于一个给定的$m>0$,$F$的临界点应该服从约束

(1.5)$\begin{equation}\label{E:1.05} S_m{:}=\{u\in H^1(\mathbb{R}^N):\|u\|_{2}=m\}. \end{equation}$

通过保$L^2$范数伸缩$k^{\frac{N}{2}}u(kx)$很容易看出,$p=\frac{4}{N}+2$是 (1.1) 的$L^2$临界指标. 这里我们定义满足如下条件的$u_0$为基态

Jeanjean 与 Lu 在更一般的条件下, 在文献 [6,7] 中给出了问题 (1.1) 基态的存在性, 我们总结如下

命题 1.1 (i) 当$p\in (2,\frac{4}{N}+2)$,$m>0$时

映射$m\to E_m$是非增的, 连续的. 此外, 对于任意$m>0$, 全局极小$E_m$可达并且问题 (1.1) 有一个径向对称基态$u_m \in S_m$.$u_m$是$F|_{S_m}$的极小化子, 使得$F(u_m)=E_m<0$;

(ii) 当$p=\frac{4}{N}+2$,$m>0$时, 令$m_*:=\|w_*\|_2$, 其中$w_* \in H^1$是$L^2$临界非线性薛定谔方程

的正径向对称解,

对于$m\geq m_*$, 映射$m\to E_m$是非增的, 连续的. 此外, 当$0<m\leq m_{*}$时,$E_m=\mathop{\inf}\limits_{S_m}F=0$是不可达的; 当$m>m_{*}$时, 全局极小$E_m$可达并且问题 (1.1) 有一个径向对称基态$u_m \in S_m$.$u_m$ 是$F|_{S_m}$的极小化子, 使得$F(u_m)=E_m<0$;

(iii) 当$p\in (\frac{4}{N}+2,2^*)$时, 存在$m^*=\mathop{\inf}\limits_{m>0} \left\{E_m<0\right\}\in (0,+\infty)$, 使得

对于$m\geq m^*$, 映射$m\to E_m$是非增的. 当$0<m< m^{*}$时,$E_m=\mathop{\inf}\limits_{S_m}F=0$不可达; 当$m\geq m^{*}$时,$E_m$可达并且问题 (1.1) 有一个径向对称基态$u_m \in S_m$.$u_m$是$F|_{S_m}$的极小化子, 使得$F(u_m)=E_m<0$.

受文献 [15] 的启发, 在这篇文章中我们沿着基态的存在性分支, 分析能量和质量, 频率和质量之间的关系, 并分析基态的极限性质.

本文共分为 6 章.

第 1 章 概括本文所研究问题的背景及研究现状, 并简单地介绍本文的主要工作;

第 2 章 给出本文的主要结论;

第 3 章 在证明主要结论之前, 给出一些初步结果;

第 4 章 研究$p\in (2,\frac{4}{N}+2$) 的情形;

第 5 章 研究$p=\frac{4}{N}+2$的情形;

第 6 章 研究$p\in (\frac{4}{N}+2,2^*)$的情形.

1.$C$,$c$,$\bar{c}\cdots\cdots$ 表示不同的常数, 其在不同位置可以不相等;

2. 概念. 对于$\mathbb{R}_+$上的实值函数$f(s)$,$g(s)\geq0$, 我们记

$f(s)\lesssim g(s)$于$0$或$\infty$处$\Leftrightarrow$对于足够小的$s$或足够大的$s$, 有$f(s)\leq Cg(s)$;

$f(s)\gtrsim g(s)$$\Leftrightarrow$$g(s)\lesssim f(s)$;

$f(s)\sim g(s)$$\Leftrightarrow$$f(s)\lesssim g(s)$以及$f(s)\gtrsim g(s)$;

$f(s)\simeq g(s)$$\Leftrightarrow$当$s\to 0$或$s\to \infty$时,$f(s)\sim g(s)$以及$\lim \frac{f(s)}{g(s)}=1$;

$f(s)=o(g(s))$$\Leftrightarrow$当$s\to 0$或$s\to \infty$时,$\lim \frac{f(s)}{g(s)}=0$;

3.$L^p=L^p(\mathbb{R}^N)$表示$\mathbb{R}^N$上的勒贝格空间, 其中$1\leq p< \infty$.$L^p$上的范数表示为

4.$H^1=H^1(\mathbb{R}^N)$表示$\mathbb{R}^N$上的希尔伯特空间.$H^1$上的范数表示为

$H_{rad}^{1}$表示$H^1$上的径向函数空间, 并且,$S_{m,rad}{:}=S_{m}\cap H_{rad}^{1}.$

我们记

(2.1)$\begin{equation}\label{E:2.01} E_m{:}=\inf_{S_m}F=\inf\{F(u): u\in H^1, \|u\|_2=m\}, \end{equation}$

$E_m$是$S_m$上的最小能量水平. 能量泛函$F$包含三个不同的幂项, 它们以不同速率伸缩,$m$和$E_m$的关系是不容易发现的. 当能量泛函仅含两项时, 因为标度不变性, 质量-能量和质量-频率的关系是和质量有关的显式函数, 所以我们考虑相应的带单个非线性项的非线性薛定谔方程和托马斯-费米方程.

考虑非线性薛定谔泛函

(2.2)$\begin{equation}\label{E:2.02} I_s(u):=\frac{1}{2}\|\nabla u\|_2^2-\frac{1}{p}\|u\|_p^p, \end{equation}$

以及如下极小化问题

(2.3)$\begin{equation}\label{E:2.03} E_m^s:=\inf_{S_m}I_s, \end{equation}$

其中$p\in (2,2^*)$.$p=\frac{4}{N}+2$是问题 (2.3) 的$L^2$临界指标.

对于$p\neq\frac{4}{N}+2$,$m>0$, 考虑伸缩

(2.4)$\begin{equation}\label{E:2.04} u(x)\in S_{m}\to w(x){:}=m^{\frac{4}{Np-2N-4}}u(m^{\frac{2p-4}{Np-2N-4}}x)\in S_{1}. \end{equation}$

当$p<{\frac{4}{N}}+2$时

(2.5)$\begin{equation}\label{E:2.05} E_{m}^{s}=m^{2\frac{Np-2N-2p}{Np-2N-4}}E_{1}^{s}. \end{equation}$

如果$w_0\in S_1$是$E_{1}^{s}$的一个极小化子, 那么$u_m(x)=m^{-\frac{4}{Np-2N-4}}w_{0}(m^{-\frac{2p-4}{Np-2N-4}}x)\in S_{m}$是$E_{m}^{s}$的一个极小化子.

对于$p>{\frac{4}{N}}+2$, 则在伸缩$k^{\frac{N}{2}}u(kx)$下,$E_{m}^{s}=-\infty$.

注意到$u(x)\in S_{m}$和$u\to w\in S_{1}$, 结合伸缩 (2.4) 式, 有

(2.6)$\begin{equation}\label{E:2.06} F(u)=I_s(u)+\frac{1}{q}\|u\|_q^q=m^{2\frac{Np-2N-2p}{Np-2N-4}}(I_s(w)+\frac{1}{q}m^{\frac{4p-4q}{Np-2N-4}}\|w\|_q^q). \end{equation}$

这表明当$p>\frac{4}{N}+2$,$m\to\infty$或者$p<{\frac{4}{N}}+2$,$m\to0$时,$L^{q}$项能够被忽略, 我们可以把$m^{2\frac{Np-2N-2p}{Np-2N-4}}I_{s}|_{S_{1}}$作为$F|_{S_{m}}$的极限泛函.

命题 2.1 (1) 如果$p \in (2,\frac{4}{N}+2)$, 那么$E_1^s<0$并且存在一个正的径向对称极小化子$w_{0}\in S_{1}$使得$I_s(w_{0})=E_{1}^{s}$;

(2) 如果$p\in (\frac{4}{N}+2,2^*)$, 那么对于任意的$m>0$,$E_m^s=-\infty$, 并且$I_{s}|_{S_1}$有一个径向对称山路临界点$v_0>0$使得

(2.7)$\begin{equation}\label{E:2.07} \tilde{E}_1^s:=I_s(v_0)>0. \end{equation}$

${I}_{s}|_ {S_1}$在能级$\mu\in \mathbb{R}$上的每一个临界点$w$是如下非线性薛定谔方程的一个正解

(2.8)$\begin{equation}\label{E:2.08} -\Delta w+\lambda_{s}w=|w|^{p-2}w,\quad w\in S_{1}, \end{equation}$

其中$\lambda_{s}$是一个拉格朗日乘子, 并且

(2.9)$\begin{equation}\label{E:2.09} \begin{gathered} \lambda_{s}={\frac{2[2p-(p-2)N]}{(p-2)N-4}}\mu,\quad \|\nabla w\|_{2}^{2}=\frac{2(p-2)N}{(p-2)N-4}\mu,\quad \|w\|_{p}^{p}=\frac{4p}{(p-2)N-4}\mu. \end{gathered} \end{equation}$

方程 (2.8) 的正解是唯一的, 关于一个点是径向对称且径向递减的, 见文献 [10].

注 2.1 我们可以寻找 Gagliardo-Nirenberg 商的极小化子

(2.10)$\begin{equation}\label{E:2.10} S_p:=\inf_{u\in H^1(\mathbb{R}^N)\setminus\{0\}}\frac{\|\nabla u\|_2^{\frac{(p-2)N}{2}}\|u\|_2^{p-\frac{(p-2)N}{2}}}{\|u\|_{p}^{p}}, \end{equation}$

上式关于保质量伸缩和标量乘法是不变的.$S_p$对于任意的$p\in (2,2^*)$是可达的, 问题 (2.10) 的极小化子满足欧拉-拉格朗日方程

(2.11)$\begin{equation}\label{E:2.11} -\frac{(p-2)N/2}{\|\nabla u\|_2^2}\Delta u+\frac{p-(p-2)N/2}{\|u\|_2^2}u=\frac{p}{\|u\|_p^p}|u|^{p-2}u. \end{equation}$

命题 2.1 构建的标准化解$w_0$和$v_0$是$S_p$的极小化子.

$p=\frac{4}{N}+2$是非线性薛定谔方程的$L^2$临界指标, 也就是说, 在保质量伸缩$w_{k}=k^{\frac{N}{2}}w(kx)$下,$I_s$是齐次的, 即

令$w_*$是下列非线性薛定谔方程的正解

(2.12)$\begin{equation}\label{E:2.12} -\Delta w+w=|w|^\frac{4}{N}w,\quad w\in H^1. \end{equation}$

这个解是唯一的, 径向对称且径向递减的, 见文献 [10,17,18]. 特别地, 我们定义

常数$m_{*}$满足

(2.13)$\begin{equation}\label{E:2.13} \frac{N}{2+N}m_{*}^{\frac{4}{N}}=S_{\frac{4}{N}+2}:=\inf_{0\neq w \in H^1}\frac{\|\nabla w\|_{2}^{2}\|w\|_{2}^{\frac{4}{N}}}{\|w\|_{\frac{4}{N}+2}^{\frac{4}{N}+2}}, \end{equation}$

这里极小值可达当且仅当$w$是方程 (2.12) 的唯一正解.

命题 2.2

当$p=\frac{4}{N}+2$时

并且方程 (2.12) 的唯一正解是$E_{m_{*}}^{s}$的一个极小化子. 如果$m<m_*$, 那么$E_{m}^{s}$没有极小化子.

此外, 如果$w_*$是$E_{m_{*}}^{s}$的极小化子, 那么

(2.14)$\begin{equation}\label{E:2.14} \|w_{*}\|_{\frac{4}{N}+2}^{\frac{4}{N}+2}=\frac{2+N}{2}m_{*}^{2}, \end{equation}$

(2.15)$\begin{equation}\label{E:2.15} ||\nabla w_{*}||_{2}^{2}=\frac{N}{2}m_{*}^{2}. \end{equation}$

对于任意的$k>0$,$w_{*,k}(x){:}=k^{\frac{N}{2}}w_{*}(kx)\in S_{m_{*}}$也是$E_{m_{*}}^{s}$的一个极小化子, 并且$w_{*,k}$满足欧拉-拉格朗日方程

(2.16)$\begin{equation}\label{E:2.16} -\Delta w+k^{-2}w=|w|^\frac{4}{N}w. \end{equation}$

考虑托马斯-费米泛函

(2.17)$\begin{equation}\label{E:2.17} I_{TF}(u)=\frac{1}{q}\|u\|_q^q-\frac{1}{p}\|u\|_p^p, \end{equation}$

以及如下极小化问题

(2.18)$\begin{equation}\label{E:2.18} E_m^{TF}:=\inf\{I_{TF}(u):u\in L^q,\|u\|_2=m\}, \end{equation}$

其中$2<p<q<2^*$. 因为对于任意的$u \in S_m$有$\|u\|_p^p\leq cm^{2\frac{q-p}{q-2}}\|u\|_q^{q\frac{p-2}{q-2}}$, 所以极小化问题有意义, 并且对于任意的$m>0$,$E_m^{TF}>-\infty$. 考虑伸缩

(2.19)$\begin{equation}\label{E:2.19} u(x)\in S_{m}\to z(x):=u(m^{\frac{2}{N}}x)\in S_{1}, \end{equation}$

得到

(2.20)$\begin{equation}\label{E:2.20} E_m^{TF}=m^2E_1^{TF}. \end{equation}$

对于任意的$m>0$, 如果$z_{*}$是$E_1^{TF}$的一个极小化子, 那么$z_{*}(m^{-\frac{2}{N}}x)$是$E_m^{TF}$的一个极小化子.

注意到$u(x)\in S_{m}$和$u\to z\in S_{1}$, 结合伸缩 (2.19) 式, 有

(2.21)$\begin{equation}\label{E:2.21} F(u)=\frac{1}{2}\|\nabla u\|_{2}^{2}+I_{TF}(u)=m^{2}\bigg(I_{TF}(z)+\frac{1}{2}m^{-\frac{4}{N}}\|\nabla z\|_{2}^{2}\bigg). \end{equation}$

这表明当$m\to\infty$时, 梯度项能够被忽略, 我们可以把$m^{2}I_{TF}|_{S_{1}}$作为$F|_{S_{m}}$的极限泛函, 以及

(2.22)$\begin{equation}\label{E:2.22} E_m\simeq m^2E_1^{TF}. \end{equation}$

问题 (2.17) 作为托马斯-费米问题被熟知, 见文献 [12].为了获得托马斯-费米能量$E_{1}^{T F}$基态的存在性, 我们可以查阅文献 [5,14]. 为了寻求便利, 我们给出基态存在性的证明.

令$z_{\infty}(x)$是相应方程的一个非负解, 即

上面的方程可以看成是如下具有$L^2$范数约束的极小化问题的欧拉-拉格朗日方程

下面, 我们考虑相应的等价问题, 即, 令$\varphi(x)=|u(x)|^2$, 定义

引理 2.1 对于

我们有

(2.23)$\begin{equation}\label{E:2.23} \min_{\varphi(x)\geq0,\int_{\mathbb{R}^N}\varphi({x}){\rm d}x=1}\int_{\mathbb{R}^N}\bigg(\frac{1}{q}\varphi^{\frac{q}{2}}(x)-\frac{1}{p}\varphi^{\frac{p}{2}}(x)\bigg){\rm d}x=\frac{1}{q}\bigg(\frac{q(p-2)}{p(q-2)}\bigg)^{\frac{q-2}{q-p}}-\frac{1}{p}\bigg(\frac{q(p-2)}{p(q-2)}\bigg)^{\frac{p-2}{q-p}}, \end{equation}$

等式成立当且仅当$\varphi(x)={\rho}_{*} 1_{\Omega}(x)$,$\Omega$是测度为$1/{\rho}_{*}$的博雷尔集, 其中

(2.24)$\begin{equation}\label{E:2.24} {\rho}_{*}=\mathop{\rm argmin}\limits_{\varphi(x)>0}\bigg(\frac{1}{q}\varphi^{\frac{q}{2}-1}(x)-\frac{1}{p}\varphi^{\frac{p}{2}-1}(x)\bigg)=\bigg(\frac{q(p-2)}{p(q-2)}\bigg)^{\frac{2}{q-p}}. \end{equation}$

证 对于$\alpha_*:=\frac{1}{q}{\rho}_{*}^{\frac{q}{2}-1}-\frac{1}{p}{\rho}_{*}^{\frac{p}{2}-1}$, 映射

在$\mathbb{R}^+$上是非负的, 并且仅有 0 和${\rho}_{*}$两个零点. 因此

等式成立当且仅当$\varphi$取 0 或${\rho}_{*}$. 因此$\varphi(x)={\rho}_{*}1_{\Omega}(x)$, 其中$\Omega$ 是测度为$1/{\rho}_{*}$的博雷尔集.

托马斯-费米约束极小化问题$E_1^{TF}$的极小化子$z_{\infty}$是径向对称非负的, 我们记

(2.25)$\begin{equation}\label{E:2.25} z_{\infty}(x):={\sqrt{\bigg(\frac{q(p-2)}{p(q-2)}\bigg)^{\frac{2}{q-p}}}.1_{\Omega(x)}},\quad \Omega=B\Bigg(0,\sqrt[N]{\bigg(\frac{q(p-2)}{p(q-2)}\bigg)^{\frac{2}{q-p}}\frac{1}{w_N}}\Bigg)\subset \mathbb{R}^N, \end{equation}$

其中,$1_\Omega$是博雷尔集$\Omega$的特征函数,$w_N$表示$\mathbb{R}^N$中单位球的表面积. 此外,$z_{\infty}(x)$满足如下欧拉-拉格朗日方程

其中$\lambda^{TF}\in \mathbb{R}$是一个拉格朗日乘子. 根据文献 [4], 我们有相应的Poho?aev 恒等式

即

(2.26)$\begin{equation}\label{E:2.26} \frac{p-2}{p}\|z_{\infty}\|_p^p=\frac{q-2}{q}\|z_{\infty}\|_q^q. \end{equation}$

因此

(2.27)$\begin{equation}\label{E:2.27} -\|z_{\infty}\|_q^q+\|z_{\infty}\|_p^p=-2E_1^{TF}. \end{equation}$

注 2.2 我们考虑泛函

相关的伸缩为

则 $F(u)=I_{GP}(u)-\frac{1}{p}\|u\|_p^p=m^{\frac{2pN-4q-4N}{Nq-2N-4}}\bigg(I_{GP}(w)-\frac{1}{p}m^{\frac{4q-4p}{Nq-2N-4}}\|w\|_p^p\bigg).$

然而$I_{GP}$在$S_1$上是没有临界点的. 因为这个泛函并没有带来任何有用的信息, 所以我们不考虑它.

现在陈述我们的主要结论.

定理2.1 令$p\in (2,\frac{4}{N}+2)$,$m>0$. 问题 (1.1) 有一个正径向对称基态$u_m\in S_m$, 它是$F|_{S_m}$的极小化子, 使得$F(u_m)=E_m<0.$

(i) 当$m\to 0$时

(2.28)$\begin{equation}\label{E:2.28} E_{m}\simeq m^{-\frac{4p-2Np+4N}{Np-2N-4}}E_{1}^{s},\quad\lambda_{m}\simeq-2\frac{(p-2)N-2p}{(p-2)N-4}E_{1}^{s}m^{\frac{4p-8}{4-Np+2N}}, \end{equation}$

伸缩族

(2.29)$\begin{equation}\label{E:2.29} w_{m}(x){:}=m^{\frac{4}{Np-2N-4}}u_{m}(m^{\frac{2p-4}{Np-2N-4}}x) \end{equation}$

在空间$H^1$中, 收敛到$I_s|_{S_1}$的一个正径向对称非线性薛定谔极小化子$w_0\in S_1$, 使得$I_s(w_0)=E_1^s$.

(ii) 当$m\to \infty$时

(2.30)$\begin{equation}\label{E:2.30} E_m\simeq m^2E_1^{TF},\quad \lambda_m\simeq-2E_1^{TF}, \end{equation}$

伸缩族

(2.31)$\begin{equation}\label{E:2.31} z_m(x):=u_m(m^{\frac{2}{N}}x) \end{equation}$

在空间$L^2\cap L^q$中, 收敛到$I_{TF}|_{S_1}$的非负径向对称托马斯-费米极小化子$z_{\infty}$, 使得$I_{TF}(z_{\infty})=E_1^{TF}$.

定理2.2 令$p=\frac{4}{N}+2$,$m>0$.$m_{*}:=\|w_*\|_2$, 其中$w_*\in H^1$是$L^2$临界非线性薛定谔方程 (2.12) 的正径向对称解. 则

当$0<m\leq m_{*}$时,$E_m=0$是不可达的; 当$m>m_{*}$时, 问题 (1.1) 存在一个正径向对称基态$u_m\in S_m$, 它是$F|_{S_m}$的极小化子, 使得$F(u_m)=E_m<0$.

(i) 当$m\to m_*^{+}$时

此外, 伸缩族

(2.32)$\begin{equation}\label{E:2.32} v_{\lambda_{m}}(x)=\lambda_{m}^{-\frac{N}{4}}u_{m}(\lambda_{m}^{-\frac{1}{2}}x) \end{equation}$

在空间$H^1$中, 收敛到$w_*$;

(ii) 当$m\to \infty$时, 定理 2.1 中 (ii) 结论成立.

定理2.3 令$p\in (\frac{4}{N}+2,2^*)$,$m>0$. 存在$m^*>0$, 使得

当$0<m< m^{*}$时, 极小值$E_m=0$不可达; 当$m\geq m^{*}$时,$E_m$可达并且问题 (1.1) 有一个正径向对称基态$u_m \in S_m$. 它是$F|_{S_m}$的极小化子, 使得$F(u_m)=E_m<0$.

当$m\to\infty$时,$E_m\sim-m^2$, 与全局极小化子$u_m$对应的拉格朗日乘子$\lambda_m$满足$\lambda_{m}\gtrsim1$.

此外, 定理 2.1 中 (ii) 结论成立.

在准备证明我们的主要定理前, 本节给出一些初步结果. 首先, 我们展示著名的 Gagliardo-Nirenberg 不等式.

引理3.1 当$N = 1,2$时,$2 < p < \infty$; 当$N \geq3$时,$2<p<2^*$, 则存在常数$C_{N,p} > 0$使得

(3.1)$\begin{equation}\label{E:3.01} \int_{\mathbb{R}^N}|u|^pdx\leq C_{N,p}\Big(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\Big)^\frac{N(p-2)}{4}\Big(\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2{\rm d}x\Big)^{\frac{p}{2}-\frac{N(p-2)}{4}}, \end{equation}$

其中

$R$满足如下方程

由插值不等式和 Gagliardo-Nirenberg 不等式得出下面的估计

(3.2)$\begin{align*}\label{E:3.02} & \|u\|_q\leq C_{N,q}\|\nabla u\|_2^{\frac{N(q-2)}{2q}}m^{1-\frac{N(q-2)}{2q}},\quad \forall u\in S_m,\end{align*}$

(3.3)$\begin{align*}\\\label{E:3.03} &\|u\|_p^p\leq cm^{2\frac{q-p}{q-2}}\|u\|_q^{q\frac{p-2}{q-2}},\quad \forall u\in S_m,\end{align*}$

(3.4)$\begin{align*}\\\label{E:3.04} &\|u\|_p^p\leq\overline{c}m^{p+N-\frac{Np}{2}}\|\nabla u\|_2^{\frac{N(p-2)}{2}},\quad \forall u\in S_m.\end{align*}$

通过 (3.2) 和 (3.4) 式可知, 对于任意$m>0$, 能量泛函$F$在$S_m$ 上的极小化问题有意义. 显然, 约束泛函$F|_{S_{m}}$是$C^1$的并且$F|_{S_{m}}$的临界点是问题 (1.1) 的弱解. 即, 如果$u\in S_m$是$F|_{S_{m}}$的一个临界点, 那么

其中$\lambda_m \in \mathbb{R}$一个未知的拉格朗日乘子.

特别地, 如果$u\in S_m$是问题 (1.1) 的一个带有拉格朗日乘子$\lambda_m \in \mathbb{R}$的弱解, 那么$u$满足 Nehari 恒等式

(3.5)$\begin{equation}\label{E:3.05} \|\nabla u\|_2^2+\lambda_m m^2+\|u\|_q^q-\|u\|_p^p=0.\end{equation}$

此外,$u$满足如下 Poho\v{z}aev 恒等式, 证明来自文献 [16].

命题3.1 令$u \in S_m$是问题 (1.1) 的一个带有拉格朗日乘子$\lambda_m\in \mathbb{R}$的弱解, 则

(3.6)$\begin{equation} \frac{N-2}{2}\|\nabla u\|_2^2+\frac {N}{2}\lambda_mm^2+\frac {N}{q}\|u\|_q^q-\frac {N}{p}\|u\|_p^p=0.\end{equation}$

我们记

(3.7)$\begin{equation}\label{E:3.07} A=\|\nabla u\|_2^2,\quad B=\|u\|_q^q,\quad C=\|u\|_p^p. \end{equation}$

对于任意的$p$, 我们给出 Energy-Nehari-Poho\v{z}aev 方程组

(3.8)$\begin{equation}\label{E:3.08} \begin{cases} \frac{1}{2}A+\frac{1}{q}B-\frac{1}{p}C=\mu_m,\\A+B-C=-\lambda_mm^2,\\\frac{N-2}{2}A+\frac{N}{q}B-\frac{N}{p}C=-\frac{N}{2}\lambda_mm^2.& \end{cases} \end{equation}$

通过计算, 我们获得

(3.9)$\begin{equation}\label{E:3.09} \begin{cases} C=\frac{2p}{(p-2)N}A+\frac{(q-2)p}{q(p-2)}B,\\ \lambda_mm^2=\frac{2p-(p-2)N}{(p-2)N}A+\frac{2(q-p)}{q(p-2)}B,\\ \mu_{m}=\frac{(p-2)N-4}{2(p-2)N}A+\frac{p-q}{q(p-2)}B. \end{cases} \end{equation}$

特别地, (3.9) 式的第二个关系式表明, 我们可以排除负拉格朗日乘子和零拉格朗日乘子.

命题4.1 令$p\in (2,\frac{4}{N}+2$),$m>0$.

当$m\to+\infty$时

(4.1)$\begin{equation}\label{E:4.01} E_{m}\sim-m^{2}. \end{equation}$

当$m\to 0$时

(4.2)$\begin{equation}\label{E:4.02} E_{m}\sim-m^{2\frac{2p-Np+2N}{4-Np+2N}}. \end{equation}$

证 我们记

(4.3)$\begin{equation}\label{E:4.03} F(u)\geq\frac{1}{q}\|u\|_{q}^{q}-\frac{1}{p}\|u\|_{p}^{p}\geq\frac{1}{q}\|u\|_{q}^{q}-\frac{1}{p}cm^{2\frac{q-p}{q-2}}\|u\|_{q}^{q\frac{p-2}{q-2}}:=g_{1}(\|u\|_{q}^{q}), \end{equation}$

极小化$g_{1}$, 我们得到

(4.4)$\begin{equation}\label{E:4.04} E_m\gtrsim-m^2. \end{equation}$

为了获得一个上界, 取$w\in S_{1}$使得$F(w)<0$. 那么$w_m = w(m^{-\frac{2}{N}}x)\in S_{m}$以及

(4.5)$\begin{equation}\label{E:4.05} F(w_m)=\frac{1}{2}\|\nabla w\|_2^2m^{2-\frac{4}{N}}+(\frac{1}{q}\|w\|_q^q-\frac{1}{p}\|w\|_p^p)m^2. \end{equation}$

因为

所以, 当$m\to+\infty$时

(4.6)$\begin{equation}\label{E:4.06} E_m\lesssim-m^2. \end{equation}$

通过 (4.6) 和 (4.4) 式我们得到 (4.1) 式.

我们记

(4.7)$\begin{equation}\label{E:4.07} \begin{aligned} F(u)\geq\frac{1}{2}\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{1}{p}\|u\|_{p}^{p}\geq\frac{1}{2}\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{1}{p}\bar{c}m^{p+N-\frac{Np}{2}}\|\nabla u\|_{2}^{\frac{N(p-2)}{2}}:=g_{2}(\|\nabla u\|_{2}) \end{aligned}, \end{equation}$

极小化$g_{2}$, 我们得到

(4.8)$\begin{equation}\label{E:4.08} E_m\gtrsim-m^{2\frac{2p-Np+2N}{4-Np+2N}}. \end{equation}$

接下来, 取极小化函数$u_{1}\in S_{1}$并且考虑伸缩

(4.9)$\begin{equation}\label{E:4.09} w_{m}(x):=m^{\frac{-4}{Np-2N-4}}u_{1}(m^{\frac{-2p+4}{Np-2N-4}}x)\in S_{m}, \end{equation}$

我们得到

(4.10)$\begin{equation}\label{E:4.10} E_{m}\leq F(w_{m})\\=\bigg(\frac{1}{2}\|\nabla u_{1}\|_{2}^{2}-\frac{1}{p}\|u_{1}\|_{p}^{p}\bigg)m^{\frac{4p-2Np+4N}{4-Np+2N}}\\+\frac{1}{q}\|u_{1}\|_{q}^{q}m^{\frac{4p-2Np+4N}{4-Np+2N}+\frac{4q-4p}{4-Np+2N}}, \end{equation}$

其中

通过$2<p<\frac{4}{N}+2$,$2<p<q<\frac{2N}{N-2}=2^{*}$, 我们得到

所以, 当$m\to 0$时

(4.11)$\begin{equation}\label{E:4.11} E_{m}\lesssim-m^{2\frac{2p-Np+2N}{4-Np+2N}}. \end{equation}$

通过 (4.11) 式和 (4.8) 式我们得到 (4.2) 式.

为了描述基态的渐进性态, 我们分析相关拉格朗日乘子的性质.

引理4.1 令$p\in (2,\frac{4}{N}+2)$,$m>0$, 则与全局极小解$u_{m}$对应的拉格朗日乘子$\lambda_m$满足 当$m\to+\infty$时

(4.12)$\begin{equation}\label{E:4.12} \lambda_{m}{\sim}1. \end{equation}$

当$m\to 0$时

(4.13)$\begin{equation}\label{E:4.13} \lambda_{m}{\sim}m^{\frac{4p-8}{4-Np+2N}}. \end{equation}$

证 令

由 (3.8) 式得

因此

从而, 当$m\to +\infty$时, 根据 (4.1) 式我们得到 (4.12) 式; 当$m\to 0$时, 根据 (4.2) 式我们得到 (4.13) 式.

令$ m\to\infty$. 我们有

(4.14)$\begin{equation}\label{E:4.14} E_m\sim-m^2,\quad \lambda_m\sim1. \end{equation}$

考虑伸缩

那么$\|z_m\|_2^2=1$, 并且对于任意的$m>0$,$z_{m}$是如下伸缩能量在$S_{1}$上的全局极小化子

此外, 当$m\to \infty$时

$z_{m}$满足如下欧拉-拉格朗日方程

其中$\lambda_{m}\sim1$.

命题4.2 令$p\in (2,\frac{4}{N}+2)$. 当$m \to \infty$时

并且伸缩极小化子$z_m$在空间$L^2\cap L^q$中收敛到$S_1$中托马斯-费米极小化问题 (2.18) 的径向对称极小化子$z_{\infty}$.

证 令$z_m\in S_1$是$I_{TF}$的一个测试函数, 我们能够得到

(4.15)$\begin{equation}\label{E:4.15} E_1^{TF}\leq\widetilde{E}_m-\frac{m^{-\frac{4}{N}}}{2}||\nabla z_m||_2^2<\widetilde{E}_m,\quad\forall m>0. \end{equation}$

现在, 令$z_{\infty}(x)=\sqrt{(\frac{q(p-2)}{p(q-2)})^{\frac{2}{q-p}}.1_{\Omega}}(x)$ 是$m=1$时托马斯-费米问题 (2.18) 的一个极小化子, 其中$\Omega=B(0,\sqrt[N]{(\frac{p(q-2)}{q(p-2)})^{\frac{2}{q-p}}\frac{1}{w_{N}}})$. 我们令$R_{*}>0$ 是$z_{\infty}$ 的支集半径.

因为$z_{\infty}\notin H^{1}$, 所以对于$r>0$, 我们引入一个截断函数$\eta_{r}(x):=\bar{\eta}(r(|x|-R_*))$, 其中$\bar{\eta}\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R},[0,1])$满足, 当$k\leq -1$时,$\bar{\eta}(k)=1$; 当$k\geq -\frac{1}{2}$ 时,$\bar{\eta}(k)=0$. 然后, 我们定义

其中$\sigma_{r}{:}=||\eta_{r}z_{\infty}||_{2}^{-1}$, 使得$||z_{r}(x)||_{2}=1$. 当$r\to \infty$时,$\sigma_{r}\to 1$ 以及

(4.16)$\begin{equation} \label{E:4.16} ||z_{r}||_{q}^{q}=\|z_{\infty}\|_{q}^{q}+o(1),\quad ||z_{r}||_{p}^{p}=\|z_{\infty}\|_{p}^{p}+o(1). \end{equation}$

令 $A_r{:}=\|\nabla z_r\|_2^2.$

因为$z_\infty\notin H^1$, 所以通过 Fatou 引理, 有$A_{r}\to \infty$. 令$m_{r}=A_{r}$, 则当$r \to \infty$时,

因此, 通过$r \to A_{r}$的连续性和 (4.15) 式, 当$m\to \infty$时

这表明当$m\to \infty$时,$\widetilde{E}_m\to E_1^{TF}$.

现在, 令序列$\left\{m_n\right\}$满足$\mathop{\lim}\limits_{n\to \infty} m_n = \infty$, 则

换句话说,$\left\{z_{m_n}\right\}$是$E_1^{TF}$的一个极小化序列.

序列$\left\{z_{m_n}\right\}$满足$\|z_{m_n}\|_2^2=1$并且$z_{m_n}$是单调径向递减的. 此外, 通过 (3.3) 式, 我们有

这表明$\|z_{m_n}\|_q$是有界的. 然后, 通过 Strauss 径向引理, 见文献 [1], 有

(4.17)$\begin{equation}\label{E:4.17} 0\leq z_{m_n}\leq U(|x|):=Cmin{(|x|^{-\frac{N}{2}},|x|^{-\frac{N}{q}}})\quad \forall|x|>0. \end{equation}$

通过单调函数的 Helly 选择引理, 见文献 [13],存在一个非负径向对称非增函数 $\tilde{z}_{\infty} (|x|)\leq U(|x|)$ 使得, 在抽取子列的意义下, 当$n\to \infty$时

此外, 在空间$L^2\cap L^q$中, 有$z_{m_n}(x)\rightharpoonup \tilde{z}_{\infty} (x).$ 因为 $U\in L^s \ \forall s\in (2,q),$ 所以通过勒贝格控制收敛定理, 在$L^s$中, 有 $z_{m_n} (x)\to \tilde{z}_{\infty} (x)\ \forall s\in (2,q).$ 那么 $\|\tilde{z}_{\infty}\|_2\leq 1$, 并且通过 Brezis-Lieb 引理, 见文献 [13],

此外

则

因为$E_1^{TF}<0$, 所以$\|\tilde{z}_{\infty}\|_2^2=1$以及$\|z_{m_{n}}-\tilde{z}_{\infty}\|_{q}^{q}\to 0$. 我们得到$\tilde{z}_{\infty}\in S_1$,$I_{TF} (\tilde{z} _{\infty})=E_1^{TF}$. 当我们限制$z_{\infty}$是一个径向对称函数时,$E_1^{TF}$的极小化子是唯一的. 因此$\tilde{z}_{\infty}=z_{\infty}$, 所以在空间$L^2 \cap L^q$中,$z_{m_n}\to z_{\infty}$.

我们通过 (3.8) 式可得

因此

通过 (2.27) 式我们能得当$m\to \infty$时,$\lambda_m\to -2E_1^{TF}$.

注 4.1 这个章节的结论对所有的$p\in (2,2^*)$都成立, 约束$2<p<\frac{4}{N}+2$仅仅与基态的存在性有关.

令$ m\to0$. 我们有

(4.18)$\begin{equation}\label{E:4.18} E_{m}\sim-m^{\frac{4p-2Np+4N}{4-Np+2N}},\quad \lambda_{m}\sim m^{\frac{4p-8}{4-Np+2N}}. \end{equation}$

给定$u(x)\in S_{m}$, 考虑伸缩

(4.19)$\begin{equation}\label{E:4.19} u(x)\in S_{m}\rightarrow w(x){:}=m^{\frac{4}{Np-2N-4}}u(m^{\frac{2p-4}{Np-2N-4}}x)\in S_{1}. \end{equation}$

定义

因此, 当$m\to 0$时

$w_{m}$是伸缩能量$\overline{F}_{m}$在$S_{1}$上的全局极小化子. 此外,$w_{m}$满足如下欧拉-拉格朗日方程

其中$\lambda_{m}\sim m^{\frac{4p-8}{4-Np+2N}}$.

命题4.3 令$p \in (2,\frac{4}{N}+2)$. 则

(4.20)$\begin{equation}\label{E:4.20} \begin{cases} E_{m}\simeq m^{-\frac{4p-2Np+4N}{Np-2N-4}}E_{1}^{s},\\ \lambda_{m}\simeq-2\frac{(p-2)N-2p}{(p-2)N-4}E_{1}^{s}m^{\frac{4p-8}{4-Np+2N}}. \end{cases} \end{equation}$

当$m\to 0$时, 伸缩极小化子$w_m$在空间$H^{1}$ 中收敛到$S_1$中非线性薛定谔极小化问题 (2.3) 的正径向对称极小化子$w_{0}\in S_{1}$.

证 取$w_m\in S_{1}$是$I_{s}|_{S_{1}}$的一个测试函数, 我们能够得到

令$w_{0}\in S_{1}$是$E_{m}^{s}=\mathop{\inf}\limits_{S_{m}}I_{s}$的一个正极小化子. 那么, 当$m \to 0$时

(4.21)$\begin{equation}\label{E:4.21} E_1^s<\check{E}_m\leq\overline{F}_m(w_0)=E_1^s+\frac{1}{q}m^{\frac{-4q+4p}{Np-2N-4}}||w_0||_q^q\to E_1^s. \end{equation}$

所以, 我们能得到$E_{m}=m^{-\frac{4p-2Np+4N}{Np-2N-4}}\check{E}_{m}\simeq m^{-\frac{4p-2Np+4N}{Np-2N-4}}E_{1}^{s}$.

从 (4.21) 式看出, 对于满足$\mathop{\lim}\limits_{n\to \infty} m_n = 0$ 的序列$\left\{m_n\right\}$,$\{w_{m_{n}}\}$是问题 (2.3) 的一个径向对称极小化序列. 注意到

因为$2<p<{\frac{4}{N}}+2$,$E_{m}^{s}<0$, 所以 $E_{1}^{s}<E_{\delta}^{s}+E_{1-\delta}^{s}\ \forall\delta\in (0,1).$ 我们能够得出$\{w_{m_{n}}\}$ 在空间$H^{1}$中, 收敛到非线性薛定谔极小化问题 (2.3) 的正径向对称极小化子$w_{0}\in S_{1}$.

现在通过 Nehari 恒等式 (3.5), 伸缩 (4.19) 式以及在空间$H^{1}$中$w_{m_{n}}\to w_{0}$, 我们推断出

因此, 通过(2.9) 式, 我们有

从而证明了$\lambda_{m}\simeq-2\frac{(p-2)N-2p}{(p-2)N-4}E_{1}^{s}m^{\frac{4p-8}{4-Np+2N}}$.

引理5.1 令$p=\frac{4}{N}+2$. 则

(5.1)$\begin{equation}\label{E:5.01} E_{m}\begin{cases}=0,\quad 0<m\leq m_*,\\ <0,\quad m>m_{*}.&\end{cases} \end{equation}$

证 首先, 通过 (4.3) 式得到$\inf\limits_{\mathbb{R}} g_1>-\infty$, 从而$E_m>-\infty$.

对于$m\leq m_{*}$, 通过 (2.13) 式, 我们有

此外, 考虑伸缩

则$\lim\limits_{k\to 0}F(u_k)=0$.

另一方面, 对于充分小的$k>0$, 当$m>m_*$时, 通过 (2.14), (2.15) 式及 (3.2) 式, 我们有

引理5.2 令$p=\frac{4}{N}+2$,$m>0$. 对应的约束泛函$F|_{S_{m}}$在非负能级下没有临界点$u$. 此外, 如果$\mu _m< 0$是$F$在$S_m$的一个能量水平值, 那么对应的拉格朗日乘子$\lambda_ m$满足

(5.2)$\begin{equation}\label{E:5.02} \lambda_ m\geq-\frac{2\mu_ m}{{m}^2}. \end{equation}$

证 给定$m>0$, 令$\mu _m \in \mathbb{R}$是$F$在$S_m$的一个能量水平值. 由 (3.8) 式得

(5.3)$\begin{equation}\label{E:5.03} \begin{cases} A=\frac{N}{2}\lambda_{m}m^{2}+N\mu_{m},\\ B=\frac{4q}{4+2N-qN}\mu_{m},\\ C=\frac{2+N}{2}\lambda_{m}m^{2}+\frac{4N+4q-qN^{2}+2N^{2}}{4+2N-qN}\mu_{m}. \end{cases} \end{equation}$

因为$q>p=\frac{4}{N}+2$, 所以$4+2N-qN<0$, 从而$\frac{4q}{4+2N-qN}<0$. 因此, 如果$\mu_{m} \geq 0$, 那么$ B \leq0$, 与$B$的定义构成矛盾.

由 (5.3) 式的第一个关系式我们得到 (5.2) 式.

引理5.3 令$p={\frac{4}{N}}+2$,$m>m_{*}$. 那么

特别地, 当$m\to m_{*}^{+}$时

当$m\to \infty$时

证 令$m>m_{*}$,$ u_{m}\in S_{m}$是$F|_{S_{m}}$的极小化子. 通过 (5.3) 和 (3.8) 式我们得到

那么

(5.4)$\begin{equation}\label{E:5.04} \begin{aligned} E_{m}&=-\frac{1}{\frac{4q}{qN-2N-4}}\|u_{m}\|_{q}^{q}=-\frac{\|u_{m}\|_{q}^{q\frac{qN-2N}{qN-2N-4}}}{\frac{4q}{qN-2N-4}\|u_{m}\|_{q}^{q\frac{4}{qN-2N-4}}}\\& =-\frac{(\frac{2q}{(q-2)(2+N)})^{\frac{qN-2N}{qN-2N-4}}(\|u_m\|_{\frac{4}{N}+2}^{\frac{4}{N}+2}-\frac{2+N}{N}||\nabla u_{m}||_{2}^{2})^{\frac{qN-2N}{qN-2N-4}}}{\frac{4q}{qN-2N-4}\|u_{m}\|_{q}^{q\frac{4}{qN-2N-4}}}\\& \geq-\frac{(1-(\frac{m_{*}}{m})^\frac{4}{N})\|u_{m}\|_{\frac{4}{N}+2}^{(\frac{4}{N}+2) \frac{qN-2N}{qN-2N-4}}}{c\frac{1}{m^{2}}\|u_{m}\|_{\frac{4}{N}+2}^{(\frac{4}{N}+2) \frac{qN-2N}{qN-2N-4}}} \\&=-Cm^{2}\bigg(1-(\frac{m_{*}}{m})^\frac{4}{N}). \end{aligned} \end{equation}$

当$m\to m_{*}^{+}$时,$E_{m}\gtrsim-(m^\frac{1}{N}-m_{*}^\frac{1}{N})\to 0$; 当$m\to\infty$时, $E_{m}\gtrsim-m^{2}$.

注5.1 另外, 对于$p={\frac{4}{N}}+2$, 当$m\to\infty$时, 我们有$E_{m}\sim-m^{2}$, 证明和 (4.1) 式的证明类似.

引理5.4 令$p={\frac{4}{N}}+2$,$m>m_{*}$. 当$m\to m_{*}$时,$\lambda_{m}\lesssim|E_{m}|^{\frac{4}{N(q-2)}}\lesssim(m^{\frac{1}{N}}-m_{*}^{\frac{1}{N}})^{\frac{4}{N(q-2)}}\to0$.

证 当$m\to m_{*}^{+}$时, 通过引理 5.2 得到

令$u_{m}$是$F$在$S_{m}$上的极小化子, 有

以及当$m\to m_{*}^{+}$时

随后, 我们推导, 经过伸缩后, 基态收敛到非线性薛定谔极限. 令$p={\frac{4}{N}}+2$,$m\to m_{*}$. 对于$u\in S_m$, 考虑伸缩

(5.5)$\begin{equation}\label{E:5.05} u(x)\to v_{\lambda_m}(x):=\lambda_m^{-\frac{N}{4}}u(\lambda_m^{-\frac{1}{2}}x)\in S_m, \end{equation}$

结合$\lambda_{m}\lesssim(m^{\frac{1}{N}}-m_{*}^{\frac{1}{N}})^{\frac{4}{N(q-2)}}\to 0$, 我们建立

通过 (5.5) 式, 有

因此,

(5.6)$\begin{equation}\label{E:5.06} \bar{E}_m{:}=\min_{S_m}\bar {F}_m={\lambda_m}^{-1}E_m. \end{equation}$

此外, 通过伸缩 (5.5) 式, 我们令

$\overline{v}_{m}\in S_{m}$是$F$在$S_{m}$上全局极小$u_m$的伸缩, 那么$\overline{v}_{m}$满足欧拉-拉格朗日方程

(5.7)$\begin{equation}\label{E:5.07} -\Delta\overline{v}_m+\overline{v}_m=|\\\overline{v}_m|^\frac{4}{N}\overline{v}_m-\lambda_m^{\frac{qN-2N-4}{4}}|\overline{v}_m|^{q-2}\overline{v}_m \quad \text{于}\quad \mathbb{R}^N. \end{equation}$

命题5.1 令$p={\frac{4}{N}}+2$,$m>m_{*}$. 则当$m \to m_{*}$时,$\lambda_{m}\to0$, 有关极小化子$u_{m}$的伸缩

在空间$H^1\cap L^q$中, 收敛到非线性薛定谔方程 (2.12) 的正解$w_{*}$.

证 从引理 5.4 中我们得到, 当$m\to m_{*}$时,$\lambda_{m}\to0$. 我们将研究$\overline{v}_{\lambda_{m}}$的性质, 令

注意到

考虑到$E_{m}<0$,

(5.8)$\begin{equation}\label{E:5.08} \begin{aligned} \frac{N}{2+N}m_{*}^{\frac{4}{N}}\leq&\frac{\|\nabla\overline{v}_{\lambda_{m}}\|_{2}^{2}\|\overline{v}_{\lambda_{m}}\|_{2}^\frac{4}{N}}{\|\overline{v}_{\lambda_{m}}\|_{\frac{4}{N}+2}^{\frac{4}{N}+2}} =\frac{m^{\frac{4}{N}}(\frac{N}{2}m^{2}+N\frac{E_{m}}{\lambda_{m}})}{\frac{2+N}{2}m^{2}-\frac{4N+4q-qN^{2}+2N^{2}}{qN-2N-4}\frac{E_{m}}{\lambda_{m}}}\\ \leq&\frac{N}{2+N}m^{\frac{4}{N}}\to \frac{N}{2+N}m_{*}^{\frac{4}{N}}. \end{aligned} \end{equation}$

特别地, 当$ m\to m_{*}^+$时

(5.9)$\begin{equation}\label{E:5.09} \frac{E_m}{\lambda_m}=o(1). \end{equation}$

否则, 我们将得到与 (5.8) 式中下界矛盾的结果.

(5.8) 式表明$\{\overline{v}_{\lambda_{m}}\}$是 Gagliardo-Nirenberg 商的一个极小化序列, 因此,$\overline{v}_{\lambda_{m}}$在空间$H^1$中, 收敛到非线性薛定谔方程 (2.12) 的唯一正解$w_*$, 从而, 在空间$L^q$中也收敛到非线性薛定谔方程 (2.12) 的唯一正解$w_*$, 见文献 [20].

引理5.5 令$p={\frac{4}{N}}+2$,$m>m_{*}$. 当$m\to m_{*}$时

$E_{m}\lesssim-(m^{\frac{1}{N}}-m_{*}^{\frac{1}{N}})^{\frac{Nq-2N}{Nq-2N-4}},$ $\lambda_{m}\gtrsim-E_{m}\gtrsim(m^{\frac{1}{N}}-m_{*}^{\frac{1}{N}})^{\frac{Nq-2N}{Nq-2N-4}}.$

证 对于$m>m_{*}$, 令

其中$w_{*}\in S_{m_{*}}$是$E_{m_{*}}^s$的极小化子. 由 (2.14) 和 (2.15) 式, 知

观察到当$m>m_{*}$,$k\to0$时,$F(w_{m,k})<0$. 对于一个固定的$m>m_{*}$, 关于$k$极小化, 我们发现当$m\to m_{*}^+$时, 极小化发生在$k_m\sim((\frac{m}{m_*})^{\frac{1}{N}}-1)^{\frac{2}{Nq-2N-4}}$.

当$m\to m_{*}$时

最后, 根据引理 5.2, 我们得到, 当$ m\to m_{*}^+$时

注5.2 结合目前的估计, 我们有

注5.3 当$p=\frac{4}{N}+2$时, 命题 4.2 仍然成立. 全局极小化子$u_m$的伸缩$z_m(x):=u_m(m^{\frac{2}{N}}x)$在空间$L^2\cap L^q$中收敛到$S_1$中托马斯-费米极小化问题 (2.18) 的径向对称极小化子$z_{\infty}$.

命题6.1 令$p\in (\frac{4}{N}+2,2^*)$.

当$m\to\infty$时

(6.1)$\begin{equation}\label{E:6.01} E_m\sim-m^2. \end{equation}$

证 对于足够大的$m$,$E_{m}<0$, (6.1) 式的证明和 (4.1) 式的证明类似.

引理 令$p\in (\frac{4}{N}+2,2^*)$,$\lambda_{m}$是与极小化子$u_{m}$对应的拉格朗日乘子. 那么, 当$m\to\infty$时,

(6.2)$\begin{equation}\label{E:6.02} \lambda_{m}\gtrsim1. \end{equation}$

证 通过 (3.8) 式, 我们得到

(6.3)$\begin{equation}\label{E:6.03} E_m=\frac{(p-2)N-4}{2(p-2)N}A_m-\frac{q-p}{q(p-2)}B_m \end{equation}$

和

(6.4)$\begin{equation}\label{E:6.04} \lambda_mm^2=\frac{2p-(p-2)N}{(p-2)N}A_m+\frac{2(q-p)}{q(p-2)}B_m, \end{equation}$

其中

当$m\to \infty$时,$E_{m}\sim -m^2\to -\infty$. 通过 (6.3) 式, 有

(6.5)$\begin{equation}\label{E:6.05} B_{m}\gtrsim m^{2}\quad(m\to\infty), \end{equation}$

结合 (6.4) 式我们得到 (6.2) 式.

注 6.1 通过 (6.2) 式, 类似命题 4.2 的证明, 我们可以得到, 当$m\to \infty$ 时,$\lambda_m \to -2E_1^{TF}$.

注 6.2 当$p\in (\frac{4}{N}+2,2^*)$时, 命题 4.2 仍然成立. 也就是说, 全局极小化子$u_m$的伸缩$z_m(x):=u_m(m^{\frac{2}{N}}x)$在空间$L^2\cap L^q$中收敛到$S_1$中托马斯-费米极小化问题 (2.18) 的径向对称极小化子$z_{\infty}$.