本文研究如下形式的非局部一阶 Hamilton-Jacobi 方程

(1.1)$\begin{equation}\partial_t u+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u =H(t,x,u,\nabla u),\ \ t>0,\ \ x\in\Omega, \end{equation}$

其中 $H$ 为实值函数, $\nabla $ 表示关于空间变量 $x$ 的梯度, 分数阶拉普拉斯算子 $(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s$ (亦称 Lévy 算子) 通常通过傅里叶变换在施瓦茨空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上定义为 $ (-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u=\mathcal{F}^{-1}(|\cdot|^{2s}\mathcal{F}[u]), $ 这里 $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换, 参数满足 $0<s<1$, 区域 $\Omega$ 为有界区域或全空间 $\mathbb{R}^n$.

对于每个固定的$t>0$, 我们采用文献 [6] 中提出的分数阶拉普拉斯算子 $(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u$ 的一个等价定义, 即

(1.2)$\begin{aligned} (-\triangle)^{s} u(x, t) & =C_{n, s} P. V. \int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{u(x, t)-u(y, t)}{|x-y|^{n+2 s}} \mathrm{~d} y \\ & =C_{n, s} \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^{n} \backslash B_{\varepsilon}(x)} \frac{u(x, t)-u(y, t)}{|x-y|^{n+2 s}} \mathrm{~d} y \end{aligned}$

其中 $0<s<1$, 符号 $P.V.$ 表示柯西主值. 显然, 该定义对函数 $u$ 的正则性要求显著降低.

Lévy 过程在物理科学中广泛存在; 特别地, 形如 (1.1) 的 Hamilton-Jacobi 方程出现在若干模型中 (见文献 [31, 第 5 节]). Lévy 算子亦常见于跳跃扩散过程的最优控制问题. 若不对跳跃进行控制, 方程 (1.1) 可视为此类最优控制问题的 Bellman-Isaacs 方程. 粘性解理论为求解此类方程提供了有效框架.

当 $H(t,x,u,\nabla u)=a|\nabla u|^p$ 时, 方程 (1.1) 变成

(1.3)$\begin{equation} \partial_t u+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u=a|\nabla u|^p,\ \ t>0,\ \ x\in\mathbb{R}^n,\ p\geqslant1. \end{equation}$

当 $s=1$ 时, 方程 (1.3) 是著名的粘性 Hamilton-Jacobi (VHJ) 方程

(1.4)$\begin{equation} \partial_t u-\mbox{$\bigtriangleup$} u =a|\nabla u|^p,\ \ t>0,\ \ x\in\mathbb{R}^n,\ p\geqslant1, \end{equation}$

该方程在数学与物理领域均具有重要意义. 从数学角度而言, 它是非线性项仅依赖于未知函数 $u$ 的梯度的抛物型偏微分方程最简单的实例, 可以看作是被广泛研究的带有零阶非线性项的方程 $\partial_t u-\mbox{$\bigtriangleup$} u =a|u|^{p-1}u$ 的类比. 另一方面, 问题 (1.4) 描述了随机界面生长的动力学模型, 即著名的 Kardar-Parisi-Zhang 方程 (KPZ 方程, 参见文献 [18,19]). 关于粘性 Hamilton-Jacobi (VHJ) 方程, 已有大量研究从不同角度探讨其性质. 在解的存在性与唯一性方面, 已知当初始值满足条件

(1.5)$\begin{equation} u(0,x)=u_0(x)\in W^{1,\infty}(\mathbb{R}^n) \end{equation}$

时, 问题 (1.4) 存在唯一的全局时间温和解, 即满足积分方程

的解, 其中 $P(t,x)$ 为热核 (具体可参见文献 [4,12]). 此外, 该解在正时间范围内是经典解, 且由极值原理可知: 若初始值 $u_0\geqslant0$, 则解 $u\geqslant0$; 若 $u_0\leqslant0$, 则解 $u\leqslant0$. 由此特性可得, 非线性项 $|\nabla u|^p$ 对于非负初始数据表现为源项, 而对于非正初始数据则表现为吸收项. 类似于半线性热方程 $\partial_t u-\mbox{$\bigtriangleup$} u =\lambda|u|^{p-1}u$ (其中 $\lambda=\pm1$) 的情形, 该方程解的渐近行为由扩散项 $\triangle u$ 与非线性项 $|\nabla u|^p$ 的效应平衡所决定. 关于问题 (1.4)-(1.5) 解的渐近性态已有众多研究成果, 可参阅文献 [1-4,12,17,20] 及其引文.

对于次临界情形 $s\in(\frac{1}{2},1)$, Karch 和 Woyczyński^[17] 证明了当 $s\in(\frac{1}{2},1)$ 且初始数据 $u_0\in W^{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 时, 问题 (1.3) 存在唯一的全局时间温和解. 近期, Iwabuchi^[15] 指出: 若初始数据 $u_0$ 属于 Besov 空间, 则临界指数 $s=\frac{1}{2}$ 对应的方程 (1.3) 同样存在全局时间温和解, 且其渐近行为类似于泊松核的适当倍数.

在本文中, 我们关注于 Hamilton-Jacobi 方程 (1.1) 解的渐近对称性与单调性, 这一课题似乎尚未被前人探讨. 众所周知, 解的对称性与单调性在非线性偏微分方程分析中具有关键作用, 并始终是现代偏微分方程理论的重要议题. 对于涉及局部或非局部算子的椭圆方程, 学界已建立了多种系统性方法来研究这些定性性质, 例如移动平面法 ^{[5,10,11,21,25-27,34]}、移动球面法 ^[7,23] 以及滑动方法 ^{[24,28,32,33]}. 关于抛物方程, 针对局部算子的研究已有若干成果. 例如, 李^[22]在初始数据对称的情形下获得了正解的对称性; Hess 与 Poláčik 在文献 [13] 中, 在有界区域中建立了如下抛物方程正解的渐近对称性

$ \left\{\begin{array}{lll} u_t=\mbox{$\bigtriangleup$} u +f(t,u),\quad & x\in \Omega,\quad t>0,\\ u (x,t)=0,& x \in \partial\Omega, t>0,\\ u(x,0)=u_0(x),& x\in \Omega. \end{array}\right. $

随后, Poláčik ^[9,29,30] 在有界与无界区域中关于涉及局部算子的抛物方程方向取得了多项进展. 然而, 对于涉及非局部算子的抛物方程, 迄今所知甚少. Jarohs 与 Weth^[16] 在有界区域中建立了一类非线性分数阶反应-扩散方程弱解的渐近对称性. 与椭圆方程不同, 无界域 (特别是 $\mathbb{R}^n$ 上) 抛物方程解的对称性研究仍处于初级阶段. 对称中心无法先验固定的特性使得对称性问题更具挑战性. 近几年, 我们在文献 [8] 中发展了一套系统化的渐近移动平面法框架. 类似于非局部椭圆方程的情形, 通过基本的方法构建了分数阶抛物方程的平行理论体系, 包括渐近狭窄区域原理、无穷远附近渐近极值原理、反对称函数渐近强极值原理等. 这一框架可便捷地应用于各类非局部抛物问题. 作为直接应用, 我们在文献 [8] 中研究了单位球及全空间中的分数阶抛物方程

(1.6)$\begin{equation}\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) +(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u(x,t)=f(t,u(x,t)), \end{equation}$

重点探讨了解的渐近对称性与单调性. 研究结果表明, 即使初始值不对称, 抛物方程的正解也会随时间增长而 "增强其对称性", 最终在 $t\rightarrow \infty$ 极限状态下呈现对称与单调特性.

受文献 [8] 启发, 本文研究具有任意初始值的方程 (1.1) 解的渐近对称性与单调性. 在陈述主要结果之前, 我们首先介绍若干定义与说明.

定义

则可直接验证: 对于 $u(\cdot,t)\in C^{1,1}_{\rm loc}\cap {\mathcal L}_{2s}$, 定义 (1.2) 中的分数阶拉普拉斯算子 $(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u(x,t)$ 是良定的. 我们将通过 $\omega$-极限集考察方程 (1.1) 有界解 $u$ 的渐近行为

对于满足$u(x,t)\in\big(C^{1,1}_{\rm loc}\cap {\mathcal L}_{2s}\big)\times C^1([0,+\infty))$ 的解, 若其具有边界衰减性

则由 Arzelá-Ascoli 定理与标准抛物估计可知, 其半轨道 $\{u(\cdot,t),t>1\}$ 在空间 $C_0(\bar{\Omega})$ 中是相对紧的. 因此, $\omega(u)$ 构成 $C_0(\bar{\Omega})$ 中的非空紧致子集, 且满足

本文中, $C_0(\bar{\Omega})$ 表示在 $\bar{\Omega}$ 上连续且在无穷远处衰减至 $0$ (或等价于在 $\mathbb{R}^n\backslash\Omega$ 上为 $0$) 的函数空间, 并赋予上确界范数.

为简化分析, 任选一坐标方向为 $x_1$ 方向. 定义移动平面

其左侧区域为 $ \Sigma_\lambda= \{x\in \mathbb R^n \mid x_1< \lambda \},$ 而点 $x$ 关于平面 $T_\lambda$ 的反射点为 $x^\lambda=(2\lambda-x_1, x_2,\cdots, x_n).$ 设 $u(x,t)$ 为方程 (1.1) 的解. 为比较 $u(x,t)$ 与 $u(x^\lambda,t)$ 的值, 定义

显然, $w_\lambda (x,t)$ 关于平面 $T_\lambda$ 具有反对称性, 即 $ w_\lambda(x,t)=-w_\lambda(x^\lambda,t). $ 对于任意的 $\varphi (x) \in \omega(u)$, 定义

此即 $w_\lambda (x,t)$ 的 $\omega$-极限.

在全文分析中, 由于方程右侧存在梯度项, 为确保正则性, 我们始终假设 $\frac{1}{2}<s<1$. 我们需要以下条件成立

(H0) 函数$H : [0,+\infty)\times \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续映射.

(H1) $H$关于变量 $u$ 不增.

(H2) 对任意 $R,\ T>0$, 存在常数 $C_{R,T}>0$ 使得对所有$x\in\Omega,\ u\in[-R,R],\ \textbf{p}\in\mathbb{R}^n$,及$\ t\in [0,T),$满足

(H3) 对任意 $R > 0$, 存在 $\bar{C}_{R,T}>0$ 使得在区域 $[R] \times B_R$ 上, $\partial_u H,\nabla_\textbf{p} H,\nabla^2_{\textbf{p},x}$ $H,\nabla_{\textbf{p}}\partial_u H$ 和 $\nabla^2_{\textbf{p},\textbf{p}}H$ 均被 $\bar{C}_{R,T}$ 控制.

(H4) 满足上确界条件:

关于单调性我们假设

(H5) $H$ 具有某种单调性, 即对于任意满足$-x_1,\ p_1\geqslant0$ 及 $x_1\leqslant \bar{x}_1\leqslant -x_1$ 的参数, 函数 $H(t, x,u, \textbf{p})$ 满足

这里 $x',\ \textbf{p}'\in \mathbb{R}^{n-1}$.

我们考虑的第一个问题是单位球上的 Dirichlet 问题

(1.7)$\begin{equation}\left\{\begin{array}{lll} \partial_t u+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u =H(t,x,u,\nabla u), &\qquad (x,t)\in B_1(0) \times (0,\infty),\\ u =0, &\qquad (x,t)\in B^c_1(0) \times (0,\infty), \end{array}\right. \end{equation}$

这里 $B^c_1(0)$ 表示单位球在 $\mathbb{R}^n$ 中的补集. 我们得到

定理 1 设 $H(t,x,u,\nabla u)$ 在 $\Omega=B_1(0)$ 时满足 (H0) $\sim$ (H5) 且当 $u=0,\ \ t\geq0$ 时有

假设 $u(x,t)\in \Big(C^{1,1}_{\rm loc} \big(B_1(0)\big) \cap C\big(\overline{B_1(0)}\big)\Big)\times C^1\big((0,\infty)\big)$ 是问题 (1.7) 的有界正解.

则对任意的 $\varphi(x) \in \omega(u)$, 必有以下两种情况之一: $\varphi(x)\equiv0$ 或 $\varphi(x)$ 在区域 $\{x\in\mathbb{R}^n\mid-1<x_1<0\}$ 内沿 $x_1$ 方向严格递增, 且满足

进一步地, 若 $H$ 还满足条件

(H5’)对 $x',\ \textbf{p}'\in \mathbb{R}^{n-1}$ 且 $x_1p_1\leqslant0$, 有

则可得

注 1 当 $H(t,x,u,\nabla u)=H(t,u)$ 时, 由于 $x_1$ 方向可以任意选取, 定理 1 将文献 [8] 中 Chen 等的部分结果作为特例包含其中.

注 2 通过定理 1 的证明可以看出, 若将区域 $B_1(0)$ 替换为在 $x_1$ 方向凸且关于超平面 $\{x \in\mathbb{R}^n\mid x_1=0\}$ 对称的有界区域, 我们仍能获得类似的单调性结果.

下面我们研究全空间上的 Hamilton-Jacobi 方程

(1.9)$\begin{equation} \partial_t u+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s u=H(t,x,u,\nabla u), (x,t) \in \mathbb R^n \times (0,\infty). \end{equation}$

我们需要对$H$做如下假设

(H6) 对某个常数 $\beta>0$, 存在常数 $C>0$, 使得当 $u, v\rightarrow 0$ u 时, 关于 $x$ 一致满足

(1.10)$\begin{equation} \frac{|H(t,x,u,\nabla u)-H(t,x,v,\nabla u)|}{|u-v|}\leqslant C(u^\beta+v^\beta). \end{equation}$

我们有如下定理

定理 2 假设 $H(t,x,u,\nabla u)$ 在 $\Omega=\mathbb{R}^n$ 时满足条件 (H0) $\sim$ (H6), 设 $u(x,t) \in \big(C^{1,1}_{\rm loc}(\mathbb R^n)\cap {\mathcal L}_{2s} \big)\times C^1\big((0,\infty)\big)$ 是方程 (1.9) 的有界正解并满足

(1.11)$\begin{equation} \limsup\limits_{|x|\rightarrow\infty,\ t>0}|x|^{2s}[u(x,t)]^\beta\leqslant\frac{\bar{C}_{n,s}}{4C}, \end{equation}$

其中 $C,\ \beta$ 与 (1.10) 式中相同, $\bar{C}_{n,s}$ 为依赖 $n,s$ 的常数. 则对任意的 $\varphi\in \omega(u)$, 必有以下两种情形之一成立

$\varphi\equiv0$ 或

存在 $\bar{\lambda}\leqslant 0$ 使得对所有的 $ \varphi\in \omega(u)\backslash\{0\}$, 函数 $\varphi $ 在区域 $\Sigma_{\bar{\lambda}}$ 内沿 $x_1$-方向严格递增, 且满足

i) 若 $\bar{\lambda}=0$, 则对所有 $\varphi\in\omega(u)\backslash\{0\}$,有

ii)若 $\bar{\lambda}<0$, 则至少存在一个 $\bar{\varphi} \in\omega(u)\backslash\{0\}$ 关于超平面 $T_{\bar{\lambda}}$ 对称, 即

由定理 2 我们容易得出如下的对称性结果

推论 1在定理 2 的假设下, 若 $H$ 关于 $x$ 为偶函数 (即满足 (H5’)) 则对任意的 $\varphi\in \omega(u)$, 必有以下两种情形之一成立

$\varphi\equiv0$ 或

存在 $\tilde{\lambda}\geqslant0$ 使得对于所有 $\varphi\in \omega(u)\backslash\{0\}$, 函数 $\varphi (x)$ 在区域 $\{x\in\mathbb{R}^n\mid x_1>\tilde{\lambda}\}$ 内沿 $x_1$-方向严格递减, 且满足

i)若 $\tilde{\lambda}=0$, 则对所有 $\varphi\in\omega(u)\backslash\{0\}$, 有

ii)若 $\tilde{\lambda}>0$, 则至少存在一个 $\tilde{\varphi} (x)\in\omega(u)\backslash\{0\}$ 关于超平面 $T_{\tilde{\lambda}}$ 对称, 即

注 3 当 $H(t,x,u,\nabla u)=H(t,u)$ 时, 定理 2 可看作文献 [8] 中主要结果的推广. 此处我们通过使用文献 [14] 中关于 Hamilton-Jacobi 方程的正则性结果, 只需 $H$ 满足 (H0) $\sim$ (H4), 避免了 $H$ 关于时间 $t$ 的正则性假设, 从而定理 2 可以应用于比文献 [8] 中更广泛的一类非线性项, 例如 $H(t,x,u,\nabla u)=\sin(e^t)g(u)$.

关于 $H$ 在 $u=0$ 附近的衰减性, 我们假设 $H$ 满足 (H6), 比文献 [8] 中相应的条件:存在常数 $\sigma>0$ 使得当 $u$ 接近 $0$ 时, 有 $ \partial_u H(t,x,u,\nabla u)<-\sigma $ 更广泛, 从而使之可以适用于形如 $H(t,x,u,\nabla u)=u^{p},\ p>1$ 的非线性项.

我们将使用文献 [8] 中发展的渐近移动平面法来证明主要结果. 为了获得单位球内解的对称性, 第一步需要证明: 当 $T_{\lambda}$ 足够接近区域左端时, 有

(1.12)$\begin{equation} \psi_\lambda(x)\geq 0, x\in \Sigma_\lambda. \end{equation}$

这就为移动平面提供了一个起始位置. 为此我们将应用定理 3 所述的渐近狭窄区域原理. 在全空间 $\mathbb{R}^N$ 情形下, 我们从靠近 $x_1=-\infty$ 处开始移动平面, 为此将应用本文的引理 5.

在第二步中, 沿用文献 [8] 的方法, 只要不等式 (1.12) 在其最右极限位置$T_{\lambda^-_0}$ 处成立, 我们就持续向右移动平面 $T_\lambda$, 其中

对于单位球情形, 我们证明了 $\lambda^-_0$ 必为零. 通过 $x_1$ 方向的任意性, 即可推出解关于原点的径向对称性与单调性. 对于全空间情形, 仅能证明存在至少一个 $\varphi \in \omega(u)$ 关于平面 $T_{\lambda^-_0}$ 对称. 为了证明所有 $\varphi \in \omega(u)$ 必须关于同一平面对称, 我们需要从靠近 $x_1 = +\infty$ 处出发, 将平面向左移动至其极限位置. 具体地, 定义

若 $\lambda^-_0 = \lambda^+_0,$ 则结论成立. 若 $\lambda^-_0 < \lambda^+_0,$ 则在第三步中, 对介于其间的某个 $\lambda$, 我们在 $\mathbb{R}^n \setminus \Sigma_\lambda$ 上构造下解, 结合对 $w_\lambda (x,t)$ 渐近行为的估计, 导出了一个矛盾. 这一构造是文献 [8] 的核心工作之一.

然而, 文献 [8] 中针对非线性项 $f=f(t,u)$ 所采用的技术 (特别是构造下解的方法) 无法直接推广到 $H=H(t,x,u,\nabla u)$ 的情形, 这源于 $x$ 与 $\nabla u$ 的出现. 一个核心原因在于: 在文献 [8] 中, 方程 (1.6) 的两个解的差满足线性方程; 而对于 Hamilton-Jacobin 方程, 在 $H$ 满足某些单调性假设下, 方程 (1.1) 的两个解的差只是某个线性方程的上解.

不同于文献 [8] 中通过构造下解来证明渐近强极值原理 (定理 4), 本文采取了另一路径——通过推导矛盾来完成证明, 这使得证明过程更为简洁. 遗憾的是, 对于全空间 $\mathbb{R}^n$ 情形, 渐近移动平面法的第三步难以直接推广至哈密顿-雅可比方程, 因为构造子解的方法在此失效. 因此, 本文仅证明: 要么 $\omega(u)$ 中所有函数关于超平面 $\{x\in\mathbb{R}^n\mid x_1=0\}$ 对称; 要么存在至少两个趋于无穷的时间序列 $t_n,\ t_j\rightarrow\infty$, 使得方程 (1.1) 的解 $u(x,t)$ 最终趋近于两个单调函数, 甚至两个关于不同超平面对称的函数.

至于 $\omega(u)$ 中的函数是否均为关于某一中心的对称稳态解, 以及它们是否共享同一对称中心, 目前尚不明确. 现阶段尚未有可行的方法解决这一问题, 这将是未来研究的重点.

在第 2 节中, 我们证明了渐近方法的核心原理; 第 3 节证明了单位球 $B_1(0)$ 内解的渐近对称性; 第 4 节则针对全空间 $\mathbb{R}^n$ 情形, 给出了解的渐近对称性证明.

在本节中, 我们将给出用于构建主要结果的核心原理的证明.

引理 1 假设 Hamilton 量 $H$ 满足条件 (H5),

对于 $\bar{\lambda}\leqslant0$, 若存在 $\lambda_0\in (-\infty, \bar{\lambda})$, 点 $x_0\in \Sigma_{\lambda_0}$, 及时刻 $t_0\in(0,T)$, 使得对于任意 $R,\ T>0$,

(2.1)$\begin{equation} w_{\lambda_0}(x_0,t_0)=\inf_{\substack{ \lambda\in [-R, \bar{\lambda}] \\ (x,t)\in\Sigma_\lambda\times[T] }}w_{\lambda}(x,t), \end{equation}$

则存在函数 $c_{\lambda}(x,t)$ 使得

注 4 我们将从以下证明中看出, 当引理 1 中的 $\Sigma_\lambda$ 被 $\Sigma_\lambda$ 中的一个有界开区域代替时, 引理 1 的结论任然成立.

证 由 (2.1) 式可得

1) $\frac{\partial w_{\lambda}}{\partial \lambda}(x,t)\big|_{(\lambda, x,t)=(\lambda_0,x_0,t_0)}\leqslant0$, 这表明 $(\partial_{x_1}u)(x_0^{\lambda_0},t_0)\leqslant0;$

2) $\partial_{x_1} w_{\lambda}(x,t)\big|_{(\lambda, x,t)=(\lambda_0,x_0,t_0)}=0,$ 由此可得

根据关系式

结合 1) 与 2) 可得

因此, 由条件 (H5) 可得

其中系数定义为

定理 3(渐近狭窄区域原理) 设区域 $\Omega$ 包含于狭窄带状区域

中的区域, 其中 $l$ 为小量.

对于充分大的 $\bar{t}$, 假设函数 $ {w_\lambda(x,t)} \in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Omega) \cap {\mathcal L}_{2s}) \times C^1([\bar{t},\infty))$ 在 $\bar{\Omega}$ 上关于 $x$ 一致有界且下半连续, 并满足

(2.2)$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial w_\lambda}{\partial t}(x,t)+(-\triangle)^sw_\lambda(x,t)\geqslant c_\lambda(x,t) w_\lambda(x,t), &(x,t) \in \Omega\times[\bar{t},\infty), \\ w_\lambda(x,t)\geq 0, &(x,t) \in (\Sigma_\lambda \backslash \Omega) \times[ \bar t,\infty), \\ w_\lambda(x,t)=- w_\lambda(x^\lambda,t), &(x,t) \in \Omega\times[\bar{t},\infty), \end{array} \right. \end{equation}$

其中 $c_\lambda(x,t)$ 有上界, 则以下结论成立

(i) 若 $\Omega$ 有界, 则当 $l$ 充分小时

(2.3)$\begin{equation} \underset{t \rightarrow \infty}{\underline{\lim}}w_\lambda(x,t)\geq0,\ \forall x\in \Omega; \end{equation}$

(ii) 若 $\Omega$ 无界, 则在附加条件

下, 结论 (2.3) 式仍然成立.

注 5 定理 3 的证明可参阅文献 [8]. 此外, 从证明过程可以看出, 我们仅需 (2.2) 式中的第一个不等式在

时成立即可.

定理4 (反对称函数的渐近强极值原理) 对于充分大的 $\bar{t}$, 假设函数 $u(x,t)\in (C^{1,1}_{\rm loc}(\Sigma_{\lambda})\cap {\mathcal L}_{2s})\times C^1([\bar{t},\infty)) $ 有界且满足

其中 $\lambda\leq0$, $H$ 满足 (H0) $\sim$ (H6).设 $w_\lambda(x,t)=u_\lambda(x,t)-u(x,t)$满足

若对某个 $\hat{\varphi}\in\omega(u)$, 存在 $x_0\in\Sigma_{\lambda}$ 使得 $\hat{\psi}_\lambda(x_0)=0$.

则 $\hat{\psi}_\lambda(x)\equiv0$ 在 $\Sigma_{\lambda}$ 上恒成立.

注 6 如后文定理 4 证明所示, 当把 $\Sigma_\lambda$ 替换为其内有界子区域时, 定理 4 的结论仍然成立.

证 对于该 $\hat{\varphi},$ 存在序列 $t_k$ 使得

定义

(2.4)$\begin{equation} u_k(x,t)=u(x,t+t_k-1), \end{equation}$$ w_k(x,t)=w_\lambda(x,t+t_k-1)=u_k(x^{\lambda},t)-u_k(x,t) $

及

(2.5)$\begin{equation} H_k(t,x,u,\nabla u)=H(t+t_k-1,x,u, \nabla u). \end{equation}$

由于 $H$ 满足 (H0) $\sim$ (H4), 根据文献 [14] 中抛物方程的正则性理论, 存在函数 $u_\infty$, $w_\infty$ 和 $\tilde H $ 使得

由 $u(\cdot, t)\in C^{1,\alpha}$ 及 Arzela-Ascoli 定理可得

因此, $w_\infty(x,t)$ 满足

(2.6)$\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{\partial w_\infty}{\partial t}(x,t)+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^sw_\infty(x,t)\\ =& \tilde{H}\big(t,x^\lambda, u_\infty(x^\lambda,t),\nabla u_\infty(x^\lambda,t)\big)-\tilde{H}\big(t,x, u_\infty(x,t),\nabla u_\infty(x,t)\big), \end{aligned} \end{equation}$

且

由此可得, $\frac{\partial w_\infty}{\partial t}(x_0,1)\leqslant0$ 且

(2.7)$\begin{equation} (-\triangle)^s w_\infty(x_0,1)=C_{n,s}P.V.\int_{\Sigma_{\lambda}}w_\infty(y,1)\bigg(\frac{1}{|x_0-y^{\lambda}|^{n+2s}}-\frac{1}{|x_0-y|^{n+2s}}\bigg){\rm d}y\leqslant0. \end{equation}$

另一方面, 由引理 1 可得

再结合 (2.6) 与 (2.7) 式可得

在本节中, 我们证明问题 (1.7) 解的渐近单调性.

设 $T_\lambda, \Sigma_\lambda, x^\lambda, u_\lambda, w_\lambda, \varphi$ 及 $\psi_\lambda$ 如第一节所定义.

再定义

则 $w_\lambda$ 满足以下方程

(3.1)$\begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\partial w_\lambda}{\partial t}+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s w_{\lambda} =H(t,x^\lambda,u_{\lambda}, (\nabla u)(x^{\lambda},t))-H(t,x,u, \nabla u)\\ & 和 w_\lambda(x,t)=- w_\lambda(x^\lambda,t),\ 于 \Omega_\lambda\times(0,\infty). \end{aligned} \end{equation}$

我们将分两步进行证明. 选取从原点出发的任一射线作为正 $x_1$ 轴方向. 首先证明

引理 2 当 $\lambda>-1$ 但充分接近 $-1$ 时, 对所有的 $\varphi \in \omega(u)$, 都有

(3.2)$\begin{equation} \psi_{\lambda}(x) \geq0, \;\; \forall \, x \in \Omega_\lambda. \end{equation}$

证 事实上, 对于某个小常数 $l>0$ 和任意 $T>\bar{t}>0$, 若存在 $\lambda_0\in(-1,-1+l] $, $(x_0,t_0)\in$ $\bar{\Omega}_{\lambda_0}\times(\bar{t},T]$, 使得

则由引理 1 及方程 (3.1), 在点 $(\lambda_0,x_0,t_0)$ 处 $w_\lambda(x,t)$ 满足

$ \frac{\partial w_{\lambda_0}}{\partial t}(x_0,t_0)+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s w_{\lambda_0} (x_0,t_0)\geqslant c_{\lambda_0}(x_0,t_0) w_{\lambda_0}(x_0,t_0). $

此外, 结合在 $B^c_1(0) \times (0,\infty)$ 中 $u(x,t)=0$ 可得

现应用定理 3(i) 与注记 5, 既得 (3.2) 式成立.

引理 2 为移动平面法提供了起始位置. 然后, 在不等式 (3.2) 成立的前提下, 将超平面 $T_\lambda$ 向右移动至极限位置, 定义

(3.3)$\begin{equation} \bar{\lambda}= \sup \{\lambda \leq0 \mid \psi_\mu(x)\geq 0, \mbox{对任意的} \varphi \in \omega(u), x \in \Omega_{\mu}, \mu \leq \lambda \}. \end{equation}$

我们将证明 $\bar{\lambda}=0$.

引理 3 若 $\bar{\lambda}<0$ 且 (1.8) 成立, 则对任意的 $\varphi \in \omega(u)\setminus\{0\}$, 存在点 $x_\varphi\in\Sigma_{\bar{\lambda }}$ 使得

(3.4)$\psi_{\bar{\lambda}}\left(x_{\varphi}\right)>0.$

证 由 (3.3) 式可知对所有 $\varphi \in \omega(u)$ 及 $x \in \Omega_{\bar{\lambda }}$, 有

若 (3.4) 式不成立, 则存在某个 $\hat{\varphi }\in \omega(u)$ 使得

结合 $u$ 的外部边界条件, 可知在 $B_1^c(0)\cap\Sigma_{\bar{\lambda }}$上, $\hat{\varphi }(x)\equiv0$. 由于 $\bar{\lambda }<0$, 必存在点 $x_0\in B_1(0)$ 使得

对该 $\hat{\varphi},$ 存在时间序列 $t_k$ 满足

令 $u_k,\ H_k$ 如 (2.4) 与 (2.5) 式所定义, 应用定理 4 证明中类似的正则性理论, 可得极限函数满足

$ \frac{\partial u_\infty}{\partial t}(x,t)+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^su_\infty(x,t)= \tilde{H}(t,x, u_\infty(x,t),\nabla u_\infty(x,t)), $

且 $u_\infty(x,1)=\hat{\varphi }(x)$. 注意到 $u_\infty(x,t)\geq0$, 故有 $\frac{\partial u_\infty}{\partial t}(x_0,1)\leq0$ 同时分数阶拉普拉斯项满足

$ (-\mbox{$\bigtriangleup$})^su_\infty(x_0,1)=C_{n,s}P.V.\int_{B_1(0)}\frac{- u_\infty(y,1)}{|x_0-y|^{n+2s}}{\rm d}y <0, $

末项不等式成立的原因是 $u_\infty(y,1)$ 在 $B_1(0)$ 内不恒为 0 (因 $\hat{\varphi }$ 在 $B_1(0)$ 内非 0).因此可得

注意到 $u_\infty(x_0,1)=\hat{\varphi }(x_0)=0$, 这与 (1.8) 式矛盾. 由此我们推出 (3.4) 式成立.

引理 4 若 $\bar{\lambda}<0$ 且对所有的 $\varphi\in\omega(u)\setminus\{0\}$ 满足

(3.5)$\begin{equation} \psi_{\bar{\lambda} }(x)>0, x\in \Omega_{\bar{\lambda} }. \end{equation}$

则超平面 $T_{\bar{\lambda}}$ 可略微继续右移, 即存在 $\varepsilon>0$ 使得

证 根据 (3.5) 式, 对任意充分小的 $\delta>0$, 每个 $\psi_{\bar{\lambda} }\big(\text{对应 }\ \varphi\in\omega(u)\big)$, 存在常数 $C_{\varphi}>0$ (依赖于 $\varphi$), 使得

(3.6)$\begin{equation} \psi_{\bar{\lambda} }(x)\geq C_{\varphi}>0, x\in \overline{\Omega_{\bar{\lambda} -\delta}}. \end{equation}$

我们进一步断言: 对所有 $\varphi \in \omega(u)$, 存在普适常数 $C_0$ 使得

(3.7)$\begin{equation} \psi_{\bar{\lambda} }(x)\geq C_0>0, x\in \overline{\Omega_{\bar{\lambda} -\delta}}. \end{equation}$

否则, 必存在函数列 $\{\psi_{\bar{\lambda} }^k\} \big(\text{对应}\ \{\varphi^k\} \subset \omega(u)\big)$ 与点列 $\{x^k\}\subset \overline{\Omega_{\bar{\lambda} -\delta}}$ 满足

(3.8)$\psi_{\bar{\lambda}}^{k}\left(x^{k}\right)<\frac{1}{k}$

由 $ \omega(u)$ 在 $C_0(\overline{B_1(0)})$ 中的紧性, 存在 $\psi^0_{\bar{\lambda} }\big(\text{对应某 }\ \varphi^0 \in \omega(u)\big)$ 及 $x_0\in\overline{\Omega_{\bar{\lambda} -\delta}}$ 使得

根据 (3.8) 式, 即得

这与 (3.6) 式矛盾 (因 $\varphi^0 \in \omega(u)$), 故 (3.7) 式必成立.

通过类似推导 (3.7) 式的紧性论证可得: 对所有 $\psi_\lambda$, 存在普适常数 $\varepsilon >0$, 使得当 $\bar{\lambda} +\varepsilon\leq0$ 时成立

(3.9)$\begin{equation} \psi_\lambda (x) \geq \frac{C_0}{2}>0, x\in \overline{\Omega_{\bar{\lambda} -\delta}},\ \ \ \ \forall \ \lambda \in (\bar{\lambda},\bar{\lambda} +\varepsilon). \end{equation}$

因此, 当 $t$ 充分大时成立

因 $\delta>0$ 充分小, 结合 (3.9) 式, 可取充分小的 $\varepsilon>0$, 使得对 $\lambda \in (\bar{\lambda},\bar{\lambda} +\varepsilon)$, 区域 $\Omega_\lambda \backslash \Omega_{\bar{\lambda} -\delta}$ 是狭窄区域, 于是类比引理 2 即得

(3.10)$\begin{equation} \psi_\lambda(x) \geq 0, \forall x\in \Omega_\lambda \backslash \Omega_{\bar{\lambda} -\delta}. \end{equation}$

综合 (3.9) 与 (3.10) 式可得

定理 1 的证明 对任意 $ \varphi \in \omega(u)$, 若 $\varphi(x) \equiv 0,$ 结论显然成立. 不妨设对任意 $ \varphi \in \omega(u)$, $\varphi $ 在 $B_1(0)$内不恒为 0.

证 对由 (3.3) 式定义的 $\bar{\lambda}$, 若 $\bar{\lambda}<0$, 则由引理 3 及渐近强极值原理 (定理 4) 可知 (3.5) 式成立. 应用引理 4 将导出与 $\bar{\lambda}$ 定义相矛盾的结果, 故必有 $\bar{\lambda}= 0$.

由引理 2 及 $\bar{\lambda}= 0$ 可知, 对所有 $\varphi\in \omega(u)$ 成立

等价地, 对所有 $\varphi\in \omega(u)$ 有

(3.11)$\begin{equation} \varphi(-x_1,\cdots,x_n)\leq \varphi(x_1,\cdots,x_n), 0<x_1<1. \end{equation}$

根据 $\bar{\lambda}$ 的定义, 对于 $\lambda<\bar{\lambda}=0$, 结合引理 3 和定理 4, 我们得到

这表明 $\varphi(x)$ 在区域 $\{x\in\mathbb{R}^n\mid-1<x_1<0\}$内沿$x_1$方向严格递增.

进一步地, 若对 $x',\ \textbf{p}'\in \mathbb{R}^{n-1}$满足

则 $u(-x_1,x')$ 亦满足方程 (1.7),类比 (3.11)可得: 对所有 $\varphi\in \omega(u)$,

因此结合对称性得

至此, 定理 1 证毕.

本节将运用渐近移动平面法, 证明问题 (1.9) 解的渐近对称性, 并完成定理 2 证明.设 $T_\lambda, \Sigma_\lambda, x^\lambda, u_\lambda, w_\lambda, \varphi$ 及 $\psi_\lambda$ 的符号定义与第 1 节保持一致.

引理 5 设 $H$ 和 $u$ 满足定理 2 中的条件. 对充分负的 $\lambda$成立

证 对某 $m>0$, 令

其满足

(4.2)$\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{\partial \tilde{w}_\lambda}{\partial t}+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s \tilde{w}_{\lambda}\\ =&m \tilde{w}_\lambda+e^{mt}[H(t,x^\lambda,u_{\lambda}, (\nabla u)(x^{\lambda},t))-H(t,x,u, \nabla u)], (x,t)\in \Sigma_\lambda\times (0,\infty).\end{aligned} \end{equation}$

我们将证明: 对任意 $T>\bar{t}$ ($\bar{t}$ 充分大), 成立

(4.3)$\begin{equation} \tilde{w}_\lambda(x,t)\geqslant \min\{0,\inf_{\Sigma_\lambda} \tilde{w}_\lambda(x,\bar{t})\}\ \ \text{于 }\ \Sigma_\lambda\times(\bar{t},T]. \end{equation}$

若 (4.3) 式不成立, 则存在序列 $\lambda_k\rightarrow -\infty$ 使得

根据衰减条件 (1.11), 存在 $(x_k,t_k)\in\Sigma_{\lambda_k}\times(\bar{t},T]$ 满足

(4.4)$\begin{equation} \tilde{w}_{\lambda_k}(x_k,t_k)=\inf_{ \Sigma_{\lambda_k}\times(\bar{t},T]}\tilde{w}_{\lambda_k}(x,t)<\min\{0,\inf_{\Sigma_\lambda} \tilde{w}_\lambda(x,\bar{t})\}\leqslant0. \end{equation}$

注意到

可推出

因此由 (4.2) 式及引理 1 可得 $\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k,t_k)$ 满足

$ \frac{\partial \tilde{w}_{\lambda_k}}{\partial t}(x_k,t_k)+(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s \tilde{w}_{\lambda_k}(x_k,t_k)\geqslant (m+c_{\lambda_k}(x_k,t_k))\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k,t_k), $

其中

注意到

$ \begin{aligned} &(-\mbox{$\bigtriangleup$})^s \tilde{w}_{\lambda_k}(x_k,t_k)\\ =&C_{n,s}P.V.\int_{\Sigma_{\lambda_k}}\frac{\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k,t_k)-\tilde{w}_{\lambda_k}(y, t_k)}{|x_k-y|^{n+2s}}{\rm d}y +C_{n,s}\int_{\mathbb R^n\backslash\Sigma_{\lambda_k}}\frac{\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k, t_k)-\tilde{w}_{\lambda_k}(y, t_k)}{|x_k-y|^{n+2s}}{\rm d}y\\ =&C_{n,s}P.V.\int_{\Sigma_{\lambda_k}}\frac{\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k, t_k)-\tilde{w}_{\lambda_k}(y, t_k)}{|x_k-y|^{n+2s}}{\rm d}y +C_{n,s}\int_{\Sigma_{\lambda_k}}\frac{\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k, t_k)-\tilde{w}_{\lambda_k}(y^{\lambda_k}, t_k)}{|x_k-y^{\lambda_k}|^{n+2s}}{\rm d}y\\ =&C_{n,s}P.V.\int_{\Sigma_{\lambda_k}}\frac{\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k, t_k)-\tilde{w}_{\lambda_k}(y, t_k)}{|x_k-y|^{n+2s}}{\rm d}y +C_{n,s}\int_{\Sigma_{\lambda_k}}\frac{\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k, t_k)+\tilde{w}_{\lambda_k}(y, t_k)}{|x_k-y^{\lambda_k}|^{n+2s}}{\rm d}y\\ \leq &C_{n,s}\int_{\Sigma_{\lambda_k}}\frac{2\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k, t_k)}{|x_k-y^{\lambda_k}|^{n+2s}}{\rm d}y\leq\frac{\bar{C}_{n,s}}{|x_k|^{2s}}\tilde{w}_{\lambda_k}(x_k, t_k), \end{aligned} $

此处利用了 $\Sigma_{\lambda_k}$ 中 $|x_k -y|<|x_k -y^{\lambda_k}|$ 以及

其中

此外, 由 (1.10), (1.11) 及 (4.4) 式可得存在 $R>0$ 使得$|x_k|\leqslant R$,

且

因此,

因此, 选取 $m=\frac{\bar{C}_{n,s}}{4R^{2s}}$可得

这是一个矛盾. 故 (4.3) 式成立, 即

令 $t=T$ 且 $T\rightarrow+\infty$ 即得 (4.1) 式.

引理 (5) 提供了移动平面的起点, 由此出发, 在条件 (4.1) 成立的情况下, 我们可将平面 $T_\lambda$ 向右移动至其极限位置. 具体地, 定义

引理 6 若$\bar{\lambda}<0,$ 则至少存在一个函数$\varphi \in \omega(u)\setminus\{0\}$ 关于极限平面 $T_{\bar{\lambda}}$ 对称, 即

证 不失一般性, 此处假设对任意的$\varphi \in \omega(u),\ \varphi\not\equiv0$. 首先根据 $\bar{\lambda}$ 的定义, 对任意 $\varphi \in \omega(u)$ 有

现假设对于任意 $\varphi \in \omega(u)$, 成立

(4.5)$\psi_{\bar{\lambda}}(x)>0, \quad \forall x \in \Sigma_{\bar{\lambda}}.$

取足够大的 $R>0$, 对任意给定的充分小的 $\delta>0$, 首先考虑 $x\in \overline{\Sigma_{\bar{\lambda}-\delta}\cap B_R(0)}$ 的情形. 由 (4.5) 式, 类似于 (3.9) 式的证明方法,可得存在 $C_0>0$和 $\varepsilon_0>0$ 使得

(4.6)$\begin{equation} \psi_{\lambda}(x)\geq\frac{C_0}{2}> 0, x\in \overline{ \Sigma_{\bar{\lambda}-\delta}\cap B_R(0)}, \lambda\in(\bar{\lambda},\bar{\lambda}+\varepsilon_{0}),\ \ \forall \ \varphi \in \omega(u), \end{equation}$

这意味着当 $t$ 充分大时

对于 $x\in\Sigma_{\lambda}\Big\backslash\overline{ \Sigma_{\bar{\lambda}-\delta}\cap B_R(0)}$ 的情形, 该区域由狭窄区域 $(\Sigma_{\lambda}\backslash\Sigma_{\bar{\lambda}-\delta})\cap B_R(0)$ 和无界区域 $\Sigma_{\lambda}\cap B^c_R(0)$ 组成. 结合引理 2 的证明方法, 可得

综合 (4.6) 和 (4.7) 式可知, 对所有 $\varphi \in \omega(u)$ 有

这与 $\bar{\lambda}$ 的定义矛盾. 因此假设 (4.5) 式不成立.故必存在至少一个$\hat{\varphi}\in \omega(u)$ 及 $x_0\in\Sigma_{\bar{\lambda}}$ 使得

对此 $\hat{\psi}_{\bar{\lambda}}$应用渐近强极值原理 (定理 4) 可得

定理 2 的证明 若存在 $\varphi\in \omega(u)$ 不恒为零, 则不失一般性, 可假设对任意 $\varphi\in \omega(u)$, 存在 $x_\varphi\in\mathbb{R}^n$ 使得

证 对于定理 2, 引理 5 提供了出发点. 随后将平面移动至最右端的极限位置.

首先, 根据 $\bar{\lambda}$, 对任意 $\lambda<\bar{\lambda}\leqslant0$, 及所有 $ \varphi\in \omega(u)$, 成立

对每个 $ \varphi\in \omega(u)$, 应用渐近强极值原理 (定理 4), 注意到在 $\Sigma_\lambda$ 内 $\psi_\lambda(x) \not\equiv0$, 因此可得对全体 $ \varphi\in \omega(u)$,

即对所有 $ \varphi\in \omega(u)$, $\varphi (x)$ 在 $\Sigma_{\bar{\lambda}}$ 内沿 $x_1$-方向严格递减.

若 $\bar{\lambda} =0$, 显然对全体 $\varphi\in\omega(u),$ 有

若 $\bar{\lambda}<0,$ 根据引理 6, 至少存在一个$\hat{\varphi}\in \omega(u)$, 使得

进一步地, 当 $H$ 还满足条件 (H5') 时, 我们从正无穷远处开始移动平面, 进行与前面类似的步骤, 可得定理 2 的结果是成立的. 至此, 定理 2 得证.