梯度估计和 Liouville 定理在几何学研究中是非常重要的数学工具和研究对象. Yau 和 Cheng^[1,2] 建立了完备非紧黎曼流形上正调和函数的梯度估计.

定理 1.1^[1,2] 设 $M$ 是 m 维完备非紧流形, 其 Ricci 曲率满足 $\operatorname{Ric} \geq \kappa $, 其中 $ \kappa \geq 0 $. 若 $ u$ 是在测地球 $ B_{2R} (x_0) $ 上的正调和函数, 则有

(1.1)$\begin{equation} \sup_{B_R(x_0)} \frac{|\nabla u|}{u} \leq C_m \left(\frac{1}{R} + \sqrt{\kappa} \right), \end{equation}$

其中 $ C_m $ 是仅依赖于维数 $ m $ 的常数.

随后, Cheng^[3] 将上述结果推广到调和映射情形.

定理 1.2^[3] 设 $M$ 是具有非负 Ricci 曲率的完备非紧黎曼流形. 记 $B_R (x_0)$ 是以 $x_0$ 为中心, $R$ 为半径的测地球. 设 $N$ 是 Cartan-Hadamard 流形. 如果 $f: M \to N$ 是满足次线性增长条件的调和映射, 即

(1.2)$\begin{gather*} \limsup_{x \to +\infty} R^{-1} \sup_{B_R (x_0)} \rho \circ f(x) = 0, \end{gather*}$

那么 $f$ 必是常值映射.

此类结果已被推广到众多广义调和映射, 读者可参见 [4-7] 等文献. 本文将研究从叶状黎曼流形到黎曼流形的次椭圆调和映射, 建立其梯度估计和 Liouville 型定理.

设 $M$ 是一个 $m+n$ 维光滑流形, $V$ 是其切丛 $TM$ 的一个 $n$ 维光滑可积分布. 根据 Frobenius 定理, 经过每一点 $p \in M$, 可以通过 $V$ 唯一生成一个极大连通的积分流形 $L$. 这些积分流形互不相交, 被称为叶. 全体叶的集合形成了 $M$ 的一个叶状结构 $\mathcal{F}$. 进一步对 $M$ 赋予度量 $g$, 则可上诱导正交分解

(1.3)$\begin{align*} \label{eq:12} TM = V \oplus H \end{align*}$

分别称 $V$ 和 $H$ 为垂直分布和水平分布. $g$ 在两者上的诱导度量分别记为 $g_V$ 和 $g_H$. 若水平度量沿垂直方向不变, 即李导数 $\mathcal{L}_V g_H = 0$, 则称 $(M, \mathcal{F}, g)$ 为叶状黎曼流形. 记 $\hat{\nabla} $ 是度量 $g$ 的黎曼联络. 沿用文献 [8] 中的记号, 对于 $X, Y\in \Gamma(TM)$, 定义

(1.4)$\begin{align*} A_X Y = \hat{\nabla}_{X_H}^V Y_H = \frac{1}{2} [X_H, Y_H]_V \quad \mbox{和} \quad \sigma (X, Y) = \hat{\nabla}_{X_V}^{H} Y_V. \end{align*}$

事实上, $A \big|_{H \times H} $ 是反对称张量, $\sigma \big|_{V \times V} $ 是对称张量. 读者可参见文献 [8] 来了解叶状黎曼流形.

在正交分解 (1.3) 式下, 切向量场 $X$ 的垂直部分和水平部分分别记为 $X_V$ 和 $X_H$. 不同于黎曼联络, 如下定义的广义 Bott 联络 $\nabla$ 保持了水平分布和垂直分布

(1.5)$\begin{align*} \label{eq:13} \nabla_X Y = \begin{cases} (\hat{\nabla}_X Y)_H, & X, Y \in \Gamma (H) \\ [X, Y]_H, & X \in \Gamma (V), \ Y \in \Gamma (H) \\ [X, Y]_V, & X \in \Gamma (H), \ Y \in \Gamma (V) \\ (\hat{\nabla}_X Y)_V, & X, Y \in \Gamma (V) \end{cases} \end{align*}$

事实上, 在 Sasakian 几何中,广义 Bott 联络和 Tanaka-Webster 联络(参见文献 [9])是相同的.广义 Bott 联络可定义在更一般的次黎曼流形上,它为比较定理、水平能量变分等次黎曼几何问题提供了一种研究框架.Baudoin 等在文献 [10] 中在全测地叶状黎曼流形上给出了次黎曼距离函数的比较定理. 然而, 次黎曼距离函数的正则性欠佳 (参见文献 [11]), 这为经典 Li-Yau 梯度估计方法中的截断函数构造形成了一定的障碍. 而黎曼距离函数往往具有较好的正则性, 文献 [12] 利用指标引理建立了 Sasakian 流形上 黎曼距离函数的 sub-Laplacian 估计. 本文将利用 Li-Wang^[13] 的方法, 将该结果推广至叶状黎曼流形.

定理 1.3 设 $(M, \mathcal{F}, g)$ 是完备的叶状黎曼流形, 且满足

(1.6)$\begin{gather*} \operatorname{Ric}_H \geq - \kappa g_H, \qquad \sup \{ | A |, \; | \nabla_H A | \} \leq \kappa_1, \qquad \sup \{ | \sigma |, \; | \nabla_H \sigma | \} \leq \kappa_2, \end{gather*}$

其中 $\kappa, \kappa_1, \kappa_2$ 是非负常数. 令 $r = r (x)$ 是从定点 $x_0 \in M$ 出发的黎曼距离函数. 则在 $x_0$ 的割迹内, 有

(1.7)$\begin{gather*} \Delta_H r \leq C_m (r^{-1} + \sqrt{\kappa + C_1}), \end{gather*}$

其中 $m$ 是水平分布的维数, $C_m$ 是仅依赖于 $m$ 的常数, $C_1$ 是依赖于 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$ 的常数.

设 $(N, h)$ 是黎曼流形. 光滑映射 $f : M \to N$ 的水平能量泛函定义如下

其中 $\Omega \Subset M$. $E_H$ 的 Dirichlet 临界映射称为次椭圆调和映射. 利用广义 Bott 联络, 东瑜昕^[14] 建立了 Euler-Lagrange 方程, 证明了光滑映射 $f$ 是次椭圆调和映射当且仅当

(1.8)$\begin{gather*} \tau_H (f) = \operatorname{trace}_{H \times H} \nabla {\rm d} f - {\rm d}f (\zeta) = 0, \end{gather*}$

其中 $\zeta = \operatorname{trace} \sigma $ 是叶的平均曲率向量场. 特别地, 若目标流形 $(N, h)$ 是 $1$ 维欧式空间, 则它恰好是次椭圆调和函数, 即

(1.9)$\begin{gather*} \Delta_H u = \operatorname{div}_g f = \operatorname{trace}_{H \times H} \nabla {\rm d} f - \zeta f = 0, \qquad \mbox{其中} \quad f \in C^{\infty} (M). \end{gather*}$

对于叶状流形之间的映射 $f$, 如果 $f$ 将叶映射成叶, 那么称 $f$ 是叶状的. 由于黎曼流形可视为 $0$-维的叶状流形, 即其叶为单点, 所以从叶状黎曼流形到流形的叶状映射在每片叶上保持不变. 我们将应用定理 1.3 来研究叶状次椭圆调和映射的梯度估计和 Liouville 定理.

定理 1.4 设 $(M, \mathcal{F}, g)$ 是叶状黎曼流形, $(N, h)$ 是 Cartan-Hadamard 流形. 记 $B_r (x_0)$ 是 $M$ 中以 $x_0$ 为中心的黎曼测地球, $\rho $ 为 $N$ 中从固定点 $y_0$ 出发的黎曼距离函数. 设 $f : M (x_0) \to N$ 是叶状次椭圆调和映射. 若在 $M$ 上有

(1.10)$\begin{gather*} \operatorname{Ric}_H \geq - \kappa g_H, \quad \sup \{ | A |, \; | \nabla_H A | \} \leq \kappa_1, \quad \sup \{ | \sigma |, \; | \nabla_H \sigma | \} \leq \kappa_2, \quad \sup | \nabla_H \zeta | \leq \kappa_3, \end{gather*}$

其中 $\kappa, \kappa_1, \kappa_2, \kappa_3$ 是非负常数,则存在仅依赖于 $\kappa, \kappa_1, \kappa_2$ 的正常数 $C_2$ 使得

(1.11)$\begin{gather*} \sup_{B_{R} (x_0)} e_H (f) \leq C_2 b_R^2 (R^{-1} + \kappa + \kappa_3), \end{gather*}$

其中 $R > 1$ 且 $\displaystyle b_R = 2 \sup_{B_{2 R} (x_0)} \rho \circ f $.

推论 1.1 设完备非紧叶状黎曼流形 $(M, \mathcal{F}, g)$ 满足 $\operatorname{Ric}_H \geq 0, \ \nabla_H \zeta = 0$ 且

(1.12)$\begin{gather*} \sup \{ | A |, \; | \nabla_H A | \} < + \infty, \qquad \sup \{ | \sigma |, \; | \nabla_H \sigma | \} < + \infty. \end{gather*}$

则从 $M$ 出发到 Cartan-Hadamard 流形的有界叶状次椭圆调和映射都是常值映射.

本节, 我们将建立从叶状黎曼流形到黎曼流形光滑映射的 Bochner 公式. 借助 Riccati 不等式解估计技巧, 推导黎曼距离函数的 sub-Laplacian 下界估计.

设 $(M, \mathcal{F}, g)$ 是叶状黎曼流形. 由 (1.5) 式给出的广义 Bott 联络 $\nabla$ 可整体表达如下

(2.1)$\begin{align*} \nabla_X Y = \hat{\nabla}_{X_H}^H Y_H + [X_V, Y_H]_H + [X_H, Y_V]_V + \hat{\nabla}_{X_V}^V Y_V. \end{align*}$

虽然广义 Bott 联络保持了水平分布和垂直分布, 但是它往往不是度量联络且是有挠的.

引理 2.1 对于 $X, Y, Z \in \Gamma (TM)$, 有

(2.2)$\begin{gather*} \hspace{-.5cm} (\nabla_{X} g)(Y, Z) = - 2 g(X,\sigma (Y, Z)), \end{gather*}$

(2.3)$\begin{gather*} T (X, Y) = - [X_H, Y_H]_V = - 2 A_X Y. \end{gather*}$

因此, 广义 Bott 联络是度量联络当且仅当 $(M, \mathcal{F}, g)$ 是全测地的.

引理 (2.1) 的推导是直接的, 读者可参见文献 [14]. 设 $\{ e_i \}$ 是水平分布的局部么正标架, 且每个 $e_i $ 都是基本的 (即 $\mathcal{L}_V e_i = 0$), $\{ e_{\alpha} \}$ 是垂直分布的局部么正标架. 它们的对偶标架记为 $\{ \omega^i, \omega^{\alpha} \}$. 记 $\{ \omega_i^j, \omega_i^{\alpha}, \omega_{\alpha}^i, \omega_{\alpha}^{\beta} \}$ 是广义 Bott 联络的联络系数系数. 此时, $\omega_j^i$ 是水平的, 且 $R_{j \alpha k}^i = R_{j \alpha \beta}^i = 0$. 则广义 Bott 联络的结构方程为

(2.4)$\begin{gather*} \hspace{-2.2cm} d \omega^i = \omega^j \wedge \omega_j^i, \qquad d \omega^{\alpha} = \omega^{\beta} \wedge \omega_{\beta}^{\alpha} - A_{ij}^{\alpha} \omega^i \wedge \omega^j, \end{gather*}$

(2.5)$\begin{gather*} \hspace{-1.3cm} \omega_i^{\alpha} = \omega_{\alpha}^i = 0, \qquad \omega_j^i + \omega_i^j = 0, \qquad \omega_{\beta}^{\alpha} + \omega_{\alpha}^{\beta} = 2 \sigma_{\alpha \beta}^i \omega^i, \label{eq:1} \end{gather*}$

(2.6)$\begin{gather*} \hspace{-5cm} d \omega_j^i = \omega_j^k \wedge \omega_k^i + \frac{1}{2} R_{jkl}^i \omega^k \wedge \omega^l,\end{gather*}$

(2.7)$\begin{gather*} d \omega_{\beta}^{\alpha} = \omega_{\beta}^{\gamma} \wedge \omega_{\gamma}^{\alpha} + R_{\beta i \gamma}^{\alpha} \omega^i \wedge \omega^{\gamma} + \frac{1}{2} R_{\beta i j}^{\alpha} \omega_i \wedge \omega^j + \frac{1}{2} R_{\beta \gamma \rho}^{\alpha} \omega^{\gamma} \wedge \omega^{\rho}. \end{gather*}$

叶状结构的平均曲率向量场为

(2.8)$\begin{gather*} \zeta = \sum_{\alpha} \sigma (e_{\alpha}, e_{\alpha}). \end{gather*}$

设 $(N, h)$ 是黎曼流形. 设 $\{ \tilde{e}_I \}$ 是局部么正标架, $\{ \tilde{\omega}^I \}$ 是它的对偶, $\{ \tilde{\omega}_J^I \}$ 是黎曼联络在 $\{ \tilde{e}_I \}$ 下的联络系数. 黎曼联络的结构方程为

(2.9)$\begin{gather*} d \tilde{\omega}^I = \tilde{\omega}^J \wedge \tilde{\omega}_J^I, \qquad \tilde{\omega}_I^J + \tilde{\omega}_J^I = 0, \qquad d \tilde{\omega}_J^I = \tilde{\omega}_J^K \wedge \tilde{\omega}_K^I + \frac{1}{2} \tilde{R}_{JKL}^I \tilde{\omega}^K \wedge \tilde{\omega}^l. \label{eq:2} \end{gather*}$

由于叶状黎曼流形是一类特殊的次黎曼流形, 所以文献 [14] 中建立的次黎曼流形之间光滑映射的共变导数交换关系对本论文的情形也成立. 我们可依分布叙述如下

引理 2.2^[14] 设 $f : (M, \mathcal{F}, g) \to (N, h)$ 是光滑映射. 则二阶共变导数交换关系为

(2.10)$\begin{gather*} f^I_{ij} - f^I_{ji} = - 2 f^I_\alpha A_{ij}^{\alpha}, \qquad f^I_{\alpha\beta} - f^I_{\beta\alpha} = 0, \qquad f^I_{i\alpha} - f^I_{\alpha i} = 0, \end{gather*}$

三阶共变导数交换关系为

(2.11)$\begin{align*} & f_{ijk}^I - f_{ikj}^I = f_l R^l_{ijk} - 2 f_{i \alpha}^I A^\alpha_{jk} - f_i^K f_j^J f_k^L \tilde{R}_{KJL}^I, \\ & f_{i\alpha\beta}^I - f_{i\beta\alpha}^I = - f_i^K f_{\alpha}^J f_{\beta}^L \tilde{R}_{KJL}^I, \quad f_{ij\alpha}^I - f_{i \alpha j}^I = - f_i^K f_j^J f_{\alpha}^L \tilde{R}_{KJL}^I, \\ & f_{\alpha ij}^I - f_{\alpha ji}^I = f_{\rho} R_{\alpha ij}^{\rho} - 2 f_{\alpha \rho}^I A_{ij}^{\rho} - f_{\alpha}^K f_i^J f_j^L \tilde{R}_{KJL}^I, \\ & f_{\alpha\beta\gamma}^I - f_{\alpha\gamma\beta}^I = f_{\rho}^I R_{\alpha\beta\gamma}^{\rho} - f_{\alpha}^K f_{\beta}^J f_{\gamma}^L \tilde{R}_{KJL}^I, \quad f_{\alpha\beta i}^I - f_{\alpha i\beta}^I = f_{\rho}^I R_{\alpha\beta i}^{\rho} - f_{\alpha}^K f_{\beta}^J f_{ i}^L \tilde{R}_{KJL}^I. \end{align*}$

接下来, 我们将推导 $f : (M, \mathcal{F}, g) \to (N, h)$ 的 Bochner 公式.记

(2.12)$\begin{gather*} e_H (f) = \frac{1}{2} | d_H f |^2, \qquad e_V (f) = \frac{1}{2} | d_V f |^2. \end{gather*}$

由于 $\nabla_H g_V$ 往往不消失,所以计算 $\Delta_H e_V (f)$ 会有别于经典情形.

引理 2.3 设 $f : (M, \mathcal{F}, g) \to (N, h)$ 是光滑映射. 则

(2.13)$\begin{align*} \Delta_H e_H(f) & = (f_{ik}^I)^2 + f_i^I \tau_{H,i}^I + f_i^I f_j^I R_{kik}^j - f_i^I f_k^K f_i^J f_k^L \tilde{R}_{KJL}^I \nonumber \\ & \quad + f_i^I \zeta_{,i}^k f_k^I - 2 \zeta^k f_i^I f_{\alpha}^I A_{ki}^{\alpha} - 2 f_i^I f_{\alpha}^I A_{ik,k}^{\alpha} - 4 f_i^I f_{\alpha k}^I A_{ik}^{\alpha} \label{eq:bochner-horizontal}, \end{align*}$

(2.14)$\begin{align*} \Delta_H e_V(f) & = (f_{\alpha k}^I)^2 + f_{\alpha}^I \tau_{H,\alpha}^I - f_{\alpha}^I f_k^K f_{\alpha}^J f_k^L \tilde{R}_{KJL}^I \nonumber \\ & \quad + \zeta_{,\alpha}^k f_{\alpha}^I f_k^I - \zeta^k f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha\beta}^k + 4 f_{\alpha k}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha\beta}^k + 4 f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha\gamma}^k\sigma_{\gamma\beta}^k + f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta, k}^k \label{eq:bochner-vertical}. \end{align*}$

证 我们来证明 (2.14) 式, 等式 (2.13) 留给读者. 记 $\pi_H : T M = H \oplus V \to H$, $\omega_{\alpha ; H}^{\beta} = \omega_{\alpha}^{\beta} \circ \pi_H$ 且 $\tilde{\omega}_{J ; H}^I = \tilde{\omega}_J^I \circ \pi_H$. 利用 (2.5) 式和 (2.9) 式可知

(2.15)$\begin{align*} d_H e_V (f) = f_{\alpha}^I d_H f_{\alpha}^I = f_{\alpha}^I (f_{\alpha i}^I \omega^ i + f_{\beta}^I \omega_{\alpha ; H}^{\beta} - f_{\alpha}^J \tilde{\omega}_{J ; H}^I) = f_{\alpha}^I f_{\alpha k}^I \omega^k + f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^k \omega^k, \end{align*}$

再次利用 (2.5) 式和 (2.9) 式

(2.16)$\begin{align*} \nabla_H (f_{\alpha}^I f_{\alpha k}^I \omega^k) & = f_{\alpha k}^I d_H f_{\alpha}^I \otimes \omega^k + f_{\alpha}^I d_H f_{\alpha k}^I \otimes \omega^k + f_{\alpha}^I f_{\alpha k}^I \nabla_H \omega^k \\ & = f_{\alpha k}^I (f_{\alpha j}^I \omega^j + f_{\beta}^I \omega_{\alpha ; H}^{\beta} - f_{\alpha}^J \tilde{\omega}_{J ; H}^I) \otimes \omega^k \\ & \quad + f_{\alpha}^I (f_{\alpha kj}^I \omega^j + f_{\beta k}^I \omega_{\alpha ; H}^{\beta} + f_{\alpha j}^I \omega_k^j - f_{\alpha}^J \tilde{\omega}_{J ; H}^I) \otimes \omega^k - f_{\alpha}^I f_{\alpha k}^I \omega_j^k \otimes \omega^j \\ & = (f_{\alpha k}^I f_{\alpha j}^I + f_{\alpha}^I f_{\alpha kj}^I + 2 f_{\alpha k}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^j) \omega^j \otimes \omega^k, \end{align*}$

且

(2.17)$\begin{align*} \nabla_H (f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^k \omega^k) & = 2 f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^k d_H f_{\alpha}^I \otimes \omega^k + f_{\alpha}^I f_{\beta}^I d_H \sigma_{\alpha \beta}^k \otimes \omega^k + f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^k \nabla_H \omega^k \\ & = 2 f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^k (f_{\alpha j}^I \omega^j + f_{\gamma}^I \omega_{\alpha ; H}^{\gamma} - f_{\alpha}^J \tilde{\omega}_{J ; H}^I) \otimes \omega^k \\ & \quad + f_{\alpha}^I f_{\beta}^I (\sigma_{\alpha \beta, j}^k \omega^j + 2 \sigma_{\gamma \beta}^k \omega_{\alpha ; H}^{\gamma} - \sigma_{\alpha \beta}^j \omega_j^k) \otimes \omega^k - f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^k \omega_j^k \otimes \omega^j \\ & = (2 f_{\alpha j}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta}^k + 4 f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \gamma}^k \sigma_{\beta \gamma}^j + f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta, j}^k) \omega^j \otimes \omega^k, \end{align*}$

所以

(2.18)$\begin{align*} \Delta_H e_V f & = \operatorname{trace}_{H \times H} \nabla_H d_H e_V (f) - \zeta e_V (f) \\ & = (f_{\alpha k}^I)^2 + f_{\alpha}^I f_{\alpha kk}^I + 4 f_{\alpha k}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha\beta}^k + 4 f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha\gamma}^k\sigma_{\gamma\beta}^k + f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha \beta, k}^k + \zeta^k f_{\alpha}^I f_{\alpha k}^I - \zeta^k f_{\alpha}^I f_{\beta}^I \sigma_{\alpha\beta}^k. \end{align*}$

我们只需对 $f_{\alpha kk}^I$ 应用共变导数交换关系即可得到结论.

引理 2.4 设 $(N, h)$ 是 Cartan-Hadamard 流形, 叶状黎曼流形 $(M, \mathcal{F}, g)$ 满足

(2.19)$\begin{gather*} \operatorname{Ric}_H \geq - \kappa g_H, \qquad \sup \{ | A |, \; | \nabla_H A | \} \leq \kappa_1, \qquad \sup \{ | \sigma |, \; | \nabla_H \sigma | \} \leq \kappa_2, \end{gather*}$

其中 $\kappa, \kappa_1, \kappa_2$ 是非负常数. 设 $f : M \to N$ 是光滑映射. 则对于任意 $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_2' > 0$, 都有

(2.20)$\begin{align*} \Delta_H | d_H f |^2 & \geq 2 | \nabla_H d_H f |^2 + 2 \langle d_H f, \nabla_H \tau_H (f) \rangle \nonumber \\ & \quad - (2 \kappa + C_3 \epsilon_1^{-1} + C_3 \epsilon_2^{\prime -1} + C_4) | d_H f |^2 - \epsilon_1 | d_V f |^2 - \epsilon_2 ' | \nabla_H d_V f |^2 \label{eq:3},\end{align*}$

(2.21)$\begin{align*} \Delta_H | d_V f |^2 & \geq (2 - \epsilon_2) | \nabla_H d_V f |^2 + 2 \langle d_V f, \nabla_V \tau_H (f) \rangle - C_4 | d_H f |^2 - C_4 \epsilon_2^{-1} | d_V f |^2 \label{eq:4}, \end{align*}$

其中 $C_3$ 依赖于 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$, $C_4$ 仅依赖于 $\kappa_2$. 特别地, 当 $\kappa_2 = 0$ 时, $C_4 = 0$.

该引理是引理 2.3 和带 $\epsilon $ 的 Schwarz 不等式的应用, 证明是直接的. 本节的最后, 我们利用上述估计给出黎曼距离函数的 sub-Laplacian 上界估计.

在证明之前, 我们介绍一类 Riccati 不等式的估计.

引理 2.5 设 $\rho : (0, b) \to \mathbb{R} $ 是光滑函数且满足方程 $\rho ' + \rho^2 - k \leq 0$, 其中 $k$ 是正常数. 若

(2.22)$\begin{gather*} \label{eq:6} \lim_{t \to 0^+} \rho (t) = + \infty. \end{gather*}$

则对所有 $t \in (0, b)$, 都有

(2.23)$\begin{gather*} \rho (t) \leq t^{-1} + \sqrt{k}. \end{gather*}$

Li-Wang 在文献 [13] 中引入了估计此类 Riccati 不等式的一种方法,推广了经典的比较定理.为阅读方便起见, 我们这里简要叙述证明框架.

证 令

(2.24)$\begin{gather*} T = \sup \bigl\{ s \in (0, b) \: \big| \: \mbox{对所有 $t \in (0, s)$ 都成立} \ \rho (t) > \sqrt{k} \bigr\}. \end{gather*}$

根据 $t \to 0^+$ 的渐近条件 (2.22) 可知, $T > 0$. 在 $(0, T)$ 上, $\rho^2 - k > 0$. 结合方程可知

(2.25)$\begin{gather*} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \coth^{-1} \frac{\rho}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{k}. \end{gather*}$

再次渐近条件 (2.22) 可知, $\displaystyle \lim_{t \to 0^+} \coth^{-1} \frac{\rho}{\sqrt{k}} = 0$. 因此, 在 $(0, T)$ 上有

(2.26) $\begin{gather*} \rho (t) \leq \sqrt{k} \coth \sqrt{k} t \leq t^{-1} + \sqrt{k}. \end{gather*}$

对于 $T = b$ 情形, 结论成立.

对于 $T < b$ 情形, 我们断言 对所有 $t \in (T, b)$ 都有 $\rho (t) \leq \sqrt{k}$. 否则, 必存在 $s \in (T, b)$ 使得 $\rho (s) > \sqrt{k}$ 且 $\rho ' (s) > 0$, 这与在 $t = s$ 处的方程 $\rho^2 + \rho ' - k > 0$ 矛盾. 故断言成立, 进而引理结论自然成立.

定理 1.3 的证明 利用 Schwarz 不等式可知

(2.27)$\begin{gather*} | \nabla_H d_H r |^2 \geq \frac{1}{m} \bigl\lvert \operatorname{trace} \nabla_H d_H r \bigr\rvert^2 = \frac{1}{m} \bigl\lvert \Delta_H r + \zeta r \bigr\rvert^2 \geq \frac{1}{2 m} \bigl(\Delta_H r \bigr)^2 - (\zeta r)^2. \end{gather*}$

由于 $| \nabla r | = 1$, 所以对 $r$ 应用 $\epsilon_1 = \epsilon_2 = \epsilon_2' = 1$ 情形的 (2.20) 式和 (2.21) 式, 并求和可知

(2.28)$\begin{gather*} \label{eq:5} 0 \geq \frac{1}{2m} \bigl(\Delta_H r \bigr)^2 + \langle \nabla r, \nabla \Delta_H r \rangle - (\kappa + C_1), \end{gather*}$

其中 $C_1$ 依赖于 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$. 设 $\gamma = \gamma (t) : [b] \to M$ 是从 $x_0$ 出发的极小测地线, $| \gamma ' | = 1$. 记 $h (t) = \Delta_H r (\gamma (t))$. 故沿着测地线 $\gamma $ 有

(2.29)$\begin{gather*} \frac{1}{2 m} h^2 + h ' - (\kappa + C_1) \leq 0, \quad \mbox{且} \quad \lim_{t \to 0} t h (t) = m - | \pi_H (\gamma ' (0)) |^2. \end{gather*}$

令 $\displaystyle \rho (t) = \frac{1}{2m} h (t)$. 从而, $\rho $ 满足

(2.30)$\begin{gather*} \rho ' + \rho^2 - \frac{\kappa + C_1}{2m} \leq 0 \quad \mbox{和} \quad \lim_{t \to 0} t \rho (t) = 1. \end{gather*}$

由引理 2.5 即可得到结论.

本节, 我们将利用黎曼距离函数的 sub-Laplacian 估计来建立叶状次椭圆调和映射的梯度估计, 即定理 1.4. 设 $f$ 是从叶状黎曼流形 $(M, \mathcal{F}, g)$ 到黎曼流形 $(N, h)$ 的光滑映射. 如果 $f$ 沿每片叶保持不变, 那么称 $f$ 是叶状的. 利用前述的记号可知

(3.1)$\begin{align*} \Delta_H e_H(f) = (f_{ik}^I)^2 + f_i^I \tau_{H,i}^I + f_i^I f_j^I R_{kik}^j - f_i^I f_k^K f_i^J f_k^L \tilde{R}_{KJL}^I + f_i^I \zeta_{,i}^k f_k^I. \end{align*}$

特别地,若 $(N, h)$ 是 Cartan-Hadamard 流形,则由上式可知如下估计

(3.2)$\begin{align*} \label{eq:7} \Delta_H e_H(f) \geq (f_{ik}^I)^2 + f_i^I \tau_{H,i}^I + f_i^I f_j^I R_{kik}^j + f_i^I \zeta_{,i}^k f_k^I. \end{align*}$

定理 1.4 证明 应用复合映射的链式法则可知

利用 Cartan-Hadamard 流形 $(N, h)$ 上的 Hessian 比较定理, 我们有

(3.3)$\begin{gather*} \label{eq:hessian} \Delta_H \rho^2 \circ f \geq 2 | d_H f |^2 = 4 e_H (f). \end{gather*}$

取函数 $\varphi \in C^{\infty} (\mathbb{R})$ 使得

其中 $C_5 '$ 是万有常数. 令 $\chi (x) = \varphi (r (x) / R)$, 此时由定理 1.3 可知,

(3.4)$\begin{gather*} \label{eq:10} | \nabla_H \chi |^2 \leq C_5 R^{-2} \chi, \qquad \Delta_H \chi \geq C_5 R^{-1}, \end{gather*}$

其中 $C_5$ 依赖于 $\kappa, \kappa_1, \kappa_2$.

令

设 $x$ 是 $\chi F$ 在 $B_{2 R} (x_0)$ 上的最大值. 不妨设该最大值非零, 否则结论自动成立. 此时, $x$ 必落在 $B_{2 R} (x_0)$ 的内部. 利用最大值原理可知, 在 $x$ 处必有

(3.5)$\begin{align*} 0 = \nabla_H \ln(\chi F) & = \frac{\nabla_H \chi}{\chi} + \frac{\nabla_H e_H (f)}{e_H (f)} + \frac{\nabla_H (\rho^2 \circ f)}{b_R^2 - \rho^2 \circ f}, \label{eq:11} \end{align*}$

(3.6)$\begin{align*} 0 \geq \Delta_H \ln(\chi F) & = \frac{\Delta_H \chi}{\chi} - \frac{|\nabla_H \chi|^2}{\chi^2} + \frac{\Delta_H e_H (f)}{e_H (f)} - \frac{|\nabla_H e_H (f)|^2}{e_H (f)^2} \nonumber \\ & \quad + \frac{\Delta_H (\rho^2 \circ f)}{b_R^2 - \rho^2 \circ f} + \frac{|\nabla_H (\rho^2 \circ f)|^2}{(b_R^2 - \rho^2 \circ f)^2}. \label{eq:9} \end{align*}$

一方面, 由 (3.2) 式知

(3.7)$\begin{gather*} \label{eq:8} \Delta_H e_H (f) \geq | \nabla_H d_H f |^2 - 2 (\kappa + \kappa_3) e_H (f) \geq \frac{1}{2} \frac{| \nabla_H e_H (f) |^2}{e_H (f)} - 2 (\kappa + \kappa_3) e_H (f). \end{gather*}$

最后一个不等式是因为

将 (3.7) 式代入 (3.6) 式

(3.8)$\begin{align*} 0 \geq \frac{\Delta_H \chi}{\chi} - \frac{|\nabla_H \chi|^2}{\chi^2} - \frac{1}{2} \frac{|\nabla_H e_H (f)|^2}{e_H (f)^2} - 2 (\kappa + \kappa_3) + \frac{\Delta_H (\rho^2 \circ f)}{b_R^2 - \rho^2 \circ f} + \frac{|\nabla_H (\rho^2 \circ f)|^2}{(b_R^2 - \rho^2 \circ f)^2}. \end{align*}$

另一方面, 由 (3.5) 式和 Cauchy-Schwarz 不等式可知

(3.9)$\begin{align*} - \frac{1}{2} \biggl\lvert \frac{\nabla_H e_H (f)}{e_H (f)} \biggr\rvert^2 = - \frac{1}{2} \biggl\lvert \frac{\nabla_H \chi}{\chi} + \frac{\nabla_H (\rho^2 \circ f)}{b_R^2 - \rho^2 \circ f} \biggr\rvert^2 \geq - \frac{|\nabla_H \chi|^2}{\chi^2} - \frac{|\nabla_H (\rho^2 \circ f)|^2}{(b_R^2 - \rho^2 \circ f)^2}. \end{align*}$

进而, 运用 (3.3) 式, 在 $x$ 处我们有

(3.10)$\begin{gather*} 0 \geq \frac{\Delta_H \chi}{\chi} - 2 \frac{|\nabla_H \chi|^2}{\chi^2} - 2 (\kappa + \kappa_3) + \frac{4 e_H (f)}{b_R^2 - \rho^2 \circ f}. \end{gather*}$

因此, 结合 $\chi $ 的选取 (3.4) 式, 可知

结论得证.