设 $(M,g)$ 为紧致 Riemann 曲面. 我们考虑如下具有多个奇点源的 Toda 系统

其中 $\Delta_{g}$ 表示 Laplace-Beltrami 算子, $\left(k_{i j}\right)_{i, j=1, \cdots, n}$ 是秩为 $n$ 的简单 Lie 代数的 Cartan 矩阵, $\gamma_{ij}>-1$, $q_{j}$ 是 $M$ 中互不相同的点, $\delta_{q_{j}}$ 是 $q_{j}$ 处的 Dirac 测度.

Toda 系统与几何和物理学中的多个研究领域密切相关, 由此衍生出许多相关问题.

在几何学中, Toda 系统的解与射影空间中的全纯曲线有紧密联系. Doliwa在文献 [22] 中描述了特殊全纯曲线的几何与四种非例外简单 Lie 代数 ($A_n, B_n, C_n$ 和 $D_n$) 对应的开 Toda 系统之间的关系. 具体而言, 射影空间中全纯曲线的 Plücker 公式构成了与相应 Lie 代数的紧实形式相关的开 Toda 系统. 更多细节可参阅文献 [11,25,26,46] 及其中的参考文献.

在物理学中, Toda 系统在规范场论中扮演着重要角色. 在 Chern-Simons 方面, 关于相对论性 Abelian Chern-Simons-Higgs 模型 (对应 $n=1$ 时的 (1.1)系统) 可参考文献 [12,39,41,48]; 对于 $n \geq 2$ 的情形, 可参阅文献 [3,4,40,49]. 关于 non-Abelian 模型的研究, 参见文献 [23,24,54,55] 等.

设 $|M|$ 表示 $M$ 的面积, 为简便起见, 设面积为 $|M|=1$. 引入 Green 函数

并采用标准变换 $ u_{i}=v_{i}+4 \pi \sum_{j=1}^{m} \gamma_{j i} G\left(x, q_{j}\right), i=1, 2, $ 可消除 (1.1) 式右侧的奇异性, 从而将 (1.1)式改写为

其中 $\rho_i>0$ 为常数, $h_i$ 由下式给出

是 $M$ 上的非负连续函数.

众所周知, 简单 Lie 代数包括 $A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$、$G_2$、$F_4$、$E_6$、$E_7$ 和 $E_8$. 当 $K=A_n$ 时, 方程 (1.2) 称为 $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统. 在文献 [34] 中, Lin-Wei-Ye 完全分类了具有单个奇源的 $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统的解, 并得到了其非退化性结果.

若 (1.2) 式仅包含一个方程, 则其退化为平均场方程

过去 30 年间, 该方程得到了广泛研究.

爆破现象是这类模型的一个基本问题. 对于平均场方程而言, 在爆破点附近, 解可能呈现两种类型的爆破行为. 一种称为简单爆破, 即爆破的局部形态由整体爆破解所控制. 相关的研究课参考文献 [7,13,16,31,32] 等. 另一种是非简单爆破, 这种情况仅出现在 $\gamma \in \mathbb{N}$ 时,最近关于非简单爆破的研究也有很大的进展, 可参考参考文献 [6,18{21,21,29,50{52] 等. 对于爆破解的研究在进一步研究方程解的存在性, 唯一性等方面是非常重要, 可参考文献 [8-10,53] 等.

在标量平均场方程的情形中, 局部 Pohozaev 恒等式是研究爆破分析的有力工具, 因为 Pohozaev 恒等式的数量与自由参数的个数相等. 但当 $n \geq 2$ 时, $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统转化为椭圆方程组, 其爆破行为变得更为复杂. 主要困难在于可能出现部分爆破现象. 要理解部分爆破, 首先必须研究完全爆破的情形. 然而, 许多对单个方程非常有效的基本工具 (如极值原理、Pohozaev 恒等式) 却无法直接应用或推广. 此外, $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统的解缺乏对称结构, 且涉及过多参数. 在研究爆破解时, 孤立爆破点附近爆破解的渐近行为极为复杂, 且这种复杂性随着方程数量的增加而显著增强. 例如, 对于 $\mathrm{SU}(3)$ 系统, 局部 Pohozaev 恒等式仅提供 3 个方程, 但要描述 $\mathbb{R}^2$ 中所有整体解却需要 8 个参数.

在^[27,28] 中, 作者开始了对无奇异源的 $A_2$ 型 Toda 系统爆破分析的研究. 爆破分析的第一步是对爆破点 $p$ 处的局部质量的可能取值进行分类. 局部质量定义为

其中 $\left\{\left(u_1^k, u_2^k\right)\right\}$ 是 $A_2$ Toda 系统的一列爆破解, $B_r\left(p\right)$ 是以 $p$ 为中心、半径为 $r$ 的球. 在一些温和的假设下, Jost-Lin-Wang 在文献 [28] 中得到了局部质量的分类. 文献 [27] 证明了任何完全爆破解序列在任意爆破点处均为简单爆破. 该证明是 Pohozaev 恒等式的一种非常有效的推广. 但该方法无法推广到含奇异源的情形. Lin-Wei-Zhao 在文献 [38] 中深入探讨了完全爆破解的行为, 进一步 Lin-Wei-Zhang 在文献 [37] 中证明了对于一般的 $n$, 含奇异源的 $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统的完全爆破解同样满足上述简单爆破性质.

完全爆破解的精确估计在构造系统的爆破解及研究解的存在性、唯一性等方面具有重要作用.

对于 $n=1$ 的情形 (即平均场方程), 基于^[13,15] 中关于多重爆破解精确估计的分析工作, Chen-Lin 分别在^[14,16] 中证明了无奇异源及含奇异源平均场方程的度计算公式.

对于 $n \geq 2$ 的情形, 研究则更为复杂, 因为系统爆破的情况更为复杂. 在文献 [38] 中, Lin-Wei-Zhao 对 $\mathrm{SU}(3)$ Toda 系统 (即 $A_2$ Toda 系统) 的完全爆破解获得了更精确的估计. 他们并未采用在标量平均场方程中非常有效但无法处理 Toda 系统解空间中更多自由参数的局部 Pohozaev 恒等式, 而是利用了 $\mathrm{SU}(3)$ Toda 系统整体解的非退化性结果来推导其结论. Lin-Wei-Zhang 在文献 [36] 中将类似定理推广到一般的 $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统. 他们证明了关于 $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统完全爆破解的三个主要精确估计结果: 所有完全爆破解均可用一组具有精确误差的整体解序列逼近; 特定函数的梯度在爆破点处必须以足够快的速度趋于零; 存在一个 $\partial_z^2$ 条件, 该条件为 $\mathrm{SU}(n+1)$ Toda 系统所独有. 所有这些估计对于理解爆破解相互作用以及未来构造爆破解至关重要.相应的 $B_2$ 型 Toda 系统完全爆破解的精细估计在文献 [1] 中研究. 而对于 $G_2-$Toda 系统的完全爆破的精细估计目前仍然没有研究. 本文将继续这方面的研究.

对于 $B_n$、$C_n$、$G_n$ 以及其他例外 Lie 群 $F_2$、$E_6$、$E_7$ 和 $E_8$ 的 Cartan 矩阵, 近年来已有多项相关研究. 对于秩为 2 的 Toda 系统, 涉及简单 Lie 代数 ${A}_2$、${B}_2\left({C}_2\right)$ 和 ${G}_2$ 的局部质量分类和先验估计等, 可参阅文献 [1,17,30,33,35,42{44] 等.

现在我们考虑 $G_2$ 型 Toda 系统

其中 $i=1, 2$, 而矩阵 $\left(g_{i j}\right)$ 由下式给出

沿袭文献 [38] 的思想, 我们将利用文献 [2] 中关于 Cartan 矩阵 $G_2$ 的分类结果和非退化性结论, 得到紧致 Riemann 曲面上的 $G_2$ 型 Toda 系统的完全爆破解的精确估计, 从而充分理解完全爆破解的渐近行为.

我们考虑以下无奇异源的 $G_2$ 型 Toda 系统的完全解

其中 $\rho_i>0$ 为常数, $h_i$ 是 $M$ 上的非负连续函数.

容易看出, 如果 $u = (u_1, u_2)$ 是 (1.5) 式的一个解, 那么对于任意常数 $c_1$ 和 $c_2$, $u + c = (u_1 + c_1, u_2 + c_2)$ 仍然是一个解. 因此, 不失一般性, 我们可以假设每个分量 $u_i$ 属于 $\stackrel{\circ}{H}(M)$, 其定义为

设 $p_{1}, \cdots, p_{m}$ 是 $u_{k}$ 的爆破点, 并选取足够小的 $r_{0}$, 使得当 $i \neq j$ 时, $B\left(p_{i}, r_{0}\right) \cap B\left(p_{j}, r_{0}\right) = \emptyset$. 记 $p_{k, j}$ 为 $u_{k}$ 在 $B_{p_{j}}\left(r_{0}\right)$ 中的局部最大值点, 其中 $j=1, \cdots, m$. 在整篇论文中, 我们假设

关于 "完全爆破" 的准确定义, 参见第 2 节中的定义 2.1. 令 $\varepsilon_{k, j}$ 和 $\varepsilon_{k}$ 分别由公式 (3.1) 和 (3.2) 定义.

我们的主要结果如下

定理 1.1 设 $u_{k}=\left(u_{1 k}, u_{2 k}\right) \in \stackrel{\circ}{H}(M)$ 是方程组 (1.5) 的一列爆破解序列, 且满足假设 $\mathrm{(H)}$. 则成立

(i) 收敛速率

其中 $C_{i k, j}$ 是满足 $0<C_{1}<C_{i k, j}<C_{2}<\infty$ 的常数, 而 $K$ 表示 $M$ 的 Gauss 曲率;

(ii) 爆破点 $p_{j}$ 的位置

其中 $H(x, p)$ 是 $G(x, p)$ 的正则部分;

(iii) $\partial_{z}^{2}$ 条件

其中 $T_{i k, l}^{j}$ 是由命题 7.1 中的公式 (7.1) 所定义的常数.

我们还考虑在边界区域 $\Omega$ 中研究方程 (1.5).

对于 Dirichlet 问题, 可以证明 $u_k$ 不可能在边界 $\partial \Omega$ 上爆破 (参见[45,47]). 因此, 我们可以得到类似的结果.

定理 1.2 假设 $h_{i k}$ 在 $C^{2}(\bar{\Omega})$ 中收敛到某个正函数 $h_{i}$, 且 $u_{k}=(u_{1 k}, u_{2 k})$ 是方程 (1.6) 的一列爆破解序列, 满足齐次 Dirichlet 边界条件. 设 $S=\left\{p_{1}, \cdots, p_{m}\right\}$ 为其爆破点集, 且满足假设 $\mathrm{(H)}$. 则成立

(i) 收敛速率

其中 $C_{i k, j}$ 是满足 $0<C_{1}<C_{i k, j}<C_{2}<\infty$ 的常数;

(ii) 爆破点 $p_{j}$ 的位置

其中 $H(x, p)$ 是 $G(x, p)$ 的正则部分;

(iii) $\partial_{z}^{2}$ 条件

其中 $T_{i k, l}^{j}$ 是由命题 7.1 中的公式 (7.1) 所定义的常数.

为表述上的方便, 我们将先证明欧氏空间中的结果, 即定理 1.2.

在第 2 节中, 我们列举了 $\mathbb{R}^{2}$ 上 $G_{2}$ 型 Toda 系统整体解的一些重要性质. 这部分借鉴了 Lin-Wei-Zhang^[37] 的思路, 用于分析整体解的行为.

我们将利用文献 [2] 中对整体解的分类和非退化性结果, 并在第 3 节到第 7 节研究方程 (1.6) 的一列爆破解. 在第 3 节中, 我们推导出爆破解的两个重要估计: 一个在爆破点附近, 另一个远离爆破点. 在第 4 节中, 我们利用参数化的整体解来逼近气泡解, 并获得更精确的内部估计. 第 5 至 7 节包含了爆破速率和爆破位置的计算. 这里我们遵循 Lin-Wei-Zhao^[38] 的思路, 利用 $G_{2}$ 型 Toda 系统的核函数对方程组进行局部检验.

在第 8 节中完成对定理 1.2 和定理 1.1 的证明.

本节我们研究方程 (1.6) 的完全爆破解在爆破点附近的局部形态. 由于这是一个局部问题, 为简便起见, 我们考虑

对于 $u_{k}=\left(u_{1 k}, u_{2 k}\right)$ 和 $h_{k}=\left(h_{1 k}, h_{2 k}\right)$, 我们假设以下条件 ($\mathrm{H}$) 成立

(i) $ C^{-1} \leq h_{i k} \leq C, \left\|h_{i k}\right\|_{C^{2}\left(B_{1}\right)} \leq C, h_{i k}(0)=1, i=1, 2,$ $C>0$ 是与 $k$ 无关的常数;

(ii) $\int_{B_{1}} h_{i k} {\rm e}^{u_{i k}} \leq C$;

(iii) $\left|u_{i k}(x)-u_{i k}(y)\right| \leq C, \text { 对任意 }\ x, y \in \partial B_{1}$ 成立;

(iv) $\max\limits_{K \subset B_{1} /\{0\}} u_{i k} \leq C(K)$, 0 是唯一的爆破点.

为了研究爆破的局部形态, 我们令

以及

则 $v_{k}=\left(v_{1 k}, v_{2 k}\right)$ 满足

我们的主要假设是 $v_{k}=\left(v_{1 k}, v_{2 k}\right)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 的所有紧子集上一致收敛到一个 $G_{2}$ 型 Toda 系统.

定义 2.1 如果 $v_{k}$ 在 $C_{\mathrm{loc}}^{2, \alpha}$ 意义下收敛到 $v=\left(v_{1}, v_{2}\right)$, 且 $v$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中如下 $G_{2}$ 型 Toda 系统的解, 则我们称 (2.1) 式的 $u_{k}$ 为一个完全爆破序列

本节的主要目的是证明, 一个完全爆破序列 $u_{k}$ 可以用一列整体解 $U_{k}=\left(U_{1 k}, U_{2 k}\right)$ 来精确逼近, 其中 $U_{k}$ 满足以下系统

定理 2.1 设条件 $\mathrm{(H)}$ 成立, 且 $u_{k}$ 是定义 2.1 中描述的完全爆破序列. 则存在一列方程 (2.6) 的整体解 $U_{k}=(U_{1 k}, U_{2 k})$, 使得

其中 $\sigma \in(0, 1)$, $C(\sigma)>0$ 是与 $k$ 无关的常数. 此外, 存在与 $k$ 无关的常数 $C>0$, 使得对于$i=1, 2$, $ |y| \leq \varepsilon_{k}^{-1}$, 有

推论 2.1 设 $u_{k}$ 和 $\varepsilon_{k}$ 同定理 2.1 中所述, $v_{k}$ 由公式 (2.3) 定义. 则对于 $i=1, 2$, $|y| \leq \varepsilon_{k}^{-1}$, 有

对于 $A_{2}$ 型 Toda 系统, 类似的定理已在文献 [38] 中由 Lin-Wei-Zhao 证明. 他们采用的方法是固定初始 Cauchy 数据 $v_{1 k}(0)$、$v_{2 k}(0)$、$\partial_{y} v_{1 k}(0)$、$\partial_{y} v_{2 k}(0)$ 和 $\partial_{y y} v_{1 k}(0)$, 然后求解 8 个代数方程.

Lin-Wei-Zhang 在文献 [37] 中提出了另一种方法, 证明了上述定理对一般的 $S U(n+1)$ 型 Toda 系统成立. 他们在 $\mathbb{R}^{2}$ 中的某些特定点上对 $v_{1 k}$ 和 $U_{1 k}$ 进行匹配. 现在我们遵循 Lin-Wei-Zhang 的思想, 通过在 14 个特定选定的点上匹配 $v_{1 k}$ 和 $U_{1 k}$ 来证明定理 2.1.

首先, 我们收集 $G_{2}$ 型 Toda 系统 (2.5) 的整体解 $\left(v_{1}, v_{2}\right)$ 的几个有用性质. 一个重要观察是, $G_{2}$ 型 Toda 系统可以嵌入到 $A_{6}$ 型 Toda 系统中. 换句话说, 在以下群作用下, $G_{2}$ 型 Toda 系统对应于 $A_{6}$ 型 Toda 系统的解: $u_{3}=u_{1}+\log 2, \ u_{4}=u_{1}+\log 2, \ u_{5}=u_{2}, \ u_{6}=u_{1}$. 更多细节可参见文献 [2].

设 $\left(v_{1}, v_{2}\right)$ 满足方程 (2.5). 我们定义

则系统 (2.5) 可转化为

文献 [2] 中的分类结果断言

其中

其中 $c_{i j}$ 是复数, $\lambda_{i} > 0$, 且解依赖于 14 个参数: $\lambda_{4}$、$\lambda_{5}$、$c_{54}$、$c_{52}$、$c_{53}$、$c_{43}$、$c_{61}$ 和 $c_{62}$.

此外, 我们有以下非退化性结果

推论 2.2 (非退化性) 方程组 (2.11)的线性化算子所对应的解集恰好是 14 维的. 更确切地说, 如果 $\phi=\binom{\phi_{1}}{\phi_{2}}$ 满足对某个 $0 \leq \alpha<1$ 有 $|\phi(z)| \leq C(1+|z|)^{\alpha}$, 且

则 $\phi$ 属于以下线性空间 $\mathcal{K}$: 由

张成. 这些核函数的精确表达式可在文献 [2,推论 2.3] 中找到.

定理 2.1 的证明 回顾 $(v_{1 k}, v_{2 k})$ 满足方程 (2.4), 且 $v_{k}$ 在 $C_{\mathrm{loc}}^{1, \alpha}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 中收敛到 $v=\left(v_{1}, v_{2}\right)$, 其中 $v$ 满足方程 (2.5). 根据文献 [2 中的分类定理, 存在参数集 $\Lambda = \{\lambda_{4}, \lambda_{5}, c_{54}, c_{52}, c_{53}, c_{43}, c_{61},$ $ c_{62}\}$, 使得 $\tilde{u}$ 由公式 (2.12) 定义. 为强调对 $\Lambda$ 的依赖性, 我们分别记 $v_{i} = v_{i}(z, \Lambda)$ 和 $\tilde{u}_{i} = \tilde{u}_{i}(z, \Lambda)$.

令

且

证明定理 2.1 的主要思路是寻找一列整体解 $v\left(z, \Lambda_{k}\right)$, 使得 $v_{1 k}$ 在 14 个点上与 $v_{1}\left(z, \Lambda_{k}\right)$ 足够接近. 由于 $\Lambda_{k}$ 有 14 个分量, 我们将证明通过精心选择 14 个点, 可以得到 $\Lambda_{k} \to \Lambda$.

设

其中 $()^{\prime}$ 表示转置.

下面的矩阵起到关键作用: 对于 $q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{14} \in \mathbb{C}$,

通过精心选择 $q_{1}, \cdots, q_{14}$, 我们可以使 $M$ 可逆. $q_{1}, \cdots, q_{14}$ 的选择方法在文献 [第 4 节] 中进行了描述.

由于 $v_{k} \to v$ 在 $C^{1, \alpha}$ 中收敛, 我们已经知道在 $\mathbb{R}^{2}$ 的任意固定紧子集上, $W_{i k} \to \tilde{u}_{i}(z, \Lambda)$ 在 $C^{1, \alpha}$ 范数意义下成立. 现在, 我们断言: 如果对 $l=1, \cdots, 14$ 有 $\tilde{u}_{1}\left(q_{l}, \Lambda_{k}\right) = W_{1}^{k}\left(q_{l}\right)$, 那么成立

事实上, 由 $q_{l}$ 的定义可知 $M$ 是可逆的, 且已知 $W_{1}^{k}\left(q_{l}\right) = \tilde{u}_{1}\left(q_{l}, \Lambda\right) + o(1)$, 因此可推出 (2.13) 式成立.

定义误差函数

由 $W_{i k}$ 和 $\tilde{u}(\cdot, \Lambda_{k})$ 所满足的方程, $\phi_{i}^{k}$ 满足

其中

由于我们知道 $G_{2}$ 型 Toda 系统可嵌入到 $A_{6}$ 型 Toda 系统中,那么根据文献 [35,定理 4.1], ${\rm e}^{\xi_{i}^{k}}$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 的所有紧子集上一致收敛于 ${\rm e}^{v_{i}(\cdot, \Lambda)}$, 并且

因此我们有

为方便起见, 我们使用以下函数来消除 $\phi^{k}$ 在 $\partial B_{\frac{1}{\varepsilon_{k}}}$ 上的振荡

显然, 我们有

令 $\tilde{\phi}_{i}^{k} = \phi_{i}^{k} - \psi_{i}^{k}$, 则有

以及

设

对于固定的 $\sigma \in(0, 1)$, 我们断言 $H_{k}$ 是有界的.

我们通过反证法证明. 假设 $H_{k} \to \infty$, 并设 $y_{k}$ 是最大值点. 令

则有

因此 $\hat{\phi}^{k}$ 满足的方程为

情况 1 如果 $y_{k} \to y^{*}$, 由公式 (2.15) 可知 $\hat{\phi}_{i}^{k}$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 的任意固定紧子集上一致有界, 则 $(\hat{\phi}_{1}^{k}, \hat{\phi}_{2}^{k})$ 收敛到 $(\phi_{1}, \phi_{2})$, 且满足

根据非退化性结果, 我们知道

如果我们记

那么由公式 (2.16) 中的最后一个方程可得

由于 $M$ 是可逆的, 我们得到 $X = 0$, 从而 $\phi_{1} = 0$ 且 $\phi_{2} = 0$. 这与对某个 $i$ 有 $\left| \phi_{i}(y^{*}) \right| = 1$ 矛盾.

情况 2 $y_{k} \rightarrow \infty$.

其中 $G_{k}$ 是 $B_{\frac{1}{\varepsilon_{k}}}$ 上满足 Dirichlet 边界条件的 Green 函数. 现在我们定义

那么对于 $|y|>2$, 我们有

由上述估计容易验证, 方程 (2.17) 的右边是 $o(1)$, 而其左边是 $1+o(1)$, 这导出矛盾. 因此 $H_{k}$ 有界, 再结合公式 (2.14), 我们即证明了定理 2.1.

本节我们将对 $G_{2}$ 型 Toda 系统进行爆破解分析. 我们将推导爆破解的两个估计: 一个在爆破点附近, 另一个远离爆破点. 为简化表述, 我们将先证明定理 1.2.从现在起到第 8 节, 我们假设 $(u_{1 k}, u_{2 k})$ 是方程 (1.6) 的一个爆破解序列, 并满足条件 $(\mathrm{H})$, 且令 $p_{k j}$ 为 $u_{1 k}$ 在 $p_{j}$ 附近的局部最大值点.

定义

同时设

则 $(\tilde{u}_{1 k}, \tilde{u}_{2 k})$ 满足

根据第 2 节中的简单爆破结果, 即定理 2.1 和推论 2.1, 我们得到以下引理.

引理3.1 (爆破点附近的估计) 在定理 2.1 的假设下, 存在与 $k$ 无关的小常数 $\delta>0$, 使得

其中 $v\left(\cdot; \Lambda^{j}\right)$ 是 $G_{2}$ 型 Toda 系统的整体解.

证 令

则 $\left(\bar{u}_{1 k}, \bar{u}_{2 k}\right)$ 满足

那么 $\bar{u}_{1 k}, \bar{u}_{2 k}$ 满足第 2 节中的条件 ($\mathrm{H}$). 因此我们推断, 存在 $\delta>0$ 和 $C>0$, 使得

因此我们得到了期望的结果.

注 3.1 这里我们将 $v\left(\cdot, \Lambda^{j}\right)$ 视为第 2 节中的 $v(\cdot, \Lambda)$. 因此存在 $v\left(\cdot, \Lambda_{k}^{j}\right)$, 即定理 2.1 中的 $U_{i k}$.

注 3.2 通过考虑 $\bar{u}_{i k}\left(\varepsilon_{k, j} y + p_{k, j}\right) + 2 \ln \varepsilon_{k, j}$, 我们得到

由引理 3.1, 我们得到以下推论

推论 3.1 对于 $i=1, 2$ 和 $j=1, \cdots, m$, 成立

证 注意到在 $\partial B_{\delta}(p_{j})$ 上 $v_{i}\left(\frac{x-p_{k, j}}{\varepsilon_{k, j}}, \Lambda^{j}\right) \sim 4 \ln \varepsilon_{k, j}$, 我们得到公式 (3.3). 公式 (3.4) 直接由公式 (3.3) 推出.

对于固定的 $\delta>0$, 我们定义局部质量 $\rho_{i k, j}$ 为

由引理 3.1, 我们有

注意到 $\rho_{i k} = \rho_{i k} \int_{\Omega} h_{i k} {\rm e}^{\tilde{u}_{i k}}$, 容易看出

现定义

引理 3.2 (远离爆破点的估计) 对于 $i=1, 2$, 我们有

证 容易看出, $\left(2 u_{1 k} + u_{2 k}, 3 u_{1 k} + 2 u_{2 k}\right)$ 满足

那么由 Green 表示公式可得此引理. 事实上, 对于 $\ell=0, 1$ 和 $x \in \Omega \setminus \bigcup_{j=1}^{m} B_{\delta}(p_{j})$, 有

其余证明类似, 故省略.

在本节中, 我们利用整体解 $\left(v_{1}(\cdot, \Lambda_{k}^{j}), v_{2}(\cdot, \Lambda_{k}^{j})\right)$, 对 $2\tilde{u}_{1k} + \tilde{u}_{2k}$ 和 $3\tilde{u}_{1k} + 2\tilde{u}_{2k}$ 在球 $B_{\delta}(p_{kj})$ 中的爆破行为给出精确描述.

为简便起见, 我们设

其中 $H(x, y)$ 是 Green 函数 $G(x, y)$ 的正则部分.

令

以及

对 $x \in B_{\delta}\left(p_{k, j}\right)$, 定义

在 $B_{\delta}\left(p_{k, j}\right) \setminus B_{\frac{\delta}{2}}\left(p_{k, j}\right)$ 中, 由 Taylor 展开容易看出

因此在 $B_{\delta}\left(p_{k, j}\right) \setminus B_{\frac{\delta}{2}}\left(p_{k, j}\right)$ 中, 有

其中 $A_{1 k, j}$ 是一个常数, 由下式给出

容易验证 $A_{1 k, j} = O(1)$. 此外, 引理 3.2 表明公式 (4.1) 对 $\nabla \eta_{1 k, j}$ 也成立.

类似地, 在 $B_{\delta}\left(p_{k, j}\right) \setminus B_{\frac{\delta}{2}}\left(p_{k, j}\right)$ 中, 有

其中

并且阶的估计为 $O(1)$. 公式 (4.2) 对 $\nabla \eta_{2 k, j}$ 同样成立. 为了估计 $\eta_{i k, j}$ 在整个 $B_{\delta}\left(p_{k, j}\right)$ 上的行为, 我们定义, 对于 $|y| \leq \frac{\delta}{\varepsilon_{k, j}}$,

由 $\tilde{\eta}_{1 k, j}$ 和 $\tilde{\eta}_{2 k, j}$ 的定义, 容易看出它们满足

其中

以及

由于 $Q_{i k, j}\left(\varepsilon_{k, j} y+p_{k, j}\right) - Q_{i k, j}\left(p_{k, j}\right) = O\left(\varepsilon_{k, j} |y|\right)$, 我们在 $B_{\frac{\delta}{\varepsilon_{k, j}}}$ 中有

我们首先得到 $\tilde{\eta}_{i k, j}$ 的以下关键估计

引理 4.1 对任意 $\tau \in(0, 1)$, 在 $B_{\frac{\delta}{\varepsilon_{k, j}}}$ 中成立

其中 $i=1, 2$.

证明. 证明与定理 2.1 的证明类似. 设

对固定的 $\tau \in(0, 1)$, 我们断言 $\tilde{H}_{k}$ 是有界的. 采用反证法证明.

假设 $\tilde{H}_{k} \to \infty$, 并设 $y_{k}$ 是最大值点. 令

则有

于是 $\hat{\eta}_{i k, j}$ 满足

由公式 (4.5) 可知, $\hat{\eta}_{i k, j}$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 的任意固定紧子集上一致有界.

情况 1 如果 $y_{k} \to y^{*}$, 则 $\left(\hat{\eta}_{1 k, j}, \hat{\eta}_{2 k, j}\right)$ 收敛到 $\left(\eta_{1, j}, \eta_{2, j}\right)$, 且满足

类似于定理 2.1 证明中的论证, 我们得到 $\eta_{1, j}=0$ 且 $\eta_{2, j}=0$. 这与对某个 $i$ 有 $\left|\eta_{i, j}\left(y^{*}\right)\right|=1$ 矛盾.

情况 2 $y_{k} \to \infty$. 不失一般性, 假设 $\left| \hat{\eta}_{1 k, j}\left(y_{k}\right) \right| = 1$, 由 Green 表示公式可得

其中 $G_{k}$ 是 $B_{\frac{\delta}{\varepsilon_{k, j}}}$ 上关于 Dirichlet 边界条件的 Green 函数. 由于

我们有

对于边界积分, 我们观察到, 由公式 (4.1) 可得

其中 $B_{1 k, j}$ 是常数. 由于

我们有

因此边界积分可估计为

类似于定理 (2.1) 证明中的估计, 我们知道公式 (4.6) 右边的第一项是 $o(1)$, 而其左边是 $1+o(1)$, 这导致矛盾.

引理 4.2 对于 $0<\tau<1$, 我们有

证 由 Green 公式,

注意

因此, 回顾 $\tilde{\eta}_{i k, j}$ 的定义, 并利用 $0<\tau<1$ 这一事实, 我们得到

事实上, 直接计算表明

以及

另一方面, 根据我们的选择, 有

于是,

类似地, 我们可以得到 $A_{2 k, j}$ 的估计.

注 4.1 利用引理 4.2, 我们得到, 在 $B_{\frac{\delta}{\varepsilon_{k, j}}} \setminus B_{\frac{\delta}{2 \varepsilon_{k, j}}}$ 中, 有

在本节中, 我们估计由公式 (4.3) 和 (4.4) 定义的 $Q_{1 k, j}$ 和 $Q_{2 k, j}$ 的梯度. 由于问题是在局部考虑的, 为简化记号, 在不引起混淆的情况下, 我们省略下标 $j$, 并记 $\rho_{1k, j}$ 和 $\rho_{2k, j}$ 为 $\rho_{1k}^{0}$ 和 $\rho_{2k}^{0}$.

命题 5.1 对于 $j=1, \cdots, m$, 我们有

证 我们设

由文献 [2,推论 2.3], 容易验证在 $\partial B_{\frac{\delta}{\varepsilon_{k}}}$ 上, 有

通过分部积分, 我们得到以下结果.

根据对 $\eta_{1 k}$ 和 $\eta_{2 k}$ 的估计, 我们得到, 对于 $i=1, 2$, 有

另一方面, 注意到由 $D_{i k, j}$ 的定义, 我们有

于是可以得到

由 $\tilde{\eta}_{1 k}$ 和 $\tilde{\eta}_{2 k}$ 的方程, 以及公式 (5.1)、(5.2) 和 (5.3), 可得

类似地, 上述过程也可以应用于 $\binom{\psi_{1 k, 2}^{c_{43}}}{\psi_{2 k, 2}^{c_{2}}}$、$\binom{\psi_{1 k, 1}^{c_{54}}}{\psi_{2 k, 1}^{c_{54}}}$ 和 $\binom{\psi_{1 k, 2}^{c_{54}}}{\psi_{2 k, 2}^{c_{54}}}$. 我们需要证明相应的矩阵是非退化的. 由于

则有

类似地,

类似地, 我们可以证明

上述计算表明了矩阵的非退化性.

引理 6.1 成立以下估计

证 由局部质量 $\rho_{i k, j}$ 的定义, 即有

公式 (6.2) 可类似证明.

命题 6.1

其中 $0 < \frac{1}{C} \leq C_{i k, j} \leq C$, $C$ 为某常数.

证明. 为简化记号, 如前一节所述, 我们省略下标 $j$. 设

Taylor 展开给出

分别用 $\psi_{1 k}^{\lambda_{5}}$ 和 $\psi_{2 k}^{\lambda_{5}}$ 检验 $\left( -\Delta \tilde{\eta}_{1 k} \right)$ 和 $\left( -\Delta \tilde{\eta}_{2 k} \right)$, 由 $\psi_{1 k}^{\lambda_{5}}$ 和 $\psi_{2 k}^{\lambda_{5}}$ 的方程, 我们有

很容易即可验证

以及

结合公式 (6.3)、(6.4) 和 (6.5), 我们得到

另一方面, 利用命题 5.1, 我们得到

由 $\tilde{\eta}_{1 k}$ 和 $\tilde{\eta}_{2 k}$ 的方程, 成立以下关系

由于当 $r \rightarrow \infty$ 时 $\psi_{1 k}^{\lambda_{5}}=O\left(\frac{1}{r^{2}}\right)$, 所以有

及

接下来, 我们断言

事实上, 直接计算表明

及

公式 (6.8) 由公式 (6.9) 和公式 (6.10) 推出.

将公式 (6.8) 代入公式 (6.7),我们得到

由以上等式, 我们得到

紧接着, 我们通过用 $\psi_{1 k}^{\lambda_{4}}$ 和 $\psi_{2 k}^{\lambda_{4}}$ 替换 $\psi_{1 k}^{\lambda_{5}}$ 和 $\psi_{2 k}^{\lambda_{5}}$ 来执行类似过程, 得到

及

于是我们得到

结合公式 (6.11) 和公式 (6.12), 我们得到

其中最后一个等式使用了 $\left(\psi_{2 k}^{\lambda_{4}}+\frac{\lambda_{5 k}}{\lambda_{4 k}} \psi_{2 k}^{\lambda_{5}}\right) = O\left( \frac{1}{|y|^2} \right)$, 当 $|y| \to \infty$ 时.

由于 ${\rm e}^{V_{1 k}}$ 和 ${\rm e}^{V_{2 k}} \sim |y|^{-4}$, 引理 6.1 与公式 (6.12) 和公式 (6.13) 意味着

其中 $0<C_{i k}<\infty$.

因此我们得到

证明完毕.

命题 7.1 成立以下估计

其中

证 我们设

由 Taylor 展开得到

利用前面各节的估计, 我们得到

由于 $h_{1 k}$ 和 $h_{2 k} \in C^{2, \beta}(\bar{\Omega})$, 根据 $D_{1 k}$ 和 $D_{2 k}$ 的定义, 我们有

于是,

在最后一个等式中, 我们利用了 $|\nabla Q_{i k}\left(p_{k}\right)| = O(\varepsilon_{k})$ 以及

类似地,

显然,

可以进一步验证

类似地, 可以得到

此外, 我们用 $T_{i k, j}$ 表示以下常数

因此上述结果意味着

从而我们得出结论

因此, 我们有

类似地, 我们有

证明完成.

将命题 6.1 应用于命题 5.1 可得

由 $Q_{1 k, j}$ 和 $Q_{2 k, j}$ 的定义, 我们有

因此我们得到

这就证明了定理 1.2 的结论 (ii).

类似地, 由命题 7.1 可得

这就证明了定理 1.2 的结论 (iii).

最后还需要计算 $\rho_{1 k} - 24 m \pi$ 和 $\rho_{2 k} - 40 m \pi$. 回顾之前有

注意到 $\Delta_{x} Q_{i k, j}\left(p_{k, j}\right) = \Delta \ln h_{i k}\left(p_{k, j}\right)$, 并利用命题 6.1, 我们有

至此完成了定理 1.2 的全部证明.

现在我们考虑 Riemann 曲面上的情形. 回顾 Riemann 曲面上的 $G_{2}$ 型 Toda 系统

设 $\tilde{u}_{i k}$, $\varepsilon_{k, j}$ 及其他记号如前定义. 令

其中 $\bar{u}_{i k}$ 是 $u_{i k}$ 在 $M$ 上的平均值, $G(x, p)$ 是 $M$ 上以 $p$ 为奇点的 Laplace 算子 $\Delta$ 的 Green 函数. 类似地, 我们得到以下估计

引理 8.1 对于 $i=1, 2$, 有

由于前面各节的分析是局部的, 我们引入一些记号以便进行局部计算. 为了方便, 引入局部坐标 $x$ 使得 $p_{k, j}$ 的坐标为 0, 且度量 $g_{i j} = {\rm e}^{\phi} \delta_{i j}$ 满足 $\phi(0) = \nabla \phi(0) = 0$. 此时, $\tilde{u}_{i k}$ 将满足以下方程

其中 $\Delta$ 表示 $\mathbb{R}^{2}$ 中的 Laplace 算子. 此外, 我们设

其中 $f_{k}$ 定义为

显然 $(\hat{u}_{1 k}, \hat{u}_{2 k})$ 满足以下方程组

其中

因此, 第 4 节到第 8 节的类似过程可应用于 (8.1) 式. 现在注意到

利用以下事实

即得到定理 1.1.