具有恒定涡度的小振幅水弹性孤波与广义孤波——献给陈化教授 70 寿辰

具有恒定涡度的小振幅水弹性孤波与广义孤波——献给陈化教授 70 寿辰

王灵君^,

武汉科技大学数学与系统科学学院武汉 430065

Hydroelastic Small-Amplitude Solitary and Generalized Solitary Waves with Constant Vorticity

Wang Lingjun^,

School of Mathematics and System Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430065

收稿日期: 2025-12-25 修回日期: 2026-03-13

Received: 2025-12-25 Revised: 2026-03-13

作者简介 About authors

王灵君,Email：wanglingjun@wust.edu.cn

摘要

该文证明了具有恒定涡度的二维小振幅水弹性孤波及广义孤波的存在性. 该波面下方水流的深度有限, 且水流中不出现临界层. 利用空间动力学方法, 原问题被转化为一个等价的动力系统, 其中水平空间方向作为类时变量. 随后应用中心流形约化与正规形理论, 得到了约化系统的同宿解, 这些解对应原水弹性波问题的孤波或广义孤波.

关键词： 水弹性孤立波; 恒定涡度; 空间动力系统

Abstract

In this paper, we prove the existence of two-dimensional hydroelastic solitary waves with constant vorticity by using spatial dynamics method. The flow beneath the wave is of finite depth, and critical layers are absent throughout the flow. The problem is converted to an equivalent dynamical system in which the horizontal spatial direction is the time like variable. Then application of a center-manifold reduction technique and normal-form theory yields the existence of homoclinic solutions to the reduced system, which correspond to solitary or generalized solitary waves of the hydroelastic problem.

Keywords： hydroelastic solitary waves; constant vorticity; spatial dynamics

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本文引用格式

王灵君. 具有恒定涡度的小振幅水弹性孤波与广义孤波——献给陈化教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(2): 628-645

Wang Lingjun. Hydroelastic Small-Amplitude Solitary and Generalized Solitary Waves with Constant Vorticity[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(2): 628-645

0 引言

水弹性波是由运动流体与可变形薄板之间的相互作用产生的. 它们对海洋结构和海上运输起着重要作用, 在诸如将大型浮冰用作道路和着陆带的极地地区有着广泛的应用. 本文考虑了在薄冰盖和具有恒定涡度的理想流体界面处的二维水弹性波. 假设水流深度有限且位于平刚性海床之上, 其与薄冰盖之间的界面是自由的, 该界面由超弹性壳的 Cosserat 理论^[30,31]模型来描述. 当水流中不出现临界层时, 我们证明了在界面处传播的水弹性孤立波或广义孤立波的存在性, 这里的临界层是指区域中流体粒子的水平速度等于波速的点构成的一条曲线.

在数值和理论层面, 之前已经有一系列关于水弹性波的研究工作. 例如,Guyenne-Pǎrvau^[16,17] 利用边界积分法研究了无旋水弹性孤立波, 并通过在任意深度截断 Dirichlet-Neumann 算子进行了非定常模拟; Groves-Nilsson^[11]利用变分法也证明了当某无量纲参数值足够大时, 水弹性孤立波是存在的; Gao, Wang 和 Vanden-Broeck^[10]则通过时变保角映射研究了完全非线性方程的孤立波的稳定性和动力学性质. 另外, Milewski, Vanden 和 Broeck-Wang^[27,28] 还建立了深水流表面的水弹性明孤立波及暗孤立波. 这里的暗孤立波为在无穷远场处渐近趋于均匀周期波、而在原点附近振幅逐渐衰减的波解.上述工作考虑的是无涡旋的水弹性波. 然而, 如果波面下方有潜流或波进入流动的溪流, 对流体的无涡旋假设将不再适用.自 Constantin-Strauss 的开创性工作^[5]以来, 大量的工作研究了旋转表面波, 这些工作考虑了有或无临界层的表面波的存在性、波面的性质等问题; 可参见文献 [6,25,37] 和其中的参考文献以了解更多关于旋转表面波的结果.最近, Wahlén-Weber^[33,34] 对存在临界层及涡度函数任意的情况, 还建立了具有翻卷波面的周期表面波.对于水弹性波, 假设涡度恒定, Gao-Wang-Milewski^[9] 推导出了三次非线性薛定谔方程, 并对孤立波进行了非线性计算; 在相同的物理背景下,Wang-Guan^[36] 建立了渐近线、孤波下的粒子轨迹以及水流内部结构.

本文旨在利用空间动力学方法建立孤立波的存在性. 该理论由 Kirchgässner (参见文献 [21]) 率先提出, 其核心思想是: 首先将问题中某无界的空间变量看做时间变量, 把对应的原方程转化成一个动力系统的形式; 随后运用中心流形约化与规范形理论, 从有限维常微分方程组的解导出该动力系统的有界小解.此方法已成功应用于多种场景: 如带或不带涡旋的二维稳态表面或界面水波的存在性(见文献 [15,22,29,35] 等)、三维水波(见文献 [13]), 以及铁磁流体中的斑图形成问题(见[12,14]). 中心流形约化是空间动力学方法的重要工具. 标准的中心流形理论可参考[18,26]. 近年来, 经典中心流形理论也出现了若干变体, 参见文献 [2,4,7,8,23,32]. 最近, Ahmad-Groves^[1] 利用空间动力学方法构造了无旋的水弹性孤波. 在无旋情形下, 水弹性波问题可由势函数所满足的方程及边界条件描述. 与此不同, 本文研究具有恒定涡度的水弹性孤波, 此时控制问题由流函数的方程及边界条件给出. 此外, 在将原问题改写为动力系统形式时, 文献 [1] 选择将其构建为哈密顿系统; 而本文则直接从方程结构出发, 推导出相应的动力系统形式.

遵循空间动力学方法, 我们首先通过引入新变量将水弹性波问题重构为可翻转动力系统

$ \begin{eqnarray*}\frac{{\rm d}U}{{\rm d}x}=L_{\alpha, \mathcal{D}}U+N(U; \mathcal{D}),\end{eqnarray*}$

其中 $\alpha$ 和 $\mathcal{D}$ 为两个无量纲参数 (与流体深度 $d$、重力加速度 $g$、抗弯刚度 $D$ 及恒定涡量 $\omega$ 相关). 随后我们分析该系统在层流解 (即只与深度相关的稳态解) 处的线性算子 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的谱特性. 在参数平面 $(\alpha, \mathcal{D})$ 上, 我们发现了在其处发生 Hoph 分岔的曲线 $\mathcal{C}_{1}$: 当参数$(\alpha, \mathcal{D})$ 穿过曲线 $\mathcal{C}_1$ 时, 两对纯虚特征值在虚轴上非零点 $\pm {\rm i}s$ 处碰撞后转化为复特征值. 固定参考参数于曲线 $\mathcal{C}_1$ 上后,我们应用文献 [18] 中的中心流形定理得到有限维约化系统, 并借助规范形理论进一步简化该系统. 通过验证水弹性问题在无量纲参数 $\mathcal{D}$ 较大时若干标量具有适当符号, [3,19] 的结果保证了该有限维约化系统存在趋于零的同宿解, 这些解对应水弹性波问题的孤立波. 在此类孤立波下方, 流体中不存在临界层. 另外, 我们还发现分岔曲线 $\mathcal{C}_2$, 这一曲线上出现 $0^2{\rm i}\omega$ 共振: 当 $(\alpha, \mathcal{D})$ 穿过 $\mathcal{C}_2$ 时, 两个互为相反数的实特征值在原点碰撞后转化为一对纯虚特征值, 而另一对共轭纯虚特征值保持在虚轴上. 因此当参数位于曲线 $\mathcal{C}_2$ 的某一侧时, 线性算子 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 有两个互为相反数的实特征值和一对共轭纯虚特征值. 互为相反数的实特征值的存在意味着系统在特定方向上具有双曲性, 微小的扰动会使系统沿该方向呈指数级地远离平衡点或趋近平衡点, 这一般意味着孤立波的存在; 而一对纯虚特征值对应着平衡点的中心特性, 意味着在平衡点附近存在一个由周期轨道构成的单参数族. 针对此共振情形, 中心流形结合规范形理论证明广义孤立波是存在的——这类广义孤立波是在无穷远处衰减为周期涟漪的脉冲状波形, 其中周期涟漪的振幅相对于脉冲幅值呈指数级小.无涡度的水弹性孤立波^[1]源于对静止流体的微扰, 而本文所建立的孤波则来源于对层流的扰动. 此处层流指水面保持平坦、仅具有水平速度且该速度随深度变化的水流. 在该情形下, 层流在表面的相对水平流速是自由的. 因此, 与无旋情形相比, 本文得到的色散关系及分岔曲线等结论中均有一个额外的自由参数, 需特别关注该参数对结果的影响. 另外需要说明的是,虽然本文中所考虑的背景与文献 [9] 中是类似的, 文献 [9] 更多是在数值层面对问题展开研究, 而本文主要是在理论上关注不同参数取值对解的影响, 所得到的分岔参数曲线也隐含着周期波的存在性, 同时分岔曲线的性质也有助于后续建立孤波或周期波的谱稳定性.

本论文的结构安排如下: 第二章给出水弹性波问题的控制方程与空间动力系统等价表述, 及本文的主要结果; 第三章集中讨论线性化问题, 并计算其纯虚特征值所对应的特征空间; 第四章应用中心流形与规范形理论, 证明本文的主要结果.

2 主要结果与问题的等价重构

2.1 水弹性波问题的方程描述

考虑一个单位密度的二维不可压缩无粘性流体. 用 $t$ 表示时间, $(\tilde x, y)\in \mathbb{R}^2$ 表示笛卡尔坐标系, 其中$\tilde x$ 轴指向波传播的方向, $y$ 轴指向与重力相反的方向. 设流体所占据区域的下边界为刚性河床 $y=-d$, $d>0$, 上边界为自由弹性薄板, 薄板位置由 $y=\eta(t, \tilde x)$ 给出, 这里的 $\eta$ 是未知的. 我们研究在流体与弹性薄板界面处以波速 $c>0$ 传播的行波, 因此在随波移动的参考系 $(x, y)=(\tilde x-ct, y)$ 中, 流体占据的区域为

$ \begin{eqnarray*} \Omega=\{( x, y): x\in \mathbb{R}, -d<y<\eta(x)\}.\end{eqnarray*}$

孤波即为满足当 $|x| \rightarrow \infty$ 时 $\eta(x)\rightarrow 0$ 的波面, 而广义孤波则为在 $|x|$ 很大时, $\eta(x)$ 呈周期振荡的波.

设定义在区域 $\Omega$ 上的速度场 $(u, v)=(u(x, y), v(x, y))$. 引入满足如下方程及归一化条件的流函数 $\psi(x, y)$,

$ \begin{align*}\psi_{x}=-v, \quad \psi_{y}=u-c, \quad (x, y)\in\Omega,\end{align*}$

$\begin{align*} \psi|_{y=\eta(x)}=0, \quad \psi|_{y=-d}=p_0, \end{align*}$

其中

$p_0=-\int^{{\eta}(x)}_{-d}\Big(u(x, y)-c\Big){\rm d}y$

是一个与相对质量通量相关的常数. 水流的涡量由

$\omega=v_x-u_y=-\triangle\psi$

给出. 假设在整个流体区域内, 涡度 $\omega$ 为常数, 则水弹性波问题由如下自由边值问题给出

(2.1a) $\Delta \psi=-\omega, \quad \text { 在 } \Omega \text { 里，}$

(2.1b) $\frac{1}{2}|\nabla \psi|^{2}+g y+D\left(\kappa_{s s}+\frac{\kappa^{3}}{2}\right)=Q, \quad \text { 在 } y=\eta(x) 上,$

(2.1c) $\psi=0 \text {, 在 } y=\eta(x) \text { 上, }$

(2.1d) $\psi=p_{0}, \quad \text { 在 } y=-d \text { 上, }$

其中 $Q$ 是与能量相关的物理常数, $D > 0$ 为弹性薄板的抗弯刚度, $\kappa = \eta_{xx} (1 + \eta_x^2)^{-3/2}$ 为薄板的曲率, $s$ 为弧长参数, 从而

$ \begin{eqnarray*}\kappa_{ss} = \frac{1}{(1 + \eta_x^2)^{1/2}} \partial_x \left[ \frac{1}{(1 + \eta_x^2)^{1/2}} \partial_x \left( \frac{\eta_{xx}}{(1 + \eta_x^2)^{3/2}} \right) \right].\end{eqnarray*}$

接下来, 我们设置以下变量对上述问题进行无量纲化处理

$ \begin{eqnarray*} (\tilde x, \tilde y)=\frac{1}{d}(x, y), \quad \tilde\eta(\tilde x)=\frac{1}{d}\eta(x), \quad \tilde\psi=\frac{\psi}{d^2(-\omega)},\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde p_0=\frac{p_0}{d^2(-\omega)}, \quad \alpha=\frac{g}{d\omega^2}, \quad{\mathcal{D}}=\frac{{D}}{d^5\omega^2}, \quad \tilde Q=\frac{Q}{d^2\omega^2}. \end{eqnarray*}$

在上述新变量下, 自由边值问题 (2.1) 被转换为

(2.2a) $\Delta \psi=1, \quad-1＜y＜\eta(x),$

(2.2b) $\frac{1}{2}|\nabla \psi|^{2}+\alpha y+\mathcal{D}\left(\kappa_{s s}+\frac{\kappa^{3}}{2}\right)=Q \text {, 在 } y=\eta(x) \text { 上 }$

(2.2c) $\psi=0, \quad \text { 在 } y=\eta(x) \text { 上, }$

(2.2d) $\psi=p_{0} \text {, 在 } y=-1 \text { 上, }$

这里为简化记号变量上的波浪号已被去掉. 我们拟在层流附近寻求问题的解, 这类层流对应流体的未扰动状态, 其特点是水面平坦, 速度方向是水平的但大小随深度变化. 从 $\eta=0$ 且 $\psi$ 与 $x$ 无关的这个角度来看, 它们是系统 (2.2) 的平凡解. 直接计算可得层流由 $(\eta, \psi)=(0, \bar\psi(y; \lambda))$ 给出, 其中

$\bar\psi(y; \lambda)=\frac{1}{2}y^2+\lambda y$

数 $\lambda=\bar\psi_y|_{y=0}$ 表示层流在波面的相对水平速度, 且相应的物理量

$ \begin{eqnarray*} Q=Q(\lambda)=\frac{1}{2}\lambda^2, \quad p_0=p_0(\lambda)=\frac{1}{2}-\lambda.\end{eqnarray*}$

需要注意的是, 当 $\lambda\in(-\infty, 0)\cup (1, +\infty)$ 时, 层流是单向的; 而当 $\lambda\in[0,1]$ 时, 流体中会出现一个临界层, 在该层处 $\bar\psi_y$ 为零.

2.2 主要结果

引入所考虑问题的方程之后, 我们在下面定理中给出本文的主要结果.

定理 2.1 令$(\alpha,\mathcal{D})=(\alpha_c+\varepsilon,\mathcal{D}_c)$. 存在 $(\alpha,\mathcal{D})$-平面内的曲线 (见图1(a))

$\begin{aligned}\mathcal{C}_{1, \lambda}=\{(\alpha(s ; \lambda), \mathcal{D}(s ; \lambda)): \alpha(s ; \lambda) & =\frac{3}{4} \lambda^{2} s \operatorname{coth} s-\lambda+\frac{\lambda^{2} s^{2}}{4 \sinh ^{2} s} \\\mathcal{D}(s ; \lambda) & \left.=\frac{\lambda^{2}}{4 s^{3}}\left(\operatorname{coth} s-\frac{s}{\sinh ^{2} s}\right), s>0\right\},\end{aligned}$

图1

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图1 本文建立的参数曲线及孤波总结.

及

$ \begin{align*} \mathcal{C}_{2, \lambda}=\{(\alpha, \mathcal{D}): \alpha=\lambda^2-\lambda, \mathcal{D}>0\}, \end{align*}$

使下述结论成立.

(1) 当 $(\alpha_c,\mathcal{D}_c)\in \mathcal{C}_{1,\lambda}$, $0<\varepsilon \ll1$, 及 $\mathcal{D}_c$ 足够大时, 存在充分小的$\lambda_0>0$, 使得当 $\lambda\in(-\infty, -\lambda_0)\cup [1+\lambda_0, +\infty)$ 时, 水弹性波问题 (2.1) 有凸起和凹陷型孤波

$\eta(x) \sim \pm \sqrt{\varepsilon} \operatorname{sech}(\sqrt{\varepsilon} x) \cos \left(s x+O\left(|\varepsilon|^{1 / 2}\right)\right)+O(\varepsilon) ;$

另外水弹性波问题 (2.1) 也有无限多个类似多次复制上面两种波形所得的调制孤立波; 见图1(b)

(2) 当 $(\alpha_c,\mathcal{D}_c)\in \mathcal{C}_{2,\lambda}$, $-1\ll \varepsilon<0$ 时, 存在充分小的 $\lambda_0>0$ 使得 $\lambda\in(-\infty, -\lambda_0)\cup [1+\lambda_0, +\infty)$ 时, 水弹性波问题 (2.1) 有广义孤波解,

$\eta(x) \sim-\varepsilon \operatorname{sech}^{2}(\sqrt{-\varepsilon} x)+\varepsilon \cos \left(s_{0} x+O(\varepsilon)\right)+O(|\varepsilon|),$

其中 $s_0$ 是与 $\lambda,\mathcal{D}$ 有关的常数. 该波形的脉冲状轮廓在无穷远处衰减为一个周期波纹, 且该波纹的振幅与脉冲轮廓的振幅相比呈指数级小; 见图1(c).

2.3 空间动力系统等价描述

注意到函数 $\eta$ 是未知的, 所以问题 (2.2) 中区域的边界是不固定的. 因此, 我们首先进行平坦化变量变换

$(\hat{x}, \hat{y})=\left(x,-1+\frac{y+1}{\eta(x)+1}\right) .$

这一变换将带自由边界的区域 $\Omega$ 变换成了带固定边界的区域 $R= \mathbb{R} \times [-1, 0]$. 同时在新变量下, 问题 (2.2) 被重新表述为

(2.3a) $\begin{array}{r}\left(\psi_{x}-\frac{(y+1) \eta_{x}}{1+\eta} \psi_{y}\right)_{x}-\frac{(y+1) \eta_{x}}{1+\eta}\left(\psi_{x}-\frac{(y+1) \eta_{x}}{1+\eta} \psi_{y}\right)_{y} \\+\frac{\psi_{y y}}{(1+\eta)^{2}}=1,-1＜y＜0\end{array}$

(2.3b) $\frac{1}{2}\left(\psi_{x}-\frac{(y+1) \eta_{x}}{1+\eta} \psi_{y}\right)^{2}+\frac{\psi_{y}^{2}}{2(1+\eta)^{2}}+\alpha \eta+\mathcal{D}\left(\kappa_{s s}+\frac{\kappa^{3}}{2}\right)=Q, y=0$

(2.3c) $\psi=0, y=0$

(2.3d) $\psi=p_{0}, y=-1$

为简化记号, 变量上的帽子符号已被省略.

下一步是将系统 (2.3a) 写为一个视 $x$ 为时间变量的一阶方程组. 为此, 我们通过

$\varphi=(1+\eta)\left(\psi_{x}-\frac{(y+1) \eta_{x}}{1+\eta} \psi_{y}\right)$

$\hspace{-1.2cm} \xi=\eta_x, \quad \zeta=\frac{\xi_x}{(1+\xi^2)^{5/2}}, $

$\hspace{-1.3cm} \theta=\zeta_x+\frac{5}{2}\zeta^2\xi(1+\xi^2)^{3/2},$

引入变量$\varphi, \xi, \zeta, \theta$.然后注意到

$\kappa_{s s}+\frac{\kappa^{3}}{2}=\left[\left(\frac{\eta_{x x}}{\left(1+\eta_{x}^{2}\right)^{5 / 2}}\right)_{x}+\frac{5}{2} \frac{\eta_{x x}^{2} \eta_{x}}{\left(1+\eta_{x}^{2}\right)^{7 / 2}}\right]_{x}$

并使用 $\varphi, \xi, \zeta$ 和 $\theta$ 来表示 $\psi_x$, $\eta_x$, $\xi_x$ 和 $\zeta_x$, 我们最终可将 (2.3a) 改写为一阶方程组

(2.4a) $\psi_{x}=\frac{\varphi}{1+\eta}+\frac{(y+1) \xi}{1+\eta} \psi_{y}$

(2.4b) $\varphi_{x}=\frac{\xi}{1+\eta}((y+1) \varphi)_{y}-\frac{\psi_{y y}}{1+\eta}+1+\eta$

(2.4c) $\eta_{x}=\xi$

(2.4d) $\xi_{x}=\zeta\left(1+\xi^{2}\right)^{5 / 2}$

(2.4e) $\zeta_{x}=\theta-\frac{5}{2} \zeta^{2} \xi\left(1+\xi^{2}\right)^{3 / 2}$

(2.4f) $\theta_{x}=\left.\frac{1}{\mathcal{D}}\left(Q-\frac{\varphi^{2}}{2(1+\eta)^{2}}-\frac{\psi_{y}^{2}}{2(1+\eta)^{2}}-\alpha \eta\right)\right|_{y=0},$

及边界条件 $\psi(0)=0$ 和 $\psi(-1)=p_0$.

引入空间

$ \begin{eqnarray*} X=H^1(-1, 0)\times L^2(-1, 0)\times \mathbb{R}^4,\end{eqnarray*}$

及紧嵌入到 $X$ 中的空间

$ \begin{eqnarray*} Y=\{(\psi, \varphi, \eta, \xi, \zeta, \theta)\in H^2(-1, 0)\times H^1(-1, 0)\times \mathbb{R}^4: \psi(0)=0, \psi(-1)=p_0(\lambda), 1+\eta>0\}.\end{eqnarray*}$

将 (2.4) 看作在无限维相空间 $X$ 的动力系统. 而且注意到,方程组 (2.4) 是可翻转的: 它在变换 $(\psi, \varphi, \eta, \xi, \zeta, \theta)(x)\rightarrow S(\psi, \varphi, \eta, \xi, \zeta, \theta)(-x)$ 下是不变的, 其中反向算子 $S$ 定义为

$ \begin{eqnarray*} S(\psi, \varphi, \eta, \xi, \zeta, \theta)=(\psi, -\varphi, \eta, -\xi, \zeta, -\theta).\end{eqnarray*}$

由于我们寻求的是层流 $(\psi, \eta)=(\bar\psi, 0)$ 的扰动解, 为后续计算方便, 我们通过变量变换 $G^\lambda: Y\rightarrow Z$,

$ \begin{eqnarray*} G^\lambda(\psi, \varphi, \eta, \xi, \zeta, \theta)=(\phi, \varphi, \varrho, \xi, \zeta, \theta), \quad \varrho=\lambda\eta, \quad \phi=\psi-\bar\psi-(y+1)\bar\psi_y\eta,\end{eqnarray*}$

引入新变量 $\varrho$ 和 $\phi$, 并引入空间

$ \begin{eqnarray*} Z=\{(\phi, \varphi, \varrho, \xi, \zeta, \theta)\in H^2(-1, 0)\times H^1(-1, 0)\times \mathbb{R}^4: \phi(0)=-\varrho, \phi(-1)=0, 1+\lambda^{-1}\varrho>0\}.\end{eqnarray*}$

当 $\lambda\neq 0$ 时, 映射 $G^\lambda$ 是 $Y$ 和 $Z$ 间的同构; 其逆映射 $(G^\lambda)^{-1}: Z\rightarrow Y$ 由

$ \begin{eqnarray*} (G^\lambda)^{-1}(\phi, \varphi, \varrho, \xi, \zeta, \theta)=(\phi+\bar\psi+(y+1)\bar\psi_y, \lambda^{-1}\varrho, \varphi, \lambda^{-1}\varrho, \xi, \zeta, \theta),\end{eqnarray*}$

给出.最终在变量 $(\phi, \varphi, \varrho, \xi, \zeta, \theta)$ 下, 系统 (2.4) 可写为

(2.5) $ \begin{aligned} \frac{{\rm d}U}{{\rm d}x}=L_{\alpha, \mathcal{D}}U+N(U; \alpha, \mathcal{D}),\end{aligned}$

其中 $\alpha, \mathcal{D}$ 是参数,

$U=\left(\begin{array}{c}\phi \\\varphi \\\varrho \\\xi \\\zeta \\\theta\end{array}\right), \quad L_{\alpha, \mathcal{D}} U=\left(\begin{array}{c}\varphi \\-\phi_{y y} \\\lambda \xi \\\zeta \\\theta \\\left.\frac{1}{\mathcal{D}}\left(-\lambda \phi_{y}-\varrho-\alpha \lambda^{-1} \varrho\right)\right|_{y=0}\end{array}\right),$

算子 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的定义域为 $Z$,且非线性部分 $N(U; \alpha, \mathcal{D})=(N_1, N_2, N_3, N_4, N_5, N_6)^T: Z\rightarrow X$, 其中

$\begin{array}{c}N_{1}=\frac{-\lambda^{-1} \varrho \varphi}{1+\lambda^{-1} \varrho}+\frac{(y+1) \xi}{1+\lambda^{-1} \varrho}\left(\phi_{y}+(y+1) \lambda^{-1} \varrho\right), \\N_{2}=\frac{\xi}{1+\lambda^{-1} \varrho}((y+1) \varphi)_{y}+\frac{\lambda^{-1} \varrho \phi_{y y}+\lambda^{-2} \varrho^{2}}{1+\lambda^{-1} \varrho}, \\N_{3}=0, \quad N_{4}=-\zeta+\zeta\left(1+\xi^{2}\right)^{5 / 2}, \quad N_{5}=-\frac{5}{2} \zeta^{2} \xi\left(1+\xi^{2}\right)^{3 / 2}, \\N_{6}=\left.\frac{1}{\mathcal{D}}\left(-\frac{\varphi^{2}}{2\left(1+\lambda^{-1} \varrho\right)^{2}}-\frac{\phi_{y}^{2}+\lambda^{-2} \varrho^{2}-2 \phi_{y} \varrho\left(1+\lambda^{-1} \varrho\right)+2 \phi_{y} \lambda^{-1} \varrho-2 \lambda^{-1} \varrho^{2}\left(1+\lambda^{-1} \varrho\right)}{2\left(1+\lambda^{-1} \varrho\right)^{2}}\right)\right|_{y=0} .\end{array}$

3 线性化问题

在这一章中, 我们分析参数 $(\alpha, \mathcal{D})$ 取不同值时, 线性算子 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的特征值, 并在 $(\alpha, \mathcal{D})$-平面上找出使得 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的纯虚特征值数目发生变化的分岔曲线. 同时, 我们也计算相应的特征函数.

3.1 特征值

线性算子 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 是 $X$ 中的闭算子, 其定义域 $Z$ 稠密且紧嵌入到 $X$ 中. 因此, $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 具有紧预解式, 从而其谱仅由纯点谱构成. 用 $\sigma(L_{\alpha, \mathcal{D}})$ 表示 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的特征值集合.

引理 3.1 如果数$s$满足关系式

(3.1) $ \begin{aligned} \alpha=\lambda^2 s\coth s-\lambda-\mathcal{D}s^4, \end{aligned}$

则 $\nu={\rm i}s$ 是算子 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的一个特征值. 而且, 在 $(\alpha, \mathcal{D})$--参数平面中, 有如下两条分岔曲线

(a) 当 $(\alpha, \mathcal{D}) \in \mathcal{C}_{1, \lambda}=\{(\alpha(s ; \lambda), \mathcal{D}(s ; \lambda)): s>0\}$ 时, 其中

$\begin{array}{l}\alpha(s ; \lambda)=\frac{3}{4} \lambda^{2} s \operatorname{coth} s-\lambda+\frac{\lambda^{2} s^{2}}{4 \sinh ^{2} s} \\\mathcal{D}(s ; \lambda)=\frac{\lambda^{2}}{4 s^{3}}\left(\operatorname{coth} s-\frac{s}{\sinh ^{2} s}\right)\end{array}$

有 $\sigma(L_{\alpha, \mathcal{D}})\cap {\rm i} \mathbb{R}=\{\pm{\rm i}s, s>0\}$, 对应特征值 $\pm{\rm i}s$ 的几何重数为 1 代数重数为 2;

(b) 当 $(\alpha, \mathcal{D})\in \mathcal{C}_{2, \lambda}=\{(\alpha, \mathcal{D}): \alpha=\lambda^2-\lambda, \mathcal{D}>0\}$ 时, 有 $\sigma(L_{\alpha, \mathcal{D}})\cap {\rm i} \mathbb{R}=\{0, \pm{\rm i}s_0\}$, 其中 $\pm{\rm i}s_0$

是单特征值, $s_0>0$ 由 (3.1) 解出, 0 是几何单重代数二重的特征值.

注 3.1 如果 $\mathcal{D}<0$, 则还有另外两条分岔曲线 $\mathcal{C}_{3, \lambda}$ 和 $\mathcal{C}_{4, \lambda}$: 当 $(\alpha, \mathcal{D})\in \mathcal{C}_{3, \lambda}=\{(\alpha, \mathcal{D}): \alpha=\lambda^2-\lambda, \mathcal{D}<0\}$ 时, 我们有 $\sigma(L_{\alpha, \mathcal{D}}) \cap {\rm i} \mathbb{R}=\{0\}$, 且 0 是一个几何单重代数二重特征值; 当 $(\alpha, \mathcal{D}) \in \mathcal{C}_{4, \lambda}=\left\{(\alpha(\nu ; \lambda), \mathcal{D}(\nu ; \lambda)): \nu \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right\}$ 时, 其中

$\begin{array}{l}\alpha(\nu ; \lambda)=\frac{3}{4} \lambda^{2} \nu \cot \nu-\lambda+\frac{\lambda^{2} \nu^{2}}{4 \sin ^{2} \nu}, \\\mathcal{D}(\nu ; \lambda)=\frac{\lambda^{2}(\sin 2 \nu-2 \nu)}{8 \nu^{3} \sin ^{2} \nu},\end{array}$

$\pm\nu\in \mathbb{R}$ 是算子 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的离虚轴最近的两个特征值, 其几何重数为1代数重数为 2. 然而, 由于 $\mathcal{D}<0$ 的情形没有物理意义, 因此我们不对该情形的解进行详细研究.

证解特征值问题 $L_{\alpha, \mathcal{D}}U=\nu U$, 可得 $\nu={\rm i}s$ 是一个特征值当且仅当 $s$ 满足色散关系式 (3.1).下面我们分析等式 (3.1) 的根 $s$.

令

$ \begin{eqnarray*} g(s; \lambda, \mathcal{D})=\lambda^2 s\coth s-\lambda-\mathcal{D}s^4.\end{eqnarray*}$

显然函数 $g(s; \lambda, \mathcal{D})$ 关于 $s$ 是偶的, 所以我们可以将 $s$ 的取值范围限定在 $[0, +\infty)$. 因为 $\mathcal{D}>0$,

我们有极限

$\lim _{s \rightarrow 0+} g(s ; \lambda, \mathcal{D})=\lambda^{2}-\lambda, \quad \lim _{s \rightarrow+\infty} g(s ; \lambda, \mathcal{D})=-\infty$

而且, 通过计算 $g$ 的导数, 可得 $g$ 在 0 的右邻域是递增的; 对固定的 $(\lambda, \mathcal{D})$, 函数 $g$ 有最大值 $g_{max}=g(s_c; \lambda, \mathcal{D})$, 其中 $s_c>0$ 由式子 $\mathcal{D}={D}(s_c; \lambda)$ 来决定, 这里的函数

$D(s ; \lambda)=\frac{\lambda^{2}}{4 s^{3}}\left(\operatorname{coth} s-\frac{s}{\sinh ^{2} s}\right)$

当 $s$ 从 $0$ 变化到 $+\infty$ 时, ${D}(s; \lambda)$ 的值从 $+\infty$ 递减至 $0$. 所以如果我们取$\alpha=\alpha(s_c; \lambda)$, 其中函数

$\begin{aligned}\alpha(s ; \lambda): & =\lambda^{2} s \operatorname{coth} s-\lambda-D(s ; \lambda) s^{4} \\& =\frac{3}{4} \lambda^{2} s \operatorname{coth} s-\lambda+\frac{\lambda^{2} s^{2}}{4 \sinh ^{2} s},\end{aligned}$

以使 $\alpha=g_{max}$, 则 $s=s_c$ 是 (3.1) 式在 $(0, +\infty)$ 内的唯一解. 注意到

(3.2) $\alpha^{\prime}(s ; \lambda)=\frac{\lambda^{2}}{4}\left(3 \operatorname{coth} s-\frac{s}{\sinh ^{2} s}-2 \frac{s^{2}}{\sinh ^{2} s} \operatorname{coth} s\right)>0, \quad \lim _{s \rightarrow 0} \alpha(s ; \lambda)=\lambda^{2}-\lambda .$

所以当 $\lambda\in(-\infty, 0)\cup [1, +\infty)$ 时, 有 $\alpha=\alpha(s_c; \lambda)>\lim_{s\rightarrow 0}\alpha(s; \lambda)\geq 0$, 这在物理上是合理的; 而当 $\lambda\in (0, 1)$ 时, $s_c$ 的值需远离0 以确保 $\alpha(s_c; \lambda)>0$. 由 $\alpha(s; \lambda)$ 的取法, 我们有当 $\alpha<\alpha(s_c; \lambda)$ 时, 特征值 $\pm{\rm i}s_c$ 将分裂为两对纯虚特征值; 而当 $\alpha>\alpha(s_c; \lambda)$ 时, 则分裂为两对具有非零实部的共轭复特征值. 由此证明了结论 (a).

接下来直接计算表明, 当 $\alpha=\lambda^2-\lambda$ 时, 0 是 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的一个几何单特征值; 当 $\mathcal{D}^{-1}\neq 0$ 时, 其代数重数为 2, 当 $\mathcal{D}^{-1}= 0$, 其代数重数为 4. 考虑到 $g(s; \lambda, \mathcal{D})$ 在区间 $(0, s_c)$上是递增的, 在 $(s_c, +\infty)$ 上是递减的, 且 $\lim_{s\rightarrow 0}g(s; \lambda, \mathcal{D})=\lambda^2-\lambda$, 我们得出 $\alpha=\lambda^2-\lambda$ 时, 关系式 (3.1) 存在另一个根 $s_0$, 且 $s_0>s_c$. 因此, $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的纯虚特征值包括 0 和 $\pm{\rm i}s_0$. 证毕.

3.2 中心特征空间

中心特征空间是由 $L_{\alpha, \mathcal{D}}$ 的纯虚特征值所对应的特征函数张成的空间. 接下来, 我们记 $L_i=L_{(\alpha, \mathcal{D})\in \mathcal{C}_{i, \lambda}}$, 并计算 $L_i$ 的中心特征空间, $i=1,2$.

引理 3.1 表明, 对于 $(\alpha, \mathcal{D})\in \mathcal{C}_{1, \lambda}$, $L_{1}$ 的纯虚特征值为 $\pm {\rm i}s$, 这些特征值是几何单重且代数二重的. 直接计算可得, 对应于特征值 ${\rm i} s$ 的广义特征子空间由以下向量张成

$e=\left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sinh s} e^{s(1+y)}-\frac{\mathrm{i} y}{\sinh s} \cosh s(1+y) \\\frac{\mathrm{i} s}{\sinh s} \sinh (s(1+y)) \\\frac{\mathrm{inh} s}{\sinh (s(1+y))} \\-1 \\-\mathrm{i} s \lambda^{-1} \\s^{2} \lambda^{-1} \\\mathrm{i} s^{3} \lambda^{-1}\end{array}\right), f=\left(\frac{y s}{\sinh s} \cosh s(1+y)+\frac{1}{\sinh s} \sinh (s(1+y))\right)\left(\frac{\mathrm{i}}{\sinh s} e^{s}\right)\left[\begin{array}{r}\frac{-\lambda^{-1} s e^{s}}{\sinh s}-\lambda^{-1} \\-\mathrm{i} \frac{\lambda^{-1} s^{2} e^{s}}{\sinh s}-\mathrm{i} 2 \lambda^{-1} s \\\frac{\lambda^{-1} s^{3} e^{s}}{\sinh s}+3 \lambda^{-1} s^{2}\end{array}\right) .$

它们满足

$ \begin{eqnarray*} L_{1}e={\rm i}se, \quad L_{1} f= {\rm i}sf+e, \quad Se=\bar e, \quad Sf=-\bar f, \end{eqnarray*}$

且对应于特征值 $-\mathrm{i}s$ 的广义特征子空间则由其复共轭 $\bar{e}$ 和 $\bar{f}$ 张成.

用 $Z_c$ 表示由特征函数 $e, f$ 和 $\bar e, \bar f$ 张成的中心特征子空间, 记 $(\cdot, \cdot)$ 为 $\left(L^{2}(-1,0)\right)^{2} \times \mathbb{C}^{4}$ 中的内积. 令 $L_{1}^*$ 为 $L_{1}$ 关于该内积的共轭算子, 则向中心特征子空间的投影 $P_c:Z\rightarrow Z_c$ 为

$ \begin{eqnarray*} P_cU=(U, e^*)e+(U, f^*)f+(U, \bar{e^*})\bar e+(U, \bar{f^*})\bar f,\end{eqnarray*}$

这里

$f^{*}=\left(\begin{array}{r}\tilde{c}_{2} \sinh s(y+1) \\\frac{\mathrm{i} \tilde{c}_{2}}{s} \sinh s(y+1) \\\tilde{c}_{2} s^{2} \lambda^{-2} \mathcal{D} \sinh s \\\mathrm{i} \tilde{c}_{2} s \lambda^{-1} \mathcal{D} \sinh s \\-\tilde{c}_{2} \lambda^{-1} \mathcal{D} \sinh s \\-\frac{\mathrm{i} \tilde{c}_{2}}{s \lambda} \mathcal{D} \sinh s\end{array}\right), \quad e^{*}=\left(\begin{array}{r}\tilde{c}_{2} e^{s(1+y)}+\mathrm{i} \tilde{c}_{2} y \cosh s(1+y) \\\frac{-\tilde{c}_{2}}{s}\left(e^{s(1+y)}+y \cosh s(1+y)\right)+\frac{\tilde{c}_{2}}{s^{2}} \sinh (s(1+y)) \\\mathrm{i} \frac{\tilde{c}_{2} \mathcal{D}}{\lambda^{2}}\left(s^{2} e^{s}+2 s \sinh s\right) \\-\frac{\tilde{c}_{2} \mathcal{D}}{\lambda}\left(s e^{s}+\sinh s\right) \\\frac{-\mathrm{i} \tilde{c}_{2} \mathcal{D}}{\lambda} e^{s} \\\frac{\tilde{c}_{2} \mathcal{D}}{\lambda}\left(\frac{1}{s} e^{s}-\frac{1}{s^{2}} \sinh s\right)\end{array}\right),$

其中

(3.3) $ \begin{aligned} \tilde c_2=\frac{{\rm i}2s^2\sinh^2 s}{3\sinh^2s \cosh s-s\sinh s-2s^2\cosh s},\end{aligned}$

满足关系式

$ \begin{eqnarray*} L_{1}^*f^*=-{\rm i}sf^*, \quad L_{1}^* e^*=-{\rm i}se^*+f^*, \quad (e, e^*)=(f, f^*)=1, \quad (e, f^*)=(f, e^*)=0. \end{eqnarray*}$

如果 $(\alpha, \mathcal{D})\in \mathcal{C}_{2, \lambda}$, $\nu=0$ 是 ${L}_{2}$ 的一个几何单重且代数二重的特征值, 而 $\pm{\rm i}s_0$ 是两个单特征值. 特征值 $0$ 和 ${\rm i}s_0$ 对应的广义特征空间分别由以下向量张成

$e_{1}=\left(\begin{array}{c}y+1 \\0 \\-1 \\0 \\0 \\0\end{array}\right), \quad e_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\y+1 \\0 \\-\lambda^{-1} \\0 \\0\end{array}\right), \quad e_{0}=\left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sinh s_{0}} \sinh \left(s_{0}(1+y)\right) \\\frac{\mathrm{i} s_{0}}{\sinh s_{0}} \sinh \left(s_{0}(1+y)\right) \\-1 \\-\mathrm{i} s_{0} \lambda^{-1} \\s_{0}^{2} \lambda^{-1} \\\mathrm{i} s_{0}^{3} \lambda^{-1}\end{array}\right) .$

它们满足

$ \begin{eqnarray*} L_{2}e_1=0, \quad L_{2}e_2=e_1, \quad L_2e_0={\rm i}s_0e_0, \quad L_{2}\bar e_0=-{\rm i}s_0\bar e_0, \quad Se_1=e_1, \quad Se_0=\bar e_0. \end{eqnarray*}$

此时向中心特征子空间的投影 $P_c:Z\rightarrow Z_c$ 由

$ \begin{eqnarray*} P_cU=(U, e_1^*)e_1+(U, e_2^*)e_2+(U, e_0^*)e_0+(U, \overline {e_0^*})\bar e_0, \end{eqnarray*}$

给出, 这里

$ \begin{eqnarray*} \begin{split} e_2^*=\left( \begin{array}{cc} 0\\ 3(y+1)\\ 0\\ 0\\ 0\\ -3\lambda^{-1}\mathcal{D} \end{array} \right), \quad e_1^*=\left( \begin{array}{cc} 3(y+1)\\ 0\\ 0\\ 0\\ -3\lambda^{-1}\mathcal{D}\\ 0 \end{array} \right), \quad e_0^*=\left( \begin{array}{cc} \begin{split} \hat c_2\sinh s_0(y+1)\\ \frac{{\rm i}\hat c_2}{s_0}\sinh s_0(y+1)\\ \hat c_2s_0^2\lambda^{-2}\mathcal{D}\sinh s_0\\ {\rm i}\hat c_2s_0\lambda^{-1}\mathcal{D}\sinh s_0 \\ -\hat c_2\lambda^{-1}\mathcal{D}\sinh s_0\\ -\frac{\rm i\hat c_2}{s_0\lambda}\mathcal{D}\sinh s_0 \end{split} \end{array} \right), \end{split} \end{eqnarray*}$

其中

$\hat{c}_{2}=\frac{-s_{0}^{2} \sinh s_{0}}{\left(s_{0}^{2}+3 s_{0} \sinh s_{0} \cosh s_{0}-4 \sinh ^{2} s_{0}\right)}＜0,$

满足

$ \begin{eqnarray*} L_2^*e_2^*=0, \quad L_2^*e_1^*=e_2^*, \quad L_2^*e_0^*=-{\rm i}se_0^*, \quad L_2^*\bar e_0^*={\rm i}s\bar e_0^*, \quad (e_i, e_j^*)=\delta_{ij}, \quad i, j\in\{0, 1, 2\}. \end{eqnarray*}$

4 中心流形约化

本章我们将利用中心流形约化方法, 证明对满足 $\lambda\in (-\infty, 0)\cup[1, +\infty)$, 或 $\lambda\in(1-\epsilon, 1)$ 且 $|\epsilon| \ll 1$ 的 $\lambda$ 值, 当参数 $\mathcal{D}$ 较大时, 原问题存在孤波解.令 $(\alpha_c, \mathcal{D}_c)$ 为参照参数, $ \varepsilon$ 为分岔参数, 并记 $(\alpha, \mathcal{D})=(\alpha_c, \mathcal{D}_c)+( \varepsilon, 0)$, 则系统 (2.5) 可改写为

(4.1) $ \begin{aligned} \frac{{\rm d}U}{{\rm d}x}=\mathcal{L}U+\mathcal{N}(U, \varepsilon; \lambda),\end{aligned}$

其中

$\mathcal{L}=L_{\alpha_{c}, \mathcal{D}_{c}}, \quad \mathcal{N}(U, \varepsilon ; \lambda)=\left(L_{\alpha, \mathcal{D}}-L_{\alpha_{c}, \mathcal{D}_{c}}\right) U+N(U, \lambda, \mathcal{D}) .$

4.1 曲线 $\mathcal{C}_{1, \lambda}$ 处孤波解的存在性

我们注意到当参数 $(\alpha, \mathcal{D})$ 穿过曲线 $\mathcal{C}_{1, \lambda}$ 时, Hopf 分岔会发生: 两对纯虚特征值在虚轴上的非零点 $\pm {\rm i}s$ 处碰撞, 然后变为一对复特征值, 形成两个长度为 2 的 Jordan 链. 固定参照参数 $(\alpha_c, \mathcal{D}_c)\in \mathcal{C}_{1, \lambda}$, 并写 $(\alpha,\mathcal{D})=(\alpha_c+ \varepsilon,\mathcal{D}_c)$, 其中 $0< \varepsilon\ll1$.我们拟对方程组 (4.1) 应用中心流形定理. 根据 $\mathcal{L}$ 的构造可知, 存在 $\delta>0$, 使得将 $\mathcal{L}$ 限制在子空间 $Z_h:=(I-P_c)Z$ 上时, 其特征值 $\sigma(\mathcal{L}|_{Z_h})$ 满足

$\sigma\left(\left.\mathcal{L}\right|_{Z_{h}}\right) \subset\{\nu \in \mathbb{C}:|\operatorname{Re}(\nu)| \geq \delta\} .$

仿照其他采用中心流形约化方法所研究问题中的方法 (例如参见文献 [15,引理 3.4]), 我们可以证明存在常数 $C>0$, 使得当实数 $s$ 足够大时, 有

$\left\|(\mathcal{L}-\mathrm{i} s I)^{-1}\right\|_{L\left(Z_{h} \rightarrow Z_{h}\right)} \leq \frac{C}{s}$

成立. 随后应用中心流形定理 (参见文献 [18,第 2.3 节]) 可得: 存在原点的邻域 $O_c \subset Z_c$、$O_h \subset Y_h$、$O_p \subset \mathbb{R}$, 以及一个满足

$ \begin{eqnarray*} \Psi(0, 0)=0, \quad D_u\Psi(0, 0)=0,\end{eqnarray*}$

的 $C^k$ 类映射 $\Psi \in C^k(O_c \times O_p, O_h)$ (其中 $k \geq 1$ 为任意取定的整数), 使得对任意 $ \varepsilon\in O_p$, 方程组 (4.1) 满足 $U(x)\in O_c\times O_h$, $x\in \mathbb{R}$, 的有界解, 都落在下面中心流形上

$ \begin{eqnarray*} M( \varepsilon)=\{\tilde u_c+\Psi(\tilde u_c, \varepsilon):\tilde u_c\in O_c\}.\end{eqnarray*}$

在 (4.1) 式中将 $U$ 替换为 $\tilde u_c+\Psi(\tilde u_c, \varepsilon)$ 并投影到 $Z_c$ 上, 我们得到约化方程组

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}\tilde u_c}{{\rm d}x}=\mathcal{L}\tilde u_c+{P}_c\mathcal{N}(\tilde u_c+\Psi(\tilde u_c, \varepsilon), \varepsilon; \lambda).\end{eqnarray*}$

接下来我们用正规形变换以进一步简化约化后的系统. 正规形理论(参见文献 [18,第 3.2,4.3.3 节]) 表明, 通过多项式变量代换 $\tilde u_c=u_c+\Phi(u_c, \varepsilon)$, 我们可以进一步将 $U$ 写为

(4.2) $ \begin{aligned} U=u_c+r(u_c, \varepsilon), \quad u_c=A(x)e+B(x)f+\bar A(x)\bar e+\bar B(x)\bar f,\end{aligned}$

其中 $r:Z_c\times \mathbb{R} \rightarrow Z$ 满足 $r(0, 0)={\rm d}_ur(0, 0)=0$, 并且上面约化方程组转化为系数 $A(x), B(x)$ 满足的方程组

(4.3) $\left\{\begin{aligned}A^{\prime}(x)= & \mathrm{i} s A+B+\mathrm{i} A\left(a_{1} \varepsilon+a_{2}|A|^{2}+\frac{\mathrm{i} a_{3}}{2}(A \bar{B}-\bar{A} B)\right) \\& +O\left(|(A, B)|\left(|\varepsilon|+(|A|+|B|)^{2}\right)^{2}\right) \\B^{\prime}(x)= & \mathrm{i} s B+\mathrm{i} B\left(a_{1} \varepsilon+a_{2}|A|^{2}+\frac{\mathrm{i} a_{3}}{2}(A \bar{B}-\bar{A} B)\right) \\& +A\left(b_{1} \varepsilon+b_{2}|A|^{2}+\frac{\mathrm{i} b_{3}}{2}(A \bar{B}-\bar{A} B)\right)+O\left(|(A, B)|\left(|\varepsilon|+(|A|+|B|)^{2}\right)^{2}\right) .\end{aligned}\right.$

关于上面方程组 (4.3) 同宿解的存在性理论, 已由Iooss-Pérouème^[19] 以及 Buffoni-Groves^[3] 给出. 该理论指出, $b_1$ 和 $b_2$ 的符号决定了方程组 (4.3) 孤立波解的存在性.

定理 4.1 假设 $b_1>0$ 且 $b_2<0$.

(i) 文献 [19] 对任意充分小的$ \varepsilon>0$, 方程组 (4.3) 存在两个不同的对称同宿解;

(ii) 文献 [3] 对任意充分小的$ \varepsilon>0$, 方程组 (4.3) 具有无穷多个几何结构不同的同宿解, 这些解的图像类似于多次复制第 (i) 部分中某个同宿解所得图像的组合.

上述确定的同宿解对应于振幅为 $O((b_1 \varepsilon)^{1/2})$ 的包络孤立波, 这些波在 $x\rightarrow\pm\infty$ 时指数衰减至水平流.

若 $b_1$、$b_2$ 和 $ \varepsilon$ 满足定理 4.1 的条件,则由文献 [18,第 4.3.3 节] 可知, 在极坐标系

$ \begin{eqnarray*} A(x)=r_0(x){\rm e}^{{\rm {i} }(sx+\theta_0(x))}, \quad B(x)=r_1(x){\rm e}^{{\rm {i} }(sx+\theta_1(x))}\end{eqnarray*}$

下, 方程组(4.3)的三次项截断方程组存在同宿轨道, 其显式表达式为

$\begin{array}{r}r_{0}(x)=\sqrt{\frac{-2 b_{1} \varepsilon}{b_{2}}} \operatorname{sech}\left(\sqrt{b_{1} \varepsilon} x\right), \quad r_{1}(x)=\left|r_{0}^{\prime}(x)\right|, \\\theta_{1}-\theta_{0} \in\{0, \pi\}, \quad \theta_{0}=a_{1} \varepsilon x-\frac{2 a_{2} \sqrt{b_{1} x}}{b_{2}} \tanh \left(\sqrt{b_{1} \varepsilon} x\right)+\theta_{*},\end{array}$

其中 $\theta_*$ 是任意积分常数, 从而上面表达式给出一族同宿解. 然而, 我们只知道分别对应于 $\theta_*=0$ 和 $\theta_*=\pi$ 的两个可翻转同宿解可延续为原方程组的解. 回到原始变量, 我们得到凸起型或凹陷型孤波解

$\eta(x)= \pm 2 d \lambda^{-1} \sqrt{\frac{-2 b_{1} \varepsilon}{b_{2}}} \operatorname{sech}\left(\sqrt{b_{1} \varepsilon} d x\right) \cos \left(s x+O\left(|\varepsilon|^{1 / 2}\right)\right)+O(\varepsilon)$

这里常数 $d>0$ 已在前面给出, 表示流体在静态下的深度.

下面我们确定 $b_1$ 和 $b_2$ 的符号. 为此, 将 (4.2) 式代入 (4.1) 式, 并用 (4.3) 式中的表达式替换 $A'(x)$ 和 $B'(x)$, 通过比较所得表达式两边的 $A \varepsilon$ 和 $A |A|^2$ 的系数, 我们发现

$\begin{array}{l}b_{1}=\left(\mathcal{N}_{1}^{1}[e], f^{*}\right),\\b_{2}=2\left(\mathcal{N}_{2}^{0}\left[e, r_{1010}^{0}\right], f^{*}\right)+2\left(\mathcal{N}_{2}^{0}\left[\bar{e}, r_{2000}^{0}\right], f^{*}\right)+3\left(\mathcal{N}_{3}^{0}[e, e, \bar{e}], f^{*}\right),\end{array}$

其中 $r^k_{j_1j_2j_3j_4}$ 是函数 $r$ 的泰勒展式中 $ \varepsilon^kA^{j_1}B^{j_2}\bar A^{j_3}\bar B^{j_4}$ 的系数,

$ \begin{eqnarray*} \mathcal{N}^{0}_k=\frac{1}{k!}{\rm d}^k_u \mathcal{N}(0, 0), \quad \mathcal{N}^{1}_k=\frac{1}{k!}{\rm d}^k_u{\rm d}_ \varepsilon\mathcal{N} (0, 0)\end{eqnarray*}$

为对称的 $k$-线性算子$Z_c^k \rightarrow \mathbb{R}$, 且量 $r^0_{1010}$ 和 $r^0_{2000}$ 分别是方程

(4.4) $ \begin{aligned} \mathcal{L}r^0_{1010}=-2\mathcal{N}^0_2[e, \bar e], \end{aligned}$

(4.5) $(\mathcal{L}-\mathrm{i} 2 s) r_{2000}^{0}=-\mathcal{N}_{2}^{0}[e, e]$

的唯一解. 解方程 (4.4) 和 (4.5) 得到

$ \begin{eqnarray*} r^0_{1010}=\left( \begin{array}{cc} \begin{split} -\frac{2\lambda^{-1}s}{\sinh s}(y+1)\cosh s(y+1)+\lambda^{-2}(y^2-1)-c_1(y+1)\\ 0\\ 2\lambda^{-1}s\coth s+\lambda^{-2}+c_1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{split} \end{array} \right),\end{eqnarray*}$

其中

$\begin{array}{l}c_{1}=\frac{1}{\lambda-1-\alpha_{c} \lambda^{-1}}\left(\frac{s^{2}}{\sinh ^{2} s}+2 \lambda^{-2}-2 \lambda^{-1}+2 \alpha_{c} \lambda^{-2} s \operatorname{coth} s+\alpha_{c} \lambda^{-3}\right), \\r_{2000}^{0}=\left(\begin{array}{r}c_{2} \sinh 2 s(y+1)-\frac{s}{\lambda \sinh s}(y+1) \cosh s(y+1)+\frac{1}{2 \lambda^{2}}(y+1)^{2} \\\mathrm{i} 2 c_{2} s \sinh 2 s(y+1)-\frac{\mathrm{i} s_{2}^{2}}{\lambda \sinh s}(y+1) \cosh s(y+1)-\frac{\mathrm{i} s}{\lambda \sinh s} \sinh s(y+1) \\-c_{2} \sinh 2 s+\lambda^{-1} s \operatorname{coth} s-\frac{1}{2} \lambda^{-2} \\\mathrm{i} 2 \lambda^{-1} s\left(-c_{2} \sinh 2 s+\lambda^{-1} s \operatorname{coth} s-\frac{1}{2} \lambda^{-2}\right) \\-4 \lambda^{-1} s^{2}\left(-c_{2} \sinh 2 s+\lambda^{-1} s \operatorname{coth} s-\frac{1}{2} \lambda^{-2}\right) \\-\mathrm{i} 8 \lambda^{-1} s_{2}^{3}\left(-c_{2} \sinh 2 s+\lambda^{-1} s \operatorname{coth} s-\frac{1}{2} \lambda^{-2}\right)\end{array}\right)\end{array}$

其中

$ \begin{eqnarray*}\begin{split} c_2=&\frac{16\mathcal{D}_c\lambda^{-2}s^5\coth s-8\mathcal{D}_c\lambda^{-3}s^4+\alpha_c\lambda^{-2}s\coth s-\frac{1}{2}\alpha_c\lambda^{-3}-\frac{3}{2}s^2+\frac{1}{2}s^2\coth^2 s}{-2\lambda s\cosh 2s+(1+\alpha_c\lambda^{-1})\sinh 2s+16\mathcal{D}_c\lambda^{-1}s^4\sinh 2s}\\ =&\frac{\frac{15}{4}s^2\coth^2 s-\frac{15}{4}s^3\coth s\frac{1}{\sinh^2 s}-\frac{27}{8}\lambda^{-1}s\coth s+\frac{15}{8}\lambda^{-1}s^2\frac{1}{\sinh^2 s}+\frac{1}{2}\lambda^{-2}+\frac{3}{2}\frac{s^2}{\sinh^2 s}}{-2\lambda s\cosh 2s+(1+\alpha_c\lambda^{-1})\sinh 2s+16\mathcal{D}_c\lambda^{-1}s^4\sinh 2s}, \end{split}\end{eqnarray*}$

这里的第二行中, 我们将分子中的 $\alpha_c$ 和 $\mathcal{D}_c$ 替换为了引理 3.1 中 $\mathcal{C}_{1, \lambda}$ 给出的相应表达式.

经过一系列冗长但直接的计算, 我们最终得到

$b_{1}=\frac{2 s \sinh ^{3} s}{\lambda^{2}\left(3 \sinh ^{2} s \cosh s-s \sinh s-2 s^{2} \cosh s\right)}>0$

及

$b_{2}=\frac{\mathrm{i} \overline{\tilde{c}}_{2} \hat{b}_{2}}{32 \sinh ^{5} s\left(\lambda-1-\alpha_{c} \lambda^{-1}\right)\left(-2 \lambda s \cosh 2 s+\left(1+\alpha_{c} \lambda^{-1}\right) \sinh 2 s+16 \mathcal{D}_{c} \lambda^{-1} s^{4} \sinh 2 s\right)},$

其中 $\tilde c_2$ 在 (3.3) 式中给出, $\hat b_2$ 在附录中给出.注意到

$ \begin{eqnarray*} {\rm i}\overline{\tilde c_2}=\frac{2s^2\sinh^2 s}{3\sinh^2s \cosh s-s\sinh s-2s^2\cosh s}>0,\end{eqnarray*}$

且因为 $\alpha_c=g_{max}=g(s; \lambda, \mathcal{D}_c)$ 给出 $\left(g\left(0 ; \lambda, \mathcal{D}_{c}\right)-\alpha_{c}\right)\left(g\left(2 s ; \lambda, \mathcal{D}_{c}\right)-\alpha_{c}\right)>0$, 从而

$\begin{aligned}& \frac{1}{32 \sinh ^{5} s\left(\lambda-1-\alpha_{c} \lambda^{-1}\right)\left(-2 \lambda s \cosh 2 s+\left(1+\alpha_{c} \lambda^{-1}\right) \sinh 2 s+16 \mathcal{D}_{c} \lambda^{-1} s^{4} \sinh 2 s\right)} \\= & -\frac{\lambda^{2}}{32 \sinh ^{5} s \sinh 2 s\left(g\left(0 ; \lambda, \mathcal{D}_{c}\right)-\alpha_{c}\right)\left(g\left(2 s ; \lambda, \mathcal{D}_{c}\right)-\alpha_{c}\right)}＜0,\end{aligned}$

因此, 若 $s$ 的取值使得 $\hat b_2>0$, 则我们得到 $b_2<0$, 此时定理 4.1 就会确保孤波的存在性.

我们断言当 $\mathcal{D}_c$ 较大时, 有 $\hat b_2>0$. 事实上 $\hat b_2$ 关于 $s$ 在 0 附近的展开式为

$\hat{b}_{2}=\left(912-\frac{1824}{\lambda}+\frac{1520}{\lambda^{2}}-\frac{608}{\lambda^{3}}+\frac{304}{3 \lambda^{4}}\right) s^{8}+O\left(s^{10}\right),$

并且当 $\lambda\neq 0$ 时, 系数 $912-\frac{1824}{\lambda}+\frac{1520}{\lambda^2}-\frac{608}{\lambda^3}+\frac{304}{3\lambda^4}>0$. 因此当 $s$ 足够小时 $\hat b_2>0$. 这等价于要求 $\mathcal{D}_c$ 足够大, 因为 $\lim_{s\rightarrow 0+}\mathcal{D}(s; \lambda)=+\infty$. 同时我们需要选取 $\lambda$ 的值以使 $\alpha_c=\alpha(s; \lambda)>0$. 对 $\lambda\in(-\infty, 0)\cup[1, +\infty)$, 上面不等式是成立的, 因为利用性质 (3.2) 可得 $\alpha_c=\alpha(s; \lambda)>\lim_{s\rightarrow 0}\alpha(s; \lambda)\geq 0$. 综上, 我们根据定理 4.1 可得: 当参数 $\mathcal{D}$ 足够大时, 对 $\lambda\in(-\infty, 0)\cup[1, +\infty)$ 的情形, 孤波解是存在的.

4.2 曲线 $\mathcal{C}_{2, \lambda}$ 处广义孤波解的存在性

对于 $(\alpha_c, \mathcal{D}_c) \in \mathcal{C}_{2,\lambda} = \{ (\alpha, \mathcal{D}) : \alpha = \lambda^2 - \lambda, \mathcal{D} > 0 \}$, $\mathcal{L}$ 落在虚轴上的特征值为 0 和 $\pm{\rm i}s_0$, 其中 0 是几何单重且代数二重的. 这种共振隐含着广义孤立波是存在的. 令$(\alpha, \mathcal{D})=(\alpha_c+ \varepsilon, \mathcal{D}_c)$ 且 $(\alpha_c, \mathcal{D}_c) \in \mathcal{C}_{2,\lambda}$. 中心流形与正规形理论 (参见文献 [18,第 4.3.1 节]) 表明, 我们可将 $U$ 写为

$ \begin{eqnarray*}\label{decom2} U=u_c+r(u_c, \varepsilon), \quad u_c=A(x)e_1+B(x)e_2+C(x)e_0+{\overline{ C(x)}\bar e_0},\end{eqnarray*}$

其中映射 $r:Y_c\times \mathbb{R} \rightarrow Y$ 满足 $r(0, 0)={\rm d}_ur(0, 0)=0$, 并且系数 $A(x), B(x), C(x)$ 满足方程组

(4.6) $\left\{\begin{array}{l}A^{\prime}(x)=B \\B^{\prime}(x)=a \varepsilon A+b A^{2}+c|C|^{2}+R_{1}(\varepsilon, A, B, C, \bar{C}) \\C^{\prime}(x)=\mathrm{i} C\left(s_{0}+c_{1} \varepsilon+c_{2} A\right)+R_{2}(\varepsilon, A, B, C, \bar{C}) \\\bar{C}^{\prime}(x)=-\mathrm{i} \bar{C}\left(s_{0}+c_{1} \varepsilon+c_{2} A\right)+\overline{R_{2}(\varepsilon, A, B, C, \bar{C})},\end{array}\right.$

这里余项 $R_1$ 和 $R_2$ 的阶数为 $O\left(|(A, B, C)|^{3}+|\varepsilon||(A, B, C)|^{2}+|\varepsilon|^{2}|(\varepsilon, A, B, C)|\right)$. 采用与上一节类似的论证方法, 常数 $a$ 和 $b$ 由下式给出

$a=\left(\mathcal{N}_{1}^{1}\left[e_{1}\right], e_{2}^{*}\right), \quad b=\left(\mathcal{N}_{2}^{0}\left[e_{1} \cdot e_{1}\right], e_{2}^{*}\right)$

通过直接计算, 我们发现当 $\lambda$ 远离 0 时有

$ a=-\frac{3}{\lambda^{2}}＜0, \quad b=\frac{3}{2 \lambda^{3}}\left(3 \lambda^{2}+1-3 \lambda\right) .$

对 $ \varepsilon<0$, 令 $\nu^2=a \varepsilon$. 则通过变量代换

$ \begin{eqnarray*} A=-\frac{3\nu^2}{2b}\widetilde A, \quad B=-\frac{3\nu^3}{2b}\widetilde B, \quad C=\nu^2\widetilde C, \quad x=\frac{t}{\nu},\end{eqnarray*}$

我们得到 (4.6) 式的一个重尺度化方程组, 其表达式为

(4.7) $\left\{\begin{array}{l}\widetilde{A}^{\prime}(t)=\widetilde{B} \\\widetilde{B}^{\prime}(t)=\widetilde{A}-\frac{3}{2} \widetilde{A}^{2}-\frac{2 b c}{3}|\widetilde{C}|^{2}+O\left(|\nu|^{2}(|\widetilde{A}|+|\widetilde{B}|+|\widetilde{C}|)\right), \\\widetilde{C}^{\prime}(t)=\mathrm{i} \widetilde{C}\left(s_{0}+\frac{c_{1}}{a} \nu-\frac{3 c_{2}}{2 b} \nu \widetilde{A}\right)+O\left(|\nu|^{3}(|\widetilde{A}|+|\widetilde{B}|+|\widetilde{C}|)\right), \\\overline{\widetilde{C}^{\prime}(t)}=-\overline{\mathrm{i}} \overline{\widetilde{C}}\left(s_{0}+\frac{c_{1}}{a} \nu-\frac{3 c_{2}}{2 b} \nu \widetilde{A}\right)+O\left(|\nu|^{3}(|\widetilde{A}|+|\widetilde{B}|+|\widetilde{C}|)\right) .\end{array}\right.$

定理 4.2 [24,定理 7.1.4,7.1.7,7.1.18] 存在 $k_*$ 和 $M_*$ 使得对任意的 $l$, $0<l<\pi$ 及任意 $\delta$, $0<\delta<1$, 存在 $k(l)>0$ 和 $\nu(l)>0$, 使得对于所有 $\nu\in(0, \nu(l)]$ 和 $k\in[k(l)\nu^2 e^{-ls_0/\nu}, k_*)$, 方程组 (4.7) 有 (由 $\vartheta$ 确定的) 两种形式的可翻转解

$(\widetilde{A}(t), \widetilde{B}(t), \widetilde{C}(t), \overline{\widetilde{C}}(t))=U_{0}(t)+U_{1}(t)+U_{k, \nu}\left(\omega_{k, \nu}\left(t+\vartheta \tanh \left(\frac{t}{2}\right)\right)\right),$

其中

$\begin{array}{c}U_{0}(t)=\left(\operatorname{sech}^{2}\left(\frac{t}{2}\right),-\tanh \left(\frac{t}{2}\right) \operatorname{sech}^{2}\left(\frac{t}{2}\right), 0,0\right) \\\left|U_{1}(t)\right| \leq M_{*} \nu^{2} e^{-\delta|t|} \quad t \in \mathbb{R} \\\omega_{k, \nu}=\frac{s_{0}}{\nu}+a \nu+O\left(|\nu|^{3}\right)+O(|k||\nu|)\end{array}$

且 $U_{k, \nu}$ 是方程组 (4.7) 的一个满足如下条件的周期解

$ U_{k, \nu}(t)=k\left(0,0, e^{\mathrm{i} t}, e^{-\mathrm{i} t}\right)+O\left(|k|^{2}\right), \quad\left|U_{k, \nu}(t)\right| \leq M_{*} k \quad t \in \mathbb{R} .$

应用上述定理 (取 $\vartheta=0$) 并还原到最初变量, 我们得到方程组 (4.6) 有如下形式的可翻转解 $(A(x), B(x), C(x), \overline C(x))$:

$\left(\begin{array}{l}A(x) \\B(x) \\C(x) \\\bar{C}(x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-\frac{3 a \varepsilon}{2 b} \operatorname{sech}^{2}\left(\frac{\sqrt{a \varepsilon} x}{2}\right) \\-\frac{3(a \varepsilon)^{3 / 2}}{2 b} \tanh \left(\frac{\sqrt{a \varepsilon} x}{2}\right) \operatorname{sech}^{2}\left(\frac{\sqrt{a \varepsilon} x}{2}\right) \\k a \varepsilon \exp \left(\mathrm{i}\left(s_{0} x+O(\varepsilon)\right)\right) \\k a \varepsilon \exp \left(-\mathrm{i}\left(s_{0} x+O(\varepsilon)\right)\right)\end{array}\right)+U_{1}(x)+O\left(k^{2}|\varepsilon|\right)$

其中 $\left|U_{1}(x)\right| \leq M_{*} a \varepsilon e^{-\delta \sqrt{a \varepsilon}|x|} $. 最终可得波面 $\eta(x)$ 由

$\eta(x)=\frac{1}{\lambda}\left(\frac{3 a \varepsilon}{2 b} \operatorname{sech}^{2}\left(\frac{\sqrt{a \varepsilon} x}{2}\right)-2 k a \varepsilon \cos \left(s_{0} x+O(\varepsilon)\right)\right)+O\left(k^{2}|\varepsilon|\right)$

给出.

综上对于远离 0 的 $\lambda$ 及 $-1\ll \varepsilon<0$, 方程组 (4.6) 存在一个广义同宿解, 其脉冲状轮廓在无穷远处衰减为一个周期波纹, 该波纹的振幅与脉冲轮廓的振幅相比呈指数级小.

附录

本附录给出 4.1 节中 $\hat b_2$ 的具体表达式. 经计算得

$ \begin{eqnarray*}\hat b_2=\sum_{i=0}^4\hat b_{2, i},\end{eqnarray*}$

其中

$ \begin{eqnarray*}\begin{split}\hat b_{2, 0}=& \frac{1}{s}\Big[-3 \left(s^{4}-22 s^{2}\right) s \cosh^{8}s+\left(532 s^{4}-88 s^{2}\right) \sinh s \cosh^7s+\left(-78 s^{5}+100 s^{3}\right) \cosh^6s\\ &+\left(-31 s^{6}-334 s^{4}+144 s^{2}\right) \sinh s \cosh^5s+\left(215 s^{7}+75 s^{5}-366 s^{3}\right) \cosh^4s\\ &+\left(-789 s^{6}-286 s^{4}-24 s^{2}\right) \sinh s \cosh^3s+\left(-355 s^{7}-18 s^{5}+168 s^{3}\right) \cosh^2s\\ &+\left(75 s^{8}+202 s^{6}+88 s^{4}-32 s^{2}\right) \sinh s \cosh s+20 s^{7}+24 s^{5}+32 s^{3}\Big], \\ \end{split}\end{eqnarray*}$

$\begin{split}\hat b_{2, 1}=&\frac{1}{\lambda s }\Big[-3 \left(\frac{1424 s^{2}}{3}+44\right) s \cosh^8s+\left(\left(-384 s^{4}+176\right) \sinh s+132 s \right) \cosh^7s\\ &+\left(-128 s^{5}+2272 s^{3}-176 \sinh s-24 s \right) \cosh^6s\\ &+\left(\left(1784 s^{4}+136 s^{2}-288\right) \sinh s+24 s \right) \cosh^5s\\ &+\left(\left(-136 s^{2}+288\right) \sinh s+1568 s^{5}-276 s^{3}+444 s \right) \cosh^4s\\ &+\left(\left(-1768 s^{4}-152 s^{2}+48\right) \sinh s-60 s^{3}-444 s \right) \cosh^3s\\ &+\left(\left(152 s^{2}-48\right) \sinh s-1456 s^{5}-508 s^{3}-288 s \right) \cosh^2s\\ &+\left(\left(120 s^{6}+368 s^{4}+16 s^{2}+64\right) \sinh s+60 s^{3}+288 s \right) \cosh s\\ &-16 \left(s^{2}+4\right) \sinh s+16 s^{5}-64 s^{3}\Big], \\\end{split}$

$ \begin{eqnarray*}\begin{split}\hat b_{2, 2}=&\frac{1}{\lambda^{2}s}\Big[1316 s^{3} \cosh^8s+724 s^{2} \sinh s \cosh^7s-4002s^{3} \cosh^6s \\ &+\left(-936 s^{4}-672 s^{2}\right) \sinh s \cosh^5s+\left(-60 s^{5}+4080 s^{3}\right) \cosh^4s\\ &+\left(432 s^{4}-828 s^{2}\right) \sinh s \cosh^3s+\left(90 s^{5}-1418 s^{3}\right) \cosh^2s\\ &+\left(504 s^{4}+776 s^{2}\right) \sinh s \cosh s-30 s^{5}+24 s^{3}\Big], \\\end{split}\end{eqnarray*}$

$\begin{split}\hat b_{2, 3}=&\frac{1}{\lambda^{3} s}\Big[-96 s\cosh^8s -896s^{2} \sinh s \cosh^7s +\left(896 s^{3}+96 s \right) \cosh^6s\\ &+2064 s^{2}\sinh s \cosh^5s +\left(-1776 s^{3}+288 s \right) \cosh^4s-1440 s^{2}\sinh s \cosh^3s \\ &+\left(864 s^{3}-480 s \right) \cosh^2s+272s^{2} \sinh s \cosh s +16 s^{3}+192 s\Big],\end{split}$

$ \begin{eqnarray*}\begin{split}\hat b_{2, 4}=&\frac{1}{\lambda^{4}s}\Big[200 s\cosh^8s -32 \sinh s \cosh^7s-536 s \cosh^6s \\&+\left(-232 s^{2}+96\right) \sinh s \cosh^5s+408 s \cosh^4s+\left(464 s^{2}-96\right) \sinh s \cosh^3s\\&-8 s \cosh^2s+\left(-232 s^{2}+32\right) \sinh s\cosh s-64 s\Big].\end{split}\end{eqnarray*}$

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

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Spatial dynamics and solitary hydroelastic surface waves

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A resonant lyapunov centre theorem with an application to doubly periodic travelling hydroelastic waves

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