我们知道非线性薛定谔方程

可以描述高功率超短激光脉冲在介质中的传播^[1], 其中 $\psi(x,t):\mathbb{R}^{N}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$ 是激光脉冲电磁场矢势的复振幅. 令 $l(s)=\sqrt{1+s}-1,\ \rho(s)=1-\frac{1}{\sqrt{1+s}}$, 于是方程 (1.1) 可以看作是以下拟线性薛定谔方程

的特例, 这里 $W:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$ 是一个给定的势, $\kappa$ 是一个参数, $l, \rho$ 是实函数.

在文献 [2] 中, de Bouard 等研究了方程 (1.1) 的柯西问题, 证明了以下结论: 当横截空间维数为 2 或 3 时, 小解具有全局存在性与唯一性; 而在横截空间维数为 1 时, 无需小性条件即可获得解的局部存在性.

本文重点研究驻波解的存在性, 也就是形如 $\varphi(x,t)=\exp (-{\rm i}\lambda t)u(x)$ 的解, 其中 $\lambda\in\mathbb{R}$, $u>0$ 是一个实值函数. 众所周知, $\varphi$ 满足方程 (2.1) 当且仅当函数 $u$ 满足如下椭圆型方程

这里 $V(x)=W(x)-\lambda$ 是新的势函数. 若令 $l(s)=\sqrt{1+s},$ 则可以导出如下方程

据我们所知, 目前关于方程 (1.4) 的研究成果较少. 在文献 [3] 中, Colin 首次研究了当 $N=2$,$\ V(x)=2\omega,\ \kappa=-2,\ \rho(u)=u-\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}u$ 时方程 (1.4) 的基态解的存在性, 其中 $\omega$ 为固定正参数. 此外, Colin 在文献 [3] 中指出, 此类方程在空间维数 $N\geq 3$ 时应该不存在非奇异解. 最近, 在文献 [4] 中, 沈尧天和王友军在 $\kappa=1,\ N\geq 3$ 的条件下, 证明了方程 (1.4) 在次临界增长情形下非平凡解的存在性. 关于方程 (1.4) 的更多结果, 可参阅文献 [5-7] 及其参考文献.

最近, 针对如下拟线性薛定谔方程

其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的一个有界区域. 通过引用文献[4,8] 中提出的变量替换

Miyagaki 等在文献 [9] 中研究了非齐次算子 $Lu=-\Delta u-\frac{\kappa u}{2}(1+u^2)^{-\frac{1}{2}}\Delta(1+u^2)^{\frac{1}{2}}$ 的主特征值估计问题并得到如下结果

其中 $\lambda_{1}$ 是拉普拉斯算子的主特征值. 作为应用, 他们进一步研究了含次临界扰动的拟线性共振问题, 但未明确给出常数 $\Lambda$ 的具体取值. 需要指出的是, 据我们所知, 在文献 [9] 的成果以前, 关于算子 $L$ 的谱分析的研究几乎空白.

本文的第一个目标是研究如下广义拟线性薛定谔方程的特征值问题

根据弱解的定义, 如果 $u$ 是方程 (1.8) 的一个弱解, 那么对于 $\psi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 就有

本文沿用文献 [4,8] 中的方法, 引入变量替换

通过这一特殊技巧, 拟线性问题 (1.8) 可转化为如下形式的半线性方程

方程 (1.11) 的弱解 $v$ 将满足

我们说方程 (1.9) 等价于方程 (1.2). 事实上, 如果 $g \in C^{1}[0,+\infty)$, 在 (1.9}) 式中选择 $\psi=\frac{\varphi}{g(u)}$ 即可得到 (1.12) 式. 另一方面, 如果 $g\in C^{1}[0,+\infty)$, 在 (1.12) 式中选择 $\varphi=g(u)\psi$ 即可得到 (1.9) 式. 因此, 为了讨论方程 (1.8) 的非平凡解, 只需研究方程 (1.11) 的非平凡解即可.

本文采用如下符号约定:

符号 $|u|_p$ 表示空间 $L^p(\Omega),\ 1 \leq p < +\infty$ 的标准范数; 当 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ 时, $|\Omega|$ 表示其 Lebesgue 测度; $C$ 是 (可以是不同的) 正常数.

相应结果如下

定理 1.1 假设 $g\in C^{1}[0,+\infty),C_{1}s\leq G(s)\leq C_{2}s$ 且满足 $g(s) \geq b>0$ (不失一般性, 设 $b=1$). 则特征值问题 (1.8) 存在解 $(\lambda,u)$, 并具有如下 $L^{\infty}$ 估计

其中 $a=\frac{1}{p}-\frac{1}{2^*},\ 2\leq p<2^*,\ \alpha=|u|_{p}^{p}, \ p'=\frac{p}{p-1}$ 而 $C_{N}$ 表示最佳 Sobolev 嵌入常数. 特别地, 当 $\alpha=1$ 时, 有

在定理 1.1 的证明中, 我们通过变量替换 (1.10) 式, 首先将拟线性问题转化为半线性问题, 并得到了方程 (1.11) 的解 $v$. 随后, 运用文献 [第 2 章,引理 5.1] 的方法, 构造解 $v$ 的 $L^{\infty}$ 估计. 最终, 关于解 $u$ 的估计基于以下事实: 函数 $u=G^{-1}(v)$ 是拟线性方程 (1.8) 的解, 且满足不等式 $u=G^{-1}(v)\leq C^{-1}_{1}v$.

定理 1.2 问题 (1.8) 的拉格朗日乘数 $\lambda$ 有如下估计

其中 $2\leq p<2^*,\ \alpha =\|u\|_{p}^{p},\ C_3=\frac{C_1}{M}$,

是函数 $g(s)$ 的上确界, 而 $\lambda_{1}$ 和 $\phi_{1}$ 分别是算子 $-\Delta$ 的主特征值和对应的主特征函数.

注 1.1 在 (1.4) 式中令 $p=2$ 和 $\alpha=1$, 就可得到

此外, 若 $g^2(s)=1+\frac{\kappa s^2}{2(1+s^2)},$ 则由文献 [7, 引理 2.1 可知

将此上界带入 (1.15) 式, 就可得到

由此可见, 当 $\kappa>0$ 时, (1.7) 式中 $\Lambda$ 应取值为 $({\frac{2+\kappa}{2}})^{\frac{3}{2}} \lambda_{1}$. 而当$-2<\kappa<0$ 时, 我们也给出了 $\lambda$ 的上界. 也就是说, 本文结果不仅对 $\kappa>0$ 情形, 同时对 $-2<\kappa<0$ 的情形, 均给出了特征值 $\lambda$ 的精确上界.

本文的第二个目标是研究如下特定拟线性薛定谔方程的特征值问题

其相应结论如下

定理 1.3 假设 $\kappa\in (-2,0)\cup (0,+\infty)$ 成立. 则特征值问题 (1.16) 存在解对 $(\lambda,u)$, 并且有如下 $L^{\infty}$ 估计

注 1.2 (1) 此处 $a=\frac{1}{p}-\frac{1}{2^*}$, 故当 $p\rightarrow 2^* $ 时 $a\rightarrow 0$. 由此可见, 表达式 (1.17) 明确表明: 无论 $\kappa$ 取正值或负值, $|u|_{\infty}$ 的上界都可能随 $p\rightarrow 2^*$ 而趋于无穷;

(2) (1.17) 式还表明, 当 $-2<\kappa<0$ 时, $|u|_{\infty}$ 的上界可能随 $\kappa\rightarrow -2$ 而趋于无穷. 这个事实反映了在 $\kappa=-2$ 条件下解的奇异性, 与文献 [3] 中所述观点完全吻合.

若定义 $ \Sigma_{\alpha}=\left\{u\in H_{0}^{1}(\Omega)\Big | \int_{\Omega}|u|^{p}\mbox{d}x=\alpha\right\}, $ 则特征值问题 (1.8) 的解是泛函$ I(u)=\int_{\Omega}g^2(u)|\nabla u|^2\mbox{d}x $ 限制在 $\Sigma_{\alpha}$ 上的最小值点.经过变量替换 (1.10) 式后, 泛函 $I(u)$ 就可以转化成 $ J(v)=\int_{\Omega}|\nabla v|^2\mbox{d}x. $

进一步地, 泛函 $J(v)$ 限制在

上的最小值点是半线性方程 (1.11) 特征值问题的一个解.

根据文献 [11] 中给出的判断泛函在有界区域极小化子的存在性的标准方法, 泛函 $J(v)$ 限制在 $\Sigma_{\alpha, g}$ 上的最小值在某个非负函数上达到, 即存在 $v\in \Sigma_{\alpha, g}, v(x)\geq 0$ 在 $\Omega$ 中几乎处处成立, 且满足

此外, 函数 $v$ 满足

取测试函数 $\psi=(v-l)^{+}$ (其中 $l>0$) 代入方程 (2.1), 可得

其中 $A_{l}=\left\{x\in \Omega | v(x)>l\right\}.$ 若以 $|A_{l}|$ 表示集合 $A_{l}$ 的 Lebesgue 测度, 则成立

结合不等式 $C_{2}^{-1}v\leq G^{-1}(v)\leq C_{1}^{-1}v$, 进一步可得

此外, 根据 Hölder 不等式, (2.2) 式蕴含

进而运用 Minkowski 不等式可得

再次使用 Hölder 不等式和 Sobolev 嵌入不等式 $|v|_{2^*}^{2}\leq C_{N}|\nabla v|_{2}^{2},$ 我们最终得到如下估计

即

其中 $a:=\frac{1}{p}-\frac{1}{2^*}.$因此, 结合 (2.5) 和 (2.7) 式, 我们得到

另一方面, (2.3) 式表明

此外, 存在充分大的 $l_{0}$ 满足

具体地说, 我们可以选择

满足 (2.9) 式. 因此, 通过 (2.8) 式, 我们得到, 当 $l>l_{0}$ 时成立时,

整理得

所以

受文献 [10,第 2 章, 引理 5.1] 启发, 我们提出如下引理以完成 $|v|_{\infty}$ 估计的证明.

引理 2.1 假设 (2.10) 式在 $l\geq l_{0}>0$ 时成立, 那么

证 考虑函数

对这个函数求导得到 $-f'(l)=|A_{l}|$. 因此, (2.10) 式可重写为

即

利用这个不等式对变量 $l$ 从 $l_{0}$ 到 $l_{\max}:=|v|_{\infty}$ 积分, 就可得到不等式

此外, 注意到

因此, 结合 (2.11) 和 (2.12}) 式, 我们有

由此得到我们期望的不等式

最后, 根据引理 2.1 的结论和前面提到的不等式 $|u|_{\infty}\leq C_{1}^{-1}|v|_{\infty}$, 就得到了 (1.13) 式的估计. 因此, 我们完成了定理 1.1 的证明.

假设 $\lambda_{1}$ 和 $\phi_{1}$ 分别是算子 $-\Delta$ 的主特征值和对应的主特征函数. 即 $\lambda_{1}$ 和 $\phi_{1}$ 满足下面的方程

此外, $\int_{\Omega}|G^{-1}(\eta \phi_{1})|^p\mbox{d}x$ 作为 $\eta$ 的函数在 $[0,+\infty)$ 上是连续的, 这表明对于给定的 $ \alpha\in \mathbb{R}^{+}$, 存在 $\eta_1\in (0,+\infty)$ 满足

而且, $\forall u\in \Sigma_{\alpha g}$, 成立下面的不等式

事实上, 我们已知 $\lambda$ 满足

然后注意到 $C^{-1}_2 v \leq G^{-1}(v) \leq C^{-1}_1 v$ 和 $g(v)\leq M (M$ 是 $g(v)$ 的上确界), 其中

由此得到

记 $\frac{C_1}{M}=C_3$, 结合 (2.13) 式, 得到

即$ \lambda\leq \frac{1}{C_3 \alpha} \int_{\Omega} | \nabla v|^2 {\rm d} x. $ 所以, 对于 $\eta_1\phi_1\in \Sigma_{\alpha,g},$ 有

因此, 需要做的就是对 $\eta_{1}^{2}$ 进行估计, 注意到

有

更进一步, 有

因此, 结合 (2.14) 和 (2.15) 式, 我们得到了期望的不等式

并完成了定理 1.2 的证明.

定理 1.2 的一个直接结论就是下面的推论 2.1, 它给出了特定特征值问题 (1.16) 的特征值的上界.

推论 2.1 特征值问题 (1.16) 的特征值 $\lambda$ 有如下估计

我们知道, 特征值问题 (1.16) 是特征值问题 (1.8) 的特例. 也就是说, 在方程 (1.8) 中取 $g(s)=\sqrt{1+\frac{\kappa s^2}{2(1+s^2)}}$, 方程 (1.8) 就可转化成方程 (1.16). 因此, 定理 1.1 的结论表明特征值问题 (1.16) 存在解对 $(\lambda, u).$

此外, 若 $-2<\kappa<0$, 即 $b=\sqrt{\frac{2+\kappa}{2}},\ C_{1}=\sqrt{\frac{2+\kappa}{2}}$ 和 $C_{2}=1$, 结合推论 2.1, 就可得到

另一方面, 若 $\kappa>0$, 即 $C_{1}=1$ 和 $C_{2}=\sqrt{\frac{2+\kappa}{2}}$, 类似地, 有

因此, 得到了相应的结论并完成了定理 1.3 的证明.