数学物理学报, 2026, 46(3): 1114-1131

自相似欧拉流中径向对称跨音速激波的稳定性

王子昂,1, 高玲,2,*, 邓雪梅,2

1 三峡大学数理学院 湖北宜昌 443002

2 三峡数学研究中心 湖北宜昌 443002

Stability of Radially Symmetric Transonic Shocks in Self-Similar Euler Flows

Wang Ziang,1, Gao Ling,2,*, Deng Xuemei,2

1 College of Mathematics and Physics, China Three Gorges University, Hubei Yichang 443002

2 Mathematics Research Center of China Three Gorges University, Hubei Yichang 443002

通讯作者: 高玲, E-mail:ring024@126.com

收稿日期: 2025-12-10   修回日期: 2026-03-24  

基金资助: 湖北省自然科学基金面上项目(2025AFB530)
非线性分析及应用教育部重点实验室(华中师范大学)(Central China Normal University)

Received: 2025-12-10   Revised: 2026-03-24  

Fund supported: HuBei Provincial Natural Science Foundation of China(2025AFB530)(华中师范大学)
Key Laboratory of Nonlinear Analysis and Applications, Ministry of Education(Central China Normal University)

作者简介 About authors

王子昂,E-mail:ziang.wang@ctgu.edu.cn;

邓雪梅,E-mail:dxuemei@ctgu.edu.cn

摘要

该文以可压缩等熵的 Euler 方程组为模型, 研究有限扩张管道或环形区域内具有自相似结构的跨音速激波现象的稳定性问题. 如果扩张管道或环形区域内的解具有径向对称性, 在入口处给定背景解的小扰动作为超音速初值条件, 当出口处的伪速度在某范围内变化时, 存在唯一的跨音速激波解, 并且激波位置是关于出口处伪速度的单调递增函数.

关键词： Euler方程组; 自相似解; 跨音速激波; 稳定性.

Abstract

In this work, we investigate the stability of transonic shock phenomena with self-similar structure for the compressible, isentropic Euler system in a finite expanding nozzle or an annular domain. Assuming radial symmetry and prescribing small perturbations of the background solution at the inlet as the supersonic initial condition, we prove that a unique transonic shock solution exists for exit pseudo-velocities within a suitable range. Moreover, the shock location is a monotonically increasing function of the pseudo-velocity at the exit.

Keywords： Euler equations; self-similar solutions; transonic shocks; stability.

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本文引用格式

王子昂, 高玲, 邓雪梅. 自相似欧拉流中径向对称跨音速激波的稳定性[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1114-1131

Wang Ziang, Gao Ling, Deng Xuemei. Stability of Radially Symmetric Transonic Shocks in Self-Similar Euler Flows[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 1114-1131

1 引言

$n$ 维可压缩等熵 Euler 方程组为

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \mathbf{u})=0, \\\frac{\partial(\rho \mathbf{u})}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}+p \mathbf{I})=0.\end{array}\right.$

其中 $\rho$ 表示理想流体的密度, $\textit{p}$ 表示压力, $\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n(n=2\ \text{或}\ 3)$ 为流体的速度, $\mathbf{I}$ 为单位张量. 此处 "div" 是笛卡尔坐标系下的散度算子. 对于多方理想等熵气体 $p=\rho^\gamma$, $\gamma>1$ 为绝热指数. 引入马赫数 $M=\frac{\|\mathbf{u}\|}{c}$ ($ \textit{c}=\sqrt{\frac{\gamma\textit{p}}{\rho}}$ 是音速) 来区分流体, 当 $M>1$ 时, 称流体为超音速流; 当 $M<1$ 时, 称流体为亚音速流.

本文研究具有自相似结构的跨音速流体流动. 流体流动的局部结构和整体结构在尺度变换 $\xi=\frac{\mathrm{x}}{t}$ 下具有相似性, 其中 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ 表示位置向量, $t>0$ 表示时间. 由于对二维与三维具有径向对称的自相似跨音速激波问题的研究并无本质区别, 本文仅讨论二维情形的跨音速激波稳定性.

跨音速激波问题是流体力学中重要的研究对象, 对其研究已取得重要的进展, 我们仅介绍部分与本文有关的研究成果. Chen 和 Feldman[3] 最早在有限管道中研究位势流方程, 将激波面转化为自由边界问题, 证明了解的存在性、唯一性与稳定性. 随后, 他们在文献 [4] 进一步考虑半无限长管道内的跨音速激波, 得到了跨音速激波的光滑性与稳定性. Chen[5] 首次在二维有限管道内基于完整的 Euler 方程研究了跨音速激波的稳定性, 证明了定常跨音速激波在小扰动下是稳定的. Chen 和 Chen 等[2]在半无限长二维管道中研究了完全 Euler 流的跨音速激波, 证明了其存在性与稳定性. Chen 和 Yuan[6] 则是在三维方形截面的平直管道中证明了跨音速激波的存在性与稳定性. Yuan[8] 在二维角扇区域和三维圆锥喷管中证明了给定出口压力可以唯一确定激波位置. Li 和 Xin 等[8]研究了二维定常等熵 Euler 方程在喷管中的跨音速激波解, 当出口压力属于适当区间时, 证明了跨音速激波解的存在性与唯一性, 得到激波位置关于出口压力的单调性. Bae 和 Feldman[1] 对发散喷管的非等熵位势流证明了跨音速激波的存在性、唯一性与稳定性.

本文结构安排如下:

第二节中, 我们首先引入自相似坐标及对应的极坐标系, 并将 Euler 方程组转化为密度和伪速度的常微分方程组, 给出了跨音速激波稳定性问题的数学表述与主要定理的结论. 在第三节中, 在入口处初值扰动充分小时, 首先研究了超音速解的适定性及稳定性; 再讨论了扰动后 R-H 曲线的存在性及单调性; 随后证明了背景解的跨音速激波解的存在唯一性, 及其亚音速曲线的单调性. 最后, 在前述结论的基础上证明了本文主要定理的结论.

在亚音速出口处, 伪速度关于激波位置是严格递增的连续函数. 当出口处给定伪速度取值于某确定区间时, 证明了在初值小扰动下跨音速激波解的存在性、唯一性与稳定性.

2 跨音速激波的数学描述

设 $t>0$, 自相似坐标 ${\xi}=(\xi_1,\xi_2)=(\frac{x_1}{t},\frac{x_2}{t})$. 为讨论方便, 定义伪速度 $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ 为

$\begin{matrix} \mathbf{v}:=\mathbf{u}-{\xi}. \end{matrix}$

注 2.1 具有自相似结构的系统本身具有扩张速度, 在自相似坐标下, $\xi$ 表示原系统的膨胀速度, 而流体的伪速度 $v$ 则反映了流体相对于该膨胀背景的相对运动速度. 伪速度的引入可将非惯性系下的运动转换为惯性系描述, 从而简化控制方程的求解.

我们需得到自相似坐标下的 Euler 方程组, 由 (1.1) 式有

$\begin{matrix} \sum_{i=1} ^{2}\partial_{\xi_i} \rho \left( - \frac{x_i}{t^2} \right) + \frac{1}{t} \nabla_{{\xi}} \cdot(\rho \mathbf{v}+\rho {\xi})= 0, \end{matrix}$

化简得

$\begin{matrix}\label{zhuanhuan} \operatorname{div}_{{\xi}}(\rho \mathbf{v})+2\rho=0. \end{matrix}$

考虑 (1.2) 式第 $i$ 个分量的标量方程

$\begin{align} \frac{\partial(\rho u_i)}{\partial t}+{\rm div}(\rho u_i \mathbf{u})+\partial_ip=0.\label{fenliang} \end{align}$

对 (2.3) 式的第一项与第二项作坐标变换

$\begin{aligned}\frac{\partial(\rho u_i)}{\partial t}& = -\frac{1}{t}\boldsymbol{\xi}\cdot \left[\nabla_{\!{\xi}} (\rho v_i) + \nabla_{\!{\xi}} (\rho \xi_i)\right];\\\operatorname{div}_{\mathbf{x}}(\rho u_i\mathbf{u})&= \frac{1}{t}\nabla_{{\xi}}\cdot\left[\rho(v_i+\xi_i)(\mathbf{v}+{\xi})\right] \\&= \frac{1}{t}\Bigl[ \nabla_{{\xi}}\cdot(\rho v_i\mathbf{v}) + \nabla_{{\xi}}\cdot(\rho v_i{\xi})+ \nabla_{{\xi}}\cdot(\rho \xi_i\mathbf{v}) + \nabla_{{\xi}}\cdot(\rho \xi_i{\xi})\Bigr] \\&= \frac{1}{t}\Bigl[ \nabla_{{\xi}}\cdot(\rho v_i \mathbf{v}) + {\xi}\cdot\nabla_{{\xi}}(\rho v_i) + 2\rho v_i \\&\quad + \xi_i\nabla_{{\xi}}\cdot(\rho\mathbf{v}) + \rho \mathbf{v}\cdot\nabla_{{\xi}}\xi_i+ {\xi}\cdot\nabla_{{\xi}}(\rho\xi_i) + 2\rho\xi_i \Bigr].\end{aligned}$

将 (2.2) 式代入 (2.4) 式, 并对 (2.3) 式化简可得

$\nabla_{{\xi}}\cdot(\rho v_i\mathbf{v})+3\rho v_i+\partial_{\xi_i}p=0.$

于是, 自相似坐标下的 Euler 方程组为

$\left\{\begin{array}{l}\operatorname{div}(\rho \mathbf{v})+2 \rho=0, \\\operatorname{div}(\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}+p \mathbf{I})+3 \rho \mathbf{v}=0.\end{array}\right.$

接下来, 我们将引入跨音速激波的定义.

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 是有界单连通区域, 光滑曲线 $\Sigma$ 将 $\Omega$ 分成两个非空开区域 $\Omega^+ \cap \,\Omega^-$, 即 $\Sigma=\partial\Omega^+\cap\, \partial\Omega^-$. 设 $(\rho, v)\in \bigl(C^1(\Omega^{\pm})\cap C(\bar\Omega^{\pm})\bigr)^3$ 是 (2.5)-(2.6) 式在 $\Omega$ 上的分片光滑弱解. 对任意函数 $\varphi_0, \varphi_1,\varphi_2\in C^\infty_0(\Omega)$, 根据弱解定义

$ \int_{\Omega} \bigl( \rho \mathbf{v} \cdot \nabla \varphi_0 + 2\rho\, \varphi_0 \bigr)\,\mathrm{d}{\xi} = 0, \qquad \int_{\Omega} \bigl( (\rho v_i\mathbf{v} + p\mathbf{e}_i) \cdot \nabla \varphi_i + 3\rho v_i\,\varphi_i \bigr)\,\mathrm{d}{\xi} = 0. $

分片积分并应用散度定理得

$ \int_{\Sigma} -\bigl[ \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \bigr]\,\varphi_0\, \mathrm{d}l = 0, \qquad \int_{\Sigma} -\bigl[ (\rho v_i\mathbf{v} + p\mathbf{e}_i)\cdot\mathbf{n}]\,\varphi_i\,\mathrm{d}l = 0. $

其中 $\mathrm{d}l$ 表示对曲线的弧长微元, $\mathbf{e}_i(i=1,2)$ 是第 $i$ 个标准基向量, $\mathbf{n}$ 表示 $\Sigma$ 上由 $\Omega^-$ 指向 $\Omega^+$ 的单位法向量, $[f]=f_+-f_-$ 为 $f$ 越过 $\Sigma$ 的越度. 由于 $\varphi_0, \varphi_1,\varphi_2$ 的任意性, 故有

$\left\{\begin{array}{l}{[\rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}]=0,} \\{[\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}+p \mathbf{n}]=0.}\end{array}\right.$

我们称 (2.7), (2.8) 式为激波线 $\Sigma$ 上的 Rankine-Hugoniot 跳跃条件 (简称为 R-H 条件).

引入极坐标系 $r = \sqrt{\xi_1^2 + \xi_2^2}$, $\theta=\arctan\left(\frac{\xi_2}{\xi_1}\right)$, 给定区域

$ \Omega=\left\{\left(r,\theta\right) \mid 0<r_1\leq r\leq r_0, \alpha\le\theta\le\beta\right\},$

其中 $r_0$, $r_1$ 为待定常数. 根据笛卡尔坐标系与径向坐标系的关系

$\begin{align*} \left\{\begin{aligned} &v_r=v_1\cos\theta+v_2\sin\theta, \\ &v_\theta=-v_1\sin\theta+v_2\cos\theta. \end{aligned} \right.\ \end{align*}$

(2.5), (2.6) 式可转化为

$\begin{matrix} \left\{\begin{aligned}\label{pdeee} &\partial_r(r\rho v_r)+\partial_\theta(\rho v_\theta)+2r\rho=0, \\ &\partial_r(r\rho v_r^2+rp)+3r\rho v_r+\partial_\theta(\rho v_r v_\theta)-(\rho v_\theta^2+p)=0, \\ &\partial_r(r\rho v_r v_\theta)+\partial_\theta(\rho v_\theta^2+p)+\rho v_r v_\theta+3r\rho v_\theta=0. \end{aligned} \right.\ \end{matrix}$

下面考虑极坐标系下 R-H 条件, 激波线 $\Sigma$ 上的 $\mathbf{n}=(-1,0)$. 由 (2.7) 与 (2.8) 式可得

$\left\{\begin{array}{l}\partial_{r}\left(r \rho v_{r}\right)+\partial_{\theta}\left(\rho v_{\theta}\right)+2 r \rho=0, \\\partial_{r}\left(r \rho v_{r}^{2}+r p\right)+3 r \rho v_{r}+\partial_{\theta}\left(\rho v_{r} v_{\theta}\right)-\left(\rho v_{\theta}^{2}+p\right)=0, \\\partial_{r}\left(r \rho v_{r} v_{\theta}\right)+\partial_{\theta}\left(\rho v_{\theta}^{2}+p\right)+\rho v_{r} v_{\theta}+3 r \rho v_{\theta}=0.\end{array}\right.$

即 $\left[\rho v_r\right]=0,\, \left[\rho v_r^2+p\right]=0.$ 于是 (2.7) 与 (2.8) 式可转化为

$\left\{\begin{array}{l}\rho_{+} v_{+}=\rho_{-} v_{-}, \\\rho_{+} v_{+}^{2}+\rho_{+}^{\gamma}=\rho_{-} v_{-}^{2}+\rho_{-}^{\gamma}.\end{array}\right.$

这里 $v_{\pm}$ 表示 $\Omega^{\pm}$ 上的径向速度在激波线上的取值.

对于径向对称流, $\mathbf{v}, \rho, p$ 仅依赖于 $r$, $\mathbf{v}_\theta=0$, $\rho_\theta=0$, $p_\theta=0$, 为简单起见, 记 $v=v_r$, 由 (2.9) 式得到常微分方程组

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} r}=-1+\frac{c^{2}(v+r)}{r\left(v^{2}-c^{2}\right)}=: F_{1}(r, v, \rho). \\\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{~d} r}=\frac{-\rho v(v+r)}{r\left(v^{2}-c^{2}\right)}=: F_{2}(r, v, \rho).\end{array}\right.$

由状态方程 $p=\rho^\gamma$, 有 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}=\gamma \rho^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}r}$, 且 $c^2(\rho)=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}\rho}=\gamma \rho^{\gamma-1}$, 对 (2.12), (2.13) 式求解可以得到关于 $\rho, v$ 的常微分方程

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} r}=-1+\frac{c^{2}(v+r)}{r\left(v^{2}-c^{2}\right)}=: F_{1}(r, v, \rho). \\\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{~d} r}=\frac{-\rho v(v+r)}{r\left(v^{2}-c^{2}\right)}=: F_{2}(r, v, \rho).\end{array}\right.$

在极坐标系下研究 $\Omega=\left\{\left(r,\theta\right) \mid 0<r_1\leq r\leq r_0, \; \alpha\le\theta\le\beta\right\}$, 其中 $\beta-\alpha<2\pi$, 或 $\beta-\alpha=2\pi$, 分别对应于扩张管道或环形区域, $r_0$ 和 $r_1$ 是待定常数.

设流体经由入口 $r=r_0$ 流入激波 $r=\omega$, 若激波在 $r=r_0$ 处, 激波外静止空气的密度为正常数 $\rho_0$, 于是 $(v_-, \rho_-)=(-r_0, \rho_0)$. 流体穿越激波密度增加 $\rho_+>\rho_-$, 取定 $r_0$ 充分大使得存在 $C_0>0$, 满足 $-r_0<v_+<-C_0$. 常微分方程组 (2.14), (2.15) 满足初值条件 $\bigl(v(r), \rho(r)\bigr)|_{r=r_0}=(v_+, \rho_+)$ 在 $r_0$ 某邻域 $U_-(r_0)$ 必存在解. 由解的延拓定理及解的连续依赖性定理, 存在 $r_1>0$ 使得在 $[r_1,r_0]$ 上均有 $v(r)<-C_0$.

在 $[r_1,r_0]$ 上给定 (2.14), (2.15) 式的背景解

$\begin{matrix}\label{Unperturbed solution} v_-^0(r)=-r,\quad \rho_-^0(r)=\rho_0. \end{matrix}$

记 $c_0:=c(\rho_0)=\sqrt{\gamma\rho_0^{\gamma-1}}$. 选取 $r_1>c_0$, 故 $|v_-^0(r)|>c_0,$ (2.16) 式是方程组 (2.14), (2.15) 在 $\Omega$ 上的超音速解.

在入口 $r=r_0$ 处对超音速背景解 (2.16) 式的初值作小扰动 $v_-(r_0)=-r_0+\varepsilon,\;\rho_-(r_0)=\rho_0+\varepsilon'$, $|\varepsilon|,|\varepsilon'|$ 充分小, 研究 (2.14), (2.15) 式的跨音速激波解的存在性, 唯一性以及稳定性. 若将 $v_-^0(r)=-r$, $\rho_-^0(r)=\rho_0+\varepsilon'$ 作为新的背景解, 则其在稳定性问题的研究中无异,而密度在入口处的取值与背景解相同. 因此我们仅考虑初值条件

$\begin{matrix}\label{chuzhi} v_-(r_0)=-r_0+\varepsilon, \; \rho_-(r_0)=\rho_0. \end{matrix}$

下面, 我们给出跨音速激波解的定义.

定义 2.1 设 $ \omega \in [r_1, r_0] $, $V(r)=\bigl(v(r), \rho(r)\bigr)$ 是方程组 (2.14),(2.15) 在 $\Omega$ 上的弱解. 我们称 $ \bigl(V(r), \omega\bigr)$ 为 (2.12), (2.13) 式在 $[r_1,r_0]$ 的一个跨音速激波解, 如果下述条件成立

1) $\ V_- (r)\in \bigl(C^1(\omega,r_0) \cap C[\omega,r_0]\bigr)^2, \ V_+ (r;\omega)\in \bigl(C^1(r_1,\omega) \cap C[ r_1,\omega]\bigr)^2,$ 且分别在 $(\omega,r_0) $和 $( r_1,\omega) $ 满足方程组 (2.12), (2.13);

2) 在$r = \omega$上满足 R-H 条件 (2.10), (2.11)

3) 满足熵增条件: $ [p] = p_s - p_- > 0. $

注 2.2 本文讨论的激波为正激波 $(\text{即流体速度方向与激波面法向平行})$. 根据激波理论, 正激波必然满足跨音速条件, 具体内容可见文献 [10]. 在不引起混淆的情况下, 跨音速径向对称激波解均简称为激波解.

为讨论方便, 我们引入超音速曲线、R-H 曲线和亚音速曲线的定义.

定义 2.2 在入口处给定超音速初始状态 $V_0=\bigl(v(r_0), \rho(r_0)\bigr)$, 对任意的激波位置 $\omega\in[r_1, r_0]$:

1) 方程组 (2.14), (2.15) 在超音速区域的解 $V_-(r)=\bigl(v_-(r), \rho_-(r)\bigr)$ 对应的曲线称为超音速曲线 , 利用 R-H 条件 (2.10), (2.11) 可确定流体在激波 $\omega$ 上的状态, 记为 $V_s(\omega)=\bigl(v_s(\omega), \rho_s(\omega)\bigr)$, 描述 $V_s$ 与 $\omega$ 关系的曲线称为 R-H 曲线 .

2)固定激波位置 $\omega$, 在 $[r_1,\omega]$ 上以 $V_s=(v_s, \rho_s)$ 为初值求解常微分方程组 (2.12), (2.13), 得到解 $V_+(r;\omega)=\bigl(v_+(r;\omega), \rho_+(r;\omega)\bigr)$, 描述 $V_+(r;\omega)$ 与 $r$ 关系的曲线称为亚音速曲线 .

在上述定义的基础上, 我们可将跨音速激波稳定性的数学问题表述如下.

对给定的常数 $\rho_0,r_0,r_1$, 存在正常数 $\varepsilon_0=\varepsilon_0(\rho_0,r_0,r_1)$, 当出口 $r_1$ 处伪速度给定在一定范围内变化时,研究方程组 (2.14), (2.15) 满足初值条件 (2.17) 在 $[r_1,r_0]$ 上的跨音速激波解的存在性、唯一性及稳定性, 并讨论了 $v_+(r_1;\omega)$ 关于激波位置 $\omega$ 的单调性.

下面定理是本文的主要结论.

定理 2.1 存在仅依赖于 $\rho_0,r_0,r_1$ 充分小的正常数 $\varepsilon_0$, 以及依赖于 $\rho_0,r_0,r_1,\varepsilon_0$ 的常数 $v_{\min}<v_{\max}<0$. 当 $|\varepsilon| < \varepsilon_0$ 时, 任给 $v^*\in[v_{\min},v_{\max}]$, 初值问题 (2.14), (2.15), (2.17) 式在 $[r_1,r_0]$ 上存在唯一的跨音速激波解 $\bigl(V(r),\omega\bigr)$, 满足 $v_+(r_1;\omega)=v_*$, 并且 $v_+(r_1;\omega)$ 是激波位置 $\omega$ 的严格递增函数.

3 主要定理的证明

在下文中, $\|\cdot\|_{L^\infty}$ 表示连续函数或向量值函数的最大模范数.

当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 我们首先考虑初值问题 (2.14), (2.15), (2.17) 式的超音速解的存在唯一性及稳定性.

引理 3.1 给定方程组 (2.14), (2.15) 在 $[r_1,r_0]$ 上的背景解 (2.16), 存在依赖于 $\rho_0,r_0,r_1$ 的正常数 $\varepsilon_0$, 当 $|\varepsilon|\le\varepsilon_0$ 时, 初值问题 (2.14), (2.15), (2.17) 式在 $[r_1,r_0]$ 上存在唯一的超音速解 $\bigl(v_-(r), \rho_-(r)\bigr)$, 且

$ \bigl\| \bigl(v_-(r)-v_-^0(r),\,\rho_-(r)-\rho_-^0(r)\bigr) \bigr\|_{L^\infty} \le C|\varepsilon|. $

其中 $C$ 仅依赖于 $\rho_0,r_0,r_1$.

证 令 $\delta:=\frac{1}{2}(r_1-c_0)>0$, 定义集合

$G_1 \;:=\; \Bigl\{ (v,\rho)\ \Big|\ v\in(-2r_0,\,-\delta),\ \rho\in\bigl(\tfrac{1}{2}\rho_0,\ 2\rho_0\bigr),\ |v|-c(\rho)>\delta \Bigr\}. $

当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 我们断言 $G_1\ne \emptyset$. 事实上, 一方面, 若 $|\varepsilon|<r_0-\delta$, 易知 $-r_0+\varepsilon>-2r_0$, 且 $-r_0+\varepsilon\leq -r_0+r_0-\delta=-\delta $. 另一方面, 当 $|\varepsilon|\leq \delta$ 时,

$|-r_0+\varepsilon|-c(\rho_0)\ge r_0-|\varepsilon|-c_0\ge r_1-c_0-|\varepsilon|>\delta.$

即 $(-r_0+\varepsilon,\rho_0)\in G_1$.

记 $K_1 :=[r_1,r_0]\times G_1$, 考虑初值问题

$\left\{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} r} & =F_1(r, v, \rho), \\ \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} r} & =F_2(r, v, \rho), \\ \rho\left(r_0\right) & =\rho_0, v\left(r_0\right)=-r_0+\varepsilon.\end{aligned}\right.$

$(F_1,F_2)$ 在 $K_1$ 上是 $\bigl(r,v,\rho\bigr)$ 的连续函数, $v^2-c^2(\rho)\ge\delta^2$, 由

$\begin{align*} & \left| \frac{\partial F_1}{\partial \rho} \right| = \left| \frac{\gamma(\gamma - 1)\rho^{\gamma - 2} v^2 \bigl(v + r\bigr)} {r\bigl[v^2- c^2\bigl(\rho\bigr)\bigr]^2} \right|\le\frac{8\gamma(\gamma-1)(2\rho_0)^{\gamma-2} r_0^3}{r_1\delta^2}, \\ & \left| \frac{\partial F_1}{\partial v} \right| = \left| \frac{-\,c^2(\rho )\bigl[v^2 + 2r v^2 + c^2\bigl(\rho\bigr)\bigr]} {r\bigl[v^2- c^2\bigl(\rho\bigr)\bigr]^2} \right|\le\frac{\gamma(2\rho_0)^{\gamma-1}(4r_0^2 + 8r_0^3 + \gamma(2\rho_0)^{\gamma-1})}{r_1\delta^2},\\ & \left| \frac{\partial F_2}{\partial \rho} \right| = \left| \frac{(v^2+ r v)\bigl[v^2+ (\gamma - 2)c^2\bigl(\rho\bigr)\bigr]} {r\bigl[v^2- c^2\bigl(\rho\bigr)\bigr]^2} \right|\le\frac{6r_0^2\bigl(4r_0^2 + 2\gamma(2\rho_0)^{\gamma-1}\bigr)}{r_1\delta^2}, \\ & \left| \frac{\partial F_2}{\partial v} \right| = \left| \frac{\rho\bigl[2vc^2\bigl(\rho\bigr) + r v^2 + r c^2(\rho)\bigr]} {r\bigl[v^2 - c^2\bigl(\rho\bigr)\bigr]^2} \right|\le\frac{2\rho_0\bigl(4\gamma r_0(2\rho_0)^{\gamma-1} + 4r_0^3 + \gamma r_0(2\rho_0)^{\gamma-1}\bigr)}{r_1\delta^2}. \end{align*}$

可知 $(F_1,F_2)$ 在 $K_1$ 上关于 $(v,\rho)$ 是 Lipschitz 连续的, 取 Lipschitz 常数 $L_1=L_1(\rho_0,r_0,r_1)$ 满足

$\begin{align*} L_1 &= \max \Bigg\{ \sup_{\substack{K_1}} \Bigl| D_{(v,\rho)} F_1\bigl(r, v, \rho\bigr) \Bigr|, \; \sup_{\substack{K_1}} \Bigl| D_{(v,\rho)} F_2\bigl(r, v, \rho\bigr) \Bigr| \Bigg\} \end{align*}$

由解的存在唯一性定理, (2) 式在 $r_0$ 的某邻域 $[r',r_0]$ 内存在唯一解 $\bigl(v_-(r),\rho_-(r)\bigr)$. 下面证明 当 $|\varepsilon|$ 充分小时, $\bigl(v_-(r),\rho_-(r)\bigr)$ 可以延拓至 $r_1$.

定义

$\begin{align*} \Delta v_-(r)=v_-(r)-v_-^0(r),\quad\Delta\rho_-(r)=\rho_-(r)-\rho_-^0(r). \end{align*}$

代入 (3.1) 式, 得到增量 $\bigl(\Delta v_-(r),\Delta\rho_-(r)\bigr)$ 的动态方程

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} \Delta v_{-}(r)}{\mathrm{d} r}=F_{1}\left(r, v_{-}(r), \rho_{-}(r)\right)-F_{1}\left(r, v_{-}^{0}(r), \rho_{-}^{0}(r)\right)<L_{1} \\ \left(\left|\Delta v_{-}(r)\right|+\left|\Delta \rho_{-}(r)\right|\right), \\\frac{\mathrm{d} \Delta \rho_{-}(r)}{\mathrm{d} r}=F_{2}\left(r, v_{-}(r), \rho_{-}(r)\right)-F_{2}\left(r, v_{-}^{0}(r), \rho_{-}^{0}(r)\right)<L_{1} \\ \left(\left|\Delta v_{-}(r)\right|+\left|\Delta \rho_{-}(r)\right|\right).\end{array}\right.$

定义能量函数

$W(r):=\bigl(\Delta v_-(r)\bigr)^2+\bigr(\Delta\rho_-(r)\bigr)^2,$

对 $W(r)$ 求导得

$\frac{\mathrm{d}W(r)}{\mathrm{d}r} = 2\Delta v_-(r)\frac{\mathrm{d}\Delta v_-(r)}{\mathrm{d}r}+2\Delta\rho_-(r)\frac{\mathrm{d}\Delta\rho_-(r)}{\mathrm{d}r}. $

将 (3.2) 式代入上式

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} W(r)}{\mathrm{d} r} \leq 2 L_{1}\left(\Delta v_{-}(r)\right)^{2}+2 L_{1}\left|\Delta v_{-}(r)\right|\left|\Delta \rho_{-}(r)\right|+2 L_{1}\\\left|\Delta v_{-}(r)\right|\left|\Delta \rho_{-}(r)\right|+2 L_{1}\left(\Delta \rho_{-}(r)\right)^{2}\\1120\\\begin{array}{l}\leq 2 L_{1}\left(\Delta v_{-}(r)\right)^{2}+2 L_{1}\left(\Delta \rho_{-}(r)\right)^{2}+4 L_{1}\left(\frac{1}{2}\left(\Delta v_{-}(r)\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\Delta \rho_{-}(r)\right)^{2}\right) \\=4 L_{1} W(r)\end{array}\end{array}$

初值能量为 $W(r_0)=\bigl(\Delta v_-(r_0)\bigr)^2+\bigl(\Delta \rho_-(r_0)\bigr)^2=\varepsilon^2.$ 由 Gr$\ddot{\rm o}$nwall 不等式

$W(r)\le W(r_0)e^{4L_1|r-r_0|}\le e^{4L_1(r_0-r_1)}\varepsilon^2. $

进而

$\begin{matrix}\label{wendingxing} \bigl\| v_-(r)-v_-^0(r)\bigr\|_{L^\infty} \le e^{2L_1(r_0-r_1)}|\varepsilon|,\quad \bigl\| \rho_-(r)-\rho_-^0(r) \bigr\|_{L^\infty} \le e^{2L_1(r_0-r_1)}|\varepsilon|. \end{matrix}$

由 (2.16) 式可知, 一方面, 当

$|\varepsilon| < \frac{r_0}{2 e^{2L_1 (r_0 - r_1)}}$ 时, 有 $\begin{aligned}-\tfrac{3}{2} r_0\le v_-^0(r) - \bigl\| v_-(r) - v_-^0(r) \bigr\|_{L^\infty}\;\le\; v_-(r)\le v_-^0(r) + \bigl\| v_-(r) - v_-^0(r) \bigr\|_{L^\infty}\;\le\; -\tfrac{1}{2} r_1.\end{aligned}$

另一方面, 当 $|\varepsilon|<\frac{\rho_0}{4e^{2L_1(r_0-r_1)}}$ 时

$\begin{aligned}\tfrac{3}{4}\rho_0\;\le\;\rho_-^0(r)-\bigl\| \rho_-(r)-\rho_-^0(r) \bigr\|_{L^\infty}\;\le\;\rho_-(r)\le\rho_-^0(r)+\bigl\| \rho_-(r)-\rho_-^0(r) \bigr\|_{L^\infty}\;\le\;\tfrac{5}{4}\rho_0.\end{aligned}$

在 $[r',r_0]$ 上

$\begin{aligned}\left|v_{-}(r)\right|-c\left(\rho_{-}(r)\right) & =\left|v_{-}^{0}(r)+\left(v_{-}(r)-v_{-}^{0}(r)\right)\right|+\left[c\left(\rho_{-}^{0}(r)\right)-c \left(\rho_{-}(r)\right)\right]-c\left(\rho_{-}^{0}(r)\right) \\& \geq\left|v_{-}^{0}(r)\right|-c\left(\rho_{-}^{0}(r)\right)-\left|v_{-}(r)-v_{-}^{0}(r)\right|-\left|c\left(\rho_{-}^{0}(r)\right)-c\left(\rho_{-}(r)\right)\right|\end{aligned}$

当 $\frac{\rho_0}{2}\le\rho_-(r)\le 2\rho_0$ 时, 由 $c(\rho)$ 关于 $\rho$ 的 Lipschitz 连续性可得

$ \bigl\| c\bigl(\rho_-(r)\bigr)-L^\infty\bigl(\rho_-(r)\bigr)\bigr\|_{L^\infty}\le2^{\frac{3\gamma-7}{2}}\,(\gamma-1)\,\gamma^{\frac12}\, \rho_0^{\frac{\gamma-3}{2}} \bigl\| \rho_-(r)-\rho^0_-(r)\bigr\|_{L^\infty}\le C|\varepsilon|.$

由 $|v^0_-(r)|-c\bigl(\rho^0_-(r)\bigr)=r-\sqrt{\gamma\rho_0^{\gamma-1}}\ge r_1-c_0=2\delta$, 当 $|\varepsilon|$ 充分小时

$\begin{matrix}\label{eq:kejie} |v_-(r)|-c\bigl(\rho_-(r)\bigr)\ge 2\delta-\frac{\delta}{4} -\frac{\delta}{4} =\frac{3}{2}\delta>\delta. \end{matrix}$

因此, 在 $[r',r_0]$ 上, 当 $|\varepsilon|$ 充分小时, (3.4), (3.5) 式与 (3.6) 式同时成立. 定义

$ G_1' \;:=\; \Bigl\{ (v,\rho)\ \Big|\ v\in\bigl[-\tfrac{3}{2}r_0,\,-\tfrac{1}{2}r_1 \bigr],\ \rho\in\bigl[\tfrac{3}{4}\rho_0,\ \tfrac{5}{4}\rho_0\bigr],\ |v|-c(\rho)\ge \tfrac{3}{2}\delta \Bigr\}. $

使得 $\bigl(v_-(r),\rho_-(r)\bigr)$ 在 $[r',r_0]$ 上始终在 $G_1'$ 内, 且满足 $G_1'\subset G_1$. 又由于 $(F_1,F_2)$ 在 $[r_1,r_0]\times G_1$ 上关于 $(v,\rho)$ 局部 Lipschitz 连续, 由常微分方程的存在唯一性定理与解的延拓定理, 可将 $\bigl(v_-(r),\rho_-(r)\bigr)$ 的存在区间延拓至 $r_1$, 使得对任意 $r\in[r_1, r_0]$ 上时, $\bigl(v_-(r),\rho_-(r)\bigr)\in G_1'$, 因此(3.3) 式在 $[r_1,r_0]$ 上始终成立.

下面讨论 $V_-(\omega)$ 所确定的 R-H 曲线的单调性.

引理 3.2 存在仅依赖于$\rho_0,\,r_0\,r_1$ 的充分小常数 $\varepsilon_0$, 当 $|\varepsilon|<\varepsilon_0$ 时, 如果 $V_-(\omega) = \bigl(v_-(\omega),\, \rho_-(\omega)\bigr)$ 为激波位置 $r=\omega$ 上满足引理 3.1 的超音速状态, 则由 R-H 条件, 可唯一确定激波 $\omega$ 上相应的亚音速状态 $V_s(\omega)$, 且 $\frac{\mathrm{d}\rho_s}{\mathrm{d}\omega} >0$, $\frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}\omega} <-1$.

证 证明思路: 给定激波位置 $\omega$, 由 R-H 条件 (2.10), (2.11) 唯一地确定满足熵条件的 $V_s(\omega)$. 下面分四步完成引理的证明.

第 1 步 确定 $v_-, \rho_-$ 与 $v_s, \rho_s$ 之间的大小关系.

在激波位置 $r=\omega$ 处, 由 R-H 条件,将 (2.10) 式代入 (2.11) 式得

$\begin{align*} \rho_-^2v_-^2+\rho_s^{\gamma+1}=(\rho_- v_-^2+\rho_-^\gamma)\rho_s. \end{align*}$

定义函数

$\begin{align*} H(\rho):=\rho^{\gamma+1}-(\rho_- v_-^2+\rho_-^\gamma)\rho+\rho_-^2v_-^2. \end{align*}$

显然 $H(\rho_-)=0$. 由于 $v_-^2-c^2(\rho_-)>\delta^2$, 由引理 3.1 可知当 $|\varepsilon|$ 充分小时, $\rho_->\frac{1}{2}\rho_0$, 于是

$ H'(\rho_-) =\bigl(c^2(\rho_-)-v_-^2\bigr)\rho_-<-\frac{1}{2}\rho_0\delta^2<0.$

令 $H'(\rho_*)=0$ 可得

$\rho_*=\left(\frac{\rho_-v_-^2+\rho_-^\gamma}{\gamma+1}\right)^{\frac{1}{\gamma}}.$

由于 $H''(\rho)=(\gamma+1)\gamma\rho^{\gamma-1}>0$, $H$ 为严格凸函数, 因此 $\rho_*$ 为全局极小点. 又由 $H'(\rho_*)>H'(\rho_-)$ 可知 $\rho_*>\rho_-$, 从而 $H(\rho_*)<0$. 另一方面, $\displaystyle\lim_{\rho \to \infty } H(\rho) =+\infty$. 由函数的连续性与介值定理可知, 存在 $\rho_s\in(\rho_*,+\infty)$, 使得 $H(\rho_s)=0$, $\rho_s>\rho_-$ (如图 1 所示).

图1

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图1   $H(\rho)$ 函数图


由 $H''(\rho)$ 的单调性,

$\begin{align*} -H'(\rho_-)=-H'(\rho_*)+\int^{\rho_*}_{\rho_-}H''(\rho)\;\mathrm{d}\rho \le H''(\rho_s)(\rho_*-\rho_-), \end{align*}$

易知 $\rho_s<(\rho_-v_-^2+\rho_-^\gamma)^\frac{1}{\gamma}$, 于是

$\begin{align*} \rho_s-\rho_-&\ge\rho_*-\rho_-\ge\frac{-H'(\rho_-)}{H''(\rho_s)}=\frac{\bigl(v_-^2-c^2(\rho_-)\bigr)\rho_-}{(\gamma+1)\gamma\rho_s^{\gamma-1}} \ge\frac{\delta^2}{(\gamma+1)\gamma}\frac{\rho_-}{\bigl(\rho_-v_-^2+\rho_-^{\gamma}\bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}. \end{align*}$

由引理 3.1 知, 当 $|\varepsilon|$ 充分小时, $\frac{1}{2}\rho_0\le\rho_-\le2\rho_0$, $-2r_0\le v_-\le-\delta$. 因此

$\begin{matrix}\label{rho>} \rho_s-\rho_-\ge\rho_*-\rho_-\ge \frac{\rho_0\delta^2}{2(\gamma+1)\gamma\bigl(8\rho_0r_0^2+2^\gamma\rho_0^\gamma\bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}, \end{matrix}$

即 $\rho_s\ge \rho_- +C_1$. 同时

$\begin{matrix} v_s-v_-=\frac{\rho_-v_-}{\rho_s}-v_-=\frac{|v_-|}{\rho_s}(\rho_s-\rho_-)\ge \frac{\rho_0\delta^3}{2(\gamma+1)\gamma(8\rho_0r_0^2+2^\gamma\rho_0^\gamma)}.\label{v>} \end{matrix}$

即 $v_s \ge v_- + C_2.$

第 2 步 下证 $V_s(\omega)$ 是亚音速的, 即存在常数 $C>0$, 使得 $c^2(\rho_s)-v_s^2\ge C$.

已知 $c^2(\rho_s)=\gamma\rho_s^{\gamma-1}$, 由 (2.11) 式可得

$H'(\rho_s)=(\gamma+1)\rho_s^{\gamma}-(\rho_- v_-^2+\rho_-^\gamma)=(\gamma+1)\rho_s^{\gamma}-(\rho_sv_s^2+\rho_s^\gamma)=\rho_s(c^2 (\rho_s)-v_s^2).$

其中 $\rho_s$ 有非负下界, 只需证明存在正常数 $C$, 使得 $H'(\rho_s)\ge C$.

由 $H''(\rho)$ 的单调性可得

$\begin{aligned}H'(\rho_s)&=H'(\rho_*)+\int_{\rho_*}^{\rho_s} H''(\rho)\;\mathrm{d}\rho\ge H''(\rho_-)(\rho_s-\rho_*).\end{aligned}$

由中值定理, 存在 $\mu\in(\rho_*,\rho_s)$ 使得

$\begin{matrix}\label{rho_s-rho_*} \rho_s-\rho_* =\frac{H(\rho_s)-H(\rho_*)}{H'(\mu)} =\frac{-H(\rho_*)}{H'(\rho_*)+\int_{\rho_*}^{\mu} H''(\rho)\,\mathrm{d}\rho} \ge \frac{-H(\rho_*)}{H''(\rho_s)\,\rho_s}. \end{matrix}$

对 $H$ 在 $\rho_*$ 处一阶 Taylor 展开, 存在 $\lambda\in(\rho_-,\rho_*)$, 可得

$\begin{align*} H(\rho_-)=H(\rho_*)+H'(\rho_*)(\rho_-\rho_*)+\frac{1}{2}H''(\lambda)(\rho_-\rho_*)^2. \end{align*}$

从而

$\begin{matrix}\label{Hrho_*} H(\rho_*)=-\frac{1}{2}H''(\lambda)(\rho_*-\rho_-)^2\le -\frac{1}{2}H''(\rho_-)(\rho_*-\rho_-)^2. \end{matrix}$

由 (3.9), (3.10) 式与 (3.11) 式有

$\begin{matrix}\label{H'rho_s} H'(\rho_s)\ge\frac{(\rho_*-\rho_-)^2\bigl(H''(\rho_-)\bigr)^2}{2\rho_sH''(\rho_s)}=\frac{\gamma(\gamma+1)}{2}\frac{\rho_-^{2\gamma-2}(\rho_*-\rho_-)^2}{\rho_s^\gamma}. \end{matrix}$

因此当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 由 (3.7) 式有

$\begin{aligned}c^2(\rho_s)-v_s^2 =\frac{H'(\rho_s)}{\rho_s}\ge \frac{\gamma(\gamma+1)}{2}\frac{\rho_-^{2\gamma-2}(\rho_*-\rho_-)^2}{\rho_s^\gamma}\ge\frac{\rho_0^{2\gamma-1}\delta^2}{2^{2\gamma}(8\rho_0r_0^2+2^\gamma\rho_0^\gamma)^\frac{2\gamma-2}{\gamma}}.\end{aligned}$

即 $c^2(\rho_s)-v_s^2\ge C_3$, 故 $V_s(\omega)$ 是亚音速的.

第 3 步 验证熵条件.

因为 $\rho_s>\rho_-$, 由 $p$ 关于 $\rho$ 单调递增性, $p_s>p_-$, 即熵条件成立.

第 4 步 最后证明 R-H 曲线满足 $\frac{\mathrm{d}\rho_s}{\mathrm{d}\omega} >0$, $\frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}\omega} <-1$.

由 R-H 条件 (2.10), (2.11) 可得

$\begin{matrix} \frac{ \left(\rho_-v_-\right)^2}{\rho_s} + \rho_s^\gamma = \rho_- v_-^2 + \rho_-^\gamma.\label{RH1111} \end{matrix}$

对 (3.14) 式两端关于 $\omega$ 求导

$\begin{align*} &\frac{ 2\rho_- v_- \dfrac{\mathrm{d}(\rho_- v_-)}{\mathrm{d}\omega}\, \rho_s - \rho_-^2 v_-^2 \dfrac{\mathrm{d}\rho_s}{\mathrm{d}\omega} }{\rho_s^2} + \gamma \rho_s^{\gamma - 1} \frac{\mathrm{d}\rho_s}{\mathrm{d}\omega} = \frac{\mathrm{d}\bigl(\rho_- v_-^2 + \rho_-^{\gamma}\bigr)}{\mathrm{d}\omega}. \end{align*}$

由 (2.12), (2.13) 式可得

$\begin{matrix}\label{rhos} \frac{\mathrm{d}\rho_s}{\mathrm{d}\omega} =\frac{-\rho_-v_-\left[ 2\omega(\rho_s-\rho_-)+\left(\rho_s-2\rho_- \right) \left( v_-+\omega\right)\right]}{\omega\rho_s\left( c^2(\rho_s)-v_s^2\right)}. \end{matrix}$

记 $N_1=-\rho_-v_-\left[ 2\omega(\rho_s-\rho_-)+\left(\rho_s-2\rho_- \right) \left( v_-+\omega\right)\right],$ 于是

$\begin{align*} N_1&=2\omega\rho_-|v_-|(\rho_s-\rho_-)+\rho_-|v_-|(\rho_s-2\rho_-)(v_-+\omega)\\ &>2\omega\rho_-|v_-|(\rho_s-\rho_-)-\rho_-|v_-|(\rho_s+2\rho_-)|v_-+\omega|. \end{align*}$

由引理 3.1 知, 在 $r=\omega$ 处 $|v_-+\omega|=|v_-v_-^0|\le C|\varepsilon|$, 当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 由 (3.7) 式有

$\begin{align*} N_1 >\omega\rho_-|v_-|(\rho_s-\rho_-) \ge \tfrac{1}{2}\,r_1\,\rho_0\,\delta\,C_1 \end{align*}$

因此, 由 (3.15) 式知 $\frac{\mathrm{d}\rho_s}{\mathrm{d}\omega} > 0.$

对 (2.10) 式两端关于$\omega$求导, 将 (3.15) 式带入可得

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d} v_{s}}{\mathrm{~d} \omega} & =\frac{v_{-} \frac{\mathrm{d} \rho_{-}}{\mathrm{d} \omega}+\rho_{-} \frac{\mathrm{d} v_{-}}{\mathrm{d} \omega}-v_{s} \frac{\mathrm{~d} \rho_{s}}{\mathrm{~d} \omega}}{\rho_{s}} \\& =-\frac{\rho_{-}}{\rho_{s}}+\frac{2 \omega v_{s}^{2}\left(\rho_{s}-\rho_{-}\right)+\left[\rho_{s}-2 \rho_{-}-\rho_{-}\left(c_{s}^{2}-v_{s}^{2}\right)\right]\left(v_{-}+\omega\right)}{\omega \rho_{s}\left(c_{s}^{2}-v_{s}^{2}\right)}\end{aligned}$

记 $N_2=2\omega v_s^2(\rho_s-\rho_-)+\left[ \rho_s-2\rho_-\rho_-(\gamma\rho_s^{\gamma-1}-v_s^2)\right](v_-+\omega),$ 当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 由 (3.7) 式有

$\begin{aligned} N_2 & >2 \omega v_s^2\left(\rho_s-\rho_{-}\right)-\left[\rho_s+2 \rho_{-}+\rho_{-}\left(\gamma \rho_s^{\gamma-1}-v_s^2\right)\right]\left|v_{-}+\omega\right| \\ & \geq \omega v_s^2\left(\rho_s-\rho_{-}\right) \geq r_1 \delta^2 C_1^2>0.\end{aligned}$

由 (3.16) 式知 $\frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}\omega}>-1.$

接下来我们研究背景解的亚音速解, 即对给定激波位置 $\omega\in[r_1,r_0)$, 类似于引理 3.2, 可证明在激波线上, 由 R-H 条件 $(v_-^0,\rho_-^0)$ 可唯一确定亚音速状态 $V_s^0(\omega)=(v_s^0,\rho_s^0)$. 考虑 (2.14), (2.15) 式满足初始条件 $V_+^0(\omega,\omega)=V_s^0(\omega)$ 的解 $V_+^0(r;\omega)$.

引理 3.3 给定激波位置 $\omega\in[r_1,r_0)$, 以 $V_s^0(\omega)$ 为初值, (2.14), (2.15) 式在 $[r_1,\omega]$ 存在亚音速解 $V_+^0(r;\omega)=\bigl(v_+^0(r;\omega),\rho_+^0(r;\omega)\bigr)$, $v^0_+(r;\omega)$ 与 $\rho^0_+(r;\omega)$ 均关于 $r$ 单调递减.

证 记

$G_{2}:=\left\{(v, \rho) \left\lvert\, v \in\left(-r_{0},-\frac{1}{2} C_{0}\right)\right., \rho \in\left(\rho_{0}, 2\left(\frac{\gamma-1}{2 \gamma} r_{0}^{2}+\rho_{0}^{\gamma-1}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\right), c^{2}(\rho)-v^{2}>\frac{1}{2} C_{3}\right\} .$

故 $G_2\ne\emptyset$.

在 $K_2:=[r_1,\omega]\times G_2$ 上考虑初值问题

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} r}=F_{1}(r, v, \rho), \\\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{~d} r}=F_{2}(r, v, \rho), \\V_{+}^{0}(\omega ; \omega)=V_{s}^{0}(\omega).\end{array}\right.$

$(F_1,F_2)$ 在 $K_2$ 上是 $(r,v,\rho)$ 的连续函数, 类似于引理 3.1, 不难证明 $(F_1,F_2)$ 在 $K_2$ 上关于 $(v,\rho)$ 是局部 Lipschitz 连续的, 其中 $C_3$ 为 (3.13) 式中定义的常数. 任意给定 $\omega\in[r_1,r_0)$, 由解的存在唯一性定理, 存在$\omega$ 的某邻域 $[r_m,\omega]$, (3.17) 式在 $[r_m,\omega]$ 内存在唯一解 $\bigl(v^0_+(r;\omega),\rho^0_+(r;\omega)\bigr)$. 下面分四步完成引理的证明.

第 1 步 在 $[r_m,\omega]$ 上, 证明 $\bigl(v_+^0(r;\omega),\rho^0_+(r;\omega)\bigr)$ 是亚音速的, 且 $v^0_+(r;\omega)$ 与 $\rho^0_+(r;\omega)$ 关于 $r$ 单调递减.

记 $Y_1(r)=c^2\bigl(\rho_+^0(r;\omega)\bigr)-\bigl(v_+^0(r;\omega)\bigr)^{2}$, $Y_2(r)=v_+^0(r;\omega)+r$. 由 (3.17) 式可得

$\begin{matrix} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} Y_1 = \frac{(\gamma+1)(Y_2-r)[Y_1+(Y_2-r)^2]Y_2} {rY_1} + 2(Y_2-r), \label{eq:c2-v2}\\ &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} Y_2 = -\frac{[Y_1+(Y_2-r)^2]Y_2} {rY_1},\\ & Y_1(\omega)=c^2(\rho_s^0)-(v_s^0)^2,\;Y_2(\omega)=v_s^0+\omega. \end{aligned} \right. \end{matrix}$

在 $[r_m,\omega]$ 上证明 $Y_1(r)>0,\;Y_2(r)>0$.

首先, 在激波位置 $r=\omega$ 处, $Y_2(\omega)-\omega=v_s^0(\omega)<0$. 由 (3.8) 与 (3.13) 式可知 $Y_2(\omega)\ge C_2$, $Y_1(\omega)\ge C_3$, 因此, 方程组 (3.18) 右端在 $r=\omega$ 处均小于 $0$. 由右端函数关于 $(r,Y_1,Y_2)$ 的连续性与解对初值的连续依赖性, 存在 $\delta_1>0$ 使得当 $r\in(\omega-\delta_1,\omega]$ 时

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}Y_1<0,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}Y_2<0.$

因此对于任意 $r\in(\omega-\delta_1,\omega]$, 有

$\begin{align*} Y_1(r)\ge Y_1(\omega)=c^2(\rho_s^0)-(v_s^0)^2\ge C_3,\qquad Y_2(r)\ge Y_2(\omega)= v_s^0+\omega\ge C_2. \end{align*}$

即

$\begin{matrix}\label{c^2da1} c^2\bigl(\rho_+^0(r;\omega)\bigr) -\bigl(v_+^0(r;\omega)\bigr)^{2}\ge C_3,\quad v_+^0(r;\omega)+r\ge C_2. \end{matrix}$

在 $r=\omega-\delta_1$ 处, 方程组 (3.18) 右端依然小于 $0$, 且 $Y_1(\omega-\delta_1)\ge Y_1(\omega)$, $Y_2(\omega-\delta_1)\ge Y_2(\omega)$. 重复以上步骤, 可得在整个 $[r_m,\omega]$ 上 (3.19) 式依然成立. 于是由 (3.19) 式可知

$\frac{\mathrm{d} \rho_{+}^0(r ; \omega)}{\mathrm{d} r}=-\frac{\rho_{+}^0(r ; \omega) v_{+}^0(r ; \omega)\left(v_{+}^0(r ; \omega)+r\right)}{r\left[c^2\left(\rho_{+}^0(r ; \omega)\right)-\left(v_{+}^0(r ; \omega)\right)^2\right]}<0$,
$\frac{\mathrm{d} v_{+}^0(r ; \omega)}{\mathrm{d} r}=-1+\frac{c^2\left(\rho_{+}^0(r ; \omega)\right)\left(v_{+}^0(r ; \omega)+r\right)}{r\left[c^2\left(\rho_{+}^0(r ; \omega)\right)-\left(v_{+}^0(r ; \omega)\right)^2\right]}<-1$.

综上可知, 在 $[r_m,\omega]$ 上 $\rho^0_+(r;\omega)$ 与 $v^0_+(r;\omega)$ 均是单调递减函数.

第 2 步 证明背景解的 $\rho$ 与 $v$ 的左行亚音速曲线在其 R-H 曲线的上方.

由 (3.15) 式可知 $\frac{\mathrm{d}\rho^0_s}{\mathrm{d}\omega} >0$. 再由 (3.20) 式有

$\frac{\mathrm{d}\rho^0_s{}}{\mathrm{d}\omega}-\left.\frac{\mathrm{d}\rho^0_+{(r;\omega)}}{\mathrm{d}r}\right|_{r=\omega}>0.$

由于 $\rho_s^0(\omega)=\rho_+^0(\omega;\omega)$, 因此 $\rho_+^0(r;\omega)$ 的左行亚音速曲线在其 R-H 曲线的上方 (如图 2 所示).

图2

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图2   $\rho$ 曲线图


由 (3.16) 式可知 $\frac{\mathrm{d}v^0_s}{\mathrm{d}\omega}>-1$. 再由 (3.21) 式得

$\frac{\mathrm{d}v^0_s}{\mathrm{d}\omega}-\left.\frac{\mathrm{d}v^0_+{(r;\omega)}}{\mathrm{d}r}\right|_{r=\omega}>0.$

又$v_s^0(\omega)=v_+^0(\omega;\omega)$, $v_+^0(r;\omega)$ 的左行亚音速曲线在其 R-H 曲线的上方.

记 $\chi^0_+(r;\omega) := r \, \rho^0_+(r;\omega) \, v^0_+(r;\omega),\;\chi^0_s := \omega \, \rho^0_s \, v^0_s$, 由 (2.12) 式可知

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}\chi^0_s}{\mathrm{d}r}=\frac{\mathrm{d}(\omega\rho^0_sv^0_s)}{\mathrm{d}\omega}= \frac{\mathrm{d}(\omega\rho^0_-v^0_-)}{\mathrm{d}\omega}=-2\omega\rho^0_-<0, \end{align*}$

在 $\bigl(\omega,\chi_s^0(\omega)\bigr)$ 的亚音速曲线满足

$\begin{align*} \left.\frac{\mathrm{d}\chi^0_+(r;\omega) }{\mathrm{d}r}\right|_{r=\omega}=\left.\frac{\mathrm{d}(r\rho^0_+(r;\omega) v^0_+(r;\omega))}{\mathrm{d}r}\right|_{r=\omega}=-2\omega\rho^0_s<0. \end{align*}$

从而

$\begin{matrix}\label{le} \frac{\mathrm{d}\chi^0_s}{\mathrm{d}\omega}-\left.\frac{\mathrm{d}\chi^0_+(r;\omega)}{\mathrm{d}r}\right|_{r=\omega}=-2\omega(\rho^0_-\rho^0_s)>0. \end{matrix}$

又由于 $\chi_s^0(\omega)=\chi_+^0(\omega;\omega)$, $\chi$ 的左行亚音速曲线在其 R-H 曲线上方.

第 3 步 若 $\omega\in[r_1,r_0)$, 证明在 $[r_m,\omega]$ 上亚音速曲线 $v_+^0(r;\omega)$ 与 $v_+^0(r;r_0)$ 不会相交.

考虑经过 R-H 曲线上 $r_0$ 处与 $\omega$ 处分别对应的亚音速曲线, $v$ 亚音速曲线如图 3 所示, $\chi$ 的亚音速曲线类似. 由 (3.20), (3.21) 式知, $v_+^0(r;r_0)$, $\chi_+^0(r;r_0)$ 关于 $r$ 单调递减, $\rho_+^0(r;r_0)$ 关于 $r$ 单调递增. 由于 $\rho,v,\chi$ 的左行亚音速曲线均在其 R-H 曲线上方, 有

$\rho_+^0(\omega;r_0)>\rho_+^0(\omega;\omega),\quad v_+^0(\omega;r_0)>v_+^0(\omega;\omega),\quad\chi_+^0(\omega;r_0)>\chi_+^0(\omega;\omega).$

在 $[r_m,\omega]$ 上定义

$w(r):=\rho_+^0(r;r_0)-\rho_+^0(r;\omega),\quad z(r):=v_+^0(r;r_0)-v_+^0(r;\omega),\quad \chi(r):=\chi_+^0(r;r_0)-\chi_+^0(r;\omega). $

图3

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图3   无初值扰动 $v$ 曲线图


因此 $\chi(\omega)>0,\;z(\omega)>0.$

接下来用反证法证明在 $[r_m,\omega]$ 上, $\chi(r)>0$ 且 $z(r)>0$. 若其不成立, 记 $E:=\bigl\{r\in[r_m,\omega]\,\bigl|\,\chi(r)=0\;\text{或}\;z(r)=0\bigr\}$, 则$E\ne\emptyset$. 令 $r_* := \sup E$, 下面分情况讨论.

情形 1 若 $\chi(r_*)=0$.

在 $(r_*,\omega]$ 上 $\frac{\mathrm{d}\chi^0_+(r;\omega) }{\mathrm{d}r}=-2\rho_+^0(r;\omega)<0$, 且有 $\chi(r)>0$, 如图 4 所示. 因此 $\chi'(r_*)\ge0$.

图4

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图4   $\chi$ 曲线图


由 (2.12) 式有

$\chi'(r)=-2r w(r).$

由 $\chi_+^0(r;\omega)=r\rho_+^0(r;\omega)v_+^0(r;\omega)$, 得到

$\begin{aligned}w(r)&=\frac{\chi_+^0(r;r_0)}{rv_+^0(r;r_0)}-\frac{\chi_+^0(r;\omega)}{rv_+^0(r;\omega)}=\frac{\chi(r)}{r v_+^0(r;r_0)}+\frac{\rho_+^0(r;\omega)}{-v_+^0(r;r_0)}z(r),\end{aligned}$

将 $w(r)$ 代入 (3.24) 式,

$\chi'(r)=-\frac{2}{v_+^0(r;r_0)}\chi(r) -2 r\frac{\rho_+^0(r;\omega)}{-v_+^0(r;r_0)} z(r).$

则

$ \chi'(r_*)=\frac{2 r_* \rho_+^0(r_*;\omega)}{v_+^0(r_*;r_0)} z(r_*). $

一方面, 若 $z(r_*)>0$, 又 $v_+^0(r_*r_0)<0$, 则 $\chi'(r_*)<0$, 矛盾.

另一方面, 若 $z(r_*)=0$, 则

$\bigl(\chi_+^0(r_*;\omega),v_+^0(r_*;\omega)\bigr)=\bigl(\chi_+^0(r_*;r_0),v_+^0(r_*;r_0)\bigr):=(\bar\chi,\bar v).$

因此, $\bigl(\chi_+^0(r;\omega),v_+^0(r;\omega)\bigr)$ 与 $\bigl(\chi_+^0(r;r_0),v_+^0(r;r_0)\bigr)$ 可看成是 (2.12), (2.14) 式满足初值条件 $(\bar\chi,\bar v)$ 的两个解, 这与初值问题解的唯一性矛盾.

情形 2 若 $z(r_*)=0$.

由于 $v$ 的 R-H 曲线与亚音速曲线图与图 4 类似, 在 $(r_*,\omega]$ 上有 $z(r)>0$, 易知 $z'(r_*)\ge0$. 由均值定理

$\begin{aligned}z'(r)&= F_1\!\left(r,\, v_+^0(r; r_0),\, \rho_+^0(r; r_0)\right)- F_1\!\left(r,\, v_+^0(r; \omega),\, \rho_+^0(r; \omega)\right) \\&= \partial_\rho F_1(r,\eta,\zeta)\, w(r)+ \partial_v F_1(r,\eta,\zeta)\, z(r),\end{aligned}$

其中 $\eta\in\bigl(v_+^0(r;\omega),v_+^0(r;r_0)\bigr),\; \zeta\in\bigl(\rho_+^0(r;\omega),\rho_+^0(r;r_0)\bigr).$ 将 (3.25) 式代入 (3.27) 式可得

$z'(r) = \frac{\partial_\rho F_1(r,\eta,\zeta)}{r v_+^0(r;r_0)}\chi(r) +\left[ \partial_\rho F_1(r,\eta,\zeta)\frac{\rho_+^0(r;\omega)}{-v_+^0(r;\omega)}+\partial_v F_1(r,\eta,\zeta)\right] z(r).$

因此

$ z'(r_*)=\frac{\partial_\rho F_1(r_*,\eta_*,\zeta_*)}{r_* v_+^0(r_*;r_0)}\,\chi(r_*). $

在 $[r_m,r_0]\times G_2$ 上, 由(3.19) 式知

$\begin{align*} \partial_ \rho F_1\bigl(r;v_+^0(r;\omega),\rho_+^0(r;\omega)\bigr)&=\frac{\gamma(\gamma - 1)\bigl(\rho^0_+(r;\omega)\bigr)^{\gamma - 2} [v_-^0(r;\omega)]^2\bigl(v^0_+(r;\omega) + r\bigr)} {r\bigl[ c^2\bigl(\rho^0_+(r;\omega)\bigr)-\bigl(v_+^0(r;\omega)\bigr)^2\bigr]^2}\\ &\ge \frac{\gamma(\gamma-1)\rho_0^{\gamma-2}C_0^2C_2}{4r_0\bigl(\frac{\gamma-1}{2\gamma}r_0^2+\rho_0\bigr)^{\frac{4}{\gamma-1}}}>0, \end{align*}$

此外 $v_+^0(r_*;r_0)<-C_0$, $\chi(r_*)>0$, 故 $z'(r_*)<0$, 矛盾.

综上, $v_+^0(r;\omega)<v_+^0(r;r_0)$, 即两条亚音速曲线 $v_+^0(r;\omega)$ 与 $v_+^0(r;r_0)$ 在 $[r_m,\omega]$ 上不相交.

第 4 步 证明 $v_+^0(r;\omega)$ 在 $[r_1,\omega]$ 上存在, 且$v_+^0(r;\omega)<-C_0$.

设激波压缩比 $I=\frac{\rho_s}{\rho_-}$, 由 R-H 条件 (2.10) 可得

$\begin{align*} v_-<\frac{v_-}{I}=v_s<0. \end{align*}$

由 (3.21) 式可知

$ \begin{matrix}\label{vya} -r_0+C_2 \le v^0_-(\omega)+C_2\le v^0_s(\omega)\le v^0_+(r;\omega)\le-C_0. \end{matrix}$

考虑 Bernoulli 函数 $B:=\frac{1}{2}v^2+\frac{\gamma}{\gamma-1}\rho^{\gamma-1}.$ 在 $[\omega,r_0]$ 上, 由 (2.14), (2.15) 式有

$\begin{aligned}B'(r)=v_-^0(r)\frac{\mathrm{d}v^0_-(r)}{\mathrm{d}r}+\gamma\bigl(\rho^0_-(r)\bigr)^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}\rho^0_-(r)}{\mathrm{d}r}=-v_-^0(r)>0.\end{aligned}$

即 $B(r)$ 在超音速区域 $(\omega,r_0]$ 上随 $r$ 单调递增. 同理可得在 $[r_m,\omega)$ 上 $B'(r)=-v_+^0(r;\omega)>0$, 因此, $B(r)$ 在 $[r_m, r_0]$ 上单调递增.

在激波 $\omega$ 处, 定义 $\Delta B=B_s-B_-$, 由 R-H 条件 (2.10), (2.11) 有

$\begin{align*} \Delta B=(\frac{1}{2}v_s^2+\frac{\gamma}{\gamma-1}\rho_s^{\gamma-1})-(\frac{1}{2}v_-^2+\frac{\gamma}{\gamma-1}\rho_-^{\gamma-1}) =\rho^{\gamma-1}J(I), \end{align*}$

其中

$J(I)=-\frac{(I^\gamma-1)(I+1)}{2I}+\frac{\gamma}{\gamma-1}\left( I^{\gamma-1}-1\right),$

对 $J(I)$ 求导,

$\begin{align*} J'(I)=\gamma I^{\gamma-2}-\frac{1}{2}[\gamma I^{\gamma-1}+(\gamma-1)I^{\gamma-2}+I^{-2}], \end{align*}$

令 $q(I)=2I^2J'(I)=-\gamma I^{\gamma+1}+(\gamma+1)I^\gamma-1,$ 则 $q'(I)=(\gamma+1)\gamma I^{\gamma-1}(1-I).$ 当 $I>1$ 时, $q'(I)<0$, 且 $q(1)=0$, 故当 $I>1$ 时, $q(I)<0$, 则 $J'(I)<0$. 又由于$J(1)=0$, 故当 $I>1$ 时, $J(I)<0$, 从而 $\Delta B<0.$

于是, 对任意 $r\in[r_m,\omega]$ 有

$\begin{align*} \frac{\gamma}{\gamma-1}\bigl(\rho^0_+(r;\omega)\bigr)^2\le B(r)\le B(r_0)=\frac{1}{2}\bigl(v^0_-(r_0)\bigr)^2+\frac{\gamma}{\gamma-1}\bigl(\rho^0_-(r_0)\bigr)^{\gamma-1}. \end{align*}$

由 (3.20) 式可知 $\rho_+^0(r;\omega)\ge\rho_s^0(\omega)$, 因此

$\begin{matrix}\label{rhoya} \rho_0+C_1\le\rho_s^0(\omega) \le\rho^0_+(r;\omega) \le\left( \frac{\gamma-1}{2\gamma}r_0^2+\rho_0^{\gamma-1}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}. \end{matrix}$

定义

$ G_2' := \Bigl\{ (v,\rho)\ \Big|\ v \in [-\,r_0 + C_2,\ -C_0],\ \rho \in \bigl[\rho_0 + C_1,\ \bigl(\tfrac{\gamma - 1}{2\gamma} r_0^{2} + \rho_0^{\gamma - 1}\bigr)^{\frac{1}{\gamma - 1}}\bigr],\ \, c^{2}(\rho) - v^{2} \ge C_3 \Bigr\}. $

由 (3.29), (3.31) 式可知, 在 $(r _m,\omega]$ 上始终有 $\bigl(v_+^0(r;\omega),\rho_+^0(r;\omega)\bigr)\in G_2'$, $G_2'\subset G_2$, 而 $(F_1,F_2)$ 在 $[r_1,\omega]\times G_2$ 上关于 $(v,\rho)$ 局部 Lipschitz 连续, 由常微分方程的存在唯一性定理与解的延拓定理, 可将$\bigl(v_+^0(r;\omega), \rho_+^0(r;\omega)\bigr)$ 的存在区间延拓至 $r_1$, 且在延拓过程中, 始终有 $\bigl(v_+^0(r;\omega),\rho_+^0(r;\omega)\bigr)\in G_2'$.

在引理 3.1, 引理 3.2 和引理 3.3 的基础上, 我们将分三步证明定理 2.1. 为展开后续估计, 先定义矩阵范数 $\|A\|_\infty = \max\limits_{1\le i\le n} \displaystyle\sum_{j=1}^m |a_{ij}|.$

证第 1 步 证明在激波 $r=\omega$ 处, $(v_s,\rho_s)$ 仍是 $(v_s^0,\rho_s^0)$ 的一个小扰动.

由引理 3.1 可知, 在超音速区域上 $ \bigl\|\bigl(v_-(r),\rho_-(r)\bigr)-\bigl(v_-^0(r),\rho_-^0(r)\bigr)\bigr\|_{L^\infty} \le C|\varepsilon|. $ 考虑函数方程组

$ \left\{ \begin{aligned} Q_1(v_-,\rho_-,v_s,\rho_s) &= \rho_s v_s - \rho_- v_-,\\ Q_2(v_-,\rho_-,v_s,\rho_s) &= \rho_s v_s^2 + \rho_s^\gamma - \rho_- v_-^2 - \rho_-^\gamma. \end{aligned} \right. $

令 $Q=(Q_1,Q_2)^T$, 在点 $(v_-^0,\rho_-^0,v_s^0,\rho_s^0)$ 处, 有 $Q(v_-^0,\rho_-^0,v_s^0,\rho_s^0)=0$. 当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 计算 $Q$ 关于 $(v_s,\rho_s)$ 的 Jacobian 行列式

$\begin{aligned}\det D_{(v_s,\rho_s)}Q &=\rho_sv_s^2+\gamma\rho_s^{\gamma}-2\rho_sv_s^2=\rho_s\bigl(c^2(\rho_s)-v_s^2\bigr)\\&\ge\frac{\gamma(\gamma+1)}{2}\frac{\rho_-^{2\gamma-2}(\rho_*-\rho_-)^2}{\rho_s^\gamma}\ge\frac{\rho_0^{2\gamma-1}\delta^2}{2^{2\gamma}(8\rho_0r_0^2+2^\gamma\rho_0^\gamma)^\frac{2\gamma-1}{\gamma}}>0,\end{aligned}$

矩阵 $D_{(v_s,\rho_s)}Q$ 可逆.

由隐函数定理可知, 在 $(v_-^0,\rho_-^0)$ 的某个邻域 $U=U(v_-^0,\rho_-^0,\delta_2)$ 内, 存在 $(v_s,\rho_s)=\Phi(v_-,\rho_-)$, 使得

$Q\bigl(v_-,\rho_-,\Phi(v_-,\rho_-)\bigr)\equiv0.$

对上式关于 $(v_-,\rho_-)$ 求导有

$ D_{(v_-,\rho_-)}\Phi = -\bigl(D_{(v_s,\rho_s)}Q\bigr)^{-1}D_{(v_-,\rho_-)}Q. $

因为

$\begin{array}{l}\left\|\left(D_{\left(v_{s}, \rho_{s}\right)} Q\right)^{-1}\right\|_{\infty}=\left\|\frac{1}{\operatorname{det}\left(D_{\left(v_{s}, \rho_{s}\right)} Q\right)}\left(\begin{array}{cc}v_{s}^{2}+c^{2}\left(\rho_{s}\right) & -v_{s} \\-2 \rho_{s} v_{s} & \rho_{s}\end{array}\right)\right\|_{\infty}\\=\frac{\max \left\{v_{s}^{2}+c^{2}\left(\rho_{s}\right)+\left|v_{s}\right|, 2 \rho_{s}\left|v_{s}\right|+\rho_{s}\right\}}{\rho_{s}\left(c^{2}\left(\rho_{s}\right)-v_{s}^{2}\right)},\\\left\|D_{\left(v_{-}, \rho_{-}\right)} Q\right\|_{\infty}=\max \left\{\rho_{-}+\left|v_{-}\right|, 2 \rho_{-}\left|v_{-}\right|+v_{-}^{2}+\gamma \rho_{-}^{\gamma-1}\right\}\end{array}$

由 (3.32) 式可知, $\rho_s\left(c^{2}(\rho_s) - v_s^{2}\right)$ 有非负下界和上界, 因此可得 $\left\|(D_{(v_s,\rho_s)}Q)^{-1}\right\|_\infty<\infty$, $\left\|D_{(v_-,\rho_-)}Q\right\|_\infty<\infty$. 记

$ L_2 := \sup\limits_{(v_-,\rho_-)\in U}\left\| D_{(v_-,\,\rho_-)} \Phi(v_-,\rho_-) \right\|_\infty, $

当 $|\varepsilon|$ 充分小时,

$ \bigl\|\,\Phi(v_-,\rho_-) - \Phi(v_-^0,\rho_-^0)\,\bigr\|_{L^\infty} \le L_2\bigl\|(v_-,\rho_-) - (v_-^0,\rho_-^0)\bigr\|_{L^\infty} \le C|\varepsilon|. $

其中 $C$ 是仅与 $\rho_0, r_0, r_1$ 有关的常数. 因此在激波处, $(v_s,\rho_s)$ 仍是 $(v_s^0,\rho_s^0)$ 的一个小扰动.

第 2 步 证明 $\bigl(v_+(r;\omega),\rho_+(r;\omega)\bigr)$ 在 $[r_1,\omega]$ 上是亚音速解, $v_+(r;\omega)$ 与 $\rho_+(r;\omega)$ 随 $r$ 单调递减.

定义集合

$ G_3 := \Bigl\{ (v,\rho)\ \Big|\ v \in (-2r_0,\,-\tfrac{1}{2}C_0),\ \rho \in \Bigl(\tfrac{1}{2}\rho_0,\ 2\Bigl(\tfrac{2\gamma - 2}{\gamma} r_0^{2} + \rho_0^{\gamma - 1}\Bigr)^{\!\scriptstyle \frac{1}{\gamma - 1}}\Bigr),\ \ c^{2}(\rho) - v^{2} > \tfrac{1}{2}C_3 \Bigr\}, $

易知 $\bigl(v_s,\rho_s\bigr)\in G_3$, 故 $G_3\ne\emptyset$. 在 $K_3:=[r_1,\omega]\times G_3$ 上考虑初值问题

$\left\{\begin{matrix}{l}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} r}=F_{1}(r, v, \rho), \\\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{~d} r}=F_{2}(r, v, \rho), \\V_{+}(\omega ; \omega)=V_{s}(\omega).\end{matrix}\right.$

与引理 3.3 的证明类似, $(F_1,F_2)$ 在 $K_3$ 上关于 $(v,\rho)$ 是 Lipschitz 是连续的. 由解的存在唯一性定理, (3.33) 式在 $\omega$ 的某邻域 $[\tilde{r},\omega]$ 内存在唯一解$\bigl(v_+(r;\omega),\rho_+(r;\omega)\bigr)$.

接下来讨论 $v_+(r;\omega),\,\rho_+(r;\omega)$ 关于 $r$ 的单调性. 类似于引理 3.3, 由 (3.18) 式知, 当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 在 $[\tilde{r},\omega]$ 上有

$ c^2\bigl(\rho_+(r;\omega)\bigr) -v_+^2(r;\omega)\ge C_3,\quad v_+(r;\omega)+r\ge C_2.$

于是

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \rho_{+}(r ; \omega)}{\mathrm{d} r} & =\frac{-\rho_{+}(r ; \omega) v_{+}(r ; \omega)\left(v_{+}(r ; \omega)+r\right)}{r\left[v_{+}^2(r ; \omega)-c^2\left(\rho_{+}(r ; \omega)\right)\right]}<0, \\ \frac{\mathrm{~d} v_{+}(r ; \omega)}{\mathrm{d} r} & =-1+\frac{c^2\left(\rho_{+}(r ; \omega)\right)\left(v_{+}(r ; \omega)+r\right)}{r\left[v_{+}^2(r ; \omega)-c^2\left(\rho_{+}(r ; \omega)\right)\right]}<-1.\end{aligned}$

同时

$\begin{matrix} -2 r_0 + C_2 &\le v_s(\omega) \le v_+(r;\omega) \le -\frac{1}{2} C_0, \label{ya1} \end{matrix}$
$\begin{matrix} \frac{1}{2} \rho_0 + C_1 &\le \rho_+(r;\omega) \le \Bigl[ \frac{2(\gamma-1)}{\gamma} r_0^2 + \rho_0^{\gamma-1} \Bigr]^{\frac{1}{\gamma-1}}. \label{ya2} \end{matrix}$

类似引理 3.1 的证明, 由 $F_1,F_2$ 在 $[\tilde{r},\omega]\times G_3$ 上 Lipschitz 连续, 可知存在正常数 $C=C(\rho_0,r_0,r_1)$, 使得

$ \bigl\| v_+(r;\omega)-v^0_+(r;\omega)\bigr\|_{L^\infty}<C|\varepsilon|.$

当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 有

$\begin{matrix}\label{ya3} v_+(r;\omega)\le v_+(r;\omega)+\bigl\| v_+(r;\omega)-v^0_+(r;\omega)\bigr\|_{L^\infty}\le -C_0+C|\varepsilon|\le-\frac{3}{4}C_0. \end{matrix}$

定义

$ G_3' \;:=\; \Bigl\{ (v,\rho)\ \Big|\ v\in[-2r_0+C_2,\,-\tfrac{3}{4}C_0],\ \rho\in\bigl[\rho_0+C_1,\ \bigl( \tfrac{\gamma-1}{2\gamma}r_0^2+\rho_0^{\gamma-1}\bigr)^{\frac{1}{\gamma-1}}\bigr],\ c^2(\rho)-v^2\ge C_3 \Bigr\}. $

在 $[\tilde{r},\omega]$ 上, 由 (3.34), (3.35) 式与 (3.36) 式可知, $\bigl(v_+(r;\omega),\rho_+(r;\omega)\bigr)\in G_3'$, 且 $G_3'\subset G_3$. 又由于 $(F_1,F_2)$ 在 $[r_1,\omega]\times G_3$ 上关于 $(v,\rho)$ 满足局部 Lipschitz 条件, 由常微分方程组的存在唯一性定理与解的延拓定理, 可将 $\bigl(v_+(r;\omega),\rho_+(r;\omega)\bigr)$ 的存在区间延拓至 $r_1$, 使得对任意 $r\in[r_1,\omega)$, 有 $\bigl(v_+(r;\omega),\rho_+(r;\omega)\bigr)\in G_3'$.

第 3 步 证明当 $|\varepsilon|$ 充分小时, 有$\frac{\mathrm{d}v_+(r_1;\omega)}{\mathrm{d}\omega}>0$.

对任意 $\omega_1,\omega_2\in[r_1,r_0]$, $\omega_1>\omega_2$, 我们仅需证明 $v_+(r;\omega_1)>v_+(r;\omega_2)$ 成立.

类似于引理 3.3 第 3 步, 我们容易得到在 $[r_1,r_0]$ 上, 经过 $\bigl(\omega_1,v_+(r;\omega_1)\bigr)$ 的亚音速曲线始终位于经过 $\bigl(\omega_2,v_+(r;\omega_2)\bigr)$ 的曲线上方, 即 $v_+(r;\omega_1)>v_+(r;\omega_2)$, 如图 5 所示. 由此可知 $v_+(r_1,\omega)$ 为激波位置 $\omega\in[r_1,r_0]$ 的严格递增连续函数.

图5

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图5   伪速度 $v$ 曲线图


取 $v_{\max}=v_+(r_1;r_0),\; v_{\min}= v_+(r_1;r_1)$. 对任意给定的 $v_*\in[v_{\min},v_{\max}]$, 由 $v_+(r_1;\omega)$ 关于 $\omega$ 的连续性与单调性可知, 存在唯一的 $\omega\in[r_1,r_0]$, 使得 $v_+(r_1;\omega)=v_*$. 由引理 3.1 可知, 初值问题 (3.31) 在 $[\omega,r_0]$ 上存在唯一超音速解 $V_-(r)$. 由引理 3.2, 利用 R-H 条件可唯一确定激波处的状态 $V_s(\omega)$, 且满足熵条件 $p_s>p_-$. 由第 2 步, 以 $V_s(\omega)$ 作为初值, 在$ [r_1,\omega]$ 上存在唯一亚音速解 $V_+(r;\omega)$. 因此, 方程 (2.14), (2.15) 在上述条件下存在唯一的跨音速激波解$\bigl(V(r),\omega\bigr)$, 在 $[r_1,r_0]$ 上满足

$|V(r)-V^0(r)|\le C|\varepsilon|.$

致谢

本文是 “非线性分析及应用教育部重点实验室 (华中师范大学)” 开发课题资助下取得的研究成果.

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