1 引言
标准高斯分布 $\Phi (x)$ $\varphi (x)$
高斯分布被广泛应用于各种模型中, 例如时间序列模型、平稳自回归 (AR) 模型、随机波动模型、分位数回归模型等 (参见文献 [1 3]). 此外, 高斯分布凭借其对不确定性与相关性结构的解析能力, 被广泛应用于实时尺度建模及岩土数据分析 (参见文献 [4 ,5 ]). 在优化算法领域, 文献 [6 ] 提出了融合模拟退火 (Simulated Annealing, SA) 机制的高斯分布混合优化框架, 即二进制模拟高斯分布优化器 (BSNDO), 其通过 SA 的局部扰动增强全局分类精度. 文献 [7 ] 建立了一种观测驱动的位置模型, 其中误差变量采用混合高斯分布, 以更灵活地逼近连续误差分布, 并提高时间序列预测的稳健性和准确性.
设 $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $\ E(X_{n})=0$ $\ E(X_{n}^{2})=1$ . 令 $M_{n}$ $m_{n}$ $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $M_{n}=\max_{1\le i\le n}X_{i}, m_{n}=\min_{1\le i\le n}X_{i}$ . 在近期文献中, 众多研究者聚焦于规范化 $M_{n}$ 8 ] 发现
其中规范化常数 $a_{n}$ $b_{n}$
(1.1) $\left\{\begin{array}{l}a_{n}=\sqrt{\frac{1}{2 \log n}} ; \\b_{n}=\sqrt{2 \log n}-\frac{\log \log n+\log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}}.\end{array}\right.$
文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系.
本文探究高斯分布的极差特性, 重点研究样本极差中值 $\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $ M_{n}-m_{n} $ 24 ] 提出. 文献 [25 ] 建立了帕累托型分布样本极差的强大数定律. 文献 [26 ] 给出了不同规范化常数下广义误差样本极差的高阶渐近分布展开式.
本文的组织结构如下: 第 2 节给出了主要研究结果; 第 3 节中的数值分析比较了在相同规范化常数下各渐近行为的差异表现; 第 4 节提供了若干辅助性引理; 所有定理证明集中置于第 5 节.
2. 主要结果
在本节中, 我们给出关于高斯分布的样本极差中值 $\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $M_{n}-m_{n}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $a_{n}$ $b_{n}$
(2.1) $\begin{matrix}\label{eq3} K_{n}(x) &= \mathrm{P}\left (\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) \le \frac{1}{2} a_{n}x \right ) - \frac{1}{1+e^{-x} }, \end{matrix}$
(2.2) $\begin{matrix}\label{eq2} H_{n}(x) &= \mathrm{P}\left ( M_{n}-m_{n}\le 2b_{n}+a_{n}x \right ) - \int_{-\infty }^{+\infty }\Lambda (x+y)\Lambda (-y)e^{y}{\rm d}y. \end{matrix}$
定理 2.1 设 $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $\ E(X_{n})=0$ $\ E(X_{n}^{2})=1$ . 令 $M_{n}$ $m_{n}$ $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $\frac{1}{2}\left(M_{n}+m_{n}\right)$
(2.3) $\begin{matrix} &\lim_{n \to \infty}\mathrm{loglog}n \left[\frac{\mathrm{log}n}{(\mathrm{loglog}n)^{2} }K_{n}(x)-\frac{1}{16}\int_{-\infty }^{+\infty }\Lambda (x-y)\Lambda (-y)e^{y}(e^{-x+y}+e^{y} -1 ){\rm d}y \right] \nonumber \\ =& -\frac{1}{4}\int_{-\infty }^{+\infty }\Lambda (x-y)\Lambda (-y)e^{y}\Big[\left(1+x-y-\mathrm{log}(2\sqrt{\pi })\right )e^{-x+y}\nonumber\\ &+\left(1-y-\mathrm{log}(2\sqrt{\pi }) \right)e^{y}+y+\mathrm{log}(2\sqrt{\pi }) \Big]{\rm d}y, \end{matrix}$
其中, $K_{n}(x)$
定理 2.2 设 $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $\ E(X_{n})=0$ $\ E(X_{n}^{2})=1$ . 令 $M_{n}$ $m_{n}$ $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $M_{n}-m_{n}$
其中, $H_{n}(x)$
注 2.1 (i) 规范化样本极差中值 $\frac{1}{2}\left(M_{n}+m_{n}\right)$ $1/(1+e^{-x})$ . 然而值得注意的是, (2.2) 式表明规范化样本极差 $M_{n}-m_{n}$
(ii) 定理 2.1 和定理 2.2 表明, 样本极差中值 $\frac{1}{2}\left(M_{n}+m_{n}\right)$ $M_{n}-m_{n}$
3 数值分析
本节基于数值分析, 验证在相同规范化常数下, 样本极差中值 $\frac{1}{2}\left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $M_{n}-m_{n}$ $L_{i}(x)$ $i=1, 2, 3$ $\mathrm{P}\left(\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) \le \frac{1}{2} a_{n}x \right)$
类似地, 令 $U_{i}(x)$ $i=1, 2, 3$ $\mathrm{P}\left ( M_{n}-m_{n}\le 2b_{n}+a_{n}x \right )$
需注意, 二阶与三阶渐近分布展开式的结果都依赖于样本量 $n$ . 为比较不同样本量下真实分布值与其一阶、二阶、三阶渐近分布展开式的逼近精度, 设绝对误差为
理论上, 样本量 $n$ $n = 1000$ $n = 10000$ 表 1 与表 2 分别记录了具有相同规范化常数 $a_{n}$ $b_{n}$ $\frac{1}{2}\left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $M_{n}-m_{n}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $n$ $\frac{1}{2}\left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $n=10000$ $\frac{(\mathrm{loglog}n)^{2} }{16\mathrm{log}n} \int_{-\infty }^{+\infty } \Lambda (x-y)\Lambda (-y)e^{y}(e^{-x+y}+e^{y}-1){\rm d}y$
当样本量 $n=1000$ 图 1 (a) 显示规范化样本极差中值 $\frac{1}{2}\left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $x\in[-10,10]$ $L_{i}(x)$ $i=1, 2, 3$ 图 1 (b) 则展示其在 $x\in[5,18]$ 图 2 以相同方式呈现规范化样本极差 $M_{n}-m_{n}$
图1
图1
规范化样本极差中值的真实值及其渐近近似结果 (样本量 $n=10^{3}$): (a) 中 $x\in [-10,10]$, (b) 中 $x\in [5,18]$. 绿色表示真实值, 蓝色、红色、橙色分别表示为一阶、二阶、三阶渐近近似值.
图2
图2
规范化样本极差的真实值及其渐近近似结果 (样本量 $n=10^{3}$ ): (a) 中 $x\in [-10,10]$, (b) 中 $x\in [5,18]$. 绿色表示真实值, 蓝色、红色、橙色分别表示为一阶、二阶、三阶渐近近似值.
根据图 1 与图 2 可得以下结论: (i) 各阶渐近分布展开式的左尾均趋近于 $0$ $1$ $x\in \left ( -3,2 \right )$
4 辅助引理
为了证明主要结果, 需要引入若干辅助引理. 为简洁起见, 设
其中, 规范化常数 $a_{n}$ $b_{n}$
引理 4.1 设 $\Phi (x)$ $\varphi(x)$ $x,y\in R$ $n$
(4.1) $\begin{matrix} \Big[\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)-\Phi\big(v_{n}(y)\big)\Big]^{n-1} \nonumber =&\Lambda(x+y)\Lambda(-y)\bigg\{1+\Big[-\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{4log}n}\left(1+x+y-\mathrm{log}(2\sqrt{\pi})\right)\nonumber \\ &+\frac{(\mathrm{loglog}n)^{2}}{\mathrm{16log}n}\Big]e^{-x-y}+\Big[-\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{4log}n}\bigl(1-y-\mathrm{log}{(2\sqrt{\pi})}\bigr)\nonumber \\ &+\frac{(\mathrm{loglog}n)^{2}}{\mathrm{16log}n}\Big]e^{y}\biggr\}+o\left(\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{log}n}\right). \end{matrix}$
证 记 $z_{n}=\frac{1}{2}\mathrm{loglog}n+\mathrm{log}(2\sqrt{\pi })$ $a_{n}$ $b_{n}$
(4.2) $\begin{matrix}\label{eq4} u_{n}^{2}(x+y)& =\Big[b_{n}+a_{n}(x+y)\Big]^{2}=b_{n}^{2}+a_{n}^{2}(x+y)^{2}+2a_{n}b_{n}(x+y)\nonumber \\ &=2\mathrm{log}n+\frac{{z_{n}}^{2}}{2\mathrm{log}n}+\frac{(x+y)^{2}}{2\mathrm{log}n}-\frac{2z_{n}\left(x+y\right)}{2\mathrm{log}n}+2(x+y-z_{n}) \nonumber\\ &=2\mathrm{log}n+\frac{(x+y-z_{n})^{2}}{2\mathrm{log}n}+2(x+y-z_{n})\end{matrix}$
(4.3) $\begin{matrix}\varphi\big(u_{n}(x+y)\big)& =n^{-1}\sqrt{2\mathrm{log}n}e^{-x-y}\mathrm{exp}\Big(-\frac{(x+y-z_{n})^{2}}{4\mathrm{log}n}\Big) \nonumber \\ &=n^{-1}\sqrt{2\mathrm{log}n}e^{-x-y}\Big[1-\frac{(x+y-z_{n})^{2}}{4\mathrm{log}n}+o(\frac{1}{\mathrm{log}n})\Big] \nonumber\\ &=n^{-1}\sqrt{2\mathrm{log}n}e^{-x-y}\Biggr[1-\frac{(\mathrm{loglog}n)^{2}}{16\mathrm{log}n}\nonumber \\ &~~~-\frac{\left(\mathrm{log}(2\sqrt{\pi})-x-y\right)\mathrm{loglog}n}{4\mathrm{log}n}+o\left(\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{log}n}\right)\Biggr]. \end{matrix}$
由文献 [12 ] 可知, 当 $x$
则上式联立 (4.2) 式与 (4.3) 式, 当 $n$
(4.4) $\begin{aligned}1-\Phi\left(u_{n}(x+y)\right)= & n^{-1}\left[1+\frac{\log \log n}{4 \log n}(1+x+y-\log (2 \sqrt{\pi}))-\frac{(\log \log n)^{2}}{16 \log n}\right] e^{-x-y} \\& +o\left(\frac{\log \log n}{n \log n}\right)\end{aligned}$
此外, 根据 (4.4) 式及 Taylor 展开式, 可得
(4.5) $\begin{matrix}\label{eq7} \ &(n-1)\mathrm{log} \Phi \big(u_n(x+y)\big)+e^{-x-y} \nonumber\\ \ =&(n-1)\mathrm{log}\biggr[1-\Big(1-\Phi\big(u_n(x+y)\big)\Big)\biggr]+e^{-x-y} \nonumber\\ \ =&-(n-1)\biggr[\Big(1-\Phi\big(u_n(x+y)\big)\Big)+\frac12\Big(1-\Phi\big(u_n(x+y)\big)\Big)^2 \Big(1+o(1)\Big)\biggr]+e^{-x-y} \nonumber\\ \ =&\left[-\frac{\mathrm{loglog}n}{4\mathrm{log}n}\left(1+x+y-\mathrm{log}(2\sqrt{\pi})\right)+\frac{(\mathrm{loglog}n)^2}{1\text{6log}n}\right]e^{-x-y} \ +o\left(\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{log}n}\right), \end{matrix}$
然后, 根据标准高斯分布的累积分布函数 $\Phi (x)$
(4.6) $\begin{aligned}& (n-1) \log \left[1-\frac{\Phi\left(v_{n}(y)\right)}{\Phi\left(u_{n}(x+y)\right)}\right]+e^{y} \\= & -(n-1) \frac{1-\Phi\left(u_{n}(-y)\right)}{\Phi\left(u_{n}(x+y)\right)}-\frac{1}{2}(n-1)\left(\frac{1-\Phi\left(u_{n}(-y)\right)}{\Phi\left(u_{n}(x+y)\right)}\right)^{2}(1+o(1))+e^{y} \\= & {\left[-\frac{\log \log n}{4 \log n}(1-y-\log (2 \sqrt{\pi}))+\frac{(\log \log n)^{2}}{16 \log n}\right] e^{y}+o\left(\frac{\log \log n}{\log n}\right). }\end{aligned}$
(4.7) $\begin{matrix} \label{eq9} \ &\Big[\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)-\Phi\big(v_{n}(y)\big)\Big]^{n-1}-\Lambda(x+y)\Lambda(-y)\nonumber \\ \ =&\biggr\{\Phi^{n-1}\big(u_{n}(x+y)\big)\Big(1-\frac{\Phi\big(v_{n}(y)\big)}{\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)}\Big)^{n-1}\exp\big(e^{-x-y}+e^{y}\big)-1\biggr\}\Lambda(x+y)\Lambda(-y) \nonumber\\ \ =&\biggr\{\exp\Big[(n-1)\mathrm{log}\Phi\Big(u_{n}(x+y)\Big)+e^{-x-y}+(n-1)\mathrm{log}\Big(1 \nonumber\\ \ &-\frac{\Phi\big(v_{n}(y)\big)}{\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)}\Big)+e^{y}\Big]-1\biggr\}\Lambda(x+y)\Lambda(-y) \nonumber\\ \ =&\biggr\{\Big[(n-1)\mathrm{log}\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)+e^{-x-y}+(n-1)\log\Big(1 \nonumber\\ \ &-\frac{\Phi\big(v_{n}(y)\big)}{\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)}\Big)+e^{y}\Big]+\frac{1}{2}\Big[(n-1)\mathrm{log}\Phi\bigl(u_{n}(x+y)\bigr)+e^{-x-y} \nonumber\\ \ +&(n-1)\log\Big(1-\frac{\Phi\big(v_{n}(y)\big)}{\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)}\Big)+e^{y}\Big]^{2}\Big(1+o(1)\Big)\biggr\}\Lambda(x+y)\Lambda(-y), \end{matrix}$
再联立 (4.5)-(4.7) 式, 引理 4.1 即证.
引理 4.2 令 $\varphi(x)$ $y\in R$ $n$ $a_{n}$ $b_{n}$
(4.8) $\begin{matrix} na_n\varphi\big(v_n(y)\big)&=e^{y}\left[1-\frac{\mathrm{loglog} n}{4\mathrm{log}n}\left(y+\mathrm{log}(2\sqrt{\pi})\right)-\frac{(\mathrm{loglog} n)^2}{16\mathrm{log} n}\right] +o\left(\frac{\mathrm{loglog} n}{\mathrm{log}n}\right). \end{matrix}$
证 对于充分大的 $n$ $a_{n}$ $b_{n}$
由 (4.3) 式可知, 此即证得引理 4.2 成立.
5 主要定理的证明
定理 2.1 的证明 令 $f(x,y) =\frac{\partial^{2}\mathrm{P}\big(M_{n}\leq u_{n}(x),m_{n}\leq v_{n}(y)\big)}{\partial x\partial y}$ $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$
(5.1) $\begin{matrix}\label{eq10} f(x,y)& =\frac{\partial^{2}\mathrm{P}\big(M_{n}\leq u_{n}(x),m_{n}\leq v_{n}(y)\big)}{\partial x\partial y}\nonumber \\ &=\frac{\partial^{2}\Big[\big[\mathrm{P}\big(X_{1}\leq u_{n}(x)\big)\big]^{n}-\big[\mathrm{P}\big(v_{n}(y)<X_{1}\leq u_{n}(x)\big)\big]^{n}\Big]} {\partial x\partial y} \nonumber \\ &=\frac{\partial\Big[na_{n}\big[\mathrm{P}\big(v_{n}(y)<X_{1}\leq u_{n}(x)\big)\big]^{n-1}\varphi\big(v_{n}(y)\big)\Big]}{\partial x} \nonumber\\ &=n(n-1)a_{n}^{2}\varphi\big(u_{n}(x)\big)\varphi\big(v_{n}(y)\big)\Big[\mathrm{P}\big(v_{n}(y)<X_{1}\leq u_{n}(x)\big)\Big]^{n-2}. \end{matrix}$
进一步, 令 $g\left ( x,y \right )=\frac{\partial^{2}\mathrm{P}\left(\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) \le \frac{1}{2} a_{n}x,m_{n}\leq v_{n}(y)\right )}{\partial x\partial y}$ $g(x,y)=f(x-y,y)\mid J\mid=f(x-y,y)$ $\left | J \right | $ $1$ . 因此, 由 (5.1) 式而得
(5.2) $\begin{matrix} &\mathrm{P}\left (\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) \le \frac{1}{2} a_{n}x \right )\nonumber \\ =&\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{+\infty}g(s,y){\rm d}y{\rm d}s\nonumber \\ =&na_{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\Big[P(v_{n}(y)<X_{1}\leq u_{n}(x-y)\Big]^{n-1}\varphi\bigl(v_{n}(y)\bigr){\rm d}y\nonumber \\ =&na_{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\Big[\int_{v_{n}(y)}^{u_{n}(x-y)}\varphi(s)ds\Big]^{n-1}\varphi\big(v_{n}(y)\big){\rm d}y\nonumber \\ =&na_{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\Big[\Phi\big(u_{n}(x-y)\big)-\Phi\big(v_{n}(y)\big)\Big]^{n-1}\varphi\big(v_{n}(y)\big){\rm d}y, \end{matrix}$
(5.3) $\begin{matrix} \Big[\Phi\big(u_{n}(x-y)\big)-\Phi\big(v_{n}(y)\big)\Big]^{n-1} \nonumber =&\Lambda(x-y)\Lambda(-y)\bigg\{1+\Big[-\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{4log}n}\left(1+x-y-\mathrm{log}(2\sqrt{\pi})\right)\nonumber \\ &+\frac{(\mathrm{loglog}n)^{2}}{\mathrm{16log}n}\Big]e^{-x+y}+\Big[-\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{4log}n}\bigl(1-y-\mathrm{log}{(2\sqrt{\pi})}\bigr)\nonumber \\ &+\frac{(\mathrm{loglog}n)^{2}}{16\mathrm{log}n}\Big]e^{y}\biggr\}+o\left(\frac{\mathrm{loglog}n}{\mathrm{log}n}\right). \end{matrix}$
(5.4) $\begin{matrix} \lim_{n\to\infty}\mathrm{P}\left (\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) \le \frac{1}{2} a_{n}x \right )=\frac{1}{1+e^{-x} }. \end{matrix}$
在规范化常数 $a_{n}$ $b_{n}$
(5.5) $\begin{matrix} &\lim_{n\to\infty}\frac{\mathrm{log}n}{(\mathrm{loglog}n)^{2}}\left[\mathrm{P}\big(\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) \le \frac{1}{2} a_{n}x \big ) -\frac{1}{1+e^{-x} }\right] \nonumber \\ =&\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda(x-y)\Lambda(-y)e^{y}(\frac{1}{16}e^{-x+y}+\frac{1}{16}e^{y}-\frac{1}{16}){\rm d}y\nonumber \\ =&\frac{1}{16}\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda(x-y)\Lambda(-y)e^{y}\left(e^{-x+y}+e^{y}-1\right){\rm d}y, \end{matrix}$
同样地, 对于规范化常数 $a_{n}$ $b_{n}$
(5.6) $\begin{matrix} &\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\mathrm{loglog}n\left [\frac{\mathrm{log}n}{(\mathrm{loglog}n)^{2}}K_{n}(x) -\frac{1}{16}\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda(x-y)\Lambda(-y)e^{y}(1+e^{-x+y}+e^{y}){\rm d}y\right] \nonumber\\ =&-\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda(x-y)\Lambda(-y)e^{y}\Big[\left(1+x-y-\mathrm{log}{(2\sqrt{\pi})}\right)e^{-x+y}\nonumber \\ +&\left(1-y-\mathrm{log}(2\sqrt{\pi})\right)e^{y}+y+\mathrm{log}(2\sqrt{\pi})\Big]{\rm d}y, \end{matrix}$
其中 $K_n(x)$
定理 2.2 的证明 遵循定理 2.1 的证明过程. 令 $h\left ( x,y \right ) =\frac{\partial^{2}\mathrm{P}\big(M_{n}-m_{n}\leq2b_{n}+a_{n}x,m_{n}\leq v_{n}(y)\big)}{\partial x\partial y}$ $h(x,y)=f(x+y,y)\mid J\mid=f(x+y,y)$ $\left | J \right | $ $1$ . 因此, 由 (5.1) 式而得
(5.7) $\begin{matrix} &\mathrm{P}(M_{n}-m_{n}\leq2b_{n}+a_{n}x)\nonumber \\ =&\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{+\infty}h(s,y){\rm d}y{\rm d}s\nonumber \\ =&na_{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\Big[P\big(v_{n}(y)<X_{1}\leq u_{n}(x+y)\big)\Big]^{n-1}\varphi\bigl(v_{n}(y)\bigr){\rm d}y\nonumber \\ =&na_{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\Big[\int_{v_{n}(y)}^{u_{n}(x+y)}\varphi(s)ds\Big]^{n-1}\varphi\big(v_{n}(y)\big){\rm d}y\nonumber \\ =&na_{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\Big[\Phi\big(u_{n}(x+y)\big)-\Phi\big(v_{n}(y)\big)\Big]^{n-1}\varphi\big(v_{n}(y)\big){\rm d}y. \end{matrix}$
由控制收敛定理、引理 4.1 以及引理 4.2 可得
(5.8) $\begin{matrix} \lim\limits_{n\to\infty}\text{P}\left(M_n-m_n\leq2b_n+a_nx\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda(x+y)\Lambda(-y)e^{y} {\rm d}y, \end{matrix}$
在规范化常数 $a_{n}$ $b_{n}$
(5.9) $\begin{matrix} &\lim_{n\to\infty}\frac{\mathrm{log}n}{(\mathrm{loglog}n)^{2}}\left[\mathrm{P}(M_{n}-m_{n}\leq2b_{n}+a_{n}x) -\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda\left(x+y\right)\Lambda(-y)e^{y}{\rm d}y\right] \nonumber \\ =&\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda(x+y)\Lambda(-y)e^{y}(\frac{1}{16}e^{-x-y}+\frac{1}{16}e^{y}-\frac{1}{16}){\rm d}y\nonumber \\ =&\frac{1}{16}\int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda(x+y)\Lambda(-y)e^{y}\left(e^{-x-y}+e^{y}-1\right){\rm d}y, \end{matrix}$
同样地, 对于规范化常数 $a_{n}$ $b_{n}$
其中 $H_n(x)$
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DOI:10.1239/jap/1285335402
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Pu J Li T Higher-order expansions for distributions of extremes from general error distribution
Journal of Inequalities and Applications , 2014 , 2014 1 ): 1 -8
DOI:10.1186/1029-242X-2014-1
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Hou J Liao X Peng Z Higher-order expansions of extremes from mixed skew-$t$
Communications in Statistics-Theory and Methods , 2017 , 46 20 ): 9949 -9971
DOI:10.1080/03610926.2016.1228972
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Peter C Andrew L Asymptotic distribution of the normal sample range
Annals of Applied Probability , 1993 , 3 2 ): Art 454
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Rêgo L Cintra R Cordeiro G On some properties of the beta normal distribution
Communications in Statistics-Theory and Methods , 2012 , 41 20 ): 3722 -3738
DOI:10.1080/03610926.2011.568156
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de Haan L Peng L Rates of convergence for bivariate extremes
Journal of Multivariate Analysis , 1997 , 61 2 ): 195 -230
DOI:10.1006/jmva.1997.1669
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鲁盈吟 , 彭作祥 . H-R 模型极端顺序统计量密度函数的收敛性
西南大学学报 (自然科学版) , 2016 , 9 123 -129
[本文引用: 2]
Lu Y Y Peng Z X Asymptotics of density of extreme order statistics on H-R model
Journal of Southwest University (Natural Science Edition) , 2016 , 9 123 -129
[本文引用: 2]
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Liao X Xiong Q Weng Z Joint distributional expansions of maxima and minima from skew-normal samples
Communications in Statistics-Theory and Methods , 2019 , 49 24 ): 5930 -5947
DOI:10.1080/03610926.2019.1623256
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Huang J Wang J On asymptotic of extremes from generalized maxwell distribution (Article)
Bulletin of the Korean Mathematical Society , 2018 , 55 3 ): 679 -698
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Hashorva E. Minima and maxima of elliptical arrays and spherical processes . Bernoulli , 2013 , 19 3 ): 886 -904
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Pickands J Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process
Transactions of the American Mathematical Society , 1969 , 145 75 -86
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谭中权 . 离散与连续时间强相依高斯过程最大值与和的渐近关系
应用数学学报 , 2015 , 38 1 ): 27 -36
[本文引用: 1]
Tan Z Q The Asymptotic relation between the maxima and sums of discrete and continuous time strongly dependent Gaussian processes
Acta Mathematicae Applicatae Sinica , 2015 , 38 1 ): 27 -36
DOI:10.12387/C2015004
[本文引用: 1]
In this paper, the asymptotic relation between the maximum and the sum of a continuous strongly dependent stationary Gaussian process, and the maximum and the sum of this process sampled at discrete time points is studied. It is shown that these two extreme values and sums are asymptotically totally dependent no matter what the grid of the discrete time points is.
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Matula P Adler A A note on exact laws of large numbers for the range of a sample from Pareto-type distributions
Statistics and Probability Letters, 2022 , 182
[本文引用: 1]
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Lu Y Liao X Guo J Higher-order expansions of sample range from general error distribution
Communications in Statistics-Theory and Methods , 2024 , 12 53 ): 4498 -4514
[本文引用: 1]
Option pricing and executive stock option incentives: An empirical investigation under general error distribution stochastic volatility model
1
2011
... 高斯分布被广泛应用于各种模型中, 例如时间序列模型、平稳自回归 (AR) 模型、随机波动模型、分位数回归模型等 (参见文献 [1 3 ]). 此外, 高斯分布凭借其对不确定性与相关性结构的解析能力, 被广泛应用于实时尺度建模及岩土数据分析 (参见文献 [4 ,5 ]). 在优化算法领域, 文献 [6 ] 提出了融合模拟退火 (Simulated Annealing, SA) 机制的高斯分布混合优化框架, 即二进制模拟高斯分布优化器 (BSNDO), 其通过 SA 的局部扰动增强全局分类精度. 文献 [7 ] 建立了一种观测驱动的位置模型, 其中误差变量采用混合高斯分布, 以更灵活地逼近连续误差分布, 并提高时间序列预测的稳健性和准确性. ...
Finite-sample properties of forecasts from the stationary first-order autoregressive model under a general error distribution
0
2007
On studying extreme values and systematic risks with nonlinear time series models and tail dependence measures. Statistical Theory
1
2021
... 高斯分布被广泛应用于各种模型中, 例如时间序列模型、平稳自回归 (AR) 模型、随机波动模型、分位数回归模型等 (参见文献 [1 3 ]). 此外, 高斯分布凭借其对不确定性与相关性结构的解析能力, 被广泛应用于实时尺度建模及岩土数据分析 (参见文献 [4 ,5 ]). 在优化算法领域, 文献 [6 ] 提出了融合模拟退火 (Simulated Annealing, SA) 机制的高斯分布混合优化框架, 即二进制模拟高斯分布优化器 (BSNDO), 其通过 SA 的局部扰动增强全局分类精度. 文献 [7 ] 建立了一种观测驱动的位置模型, 其中误差变量采用混合高斯分布, 以更灵活地逼近连续误差分布, 并提高时间序列预测的稳健性和准确性. ...
A normal distribution on time scales with application
1
2022
... 高斯分布被广泛应用于各种模型中, 例如时间序列模型、平稳自回归 (AR) 模型、随机波动模型、分位数回归模型等 (参见文献 [1 3 ]). 此外, 高斯分布凭借其对不确定性与相关性结构的解析能力, 被广泛应用于实时尺度建模及岩土数据分析 (参见文献 [4 ,5 ]). 在优化算法领域, 文献 [6 ] 提出了融合模拟退火 (Simulated Annealing, SA) 机制的高斯分布混合优化框架, 即二进制模拟高斯分布优化器 (BSNDO), 其通过 SA 的局部扰动增强全局分类精度. 文献 [7 ] 建立了一种观测驱动的位置模型, 其中误差变量采用混合高斯分布, 以更灵活地逼近连续误差分布, 并提高时间序列预测的稳健性和准确性. ...
Effect of normal transformation methods on performance of multivariate normal distribution
1
2022
... 高斯分布被广泛应用于各种模型中, 例如时间序列模型、平稳自回归 (AR) 模型、随机波动模型、分位数回归模型等 (参见文献 [1 3 ]). 此外, 高斯分布凭借其对不确定性与相关性结构的解析能力, 被广泛应用于实时尺度建模及岩土数据分析 (参见文献 [4 ,5 ]). 在优化算法领域, 文献 [6 ] 提出了融合模拟退火 (Simulated Annealing, SA) 机制的高斯分布混合优化框架, 即二进制模拟高斯分布优化器 (BSNDO), 其通过 SA 的局部扰动增强全局分类精度. 文献 [7 ] 建立了一种观测驱动的位置模型, 其中误差变量采用混合高斯分布, 以更灵活地逼近连续误差分布, 并提高时间序列预测的稳健性和准确性. ...
Binary simulated normal distribution optimizer for feature selection: theory and application in COVID-19 datasets
1
2022
... 高斯分布被广泛应用于各种模型中, 例如时间序列模型、平稳自回归 (AR) 模型、随机波动模型、分位数回归模型等 (参见文献 [1 3 ]). 此外, 高斯分布凭借其对不确定性与相关性结构的解析能力, 被广泛应用于实时尺度建模及岩土数据分析 (参见文献 [4 ,5 ]). 在优化算法领域, 文献 [6 ] 提出了融合模拟退火 (Simulated Annealing, SA) 机制的高斯分布混合优化框架, 即二进制模拟高斯分布优化器 (BSNDO), 其通过 SA 的局部扰动增强全局分类精度. 文献 [7 ] 建立了一种观测驱动的位置模型, 其中误差变量采用混合高斯分布, 以更灵活地逼近连续误差分布, 并提高时间序列预测的稳健性和准确性. ...
Maximum likelihood estimation for non-stationary location models with mixture of normal distributions
1
2024
... 高斯分布被广泛应用于各种模型中, 例如时间序列模型、平稳自回归 (AR) 模型、随机波动模型、分位数回归模型等 (参见文献 [1 3 ]). 此外, 高斯分布凭借其对不确定性与相关性结构的解析能力, 被广泛应用于实时尺度建模及岩土数据分析 (参见文献 [4 ,5 ]). 在优化算法领域, 文献 [6 ] 提出了融合模拟退火 (Simulated Annealing, SA) 机制的高斯分布混合优化框架, 即二进制模拟高斯分布优化器 (BSNDO), 其通过 SA 的局部扰动增强全局分类精度. 文献 [7 ] 建立了一种观测驱动的位置模型, 其中误差变量采用混合高斯分布, 以更灵活地逼近连续误差分布, 并提高时间序列预测的稳健性和准确性. ...
Extremes and Related Properties of Stationary Sequences and Processes
1
1983
... 设 $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $\ E(X_{n})=0$ $\ E(X_{n}^{2})=1$ . 令 $M_{n}$ $m_{n}$ $\left \{ X_{n}, n\ge1 \right \}$ $M_{n}=\max_{1\le i\le n}X_{i}, m_{n}=\min_{1\le i\le n}X_{i}$ . 在近期文献中, 众多研究者聚焦于规范化 $M_{n}$ 8 ] 发现 ...
部分和乘积的几乎处处中心极限定理
1
2009
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Almost sure central limit theorem for the product of partial sums
1
2009
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Asymptotic maxima of folded distributions with application to the multivariate extreme theory
1
2024
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Convergence rate of extremes for the general error distribution
1
2010
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Higher-order expansions for distributions of extremes from general error distribution
2
2014
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
... 由文献 [12 ] 可知, 当 $x$
Higher-order expansions of extremes from mixed skew-$t$ distribution
1
2017
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Asymptotic distribution of the normal sample range
1
1993
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
On some properties of the beta normal distribution
1
2012
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Rates of convergence for bivariate extremes
0
1997
H-R 模型极端顺序统计量密度函数的收敛性
2
2016
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
... ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Asymptotics of density of extreme order statistics on H-R model
2
2016
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
... ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Joint distributional expansions of maxima and minima from skew-normal samples
1
2019
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Higher-order expansions of powered extremes of normal samples
1
2016
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
On asymptotic of extremes from generalized maxwell distribution (Article)
1
2018
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
1
2013
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process
1
1969
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
离散与连续时间强相依高斯过程最大值与和的渐近关系
1
2015
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
The Asymptotic relation between the maxima and sums of discrete and continuous time strongly dependent Gaussian processes
1
2015
... 文献 [9 ] 证明了在一定条件下, 独立同分布随机变量部分和乘积的某种标准化形式满足几乎处处中心极限定理. 文献 [10 ] 建立了连续随机变量的极值理论与其折叠变换间的关系, 并基于逻辑范数统一推广了多元极端值渐近性质的多项结论. 文献 [11 ] 严格推导了广义误差分布最大值向极值分布收敛的一致速率. 文献 [12 ] 在最优规范化常数下, 给出了广义误差分布规范化最大值的高阶渐近分布展开式及其收敛至 Gumbel 分布的收敛速率. 在极值建模方面, 混合分布的逼近能力得到进一步验证, 文献 [13 ] 分析了混合偏 t 分布极值的渐近性质. 针对多元高维情形, 文献 [14 ] 系统推演了球对称多元高斯随机样本中最大欧几里得距离的渐近分布, 并证明了超过高阈值的距离数量服从泊松分布的极限分布; 文献 [15 ] 则研究了 Beta 高斯分布 (高斯分布与顺序统计量的推广形式) 的数学性质及应用. 在极限收敛性研究中: 文献 [17 ] 基于二阶正则变差条件, 量化了二元极端顺序统计量分布依全变差与一致度量收敛至极限分布的速度; 文献 [17 ] 在 Hüsler-Reiss 条件下证明了二维高斯三角阵最大值向量密度的收敛性, 并进一步建立了该密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [18 ] 给出偏高斯分布的规范化最大值与最小值联合分布及其密度的高阶渐近分布展开式, 由此导出联合收敛速率. 高阶渐近分析方法亦被拓展至非高斯分布: 文献 [19 ] 揭示了规范化极值分布收敛速率对幂指数的本质依赖性; 文献 [20 ] 推导了广义 Maxwell 分布规范化最大值的分布与密度的高阶渐近分布展开式; 文献 [21 ] 研究了椭圆三角形阵列的最大值和最小值的渐近性. 高斯过程的极值研究通常从高斯序列 (离散时间) 的极值理论出发, 逐步推广到连续时间的高斯过程: 文献 [22 ] 研究了平稳高斯过程最大值的渐近性质; 文献 [23 ] 研究了一类强相依高斯过程最大值与和以及该过程离散化后最大值与和之间的渐近关系. ...
Weak limits of sample range
1
1974
... 本文探究高斯分布的极差特性, 重点研究样本极差中值 $\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $ M_{n}-m_{n} $ 24 ] 提出. 文献 [25 ] 建立了帕累托型分布样本极差的强大数定律. 文献 [26 ] 给出了不同规范化常数下广义误差样本极差的高阶渐近分布展开式. ...
A note on exact laws of large numbers for the range of a sample from Pareto-type distributions
1
2022
... 本文探究高斯分布的极差特性, 重点研究样本极差中值 $\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $ M_{n}-m_{n} $ 24 ] 提出. 文献 [25 ] 建立了帕累托型分布样本极差的强大数定律. 文献 [26 ] 给出了不同规范化常数下广义误差样本极差的高阶渐近分布展开式. ...
Higher-order expansions of sample range from general error distribution
1
2024
... 本文探究高斯分布的极差特性, 重点研究样本极差中值 $\frac{1}{2} \left ( M_{n}+m_{n} \right ) $ $ M_{n}-m_{n} $ 24 ] 提出. 文献 [25 ] 建立了帕累托型分布样本极差的强大数定律. 文献 [26 ] 给出了不同规范化常数下广义误差样本极差的高阶渐近分布展开式. ...
