数学物理学报, 2026, 46(3): 1255-1269

模糊厌恶下考虑巨灾债券发行的最优投资与风险管理策略

刘兵,*, 钱通,, 李鹏,

南京财经大学金融学院 南京 210023

Optimal Investment and Risk Management Strategies Considering Catastrophe Bond Issuance Under Ambiguity Aversion

Liu Bing,*, Qian Tong,, Li Peng,

School of Finance Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023

通讯作者: 刘兵, E-mail:liubingsdly@sina.com

收稿日期: 2025-03-6   修回日期: 2025-10-21  

基金资助: 国家自然科学基金(12101300)
国家自然科学基金(12401614)

Received: 2025-03-6   Revised: 2025-10-21  

Fund supported: NSFC(12101300)
NSFC(12401614)

作者简介 About authors

钱通,E-mail:qiantong666@sina.cn;

李鹏,E-mail:pengli1@unfe.edu.cn

摘要

气候与环境的变化加剧了自然灾害的频发态势, 对保险公司的风险管理造成了严峻挑战. 因此, 探究保险公司在面临自然灾害等巨灾风险时的最优投资与再保险策略极其必要. 论文创新性地融合了巨灾债券发行和模型不确定性两个因素到传统的最优投资-再保险策略研究中. 通过运用随机控制理论和动态规划方法, 得出了最优投资-再保-巨灾债券发行策略的解析解. 通过数值模拟, 揭示了保险公司发行巨灾债券后最优投资-再保险策略的动态变化特征. 同时, 探讨了市场相关性、模糊厌恶系数等关键参数对策略选择的敏感性和经济影响. 研究结果表明, 巨灾债券发行 (购买) 可以有效替代再保险, 发行 (购买) 量增加时, 再保险购买减少; 巨债券和保险市场相关性的增强可以促使保险公司减少风险投资、增加巨灾债券持有; 不确定性环境下, 保险公司将更加依赖巨灾债券进行风险管理, 并倾向于投资确定性高的市场; 同时随着资金增加, 投资策略趋于保守.

关键词： 模糊; 巨灾债券; 最优策略; 破产概率.

Abstract

The frequency of natural disasters, exacerbated by climate and environmental changes, poses severe challenges to insurance companies' risk management. Therefore, it is crucial to explore optimal investment and reinsurance strategies for insurance companies when facing catastrophic risks such as natural disasters. This paper innovatively integrates two factors, catastrophe bond issuance and model uncertainty, into traditional research on optimal investment-reinsurance strategies. By employing stochastic control theory and dynamic programming methods, the paper derives analytical solutions for optimal investment-reinsurance-catastrophe bond issuance strategies. Through numerical simulation analysis, it reveals the dynamic characteristics of optimal investment-reinsurance strategies after insurance companies issue catastrophe bonds. Simultaneously, it discusses the sensitivity and economic impact of key parameters such as market correlation and ambiguity aversion coefficients on strategy selection. The research results indicate that catastrophe bond issuance/purchase can effectively substitute for reinsurance, with a decrease in reinsurance purchases as the issuance/purchase volume increases. Enhanced correlation between catastrophe bonds and the insurance market prompts insurance companies to reduce venture investments and increase catastrophe bond holdings. In uncertain environments, insurance companies rely more on catastrophe bonds for risk management and tend to invest in markets with high certainty. Additionally, as capital increases, investment strategies become more conservative.

Keywords： ambiguity; CAT bonds; optimal strategies; ruin probability.

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本文引用格式

刘兵, 钱通, 李鹏. 模糊厌恶下考虑巨灾债券发行的最优投资与风险管理策略[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1255-1269

Liu Bing, Qian Tong, Li Peng. Optimal Investment and Risk Management Strategies Considering Catastrophe Bond Issuance Under Ambiguity Aversion[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 1255-1269

1 引言

保险公司作为金融体系的关键支柱, 通过收取保费并建立风险共担机制, 为投保人提供风险补偿. 同时, 保险公司还通过保费的投资运作, 对资本市场的流动性和稳定性产生深远影响. 2024 年 9 月,《国务院关于加强监管防范风险推动保险业高质量发展的若干意见》(新国十条) 明确指出要丰富巨灾保险保障形式, 研究探索巨灾债券, 合理运用再保险分散风险, 发挥保险资金长期投资优势等.

事实上, 众多学者对保险公司投资与风险管理策略进行了广泛而深入的研究. Browne[1] 在最大化保险公司终端财富的期望效用以及最小化保险公司的破产概率目标下研究了保险公司的最优投资策略; Schmidli[2]研究了在扩散和复合泊松风险模型中最小化破产概率目标下的动态最优比例再保险策略; Promislow-Young [3] 在最小化破产概率下探讨了最优比例再保险-投资问题; Yang-Zhang[4], Lin-Li[5] 和 Li[6] 考虑了跳扩散风险过程保险公司的最优投资策略问题; Bai and Guo[7] 在无卖空约束下获得了多种风险资产模型中的最优投资策略; [8] 探讨了保险公司考虑负债情况下的最优投资策略. 关于此方面的研究还有很多, 比如: 考虑注资或分红下的最优控制问题 (文献 [9-14]); 通胀风险下的投资组合问题 (文献 [15-18]; 时间不一致下的最优策略 (文献 [19,20]); 相依风险下的相关研究 (文献 [21-24]); 方差保费原理下的最优决策问题 (文献 [21,25-27]) 等.

然而, 模型不确定性是保险公司在实际决策中不可忽视的重要因素. 由于金融市场和保险市场的复杂性以及未来事件的不确定性, 保险公司难以准确知道自身的概率测度. 因此, 在最优投资-再保险策略中考虑模型不确定性显得尤为重要. Anderson[28] 提出了一种稳健控制方法来处理模型不确定下的建模问题. Yi[29] 和 Hu[30] 在模糊厌恶下研究了保险公司的鲁棒最优再保险和投资策略问题. Bayraktar[31] 则从终身破产概率的角度研究了稳健的最优投资策略, 并使用相对熵来描述两个概率测度之间的差异. Sun[32] 则进一步研究了存在模糊和违约风险下的稳健最优投资与再保险问题. 在模型不确定下研究的文献还有很多, 比如模糊厌恶下的最优投资再保险问题的研究(文献 [33-40]) 等.

特别地, 巨灾债券作为一种创新的风险管理工具, 允许保险公司将部分巨灾风险转移至资本市场, 从而降低风险分散的成本. 然而, 在现有的文献中考虑巨灾债券的研究相对较少. 据我们所知的相关研究有, Nell-Richter[41] 较早地研究了巨灾债券与再保险之间的替代关系, 发现巨灾债券在高触发概率的重大损失保险中具有替代再保险的潜力. Bauerle[42] 则在一个随机风险收入过程下研究了保险公司购买比例再保险和发行巨灾债券的风险管理策略. Li-Wei[43] 探讨了模糊厌恶下的巨灾债券发行和再保险策略问题. 研究表明, 巨灾债券在高触发概率的重大损失保险中具有替代再保险的潜力, 并能在随机风险收入过程下为保险公司提供有效的风险管理策略.

因此, 本文以最小化保险公司的破产概率为目标将巨灾债券发行和模型不确定性两个因素引入到传统的最优投资-再保险策略研究中, 旨在为保险公司提供更加全面和精准的风险管理工具, 以应对日益复杂多变的市场环境和自然灾害风险.

首先, 巨灾债券作为一种创新的风险转移工具, 其发行能够帮助保险公司有效分散和转移巨灾风险, 增强公司的偿付能力和财务稳定性. 通过将巨灾风险与资本市场相连, 巨灾债券不仅能够为保险公司提供额外的资金来源, 还能够在灾害发生时, 通过债券市场的反应机制, 实现风险的快速分散和转移. 其次, 模型不确定性是保险公司在制定投资策略时不可忽视的重要因素. 由于市场环境、经济条件和自然灾害等因素的复杂性和不确定性, 传统的风险模型往往难以准确预测和评估风险. 因此, 本文将在研究中考虑模型不确定性, 探讨其对保险公司最优投资-再保险-巨灾发行策略的影响. 通过构建包含模型不确定性的风险优化模型, 帮助保险公司更好地理解和应对模型不确定性带来的风险, 提高风险管理决策的准确性和稳健性. 最后, 本文将结合数值分析, 对引入巨灾债券和模型不确定性的最优投资-再保险策略进行深入研究. 通过对比分析不同策略下的风险管理和投资效果, 为保险公司提供具体的策略建议和实践指导, 以助其更好地应对风险挑战, 实现稳健发展.

本文其余部分结构安排如下: 第二章为模型的详细构建过程; 第三章介绍最优策略的求解; 第四章为数值模拟, 讨论巨灾债券对再保险的替代作用、最优投资以及风险管理策略的敏感性分析; 第五章是结论.

2 模型设定

假设 $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in[T]}, \mathbb{P})$ 为完备的概率空间, $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in[T]}$ 为 $t$ 时刻的域流, 表示截止 $t$ 时市场上可获得的信息流集, 其由布朗运动 $\{B_1(t);t\geq0\}$, $\{B_2(t);t\geq0\}$ 和 $\{B_3(t);t\geq0\}$ 生成, $\mathbb{P}$ 为参考概率测度; 保险市场、金融市场与巨灾债券市场上的交易是完备的, 保险公司可以自由的买入和卖空风险资产和巨灾债券.

本文用古典风险模型 ($Cramér - Lundberg$) 来刻画保险公司的盈余过程 $\{M(t); t\geq0\}$, 可表示为

$\begin{equation*} M(t)=x_{0}+C(t)-\sum_{i=1}^{N(t)}Y_{i}, \end{equation*}$

其中 $x_{0}>0$ 是保险公司的初始财富; $C(t)$ 表示 $t$ 时刻的保费收入; $\{N(t),t\geq0\}$ 是一个强度为 $\lambda$ 的泊松过程, 描述了到时刻 $t$ 发生的索赔数量; $Y_{i}, i=1,2,\cdots$ 表示第 $i$ 次的索赔的大小, 为独立同分布的正值随机变量, 并且与 $\{N(t), t\geq0\}$ 相互独立, $0<EY_i<\infty$ 和$0<EY_i^2<\infty$, 令 $\mu= EY_i$ 和 $\sigma^{2}=EY_i^{2}$; 保险公司采用期望保费原理, 安全负荷为 $\theta_{1}$. 因此, 可以得到

$\begin{equation*} C(t)=(1+\theta_{1})E\sum_{i=1}^{N(t)}Y_{i}=(1+\theta_{1})\lambda EY_i t. \end{equation*}$

此外, 保险公司可以通过购买比例再保险来控制其保险风险敞口. 假设在时刻 $t$ 保险公司自留风险的比例记为 $q(t)\in [0,1]$, 则保险公司的分保比例为$1-q(t)\in [0,1]$, 再保险公司亦使用期望值保费原则, 安全负荷记为 $\theta_{2}$$(\theta_{2}>\theta_{1}>0)$, 则保险公司支付的再保保费 $C_{1}(t)$ 为 $C_{1}(t)=(1+\theta_{2})(1-q(t))\lambda EY_i t$.

特别地, 保险公司不仅能够借助再保险机制实现风险的转移, 还可以通过发行 (或购入) 巨灾债券这一金融工具来有效降低其风险敞口. 假设保险公司在 $t$ 时刻发行了 $\psi(t)$ ($\psi(t)<0$ 表示购买) 份巨灾债券. 在每次索赔来到, 与索赔规模 $Y$ 相关的外生指示随机变量 $K$ (触发条件) 到达一定的水平 $\overline{k}$ (触发阈值) 时, 针对每份巨灾债券, 保险公司可以获得规模 $\varphi$ 的风险损失补偿. 用独立同分布的随机变量 $K_{1}, K_{2}, K_{3},\cdots$ 表示一系列指示随机变量, 它们与每次的索赔规模 $Y_{1}, Y_{2}, Y_{3},\cdots$ 相对应; 即可以通过每次索赔时的外生指示随机变量情况来判断保险公司是否可以得到对应的补偿. 用条件概率表示索赔规模与外生指数随机变量的关系

$\begin{equation}\nonumber p(y)=P(K\geq\overline{k}\mid Y= y), \end{equation}$

条件概率随着 $y$ 的增加而增加, 因为随着索赔额的增加, 外生指示随机变量触发阈值的概率越大; 令 $p=E[p(Y)]$ 表示关于索赔 $Y$ 的预期触发率. 巨灾债券的发行成本率为 $\lambda p\varphi(1+\theta_{3})$, 其中 $\theta_{3}$ 为巨灾债券的安全负荷, 反映了巨灾债券的发行成本. 由于再保险与保险公司的索赔完全相关, 而巨灾债券则存在基差风险且政府对保险公司发行巨灾债券进行一定的补贴 (国家鼓励研究探索巨灾债券), 因此我们假设巨灾债券的发行成本低于再保险, 即$\theta_{2}>\theta_{3}$ (否则保险公司没有动力发行巨灾债券). 所以, 在保险公司购买再保险以及发行巨灾债券的情况下, 其盈余过程为

$\begin{align*} M(t)=&x_{0}+(1+\theta_{1})\lambda EY_i t-(1+\theta_{2})(1-q(t))\lambda EY_i t-(1+\theta_{3})\lambda p\varphi\psi(t)t \nonumber\\&-q(t)\sum_{i=1}^{N(t)}Y_{i}+\psi(t)\sum_{i=1}^{N(t)}\varphi{1}_{\{K_{i}\geq\overline{k}\}}, \end{align*}$

其中${1}_{\{K_{i}\geq\overline{k}\}}$为示性函数. 为了方便计算以及更加清晰的说明问题, 用扩散过程来近似保险公司的盈余过程 (类似的关于巨灾债券的扩散逼近可以参考 Bauerle(2004)), 得到

$\begin{align*} {\text d}M(t)=&\mu \lambda[(\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t)))-\lambda p\varphi\theta_{3}\psi(t)]{\text d}t+q(t)\sigma\sqrt{\lambda}{\text d}B_{1}(t) \nonumber \\&+\sqrt{\lambda p}\varphi\psi(t){\text d}B_{3}(t),\hspace{1em} M(0)=x_{0}. \end{align*}$

显然, 保险市场和巨灾债券市场存在相关性, 用 $\rho$ 表示二者的相关系数, 即 $ Cov(B_{1}(t), B_{3}(t))=\rho t $. 由高斯线性回归, 则有

${\text d}B_{3}(t)=\rho{\text d}B_{1}(t)+\sqrt{1-\rho^{2}}{\text d}B_{4}(t),$

其中 $B_{4}(t)$ 是标准布朗运动, 与 $B_{1}(t)$相互独立, 概率空间为 $(\Omega^4, \mathcal{F}^4, \mathbb{P}^4)$.

所以, 保险公司盈余过程可以改写为以下形式

$\begin{aligned}\mathrm{d} M(t)= & \mu \lambda\left[\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t))\right]-\lambda p \varphi \theta_{3} \psi(t) \mathrm{d} t+(q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\sqrt{\lambda p} \varphi \rho \psi(t)) \mathrm{d} B_{1}(t) \\& +\sqrt{\lambda p} \varphi \psi(t) \sqrt{1-\rho^{2}} \mathrm{~d} B_{4}(t), \quad M(0)=x_{0}\end{aligned}$

进一步, 假设保险公司可以投资于风险资产、无风险资产, 无风险资产的价格过程为${\text d}S_{0}(t)=r S_{0}(t) {\text d}t,$ 其中, $r>0$ 为无风险利率. 风险资产的价格过程由几何布朗运动描述

$\begin{equation*} {\text d}S_{1}(t)=\alpha_{1} S_{1}(t) {\text d}t+\beta_{1} S_{1}(t) {\text d} B_{2}(t), \end{equation*}$

其中 $\alpha_{1}>r$ 代表预期收益率, $\beta_{1}$ 代表与布朗运动 $B_{2}(t)$ 相对应的风险股票的波动率, $B_{2}(t)$ 是定义在概率空间 $(\Omega^{2}, \mathcal{F}^{2}, \mathbb{P}^{2})$ 上的标准布朗运动.

令 $X_{t}$ 表示保险公司在 $t$ 时刻的财富, $\pi_{3t}$ 表示保险公司在 $t$ 时刻投资于风险资产的金额, $X(t)-\pi_{3t}$ 表示保险公司在 $t$ 时投资于无风险资产的金额, 那么保险公司的财富变化过程为

$\begin{aligned}\mathrm{d} X_{t}^{\pi_{3}}= & \left(X(t)^{\pi_{3}} r+\pi_{3 t}\left(\alpha_{1}-r\right)+\mu \lambda\left[\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t))\right]-\lambda p \varphi \theta_{3} \psi(t)\right) \mathrm{d} t \\& +(q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\psi(t) \sqrt{\lambda p} \varphi \rho) \mathrm{d} B_{1}(t)+\pi_{3 t} \beta_{1} \mathrm{~d} B_{2}(t) \\& +\sqrt{\lambda p} \varphi \sqrt{1-\rho^{2}} \psi(t) \mathrm{d} B_{4}(t), \quad X(0)^{\pi_{3}}=x_{0}\end{aligned}$

显然, 上述模型建立在概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$=$(\Omega^{1}\times\Omega^{2}\times\Omega^{4},\mathcal{F}^{1}\times\mathcal{F}^{2}\times\mathcal{F}^{4}, \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{2} \times \mathbb{P}^{4})$ 中, $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是三个概率空间的直积, 其中 $(\Omega^1,\mathcal{F}^1,\mathbb{P}^1)$, 其域流为 $\{\mathcal{F}^1_t\}$, 描述保险市场; $(\Omega^2, \mathcal{F}^2, \mathbb{P}^2)$, 其域流为$\{\mathcal{F}^2_t\}$, 刻画金融市场; $(\Omega^4,\mathcal{F}^4,\mathbb{P}^4)$, 其域流为 $\{\mathcal{F}^4_t\}$, 揭示巨灾债券市场. $B_1(t)$、$B_2(t)$ 和 $B_4(t)$ 在概率空间中是相互独立的.

由于数据限制和技术水平的局限性, 原始的概率测度 $\mathbb{P}$ (通常称为参考概率测度) 往往伴随着不确定性. 为了应对这种不确定性, 我们考虑在一组备选的概率测度中寻找一个更为合理的概率测度 (称为替代概率测度), 替代原有的参考概率测度. 为了将模型的不确定性纳入考虑, 我们针对保险公司所涉及的保险、金融和巨灾债券市场, 引入了一组先验的替代概率测度, 这些测度反映了保险公司对于不同可能性的主观判断.

进一步地, 定义一个替代概率测度族 $\mathcal{Q}$, 该族包含所有与原始参考概率测度 $\mathbb{P}$ 等价的替代概率测度 $\mathbb{Q}$. 这里的“等价”意味着这些替代测度在保持市场模型基本结构不变的前提下, 对原始概率测度进行了合理的替代. 通过这样的设定, 我们旨在找到一个既能够反映保险公司主观信念, 又能够保持市场模型一致性的替代概率测度. 我们用 $\mathbb{Q}^{1}$、$\mathbb{Q}^{2}$ 和 $\mathbb{Q}^{4}$ 分别表示 $\mathbb{P}^{1}$、$\mathbb{P}^{2}$ 和 $\mathbb{P}^{4}$ 的替代概率测度; 具体如下

$\mathcal{Q}:=\{\mathbb{Q}|\mathbb{Q}\sim \mathbb{P}\}.$

对任意 $\mathbb{Q}\in\mathcal{Q}$, 运用 Girsanov's 定理, 则替代概率测度 $\mathbb{Q}$ 应当满足

$\begin{equation*} \frac{{\text d}\mathbb{Q}}{{\text d}\mathbb{P}}=\Lambda^{\eta}(T), \end{equation*}$

其中

$\Lambda^{\eta}(t)=\exp\left\{\int_{0}^{t}[o(s){\text d}B_{1}(s)+u(s){\text d}B_{2}(s)+w(s){\text d}B_{4}(s)]-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}[o(s)^2+u(s)^2+w(s)^2]{\text d}s\right\}.$

$\Lambda^{\eta}(t)$ 是一个域流为 $\{\mathcal{F}_t\}$ 的 $\mathbb{P}$- 鞅; $o(t)$, $u(t)$, 和 $w(t)$ 被称为测度失真算子过程. $\Lambda^{\eta}(t)$ 是 $\{\mathcal{F}_{t}\}$ 上的可料适应过程, 并且满足 Novikov 条件

$\begin{equation*} E^{\mathbb{P}}\left[\exp\left(\frac{1}{2}\int_{0}^{T}[o(t)^{2}+u(t)^{2}+w(t)^{2}]{\text d}s\right)\right]<\infty. \end{equation*}$

根据Girsanov定理, 在概率测度 $\mathbb{Q}^{1}$, $\mathbb{Q}^{2}$ 和 $\mathbb{Q}^{4}$ 下的标准布朗运动可表示为

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} B_{1}(t)=o(t) \mathrm{d} t+\mathrm{d} B_{1}^{\mathbb{Q}^{1}}(t), \\\mathrm{d} B_{2}(t)=u(t) \mathrm{d} t+\mathrm{d} B_{2}^{\mathbb{Q}^{2}}(t), \\\mathrm{d} B_{4}(t)=w(t) \mathrm{d} t+\mathrm{d} B_{4}^{\mathbb{Q}^{4}}(t),\end{array}\right.$

其中 $B_{(\cdot)}^{\mathbb{Q}^{(\cdot)}}(t)$ 表示概率测度 $\mathbb{Q}^{(\cdot)}$ 下的标准布朗运动, 因此替代概率测度 $\mathbb{Q}$ 的形式如下

$\mathrm{Q} =\{\mathbb{Q}\mid \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^{1}\times \mathbb{Q}^2\times \mathbb{Q}^4\}.$

因此, 在概率测度 $\mathbb{Q}$ 下, 保险公司的财富过程可以表示为

$\begin{align*}\label{13} \nonumber{\text d}X(t)^{\pi_3,\mathbb{Q}}= &\bigg(X(t)^{\pi_3,\mathbb{Q}}r+\pi_{3t}(\alpha_{1}-r)+\mu\lambda[\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t))]-\lambda p\varphi\theta_{3}\psi(t) \nonumber\\&+(q(t)\sigma\sqrt{\lambda}+\psi(t)\sqrt{\lambda p}\varphi\rho)o(t)+\pi_{3t}\beta_{1}u(t)+\psi(t)\sqrt{\lambda p}\varphi\sqrt{1-\rho^{2}}w(t)\bigg){\text d}t \nonumber\\&+(q(t)\sigma\sqrt{\lambda}+\psi(t)\sqrt{\lambda p}\varphi\rho){\text d}B_{1}^{\mathbb{Q}^{1}}(t)+\pi_{3t}\beta_{1}{\text d}B_{2}^{\mathbb{Q}^{2}}(t)+\psi(t)\sqrt{\lambda p}\varphi\sqrt{1-\rho^{2}}{\text d}B_{4}^{\mathbb{Q}^{4}}(t). \end{align*}$

为了在替代概率测度族下研究本文的问题, 需要度量参考概率测度和替代概率测度差距, 延用通用的方法, 本文采用相对熵作为衡量参考概率测度与各替代概率测度之间差异的工具. 对于 $\mathbb{P}$ 和 $\mathbb{Q}$ 之间的差异, 我们可以将其整体分解为三个市场维度上的差异, 即分别衡量在保险市场、金融市场和巨灾债券市场中参考概率测度与替代概率测度之间的差异.

在保险市场维度上, 通过对比 $\mathbb{P}$ 与 $\mathbb{Q}$ 在不同保险产品风险情景下的建模方式, 调整参数, 为保险公司提供更为灵活的风险视角, 与基于历史数据的 $\mathbb{P}$ 形成鲜明对比, 从而进行更好的风险管理措施; 金融市场维度上, 在资产定价、市场波动性及投资组合管理方面, $\mathbb{Q}$ 纳入投资者的风险偏好与市场预期, 为金融工具提供更为贴近实际的估值参考, 同时揭示市场在不同概率测度下的动态变化, 为投资组合的优化配置提供新思路; 在巨灾债券市场维度上, 针对灾难风险评估与债券定价, $\mathbb{Q}$一方面通过考虑更多未来因素, 为巨灾债券提供更为前瞻性的风险定价, 另一方面通过分析市场在不同概率测度下的反应, 为投资者提供更为全面的决策依据. 基于上述三个市场的系统性分析来考量保险、金融及巨灾债券市场中 $\mathbb{P}$ 与 $\mathbb{Q}$ 的差异, 不仅更全面地评估两者之间的整体差异, 还深入理解它们在不同市场背景下的相互影响与作用机制.

具体度量方式如下

\noindent $\mathbb{P}^{1}$ 和 $\mathbb{Q}^{1}$ 之间的相对熵为

$\begin{equation*}\label{14} H_{[0,t]}(\mathbb{Q}^{1}allel \mathbb{P}^{1})=E^{\mathbb{Q}}_{[0,t]}\left[\ln\frac{{\text d}\mathbb{Q}^{1}}{{\text d}\mathbb{P}^{1}}\right]=E^{\mathbb{Q}}\left\{\int_{0}^{t}o(s){{\text d}B_{1}^{\mathbb{Q}^{1}}(s)}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}[o(s)]^2{\text d}s\right\}. \end{equation*}$

$\mathbb{P}^{2}$ 和 $\mathbb{Q}^{2}$ 之间的相对熵为

$\begin{equation*}\label{15} H_{[0,t]}(\mathbb{Q}^{2}allel \mathbb{P}^{2})=E^{\mathbb{Q}}_{[0,t]}\left[\ln\frac{{\text d}\mathbb{Q}^{2}}{{\text d}\mathbb{P}^{2}}\right]=E^{\mathbb{Q}}\left\{\int_{0}^{t}u(s){{\text d}B_{2}^{\mathbb{Q}^{2}}(s)}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}[u(s)]^2{\text d}s\right\}. \end{equation*}$

$\mathbb{P}^{4}$ 和 $\mathbb{Q}^{4}$ 之间的相对熵为

$\begin{equation*}\label{16} H_{[0,t]}(\mathbb{Q}^{4}allel \mathbb{P}^{4})=E^{\mathbb{Q}}_{[0,t]}\left[\ln\frac{{\text d}\mathbb{Q}^{4}}{{\text d}\mathbb{P}^{4}}\right]=E^{\mathbb{Q}}\left\{\int_{0}^{t}w(s){{\text d}B_{4}^{\mathbb{Q}^{4}}(s)}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}[w(s)]^2{\text d}s\right\}. \end{equation*}$

因为 $B_{1}^{\mathbb{Q}^{1}}$、$B_{2}^{\mathbb{Q}^{2}}$ 和 $B_{4}^{\mathbb{Q}^{4}}$ 是概率测度 $\mathbb{Q}$ 下的标准布朗运动.因此, 我们可以得到

$\begin{equation}\nonumber H_{[0,t]}(\mathbb{Q}^{1}allel \mathbb{P}^{1})=E^{\mathbb{Q}}\left\{\frac{1}{2}\int_{0}^{t}[o(s)]^2{\text d}s\right\}=E^{\mathbb{Q}}\left\{\int_{0}^{t}Z_{1}(s){\text d}s\right\}, \end{equation}$
$\begin{equation}\nonumber H_{[0,t]}(\mathbb{Q}^{2}allel \mathbb{P}^{2})=E^{\mathbb{Q}}\left\{\frac{1}{2}\int_{0}^{t}[u(s)]^2{\text d}s\right\}=E^{\mathbb{Q}}\left\{\int_{0}^{t}Z_{2}(s){\text d}s\right\}, \end{equation}$
$\begin{equation}\nonumber H_{[0,t]}(\mathbb{Q}^{4}allel \mathbb{P}^{4})=E^{\mathbb{Q}}\left\{\frac{1}{2}\int_{0}^{t}[w(s)]^2{\text d}s\right\}=E^{\mathbb{Q}}\left\{\int_{0}^{t}Z_{4}(s){\text d}s\right\}, \end{equation}$

其中 $Z_{1}(s)=\frac{1}{2}[o(s)]^2$; $Z_{2}(s)=\frac{1}{2}[u(s)]^2$; $Z_{4}(s)=\frac{1}{2}[w(s)]^2$.

3 最优控制问题的求解

本文探讨了在模型不确定存在的条件下, 保险公司如何通过优化投资策略、发行巨灾债券以及合理安排再保险来实现破产概率的最小化. 具体地, 记破产时刻为

$\tau_a^\mathbb{Q}=\inf\{t: X(t)^{\pi_3,\mathbb{Q}}\leq a\},$

其中, $a$ 为指定的财富水平, 即破产时刻为保险公司的财富首次降至指定财富水平 $a$ 以下的时刻.

在建立最小化破产概率的目标函数前, 我们首先给出可容许策略的定义.

定义 3.1 定义 $\mathbb{V}$ 为可容许策略 $\pi$ 的集合, 其中 $\pi = (\pi_{3},q(t),\psi(t))$ 为可容许策略满足以下条件

(i) 最优投资-再保险-巨灾发行策略 $\pi = (\pi_{3},q(t),\psi(t))$ 是可料的, 并且满足以下条件

$E^{\mathbb{P}}\int_{0}^{T}\pi_{3}^{2}{\text d}s<\infty, E^{\mathbb{P}}\int_{0}^{T}q(t)^{2}{\text d}s<\infty, E^{\mathbb{P}}\int_{0}^{T}\psi(t)^{2}{\text d}s<\infty,\hspace{1em}T<\infty;$

其中, $\pi_{3}$ 表示在 $t$ 时刻投资于金融市场的金额, $q(t)$表示在 $t$ 时刻保险公司的自留风险比例, $\psi(t)$表示在 $t$ 时刻保险公司发行的巨灾债券份数;

(ii) 随机微分方程 (2.1) 有唯一的强解.

本文是以最小化破产概率为目标函数, 来探讨保险公司的最优决策问题, 因此目标函数为

$\begin{equation}\label{17} V_{2}(x)=\inf_{\pi\in\mathbb{V}}\sup_{\mathbb{Q}\in\mathcal{Q}} \bigg\{\mathbb{Q}_x\big(\tau_a^\mathbb{Q}<\infty\big)-E^\mathbb{Q}_x \bigg[\int_{0}^{\tau_a^\mathbb{Q}}\phi(V_{2}(X(s)^{\pi_3,\mathbb{Q}}))[\eta_{1} Z_{1}(s)+\eta_{2} Z_{2}(s)+\eta_{3} Z_{4}(s)]{\text d}s\bigg]\bigg\}, \end{equation}$

其中 $\mathbb{Q}_x(\cdot)=\mathbb{Q}(\cdot|X(0)^{\pi_3,\mathbb{Q}}=x)$ 和 $E^\mathbb{Q}_x[\cdot]=E^\mathbb{Q}[\cdot|X(0)^{\pi_3,\mathbb{Q}}=x]$, $x\geq a$, 分别表示在替代概率测度 $\mathbb{Q}$ 下, 给定初始状态 $x$ 的条件概率和条件期望; $\phi(\cdot)>0$ 是一个标准化函数, 可以将惩罚转换为与值函数相同的量级上, 以实现与$V_{2}(x)$的一致性, 从而使惩罚具有意义; $Z_{1}(t)$、$Z_{2}(t)$ 和 $Z_{4}(t)$ 表示相对熵; 积分区间 $[0,\tau_a^\mathbb{Q}]$ 表示保险公司只关心破产前的模糊性; $\eta_{1}$、$\eta_{2}$ 和 $\eta_{3}$ 分别是保险公司对保险市场、金融市场和巨灾债券市场的模糊厌恶系数, 表示对参考概率测度 $\mathbb{P}_{1}$、$\mathbb{P}_{2}$ 和 $\mathbb{P}_{4}$ 的信任程度, 模糊厌恶系数越大, 保险公司对参考概率测度 $\mathbb{P}$ 越有信心; $\mathbb{V}$ 是可容许策略的集合 (见下文); $sup$ 表示了保险公司对模糊性的厌恶. 在极端情况下, $\eta_{i}\rightarrow\infty$ (i=1, 2, 3) 意味着保险公司极度信任参考概率测度, 任何替代概率测度的使用都会导致严重的惩罚. $\eta_{i}\rightarrow0$ (i=1, 2, 3) 意味着保险公司没有任何关于参考概率测度的信息, 这意味着保险公司极度模糊.

对于给定的马尔可夫控制过程 $\pi=(\pi_{3},q(t),\psi(t))$ 和任意足够光滑的二次可微函数 $f(x)$, 我们引入微分算子, 其定义如下

$\begin{aligned}\mathscr{A}^{\pi} f(x)= & \left(x r+\pi_{3}\left(\alpha_{1}-r\right)+\mu \lambda\left[\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t))\right]-\psi(t) \lambda p \varphi \theta_{3}\right. \\& \left.+(q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\psi(t) \sqrt{\lambda p} \varphi \rho) o(t)+\pi_{3} \beta_{1} u(t)+\psi(t) \sqrt{\lambda p} \varphi \sqrt{1-\rho^{2}} w(t)\right) f^{\prime}(x) \\& +\frac{1}{2}\left((q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\psi(t) \sqrt{\lambda p} \varphi \rho)^{2}+\pi_{3}^{2} \beta_{1}^{2}+\psi(t)^{2} \lambda p \varphi^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right) f^{\prime \prime}(x),\end{aligned}$

其中 $f'(x)$ 和 $f''(x)$ 分别表示关于 $x$ 的一阶导数和二阶导数. 根据动态规划原理, 则值函数 $V_2(x)$ 满足的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程 (见 Fleming 和 Soner[44]) 为

$\begin{aligned}\mathscr{A}^{\pi} f(x)= & \left(x r+\pi_{3}\left(\alpha_{1}-r\right)+\mu \lambda\left[\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t))\right]-\psi(t) \lambda p \varphi \theta_{3}\right. \\& \left.+(q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\psi(t) \sqrt{\lambda p} \varphi \rho) o(t)+\pi_{3} \beta_{1} u(t)+\psi(t) \sqrt{\lambda p} \varphi \sqrt{1-\rho^{2}} w(t)\right) f^{\prime}(x) \\& +\frac{1}{2}\left((q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\psi(t) \sqrt{\lambda p} \varphi \rho)^{2}+\pi_{3}^{2} \beta_{1}^{2}+\psi(t)^{2} \lambda p \varphi^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right) f^{\prime \prime}(x),\end{aligned}$

其中

$0\leq a\leq x<\dfrac{\mu\lambda(\theta_{2}-\theta_{1})}{r}.$

边界条件为

$V(a)=1.$

可以发现, 当保险公司的初始财富为 $x\geq\frac{\mu\lambda(\theta_{2}-\theta_{1})}{r}$ 时, 保险公司可将全部资金配置于无风险资产, 通过获取稳定的无风险收益来完全覆盖其向再保险公司支付的保费差额. 在这种情况下

$\pi_{3}=\psi(t)=q(t)=0.$

定理 3.1 (验证定理) 若 $v_{2}(x)\in\mathcal{C}^{2}$ 是 HJB 方程 (3.2) 的经典解并满足边界条件 $v_{2}(a)=1$, 则有 $V_{2}(x)=v_{2}(x)$.

证 请参考文献 [40,定理 3.1].

定理 3.2 (证明见附录) 对于问题 (3.1), 取 $\phi(x)=x$, 则值函数 $V_2(x)$ 为 $V_{2}(x)=e^{-K_2(x-a)},$ 最坏情况测度失真过程为

$\left\{\begin{aligned}o^{*}(t) & =-\frac{(q(t) \sqrt{\lambda} \sigma+\psi(t) \varphi \sqrt{\lambda p} \rho) K_{2}}{\eta_{1}}, \\u^{*}(t) & =-\frac{\pi_{3} \beta_{1} K_{2}}{\eta_{2}}, \\w^{*}(t) & =-\frac{\psi(t) \varphi \sqrt{\lambda p} \sqrt{1-\rho^{2}} K_{2}}{\eta_{3}},\end{aligned}\right.$

保险公司的最优投资-再保险-巨灾债券发行策略为

$\left\{\begin{array}{l}\pi_{3}^{*}=\frac{\left(\alpha_{1}-r\right) \eta_{2}}{\beta_{1}^{2}\left(1+\eta_{2}\right) K_{2}} \\q^{*}(t)=\frac{\mu \lambda \theta_{2} \eta_{1}}{\lambda \sigma^{2}\left(1+\eta_{1}\right) K_{2}}+\frac{\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho^{2} \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \rho \theta_{3}\right) \eta_{3}}{\lambda \sqrt{p} \sigma^{2} \varphi\left(1-\rho^{2}\right)\left(1+\eta_{3}\right) K_{2}} \\\psi^{*}(t)=-\frac{\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \theta_{3}\right) \eta_{3}}{\lambda p \varphi^{2} \sigma\left(1-\rho^{2}\right)\left(1+\eta_{3}\right) K_{2}}\end{array}\right.$

其中

$\begin{equation}\nonumber K_{2}=\dfrac{-\frac{(\alpha_{1}-r)(\eta_{2}+\eta_{2}^{2})}{2\beta_{1}^{2}(1+\eta_{2})^{2}}-\frac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}(\eta_{1}+\eta_{1}^{2})}{2\sigma^{2}(1+\eta_{1})^{2}}-\frac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\rho^{2}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})}{2\sigma^{2}(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}-\frac{\mu\lambda\sqrt{p}\rho\theta_{2}\theta_{3}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})}{\sigma(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}-\frac{\lambda p\theta_{3}^{2}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})}{2(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}}{xr+\mu\lambda(\theta_{1}-\theta_{2})}. \end{equation}$

注 3.1 在极端情况下, 当$\eta_{1} \rightarrow \infty$, $\eta_{2} \rightarrow\infty$, 且$\eta_{3} \rightarrow \infty$时, 即保险人对保险市场、金融市场和巨灾债券市场的参考概率测度 $\mathbb{P}$ 有极大的信心. 在这种情况下, 最优投资-再保险-巨灾债券发行策略会退化为

$\left\{\begin{array}{l}\pi_{3}^{*}=\frac{\alpha_{1}-r}{\beta_{1}^{2} K_{0}}, \\q^{*}(t)=\frac{\mu \theta_{2}+\sqrt{p} \sigma \rho \theta_{3}}{\sigma^{2}\left(1-\rho^{2}\right) K_{0}}, \\\psi^{*}(t)=-\frac{\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \theta_{3}}{\lambda p \varphi^{2} \sigma\left(1-\rho^{2}\right) K_{0}}.\end{array}\right.$

值函数 $V_0(x)$ 的形式 $V_0(x)=e^{-K_0(x-a)},$ 其中

$\begin{equation}\nonumber K_0=\dfrac{-\dfrac{(\alpha_{1}-r)^{2}}{2\beta_{1}^{2}}-\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}}{2\sigma^{2}(1-\rho^{2})}-\dfrac{\mu\lambda\sqrt{p}\rho\theta_{2}\theta_{3}}{\sigma(1-\rho^{2})}-\dfrac{\lambda p\theta_{3}^{2}}{2(1-\rho^{2})}}{xr+\mu\lambda(\theta_{1}-\theta_{2})}. \end{equation}$

同样地, 当 $\eta_{1} \rightarrow \infty$ 且 $\eta_{2} \rightarrow \infty$ 时, 即模型不确定仅存在于巨灾债券市场中.在这种情况下, 最优投资-再保险-巨灾发行策略会退化为

$\left\{\begin{array}{l}\pi_{3}^{*}=\frac{\alpha_{1}-r}{\beta_{1}^{2} K_{1}} \\q^{*}(t)=\frac{\mu \lambda \sqrt{p} \varphi\left(1-\rho^{2}\right) \theta_{2}+\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \rho \theta_{3}\right) \eta_{3}}{\lambda \sqrt{p} \varphi \sigma^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\left(1+\eta_{3}\right) K_{1}} \\\psi^{*}(t)=-\frac{\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \theta_{3}\right) \eta_{3}}{\lambda p \varphi^{2} \sigma\left(1-\rho^{2}\right)\left(1+\eta_{3}\right) K_{1}}\end{array}\right.$

值函数 $V_1(x)$ 有形式 $V_1(x)=e^{-K_1(x-a)},$ 其中

$\begin{equation}\nonumber K_{1}=\dfrac{-\dfrac{(\alpha_{1}-r)^{2}}{2\beta_{1}^{2}}-\dfrac{\lambda p\theta_{3}^{2}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})}{2(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}-\dfrac{\mu\lambda\sqrt{p}\rho\theta_{2}\theta_{3}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})} {\sigma(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}-\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}((1+\eta_{3})^{2}-\rho^{2}(1+\eta_{3}))}{2\sigma^{2}(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}}{xr+\mu\lambda(\theta_{1}-\theta_{2})}. \end{equation}$

4 数值分析

本节通过一些数值模拟来分析模型不确定下保险公司的最优投资-再保险-巨灾债券发行策略, 揭示关键因素对其的影响. 参考文献 [32,40,42], 本文参数取值见表 1.

表1   模型参数

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图 1 揭示了保险市场与巨灾债券市场之间相关系数 $\rho$ 的变动对保险公司最优投资-再保险- 巨灾发行策略产生的深远影响. 观察发现, 当相关系数 $\rho$ 在区间 $(-0.9, 0.9)$ 内逐步变化时, 保险公司在金融市场的最优投资策略 $\pi_{3}$ 呈现出先增后减的趋势, 这一转折发生在 $\rho$ 达到某一特定阈值之后. 同时, 保险公司巨灾债券的发行量 $\psi(t)$ 起初逐渐减少, 直至 $\rho$ 达到另一特定值, 此时保险公司停止发行巨灾债券, 并随着相关性的进一步增强, 转而开始购买巨灾债券. 保险公司的最优再保险策略, 其自留额 $q(t)$ 则先降后升, 意味着保险公司购买再保险的比例先升后降.

图1

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图1   确定模型下 $\rho$ 对最优投资-再保险-巨灾债券发行策略的影响


由此可以看出: 巨灾债券成为了保险公司对冲风险的有效工具. 当巨灾债券和保险市场呈现负相关时, 保险公司倾向于发行巨灾债券, 以此筹集资金并转移部分潜在损失风险. 此时, 相较于传统的再保险方式, 发行巨灾债券更为灵活且成本较低效益更高, 因此保险公司减少再保险的购买. 然而, 当两市场呈现正相关, 保险公司发行巨灾债券的吸引力降低, 因为发行巨灾债券无法有效对冲保险市场的风险. 保险公司会选择购买巨灾债券, 以寻求额外的风险覆盖, 或在某些情况下, 通过持有这些债券来分散投资风险. 此时, 由于两市场的高度相关性, 保险公司会增加对金融市场的直接投资以追求更高回报, 同时适度调整再保险策略, 以平衡风险与收益. 当保险市场与巨灾债券市场的相关性极低时, 巨灾债券作为风险对冲工具的价值减弱. 在这种情况下, 保险公司更倾向于将资金投向金融市场以获取更高收益, 并增加再保险的购买量, 以更直接地管理其在保险市场面临的风险.

图 2 揭示了巨灾债券市场存在模型不确定时, 保险公司最优投资-再保险-巨灾发行策略的调整趋势. 当考虑巨灾债券市场的模型不确定时, 保险公司的行为反应显得尤为关键. 具体而言, 这种不确定性促使保险公司增加了对金融市场的投资力度. 这一变化反映出, 在巨灾债券市场预测难度加大的背景下, 保险公司倾向于将更多资源配置于模型相对更为确定、风险更为可控的金融市场, 以寻求更为稳定的收益.

图2

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图2   模型不确定只存在于巨灾债券市场与确定模型下相关策略的对比


同时, 对于巨灾债券的发行与购买, 模型不确定性带来了显著的负向影响. 由于巨灾风险模型的准确性直接关系到巨灾债券的定价与风险评估, 模型的不确定性使得保险公司难以精确估算, 进而影响了债券的合理定价. 因此, 为了规避这一不确定性带来的潜在风险, 保险公司选择谨慎行事, 减少巨灾债券的发行量和购买数量, 以降低因模型不准确而可能引发的损失.

此外, 保险市场与巨灾债券市场之间的相关性也使得模型不确定性对保险公司的再保险策略产生了影响. 在面临模型不确定性的情况下, 保险公司为了更有效地管理风险, 倾向于增加购买再保险的比例. 再保险作为一种风险转移机制, 能够帮助保险公司分散和减轻灾难事件带来的财务压力. 因此, 在模型不确定性增加的背景下, 保险公司更倾向于通过购买再保险来增强自身的风险抵御能力, 而非依赖可能存在定价偏差的巨灾债券.

图 3 ($\eta_{1}=2$, $\eta_{2}=2$), 探讨保险、金融及巨灾债券市场均存在模型不确定时, 保险公司的最优投资与再保险策略如何调整. 图示清晰展示了, 当金融市场存在模型不确定时, 保险公司会倾向于减少在该市场上对风险资产的投资. 进一步分析发现, 即便保险与巨灾债券市场同样存在模型不确定, 与仅巨灾债券市场面临不确定的情形相比, 保险公司会减少再保险的购买. 此外, 保险市场与巨灾债券市场之间的相关性对保险公司的巨灾债券策略具有显著影响; 两者负相关时, 保险公司倾向于增加巨灾债券的发行; 正相关时, 则更倾向于购买巨灾债券.

图3

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图3   模型不确定只存在于巨灾债券市场与三市场均存在模型不确定下相关策略的对比


这一策略调整背后的经济学逻辑在于: 保险市场与巨灾债券市场的负相关关系意味着两者在灾难事件中的表现往往呈现对冲效应. 在此情境下, 购买再保险可能被视为一种成本较高的风险管理手段, 因为再保险费用可能随保险市场的波动而变动, 相比之下, 巨灾债券的融资成本则相对稳定. 因此, 保险公司可能更倾向于利用巨灾债券来构建更为稳健的成本结构, 以降低对再保险的依赖. 而当保险市场与巨灾债券市场正相关时, 购买巨灾债券成为保险公司多元化风险敞口的有效途径. 通过持有巨灾债券, 保险公司不仅能够在传统保险合同之外实现风险分散, 还能有效降低对单一灾难风险的暴露程度, 即便金融市场模型的不确定性可能对这两个市场产生联动影响, 保险公司通过持有巨灾债券也能实现风险分布的多样化, 增强整体风险抵御能力.

图 4 ($\rho=-0.7$, $\eta_{1}=2$,$\eta_{2}=2$) 中, 我们展示了模型不确定性条件下资金对最优投资-再保险策略的影响, 从图中分析可得, 保险公司的目标函数为最小化破产概率, 其风险偏好随资产的增加而趋于保守. 具体表现为, 随着资金的增长, 保险公司会减少在金融市场风险资产上的投资, 同时减少巨灾债券的发行, 并增加再保险的购买量. 当保险公司的资金达到或超过某一特定阈值, 即 $x\geq\frac{\mu\lambda(\theta_{2}-\theta_{1})}{r}$ 时, 其策略发生显著变化. 此时, 保险公司选择将全部资金投资于金融市场的无风险资产以获取稳定的无风险利息收入, 而部分索赔风险则通过再保险机制转移给再保险公司, 其转移成本完全由无风险利息收入来覆盖. 在这种情境下, 保险公司不再投资于有风险的市场资产 (即 $\pi_{3}=0$), 停止发行巨灾债券 (即 $\psi(t)=0$), 并且将所有索赔风险通过再保险转嫁 (即 $q(t)=0$).

图4

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图4   模型不确定下保险公司的资金 $x$ 对相关策略的影响


进一步观察可以发现, 随着巨灾债券市场模糊厌恶系数的增大, 保险公司的行为也发生调整. 具体来说, 保险公司会增加巨灾债券的发行量, 同时减少在金融市场风险资产上的投资以及再保险的购买比例. 保险公司作为风险规避者, 在面临市场不确定性时更倾向于采取保守策略以确保财务稳定. 当巨灾债券市场的模糊厌恶系数上升时 (巨灾债券市场的模糊性减弱), 这实际上反映了保险公司对该市场模型信心的增强, 因此它们更愿意利用这一市场, 通过发行巨灾债券来转移风险, 同时相应减少在其他风险资产上的暴露和再保险的依赖. 这种策略调整是保险公司在风险规避与寻求收益之间寻求平衡的结果.

5 结论

近年来, 气候和环境变化加剧了全球自然灾害的频发, 这对社会稳定和全球经济构成了严峻挑战, 同时也使保险公司面临着巨大的巨灾风险损失. 因此, 巨灾债券的发行成为提升保险公司避免巨大损失的新途径. 保险公司可以通过转变传统经营模式, 通过巨灾风险证券化将部分风险转移至资本市场上, 利用其强大的风险容纳能力和资金配置能力, 实现风险的分散.

在传统保险市场中, 风险资产主要通过投资组合收益间接覆盖保险损失, 其对冲效果和金融与保险市场的相关性紧密关联, 需依赖市场有效性实现风险分散. 相比之下, 巨灾债券能直接将保险风险转移至资本市场, 其赔付与灾害事件直接挂钩, 但可能因依赖外生触发指标而与实际损失产生偏差. 保险公司在发行 (购买) 巨灾债券时, 其购买再保险的比例会随发行 (购买) 数量的增加而减少, 由此可见巨灾债券可以作为保险公司对冲风险的良好金融工具. 同时, 巨灾债券市场与保险市场的相关性对保险公司的投资组合以及风险管理策略也会产生显著的影响, 相关性越强 ($\mid\rho\mid$ 越大) 保险公司对风险资产的投资就越少, 发行 (购买) 巨灾债券的越多, 购买再保险就越少. 在保险、金融、巨灾债券三个市场都存在模型不确定性的情况下, 保险公司可能更倾向于依赖巨灾债券, 以实现更稳定的成本结构和更有效的风险分散. 通过对不同市场的模糊厌恶系数进行对比分析可以发现, 由于保险公司具有强烈的风险规避倾向, 它们更倾向于将资金投资模型更为确定的市场. 同时, 最优投资策略是资金 $x$ 的递减函数, 保险公司拥有的财富越多, 其投资意愿越低, 而购买再保险的倾向则越强.

附录 (定理 3.2 的证明)

证
$\begin{array}{l}\inf _{\pi \in \mathbb{V}} \sup _{o, u, w}\left[\left(x r+\pi_{3}\left(\alpha_{1}-r\right)+\mu \lambda\left[\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t))\right]-\lambda p \varphi \theta_{3} \psi(t)\right.\right. \\\left.+(q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\sqrt{\lambda p} \varphi \rho \psi(t)) o(t)+\pi_{3} \beta_{1} u(t)+\sqrt{\lambda p} \varphi \sqrt{1-\rho^{2}} \psi(t) w(t)\right) V_{2}^{\prime}(x) \\+\frac{1}{2}\left((q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\sqrt{\lambda p} \varphi \rho \psi(t))^{2}+\pi_{3}^{2} \beta_{1}^{2}+\lambda p \varphi^{2}\left(1-\rho^{2}\right) \psi(t)^{2}\right) V_{2}^{\prime \prime}(x) \\\left.-\frac{1}{2} \eta_{1} \phi\left(V_{2}(x)\right)[o(t)]^{2}-\frac{1}{2} \eta_{2} \phi\left(V_{2}(x)\right)[u(t)]^{2}-\frac{1}{2} \eta_{3} \phi\left(V_{2}(x)\right)[w(t)]^{2}\right]=0.\end{array}$
$\left\{\begin{array}{l}o^{*}(t)=\frac{(q(t) \sqrt{\lambda} \sigma+\psi(t) \varphi \sqrt{\lambda p} \rho) V_{2}^{\prime}(x)}{\xi_{1} V_{2}(x)}, \\u^{*}(t)=\frac{\pi_{3} \beta_{1} V_{2}^{\prime}(x)}{\xi_{2} V_{2}(x)}, \\w^{*}(t)=\frac{\psi(t) \varphi \sqrt{\lambda p} \sqrt{1-\rho^{2}} V_{2}^{\prime}(x)}{\xi_{3} V_{2}(x)}.\end{array}\right.$

将 (A.2) 式代入 (A.1) 式, 化简得

$\begin{aligned}\inf _{\pi \in \mathbb{V}} & {\left[\left(x r+\pi_{3}\left(\alpha_{1}-r\right)+\mu \lambda\left[\theta_{1}-\theta_{2}(1-q(t))\right]-\lambda p \varphi \theta_{3} \psi(t)+\frac{(q(t) \sqrt{\lambda} \sigma+\psi(t) \varphi \sqrt{\lambda p} \rho)^{2} V_{2}^{\prime}(x)}{2 \eta_{1} V_{2}(x)}\right.\right.} \\& \left.+\frac{\pi_{3}^{2} \beta_{1}^{2} V_{2}^{\prime}(x)}{2 \eta_{2} V_{2}^{\prime}(x)}+\frac{\psi(t)^{2} \lambda p \varphi^{2}\left(1-\rho^{2}\right) V_{2}^{\prime}(x)}{2 \eta_{3} V_{2}^{\prime}(x)}\right) V_{2}^{\prime}(x)+\frac{1}{2}\left((q(t) \sigma \sqrt{\lambda}+\sqrt{\lambda p} \varphi \rho \psi(t))^{2}\right. \\& \left.\left.+\pi_{3}^{2} \beta_{1}^{2}+\lambda p \varphi^{2}\left(1-\rho^{2}\right) \psi(t)^{2}\right) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right]=0\end{aligned}$

参考 Liu (2024) 对值函数的求解可知, Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程 (A.3) 的解满足 $V_{2}'(x) > 0$ 和 $V_{2}''(x) < 0$, 所以最小化破产概率下的最优决策可通过对 (A.3) 式中的 $\pi_{3}$, $q(t)$ 和 $\psi(t)$ 进行微分得到

$\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha_{1}-r\right) V_{2}^{\prime}(x)+\pi_{3} \frac{\beta_{1}^{2} V_{2}^{\prime}(x)^{2}}{\eta_{2} V_{2}(x)}+\pi_{3} \beta_{1}^{2} V_{2}^{\prime \prime}(x)=0 \\\mu \lambda \theta_{2} V_{2}^{\prime}(x)+q(t) \frac{\lambda \sigma^{2}\left(V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{1} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right)}{\eta_{1} V_{2}(x)}+\psi(t) \frac{\lambda \sqrt{p} \sigma \varphi \rho\left(V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{1} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right)}{\eta_{1} V_{2}(x)}=0, \\-\lambda p \varphi \theta_{3} V_{2}^{\prime}(x)+q(t) \frac{\lambda \sqrt{p} \sigma \varphi \rho\left(V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{1} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right)}{\eta_{1} V_{2}(x)} \\+\psi(t) \frac{\lambda p \varphi^{2}\left[\left(\eta_{3} \rho^{2}+\left(1-\rho^{2}\right) \eta_{1}\right) V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{1} \eta_{3} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right]}{\eta_{1} \eta_{3} V_{2}(x)}=0.\end{array}\right.$

解上述方程, 得

$\left\{\begin{array}{l}\pi_{3}^{*}=-\frac{\left(\alpha_{1}-r\right) \eta_{2} V_{2}(x) V_{2}^{\prime}(x)}{\beta_{1}^{2}\left(V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{2} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right)}, \\q^{*}(t)=-\frac{\mu \lambda \theta_{2} \eta_{1} V_{2}(x) V_{2}^{\prime}(x)}{\lambda \sigma^{2}\left(V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{1} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right)}-\frac{\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho^{2} \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \rho \theta_{3}\right) \eta_{3} V_{2}(x) V_{2}^{\prime}(x)}{\lambda \sqrt{p} \sigma^{2} \varphi\left(1-\rho^{2}\right)\left(V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{3} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right)}, \\\psi^{*}(t)=\frac{\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \theta_{3}\right) \eta_{3} V_{2}(x) V_{2}^{\prime}(x)}{\lambda p \varphi^{2} \sigma\left(1-\rho^{2}\right)\left(V_{2}^{\prime}(x)^{2}+\eta_{3} V_{2}(x) V_{2}^{\prime \prime}(x)\right)}.\end{array}\right.$

将 (A.4) 式代入 HJB 公式 (A.3) 并化简, 我们有

$\begin{matrix}\label{25} \nonumber &xrV_{2}'(x)-\dfrac{(\alpha_{1}-r)^{2}\eta_{2}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{2}}{\beta_{1}^{2}(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{2}V_{2}(x)V_{2}''(x))} +\mu\lambda(\theta_{1}-\theta_{2})V_{2}(x)-\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\eta_{1}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{2}} {\sigma^{2}(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{1}V_{2}(x)V_{2}''(x))}\\ \nonumber&-\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\rho^{2}\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{2}}{\sigma^{2}(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2} +\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))}-\dfrac{2\mu\lambda\sqrt{p}\rho\theta_{2}\theta_{3} \eta_{3}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{2}}{\sigma(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))}\\ \nonumber&-\dfrac{\lambda p\theta_{3}^{2}\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{2}}{(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))} +\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\eta_{1}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{4}}{2\sigma^{2}(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{1} V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}\\ \nonumber&+\dfrac{(\alpha_{1}-r)^{2}\eta_{2}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{4}}{2\beta_{1}^{2}(V_{2}'(x)^{2} +\eta_{2}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}+\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\rho^{2}\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{4}} {2\sigma^{2}(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}\\ \nonumber&+\dfrac{\mu\lambda\sqrt{p}\rho\theta_{2}\theta_{3}\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{4}}{\sigma(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2} +\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}+\dfrac{\lambda p\theta_{3}^{2}\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}'(x)^{4}}{2(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}\\ \nonumber&+\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\eta_{1}^{2}V_{2}(x)^{2}V_{2}'(x)^{2}V_{2}''(x)}{2\sigma^{2}(V_{2}'(x)^{2} +\eta_{1}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}+\dfrac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\rho^{2}\eta_{3}^{2} V_{2}(x)^{2}V_{2}'(x)^{2}V_{2}''(x)}{2\sigma^{2}(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}\\ \nonumber&+\dfrac{\mu\lambda\sqrt{p}\rho\theta_{2}\theta_{3}\eta_{3}^{2}V_{2}(x)^{2}V_{2}'(x)^{2}V_{2}''(x)} {\sigma(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}+\dfrac{\lambda p\theta_{3}^{2}\eta_{3}^{2}V_{2}(x)^{2}V_{2}'(x)^{2}V_{2}''(x)}{2(1-\rho^{2})(V_{2}'(x)^{2} +\eta_{3}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}\\ &+\dfrac{(\alpha_{1}-r)^{2}\eta_{2}^{2}V_{2}(x)^{2}V_{2}'(x)^{2}V_{2}''(x)} {2\beta_{1}^{2}(V_{2}'(x)^{2}+\eta_{2}V_{2}(x)V_{2}''(x))^{2}}=0. \end{matrix}$

由上述式子以及边界条件等, 推测值函数的具体形式为

$\begin{equation*}\label{26} V_2(x)=L_2\cdot e^{-K_2x}, \hspace{1em} (L_2>0, \ K_2>0). \end{equation*}$

进一步, 我们有$V_{2}'(x)=-K_{2}V_2(x),\hspace{1em} V_{2}''(x)=K_{2}^{2}V_2(x).$ 将 $V_{2}(x)$、$V_{2}'(x)$ 和 $V_{2}''(x)$代入(A.5), 化简后得到

$\begin{equation*}\label{28} K_{2}=\dfrac{-\frac{(\alpha_{1}-r)(\eta_{2}+\eta_{2}^{2})}{2\beta_{1}^{2}(1+\eta_{2})^{2}}-\frac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}(\eta_{1}+\eta_{1}^{2})}{2\sigma^{2}(1+\eta_{1})^{2}}-\frac{\mu^{2}\lambda\theta_{2}^{2}\rho^{2}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})}{2\sigma^{2}(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}-\frac{\mu\lambda\sqrt{p}\rho\theta_{2}\theta_{3}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})}{\sigma(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}-\frac{\lambda p\theta_{3}^{2}(\eta_{3}+\eta_{3}^{2})}{2(1-\rho^{2})(1+\eta_{3})^{2}}}{xr+\mu\lambda(\theta_{1}-\theta_{2})}. \end{equation*}$

根据边界条件 $V_{2}(a)=1$, 可以得到 $L_{2}=1$. 因此,

$\begin{equation*}\label{29} V_2(x)=e^{-K_2(x-a)}, \end{equation*}$

所以, 我们得到保险公司的最优投资-再保险-巨灾债券发行策略如下

$\left\{\begin{array}{l}\pi_{3}^{*}=\frac{\left(\alpha_{1}-r\right) \eta_{2}}{\beta_{1}^{2}\left(1+\eta_{2}\right) K_{2}}, \\q^{*}(t)=\frac{\mu \lambda \theta_{2} \eta_{1}}{\lambda \sigma^{2}\left(1+\eta_{1}\right) K_{2}}+\frac{\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho^{2} \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \rho \theta_{3}\right) \eta_{3}}{\lambda \sqrt{p} \sigma^{2} \varphi\left(1-\rho^{2}\right)\left(1+\eta_{3}\right) K_{2}}, \\\psi^{*}(t)=-\frac{\left(\mu \lambda \sqrt{p} \varphi \rho \theta_{2}+\lambda p \varphi \sigma \theta_{3}\right) \eta_{3}}{\lambda p \varphi^{2} \sigma\left(1-\rho^{2}\right)\left(1+\eta_{3}\right) K_{2}}.\end{array}\right.$

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We consider a firm that is faced with an uncontrollable stochastic cash flow, or random risk process. There is one investment opportunity, a risky stock, and we study the optimal investment decision for such firms. There is a fundamental incompleteness in the market, in that the risk to the investor of going bankrupt cannot be eliminated under any investment strategy, since the random risk process ensures that there is always a positive probability of ruin (bankruptcy). We therefore focus on obtaining investment strategies which are optimal in the sense of minimizing the risk of ruin. In particular, we solve for the strategy that maximizes the probability of achieving a given upper wealth level before hitting a given lower level. This policy also minimizes the probability of ruin. We prove that when there is no risk-free interest rate, this policy is equivalent to the policy that maximizes utility from terminal wealth, for a fixed terminal time, when the firm has an exponential utility function. This validates a longstanding conjecture about the relation between minimizing probability of ruin and exponential utility. When there is a positive risk-free interest rate, the conjecture is shown to be false. We also solve for the optimal policy for the related objective of minimizing the expected discounted penalty paid upon ruin.

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This paper considers the portfolio selection and capital injection problem for a diffusion risk model within the classical Black–Scholes financial market. It is assumed that the original surplus process of an insurance portfolio is described by a drifted Brownian motion, and that the surplus can be invested in a risky asset and a risk-free asset. When the surplus hits zero, the company can inject capital to keep the surplus positive. In addition, it is assumed that both fixed and proportional costs are incurred upon each capital injection. Our objective is to minimize the expected value of the discounted capital injection costs by controlling the investment policy and the capital injection policy. We first prove the continuity of the value function and a verification theorem for the corresponding Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equation. We then show that the optimal investment policy is a solution to a terminal value problem of an ordinary differential equation. In particular, explicit solutions are derived in some special cases and a series solution is obtained for the general case. Also, we propose a numerical method to solve the optimal investment and capital injection policies. Finally, a numerical study is carried out to illustrate the effect of the model parameters on the optimal policies.

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本文研究了存在新技术项目时R&D企业的最优技术投资与分红策略.假定企业流动资金变化由对偶风险模型描述，企业破产时存在清算价值，目标是最大化破产前的累计红利现值与清算价值现值之和.运用混合奇异控制-最优停时方法，当企业的每笔收益服从指数分布时本文得到R&D企业的最优投资与分红策略及最优值函数的解析表达式.最后，我们分析了模型参数对企业最优投资与分红策略的影响，并用效用无偏差理论分析了新技术项目的价值.

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本文基于连续时间均值-方差框架，研究了通货膨胀影响下投资终止时间不确定的最优投资组合选择问题. 与以往大多数文献不同，本文所考虑的金融市场仅存在风险资产. 首先构建了含通货膨胀及终止时间不确定因素的风险资产均值-方差投资组合选择模型. 然后利用随机动态规划方法和Lagrange对偶原理得到了有效投资策略及有效边界的解析表达式，并进一步讨论了本文模型的几种特殊情形. 最后，通过数值算例对本文所得结论进行阐述.

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在离散时间框架下研究了一个多期均值-方差确定缴费养老基金管理问题. 综合考虑了金融资产价格、通货膨胀和随机收入这三种决策风险, 且假设养老计划参与者的随机收入会受到通货膨胀的影响. 分析了最优策略的存在性, 运用拉格朗日对偶原理和动态规划方法, 得到了最优投资策略和有效前沿的显式解. 最后运用数值分析方法, 分析了通货膨胀和随机收入对投资策略、终端真实财富均值和有效前沿的影响. 我们的研究表明, 通货膨胀和随机收入会对相关结果产生本质的影响.

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保险公司的投资决策与保费收取决策至关重要.由于金融市场复杂性与风险性等特点，保险公司对金融市场的模型估计不可避免的会存在模糊性.因此在金融市场存在模糊性下研究保险公司的最优投资和最优保费策略会更加贴近现实.假设保险公司对金融市场的模型估计会存在模糊性，而保险公司对自己的模型由于其长时间的应用、经营和检验将不会存在模糊性.在模糊厌恶下，在最大化保险公司终端财富期望效用的目标下，给出了保险公司的最优投资和保费策略的解析解并得到了值函数具体的形式.结果显示：对金融市场模糊厌恶下求得的最优策略与不考虑模糊性下所求得的最优策略会存在联系，且金融市场的模糊性会对最优策略有明显的影响.

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