在本文中, 我们关注如下问题的非存在性结果

其中 $s\in(0,1)$, $N\ge2$, $f,g\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $H$ 是 ${\mathbb{R}}^{N}$ 中的某个半空间, $\chi$ 是特征函数, $(-\Delta)^s$ 是分数阶 Laplacian, 定义如下

这里 $C(N,s)=\Big( \int_{{\mathbb{R}}^{N}}\frac{1-\cos(\zeta_1)}{|\zeta|^{N+2s}}\text{d} \zeta\Big)^{-1}$ (见文献 [4]). 该算子在文献 [11] 中被引入, 用于描述分数阶量子力学, 其中量子路径的布朗运动被 Lévy 飞行所取代.

迄今为止, 针对分数阶方程的各种 Liouville-型定理, 已有大量研究. 利用 Kelvin 变换与移动平面法, 文献 [3,定理 6.6.1] 证明了下述方程不存在属于 $\mathcal{L}_s\cap C_{\mathrm{loc}}^{1,1}$ 的正解

其中 $p\in(1,\frac{N+2s}{N-2s})$, $\mathcal{L}_s:=\{u\in L^1_{\mathrm{loc}}({\mathbb{R}}^{N})\mid\int_{{\mathbb{R}}^{N}}\frac{|u(x)|}{1+|x|^{N+2s}}<\infty \}$. 随后, Fall 等人证明了如下方程在 $p\in [1,\frac{N+2s}{N-2s}]$ 的范围内不存在属于 $\mathcal{D}^{s,2}(\Omega)\cap C({\mathbb{R}}^{N})$ 的非负非平凡的解^{[9,定理 1.5]}

其中 $\Omega$ 关于无穷远点是星形区域, $\mathcal{D}^{s,2}(\Omega)=\{u\in H^s({\mathbb{R}}^{N})\mid u=0\ \text{几乎处处于}\ {\mathbb{R}}^{N} \backslash\Omega \}$; 特别地, $\Omega$ 可以取 $\mathbb{R}_+^N$ (也可参考文献 [2]). 以上两个例子是非常典型的, 而关于分数阶方程的更多非存在性结果, 我们建议读者参阅文献 [1,3,7,8,9,12] 以及其中的参考文献.

然而, 据我们所知, 目前关于方程 (1.1) 的非存在性结果还尚未被获得. 方程 (1.1) 经常出现在非线性项受到惩罚时的爆破分析中. 例如, 假设$\{u_\varepsilon \}_\varepsilon$ 是如下方程的一族弱解 (在适当意义下)

其中 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^{N}$ 是一个有界光滑区域, $\Omega_\varepsilon=\{x\in{\mathbb{R}}^{N} \mid\varepsilon x+x_\varepsilon \in \Omega \}$, $V(x)\in C({\mathbb{R}}^{N},\mathbb{R})$ 且 $x_\varepsilon \in\Omega$. 令 $\varepsilon \to0$ 并形式上取极限, 我们可能得到某个函数 $u$ 满足 $(-\Delta)^su+V(x_0)u=\chi_{ \Omega^*}f(u),\quad x\in {\mathbb{R}}^{N},$ 其中对某个 $ \Omega^*\in\{\emptyset,H,{\mathbb{R}}^{N} \}$ 有 $\chi_{\Omega_\varepsilon}\to \chi_{ \Omega^*}$ 几乎处处成立. 一般来说, 我们希望可以排除掉 $ \Omega^* = H$ 的情形. 因此, 本文旨在研究方程 (1.1) 的非存在性结果.

假设 $f$ 和 $g$ 满足如下条件

(A1) $f,g\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$;

(A2) 存在常数 $C>0$ 使得对$\forall\ t\ge0$, 有 $|f(t)|+|g(t)|\le C(t+t^{2_s^*-1})$;

(A3) $ F(t):=\int_{0}^tf(r)\mathrm{d}r>0,\ \forall\ t>0$,

其中 $2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$ 是 Sobolev 临界指标.

记 $G(t)=\int_{0}^tg(r){\rm d}r$. 则 $F,G\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 且

我们称 $u \in H^s(\mathbb{R}^N)$ 为方程 (1.1) 的一个弱解, 若对任意 $\phi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^N)$, 下式成立

其中分数阶 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 定义为

其范数为$\|u\|_{H^s({\mathbb{R}}^{N})}=\Big([u]_s^2+\|u\|_{L^2({\mathbb{R}}^{N})}^2\Big)^{1/2}.$

我们的主要结果为

定理1.1 设 $s\in [1/2,1)$, $N\ge2$, $f,g$ 满足条件 (A1)-(A3), 且$ H$ 是$ {\mathbb{R}}^{N}$ 中的一个半空间. 若 $u\in H^{s}({\mathbb{R}}^{N})$ 是方程 (1.1)的一个非负弱解, 则 $u\equiv0$.

取 $f(u) = |u|^{p-1}u$ ($p \in [1, \frac{N+2s}{N-2s}]$) 及 $g(u) = -\lambda u$, 立即有下述推论.

推论1.1 设 $s\in [1/2,1)$, $N\ge2$, $\lambda\in\mathbb{R}$, $p\in [1,\frac{N+2s}{N-2s}]$ 且$ H$ 是$ {\mathbb{R}}^{N}$ 中的一个半空间. 若 $u\in H^{s}({\mathbb{R}}^{N})$ 是方程 $(-\Delta)^su+\lambda u=\chi_H|u|^{p-1}u,\quad x\in{\mathbb{R}}^{N}$ 的一个非负弱解, 则 $u\equiv0$.

直观上看, 方程 (1.1) 与方程 (1.2) 或 (1.3) 有一定的相似性. 然而, 特征函数 $\chi_H$ 的出现破坏了对称性, 这使得在处理方程 (1.1) 时, 无法沿用处理 (1.2) 时所用的 Kelvin 变换及移动平面法. 此外, 作为定义在全空间 $\mathbb{R}^N$ 中的方程, (1.1) 并未给出 $u$ 在区域 $\mathbb{R}^N \setminus H$ 上的取值, 从而针对 (1.3) 的研究方法也无法适用于 (1.1). 因此, 我们运用 Pohozaev-型恒等式来证明定理 1.1. 但由于 $(-\Delta)^s$ 的非局部性, 我们无法像应对整数阶方程那样直接使用分部积分法来处理非局部项. 于是, 首先获得弱解的 $H^{2s}$ 正则性后, 我们借助傅里叶分析来处理非局部项. 另一方面, 在运用 Pohozaev-型恒等式时, 一个必要的前提是 $\nabla u$ (至少在弱意义下) 存在. 然而, 当 $s \in (0, 1/2)$ 时, 即便通过正则性估计, 由于 $\chi_H$ 的不连续性, 我们仍无法验证 $\nabla u$ 是否存在. 因而这里限制 $s\in[1/2,1)$.

在本节, 我们给出定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 不失一般性, 不妨设 $H=\mathbb{R}^{N-1}\times \mathbb{R}_+$. 令 $u\ge0$ 是方程 (1.1) 的一个弱解. 根据条件 (A2), 则 $u$ 满足 $(-\Delta)^su\le C(u+u^{2_s^*-1}),\quad x\in{\mathbb{R}}^{N}.$ 由文献 [6,命题 5.1.1] 可知 $u\in L^\infty ({\mathbb{R}}^{N})$. 再结合文献 [13,命题 2.9], 有

我们先断言 $u\in H^{2s}({\mathbb{R}}^{N})$. 显然, (1.1) 式等价于 $(-\Delta)^su+u=\chi_Hf(u)+g(u)+u,\quad x\in{\mathbb{R}}^{N}.$ 则我们有如下的表达式

其中 $\mathcal{K}_s$ 是算子 $((-\Delta)^s+1)^{-1}$ 对应的 Bessel 核, 定义如下

此外, 对任意的 $q\in[1,\frac{N}{N-2s})$, 均有 $\mathcal{K}_s\in L^q({\mathbb{R}}^{N})$ (见文献 [10]). 通过 (2.1) 式和傅里叶变换, 有

以上表明 $u\in H^{2s}({\mathbb{R}}^{N})$. 特别地, $|\xi|^{2s}\mathcal{F}(u)\in L^2({\mathbb{R}}^{N})$.

对任意 $\phi\in C_0^\infty ({\mathbb{R}}^{N})$, 应用傅里叶变换, 推得

这同 (1.5) 式一起表明

再根据稠密分析, 则

因为对 $2s\ge1$ 有 $H^{2s}({\mathbb{R}}^{N})\hookrightarrow H^1({\mathbb{R}}^{N})$, 则 $u\in H^1({\mathbb{R}}^{N})$, 从而 $\nabla u\in L^2({\mathbb{R}}^{N})$. 据此,

注意到 $|\xi|^{2s}\mathcal{F}(u)\in L^2({\mathbb{R}}^{N})$ 以及 $\nabla u\in L^2({\mathbb{R}}^{N})$, 由傅里叶变换可得

显然, 等式 (2.2) 表明 $ \int_{{\mathbb{R}}^{N}}\mathcal{F}^{-1}(|\xi|^{2s}\mathcal{F}(u))\frac{\partial u}{\partial x_N}\text{d} x$ 是一个实数. 鉴于一个基本的事实: $a+b{\rm i}=0$ $(a,b\in\mathbb{R})$ 当且仅当 $a=b=0$, 从而 (2.3) 式给出

回顾 $u\in H^1({\mathbb{R}}^{N})\cap L^\infty ({\mathbb{R}}^{N})$ 且 $F,G\in C^1(\mathbb{R})$, 可知 $F(u), G(u)\in H^1({\mathbb{R}}^{N})$. 特别地, 有 $\nabla(F(u))=f(u)\nabla u$ 及 $\nabla(G(u))=g(u)\nabla u$. 因此,

此外, 由 (A2) 和 (1.4) 式, 可得 $F(u), G(u)\in W^{1,1}({\mathbb{R}}^{N})$.

通过极坐标变换，有如下成立

从而, 存在 $\{R_i\}\subset \mathbb{R}_+$ 使得 $\lim_{i\to\infty} R_i=+\infty$ 且

记 $B_{R_i}:=B_{R_i}(0)$. 取 $\{v_n\}, \{w_n\}\subset C_0^\infty ({\mathbb{R}}^{N})$, 使得

显然, $H_i:=B_{R_i}\cap H$ 是具有 Lipschitz 边界的有界开集. 注意到 $F(u)\in C({\mathbb{R}}^{N})$, 根据迹定理有

利用分部积分, 有

其中 $\nu_N$ 表示单位外法向量的第 $N$ 个分量. 在(2.9) 和 (2.10) 式中分别令 $n\to \infty$, 则由 (2.7) 和 (2.8) 式可推得

以及

因为 $F(u), G(u)\in W^{1,1}({\mathbb{R}}^{N})$, 故由控制收敛定理得

另外, 根据 (A3) 和单调收敛定理, 有

结合 (2.6), (2.13) 及 (2.15) 式, 并在 (2.11) 式中令 $i\to\infty$, 即得

同时, 依据 (2.6) 和 (2.14) 式, 在 (2.12) 式中令 $i\to\infty$, 即得

将 (2.4), (2.5), (2.16) 以及 (2.17) 式带入到 (2.2) 式, 从而 $\int_{\partial H}F(u)\text{d} S=0,$ 这与 (A3) 一同表明 $u|_{\partial H}\equiv0$.

另一方面, 记

则 (1.1) 式等价于 $(-\Delta)^s u+c(x)u=0,\quad x\in{\mathbb{R}}^{N}. $ 显然, 依据 $u\in L^\infty ({\mathbb{R}}^{N})$ 以及 (A2), 有 $c(x)\in L^\infty ({\mathbb{R}}^{N})$. 利用文献 [5,引理 2.9] 中的强极值原理可知, 要么 $u|_{{\mathbb{R}}^{N}}\equiv0$, 要么 $u|_{{\mathbb{R}}^{N}}>0$. 由于已有 $u|_{\partial H}\equiv0$, 从而迫使 $u|_{{\mathbb{R}}^{N}}\equiv0$. 这便完成了证明.