关于分数阶椭圆方程的一类 Liouville 定理——献给邓引斌教授 70 寿辰

数学物理学报 ›› 2026, Vol. 46 ›› Issue (4): 1548-1553.

关于分数阶椭圆方程的一类 Liouville 定理——献给邓引斌教授 70 寿辰

任青¹(), 杨显²^,^*()

¹ 广西机电职业技术学院南宁 530007
² 广西大学数学学院, 广西应用数学中心 (广西大学) 南宁 530004

收稿日期:2026-01-04 修回日期:2026-01-19 出版日期:2026-08-26 发布日期:2026-06-10
通讯作者: 杨显 E-mail:renqing@gxcme.edu.cn;yangxian@gxu.edu.cn
作者简介:任青,E-mail: renqing@gxcme.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金(12501136)

A Class of Liouville-Type Theorem for Fractional Elliptic Equations

Qing Ren¹(), Xian Yang²^,^*()

¹ Guangxi Technological College of Machinery and Electricity, Nanning 530007
² School of Mathematics & Center for Applied Mathematics of Guangxi (Guangxi University), Nanning 530004

Received:2026-01-04 Revised:2026-01-19 Online:2026-08-26 Published:2026-06-10
Contact: Xian Yang E-mail:renqing@gxcme.edu.cn;yangxian@gxu.edu.cn
Supported by:
NSFC(12501136)

摘要/Abstract

摘要：

在该文中, 考虑如下分数阶方程

($\mathcal{P}$)$ (-\Delta)^su=\chi_Hf(u)+g(u),2, \quad x\in{\mathbb{R}}^{N}, $

其中 $s\in[\frac{1}{2}, 1)$, $N\ge2$, $f,g\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\chi_H$ 是 ${\mathbb{R}}^{N}$ 中某个半空间 $H$ 的特征函数. 在对 $f$ 和 $g$ 的一些宽松且自然的条件下, 证明问题 $\mathcal{P}$ 不存在非负非平凡的弱解. 特别地, 这里不需要预先假设解有强的正则性.

关键词: 分数阶椭圆方程, Liouville 定理, 半空间, 弱解

Abstract:

In this paper, we study the following fractional equation

($\mathcal{P}$)$ (-\Delta)^su=\chi_Hf(u)+g(u),2, \quad x\in{\mathbb{R}}^{N}, $

where $s\in[\frac{1}{2}, 1)$, $N\ge2$, $f,g\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\chi_H$ is the characteristic function of a half space $H$ in ${\mathbb{R}}^{N}$. Under some loose and natural conditions on $f$ and $g$, we show that ($\mathcal{P}$) admits no nontrivial nonnegative weak solution in $H^s({\mathbb{R}}^{N})$. We do not require strong regularity assumptions on the solutions we study.

Key words: fractional elliptic equations, Liouville theorem, half space, weak solutions

中图分类号:

O175.2

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