自 Tao、Visan 与 Zhang 的开创性文献 [16] 发表以来, 含组合幂次非线性项的非线性 Schrödinger 方程

其中 $\mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, 受到了学者们的广泛关注. 特别是方程的整体适定性、散射性、爆破现象及更一般的动力学性质, 已在文献 [16] 及后续诸多研究中得到深入探讨. 为了寻找方程 (1.1) 的形如 $\Psi(t,x) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda t}u(x)$ (其中 $\lambda \in \mathbb{R}$, $u: \mathbb{R}^N \to \mathbb{C}$ 是与时间无关的函数) 的驻波解, 那么只需要证明 $u(x)$ 满足如下方程

可行的研究思路之一是: 固定 $\lambda \in\mathbb{R}$, 并寻找方程 (1.2) 的解 $u$, 我们将其称为固定频率问题. 此类问题可通过变分方法 (例如寻找能量泛函的临界点) 或其他拓扑方法 (如不动点理论、分歧方法、Lyapunov-Schmidt 约化方法) 进行研究. 众所周知, 固定频率问题已得到广泛而深入的研究, 大量文献聚焦于其解的性质分析, 涵盖解的存在性、非存在性、多解性及渐近行为等方面, 其中部分研究针对基态解或正解展开, 另有部分研究关注变号解等问题.

另一种研究思路是寻找方程 (1.2) 的给定质量解, 即满足给定 $L^2$-范数的解 (通常这类解在诸多文献中也被称为正规化解). 此时参数 $\lambda \in \mathbb{R}$ 是未知量的一部分, 并以拉格朗日乘子的形式出现. 这一方法具有特殊的物理意义: 由于时变方程 (1.1) 满足质量守恒, 质量在物理场景中通常具有明确含义, 例如, 在非线性光学中代表功率供给, 在玻色-爱因斯坦凝聚中代表原子总数. 此外, 从纯数学角度看, 该方法也有助于深入理解方程 (1.1) 驻波解的性质 (如稳定性或不稳定性). 基于上述原因, Soave 完成了一项奠基性工作: 分别在 Sobolev 次临界^[14]与 Sobolev 临界^[15]情形下, 研究了如下问题正规化解的存在性与定性性质

其中 $\rho > 0$, $\mu \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $2 < q \leq 2_{\#}:= 2 + 4/N \leq p\le 2^*$. 这里 $2^*$ 是 Sobolev 嵌入 $H^1(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^N)$ 的临界指数 (当 $N \geq 3$ 时, $2^* = 2N/(N-2)$; 当 $N=1,2$ 时, $2^* = +\infty$).

自这一开创性工作发表后, 含各类组合形式非线性项的非线性 Schrödinger 方程相关研究得到了广泛拓展: 学者们不仅探讨了幂次组合的不同搭配形式 (如高低阶幂次的组合、多幂次叠加等), 还进一步将研究对象延伸至其他非线性项类型 (如结合对数项、非局部 Choquard 项的组合形式). 例如, Qi 和 Zou^[11] 研究了含组合非线性项的 Sobolev 临界/次临界 Schrödinger 方程正规化解的定性性质, 并对 Soave (2020) 的猜想给出了肯定回答. 具体而言, 他们建立了质量阈值 $\bar{\rho}$, 该阈值既保证了山路型正规化解的存在性, 同时也是低阶项指数趋近质量临界时解的极限行为的阈值; 而质量小于 $\bar{\rho}$ 的研究结果, 正是对其猜想的直接回应. Deng 等^[4]研究了一类含临界指数与对数扰动的非线性 Choquard 方程在质量约束下正规化解的存在性, 在不同参数条件下证明了基态解及山路解的存在性, 并得到了这些解在质量参数收敛到 $0$ 时的渐近行为. 针对含组合吸引型非线性项的 Choquard 方程, Ma 和 Moroz^[8] 分析了其正正规化解的存在性、多解性与渐近行为. 更多相关研究成果可参见文献 [2],[6],[7],[9],[12],[18],[22] 等.

回顾上述结果可见, 在固定质量问题的研究中, $L^2$-约束给相关数学问题处理带来了较大困难 (见文献 [5]). 具体来说, 与固定频率问题相比, 在变分框架下研究固定质量问题存在以下技术难点: (1) 由于频率为未知量, 经典的 Nehari 流形方法无法直接套用; (2) 有界 Palais-Smale 序列的存在性需要构建新的论证思路; (3) 需对拉格朗日乘子的取值范围进行控制; (4) Sobolev 嵌入 $H^1(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ 不具有紧性: 在固定频率问题中, 非平凡的弱极限通常仍是方程的解; 但在固定质量问题中, 即使弱极限非平凡, 也可能不满足 $L^2$-约束条件; (5) 存在质量临界指数 $2_{\#}=2+{4}/{N}$, 该指数对能量泛函的几何结构具有显著影响.

受上述工作的启发和激励, 本文主要研究如下非线性项在 $0$ 点附近满足负向强次线性增长条件的 Schrödinger 方程

的正规化解的存在性问题, 其中 $\lambda\in \mathbb{R}$ 是拉格朗日乘子, $\alpha\in (0, N)$, $\beta_1\geq 0, \beta_2>0$, $a>0$, Riesz 位势 $I_\alpha(x): \mathbb{R}^{N} \to \mathbb{R}$ 的定义为

且位势函数 $V(x), Q(x)$ 及非线性项 $f(s), g(s)$ 分别满足以下假设条件

$\boldsymbol {(C_1)}$ $V(x), Q(x)\in C(\mathbb{R}^{N})$, 并且

和

$\boldsymbol {(f_1)}$ $f \in C^{0,\gamma}([0, +\infty), \mathbb{R})$, 其中 $\gamma\in(0,1)$, 且 $f(0) =0$;

$\boldsymbol {(f_2)}$ $\lim\limits_{s\to 0^+}\frac{f(s)}{s}=-\infty;$

$\boldsymbol {(f_3)}$ $\limsup\limits_{s\to +\infty}\frac{f(s)}{|s|^{\frac{4}{N}}s}=c_0\in [0, +\infty)$;

$\boldsymbol {(f_4)}$ 当 $s>0$ 时, $\frac{f(s)}{s}$ 非减, 并且对任意 $\theta>1$ 和 $s> 0$, 都有

$\boldsymbol {(g_1)}$ $ g\in C^{0,\gamma}([0, +\infty), \mathbb{R})$, 其中 $\gamma\in(0,\min\{1,\alpha\})$; 当 $s\ge 0$ 时, $g(s)\ge 0$ 且 $g(0)=0$;

$\boldsymbol {(g_2)}$ $ \lim\limits_{s\to 0^+}\frac{g(s)}{|s|^{\frac{\alpha}{N}-1}s}=0;$

$\boldsymbol {(g_3)}$ $ \limsup\limits_{s\to +\infty}\frac{g(s)}{|s|^{\frac{\alpha+2}{N}-1}s}=c_1\in [0, +\infty)$;

$\boldsymbol {(g_4)}$ 对任意 $\theta>1$ 和 $s>0$, 都有

从变分的角度去研究方程 (1.3) 的基态正规化解, 可将其转化为考虑如下极小化问题

其中约束能量泛函 $I(u)$ 定义为

且约束集合

值得提及的是, 当方程 (1.3) 中 $V(x)\equiv 0$ 且 $\beta_1=0$ 时, Zhang 等人在文献 [21] 中在上述假设 $(f_1)$, $(f_2)$, $(f_3)$ 及下列条件

$\boldsymbol {(F4)}$ 当 $s>0$ 时, $\frac{f(s)}{s}$ 是严格增函数;

成立的条件下, 证明了该方程存在非负正规化解. 同时, 作为研究的副产物, 他们在假设 $(f_1)$ 成立的基础上, 进一步得到了如下等价关系

其中

$\boldsymbol {(F4')}$ 对任意 $ t > 0 $, 函数 $ t \mapsto F(\sqrt{t}) $ 严格凸;

$\boldsymbol {(F4'')}$ 对任意 $ s \in (0, 1) $ 及 $ u \neq 0 $, 成立 $ F\bigl(\sqrt{1 - s}\, u\bigr) + F\bigl(\sqrt{1 + s}\, u\bigr) > 2F(u) $.

注1.1 我们发现在假设 $(f_1)$, $(f_2)$ 和 $(f_3)$ 成立的前提下, 条件 $(f_4)$ 弱于条件 $(F4)$. 事实上, 由 $(F4')$ 可推出, 对任意 $\theta>1, s\neq 0$, 有

结合条件 $(F4)$, 可知

设

其中 $q\in (1, {1+{4}/{N}}]$. 显然, 上述定义的 $f(s)$ 满足 $(f_1), (f_2), (f_3)$ 和 $(f_4)$, 但不满足 $(F4)$.

这表明我们对 $f(s)$ 施加的假设弱于文献 [24, 条件 $(F4)$].

注1.2 不同于常见的 Berestycki-Lions 型非线性项假设 (即当 $s \to 0$ 时, $f(s)/s \to 0$), 我们的假设 $(f_2)$ 允许包含一些非利普希茨型非线性项, 例如 $s\log s + u^{p-1}$、$-u^{q-1} + u^{p-1}$ 等, 其中 $q \in (1,2)$, $p \in (2, 2+{4}/{N})$. 显然, 我们的假设更具一般性, 同时也更具挑战性.

接下来, 我们介绍本文的主要结果. 在此之前, 先引入一个辅助变分问题及一些定义、符号约定. 我们不妨假设 $\inf\limits_{x\in \mathbb{R}^N}V(x)>0$. 从而, 得到 $V^\infty>0$. 类似地, 对于极限问题

我们研究如下约束极小化问题

其中约束能量泛函 $I^\infty(u)$ 定义为

另外, 设

和

其中 $c_0$ 和 $c_1$ 分别为假设条件 $(f_3)$ 和 $(g_3)$ 中给定的常数, 以及 $S_1(N)$ 和 $S_2(N)$ 分别是引理 2.2 和引理 2.3 中Gagliardo-Nirenberg 不等式的最佳常数. 不难看出,

此外, 如果 $(u,\lambda)\in H^1(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$ 满足, 对任意 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ 成立

那么我们称 $(u,\lambda)$ 是上述问题的一个正规化解, 其中 $ W_1(x), W_2(x)\in C(\mathbb{R}^N).$ 最后, 记 $f^-(s) = \max\{-f(s), 0\}$ 为函数 $f(s)$ 的负部, $f^+(s) = \max\{f(s), 0\}$ 为其正部. 此外, 在不引起歧义的前提下, 我们将省略 $\mathbb{R}^N$ 上积分表达式中的 $\mathrm{d}x$ 符号.

本文的第一个结果聚焦于上述极限问题 (1.5) 基态正规化解的存在性, 具体叙述如下

定理1.1 若条件 $(f_1)-(f_4)$ 和 $(g_1)-(g_4)$ 成立, 则对任意 $a\in (0,a^\infty_{N, \alpha})$, 极小化问题 $E^\infty_a$ 至少存在一个非负可达元, 即方程 (1.5) 存在一个非负基态正规化解 $(u,\lambda)\in H^1(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$.

此外, 若 $\lim\limits_{s\to0^+} \frac{f(s)}{s(\ln s)^2}\in [-\infty, +\infty)$, 则 $0<u\in C^2(\mathbb{R}^{N})$.

进一步地, 当 $V(x)$ 和 $\beta_1 Q(x)$ 至少有一个是非常值函数时, 通过排除消失情形 (比较辅助变分问题与原问题的能量), 结合 Brezis-Lieb 引理, 我们得到如下存在性定理

定理1.2 假设条件 $(C_1)$, $(f_1)-(f_4)$ 和 $(g_1)-(g_4)$ 成立, 且 $\lim\limits_{s\to0^+} \frac{f(s)}{s(\ln s)^2}\in [-\infty, +\infty)$. 则对任意 $a\in (0,a_{N, \alpha})$, $E_a$ 可由一个非负函数达到, 即方程 (1.3) 至少有一个非负基态正规化解 $(u,\lambda)\in H^1(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$.

此外, 若 $V(x), Q(x)\in C^{0,\gamma}_{\rm loc}(\mathbb{R}^{N})$, 其中 $0<\gamma <1$, 则 $0<u\in C^2(\mathbb{R}^{N})$.

最后, 我们也得到了部分非存在性的结果

定理1.3 假设条件 $(C_1), (f_1)-(f_3)$ 和 $(g_1)-(g_3)$ 成立. 如果 $a\in (a_{N, \alpha}, +\infty)$ $(b\in (a^\infty_{N, \alpha}, +\infty))$, 那么极小化问题 $E_a$ $(E^\infty_b)$ 不存在可达元, 只要以下条件之一成立

(i) $ \lim\limits_{s\to+\infty}\frac{f(s)}{|s|^\frac{4}{N}s}=c_0>0 $;

(ii) $ \lim\limits_{s\to+\infty}\frac{g(s)}{|s|^{\frac{\alpha+2}{N}-1}s}=c_1>0.$

本节主要回顾一些常用的不等式, 并证明一个正则性结果.

引理2.1 ([1,定理 2.1], [10,引理 2.2]) 设 $p,q>1$, $0< \lambda < N$ 且满足 $\frac{1}{p}+\frac{\lambda }{N}+ \frac{1}{q}=2$. 若 $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{N})$ 且 $g\in L^{q}(\mathbb{R}^{N})$, 则存在一个与 $f$ 和 $g$ 无关的最佳常数 $C(N, \lambda, p,q)$, 使得

其中

进一步, 若 $p=q= \frac{2N}{2N-\lambda}$, 则最佳常数为 $C(N, \lambda, p,q)= \pi^{\frac{\lambda}{2}}\frac{\Gamma(\frac{N -\lambda}{2})}{\Gamma( \frac{2N-\lambda}{2})}\bigg(\frac{\Gamma(\frac{N}{2})}{\Gamma(N)}\bigg)^{\frac{\lambda-N}{N}},$ 且不等式 $ (2.1)$ 中 $“="$ 成立当且仅当 $g(x) \equiv cf(x)=cA(y^{2}+ |x-x_{0}|^{2})^{\frac{ \lambda-2N}{2}},$ 其中 $c,A\in \mathbb{C}, 0\neq y\in \mathbb{R}$ 及 $x_{0}\in \mathbb{R}^{N}$ 为常数, $|S^{N-1}|$ 表示 $\mathbb{R}^{N}$ 中单位球面的表面积.

特别地, 若 $f=g=|u|^p$, 我们进一步有下列著名的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式.

引理2.2 ([10,引理 2.3], [20]) 设 $ N \geq 1 $, $ \frac{N+\alpha}{N} < p < \frac{N+\alpha}{(N-2)_+} $, 则对任意 $ u \in H^1(\mathbb{R}^N)$, 有

并且当 $ u = Q_p $ 时等式成立, 其中 $C_{N,\alpha,p}=\frac{p}{\| Q_p \|_2^{2p-2}}$, $ Q_p $ 是下列方程

的基态正解. 特别地, 当 $p=p^*:=\frac{2+N+\alpha}{N}$ 时, 进一步有

其中当 $ u = w_{p^*} $ 时等式成立, $ w_{p^*} $ 是下列方程

的一个基态正解.

引理2.3 ([14,19]) 设 $ N \geq 1 $, $ 2 < q+2 < 2^* $. 则下列 Gagliardo-Nirenberg 不等式成立

并且当 $u=Q_q$ 时等号成立, 其中最佳常数 $C(q) = \frac{4+2q}{4 + 2q - Nq} \left(\frac{4+ 2q-Nq }{Nq} \right)^{\frac{Nq}{4}} \frac{1}{\| Q_q \|_{2}^q}$, $ Q_q $ 是下列椭圆方程 $-\Delta Q_q + Q_q = |Q_q|^q Q_q $ 的正解. 特别地, 在 $ L^2 $-临界情形 $ (q = \frac{4}{N}) $下, 有

定理2.1 假设条件 $(C_1)$, $(f_1)-(f_4)$ 和 $(g_1)-(g_4)$ 成立, 且 $(u,\lambda)\in H^1(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$ 是方程 (1.3) 的一个非负正规化解. 若 $\lim\limits_{s\to 0^+} \frac{f (s)}{s (\ln s)^{2}}\in [-\infty, +\infty)$, 则 $u\equiv0 \text{ 或 }$ $ u>0.$

进一步, 如果 $V(x), Q(x)\in C^{0, \gamma}_{\rm loc}(\mathbb{R}^{N})$, 其中 $0<\gamma <1$, 那么 $u\in C^2(\mathbb{R}^{N}).$

证 设 $(u,\lambda)\in H^1(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$ 是下列方程

的一个非负正规化解. 通过 Moser 迭代, 易证 $u\in L^\infty_{\rm loc}(\mathbb{R}^{N})$. 进一步利用 Hölder 估计, 可得 $u\in C^{0, \gamma}_{\rm loc}(\mathbb{R}^{N})$, 其中 $\gamma\in (0,1)$.

接下来, 任取光滑区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$, 且令

显然 $h(0)=0,$ $d(s)\geq 0$, $h(s)$ 是 $[A]$ 上的一个连续非减函数 (其中 $A$ 是一个足够小的正常数), 此处已用到条件 $(f_2)$ 和 $(g_1)$. 故 $u$ 满足

另一方面, 由 $\lim\limits_{s\to0^+} \frac{f(s)}{s(\ln s)^2}\in [-\infty, +\infty)$ 可知 $0\leq h(s)s\leq Cs^2\ln^2s$, 从而

那么结合强极值原理文献 [17,定理 1], 我们得到 $u\equiv 0$ 或 $u>0$ 在 $\Omega$ 上. 再利用 $\Omega$ 的任意性, 可知在 $\mathbb{R}^{N}$ 上 $u\equiv 0$ 或 $u>0$. 最后, 借鉴文献 [3,定理 1.2] 的证明思路, 结合 $V,Q,f,g$ 的假设条件, 可进一步推得 $u\in C^2(\mathbb{R}^{N})$.

本节主要关注极小化问题可达元的存在性和非存在性, 即定理 1.1-1.3 的证明. 为此, 我们首先不妨假设 $g(s)$ 实际上是 $\mathbb{R}$ 上的一个奇函数, 否则对 $g(s)$ 进行奇延拓. 同时, 定义

以及

显然, 我们有

和

引理3.1 如果条件 $(f_1)-(f_4)$ 成立, 那么下列结论成立

(i) 对于 $t>0$, $F_1(\sqrt{t})$ 是非减和凹的, $F_2(\sqrt{t})$ 是非减和凸的;

(ii) 存在常数 $C > 0$, 使得对任意 $t > 0$, 有

此外, 对任意 $\tilde{\tau} > 0$, 存在常数 $C_{\tilde{\tau}} > 0$ 满足

(iii) 映射 $ t \mapsto \dfrac{F(t)}{t^2} $ 在 $ t > 0 $ 上严格递增, 且对几乎处处的 $s \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, 都有

类似地, 映射 $ t \mapsto \dfrac{F_1(t)}{t^2} $ 在 $ t > 0 $ 上非增, 且对任意 $s \in \mathbb{R}$, 有

证 沿用 [21,引理 2.1] 的论证方法, 即可完成引理 3.1 的证明, 此处省略具体细节.

类似地, 我们还有如下结果.

引理3.2 若条件 $(g_1)-(g_3)$ 成立, 则下列结论成立

(i) 存在常数 $C > 0$, 使得对任意 $t > 0$, 有

其中 $p^*=\frac{2+N+\alpha}{N}$ 在引理 2.2 中给出;

(ii) 对任意 $\varepsilon >0$, 存在常数 $C_\varepsilon > 0$, 满足

其中 $ \frac{N+\alpha}N:=\tau <p^* $.

证 因为证明过程是标准的, 所以我们跳过细节.

引理3.3 对任意 $a\in (0, a_{N, \alpha})$ 和任意 $b\in (0, a^\infty_{N, \alpha})$, $ E_a$ 和 $E^\infty_b$ 都是良好定义的, 其中 $a^\infty_{N, \alpha}$ 和 $a_{N, \alpha}$ 分别由 (1.6) 和 (1.7) 式所定义.

证 下面我们只证明 $E_a$ 是良好定义的, 类似的方法可得 $E_b^\infty$ 也是良好定义的.

首先, 利用 (2.4) 和 (3.2) 式可知

其次, 由引理 2.2 可推得

进一步, 根据引理 2.1, 引理 2.3 及 Young's 不等式, 我们还有

其中, 倒数第二个等式处用到条件 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{N-\alpha}{N}=2$. 因此, 结合 (2.3), (3.4), (3.6) 与 (3.7) 式, 易知

综上, 回顾假设条件 $(C_1)$, 联立 (3.5) 和 (3.8) 式, 我们有

其中 $\epsilon,\varepsilon,\tilde{\tau}>0$ 为任意正数. 注意到, 当 $a\in (0, a_{N, \alpha})$ 时, 可选取充分小的 $\epsilon,\varepsilon,\tilde{\tau}>0$, 使得

所以, 对任意 $a\in (0, a_{N, \alpha})$ 及 $u\in M_a$, 我们有

这表明 $E_a$ 是良好定义的.

引理3.4 对任意 $a\in (0, a_{N, \alpha})$ $(b\in (0, a^\infty_{N, \alpha}))$, $E_a$ $(E^\infty_b)$ 的任意极小化序列 $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^{N})$ $(\{v_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^{N}))$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中是有界的.

证 此处仅证明 $E_a$ 极小化序列 $\{u_n\}$ 的有界性, $E_b^\infty$ 的情形完全类似, 故省略.

回顾 (3.9) 式可知, 对足够大的 $n$

这意味着

又因 $\|u_n\|_2^2=a$, 所以 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中有界.

引理3.5 设 $t>1$ 且 $ta \in (0, a_{N, \alpha})$ $(tb \in (0, a^\infty_{N, \alpha}))$, 那么我们有

进一步, 若 $E_a$ $(E^\infty_b)$ 是可达的, 则上述不等式严格成立, 即

证 由于 $E_a$ 与 $E_b^\infty$ 的证明思路完全一致, 为简洁起见, 这里仅证明 $E_a$ 的情形.

设 $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^N)$ 是 $E_a$ 的极小化序列. 利用条件 $(f_4)$ 和 $(g_4)$, 直接计算得

进一步, 若 $E_a$ 可达 (不妨设 $u$ 是其达到元), 那么

综上, 引理 3.5 得证.

基于上述引理 3.5, 我们有如下推论.

推论3.1 若 $a,b,c,d>0$ 且 $a+b\in (0, a_{N, \alpha})$ $(c+d\in (0, a^\infty_{N, \alpha}))$, 则

此外, 如果 $E_a$ $(E^\infty_c)$ 可达, 那么上述不等式严格成立, 即

证 考虑到 $E_a$ 和 $E_b^\infty$ 的证明思路一致, 此处仅给出 $E_a$ 的证明细节.

令 $t=\frac{a+b}{a}>1$, 则由引理 3.5, 可知 $E_{a+b}=E_{ta}\leq t E_a=\frac{a+b}{a}E_a,$ 这表明

交换 $a$ 和 $b$ 的位置, 再次使用引理 3.5, 同理可证

然后, 利用 (3.10) 和 (3.11) 式, 即得

特别地, 如果 $E_a$ 可达, 回顾引理 3.5 知不等式 (21) 是严格成立的, 即

从而 $E_{a+b}< E_a+E_b.$ 至此, 我们完成了证明.

引理3.6 对任意 $a\in (0, a_{N, \alpha})$ $(b\in (0, a^\infty_{N, \alpha}))$, $E_a$ $(E_b^\infty)$ 关于 $a$ $(b)$ 是连续的.

证 首先证明 $E_a$ 的连续性. 设 $\{a_n\} \subset (0, a_{N, \alpha})$ 满足 $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a$, $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^N)$ 是 $E_a$ 的极小化序列. 显然, 对任给的 $n\in \mathbb{N}$, $\sqrt{\frac{a_n}{a}}u_n\in M_{a_n}$. 此外, 回顾引理 3.4, 可知 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中是有界的. 从而利用条件 $(f_4)$ 和 $(g_4)$, 易得对于充分大的 $n$

这意味着

另一方面, 对每个 $n\in \mathbb{N}$, 选取 $v_n \in M_{a_n}$ 满足 $I(v_n)\leq E_{a_n}+\frac{1}{n}.$ 结合 (3.9) 和 (3.12) 式, 可推得

注意到 $a\in (0, a_{N,\alpha})$, 因此 $\|\nabla v_n\|_2^2\leq C.$ 进一步, 因为 $\lim\limits_{n \to \infty} \|v_n\|_2^2=\lim\limits_{n \to \infty}a_n =a$, 所以 $\{v_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中有界. 从而利用条件 $(f_4)$ 和 $(g_4)$, 易知对于充分大的 $n$

于是,

这结合 (3.12) 式表明 $\lim \limits_{n \to \infty} E_{a_n}=E_a.$ 故 $E_a$ 关于 $a$ 连续.

$E_b^\infty$ 的连续性证明与 $E_a$ 完全类似, 此处省略细节.

引理3.7 若 $\int_{\mathbb{R}^{N}} \left(F_1(u_n)+F_2(u_n)\right)$ 有界, 其中 $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^{N})$, 则下列结论成立

(i) 若 $\|u_n\|_{2+\frac{4}{N}}\overset{n}\to 0$, 则 $\|u_n\|_2\overset{n}\to 0$;

(ii) 若 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中有界, 且 $u_n \overset{n}\to u$ 几乎处处成立, 则 $F_1(u)\in L^1(\mathbb{R}^{N}),$

以及

证 结论 (i) 已在文献 [21,引理 2.5] 中证明; 结论 (ii) 中 $F_1(u)\in L^1(\mathbb{R}^{N})$ 可由 Fatou's 引理推出, (3.14) 和 (3.15) 式可由 Brezis-Lieb 引理直接得到. 所以, 此处仅证明 (3.13) 式.

由引理 3.1 中 $F_1(\sqrt{t})$ 的凹性可知, 对任意 $r>1$ 和 $s> 0$, 有

即

接下来, 令 $r_1=\frac{t+s}{t}>1$ 和 $r_2=\frac{t+s}{s}>1$ ($t,s>0$), 我们从不等式 (3.16) 推得

和

这意味着

从而, 沿着文献 [21, 引理 2.5 (ii)] 的论证思路, 充分利用 (3.16) 和 (2.24) 式, 结论得证.

基于上述引理和推论, 我们接下来完成定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 设 $b\in (0, a^\infty_{N, \alpha})$ 和 $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^{N})$ 是 $E^\infty_b$ 的极小化序列, 也就是说

从引理 3.4 可知, 序列 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中有界. 接下来, 我们断言

反之, 由 Lions 消失引理可知

此外, 因为 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中有界, 使用引理 3.1, 所以 $\int_{\mathbb{R}^{N}}F_2(u_n)$ 有界. 进一步, 通过不等式

并利用引理 3.2 (i), 可知 $\int_{\mathbb{R}^{N}}F_1(u_n)$ 同样有界. 从而根据引理 3.7 (i), 我们有 $\|u_n\|_2^2\overset{n}\to 0$, 这与 $\|u_n\|_2^2=b$ 矛盾. 故 (3.18) 式得证. 因此, 存在序列 $\{y_n\} \subset \mathbb{R}^{N}$ 和 $v\in H^1(\mathbb{R}^{N})\setminus \{0\}$, 使得

记 $v_n(x):=u_n^{y_n}(x)-v(x),$ 根据 $E^\infty_b$ 的定义、Brezis-Lieb 引理及引理 3.7 (ii), 可得

和

进一步, 利用引理 3.6 中的连续性, 可知

接下来, 使用 (3.19), (3.20) 式和推论 3.1, 我们分两种情形来证明 $b=d$.

情形 1 $d<b$ 且 $I^\infty(v)=E^\infty_d$. 此时 $v$ 是 $E^\infty_d$ 的可达元, 由推论 3.1 的严格不等式可得

这是矛盾的.

情形 2 $d<b$ 且 $I^\infty(v)>E^\infty_d$. 在这种情形下, 我们有

这也是不可能的.

因此 $b=d$. 这意味着

故

这表明 $E_b^\infty$ 可由 $v$ 和 $|v|$ 达到. 因此不妨设 $v\geq 0$. 进一步沿用文献 [13] 中的方法, 可知存在 $\lambda\in \mathbb{R}$, 使得 $(v, \lambda)\in H^1(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$ 是方程 (1.3) 的一个非负正规化解. 最后, 结合定理 2.1 的结论, 定理 1.1 证毕.

定理 1.2 的证明 设 $a\in (0, a_{N, \alpha})\subset (0, a^\infty_{N, \alpha})$. 那么, 由定理 1.1 可知 $E_a^\infty$ 存在正可达元, 不妨记为 $v$. 那么我们有

和

且根据 $V(x)$ 和 $\beta_1 Q(x)$ 至少有一个是非常值函数可知, 上述不等式至少有一个是严格的不等式. 从而

另一方面, 设 $\{u_n\}\subset H^1(\mathbb{R}^{N})$ 是 $E_a$ 的极小化序列. 由引理 3.4 可知 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{N})$ 中有界, 那么, 在不考虑子列的意义下, 存在 $u\in H^1(\mathbb{R}^{N})$ 使得 $u_n \rightharpoonup u \text{ 在 } H^1(\mathbb{R}^{N}) \text{中}.$ 若 $u\equiv 0$, 则由 Brezis-Lieb 引理可得 $E_a\geq E_a^\infty,$ 这与 (3.21) 式矛盾. 故 $u \neq 0$.

接下来, 令 $v_n(x):=u_n(x)-u(x)$, 重复定理 1.1 的证明步骤, 定理 1.2 得证.

定理 1.3 的证明 这里我们只给出 $E_a$ 情形的证明, 类似的过程即可证明 $E^\infty_b$.

(i) 当 $a>a_{N,\alpha}, \lim\limits_{s\to+\infty}\frac{f(s)}{|s|^\frac{4}{N}s}=c_0>0 $ 时

设

和

其中, $\bar{x}\in \mathbb{R}^{N}$ 是任意固定的点, $ Q_{\frac{4}{N}} $ 是方程 $ -\Delta Q + Q = |Q|^\frac{4}{N} Q $ 的正解. 显然, $ u_\tau $ 满足

根据条件 $\lim\limits_{s\to+\infty}\frac{f(s)}{|s|^\frac{4}{N}s}=c_0>0$ 和 $F(s)$ 的定义, 我们可得: $\lim\limits_{s \to +\infty } F(s)=+\infty.$ 再根据洛必达法则, 有

令

那么

即 $ \lim\limits_{\tau \to \infty} F_\tau(X) = 0 \text{ a.e. } X\in \mathbb{R}^N $ 且 $ |F_\tau| \leq C |Q_\frac{4}{N}(X)|^{\frac{4}{N}+2} $. 进而, 由变量替换以及控制收敛定理可得

因此,

从而, 结合引理 2.3 可知

综上, 我们有

这意味着当 $a\in (a_{N, \alpha}, +\infty), \lim\limits_{s\to+\infty}\frac{f(s)}{|s|^\frac{4}{N}s}=c_0>0$ 时, $\lim\limits_{\tau\to \infty}I(u_\tau) = -\infty$. 所以, $E_a$ 是不可达的.

(ii) 当 $a>a_{N,\alpha}, \lim\limits_{s\to+\infty}\frac{g(s)}{|s|^{\frac{\alpha+2}{N}-1}s}=c_1>0$ 时

设

和

其中, $\bar{x}$ 是系数函数 $Q(x)$ 的最大值点, $w_{p*}$ 是 $\!-\!\Delta w_{p*}\! +\! \frac{2+\alpha}{N} w_{p*}\! = \!\left(\!I_\alpha * |w_{p*}|^{\frac{2+N+\alpha}{N}}\!\right)\!\!|w_{p*}|\!^{\frac{2+ \alpha-N}{N}}w_{p*}$ 的基态正解. 显然, $\|u_t\|_2^2=a$. 根据 $G(s)$ 的定义以及条件 $\lim\limits_{s\to+\infty}\frac{g(s)}{|s|^{\frac{\alpha+2}{N}-1}s}=c_1>0$, 可得 $\lim\limits_{s\to +\infty}G(s)=+\infty.$ 则由洛必达法则可知 $ \lim\limits_{s \to +\infty} \frac{G(s)}{s^{\frac{\alpha+2+ N}{N}}} = \lim_{s \to +\infty} \frac{g(s)}{p^* s^{\frac{\alpha+2}{N}}} = \frac{ c_1}{p^*}. $

类似于情形(i)进行下去,可推得

因此,

其中, $\gamma$ 在条件 $(f_1)$ 中给出, $\epsilon$ 是任意给定的正数. 当 $a>a_{N, \alpha}$ 时, 我们可以选择充分小的 $\epsilon$ 使得

从而, $\lim\limits_{t\to\infty}I(u_t)=-\infty$. 故 $E_a$ 不可达. 证毕.