数学物理学报, 2026, 46(5): 1742-1750

对跃迁耦合非线性薛定谔方程的平面波/周期背景上的怪波与呼吸波的相互作用解

鹿高杰,1, 张雯韵,2, 张翼,3,*, 娄瑜,4

1 浙江金融职业学院信息技术学院 杭州 310000

2 嘉兴职业技术学院现代商贸学院 浙江嘉兴 314036

3 浙江师范大学数学科学学院 浙江金华 321004

4 浙江工业职业技术学院公共基础教学部 浙江绍兴 312000

Interactions of Rogue Waves and Breathers On the Plane Wave/Periodic Background for the Pair-Transition-Coupled Nonlinear Schrödinger Equations

Lu Gaojie,1, Zhang Wenyun,2, Zhang Yi,3,*, Lou Yu,4

1 College of Information Technology, Zhejiang Financial College, Hangzhou 310000

2 College of Modern Commerce, Jiaxing Vocational Institute, Zhejiang Jiaxing 314036

3 Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004

4 Public Basic Education Department, Zhejiang Industry Polytechnic College, Zhejiang Shaoxing 312000

通讯作者: * 张翼, E-mail:zy2836@163.com

收稿日期: 2025-06-10   修回日期: 2025-10-21  

基金资助: 国家自然科学基金(11371326)
国家自然科学基金(12271488)
浙江省省属高校基本科研业务费(2025ZD26)

Received: 2025-06-10   Revised: 2025-10-21  

Fund supported: NSFC(11371326)
NSFC(12271488)
Fundamental Research Fundsfor the Provincial Universities of Zhejiang(2025ZD26)

作者简介 About authors

鹿高杰,E-mail:boyangbeyond@outlook.com;

张雯韵,E-mail:718780462@qq.com;

娄瑜,E-mail:lyzjipc@163.com

摘要

该文探究了描述正交偏振光波传播的对跃迁耦合非线性薛定谔方程. 根据其 Lax 对, 可以构造 $N$ 重广义达布变换. 通过选择不同的种子解, 作者得到了平面波/周期背景上各种类型的新型怪波和呼吸波的相互作用解. 特别指出的是, 得到了与普通的怪波和呼吸波不同的新的怪波和呼吸波. 此外, 通过图像具体展示了参数变化对解的位置、角度、结构和能量分布的影响, 并讨论了它们的相互作用性质. 这些结果能为其他可积系统在不同背景上的局域波研究带来启示.

关键词： 对跃迁耦合非线性薛定谔方程; 广义达布变换; 怪波; 呼吸波; 周期背景

Abstract

In this paper, we explore the pair-transition-coupled nonlinear Schrödinger equations, which can describe the propagation of orthogonally polarized optical waves. According to the Lax pair, the $N$-fold generalized Darboux transformation can be constructed. As applications, choosing distinct seed solutions, we obtain interactions of diverse types of novel rogue waves and breathers on the plane wave/periodic background. Especially, it is observed that some of rogue waves and breathers with special wave shapes are extremely different from other common rogue waves and breathers. Moreover, the position, angle, structure and energy distribution of these solutions influenced by parameters are exhibited graphically and we discuss their interaction properties. These results will shed light on the study of localized waves on the various backgrounds for other integrable systems.

Keywords： pair-transition-coupled nonlinear Schrödinger equations; generalized Darboux transformation; rogue waves; breathers; periodic background

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本文引用格式

鹿高杰, 张雯韵, 张翼, 娄瑜. 对跃迁耦合非线性薛定谔方程的平面波/周期背景上的怪波与呼吸波的相互作用解[J]. 数学物理学报, 2026, 46(5): 1742-1750

Lu Gaojie, Zhang Wenyun, Zhang Yi, Lou Yu. Interactions of Rogue Waves and Breathers On the Plane Wave/Periodic Background for the Pair-Transition-Coupled Nonlinear Schrödinger Equations[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(5): 1742-1750

1 引言

孤子、呼吸波和怪波作为三种基本的局域波, 在各种非线性模型中引起了研究人员的广泛关注. 呼吸波在空间或时间上稳定传播并具有周期性[1-4]. 怪波在空间和时间上都是局域的, 具有一个三倍于平面波高度的峰, 以及两个由于能量守恒而出现的侧孔. 除了常见的怪波之外, 非线性模型还研究了大量具有各种特殊波形的局域波[5-8]. 在平面波或周期背景上将这种局域波应用于多个领域的实际可行性促使人们对其形成、传播和相互作用产生了浓厚的兴趣, 从而引发了这一领域研究活动的激增[9-14]. 寻找局域波解是数学物理界相当关注的一个课题, 为此提出了许多求解方法, 比如, 双线性 KP 约化[15], 黎曼希尔伯特方法[16-18]和达布变换方法[19-23].

非线性薛定谔方程作为一个重要的非线性模型, 可以描述各种非线性介质中缓慢变化的波包的演变, 它已在流体力学、等离子体、光学等多个学科中得到广泛研究[24-26]. 从物理角度看, 由于不同分量场之间相对速度的相互影响以及交叉相位调制的影响, 多分量非线性模型比其标量模型能表现出更大范围的动态行为. 原子的跃迁通常存在两种路径: 单粒子跃迁与双粒子跃迁. 在接触相互作用强度较弱的情形下, 单粒子跃迁在粒子跃迁中起主导作用, 双粒子跃迁可忽略不计. 但在相互作用强度较强时, 双粒子跃迁效应成为主导. 因此, 我们考虑二阶跃迁起主导作用的情形, 其动力学方程可写为含双粒子跃迁耦合效应的可积耦合非线性薛定谔方程, 即对跃迁耦合非线性薛定谔方程

$\begin{equation}\label{pt} \begin{split} &{\rm i}q_{1,t}+\frac{1}{2}q_{1,xx}+\sigma(|q_1|^2+2|q_2|^2)q_{1}+\sigma q_2^2q_1^*=0,\\ &{\rm i}q_{2,t}+\frac{1}{2}q_{2,xx}+\sigma(2|q_1|^2+|q_2|^2)q_{2}+\sigma q_1^2q_2^*=0, \end{split} \end{equation}$

其中, $q_1=q_1(x,t)$, $q_2=q_2(x,t)$ 为复值函数, 符号 $*$ 表示复共轭, 它可以描述正交偏振光波在各向同性介质中的传播. 相较于经典的耦合非线性薛定谔方程, 方程 (1.1) 在保留交叉相位调制项的基础上, 引入了独特的跃迁耦合项 $\sigma q_2^2q_1^*$ 和 $\sigma q_1^2q_2^*$. 这一非线性项可用于描述正交偏振光波在传播过程中的模式间非线性跃迁效应: 当两束正交偏振光在各向异性介质中传播时, 除强度关联的交叉调制外, 还会因介质的三阶非线性极化率张量非对角元的贡献, 发生偏振态的非线性转换. 这种跃迁耦合项使得方程不仅能刻画孤子的弹性碰撞, 还能描述非弹性相互作用中偏振态的能量转移. 迄今为止, 学者们已经对对跃迁非线性薛定谔方程方程 (1.1) 进行了有效的研究[27-29]. 然而, 方程 (1.1) 在平面波/周期背景上的多种类型的怪波和呼吸波的相互作用解却还尚未被研究过. 因此, 我们通过广义达布变换, 研究了几种类型的怪波和呼吸波在平面波/周期背景上的相互作用解, 并发现了一些具有不同动态特性的新的怪波和呼吸波. 此外, 我们还将分析受参数影响的解的位置、角度、结构和能量分布情况. 在第 2 节, 基于方程 (1.1) 的 Lax 对, 我们构造了 其 $N$ 重达布变换. 第 3 节, 选定种子解, 导出了平面波上的怪波与呼吸波的相互作用解. 第 4 节, 取定不同的种子解, 构造出周期背景上的怪波与呼吸波的相互作用解. 第 5 节, 是本文的总结与讨论.

2 广义达布变换

方程 (1.1) 拥有如下 Lax 对

$\begin{equation}\label{lax} \begin{split} \Psi_x=U\Psi,\quad U&= {\rm i}\lambda \sigma_3+U_0,\\ \Psi_t=V\Psi, \quad V&={\rm i}(\lambda^2\sigma_3+\lambda U_0)+\frac{1}{2}\sigma_3(U_{0,x}-{\rm i}U_0^2), \end{split} \end{equation}$

其中

$\begin{equation}\nonumber U_0= \begin{pmatrix} 0 & \sigma Q^*\\ Q & 0 \end{pmatrix},\quad Q= \begin{pmatrix} q_1 & q_2\\ q_2 & q_1 \end{pmatrix},\quad \sigma_3=\rm diag(1,1,-1,-1). \end{equation}$

这里 $\Psi$ 是特征函数, $\lambda$ 是一个谱参数. 由相容性条件 $U_t-V_x+[U,V]=0$ 可以导出方程 (1.1).

借助 Lax 对, 我们以定理形式给出方程 (1.1) 的 $N$ 重广义达布变换.

定理 2.1 设 $\Psi_1=(\psi_1,\varphi_1,\phi_1,\chi_1)^T$ 是与特征值 $\lambda_1$ 和种子解 $q_1[0]$, $q_2[0]$ 相关的一个基解. 特征函数 $\Psi_1(\lambda_1+\epsilon^2)$ 在 $\epsilon=0$ 处泰勒展开为

$\begin{equation} \Psi_1(\lambda_1+\epsilon^2)=\Psi_1^{[0]}+\Psi_1^{1]}\epsilon^2+\Psi_1^{2]}\epsilon^4+\cdots+\Psi_1^{[l]}\epsilon^{2l}+\cdots, \end{equation}$

其中

$\Psi_1^{[l]}=(\psi_1^{[l]},\varphi_1^{[l]},\phi_1^{[l]},\chi_1^{[l]})^T,\Psi_1^{[l]}=\frac{1}{(2l)!}\frac{\partial^{2l}\Psi_1}{\partial\epsilon^{2l}}|_{\epsilon=0}(l=0,1,2,\cdots).$

则方程 (1.1) 新的位势函数 $q_1[N], q_2[N]$ 可以由以下 $N$ 重广义达布变换来构造

$\begin{align*} &\Psi_1[N-1]=\Psi_1^{[0]}+\sum_{l=1}^{N-1}T_1[l]\Psi_1^{[1]}+\sum_{l=1}^{N-1}\sum_{k=1}^{l-1}T_1[l]T_1[k]\Psi_1^{2]}+\cdots\nonumber\\ &\qquad\qquad\quad~+T_1[N-1]T[N-2]\cdots T_11]\Psi_1^{[N-1]},\nonumber\\ &\Psi_1[N]=T[N]T[N-1]\cdots T[1]\Psi_1,\qquad T[l]=\lambda I-H[l-1]\Lambda_lH[l-1]^{-1},\nonumber\\ &q_1[N]=q_1[N-1]-\frac{2(\lambda_1-\lambda_1^*)(\Delta_1[l-1]\Delta_3[l-1]^*+\sigma\Delta_4[l-1]\Delta_1[l-1]^*)}{|\Delta_3[l-1]|^2+|\Delta_4[l-1]|^2+2\sigma(\Delta_5[l-1]\Delta_6[l-1]-\Delta_7[l-1]\Delta_8[l-1])},\\ \end{align*}$
$q_2[N]=q_2[N-1]-\frac{2(\lambda_1-\lambda_1^*)(\Delta_2[l-1]\Delta_3[l-1]^*-\sigma\Delta_4[l-1]\Delta_2[l-1]^*)}{|\Delta_3[l-1]|^2+|\Delta_4[l-1]|^2+2\sigma(\Delta_5[l-1]\Delta_6[l-1]-\Delta_7[l-1]\Delta_8[l-1])},$

$(\psi_1[N-1],\varphi_1[N-1],\phi_1[N-1],\chi_1[N-1])^T=\Psi_1[N-1]$,

$\begin{equation}\nonumber H[l-1]\!=\!\! \begin{pmatrix} \psi_1[l-1] & \varphi_1[l-1] & -\sigma\phi_1[l-1]^* & \chi_1[l-1]^*\\ \varphi_1[l-1] & \psi_1[l-1] & -\sigma\chi_1[l-1]^* & \phi_1[l-1]^*\\ \phi_1[l-1] & \chi_1[l-1] & \psi_1[l-1]^* & -\frac{1}{\sigma}\varphi_1[l-1]^*\\ \chi_1[l-1] & \phi_1[l-1] & \varphi_1[l-1]^* & -\frac{1}{\sigma}\psi_1[l-1]^* \end{pmatrix} \!,~ \Lambda_l=\rm diag(\lambda_1,\lambda_1,\lambda_1^*,\lambda_1^*), ~ 1\leq l\leq N, \end{equation}$
$\begin{equation}\nonumber \begin{split} &\Delta_1[l-1]=\psi_1[l-1]\phi_1[l-1]-\varphi_1[l-1]\chi_1[l-1],\quad\quad \Delta_3=\psi_1[l-1]^2-\varphi_1[l-1]^2,\\ &\Delta_2[l-1]=\psi_1[l-1]\chi_1[l-1]-\varphi_1[l-1]\phi_1[l-1],\quad\quad \Delta_4=\phi_1[l-1]^2-\chi_1[l-1]^2,\\ &\Delta_7[l-1]=\psi_1[l-1]^*\varphi_1[l-1]+\varphi_1[l-1]^*\psi_1[l-1],\quad \Delta_5=|\psi_1[l-1]|^2+|\varphi_1[l-1]|^2,\\ &\Delta_8[l-1]=\phi_1[l-1]^*\chi_1[l-1]+\chi_1[l-1]^*\phi_1[l-1],\quad \Delta_6=|\phi_1[l-1]|^2+|\chi_1[l-1]|^2. \end{split} \end{equation}$

3 平面波上的怪波与呼吸波的相互作用解

为了获得方程 (1.1) 平面波上的多种怪波与呼吸波的相互作用解, 取种子解为

$q_1[0]=q_2[0]=\frac{1}{2}{\rm e}^{{\rm i} t}.$

由此, 我们构造

$\begin{equation} \Psi_1=\begin{pmatrix} (-C_1{\rm e}^{\Theta_1}+C_2{\rm e}^{-\Theta_1}+C_3{\rm e}^{-\Theta_2}){\rm e}^{-\frac{1}{2}{\rm i}t}\\ (-C_1{\rm e}^{\Theta_1}+C_2{\rm e}^{-\Theta_1}-C_3{\rm e}^{-\Theta_2}){\rm e}^{-\frac{1}{2}{\rm i}t}\\ ({\rm i}C_2{\rm e}^{\Theta_1}-{\rm i}C_1{\rm e}^{-\Theta_1}+C_4{\rm e}^{\Theta_2}){\rm e}^{\frac{1}{2}{\rm i}t}\\ ({\rm i}C_2{\rm e}^{\Theta_1}-{\rm i}C_1{\rm e}^{-\Theta_1}-C_4{\rm e}^{\Theta_2}){\rm e}^{\frac{1}{2}{\rm i}t} \end{pmatrix}, \end{equation}$
$\begin{equation}\nonumber \begin{split} &C_1=\frac{\sqrt{h-\sqrt{h^2-1}}}{\sqrt{h^2-1}},\quad C_2=\frac{\sqrt{h+\sqrt{h^2-1}}}{\sqrt{h^2-1}},\\ &\Theta_1=\mu(x+\frac{\mu^2+3\lambda^2+1}{2\lambda}t+f(\epsilon)),\quad \Theta_2=hx+({\rm i}h^2-\frac{\rm i}{2})t,\\ &h=-{\rm i}\lambda,\quad \mu=\sqrt{h^2-1},\quad f(\epsilon)=\sum_{k=0}^{N-1}m_k\epsilon^{2k}, \end{split} \end{equation}$

这里的 $C_3$, $C_4$ 和 $m_k(k=0,1,2,\cdots,N-1)$ 是实数. 通过选择 $h=1+\epsilon^2$, 就可以得到方程 (1.1) 的平面波上的多种怪波与呼吸波的高阶相互作用解.

当 $N=1$, $f(\epsilon)=m_0$, $h=1$ 时, 我们给出一阶怪波与一阶呼吸波的相互作用解的精确表达式, 如下

$\begin{align*} &~~~~q_1[1]\\ &=\frac{-{\rm i}C_3C_4(t^2\!+\!x^2\!+\!2m_0x\!+\!m_0^2\!+\!\frac{1}{4}){\rm e}^{2{\rm i}t+2x}\!+\!(C_3^2{\rm e}^{{\rm i}t}\!+\!C_4^2{\rm e}^{{\rm i}t+4x})({\rm i}t-\frac{t^2}{2}-\frac{x^2}{2}-m_0x-\frac{m_0^2}{2}+\frac{3}{8})}{(C_3^2+C_4^2{\rm e}^{4x})(t^2+x^2+2m_0x+m_0^2+\frac{1}{4})},\\ &~~~~q_2[1]\\ &=\frac{{\rm i}C_3C_4(t^2\!+\!x^2\!+\!2m_0x\!+\!m_0^2\!+\!\frac{1}{4}){\rm e}^{2{\rm i}t+2x}\!+\!(C_3^2{\rm e}^{{\rm i}t}+C_4^2{\rm e}^{{\rm i}t+4x})({\rm i}t-\frac{t^2}{2}-\frac{x^2}{2}-m_0x-\frac{m_0^2}{2}+\frac{3}{8})}{(C_3^2+C_4^2{\rm e}^{4x})(t^2+x^2+2m_0x+m_0^2+\frac{1}{4})}, \end{align*}$

图 1 展示了一阶喙状怪波与一阶呼吸波的相互作用解. 怪波呈现出喙状轮廓, 其特征是有一个峰和两个谷, 但驼峰和谷并不是线性排列的. 图 1 表明随着 $|\frac{C_4}{C_3}|$ 的值的增加, 喙状怪波与呼吸波之间的距离会减小. 换言之, $C_3$ 值的降低促使呼吸波向 $x$ 轴正方向移动, 而 $C_4$ 值则控制怪波使其向 $x$ 轴负方向移动. 此外, 如果 $C_3$ 和 $C_4$ 中一个等于零, 那么相互作用解会退化为一阶怪波解. $C_4=0$ 时呈现的是一阶喙状怪波. 值得注意的是当 $C_3=0$, 此时的怪波与经典的怪波不同, 它只有一个峰而没有谷 (可见图 1(d)).

图1

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图1   一阶喙状怪波与一阶呼吸波的相互作用, 参数为 $m_0=0$, (a) $C_3=\frac{1}{100},C_4=100$; (b) $C_3=\frac{1}{100000},C_4=100000$; (c) $C_3=\frac{1}{100000},C_4=0$; (d) $C_3=0,C_4=\frac{1}{100000}$.


当 $N=2$, $f(\epsilon)=m_0+m_1\epsilon^2$, $h=1$ 时, 在图2 中呈现了二阶怪波与二阶呼吸波的相互作用解. 令 $m_0=m_1=0$, 二阶喙状怪波拥有四个峰和一个谷, 见图2(a). 令 $m_0=0,m_1\neq0$, 在图2(b)中可以看到二阶喙状怪波会分离成三个呈三角结构的一阶喙状怪波. 由图2(c) 和 (d) 可知, $C_3$ 和 $C_4$ 的值能够控制怪波和呼吸波的位置.

图2

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图2   二阶喙状怪波与二阶呼吸波的相互作用, 参数为 $m_0=0$, (a) $C_3=\frac{1}{100}$, $C_4=100$, $m_1=0$; (b) $C_3=\frac{1}{100}$, $C_4=100$, $m_1=50$; (c) $C_3=\frac{1}{1000000}$, $C_4=1000000$, $m_1=0$; (d) $C_3=\frac{1}{1000000}$, $C_4=1000000$, $m_1=50$.


当 $N=1$, $f(\epsilon)=m_0$, $h=\pm\frac{1}{3}$ 时, 图 3 展示了一阶呼吸波的裂变和聚变. 从物理学的角度看, 呼吸波的振幅会在裂变后变小. 这一现象可归因于图 3($a_1$-$a_2$) 中能量分布的守恒性质. 在聚变过程中, 不仅呼吸波的振幅发生了变化, 其结构也发生了变化. 同时, 亮呼吸波转变为了反暗呼吸波, 见图 3($c_1$-$c_2$). 除此之外, 通过分析图 3($b_1$-$b_2$) 和 ($d_1$-$d_2$) 可知, 随着 $|\frac{C_4}{C_3}|$ 的值的增加, 呼吸波的裂变或聚变过程发生的时间更短.

图3

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图3   一阶呼吸波裂变和聚变, 参数为 $m_0=0$, ($a_1$-$a_2$) $h=\frac{1}{5}$, $C_3=\frac{1}{100}$, $C_4=100$; ($b_1$-$b_2$) $h=\frac{1}{5}$, $C_3=\frac{1}{100000}$, $C_4=100000$; ($c_1$-$c_2$) $h=-\frac{1}{3}$, $C_3=\frac{1}{100}$, $C_4=100$; ($d_1$-$d_2$) $h=-\frac{1}{3}$, $C_3=\frac{1}{100000}$, $C_4=100000$


当 $N=2$, $f(\epsilon)=m_0+m_1\epsilon^2$, $h=\pm\frac{1}{3}$ 时, 二阶呼吸波的裂变和聚变呈现于图 4.图 4($a_1$-$a_2$) 和 ($c_1$-$c_2$) 中的呼吸波在裂变和聚变过程中振幅和能量分布与上述情形相似. 从图 4($b_1$-$b_2$) 和 ($d_1$-$d_2$) 中发现, 裂变或聚变所需的时间并不完全取决于 $|\frac{C_4}{C_3}|$ 的值, 也需要考虑 $m_1$ 的值所带来的影响.

图4

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图4   一阶呼吸波裂变和聚变, 参数为 $m_0=0$, ($a_1$-$a_2$) $h=\frac{1}{3}$, $C_3=\frac{1}{100}$, $C_4=100$, $m_1=0$; ($b_1$-$b_2$) $h=\frac{1}{3}$, $C_3=\frac{1}{100}$, $C_4=100$, $m_1=50$; ($c_1$-$c_2$) $h=-\frac{1}{3}$, $C_3=\frac{1}{1000000}$, $C_4=1000000$, $m_1=0$; ($d_1$-$d_2$) $h=-\frac{1}{3}$, $C_3=\frac{1}{1000000}$, $C_4=1000000$, $m_1=50$.


4 周期背景上的怪波与呼吸波的相互作用解

在本节, 为了得到周期背景上的怪波与呼吸波的相互作用解, 我们选择 $q_1[0]=c\cos(\kappa x){\rm e}^{{\rm i}\rho}$, $q_2[0]=-{\rm i}c\sin(\kappa x){\rm e}^{{\rm i}\rho}$, $\rho=|c|^2t-\frac{\kappa^2}{2}t$ 作为种子解, 其中 $c$ 是一个复数, $\kappa$ 是一个实数.

当 $N=1$, $f(\epsilon)=m_0$, $C_3$ 和 $C_4$ 其中一个等于零时, 图 5 展示了 $\kappa$, $c$, $C_3$ 和 $C_4$的不同值对周期背景上怪波的结构的影响. 图 5($a_1$-$a_2$) 给出了由一个峰和两个谷组成一条线的眼型怪波. 图 5($b_1$-$b_2$) 展示了喙状怪波. 在图 5($c_1$-$c_2$) 和 ($d_1$-$d_2$) 中, 我们得到了两种类型的新型怪波. 第 I 型怪波的特点是拥有一个波峰和四个不对称的波谷. 与其他类型的怪波相比, 图 5($c_1$-$c_2$) 中的怪波的振幅更大. 第 II 型怪波拥有两个波峰和四个波谷, 并会沿着一条确定的轴线成对排列. 同时, 在图 5($d_1$-$d_2$) 中, 峰和谷关于直线 $t=0$ 对称.

图5

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图5   周期背景上的一阶怪波, 参数为 $m_0=0$,($a_1$-$a_2$) $\kappa=2$, $c=1+{\rm i}$, $C_3=0$, $C_4=100000$; ($b_1$-$b_2$) $\kappa=1$, $c=1$, $C_3=\frac{1}{100000}$, $C_4=0$; ($c_1$-$c_2$) $\kappa=3$, $c=\frac{1}{2}+\frac{\rm i}{2}$, $C_3=0$, $C_4=100000$; ($d_1$-$d_2$) $\kappa=\frac{5}{2}$, $c=1+\frac{\rm i}{2}$, $C_3=\frac{1}{100000}$, $C_4=0$.


当 $N=1$, $f(\epsilon)=m_0$, $C_3\neq0$ 和 $C_4\neq0$ 时, 得到了在周期背景上的一阶怪波和一阶呼吸波的相互作用解. 通过对参数的控制, 可以产生多种怪波, 如喙型呼吸波、X 型呼吸波、Y 型呼吸波、眼型呼吸波等. 图 6($a_1$-$a_2$) 描述了周期背景上的眼型怪波与喙型呼吸波的相互作用解. 当改变 $c$ 的值时, 眼型怪波发生分离, 形成两个四瓣怪波. 从图 6($b_1$-$b_2$) 可知, 初始的眼型怪波的振幅约为 3, 而四瓣波的振幅仅为 2. 这是由于在分离过程中, 眼型怪波的形成能量被分配给了两个四瓣波, 这个过程满足能量守恒定律. 在图 6($c_1$-$c_2$) 中, 我们展示了周期背景上的眼型呼吸波与眼型怪波的相互作用解. 同样地, 在图 6($d_1$-$d_2$) 中, 选择不同的 $c$ 的值会产生眼型怪波转移成两个喙型怪波的现象. 此外, 图 6(e$_1$-e$_2$)-(h$_1$-h$_2$) 展示了在周期背景上的反眼型呼吸波与眼型怪波的相互作用解、X 型呼吸波与 X 型怪波的相互作用解、Y 型呼吸波与两个眼型怪波的相互作用解以及眼型呼吸波的两个喙形怪波的相互作用解.

图6

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图6   周期背景上的一阶怪波与一阶呼吸波的相互作用, 参数为 $m_0=0$, ($a_1$-$a_2$) $\kappa=2$, $c=1+{\rm i}$, $C_3=\frac{1}{2000}$, $C_4=100000$; ($b_1$-$b_2$) $\kappa=1$, $c=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}{\rm i}$, $C_3=\frac{1}{20000}$, $C_4=10000$; ($c_1$-$c_2$) $\kappa=2$, $c=\frac{1}{3}+\frac{{\rm i}}{3}$, $C_3=1$, $C_4=\frac{1}{10000}$; ($d_1$-$d_2$) $\kappa=1$, $c=\frac{1}{4}+\frac{{\rm i}}{4}$, $C_3=100$, $C_4=\frac{1}{100000}$; (e$_1$-e$_2$) $\kappa=2$, $c=\frac{2}{3}+\frac{{\rm i}}{3}$, $C_3=10$, $C_4=1000$; (f$_1$-f$_2$) $\kappa=\frac{3}{2}$, $c=\frac{2}{3}+\frac{{\rm i}}{4}$, $C_3=20$, $C_4=2000$; (g$_1$-g$_2$) $\kappa=\frac{1}{2}$, $c=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\rm i}$, $C_3=1000$, $C_4=100$; (h$_1$-h$_2$) $\kappa=4$, $c=\frac{1}{4}+\frac{4}{5}{\rm i}$, $C_3=500$, $C_4=100000$.


5 结论

本文探究了描述正交偏振光波传播的对跃迁耦合非线性薛定谔方程. 通过应用 $N$ 重达布变换, 研究了对跃迁耦合非线性薛定谔方程在平面波/周期波背景上的多种怪波与呼吸波的相互作用. 值得注意的是, 一些具有特殊波形的怪波与呼吸波与其他非线性波截然不同. 此外, 在周期背景上的怪波与呼吸波出现了不同的结构、振幅、速度和能量分布, 并以图的形式展示了各种参数对这些解的位置、角度、结构和能量分布的影响. 这些结果在非线性光学、光纤通信以及 Bose-Einstein 凝聚态等领域具有潜在的应用价值, 此也为相关物理系统中局域波的调控与激发提供了理论支持.

参考文献

Kuznetsov E A.

Solitons in a parametrically unstable plasma

Dokl Akad Nauk SSSR, 1977, 236(3): 575-577

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