拓扑不变量常用来描述数据结构的变化, 其 $f$-向量、贝蒂数与欧拉特征等核心拓扑不变量为数据底层拓扑结构提供了理论框架. 其中, $f$-向量作为单纯复形组合特征的核心表征工具, 其各维度严格量化了复形中 $k$ 维单纯形的数量分布. 它由一系列分量组成, 每个分量 $f_k$ 代表该复形中 $k$ 维单纯形的个数. 更具体地说, $f_k$ 反映了在给定的数据点集中选择 $k+1$ 个点并满足在某个邻接半径内的组合数, 这与 U 统计量中的组合方式一致, 因此也可以看作是复形的 $k+1$ 阶 U 统计量.

尽管对拓扑不变量的早期研究集中于确定性数据集, 但近期进展已融入概率模型以刻画现实数据中的随机性, 用于研究由随机生成点构成的数据特征, 可参见文献 [1,3,8,11,13,15]. 在众多拓扑不变量中, 贝蒂数及其关联的欧拉特征受到特别关注. 研究者不仅探索了贝蒂数分布的期望值与渐近行为, 还证明了随机单纯复形贝蒂数的极限定理 (参见文献[6,7,9,10,12]), 并研究了临界区域内欧拉特征过程的泛函极限定理^[14]. 相较于这些拓扑不变量, $f$-向量与复形的几何性质联系更为紧密, 这使其在几何建模与计算几何领域展现出独特的应用潜力, 可参见文献[4].

在前期研究中, Charles 等^[4]通过结合有限几何与组合设计理论, 运用 Kruskal-Katona 定理, 为特定 $f$-向量对应的三维单纯复形或多重复形结构的存在性, 建立了严格充要条件. 此外, Bernd^[2] 深入研究了 Cohen-Macaulay 单纯复形的 $f$-向量, 证明了对于任意给定的 $f$-向量, 均存在一个可壳化单纯复形, 该复形为所有具有相同 $f$-向量的 Cohen-Macaulay 单纯复形的 Stanley-Reisner 理想的分级贝蒂数设定了上界.

近年来, 对拓扑不变量 $f$-向量的研究也逐步融合概率模型, 例如, Kahle 等^[9]针对多种类型的随机单纯复形, 比如 Erdős-Rényi 随机团复形, 随机 Vietoris-Rips 复形和随机 Čech 复形等模型, 分别建立了其 Betti 数的泊松逼近与正态逼近结果. 同样的, Grygierek^[7] 基于非齐次泊松过程所生成点集的随机 Vietoris-Rips 复形, 证明了其 $f$-向量的高斯逼近定理. 不同于多数基于独立同分布随机变量 $X_n = \{X_1, \cdots, X_n\}$ 的研究, Thomas 等^[14]通过将阈值参数化为 $t$, 证明了欧拉特征过程在临界区域的泛函极限定理. 本文旨在通过将 $f$-向量视为时间参数 $t$ 的随机过程, 扩展 Grygierek^[7] 的理论基础. 具体地, 设 $\mathcal{P}_n$ 为定义在 $\mathbb{R}^d$ 上的泊松点过程, 其强度测度由下式给出

设 $\mathcal{P}_n$ 是在 $\mathbb{R}^d$ 上的非齐次泊松点过程, 强度测度为 $n \int f(x) {\rm d}x$, 其中 $f(x)$ 是概率密度函数, 且 $f(x)$ 几乎处处有界. 存在一个与时间 $t$ 相关的距离函数 $r_n(t)$, 该函数定义在点周围半径为 $r_n$ 的领域内, 最后以 $\mathcal{P}_n$ 所带的点作为随机 Vietoris-Rips 复形 $VR(\mathcal{P}_n, r_n(t))$ 的顶点. 在非齐次泊松点过程 $ \mathcal{P}_n $ 中, 当 $ n \to \infty $ 时, 非随机半径序列为 $ s_n \to 0 $, 其拓扑不变量的行为可以被拆分为几个不同的区域. 当 $ n s_n^d \to 0 $ 时, 处于稀疏 (或亚临界) 区域, 在该区域下会出现大量小型连通分支; 若 $ n s_n^d \to \infty $, 则进入稠密 (或超临界) 区域, 该区域中存在巨型连通分支且拓扑洞稀少, 这是因为 $ s_n $ 的衰减速率较慢. 当 $ n s_n^d $ 收敛于正常数时, 为临界区域. 在临界区域中, 几何复形的随机特征更不确定, 并且有非平凡拓扑的高度连通分支的出现.

因为, $f$-向量过程的期望在稀疏区域和稠密区域中的极限是平凡的, 所以本文只关注临界区域. 将 $f$-向量视为时间参数 $t$ 的随机过程, 探究其泛函极限定理. 第 2 节概述本研究所需的预备知识, 第 3 节总结了本文的主要结果, 第 4 节在临界区域下探究了 $f$-向量过程的极限特征并在第 5 节证明了主要定理: $f$-向量过程的极限及泛函中心极限定理.

随机 Vietoris-Rips 复形是基于随机点云数据构建的拓扑结构, 用于分析数据连通性、空洞及其他拓扑特征. 通过设定尺度参数 $\epsilon$, 当点集中任意两点间的距离不超过 $\epsilon$ 时, 即可形成一个单纯形. 其随机性体现在点云的生成方法上, 而尺度参数 $\epsilon$ 的选择则决定了复形的稀疏性及拓扑信息的丰富程度. 这类复形在拓扑数据分析、形状重构与网络分析中具有广泛应用, 是研究复杂数据结构的重要工具. 接下来, 本节引入一个由非齐次泊松过程 $\mathcal{P}_n$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中生成的随机点集, 并在此基础上构建随机 Vietoris-Rips 复形 $\mathrm{VR}(\mathcal{P}_n, t)$.

定义 2.1(随机 Vietoris-Rips 复形)^[8] 设 $y = \{x_1, \cdots, x_n\} \in \mathcal{P}$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中点的集合, 令 $\epsilon > 0$, 随机 Vietoris-Rips 复形的构建如下

1. 0-单纯形(顶点)是集合 $y$ 中的点;

2. 一个 $k-$单纯形 $\{x_1, \cdots, x_k\} \in \mathrm{VR}(\mathcal{P}, \epsilon)$ 当且仅当 $\|x_i - x_j\|_{\infty} \leq \epsilon$ 对所有 $0 \leq i \leq j \leq k$ 成立.

随机复形的 $f$-向量是一种组合变量, 用于描述不同维度下单纯形的分布特征. 对于随机 Vietoris-Rips 复形, 其 $f$-向量记录了从零维 (顶点) 到最高维单纯形的数量.

对于所有 $n \geq 2$, $t > 0$ 以及 $\{x_0, \cdots, x_k\} \in \mathbb{R}^d$, 定义示性函数

其中 $1_{\leq t}(x_0, \cdots, x_k) = 1$ 对于 $k \leq 0$.

定义 2.2 设 $\mathcal{P}_n$ 是定义在 $\mathbb{R}^d$ 上的具有强度测度 $n \int f(x) {\rm d}x$ 的泊松点过程, $\mathcal{Y} \subseteq \mathcal{P}$ 且 $|\mathcal{Y}| = k + 1$. 对于 $n > 1$, 考虑具有对称且可测核 $1_{\leq t} : \mathbb{R}^{k+1} \rightarrow \{0,1\}$ 的阶数为 $k+1$ 的 $f$-向量 $F_k$, 其定义为

$F_k$ 表示随机 VR 复形 $VR^\infty(\mathcal{P}_n, \epsilon)$ 中 $k-$ 单纯形的个数. 设 $\{s_n\}_{n=1}^\infty$ 是一列正数列, 为了将 $F_k$ 表示为随机过程, 定义距离阈值 $\epsilon$ 为关于时间 $t$ 的函数 $r_n(t) := s_n t$, 从而

为便于后续证明, 设 $(x_0, \cdots, x_n) \in \mathcal{Y}$, 其中 $|\mathcal{Y}| = k + 1$ 且 $\mathcal{Y}$ 中元素互不相同. 定义 $h_t^k(\mathcal{Y})$:

进一步地, 其期望值为

定义 2.3 对于 $\mathbb{R}^d$ 上的 Borel 有界开子集 $A$, 且 $m(\partial A)=0$, $F_k(t)$ 对 $A$ 的限制为

其中 $\text{LMP}(\mathcal{Y})$ 表示 $\mathcal{Y}$ 的最左点. 该定义通过对点集 $\mathcal{P}_n$ 的子集 $\mathcal{Y}$ 进行筛选, 仅保留左端点属于 $A$ 的项. 此外, 有

对任意的 $n \geq 2$ 和 $r \in \{1, \cdots, n\}$, $h_t^k(\mathcal{Y})$ 有以下性质

(1) 因式分解不等式 $ h_t^k(x_1, \cdots, x_r, x_{r+1}, \cdots, x_n) \leq h_t^k(x_1, \cdots, x_r) h_t^k(x_1, \cdots, x_n); $

(2) 移除参数不等式 $ h_t^k(x_1, \cdots, x_r, x_{r+1}, \cdots, x_n) \leq h_t^k(x_1, \cdots, x_r); $

(3) 对称性 $ h_t^k(x_1, \cdots, x_n) = h_t^k(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_j, x_{i+1}, \cdots, x_{j-1}, x_i, x_{j+1}, \cdots, x_n); $

(4) 非递减性 $ h_t^k(x_1, \cdots, x_n) \leq h_s^k(x_1, \cdots, x_n), \quad t \leq s. $

在 2020 年, Grygierek^[7] 证明了齐次泊松过程下 $f$-向量的中心极限定理, 该定理聚焦于 $f$-随机向量的极限特征.

定理 3.1(Grygierek)^[7] 对于固定的 $k \geq 1$, 假设 $\mathbb{E}[F_k] \rightarrow \infty$, 当 $d \rightarrow \infty$, 设 $\mathcal{N}(0,1)$ 为标准高斯分布的随机变量, 记 $\widetilde{F}_k := \frac{F_k - \mathbb{E}[F_k]}{\sqrt{\text{Var}(F_k)}}$ 为 $F_k$ 的标准化版本. 当 $d \rightarrow \infty$ 时, 若 $ns^d \rightarrow c \in (0, \infty)$ 或 $ns^d \rightarrow \infty$, 则

本文在定理 3.1 的基础上, 将阈值看作时间变量 $t$ 的函数, 从而将 $f$-向量写成 $f$-向量随机过程. 这对条件进行了一般化, 将定理 3.1 中固定时间固定维度的分布收敛推广到整个随机过程的分布收敛. 同时将齐次泊松过程扩展到非齐次泊松过程, 讨论了 $f$-向量的极限特征.

首先定义 $ G(t) $ 为一般概率空间 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ 上的一族零均值高斯过程, 过程内协方差为

其中 $ \omega_{j,k_1,k_2}(t,s) $ 是特定的协方差函数.

定理 3.2($F_k(t)$ 的泛函中心极限定理) 对于定义在区间 $(0, \infty)$ 上, 赋予 Skorokhod $J_1$-拓扑的 $f$-向量随机过程 $F_k(t)$, 记 $\widetilde{F}_k := \frac{F_k - \mathbb{E}[F_k]}{\sqrt{\text{Var}(F_k)}}$ 为 $F_k$ 的标准化版本, 当 $n \rightarrow \infty$ 时,

其中 $G(t)$ 为 $F_k(t)$ 的极限高斯过程.

当半径 $r_n(t)$ 超过某一临界阈值时, 某些点对间的距离首次被半径覆盖, 从而引发拓扑结构的突变, 这使得 $F_k(t)$ 表现为一个具有跳跃性的左连右极过程. 在区间 $[0, \infty]$ 上, 证明了 $F_k(t)$ 在 Skorokhod $J_1$- 拓扑意义下关于参数 $t$ 的泛函中心极限定理. 证明依赖于 Prokhorov 定理, 并逐步建立有限维分布收敛性与序列的紧性.

定理 4.1 和定理 4.2 刻画了当点密度逐渐增大时, 随机过程在临界区域中的渐近性质. 随着点数 $n$ 趋于无穷, 同时点过程的密度相应变化, 我们以 $n s_n^d$ 的极限行为来标定其衰减速率. 根据该极限的不同, 整个空间可划分为三个区域：稀疏区、临界区和稠密区. 特别地, 当满足 $n s_n^d \to \lambda \in (0, \infty)$ 时, 对应为临界区域. 为简便起见, 可不失一般性地设 $\lambda = 1$.

在临界区域中, 几何复形的连通性等随机特征变得更加不确定, 从而使复形的拓扑结构具有新的特征. 在这部分中, 令 $\mathcal{Y}$ 表示密度为 $f$ 的独立同分布的随机点的集合.

引理 4.1 设 $P_n$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上的泊松点过程, $f$ 是概率密度函数, 则对于任意 $t \geq 0$ 和固定 $k \geq 0$, 当$n \rightarrow \infty$时, 有

证 由变量替换 $ x_1 = x, x_i = x + s_n y_{i-1} $ for $ i = 2, \cdots, k + 1 $, 可得

上式乘以 $ n^k / [(k+1)!]^2 $,

由于 $ ns_n^d \to 1 $, 我们有 $(ns_n^d)^k \to 1$. 现在考虑积分项

由泰勒展开

其中 $\xi_i$ 在 $x$ 和 $x + s_n y_i$ 之间.

因此,

代入 $I_n$,

其中余项 $R_n$ 由 $f$ 和 $\nabla f$ 的有界性控制. 由于 $s_n \sim n^{-1/d}$, 我们得到

因此,

定理 4.1 对于 $ t > 0 $ 和固定的 $ k \geq 0 $, 当 $n \rightarrow \infty$ 时, 有

证 由 $h^k_t(\mathcal{Y})$ 的对称性

现在, 考虑 $ n^{-1} \mathbb{E}[F_k(t)] $,

由引理 4.1, 我们有

将上述两式结合, 直接代入得

引理 4.2 对于所有 $n \in \mathbb{N}, t \geq 0$,

证 上式左边等于

由于 $ns_n^d \rightarrow 1, n \rightarrow \infty$, 则 $\prod_{i=1}^{k} f(x + s_n y_i) \rightarrow f(x)^k, n \rightarrow \infty$, 为了指示函数 $h_t^k(x_1, \cdots,\\ x_{k+1})$ 不为零, 控制点 $y_1, \cdots, y_k$ 均在球 $B(0,2t)$ 内, 从而上式可放缩为

引理 4.3 对于 $1 \leq j \leq (k_1 \wedge k_2) + 1, k_1, k_2 \in \mathbb{N}_0$, 并且 $t, s \geq 0, n \rightarrow \infty$ 时, 有

其中

证 考虑两个点集 $\mathcal{Y}_1$ 和 $\mathcal{Y}_2$, 它们共享恰好 $j$ 个点, 总点数为 $k_1 + k_2 + 2 - j$. 期望项可以写为

令 $x = x_1$, 对于 $i = 2, \cdots, k_1+k_2+2-j$, 令 $y_{i-1} = \frac{x_i - x}{s_n}$, 即 $x_i = x + s_n y_{i-1}$: 雅可比行列式为 $s_n^{d(k_1+k_2+1-j)}$, 因此

从而

这等价于 $\|y_i - y_j\| \leq t$. 因此

密度乘积项变为

将这些代入期望表达式

从而

由于 $n s_n^d \to 1$, 有 $n^{k_1+k_2+1-j} s_n^{d(k_1+k_2+1-j)} = (n s_n^d)^{k_1+k_2+1-j} \to 1$. 当 $n \to \infty$ 时, $s_n \to 0$, 因此 $f(x + s_n y_i) \to f(x)$. 为了让指标函数 $h_t^{k_1}$ 和 $h_s^{k_2}$ 都非零, 上述式子中每个$y_i$ 都需距离原点至少 $2(t+s)$. 从而上式

进一步地, 由控制收敛定理,

从而极限

定理 4.2 对于 $t, s \geq 0$, 有

证

由 Palm 引理 (ii)^[5], 引理 4.2 和引理 4.3, 令 $(x_0, \cdots, x_{k_1}) \in \mathcal{Y}_1$, $(y_0, \cdots, y_{k_2}) \in \mathcal{Y}_2$, 得到

由于 $e^x$ 的泰勒级数展开为 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$, 从而

因此上式

从而由 Fubini's 定理, $\text{Cov}(F_{k_1}(t), F_{k_2}(s))$ 第一项化简为

同样的, 第二项化简为

从而由引理 4.3

设 $C^*$ 表示一个在行间和行内都可能变化的一般正数. 由 Cramer-Wold 定理, 对于任意有限个点 $t_1, t_2,\cdots,t_m \in (0,\infty)$, 要证明随机向量 $(\widetilde{F}_k(t_1), \cdots, \widetilde{F}_k(t_m))$ 的有限维分布收敛, 只需证明其任意线性组合 $\sum_i^m a_i \widetilde{F}_k(t_i)$ 的弱收敛性. 接着, 通过 Prohorov 定理, 紧性结合有限维分布收敛, 可以证明其收敛.

$\textbf{(i) 有限维收敛性}$

证 由依赖图的定义, 将 $\mathbb{R}^d$ 空间划分为不相交的立方块. 设 $(Q_{j,n}, j \geq 1)$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中与 $(0, r_n(t_m))^d$ 同余的不相交的子集数, 即 $\mathbb{R}^d = \bigcup_{j=1}^{\infty} Q_{j,n}$. 定义与 $A$ 相交的块的索引集合 $H_n = \{j \in \mathbb{N}; Q_{j,n} \cap A = \emptyset\}$, 令

很明显有 $\sum_{i=1}^{m} a_i \widetilde{F}_{k,A}(t_i) = \sum_{j \in H_n} \xi_{j,n}$. 对 $\xi_{j,n}$ 标准化处理, 得到

现在, 定义 $H_n$ 为随机变量的依赖图的顶点集, 则 $j \sim j'$ 当且仅当

由于标准化变量 $\overline{\xi}_{j,n}$ 具有零均值与单位方差, 且子集 $A$ 有界, 即块数 $|H_n| = O(s_n^{-d})$, 则由文献 [13,定理 2.4],

由定理 4.2,

当 $t = s$ 时, 协方差退化为方差

从而上式可放缩为

由 Minkowski 不等式,

由 $h_t^k(\mathcal{Y})$ 的性质 (4), 对于固定的 $y$, $h_t^k(\mathcal{Y})$ 是一个非递减函数, 从而

由于 $\mathbb{E}[G(t), G(s)] = \omega_{j,k_1,k_2}(t,s)$, 从而由 $\sum_{j \in H_n} \overline{\xi}_{j,n} \Rightarrow N(0,1), n \rightarrow \infty$ 可得

其中

$\textbf{(ii) 紧性}$

定义 5.1 在 $t \rightarrow \infty$ 时, 对于 $\forall \epsilon > 0$, 存在足够小的 $\delta > 0$, 使得

则可以得出序列 $F_k(t)$ 在 $D[0,\infty]$ 中紧.

证 由定理 4.2, 当 $t = s$ 时退化为方差时,

定义标准化过程: $\bar{F}_k(t) = n^{-\frac{1}{2}} F_k(t)$ 和过程增量: $\Delta_n(t,s) = \bar{F}_k(t) - \bar{F}_k(s)$, 从而

因为

考虑 $\omega_{j,k_1,k_2}(t,s)$ 在 $t=s$ 附近的泰勒展开. 设 $s = t + \delta$, 其中 $\delta \rightarrow 0$, 则

同理,

代入二阶差,

因为

由 $h_t^k(\mathcal{Y})$ 的非递减性可知 $\omega_{j,k_1,k_2}(t,s)$ 随 $t$ 和 $s$ 的变化是平滑的, 且其二阶导数存在且有界. 因为 $h$ 是指示函数, 其导数在分布意义上是狄拉克函数, 设 $K$ 为曲面测度, 因此

由于 $f$ 有界且支撑紧, 这些积分有界. 类似地, 第二次求导后, 混合偏导数也应有界, 因为边界积分涉及球面面积, 这些面积在有限区域内是有界的. 具体地, 对于固定的 $j, k_1, k_2$, 存在常数 $M_{j,k_1,k_2}$ 使得

因此存在常数 $M$ 使得 $|\partial_t \partial_s w_{j,k_1,k_2}(t,s)| \leq M$, 则

这意味着 $\beta = 1$, 且不等式成立, 其中 $C_{j,k_1,k_2} = M$.

进一步地, 当 $|t-s| \rightarrow 0$ 时, 点集构成 $k$-单纯形的阈值条件仅在区域厚度为 $|t-s|$ 发生变化, $\omega_{j,k_1,k_1}(t,s)$ 的积分区域的体积与 $|t-s|$ 成比例. 结合泰勒展开和积分区域体积, 上述二阶差为

其中 $C_{j,k_1,k_2} = M_{j,k_1,k_2}$, 这意味着 $\beta = 1 > 0$. 根据斯特林公式, 有

从而 $C_{j,k_1,k_2} \sim e^{-\lambda(k_1+k_2)}$.

进一步地, 上述增量二阶矩 $\mathbb{E}[|\Delta_n(t,s)|^2] \leq C^* |t-s|^{2}$. 利用马尔可夫不等式, 我们得出增量概率的上界为

从而