1 引言
排队问题广泛存在于许多行业领域, 随着现代社会对高效服务的需求不断增加, 排队现象日益显现, 给人们的日常生活带来不便. 为应对这些挑战, 排队论应运而生. 随着现代社会对服务效率要求的持续提升, 传统单阶段排队系统 (如 M/M/1 经典排队模型) 难以有效应对多样化的顾客需求和服务场景. 因此, 为了使模型更好地适应不同类型的服务流程, 学者们提出了两阶段服务机制. 该机制将服务过程划分为两个不同功能和作用的阶段, 从而明确服务分工, 并提高整体服务效率. 在理论研究方面, Bountali 和 Economou[1 ] 考虑一个顾客批量到达的两阶段服务系统, 得到了不同收益-成本下顾客的策略行为. 接着, Sudhesh 和 Vaithiyanathan[2 ] 研究了带有两阶段服务的 D/D/1 排队模型. Xu 和 Liu[3 ] 考虑了带有优先权和两阶段服务的排队系统, 其中第一阶段提供单一服务, 第二阶段提供可清算服务, 通过矩阵几何解法对系统进行了稳态分析. 在应用研究方面, 基于带有故障可修复和两阶段服务的排队模型, Zhang 等[4 ] 研究了 P2P 网络系统, 通过拟生灭过程求得了系统的性能指标. Hanukov 和 Yechiali[5 ] 从智能手机 APP 点餐角度出发, 研究了包含两类顾客和两阶段服务的排队系统, 讨论了不同顾客的策略行为.
当排队系统中没有顾客时, 服务台本身虽然处于空闲状态, 但仍然处于运行状态, 继续消耗计算资源和能源. 为了有效降低这种不必要的资源消耗, 减少运营成本, 引入了休假机制. 该机制允许服务台在没有顾客需求时进入休假状态, 暂停运行, 直到有新的顾客到来. 这种策略有助于提升资源的利用效率, 降低运行成本, 进而提高整体系统的可持续性和经济性. 曾慧和岳德权[6 ] 研究了带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统. Ye[7 ] 研究了带有两阶段休假机制 (工作休假和多重休假) 的 $M^X/M/1$ [8 ] 在此基础上进一步考虑了带有两阶段休假的 $GI^X/M/1$ [9 ] 分析了带有混合休假策略和两阶段服务的排队系统, 并用 PSO 和 ABC 算法对系统的成本进行了优化.
在实际生产环境中, 机器设备的故障会显著影响生产流程, 导致系统性能急剧下降. 因此, 考虑故障机制成为了对实际排队系统建模的重要补充. 例如, Kim 和 Lee[10 ] 研究了带有工作故障和灾难的 M/G/1 排队模型, 利用补充变量法得到了逗留时间的分布. Rajadurai[11 ] 在此基础上, 考虑了带有工作休假、工作故障和灾难的重试排队系统, 利用补充变量法和母函数法得到了系统的性能指标. Gao 等[12 ] 研究了带有两类故障 (主动故障和被动故障) 和延迟维修的 M/G/1 排队模型, 设定只有服务台忙时故障后会立即维修, 并借助补充变量法, 得到了一些可靠性指标. Kumar 等[13 ] 分析了具有阈值恢复策略的机器维修模型, 设定服务台在服务期间会发生部分故障或完全故障, 且故障后需要进行阶段维修. 利用矩阵几何解法得到了系统的性能指标. Han 等[14 ] 研究了带有负顾客和被动故障、延迟维修的重试排队系统, 基于线性收益-支出结构, 分析了顾客的纳什均衡策略和社会最优策略.
尽管两阶段服务机制、故障机制和休假机制已经展开了很多研究, 但将两阶段服务和两类故障、休假相结合的模型少有涉及. 实际上, 该模型在实际生活中有广泛的应用场景. 以吸管制作为例, 当原材料到达机器后, 第一步需要进行加工成型, 第二步对做成的吸管进行包装. 在对原材料加工成型的工作期间, 由于机器的磨损, 会发生工作故障, 使得工作效率变低. 机器在完成全部的制作和包装工作之后, 进入休眠模式, 待再有原材料到达时, 机器开始正常工作. 再看汽车保养领域, 其服务涵盖两类: 常规的检查与汽车清洁. 汽车进入维修车间后, 维修技师先进行常规检查的服务, 待服务完成后, 再对汽车进行清洁. 如果维修车间的环境嘈杂、光线不足, 维修技师的服务速率变低, 此时需要对周围的环境进行调整. 当汽车的修理工具出现短缺或故障时, 系统会陷入完全故障状态, 必须需要等待材料的补给或者修复. 当维修技师服务完所有排队的汽车后, 进行休假阶段. 休假回来如果有汽车到达, 则继续正常工作流程.
由实际应用出发, 本文在已有工作的基础上, 对排队系统结构进行了系统性拓展, 将两阶段服务机制、两类故障机制与休假机制纳入统一分析框架中, 开展联合建模与性能分析. 本文的主要贡献如下: (1) 受文献 [f9] 启发, 结合实际应用背景, 假定服务台可能发生两类故障. 通过生成函数法推导系统的稳态概率分布, 并据此计算多个关键性能指标; (2) 借助自适应神经模糊推理系统 (ANFIS) 对理论结果进行有效验证, 增强了模型的可靠性与实用性. 同时, 从成本函数出发开展优化分析, 探讨了资源配置的最优策略; (3) 在策略分析部分, 构建了线性收益-支出结构, 深入研究了顾客的均衡加入策略与社会最优策略, 为服务策略设计与社会福利提升提供理论支持与决策参考.
2 模型描述
考虑具有两类故障和两阶段服务的休假排队模型. 顾客的到达过程服从参数为 $\lambda$ $q$ $1-q$ $\mu_1$ $\mu_2$ .
故障只出现在第一阶段, 此时顾客不允许进入. 当服务台完全故障时, 顾客需等待维修, 修好后继续完成第一阶段的服务. 当服务台发生工作故障时, 不区分两个阶段, 直接服务至顾客离开系统, 服务时间服从参数为 $\mu_D$ $\mu_D<\mu_1$ ) 的指数分布. 工作故障和完全故障发生的过程分别为参数为 $\alpha_1$ $\alpha_2$ $\beta_1$ $\beta_2$
当服务完所有顾客后, 服务台进入休假状态直至有新顾客到达, 休假结束, 服务台进入新的忙期. 休假时间服从参数为 $\theta$
用 $(I(t), N(t))$ $t$ $N(t)$ $t$ $I(t)$ $t$ $\{(I(t), N(t)), t\ge0\}$ $\Omega =\left \{ (0, n), n\ge 0 \right \}\cup \left \{ (i, n): i=1, 2, 3, 4, n\ge 1 \right \}$ . 系统的状态转移图如图1 所示.
图1
使用拟生灭过程分析模型的稳定性条件, 按字典排序法得到了 QBD 过程的无穷小生成元 $ {Q}$
$\begin{equation*} A_1 = \begin{pmatrix} -(\lambda q+\theta) & \theta & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -(\lambda q+\mu_1+\alpha_1+\alpha_2) & \mu_1 & \alpha_1 & \alpha_2 \\ 0 & 0 & -(\lambda q+\mu_2) & 0 & 0 \\ 0 & \beta_1 &0& -\beta_1 & 0 \\ 0 & \beta_2 & 0 &0& -\beta_2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & & & & \\ & 0 & & & \\ & \mu_2 & 0 & & \\ & & & 0 & \\ & & & & \mu_D \end{pmatrix}, \end{equation*}$ $\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} -(\lambda q+\theta) & \theta & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -(\lambda q+\mu_1+\alpha_1+\alpha_2) & \mu_1 & \alpha_1 & \alpha_2 \\ 0 & 0 & -(\lambda q+\mu_2) & 0 & 0 \\ 0 & \beta_1 &0& -\beta_1 & 0 \\ 0 & \beta_2 & 0 &0& -(\beta_2+\mu_D) \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} \lambda q & & & & \\ & \lambda q & & & \\ & & \lambda q & & \\ & & & 0 & \\ & & & & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}$
令 $ {D}= {A}+ {B}+ {C}$
为有限的不可约生成元, 存在稳态概率向量 $ {\pi}=(\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4, \pi_5)$ $ \left\{ \begin{aligned} & {\pi} {D} = 0 \\ & {\pi} {e} = 1 \end{aligned} \right.$ $ {e}={(1,1,1,1,1)}^\intercal$ . 由方程组可得 $ {\pi}=\left(0, \pi_2, \frac{\mu_1}{\mu_2}\pi_2, \frac{\alpha_1}{\beta_1}\pi_2, \frac{\alpha_2}{\beta_2}\pi_2\right)$ $\pi_2=\left(1+\frac{\mu_1}{\mu_2}+\frac{\alpha_1}{\beta_1}+\frac{\alpha_2}{\beta_2}\right)^{-1}$ . 由拟生灭过程理论可知, 系统正常返当且仅当 $ {\pi Be}> {\pi Ce}$ . 整理后可得系统稳定性条件为
3 稳态分析与敏感性分析
3.1 稳态分析
定义 $p_{i, j}=\lim\limits_{t \to \infty} P( I(t)=i, N(t)=j ),\ (i, j)\in \Omega$ $(i, j)$ 图1 的状态转移图, 可得到系统的平衡方程如下
(3.1) $\begin{equation} \lambda q p_{0,0}=\mu_2 p_{2,1}, \end{equation}$
(3.2) $\begin{equation} \left(\lambda q+\theta \right)p_{0,n}=\lambda q p_{0,n-1},\qquad n\ge1, \end{equation}$
(3.3) $\begin{equation} \left(\lambda q+\mu_1+\alpha_1+\alpha_2 \right)p_{1,1}=\theta p_{0,1}+\beta_2 p_{4,1}+\mu_2 p_{2,2}+\beta_1 p_{3,1}, \end{equation}$
(3.4) $\begin{equation} \left(\lambda q+\mu_1+\alpha_1+\alpha_2 \right)p_{1,n}=\theta p_{0,n}+\beta_2 p_{4,n}+\mu_2 p_{2,n+1}+\beta_1 p_{3,n}+\lambda q p_{1,n-1}, \qquad n\ge2, \end{equation}$
(3.5) $\begin{equation} \left(\lambda q+\mu_2 \right)p_{2,1}=\mu_1 p_{1,1}, \end{equation}$
(3.6) $\begin{equation} \left(\lambda q+\mu_2 \right)p_{2,n}=\mu_1 p_{1,n}+\lambda q p_{2,n-1}, \qquad n\ge2, \end{equation}$
(3.7) $\begin{equation} \beta_1 p_{3,n}=\alpha_1 p_{1,n}, \qquad n\ge1, \end{equation}$
(3.8) $\begin{equation} \beta_2p_{4,1}=\alpha_2 p_{1,1}+\mu_D p_{4,2}, \end{equation}$
(3.9) $\begin{equation} \left(\mu_D +\beta_2\right)p_{4,n}=\alpha_2 p_{1,n}+\mu_D p_{4,n+1}, \qquad n\ge2. \end{equation}$
将 (3.1)-(3.9) 式两边同时乘 $z^n$ $n$
(3.10) $\begin{equation} G_0{(z)}=\frac{\lambda q+\theta}{\lambda q+\theta-\lambda qz}p_{0, 0}, \end{equation}$
(3.11) $\begin{equation} \begin{array}{rl} \left(\lambda q + \mu_1 + \alpha_1 + \alpha_2\right) G_1(z) =& \beta_2 G_4(z) + \dfrac{1}{z} \mu_2 \left(G_2(z) - p_{2,1} z\right) + \beta_1 G_3(z) \\ & + \lambda q z G_1(z) + \theta \left(G_0(z) - p_{0,0} \right), \end{array} \end{equation}$
(3.12) $\begin{equation} \left(\lambda q+\mu_2-\lambda qz\right)G_2{(z)}=\mu_1G_1{(z)}, \end{equation}$
(3.13) $\begin{equation} \beta_1G_3{(z)}=\alpha_1G_1{(z)}, \end{equation}$
(3.14) $\begin{equation} \left(\mu_D+\beta_2\right)G_4{(z)}-\mu_Dp_{4,1}z=\alpha_2G_1{(z)}+\frac{1}{z}\mu_DG_4{(z)}-\mu_Dp_{4,1}. \end{equation}$
将 $z=1$ $G_0{(1)} =\frac{\lambda q+\theta}{\theta}p_{0, 0}$ . 将 (3.11)-(3.14) 式进行整理, 得到
(3.15) $\begin{equation} G_1{(z)} =\frac{\left(\lambda q\left(\lambda q+\theta\right) C(z)p_{0, 0}+\beta_2\mu_Dp_{4, 1} zA(z)\right)z(z-1)B(z)}{\left(zB(z)C(z)D(z)-\mu_1\mu_2C(z)-\alpha_2\beta_2 z^2B(z)\right)A(z)}, \end{equation}$
在 $\left(0, \frac{\mu_D}{\mu_D+\beta_2}\right)$ $z=g$ . 由 Rouche 定理, 有
(3.16) $\begin{equation} \lambda q\left(\lambda q+\theta\right) C(g)p_{0, 0}+\beta_2\mu_Dp_{4, 1} gA(g)=0. \end{equation}$
将 (3.16) 式代入 (3.15) 式, 整理得到
(3.17) $\begin{equation} G_1{(z)} =\frac{\lambda q\left(gA(g)C(z)-zC(g)A(z)\right)z\left(z-1\right)B(z)\left(\lambda q+\theta\right) p_{0, 0}}{gA(z)A(g)\left(zB(z)C(z)D(z)-\mu_1\mu_2C(z)-\alpha_2\beta_2 z^2B(z)\right)}. \end{equation}$
考虑 $G_1{(z)}$ $z=1$ $z$
(3.18) $\begin{equation} G_1{(1)}=\lim_{z \to 1}G_1{(z)} =\frac{\lambda q\mu_2\left(1-g\right)\left(g\lambda q\beta_2+\mu_D\theta\right)\left(\lambda q+\theta\right)p_{0, 0}}{\theta gA(g)\left(\left(\alpha_2\mu_D+\beta_2\mu_1\right)\mu_2-\lambda q\beta_2\left(\mu_1+\mu_2\right)\right)}.\end{equation}$
取 $z=1$ $G_2(1)$ $G_3(1)$ $G_4(1)$ . 最后, 利用归一化条件 $G_0{(1)}+G_1{(1)}+G_2{(1)}+G_3{(1)}+G_4{(1)}=1$
其中 $K_1=\mu_2\left(\mu_1\beta_2+\mu_D\alpha_2\right)-\lambda q\beta_2\left(\mu_1+\mu_2\right),~K_2= \mu_2\beta_1\beta_2+\mu_1\beta_1\beta_2+\alpha_1\mu_2\beta_2+\alpha_2\mu_2\beta_1.$
3.2 性能指标
由前面的稳态分析, 可以得到具有两阶段服务和两类故障的休假排队系统的重要性能指标.
(1) 服务台处于状态 $i$ $(i=0,1,2,3,4)$
(3.19) $\begin{equation} P_0=G_0{(1)} =\frac{\lambda q+\theta}{\theta}p_{0, 0}. \end{equation}$
(3.20) $\begin{equation} P_1=G_1{(1)} =\frac{\lambda q\mu_2(1-g)\left(g\lambda q\beta_2+\mu_D\theta\right)\left(\lambda q+\theta\right)p_{0, 0}}{\theta gA(g)K_1}. \end{equation}$
(3.21) $\begin{equation} P_2=G_2{(1)} =\frac{\mu_1}{\mu_2}G_1{(1)}. \end{equation}$
(3.22) $\begin{equation} P_3=G_3{(1)} =\frac{\alpha_1}{\beta_1}G_1{(1)}. \end{equation}$
(3.23) $\begin{equation} P_4=G_4{(1)}=\frac{\alpha_2}{\beta_2}G_1{(1)}. \end{equation}$
(2) 服务台处于 $i$ $(i=0,1,2,3,4)$
(3.24) $\begin{equation} E(N_0)=G_0'{(1)}=\frac{\lambda q\left(\lambda q+\theta\right) p_{0, 0}}{\theta^2}. \end{equation}$
(3.25) $\begin{equation} E(N_1)=G_1'{(1)}=\frac{\lambda q\left(\lambda q+\theta\right)p_{0, 0}}{gA(g)}\frac{2\left(\lambda q+\theta\right)MN_{11}+2\theta M_1N_{11}-\theta MN_{22}}{2\theta^2 N_{11}^2}. \end{equation}$
(3.26) $\begin{equation} E(N_2)=G_2'{(1)}=\frac {\mu_1}{\mu_2}G'_1(1)+\frac {\lambda q\mu_1}{\mu_2^2}G_1{(1)}. \end{equation}$
(3.27) $\begin{equation} E(N_3)=G_3'{(1)}=\frac {\alpha_1}{\beta_1}G_1'{(1)}. \label{27} \end{equation}$
(3.28) $\begin{equation} E(N_4)=G_4'{(1)}=\frac{\mu_1\mu_2-\lambda q\left(\mu_1+\mu_2\right)}{\mu_2\beta_2}G_1{(1)}+\frac{\alpha_2}{\beta_2}G'_1{(1)-\frac{\theta}{\beta_2}}G'_0{(1)}. \end{equation}$
(3.29) $\begin{equation} E(N)=G_0'{(1)}+G_1'{(1)}+G_2'{(1)}+G_3'{(1)}+G_4'{(1)}. \end{equation}$
(4) 顾客的逗留时间是指顾客从进入系统起到完成两个阶段的服务并离开系统为止的总时间, 该时间包括等待时间、第一阶段的服务时间 (包括因服务中断引起的额外时间) 和第二阶段的服务时间. 由 Little 公式, 顾客的平均逗留时间为
(3.30) $\begin{equation} W=\frac{E(N)}{\lambda q}. \end{equation}$
(5) 吞吐量通常指单位时间内系统实际完成服务的顾客数量, 反映了系统的处理能力. 在本模型中, 顾客需完成两个阶段的服务后才能离开系统, 因此系统的吞吐量可表示为
(3.31) $\begin{equation} Th=\sum_{n=1}^{\infty} \mu_1p_{1, n}+\sum_{n=1}^{\infty} \mu_2 p_{2, n}+\sum_{n=1}^{\infty} \mu_D p_{4, n} =\left(2\mu_1+\frac{\alpha_2\mu_D}{\beta_2}\right)G_1(1), \end{equation}$
其中 $g$ $zB(z)C(z)D(z)-\mu_1\mu_2C(z)-\alpha_2\beta_2 z^2B(z)=0$
为了进一步验证稳态队长概率分布的推导正确性及其在性能分析中的应用价值, 对系统的队长分布进行了数值计算. 取 $\lambda=2.5$ $q=0.5$ $\theta=0.5$ $\mu_1=6.5$ $\mu_2=3$ $\mu_D=3$ $\alpha_1=0.3$ $\alpha_2=0.2$ $\beta_1=1.1$ $\beta_2=1$ 表1 所示). 本组数据表明, 各状态概率之和接近 1, 平均顾客数也符合理论分析的数量级, 进一步支持了所构建生成函数方法下稳态概率分布的正确性与实用性.
3.3 敏感性分析
本节旨在分析在完全不可视的情况下, 参数对系统吞吐量的影响. 选择的实验数据为:
从图2 (a) 可以看到: 吞吐量随到达率的增大而增大. 这是因为当更多的顾客进入系统, 提高了资源的利用率, 使得系统在单位时间内能够服务更多的顾客, 进而提高了吞吐量. 同时, 休假率增加意味着服务台实际工作的时间变短, 顾客需要等待的时间变长, 从而单位时间内能够服务的顾客数降低, 系统的吞吐量也会下降.
图2
从图2 (b) 可以看到: 当维修率变大时, 吞吐量也会变大. 当工作故障下的维修率变大时, 维修能力也相应地提高, 从而可以更快的处理顾客的需求, 减少等待时间, 这就导致了系统处理能力的提高, 吞吐量也随之增大. 同时, 顾客的加入概率越大, 系统的吞吐量越大. 随着顾客加入概率的增大, 顾客的有效到达率上升, 进入系统的顾客数量增多, 导致队列长度增加, 服务资源利用率提高. 服务台的连续工作使单位时间内完成的服务任务数增加, 进而系统吞吐量增大.
4 ANFIS 预测
ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System) 是一种结合了人工神经网络和模糊逻辑系统的混合智能模型. 它的核心思想是通过训练, 利用神经网络算法来优化模糊系统的参数, 使其更适应数据中的模式. 通过学习数据, 自动调整模糊规则和隶属度函数, 从而优化推理系统的性能.
基于 Sugeno 型模糊推理系统, ANFIS 有五层结构:
第一层: 模糊化层. 该层的每个节点对应于输入变量的一个模糊隶属函数, 输出为输入值在模糊集上的隶属度值即
其中 $\mu_{A_s}$ $\mu_{B_j}$ $\mu_{C_k}$ $s, j, k$
第三层: 归一化层. 将激活度进行归一化处理, 即 $\overline{\omega_i}=\frac{\omega_i}{\sum_{l}\omega_l}$ .
第四层: 后件函数层. 该层节点的输出为规则后件部分的常数项乘以归一化激活度, 即 $O_{4i}=\overline{\omega_i}\cdot c_i$ .
第五层: 输出层. 将所有规则的输出进行加权求和, 得到最终输出, 即 $O_{5i}=\sum_{i}^{}\overline{\omega_i}\cdot c_i$ .
本节基于 ANFIS 模型构建输入输出关系, 其中输入变量包括到达率 $\lambda$ $\mu_1$ $\theta$ $E(N)$ $\lambda$ $\mu_1$ $\theta$ 图3 展示了输入变量 $\lambda$ $\mu_1$ $\theta$
图3
基于上述建模设定, 制定了 ANFIS 模型的训练流程, 具体步骤如表2 所示. 通过对不同输入参数组合下预测值与真实值的对比, 计算模型的准确性与均方根误差, 从而评估其适用性. 准确性和均方根误差公式如下
其中, $\delta$ $RMSE$ $\hat{y}$ $y$ 图4 . 选择的实验数据为:
图4
从图4 (a) 可以看到, 系统中的平均顾客数随着到达率的增大而增大, 这是显然的. 同时, 当 $\mu_1$
从图4 (b) 可以看到, 系统中的平均顾客数随服务率的增大而减小, 且 $\beta_2$
从图4 (c) 可以看到, 系统中的平均顾客数随着休假率的增加而减少, 这是因为当休假率变快之后, 单位时间内服务台能够完成服务的顾客数变多, 每个顾客接受服务的时长随之变短, 所以平均顾客数相应减少. 且可以看到, 当 $\alpha_1$
对于判定指标, 准确性 $\delta$ 表3 展示了不同参数下输出变量 $E(N)$ $\delta > 95\%$ 图4 综合来看, ANFIS 拟合的模型效果比较好.
5 成本分析
其中, $C_h$ $C_S$ $C_i$ $i$ $(i=0, 1, 2, 3, 4)$ .
目前, 对于优化问题的求解方法多种多样, 常见的单目标优化有遗传算法、人工蜂群算法等; 多目标优化有非支配排序遗传算法、改进强度 Pareto 进化算法等. 本节考虑单目标优化问题, 给定 $\left(C_0, C_1, C_2, C_3, C_4\right)=(10, 8, 7, 8, 10)$ $F$ .
鱼群搜索算法 (Fish School Search) 是一种基于模拟鱼群行为的启发式优化算法. 鱼群中的每一条鱼都代表了一个给定优化问题的解, 利用每条鱼的信息将搜索过程引导到搜索空间中有希望的区域, 避免了过早收敛于局部最优解.
取定 $(q, \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2)=(0.5, 0.3, 0.1, 1.2, 1)$ 表4 所示. 以 $(\lambda,\mu_2,C_h,C_s)=(2,3,20,15)$ 图5 所示. 结果显示, 当迭代次数超过 50 之后, 每个变量值都趋于收敛.
图5
同时, 取 $(\lambda, \mu_2, C_h, C_s)$ 表5 是不同组别下的最优解. 可以看到: 当服务率变大时, 顾客在队列中等待的时间会变短, 等待成本会降低, 导致最优的总成本会变小, 这是合理的. 当顾客的持有成本变大时, 总成本也会变大. 这是因为当顾客持有成本增加时, 服务系统的运营成本也会增加, 导致总成本也会提高. 因此, 为了控制总成本, 可以通过优化排队流程、引入自助服务等来降低顾客的持有成本, 同时可以适当增加服务台的数量、改进工作流程来提高服务率, 使得总成本最小化.
6 策略分析
本节将分析顾客的均衡加入概率和最优加入概率. 在经济学和博弈论中, 预期净收益函数通过揭示收益与成本之间的关系, 可以帮助推导出顾客的理性决策行为. 假设每个顾客完成服务后会获得 $R$ $C$ . 当服务台空闲时, 顾客一定加入系统. 假设顾客的均衡加入概率为 $q^e$ $U(q)$ . 根据线性收益-成本结构, 顾客的预期净收益 $U(q)=R-CW(q)$ . 从顾客的预期净收益函数可推导出顾客的均衡加入概率.
当 $U(q)<0$ $q^e=0$ .
当 $U(q)>0$ $q^e=1$ .
当 $U(q')=0$ $q'$ $R-CW(q')=0$ $q^e=q'$ .
接下来, 考虑单位时间内的社会福利 $S(q)$
假设顾客的最优加入概率为 $q^*$
由于模型较为复杂, 单调性不易求出, 借助粒子群算法求解 $q^*$ . 设定迭代次数 100 次, 种群个数为 50. 接下来, 采用数值分析的方法讨论顾客的加入概率和社会福利. 选择的实验数据为: $q=0.5, \lambda=2, \theta=0.5, \mu_1=7.5, \mu_2=3, \mu_D=3,$ $\alpha_1=0.3, \alpha_2=0.1, \beta_1=1.2, \beta_2=1, R=10, C=3.2.$
图6 (a) 表示顾客到达率与最优加入概率、均衡加入概率的关系. 从图中可以看到, 当 $\lambda$ $q^*$ $q^e$ $\lambda$ $\lambda$
图6
图6 (b) 是收益与最优加入概率和均衡加入概率的关系. 随着 $R$
图6 (c) 表示的是服务率下的均衡加入概率和最优加入概率. 可以看到随着 $\mu_1$
图7 显示了不同参数下的均衡社会福利和最优社会福利. 可以看出, 最优社会福利总是优于均衡社会福利的. 一方面, 在排队过程中, 顾客的加入会产生外部性. 当一个新的顾客到达, 不仅自己有等待成本, 还会增加其他顾客的等待成本. 均衡条件下, 顾客没有考虑外部性. 而社会最优情况下考虑了这种外部性, 会调整整体的成本. 另一方面, 最优社会福利考虑的是整个社会的资源配置, 实现的是总体福利最大化, 而对于均衡社会福利来说, 顾客只考虑自身的利益, 存在一些局限性. 综合原因, 可以得出结论: 最优社会福利总是高于均衡社会福利的.
图7
7 结论
本文研究了具有两类故障和两阶段服务的休假排队模型, 通过生成函数法求得了系统的稳态概率和性能指标. 将模型与 ANFIS 相联系, 结果表明, 模型有较高的准确性和可靠性. 接着, 利用鱼群搜索算法最小化成本函数, 得到了参数的最优解. 最后, 基于线性收益-成本结构, 分析了顾客的均衡加入策略和社会最优策略. 之后的研究中, 可以考虑引用 F 策略和备用服务台的情况, 分析对系统产生的影响.
参考文献
View Option
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We consider a two-stage service system with batch processing. More specifically, customers arrive according to a Poisson process at the first stage of the system, where they do not receive any service, but wait until a number K of them are accumulated. Then, these K customers form a batch which is instantaneously transferred to the second stage where the batches are served sequentially, as single units, by a single server. We derive customer equilibrium strategies, regarding the joining/balking dilemma, for the (partially) observable case where the customers are informed upon arrival about the number of present customers at the first stage. We prove the existence and study the uniqueness of equilibrium strategies and give a simple procedure for their computation. Moreover, we juxtapose the customer strategic behavior in this system with the corresponding behavior in the unobservable system and study the effect of information on the resulting social welfare per time unit under equilibrium.
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Hanukov G Yechiali U Individual and social customers' joining strategies in a two-stage service system when discount is offered to users of smartphone application
Applied Mathematical Modelling , 2022 , 105 355 -374
DOI:10.1016/j.apm.2021.12.038
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曾慧 , 岳德权 . 带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统
辽宁工程技术大学学报 (自然科学版) , 2011 , 30 6 ): 930 -934
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Zeng H Yue D Q Two-phases-service queuing system with server breakdown and vacations
Journal of Liaoning Technical University (Natural Science) , 2011 , 30 6 ): 930 -934
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Liu Y F Ye Q Q Yan J N Analysis of a $GI^X/M/1$
Communications in Statistics-Theory and Methods , 2024 , 53 19 ): 6732 -6761
DOI:10.1080/03610926.2023.2250488
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Kumar A Jain M Cost optimization of an unreliable server queue with two stage service process under hybrid vacation policy
Mathematics and Computers in Simulation , 2023 , 204 259 -281
DOI:10.1016/j.matcom.2022.08.007
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Rajadurai P Sensitivity analysis of an M/G/1 retrial queueing system with disaster under working vacations and working breakdowns
RAIRO-Operations Research , 2018 , 52 1 ): 35 -54
DOI:10.1051/ro/2017091
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Gao S Zhang J Wang X C Analysis of a retrial queue with two-type breakdowns and delayed repairs
IEEE Access , 2020 , 8 172428 -172442
DOI:10.1109/Access.6287639
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Kumar K Jain M Shekhar C Machine repair system with threshold recovery policy, unreliable servers and phase repairs
Quality Technology & Quantitative Management , 2024 , 21 5 ): 587 -610
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Han Y N Tian R L Wu X Y et al . On a retrial queue with negative customers, passive breakdown, and delayed repairs
Probability in the Engineering and Informational Sciences , 2024 , 38 2 ): 428 -447
DOI:10.1017/S0269964823000219
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[本文引用: 1]
Strategic customer behavior in a two-stage batch processing system
1
2019
... 排队问题广泛存在于许多行业领域, 随着现代社会对高效服务的需求不断增加, 排队现象日益显现, 给人们的日常生活带来不便. 为应对这些挑战, 排队论应运而生. 随着现代社会对服务效率要求的持续提升, 传统单阶段排队系统 (如 M/M/1 经典排队模型) 难以有效应对多样化的顾客需求和服务场景. 因此, 为了使模型更好地适应不同类型的服务流程, 学者们提出了两阶段服务机制. 该机制将服务过程划分为两个不同功能和作用的阶段, 从而明确服务分工, 并提高整体服务效率. 在理论研究方面, Bountali 和 Economou[1 ] 考虑一个顾客批量到达的两阶段服务系统, 得到了不同收益-成本下顾客的策略行为. 接着, Sudhesh 和 Vaithiyanathan[2 ] 研究了带有两阶段服务的 D/D/1 排队模型. Xu 和 Liu[3 ] 考虑了带有优先权和两阶段服务的排队系统, 其中第一阶段提供单一服务, 第二阶段提供可清算服务, 通过矩阵几何解法对系统进行了稳态分析. 在应用研究方面, 基于带有故障可修复和两阶段服务的排队模型, Zhang 等[4 ] 研究了 P2P 网络系统, 通过拟生灭过程求得了系统的性能指标. Hanukov 和 Yechiali[5 ] 从智能手机 APP 点餐角度出发, 研究了包含两类顾客和两阶段服务的排队系统, 讨论了不同顾客的策略行为. ...
Stationary analysis of infinite queueing system with two-stage network server
1
2021
... 排队问题广泛存在于许多行业领域, 随着现代社会对高效服务的需求不断增加, 排队现象日益显现, 给人们的日常生活带来不便. 为应对这些挑战, 排队论应运而生. 随着现代社会对服务效率要求的持续提升, 传统单阶段排队系统 (如 M/M/1 经典排队模型) 难以有效应对多样化的顾客需求和服务场景. 因此, 为了使模型更好地适应不同类型的服务流程, 学者们提出了两阶段服务机制. 该机制将服务过程划分为两个不同功能和作用的阶段, 从而明确服务分工, 并提高整体服务效率. 在理论研究方面, Bountali 和 Economou[1 ] 考虑一个顾客批量到达的两阶段服务系统, 得到了不同收益-成本下顾客的策略行为. 接着, Sudhesh 和 Vaithiyanathan[2 ] 研究了带有两阶段服务的 D/D/1 排队模型. Xu 和 Liu[3 ] 考虑了带有优先权和两阶段服务的排队系统, 其中第一阶段提供单一服务, 第二阶段提供可清算服务, 通过矩阵几何解法对系统进行了稳态分析. 在应用研究方面, 基于带有故障可修复和两阶段服务的排队模型, Zhang 等[4 ] 研究了 P2P 网络系统, 通过拟生灭过程求得了系统的性能指标. Hanukov 和 Yechiali[5 ] 从智能手机 APP 点餐角度出发, 研究了包含两类顾客和两阶段服务的排队系统, 讨论了不同顾客的策略行为. ...
Analysis of a two-stage tandem queuing system with priority and clearing service in the second stage
1
2024
... 排队问题广泛存在于许多行业领域, 随着现代社会对高效服务的需求不断增加, 排队现象日益显现, 给人们的日常生活带来不便. 为应对这些挑战, 排队论应运而生. 随着现代社会对服务效率要求的持续提升, 传统单阶段排队系统 (如 M/M/1 经典排队模型) 难以有效应对多样化的顾客需求和服务场景. 因此, 为了使模型更好地适应不同类型的服务流程, 学者们提出了两阶段服务机制. 该机制将服务过程划分为两个不同功能和作用的阶段, 从而明确服务分工, 并提高整体服务效率. 在理论研究方面, Bountali 和 Economou[1 ] 考虑一个顾客批量到达的两阶段服务系统, 得到了不同收益-成本下顾客的策略行为. 接着, Sudhesh 和 Vaithiyanathan[2 ] 研究了带有两阶段服务的 D/D/1 排队模型. Xu 和 Liu[3 ] 考虑了带有优先权和两阶段服务的排队系统, 其中第一阶段提供单一服务, 第二阶段提供可清算服务, 通过矩阵几何解法对系统进行了稳态分析. 在应用研究方面, 基于带有故障可修复和两阶段服务的排队模型, Zhang 等[4 ] 研究了 P2P 网络系统, 通过拟生灭过程求得了系统的性能指标. Hanukov 和 Yechiali[5 ] 从智能手机 APP 点餐角度出发, 研究了包含两类顾客和两阶段服务的排队系统, 讨论了不同顾客的策略行为. ...
Analysis of P2P network system based on two-stage service and failure repairability
1
2023
... 排队问题广泛存在于许多行业领域, 随着现代社会对高效服务的需求不断增加, 排队现象日益显现, 给人们的日常生活带来不便. 为应对这些挑战, 排队论应运而生. 随着现代社会对服务效率要求的持续提升, 传统单阶段排队系统 (如 M/M/1 经典排队模型) 难以有效应对多样化的顾客需求和服务场景. 因此, 为了使模型更好地适应不同类型的服务流程, 学者们提出了两阶段服务机制. 该机制将服务过程划分为两个不同功能和作用的阶段, 从而明确服务分工, 并提高整体服务效率. 在理论研究方面, Bountali 和 Economou[1 ] 考虑一个顾客批量到达的两阶段服务系统, 得到了不同收益-成本下顾客的策略行为. 接着, Sudhesh 和 Vaithiyanathan[2 ] 研究了带有两阶段服务的 D/D/1 排队模型. Xu 和 Liu[3 ] 考虑了带有优先权和两阶段服务的排队系统, 其中第一阶段提供单一服务, 第二阶段提供可清算服务, 通过矩阵几何解法对系统进行了稳态分析. 在应用研究方面, 基于带有故障可修复和两阶段服务的排队模型, Zhang 等[4 ] 研究了 P2P 网络系统, 通过拟生灭过程求得了系统的性能指标. Hanukov 和 Yechiali[5 ] 从智能手机 APP 点餐角度出发, 研究了包含两类顾客和两阶段服务的排队系统, 讨论了不同顾客的策略行为. ...
Individual and social customers' joining strategies in a two-stage service system when discount is offered to users of smartphone application
1
2022
... 排队问题广泛存在于许多行业领域, 随着现代社会对高效服务的需求不断增加, 排队现象日益显现, 给人们的日常生活带来不便. 为应对这些挑战, 排队论应运而生. 随着现代社会对服务效率要求的持续提升, 传统单阶段排队系统 (如 M/M/1 经典排队模型) 难以有效应对多样化的顾客需求和服务场景. 因此, 为了使模型更好地适应不同类型的服务流程, 学者们提出了两阶段服务机制. 该机制将服务过程划分为两个不同功能和作用的阶段, 从而明确服务分工, 并提高整体服务效率. 在理论研究方面, Bountali 和 Economou[1 ] 考虑一个顾客批量到达的两阶段服务系统, 得到了不同收益-成本下顾客的策略行为. 接着, Sudhesh 和 Vaithiyanathan[2 ] 研究了带有两阶段服务的 D/D/1 排队模型. Xu 和 Liu[3 ] 考虑了带有优先权和两阶段服务的排队系统, 其中第一阶段提供单一服务, 第二阶段提供可清算服务, 通过矩阵几何解法对系统进行了稳态分析. 在应用研究方面, 基于带有故障可修复和两阶段服务的排队模型, Zhang 等[4 ] 研究了 P2P 网络系统, 通过拟生灭过程求得了系统的性能指标. Hanukov 和 Yechiali[5 ] 从智能手机 APP 点餐角度出发, 研究了包含两类顾客和两阶段服务的排队系统, 讨论了不同顾客的策略行为. ...
带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统
1
2011
... 当排队系统中没有顾客时, 服务台本身虽然处于空闲状态, 但仍然处于运行状态, 继续消耗计算资源和能源. 为了有效降低这种不必要的资源消耗, 减少运营成本, 引入了休假机制. 该机制允许服务台在没有顾客需求时进入休假状态, 暂停运行, 直到有新的顾客到来. 这种策略有助于提升资源的利用效率, 降低运行成本, 进而提高整体系统的可持续性和经济性. 曾慧和岳德权[6 ] 研究了带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统. Ye[7 ] 研究了带有两阶段休假机制 (工作休假和多重休假) 的 $M^X/M/1$ [8 ] 在此基础上进一步考虑了带有两阶段休假的 $GI^X/M/1$ [9 ] 分析了带有混合休假策略和两阶段服务的排队系统, 并用 PSO 和 ABC 算法对系统的成本进行了优化. ...
Two-phases-service queuing system with server breakdown and vacations
1
2011
... 当排队系统中没有顾客时, 服务台本身虽然处于空闲状态, 但仍然处于运行状态, 继续消耗计算资源和能源. 为了有效降低这种不必要的资源消耗, 减少运营成本, 引入了休假机制. 该机制允许服务台在没有顾客需求时进入休假状态, 暂停运行, 直到有新的顾客到来. 这种策略有助于提升资源的利用效率, 降低运行成本, 进而提高整体系统的可持续性和经济性. 曾慧和岳德权[6 ] 研究了带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统. Ye[7 ] 研究了带有两阶段休假机制 (工作休假和多重休假) 的 $M^X/M/1$ [8 ] 在此基础上进一步考虑了带有两阶段休假的 $GI^X/M/1$ [9 ] 分析了带有混合休假策略和两阶段服务的排队系统, 并用 PSO 和 ABC 算法对系统的成本进行了优化. ...
The analysis of $M^X/M/1$ queue with two-stage vacations policy
1
2019
... 当排队系统中没有顾客时, 服务台本身虽然处于空闲状态, 但仍然处于运行状态, 继续消耗计算资源和能源. 为了有效降低这种不必要的资源消耗, 减少运营成本, 引入了休假机制. 该机制允许服务台在没有顾客需求时进入休假状态, 暂停运行, 直到有新的顾客到来. 这种策略有助于提升资源的利用效率, 降低运行成本, 进而提高整体系统的可持续性和经济性. 曾慧和岳德权[6 ] 研究了带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统. Ye[7 ] 研究了带有两阶段休假机制 (工作休假和多重休假) 的 $M^X/M/1$ [8 ] 在此基础上进一步考虑了带有两阶段休假的 $GI^X/M/1$ [9 ] 分析了带有混合休假策略和两阶段服务的排队系统, 并用 PSO 和 ABC 算法对系统的成本进行了优化. ...
Analysis of a $GI^X/M/1$ queue with two-stage vacation policy using shift operator method
1
2024
... 当排队系统中没有顾客时, 服务台本身虽然处于空闲状态, 但仍然处于运行状态, 继续消耗计算资源和能源. 为了有效降低这种不必要的资源消耗, 减少运营成本, 引入了休假机制. 该机制允许服务台在没有顾客需求时进入休假状态, 暂停运行, 直到有新的顾客到来. 这种策略有助于提升资源的利用效率, 降低运行成本, 进而提高整体系统的可持续性和经济性. 曾慧和岳德权[6 ] 研究了带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统. Ye[7 ] 研究了带有两阶段休假机制 (工作休假和多重休假) 的 $M^X/M/1$ [8 ] 在此基础上进一步考虑了带有两阶段休假的 $GI^X/M/1$ [9 ] 分析了带有混合休假策略和两阶段服务的排队系统, 并用 PSO 和 ABC 算法对系统的成本进行了优化. ...
Cost optimization of an unreliable server queue with two stage service process under hybrid vacation policy
1
2023
... 当排队系统中没有顾客时, 服务台本身虽然处于空闲状态, 但仍然处于运行状态, 继续消耗计算资源和能源. 为了有效降低这种不必要的资源消耗, 减少运营成本, 引入了休假机制. 该机制允许服务台在没有顾客需求时进入休假状态, 暂停运行, 直到有新的顾客到来. 这种策略有助于提升资源的利用效率, 降低运行成本, 进而提高整体系统的可持续性和经济性. 曾慧和岳德权[6 ] 研究了带有服务台故障和两阶段服务的休假排队系统. Ye[7 ] 研究了带有两阶段休假机制 (工作休假和多重休假) 的 $M^X/M/1$ [8 ] 在此基础上进一步考虑了带有两阶段休假的 $GI^X/M/1$ [9 ] 分析了带有混合休假策略和两阶段服务的排队系统, 并用 PSO 和 ABC 算法对系统的成本进行了优化. ...
The M/G/1 queue with disasters and working breakdowns
1
2014
... 在实际生产环境中, 机器设备的故障会显著影响生产流程, 导致系统性能急剧下降. 因此, 考虑故障机制成为了对实际排队系统建模的重要补充. 例如, Kim 和 Lee[10 ] 研究了带有工作故障和灾难的 M/G/1 排队模型, 利用补充变量法得到了逗留时间的分布. Rajadurai[11 ] 在此基础上, 考虑了带有工作休假、工作故障和灾难的重试排队系统, 利用补充变量法和母函数法得到了系统的性能指标. Gao 等[12 ] 研究了带有两类故障 (主动故障和被动故障) 和延迟维修的 M/G/1 排队模型, 设定只有服务台忙时故障后会立即维修, 并借助补充变量法, 得到了一些可靠性指标. Kumar 等[13 ] 分析了具有阈值恢复策略的机器维修模型, 设定服务台在服务期间会发生部分故障或完全故障, 且故障后需要进行阶段维修. 利用矩阵几何解法得到了系统的性能指标. Han 等[14 ] 研究了带有负顾客和被动故障、延迟维修的重试排队系统, 基于线性收益-支出结构, 分析了顾客的纳什均衡策略和社会最优策略. ...
Sensitivity analysis of an M/G/1 retrial queueing system with disaster under working vacations and working breakdowns
1
2018
... 在实际生产环境中, 机器设备的故障会显著影响生产流程, 导致系统性能急剧下降. 因此, 考虑故障机制成为了对实际排队系统建模的重要补充. 例如, Kim 和 Lee[10 ] 研究了带有工作故障和灾难的 M/G/1 排队模型, 利用补充变量法得到了逗留时间的分布. Rajadurai[11 ] 在此基础上, 考虑了带有工作休假、工作故障和灾难的重试排队系统, 利用补充变量法和母函数法得到了系统的性能指标. Gao 等[12 ] 研究了带有两类故障 (主动故障和被动故障) 和延迟维修的 M/G/1 排队模型, 设定只有服务台忙时故障后会立即维修, 并借助补充变量法, 得到了一些可靠性指标. Kumar 等[13 ] 分析了具有阈值恢复策略的机器维修模型, 设定服务台在服务期间会发生部分故障或完全故障, 且故障后需要进行阶段维修. 利用矩阵几何解法得到了系统的性能指标. Han 等[14 ] 研究了带有负顾客和被动故障、延迟维修的重试排队系统, 基于线性收益-支出结构, 分析了顾客的纳什均衡策略和社会最优策略. ...
Analysis of a retrial queue with two-type breakdowns and delayed repairs
1
2020
... 在实际生产环境中, 机器设备的故障会显著影响生产流程, 导致系统性能急剧下降. 因此, 考虑故障机制成为了对实际排队系统建模的重要补充. 例如, Kim 和 Lee[10 ] 研究了带有工作故障和灾难的 M/G/1 排队模型, 利用补充变量法得到了逗留时间的分布. Rajadurai[11 ] 在此基础上, 考虑了带有工作休假、工作故障和灾难的重试排队系统, 利用补充变量法和母函数法得到了系统的性能指标. Gao 等[12 ] 研究了带有两类故障 (主动故障和被动故障) 和延迟维修的 M/G/1 排队模型, 设定只有服务台忙时故障后会立即维修, 并借助补充变量法, 得到了一些可靠性指标. Kumar 等[13 ] 分析了具有阈值恢复策略的机器维修模型, 设定服务台在服务期间会发生部分故障或完全故障, 且故障后需要进行阶段维修. 利用矩阵几何解法得到了系统的性能指标. Han 等[14 ] 研究了带有负顾客和被动故障、延迟维修的重试排队系统, 基于线性收益-支出结构, 分析了顾客的纳什均衡策略和社会最优策略. ...
Machine repair system with threshold recovery policy, unreliable servers and phase repairs
1
2024
... 在实际生产环境中, 机器设备的故障会显著影响生产流程, 导致系统性能急剧下降. 因此, 考虑故障机制成为了对实际排队系统建模的重要补充. 例如, Kim 和 Lee[10 ] 研究了带有工作故障和灾难的 M/G/1 排队模型, 利用补充变量法得到了逗留时间的分布. Rajadurai[11 ] 在此基础上, 考虑了带有工作休假、工作故障和灾难的重试排队系统, 利用补充变量法和母函数法得到了系统的性能指标. Gao 等[12 ] 研究了带有两类故障 (主动故障和被动故障) 和延迟维修的 M/G/1 排队模型, 设定只有服务台忙时故障后会立即维修, 并借助补充变量法, 得到了一些可靠性指标. Kumar 等[13 ] 分析了具有阈值恢复策略的机器维修模型, 设定服务台在服务期间会发生部分故障或完全故障, 且故障后需要进行阶段维修. 利用矩阵几何解法得到了系统的性能指标. Han 等[14 ] 研究了带有负顾客和被动故障、延迟维修的重试排队系统, 基于线性收益-支出结构, 分析了顾客的纳什均衡策略和社会最优策略. ...
On a retrial queue with negative customers, passive breakdown, and delayed repairs
1
2024
... 在实际生产环境中, 机器设备的故障会显著影响生产流程, 导致系统性能急剧下降. 因此, 考虑故障机制成为了对实际排队系统建模的重要补充. 例如, Kim 和 Lee[10 ] 研究了带有工作故障和灾难的 M/G/1 排队模型, 利用补充变量法得到了逗留时间的分布. Rajadurai[11 ] 在此基础上, 考虑了带有工作休假、工作故障和灾难的重试排队系统, 利用补充变量法和母函数法得到了系统的性能指标. Gao 等[12 ] 研究了带有两类故障 (主动故障和被动故障) 和延迟维修的 M/G/1 排队模型, 设定只有服务台忙时故障后会立即维修, 并借助补充变量法, 得到了一些可靠性指标. Kumar 等[13 ] 分析了具有阈值恢复策略的机器维修模型, 设定服务台在服务期间会发生部分故障或完全故障, 且故障后需要进行阶段维修. 利用矩阵几何解法得到了系统的性能指标. Han 等[14 ] 研究了带有负顾客和被动故障、延迟维修的重试排队系统, 基于线性收益-支出结构, 分析了顾客的纳什均衡策略和社会最优策略. ...
