数学物理学报, 2025, 45(3): 790-806

随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程行波解的非线性稳定

刘羽,1, 陈光淦,1,*, 李树勇,2

1四川师范大学数学科学学院, 可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室 成都 610068

2绵阳师范学院数理学院 四川绵阳 621000

Nonlinear Stability of Traveling Waves for Stochastic Kuramoto-Sivashinsky Equation

Liu Yu,1, Chen Guanggan,1,*, Li Shuyong,2

1School of Mathematical Science and V.C. $\&$ V.R.Key Lab, Sichuan Normal University, Chengdu 610068

2College of Mathematics and Physics, Mianyang Teachers' College, Sichuan Mianyang 621000

通讯作者: *E-mail: chenguanggan@hotmail.com

收稿日期: 2024-07-22   修回日期: 2025-01-26  

基金资助: 国家自然科学基金(12171343)
四川省科技计划(2022JDTD0019)

Received: 2024-07-22   Revised: 2025-01-26  

Fund supported: NSFC(12171343)
Sichuan Science and Technology Program(2022JDTD0019)

作者简介 About authors

E-mail:liuyu96@hotmail.com;

shuyongli@sicnu.edu.cn

摘要

文章主要研究了随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的行波解的非线性稳定性. 利用随机相位变换法和分裂时间变量, 验证了当随机系统的噪声强度足够小并且其初始值足够接近所对应确定系统的行波时, 该随机系统所对应的确定系统的行波解保持非线性稳定性.

关键词： 随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程; 行波; 相移; 非线性稳定

Abstract

This work is concerned with the nonlinear stability of traveling wave for the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. By stochastic phase shift method and splitting time argument, we prove that the traveling wave solution of the deterministic system retain the nonlinear stability when the noise intensity of the stochastic system is small enough and its initial value is sufficiently close to the traveling wave of the corresponding deterministic system.

Keywords： stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation; traveling wave; phase shift; nonlinear stability

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本文引用格式

刘羽, 陈光淦, 李树勇. 随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程行波解的非线性稳定[J]. 数学物理学报, 2025, 45(3): 790-806

Liu Yu, Chen Guanggan, Li Shuyong. Nonlinear Stability of Traveling Waves for Stochastic Kuramoto-Sivashinsky Equation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(3): 790-806

1 引言

Kuramoto-Sivashinsky 方程是由 Kuramoto[1] 和 Sivashinsky[2] 提出的非线性传播模型, 在流体力学、化学、物理等领域得到了广泛的应用.

随机波动对复杂现象的建模、分析、模拟和预测产生影响. 由于一些小的随机扰动可能会极大地影响定性行为, 并为该模型带来新的性质, 因此量化不确定性的必要性已被广泛认识, 噪声对 Kuramoto-Sivashinsky 方程的影响受到越来越多的关注[3-8].

本文研究一类带有乘性噪声的随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程

$\begin{equation}\label{u.1} \begin{cases} {\rm d}U(t,x)=(-\partial_{x}^{4}U(t,x)-\partial_{x}^{2}U(t,x)-U(t,x)\partial_{x}U(t,x)){\rm d}t+\epsilon U(t,x){\rm d}\beta_{t}, \quad x\in I,\quad t> 0,\\ U(t,x)|_{t=0}=U_0(x), \quad x\in I,\\ U(t,x)|_{\partial I}=0, \quad t> 0, \end{cases} \end{equation}$

其中 $I\subset \mathbb{R}$ 是具有光滑边界 $\partial I$ 的有界区域, $\epsilon$ 表示噪声强度, $\beta_{t}$ 表示一个 Wiener 过程. 当 $\epsilon=0$ 时, 方程 (1.1) 被称为确定 Kuramoto-Sivashinsky 方程.

关于 Kuramoto-Sivashinsky 方程解的适定性研究中, Tadmor[9] 利用不动点迭代的方法研究了确定 Kuramoto-Sivashinsky 方程解的存在唯一性和稳定性. Duan 和 Ervin[3] 利用不动点定理得到了齐次 Dirichlet 边界下具有加性噪声的随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程解的存在唯一性. Wu, Cui 和 Duan[7] 使用截断方法证明了具有乘性噪声的随机广义 Kuramoto-Sivashinsky 方程在有界域中是全局适定的.

行波解是偏微分方程的一类重要解. Nickel[10] 通过多项式展开和 tanh-sech 变换寻求 Kuramoto-Sivashinsky 方程的行波解. Zayed, Nofal 和 Gepreel[11] 使用同位微扰方法求解 Kuramoto-Sivashinsky 方程的行波解. Ge, Hua 和 Feng[12] 提出了一种构造非线性演化方程显式精确解和近似解的解析方法, 并利用该方法得到了 Kuramoto-Sivashinsky 方程的行波解.

关于行波解的研究, 讨论其是否稳定一直是人们关注的热点问题之一[13-16]. 对于确定的偏微分方程, Shargatov, Chugainova 和 Kolomiytsev[17] 研究了具有不变耗散参数的广义 Korteveg-de Vries-Burgers 方程行波解的全局稳定性并讨论了稳定解和不稳定解的渐近行为. Cornwell 和 Jones[18] 利用几何奇异微扰理论证明了 FitzHugh-Nagumo 方程行波解的存在性和稳定性. 对于随机偏微分方程, Lang[19] 在神经领域分析了噪声对行波的影响, 并应用随机相移和梯度下降方法获得了行波的稳定性. Hamster 和 Hupke[20,21] 发展了一种半群方法来处理具有随机相移的非线性稳定性, 并获得了随机反应扩散方程行波解的稳定性. 然而, 由于高阶导数在噪声干扰下的复杂性, 目前关于随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程行波解的稳定性的工作很少.

在本文中, 我们将利用相位变换法研究随机 Kuramot-Sivashinsky 方程行波解的非线性稳定性. 本质上, 我们将定义一个相移 $\pi(t)$, 使得方程经过相移 $\pi(t)$ 个位置后的解与确定行波解 $u$ 之间的距离最小. 然而, 在随机系统中, 由于偏移算子的导数通常需要更高的正则性, 因此我们考虑将随机 Kuramot-Sivshinkshy 方程与随机相移 $\pi(t)$ 进行耦合, 然后利用向量 Itô 公式得到随机演化方程. 此外, Kuramot-Sivashinsky 方程的算子半群 $S(t)$ 的指数二分性是从 $L^{2}(I)$ 到 $H^{2}(I)$ 的分段函数[22]. 因此, 我们分割时间变量, 并且引入 $S(\delta)(0<\delta<1)$ 来处理积分奇异零点.

本文的结构如下, 在 2 节中, 我们给出一些基本设置和引理. 在第 3 节中, 我们在确定方程下推导出正交条件并应用到随机系统中, 从而获得随机相移方程并推导出偏差函数的表达式. 在第 4 节中, 我们将建立偏差函数的非线性项的先验估计, 并将结果应用到第 5 节, 从而建立随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程行波解的非线性稳定性.

2 预备知识

令 $I$ 是 $\mathbb{R}$ 上具有光滑边界 $\partial I$ 的有界区域. $L^{2}(I)$ 是所有在 $I$ 上勒贝格平方可积函数的集合, 内积表示为

$ \langle u,v\rangle_{L^{2}}=\int_{I}u(x)\cdot v(x){\rm d}x, \quad \forall u,v\in L^{2}(I), $

并且范数表示为 $\|u\|_{L^{2}}$. 令 $H^{m}(I)(m=1,2)$ 表示所有属于 $L^{2}(I)$ 并且其 $j(j\leq m)$ 阶导数也属于 $L^{2}(I)$ 的函数的集合. 范数表示为

$ \|u\|_{H^{m}}=\sum_{j\leq m}\|D^{j}u\|_{L^{2}}. $

用 $\mathcal{L}(X,Y)$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子组成的空间, 用 $C\left([T],L^{2}(I)\right)$ 表示所有从 $[T]$ 到 $L^{2}(I)$ 的全体连续函数 $u$ 组成的空间, 其范数表示为 $\|u\|_{C}=\sup_{0\leq t\leq T}\|u(t)\|_{L^{2}}$. 用 $C^{2}(X, Y)$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的二阶连续可微函数空间.

令 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是一个完备的概率空间, $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq 0}$ 是右连续且 $\mathcal{F}_{0}$ 包含所有零概集. 令 $\beta_{t}$ 是 $L^{2}(I)$-值的 Wiener 过程.

引理 2.1[7] 对任意 $T>0$, 初值 $U_{0}$ 在 $L^2(\Omega, L^2(I))$ 是 $\mathcal{F}_{0}$-可测的. 那么方程 (1.1) 在 $L^{2}\left(\Omega, C([T],L^{2}(I))\cap L^{2}([T],H^{2}(I))\right)$ 中存在唯一解.

定义 2.1[23] 令 $u^0(x)$ 是确定系统的行波解, $U_0(x)$ 是随机系统的初值, $U(t,x)$ 是随机系统的解. 当对任意给定的 $\varepsilon>0$, 存在 $\vartheta>0$, 使得对任意满足 $\|U_{0}(x)-u^{0}(x)\|_{X}<\vartheta$ 的初值 $U_{0}\in X$, 存在相移 $\pi(t)$ 使得 $\|U(t,\cdot+\pi(t))-u^0(\cdot)\|_{X}<\varepsilon$, 则称行波解 $u$ 在 $X$ 中是非线性稳定的.

引理 2.2[21] 假设 $Z(t)$ 是从 $[T]$ 到 $L^{2}(I)\times \mathbb{R}$ 的向量随机过程, 满足

$ Z(t)=Z(0)+\int_{0}^{t}\mathbf{F}(Z(s)){\rm d}s+\epsilon\int_{0}^{t}\mathbf{G}(Z(s)){\rm d}\beta_{s}. $

那么对任意函数 $\phi\in C^{2}(L^{2}(I)\times\mathbb{R})$ 和 $\omega\in \Omega$,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \phi(Z(t)) &=\phi(Z(0))+\int_{0}^{t}D\phi(Z(s))\mathbf{F}(Z(s)){\rm d}s+\epsilon\int_{0}^{t}D\phi(Z(s))\mathbf{G}(Z(s)){\rm d}\beta_{s}\\ & +\frac{1}{2}\epsilon^{2}\int_{0}^{t}D^{2}\phi(Z(s))(\mathbf{G}(Z(s)),\mathbf{G}(Z(s))) {\rm d}s, \quad t\in[T], \end{aligned} \end{equation*}$

其中 $D\phi$ 和 $D^2\phi$ 分别表示一阶和二阶 Fréchet 微分.

本文除特别说明外, $K$ 为正常数.

3 随机相移

3.1 确定 Kuramoto-Sivashinsky 方程

对确定 Kuramoto-Sivashinsky 方程

$\begin{equation}\label{u.3} \partial_{t}U^{0}(t,x)+\partial_{x}^{4}U^{0}(t,x)+\partial_{x}^{2}U^{0}(t,x)+U^{0}(t,x)\partial_{x}U^{0}(t,x)=0, \end{equation}$

形为 $U^{0}(t,x)=u^{0}(x-c^{0}t)$ 的解称为行波解, 其中 $c^{0}\in \mathbb{R}$ 为传播波速. 记 $\xi=x-c^{0}t$, $(u^{0})^\prime=\frac{{\rm d} u^{0}}{{\rm d}\xi}$, 则 $u^{0}$ 是方程 (3.1) 的行波解的充要条件是

$\begin{equation}\label{Q.0} (u^{0})^{\prime\prime\prime\prime}+(u^{0})^{\prime\prime}+u^{0}(u^{0})^{\prime}-c^{0}(u^{0})^{\prime}=0. \end{equation}$

为了研究行波解的稳定性, 首先将方程 (3.1) 放入新坐标系 $(t,\xi)$ 下, 则方程 (3.1) 变形为

$\begin{equation}\label{u.6} \partial_{t}U^{0}(t,\xi)-c^{0}\partial_{\xi}U^{0}(t,\xi)+\partial_{\xi}^{4}U^{0}(t,\xi)+\partial_{\xi}^{2}U^{0}(t,\xi)+U^{0}(t,\xi)\partial_{\xi}U^{0}(t,\xi)=0. \end{equation}$

为了讨论方程 (3.3) 的解移动 $\alpha(t)$ 后与行波 $u^{0}$ 之间的距离, 定义如下方程

$\begin{equation}\label{v.2} w(t,\xi):=U^{0}\left(t,\xi+\alpha(t)\right)-u^{0}(\xi), \end{equation}$

其中

$\begin{equation*} \alpha(t)=\alpha_{0}+\int_{0}^{t}a^{0}(U^{0}(t,\xi+\alpha(t))){\rm d}s, \end{equation*}$

这里 $a^{0}$ 是从 $L^{2}(I)$ 到 $\mathbb{R}$ 的任意函数.

根据方程 (3.3) 和 (3.4) 可得

$\begin{equation}\label{v.3} \partial_{t}w=c^{0}(u^{0})^{\prime}-(u^{0})^{\prime\prime\prime\prime}-(u^{0})^{\prime\prime}-u^{0}(u^{0})^{\prime}+Aw -w\partial_{\xi} w-a^{0}(u^{0}+w)\partial_{\xi}(u^{0}+w), \end{equation}$

其中线性算子 $A$ 定义为

$\begin{equation}\label{A} Aw:=-\partial^{4}_{\xi}w-\partial^{2}_{\xi}w+c^{0}\partial_{\xi}w-u^{0}\partial_{\xi} w-(u^{0})^{\prime}w. \end{equation}$

显然 $A(u^{0})^{\prime}=0$, 这意味着 $(u^{0})^{\prime}$ 属于 $A$ 的核空间. 并且线性算子 $A$ 的伴随算子 $A^{*}$ 满足

$\begin{equation}\label{A*} A^{*}u=-\partial^{4}_{\xi}u-\partial^{2}_{\xi}u-c^{0}\partial_{\xi}u+u^{0}\partial_{\xi} u-(u^{0})^{\prime}u. \end{equation}$

事实上, 算子 $A$ 和 $A^{*}$ 的核空间维数相等, 且都为 $1$. 假设 $\ell$ 属于 $A^{*}$ 的核空间, 并且 $\|\ell\|_{L^2}=\|(u^{0})^{\prime}\|^{-1}_{L^2}$. 那么 $ Ker(A^{*})={\rm span}\{\ell\}. $ 由于 $A$ 是从 $H^{4}(I)$ 到 $L^{2}(I)$ 的闭线性算子, 根据闭值域定理[24], $Im(A)=(Ker(A^{*}))^{\bot}$. 又因为 $0$ 是 $A$ 的简单特征值, 根据谱分解定理[24], $L^{2}(I)=Im(A)\oplus Ker(A)$. 因此, 对任意 $w\in Im(A)$, 有

$\begin{equation}\label{ell} \langle w,\ell\rangle_{L^{2}}=0, \quad \langle (u^{0})^{\prime},\ell\rangle_{L^{2}}=1. \end{equation}$

对 (3.8) 式中第一个式子关于 $t$ 求导, 可得 $\langle \partial_{t}w,\ell\rangle_{L^{2}}=0$. 那么

$\begin{equation}\label{a.0} a^{0}(u^{0}+w)=-\frac{\langle w\partial_{\xi} w,\ell\rangle_{L^2}}{\langle\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\rangle_{L^{2}}}. \end{equation}$

从而确定相移方程 $\alpha(t)$.

引理 3.1 由 (3.6) 式定义的线性算子 $A$ 是扇形的.

证 根据文献 [22] 可知 $B:=-\partial^{4}_{\xi}-\partial^{2}_{\xi}$ 是扇形算子. 同时, 算子 $A-B$ 是线性的. 因此, 算子 $A$ 是扇形的.

对任意 $u\in L^{2}(I)$, 令 $P$ 是 $(u^{0})^{\prime}$ 上的投影, 满足 $P(u)=\langle u,\ell\rangle_{L^{2}} (u^{0})^{\prime}$. 令 $Qu:=(I-P)u$. 根据文献 [22,25], 有如下引理

引理 3.2 对 $A$ 生成的 $C_0$ 半群 $S(t)$, 存在正常数 $M$ 和 $\sigma$ 满足

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\|S(t)Q\|_{L^{2}}\leq M{\rm e}^{-\sigma t},\qquad\qquad t>0,\\ &\|S(t)Q\|_{\mathcal{L}(L^{2},H^{2})}\leq M t^{-\frac{1}{4}},\quad 0<t\leq 1,\\ &\|S(t)Q\|_{\mathcal{L}(L^{2},H^{2})}\leq M{\rm e}^{-\sigma t},\quad \, t\geq 1. \end{aligned} \end{equation*}$

3.2 随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程

类似确定方程, 将随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程

$\begin{equation}\label{u.5} {\rm d}U^{\epsilon}(t,x)=(-\partial_{x}^{4}U^{\epsilon}(t,x)-\partial_{x}^{2}U^{\epsilon}(t,x)-U^{\epsilon}(t,x)\partial_{x}U^{\epsilon}(t,x)){\rm d}t+\epsilon U^{\epsilon}(t,x){\rm d}\beta_{t} \end{equation}$

放入新坐标系 $(t,\xi)$ 下, 则方程 (3.10) 变形为

$\begin{equation}\label{u.7} {\rm d}U^{\epsilon}(t,\xi)=(-\partial_{\xi}^{4}U^{\epsilon}(t,\xi)-\partial_{\xi}^{2}U^{\epsilon}(t,\xi)-U^{\epsilon}(t,\xi)\partial_{\xi}U^{\epsilon}(t,\xi)+c^{0}\partial_{\xi}U^{\epsilon}(t,\xi)){\rm d}t+\epsilon U^{\epsilon}(t,\xi){\rm d}\beta_{t}. \end{equation}$

定义方程

$\begin{equation}\label{v.1} V(t,\xi):=U^{\epsilon}\left(t,\xi+\pi(t)\right)-u^{0}(\xi), \end{equation}$

其中随机相移 $\pi(t)$ 满足

$\begin{equation}\label{u.4} {\rm d}\pi(t)=a(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t))){\rm d}t+\epsilon b(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t))){\rm d}\beta_{t}. \end{equation}$

这里 $a(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)))$ 和 $b(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)))$ 是从 $L^{2}(I)$ 到 $\mathbb{R}$ 的任意函数.

下面, 我们将推导 (3.12) 式所满足的随机演化方程. 令

$\begin{equation} \begin{aligned} Z(U^{\epsilon},\pi)&:=(U^{\epsilon},\pi)^\mathsf{T},\\ F(U^{\epsilon},\pi)&:=(-\partial_{\xi}^{4}U^{\epsilon}-\partial_{\xi}^{2}U^{\epsilon}-U^{\epsilon}\partial_{\xi}U^{\epsilon}+c^{0}\partial_{\xi}U^{\epsilon},a(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t))))^\mathsf{T},\\ G(U^{\epsilon},\pi)&:=(U^{\epsilon},b(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t))))^\mathsf{T}, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $“\mathsf{T}”$ 表示向量的转置. 那么, 关于耦合方程 (3.10) 和 (3.13) 可以写成如下形式

$\begin{equation*} {\rm d}Z=F(U^{\epsilon},\pi){\rm d}t+\epsilon G(U^{\epsilon},\pi){\rm d}\beta_{t}. \end{equation*}$

选择一个测试函数 $\zeta\in C^{\infty}(I)$ 并考虑如下映射

$\begin{equation*} \begin{aligned} \phi_{\zeta}(U^{\epsilon},\pi):=&\left\langle U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t))-u^{0},\zeta\right\rangle_{L^{2}}\\ =&\int_{I}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t))\cdot\zeta(\xi) {\rm d}\xi-\left\langle u^{0},\zeta\right\rangle_{L^{2}}\\ =&\int_{\tilde{I}}U^{\epsilon}(t,\tilde{\xi})\cdot\zeta(\tilde{\xi}-\pi(t)) {\rm d}\tilde{\xi}-\left\langle u^{0},\zeta\right\rangle_{L^{2}}, \end{aligned} \end{equation*}$

其中 $\tilde{I}$ 是通过变量替换 $\tilde{\xi}:=\xi+\pi(t)$ 后所得的 $\tilde{\xi}$ 的积分区域.

因此

$\begin{equation}\label{D.1} \begin{aligned} D\phi_{\zeta}(Z(s))F(Z(s))=&\int_{\tilde{I}} \left(-\partial_{\tilde{\xi}}^{4}U^{\epsilon}-\partial_{\tilde{\xi}}^{2}U^{\epsilon}-U^{\epsilon}\partial_{\tilde{\xi}}U^{\epsilon}+c^{0}\partial_{\tilde{\xi}}U^{\epsilon}\right)\cdot\zeta(\tilde{\xi}-\pi){\rm d}\tilde{\xi}\\ &-\int_{\tilde{I}} U^{\epsilon}\cdot a(U^{\epsilon}(t,\tilde{\xi}))\zeta^{\prime}(\tilde{\xi}-\pi){\rm d}\tilde{\xi},\\ D\phi_{\zeta}(Z(s))G(Z(s))=&\int_{\tilde{I}} U^{\epsilon}\cdot\zeta(\tilde{\xi}-\pi){\rm d}\tilde{\xi}-\int_{\tilde{I}} U^{\epsilon}\cdot b(U^{\epsilon}(t,\tilde{\xi}))\zeta^{\prime}(\tilde{\xi}-\pi){\rm d}\tilde{\xi}, \end{aligned} \end{equation}$

这里 $\zeta^\prime$ 表示 ${\rm d} \zeta/{\rm d} \tilde{\xi}$, 并且

$\begin{equation}\label{D.2} D^{2}\phi_{\zeta}(Z(s))(G(Z(s)))^{2}=\int_{\tilde{I}} U^{\epsilon}\cdot b^{2}(U^{\epsilon}(t,\tilde{\xi}))\zeta^{\prime\prime}(\tilde{\xi}-\pi){\rm d}\tilde{\xi}-\int_{\tilde{I}} U^{\epsilon}\cdot 2b(U^{\epsilon}(t,\tilde{\xi}))\zeta^{\prime}(\tilde{\xi}-\pi){\rm d}\tilde{\xi}. \end{equation}$

利用引理 2.2, 可得

$\begin{aligned}&\langle V(t), \zeta\rangle_{L^{2}}=\left\langle U^{\epsilon}(t, \xi+\pi(t))-u^{0}, \zeta\right\rangle_{L^{2}} \\= &\left\langle U^{\epsilon}(0, \xi+\pi(0))-u^{0}, \zeta\right\rangle_{L^{2}}+\int_{0}^{t} \int_{\tilde{I}}\left(-\partial_{\tilde{\xi}}^{4} U^{\epsilon}-\partial_{\tilde{\xi}}^{2} U^{\epsilon}-U^{\epsilon} \partial_{\tilde{\xi}} U^{\epsilon}+c^{0} \partial_{\tilde{\xi}} U^{\epsilon}\right) \cdot \zeta(\tilde{\xi}-\pi) \mathrm{d} \tilde{\xi} \mathrm{~d} s \\&-\int_{0}^{t} \int_{\tilde{I}} U^{\epsilon} \cdot a\left(U^{\epsilon}(t, \tilde{\xi})\right) \zeta^{\prime}(\tilde{\xi}-\pi) \mathrm{d} \tilde{\xi} \mathrm{~d} s+\epsilon \int_{0}^{t} \int_{\tilde{I}} U^{\epsilon} \cdot \zeta(\tilde{\xi}-\pi) \mathrm{d} \tilde{\xi} \mathrm{~d} \beta_{s} \\&-\epsilon \int_{0}^{t} \int_{\tilde{I}} U^{\epsilon} \cdot b\left(U^{\epsilon}(t, \tilde{\xi})\right) \zeta^{\prime}(\tilde{\xi}-\pi) \mathrm{d} \tilde{\xi} \mathrm{~d} \beta_{s}+\frac{1}{2} \epsilon^{2} \int_{0}^{t} \int_{\tilde{I}} U^{\epsilon} \cdot b^{2}\left(U^{\epsilon}(t, \tilde{\xi})\right) \zeta^{\prime \prime}(\tilde{\xi}-\pi) \mathrm{d} \tilde{\xi} \mathrm{~d} s \\&-\epsilon^{2} \int_{0}^{t} \int_{\tilde{I}} U^{\epsilon} \cdot b\left(U^{\epsilon}(t, \tilde{\xi})\right) \zeta^{\prime}(\tilde{\xi}-\pi) \mathrm{d} \tilde{\xi} \mathrm{~d} s \\= &\langle V(0), \zeta\rangle_{L^{2}}-\int_{0}^{t} \int_{I}\left(\partial_{\xi}^{4}\left(u^{0}+V\right)+\partial_{\xi}^{2}\left(u^{0}+V\right)+\left(u^{0}+V\right) \partial_{\xi}\left(u^{0}+V\right)\right) \cdot \zeta \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} s \\&+\int_{0}^{t} \int_{I}\left(c^{0}+a\left(u^{0}+V\right)\right) \partial_{\xi}\left(u^{0}+V\right) \cdot \zeta \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} s+\epsilon \int_{0}^{t} \int_{I}\left(u^{0}+V\right) \cdot \zeta \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \beta_{s} \\&+\epsilon \int_{0}^{t} \int_{I} b\left(u^{0}+V\right) \partial_{\xi}\left(u^{0}+V\right) \cdot \zeta \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \beta_{s}+\frac{1}{2} \epsilon^{2} \int_{0}^{t} \int_{I} b^{2}\left(u^{0}+V\right) \partial_{\xi}^{2}\left(u^{0}+V\right) \cdot \zeta \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} s \\&+\epsilon^{2} \int_{0}^{t} \int_{I} b\left(u^{0}+V\right) \partial_{\xi}\left(u^{0}+V\right) \cdot \zeta \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} s.\end{aligned}$

因此, 方程 (3.17) 等价于

$\begin{equation*} \langle V(t),\zeta\rangle_{L^{2}}= \langle V(0),\zeta\rangle_{L^{2}}+\int_{0}^{t}\langle AV(s)+f(V(s)),\zeta\rangle_{L^{2}}{\rm d}s+\epsilon\int_{0}^{t}\langle g(V(s)),\zeta\rangle_{L^{2}}{\rm d}\beta_{s}, \end{equation*}$

其中 $A$ 定义为 (3.6) 式,

$\begin{equation} \begin{aligned}\label{D.4} f(V):&=-(u^{0})^{\prime\prime\prime\prime}-(u^{0})^{\prime\prime}-u^{0}\cdot(u^{0})^{\prime}-V\cdot\partial_{\xi}V +c^{0}\cdot(u^{0})^{\prime}+a(u^{0}+V)\partial_{\xi}(u^{0}+V)\\ & +\frac{1}{2}\epsilon^{2}b^{2}(u^{0}+V)\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+V) +\epsilon^{2}b(u^{0}+V)\partial_{\xi}(u^{0}+V), \end{aligned} \end{equation}$

并且

$\begin{equation}\label{D.5} g(V):=(u^{0}+V)+b(u^{0}+V)\partial_{\xi}(u^{0}+V). \end{equation}$

于是,

$\begin{equation}\label{v.0} V(t)=V(0)+\int_{0}^{t}(AV(t)+f(V(t))){\rm d}s+\epsilon\int_{0}^{t}g(V(s)){\rm d}\beta_{s}, \quad 0\leq t\leq T. \end{equation}$

利用 (3.8) 式, 我们可得 $\langle V,\ell\rangle_{L^{2}}=0$. 此外, 为了确保随机相移 $\pi(t)$ 有全局解, 定义 $C^{\infty}$ 上的不减光滑截断函数 $\chi_{low}$ 和 $\chi_{high}$, 分别满足

$\begin{equation*} \chi_{low}(x)= \begin{cases}\frac{1}{4}, & \quad x\leq \frac{1}{4},\\ x, & \quad x\geq \frac{1}{2} \end{cases} \end{equation*}$

和

$\begin{equation*} \chi_{high}(x)= \begin{cases}x, & \quad |x|\leq (1+\|u^{0}\|_{L^{2}})\|\ell\|_{L^{2}},\\ 2\|\ell\|_{L^{2}}+1, & \quad |x|\geq (1+\|u^{0}\|_{L^{2}})\|\ell\|_{L^{2}}+1. \end{cases} \end{equation*}$

因此,

$\begin{equation}\label{a.1} \begin{aligned} &\ a(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)))\\ =\,&\frac{\left\langle\partial_{\xi}^{4}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t))+\partial_{\xi}^{2}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)) -\frac{1}{2}\epsilon^{2}b^{2}(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)))\partial_{\xi}^{2}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)),\ell\right\rangle_{L^{2}}}{\chi_{low}(\langle\partial_{\xi}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)),\ell\rangle_{L^{2}})}\\ &-\frac{\left\langle\left(\epsilon^{2}b(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)))+U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)) -c^{0}\right)\partial_{\xi}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)),\ell\right\rangle_{L^{2}}}{\chi_{low}(\langle\partial_{\xi}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)),\ell\rangle_{L^{2}})}, \end{aligned} \end{equation}$

以及

$\begin{equation}\label{b.1} b(U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)))=-\frac{\chi_{high}(\langle U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)),\ell\rangle_{L^{2}})}{\chi_{low}(\langle\partial_{\xi}U^{\epsilon}(t,\xi+\pi(t)),\ell\rangle_{L^{2}})}, \end{equation}$

其中 $\ell$ 满足 (3.8) 式.

4 先验估计

在本节中, 我们将建立方程 ((3.20) 的非线性项 $f$ 和 $g$ 的先验估计.

定义函数

$\begin{equation}\label{G.1} \Gamma(v):=\frac{1}{2}\epsilon^{2}b^{2}(u^{0}+v)\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v)+\epsilon^{2}b(u^{0}+v)\partial_{\xi}(u^{0}+v) -v\partial_{\xi}v. \end{equation}$

引理 4.1 对任意 $v$ 属于 $H^{1}(I)$, 存在正常数 $K$ 满足

$\begin{equation}\label{K.b1} |b(u^{0}+v)|\leq K, \end{equation}$

其中 $b(\cdot)$ 定义为 (3.22) 式. 对任意 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 属于 $H^{1}(I)$, 满足

$\begin{equation} |b(u^{0}+v_{1})-b(u^{0}+v_{2})|\leq K\|v_{1}-v_{2}\|_{H^{1}}\|\ell\|_{L^{2}}. \end{equation}$ \end{lemma}

证 首先, 根据截断函数 $\chi_{high}$ 和 $\chi_{low}$ 定义可得 (4.2) 式成立. 其次, 利用截断函数 $\chi_{high}$ 和 $\chi_{low}$ 的全局 Lipschitz 光滑性可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} |b(u^{0}+v_{1})-b(u^{0}+v_{2})| &\leq K(|\langle v_{1}-v_{2},\ell\rangle_{L^{2}}|+|\langle \partial_{\xi}(v_{1}-v_{2}),\ell\rangle_{L^{2}}|) \leq K\|v_{1}-v_{2}\|_{H^{1}}\|\ell\|_{L^{2}}. \end{aligned} \end{equation*}$

引理 4.2 对任意 $v$ 属于 $H^{2}(I)$, 存在正常数 $K$ 使得

$\begin{equation*} \|\Gamma(v)\|_{L^{2}} \leq K \epsilon^{2}(1+\|v\|_{H^{2}}+\|v\|_{H^{1}})+\|v\|_{L^{2}}\|v\|_{H^{1}}. \end{equation*}$

证 利用引理 4.1, 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|\Gamma(v)\|_{L^{2}} \leq\,&\frac{1}{2}\epsilon^{2}\|b^{2}(u^{0}+v)\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v)\|_{L^{2}} +\epsilon^{2}\|b(u^{0}+v)\partial_{\xi}(u^{0}+v)\|_{L^{2}} +\|v\cdot\partial_{\xi}v\|_{L^{2}}\\ \leq \,&K \epsilon^{2}(1+\|v\|_{H^{2}})+K\epsilon^{2} (1+\|v\|_{H^{1}})+\|v\|_{L^{2}}\|v\|_{H^{1}}. \end{aligned} \end{equation*}$

引理 4.3 对任意 $v$ 属于 $H^{2}(I)$, 存在正常数 $K$ 使得

$\begin{equation}\label{f.1} \|f(v)\|_{L^{2}}\leq K\epsilon^{2}(1+\|v\|_{H^{2}})+K\|v\|^{2}_{H^{2}}\left(1+\epsilon^{2}+\|v\|_{L^{2}}\right), \end{equation}$

且

$\begin{equation}\label{g.1} \|g(v)\|_{L^{2}}\leq K(1+\|v\|_{H^{2}}), \end{equation}$

其中 $f(v)$ 和 $g(v)$ 分别定义为 (3.18) 式和 (3.19) 式.

证 根据方程 (3.2), (3.21) 和 (4.1), 可得

$\begin{align*} &\ a(u^{0}+v)\chi_{low}\left(\langle\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\rangle_{L^{2}}\right)\\ =&\left\langle\partial_{\xi}^{4}(u^{0}+v)+\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v)-\frac{1}{2}\epsilon^{2}b^{2}(u^{0}+v)\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v),\ell\right\rangle_{L^{2}}\\ &+\left\langle-\left(\epsilon^{2}b(u^{0}+v)-(u^{0}+v)+c^{0}\right)\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\right\rangle_{L^{2}}\\ =&\left\langle\partial_{\xi}^{4}(u^{0}+v)+\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v)-\frac{1}{2}\epsilon^{2}b^{2}(u^{\epsilon}+v)\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v),\ell\right\rangle_{L^{2}}\\ &+\left\langle-\left(\epsilon^{2}b(u^{0}+v)-(u^{0}+v)+c^{0}\right)\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\right\rangle_{L^{2}}+\left\langle v,A^{*}\ell\right\rangle_{L^{2}}\\ =&\left\langle\partial_{\xi}^{4}(u^{0}+v)+\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v)-\frac{1}{2}\epsilon^{2}b^{2}(u^{0}+v)\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v),\ell\right\rangle_{L^{2}}\\ &-\left\langle\left(\epsilon^{2}b(u^{0}+v)-(u^{0}+v)+c^{0}\right)\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\right\rangle_{L^{2}}+\left\langle Av,\ell\right\rangle_{L^{2}}\\ =&-\left\langle\Gamma(v),\ell\right\rangle_{L^{2}}, \end{align*}$

其中 $A$ 和 $A^*$ 分别定义于 (3.6) 式和 (3.7) 式. 利用 (3.18) 式可得

$\begin{equation} \begin{aligned}\label{f.3} f(v) =&-(u^{0})^{\prime\prime\prime\prime}-(u^{0})^{\prime\prime}+\frac{1}{2}\epsilon^{2}b^{2}(u^{0}+v)\partial_{\xi}^{2}(u^{0}+v)-c^{0}\partial_{\xi}v+u^{0}\partial_{\xi}v+(u^{0})^{\prime}v\\ &+(\epsilon^{2}b(u^{0}+v)+c^{0}-(u^{0}+v))\partial_{\xi}(u^{0}+v)+a(u^{0}+v)\partial_{\xi}(u^{0}+v)\\ =&\Gamma(v)-\langle\Gamma(v),\ell\rangle_{L^{2}}\chi_{low}^{-1}(\langle\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\rangle_{L^{2}})\partial_{\xi}(u^{0}+v). \end{aligned} \end{equation}$

应用引理 4.2,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|f(v)\|_{L^{2}} &\leq\|\Gamma(v)\|_{L^{2}}+K|\langle\Gamma(v),\ell\rangle_{L^{2}}|\cdot(1+\|v\|_{H^{1}})\\ &\leq K\epsilon^{2}+ K\epsilon^{2}\|v\|_{H^{2}}+K\|v\|^{2}_{H^{2}}\left(1+\epsilon^{2}+\|v\|_{L^{2}}\right). \end{aligned} \end{equation*}$

通过引理 4.1, 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|g(v)\|_{L^{2}}&=\|(u^{0}+v)+b(u^{0}+v)\partial_{\xi}(u^{0}+v)\|_{L^{2}}\\ &\leq \|(u^{0}+v)\|_{L^{2}}+|b(u^{0}+v)|\cdot\|\partial_{\xi}(u^{0}+v)\|_{L^{2}} \leq K(1+\|v\|_{H^{2}}). \end{aligned} \end{equation*}$

引理 4.4 对任意充分小的正常数 $\delta_{0}$, 如果方程 (3.10) 的初值 $U^{\epsilon}_{0}$ 满足

$\begin{equation}\label{P.4} \|U^{\epsilon}_{0}-u^{0}\|_{H^{2}}\leq \delta_{0}, \end{equation}$

那么存在 $\pi(0)\in \mathbb{R}$, 使得

$\begin{equation}\label{P.3} \langle U^{\epsilon}(0,\xi+\pi(0))-u^{0},\ell\rangle_{L^{2}}=0, \end{equation}$

并且满足

$\begin{equation}\label{P.5} \| U^{\epsilon}(0,\xi+\pi(0))-u^{0}\|_{L^{2}}+|\pi(0)|\leq K\|U^{\epsilon}_{0}-u^{0}\|_{L^{2}}. \end{equation}$

证 令

$\begin{equation}\label{pi} \Psi(\pi):=U^{\epsilon}(0,\xi)-U^{\epsilon}(0,\xi+\pi)+\pi\cdot (U^{\epsilon}(0,\xi))^{\prime}, \end{equation}$

其中 $“\prime”$ 表示 $\frac{\rm d}{{\rm d}\xi}$. 根据 (3.8) 和 (4.10) 式可得

$\begin{equation} \begin{aligned} \langle U^{\epsilon}(0,\xi+\pi)-u^{0},\ell\rangle_{L^{2}} =&\left\langle -\Psi(\pi)+U^{\epsilon}(0,\xi)+\pi \cdot (U^{\epsilon}(0,\xi))^{\prime}-u^{0},\ell\right\rangle_{L^{2}}\\ =&-\langle\Psi(\pi),\ell \rangle_{L^{2}}+\langle U^{\epsilon}_{0}-u^{0},\ell\rangle_{L^{2}}+\pi\langle (U^{\epsilon}_{0}-u^{0})^{\prime},\ell\rangle_{L^{2}}+\pi. \end{aligned} \end{equation}$

为了证明方程 (4.8), 只需要证明如下方程的解存在

$\begin{equation}\label{Lambda.2}\pi =\langle \Psi(\pi),\ell \rangle_{L^{2}}-\langle U^{\epsilon}_{0}-u^{0},\ell\rangle_{L^{2}}-\pi\langle (U^{\epsilon}_{0}-u^{0})^{\prime},\ell\rangle_{L^{2}}.\end{equation}$

对任意 $T>0$, 设 $X_{T}$ 是 $L^{2}(\Omega,L^{2}([T],H^{2}(I)))$ 上所有 $L^{2}(I)$-值, $\mathcal{F}_{T}$-适应的连续随机过程 $U^{\epsilon}$ 的集合, 使得如下范数是有限的

$ \|U^{\epsilon}\|_{X_{T}}=\left(\mathbb{E}\int_{0}^{T}\|U^{\epsilon}\|^{2}_{H^{2}}{\rm d}t\right)^{1/2}<\infty. $

那么对任意 $\omega\in\Omega$, $\|U^{\epsilon}(t)\|_{H^{2}}$ 在 $[T]$ 上是可积的. 在区间 $[T]$ 上, 若 $U^{\epsilon}(t)$ 是方程 (3.10) 的解, 根据文献 [7], 存在 $K>0$, 使得

$\begin{equation*} \|U^{\epsilon}(0)\|_{H^{2}}\leq K, \quad {\rm a.s}.. \end{equation*}$

根据拉格朗日中值定理, 存在 $\xi_{*}\in(\xi,\xi+\pi)$ 和 $\xi_{**}\in(\xi,\xi_{*})$ 使得

$ \begin{aligned} \|\Psi(\pi)\|_{L^{2}} &=\|U^{\epsilon}(0,\xi)-U^{\epsilon}(0,\xi+\pi)+\pi\cdot (U^{\epsilon}(0,\xi))^{\prime}\|_{L^{2}}\\ &=\left\|-\pi\cdot(U^{\epsilon}(0,\xi_{*}))^{\prime}+\pi \cdot(U^{\epsilon}(0,\xi))^{\prime}\right\|_{L^{2}}\\ &\leq|\pi||\xi-\xi_{*}|\cdot\left\|(U^{\epsilon}(0,\xi_{**}))^{\prime\prime}\right\|_{L^{2}} \leq K|\pi|^{2}. \end{aligned} $

类似地, 对任意 $\pi_{1}$ 和 $\pi_{2}$, 存在 $\xi_{\#}\in(\xi+\pi_{1},\xi+\pi_{2})$ 和 $\xi_{\#\#}\in(\xi,\xi_{\#})$ 使得

$ \begin{aligned} &\|\Psi(\pi_{1})-\Psi(\pi_{2})\|_{L^{2}}\\ =&\left\|U^{\epsilon}(\xi+\pi_{2})-U^{\epsilon}(\xi+\pi_{1})+\pi_{1}\cdot(U^{\epsilon}(\xi))^{\prime}-\pi_{2}\cdot(U^{\epsilon}(\xi))^{\prime}\right\|_{L^{2}}\\ =&\|(\pi_{2}-\pi_{1})\cdot(U^{\epsilon}(\xi_{\#}))^{\prime}-(\pi_{2}-\pi_{1})\cdot(U^{\epsilon}(\xi))^{\prime}\|_{L^{2}}\\ \leq&|\pi_{2}-\pi_{1}||\xi_{\#}-\xi|\cdot\left\|(U^{\epsilon}(\xi_{\#\#}))^{\prime\prime}\right\|_{L^{2}}\\ \leq&K\max\{|\pi_{1}|,|\pi_{2}|\}|\pi_{2}-\pi_{1}|. \end{aligned} $

令 $\mathcal{A}:=\{\pi:|\pi|\leq K\delta_{0}\}$. 将等式 (4.12) 的右边表示为 $R(\pi)$. 根据 (4.7) 式可得

$\begin{align*} |R(\pi_{1})-R(\pi_{2})| \leq& |\langle \Psi(\pi_{1})-\Psi(\pi_{2}),\ell\rangle_{L^{2}}|+|\pi_{1}-\pi_{2}|\cdot|\langle (U^{\epsilon}_{0}-u^{0})^{\prime},\ell\rangle_{L^{2}}|\\ \leq& K\max\{|\pi_{1}|,|\pi_{2}|\}|\pi_{1}-\pi_{2}|+K\delta_{0}|\pi_{1}-\pi_{2}|\\ \leq& K\delta_{0}|\pi_{1}-\pi_{2}|. \end{align*}$

选择充分小的正常数 $\delta_{0}$, 使得 $K\delta_{0}<1$. 根据不动点定理, 方程 (4.12) 在集合 $\mathcal{A}$ 中有解.

对任意 $\pi\in \mathbb{R}$, 利用 Hölder 不等式和积分中值定理可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} \left\|u^{0}(\xi)-u^{0}(\xi-\pi)\right\|_{L^{2}}^{2} &=\int_{\mathbb{R}}\left(u^{0}(\xi)-u^{0}(\xi-\pi)\right)^{2}{\rm d}\xi\\ &=\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{-\pi}^{0}\left(u^{0}(\xi+s)\right)^{\prime}{\rm d}s\right)^{2}{\rm d}\xi \leq\int_{\mathbb{R}}|\pi|\cdot\int_{-\pi}^{0}\left(\left(u^{0}(\xi+s)\right)^{\prime}\right)^{2}{\rm d}s {\rm d}\xi\\ &=|\pi|^{2}\cdot\int_{\mathbb{R}}\left(\left(u^{0}(\xi)\right)^{\prime}\right)^{2}{\rm d}\xi =|\pi|^{2}\cdot\left\|\left(u^{0}(\xi)\right)^{\prime}\right\|_{L^{2}}^{2}. \end{aligned} \end{equation*}$

从而,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|U^{\epsilon}(0,\xi+\pi(0))-u^{0}\|_{L^{2}} &=\|U^{\epsilon}(0,\xi)-u^{0}(\xi-\pi(0))\|_{L^{2}}\\ &\leq \|U^{\epsilon}_{0}-u^{0}\|_{L^{2}}+\|u^{0}-u^{0}(\xi-\pi(0))\|_{L^{2}}\\ &\leq \|U^{\epsilon}_{0}-u^{0}\|_{L^{2}}+K|\pi(0)|. \end{aligned} \end{equation*}$

因此, 根据 $\pi(0)\in \mathcal{A}$ 可得 (4.9) 式成立.

引理 4.5 对任意 $v\in H^{1}(I)$, 如果 $ \|v\|_{H^{1}}\leq \min\{1,(2\|\ell\|_{L^{2}})^{-1}\}, $ 那么

$\langle f(v), \ell\rangle_{L^{2}}=0, \quad\langle g(v), \ell\rangle_{L^{2}}=0.$

证 因为

$\begin{equation*} \begin{aligned} |\langle u^{0}+v,\ell\rangle_{L^{2}}| &\leq (\|u^{0}\|_{L^{2}}+\|v\|_{L^{2}})\|\ell\|_{L^{2}}\\ &\leq \left(\|u^{0}\|_{L^{2}}+1\right)\|\ell\|_{L^{2}}, \end{aligned} \end{equation*}$

并且

$\begin{equation*} \begin{aligned} |\langle\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\rangle_{L^{2}}| \geq |\langle\partial_{\xi}u^{0},\ell \rangle_{L^{2}}|-|\langle\partial_{\xi}v,\ell \rangle_{L^{2}}| \geq 1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2}. \end{aligned} \end{equation*}$

所以, 利用截断函数 $\chi_{low}$ 和 $\chi_{high}$ 的定义可得

$\begin{equation*} b(u^{0}+v)=-\frac{\langle u^{0}+v,\ell\rangle_{L^{2}}}{\langle\partial_{\xi}(u^{0}+v),\ell\rangle_{L^{2}}}. \end{equation*}$

结合 $g$ 的定义可得 (4.13) 式中第二个等式成立. 然后根据方程 (4.6) 可得 (4.13) 式中第一个等式也成立.

5 非线性稳定

选取正常数 $\theta$, 令

$\begin{equation}\label{I.1} \mathcal{I}_{\epsilon}(t):=\|V(t)\|_{L^{2}}^{2}+\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|V(t)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s. \end{equation}$

对任意 $T>0$ 和 $\eta>0$, 定义停时

$\begin{equation} \tau:=\inf\{0\leq t<T:\mathcal{I}_{\epsilon}(t)>\eta\} \quad {\rm a.s}.. \end{equation}$

特别地, 如果集合是空集, 那么 $\tau=T$.

引理 5.1 对任意 $0\leq t\leq \tau$, 满足

$\begin{equation*} \|S(t)QV(0)\|_{L^{2}}^{2}\leq M^{2}{\rm e}^{-2\sigma t}\|V(0)\|_{L^{2}}^{2}, \end{equation*}$

其中 $M$ 和 $\sigma$ 是引理 3.2 中的正常数. 此外, 对任意 $0<\theta<\sigma$ 和 $\eta>0$, 存在正常数 $K$, 使得

$\begin{equation}\label{4.44} \begin{aligned} \left\|\int_{0}^{t}S(t-s)Qf(V){\rm d}s\right\|_{L^{2}}^{2} &\leq K\epsilon^{4}+K\epsilon^{4}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|V(s)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ & +K\left(1+\epsilon^{2}+\eta\right)^{2}\eta\cdot\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\|V\|^{2}_{H^{2}}{\rm d}s, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $f(V)$ 定义为 (3.18) 式.

证 由引理 3.2 可得

$\begin{equation*} \|S(t)QV(0)\|_{L^{2}}^{2}\leq M^{2}{\rm e}^{-2\sigma t}\|V(0)\|_{L^{2}}^{2}. \end{equation*}$

根据 (4.4) 式, 可得

$\begin{aligned} & \left\|\int_{0}^{t} S(t-s) Q f(V) \mathrm{d} s\right\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq & K\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\sigma(t-s)}\left(\epsilon^{2}+\epsilon^{2}\|V\|_{H^{2}}+\left(1+\epsilon^{2}+\|V\|_{L^{2}}\right) \cdot\|V\|_{H^{2}}^{2}\right) \mathrm{d} s\right)^{2} \\ \leq & K \epsilon^{4}\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\sigma(t-s)} \mathrm{d} s\right)^{2}+K \epsilon^{4}\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\sigma(t-s)}\|V\|_{H^{2}} \mathrm{ d} s\right)^{2} \\ & +K\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\sigma(t-s)}\left(1+\epsilon^{2}+\|V\|_{L^{2}}\right) \cdot\|V\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{ d} s\right)^{2} \\ \leq & K \frac{\epsilon^{4}}{\sigma^{2}}+K \epsilon^{4}\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\sigma(t-s)}\|V\|_{H^{2}} \mathrm{ d} s\right)^{2}+K\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\sigma(t-s)}\left(1+\epsilon^{2}+\|V\|_{L^{2}}\right) \cdot\|V\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{ d} s\right)^{2} \end{aligned}$

利用 Hölder 不等式可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\left(\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\|V(s)\|_{H^{2}}{\rm d}s\right)^{2}\\ =& \left(\int_{0}^{t}{\rm e}^{-(\sigma-\frac{\theta}{2})(t-s)}{\rm e}^{-\frac{\theta}{2}(t-s)}\|V(s)\|_{H^{2}}{\rm d}s\right)^{2}\\ \leq&\int_{0}^{t}{\rm e}^{-(2\sigma-\theta)(t-s)}{\rm d}s\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|V(s)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq& \frac{1}{2\sigma-\theta}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|V(s)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s. \end{aligned} \end{equation*}$

根据停时的定义, 对任意 $0\leq t\leq \tau$,

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\left(\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\left(1+\epsilon^{2}+\|V\|_{L^{2}}\right)\cdot\|V\|^{2}_{H^{2}}{\rm d}s\right)^{2}\\ \leq& \left(1+\epsilon^{2}+\eta\right)^{2}\left(\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\|V\|^{2}_{H^{2}}{\rm d}s\right)^{2}\\ \leq&\left(1+\epsilon^{2}+\eta\right)^{2}\eta\cdot\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\|V\|^{2}_{H^{2}}{\rm d}s. \end{aligned} \end{equation*}$

综上, 可得 (5.3) 式成立.

引理 5.2 对任意 $0<\theta<\sigma$, 存在正常数 $K$ 使得

$\begin{equation*} \mathbb{E}\left\|\int_{0}^{t}S(t-s)Qg(V(s)){\rm d}\beta_{s}\right\|_{L^{2}}^{2}\leq K+K\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s)}\|V(s)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s, \end{equation*}$

其中 $g(V)$ 定义为 (3.19) 式.

证 根据 Itô 等距, 引理 3.2 和 (4.5) 式可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} \mathbb{E}\left\|\int_{0}^{t}S(t-s)Qg(V(s)){\rm d}\beta_{s}\right\|_{L^{2}}^{2} = &\mathbb{E}\int_{0}^{t}\left\|S(t-s)Qg(V(s))\right\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq &M^{2}\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-2\sigma (t-s)}\|g(V(s))\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq &K\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-2\sigma (t-s)}\left(1+\|V(s)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s\\ \leq& \frac{K}{2\sigma}+K\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s)}\|V(s)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s. \end{aligned} \end{equation*}$

引理 5.3 对任意 $0<\delta<1$, $0<\theta<\sigma$, 可得

$\begin{equation*} \int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|S(\delta)S(t)QV(0)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s \leq \frac{M^{2}}{2\sigma-\theta}{\rm e}^{-\theta t}\|V(0)\|_{H^{2}}^{2}, \end{equation*}$

其中 $M$ 和 $\sigma$ 是引理 3.2 中的正常数. 对任意 $0\leq t\leq \tau$ 和 $\eta>0$, 存在正常数 $K$ 使得

$\begin{equation}\label{f.2} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{0}^{s}S(s-s^*)Qf(V(s^*)){\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq\,& K\epsilon^{4}+K\left(\epsilon^{4}+(1+\epsilon^{2}+\eta)^{2}\eta\right)\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{aligned} \end{equation}$

证 根据引理 3.2 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|S(\delta)S(t)QV(0)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s &\leq M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}{\rm e}^{-2\sigma (s+\delta)}\|V(0)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ &\leq \frac{M^{2}}{2\sigma-\theta}{\rm e}^{-\theta t}\|V(0)\|_{H^{2}}^{2}, \end{aligned} \end{equation*}$

并且

$\begin{equation} \begin{aligned}\label{4.22} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{0}^{s}S(s-s^*)Qf(V(s^*)){\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq \,& K\epsilon^{4}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{0}^{t}S(s-s^*)Q(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}){\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ +&K(1+\epsilon^{2}+\eta)^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{0}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s. \end{aligned} \end{equation}$

当 $t\geq 1$ 时. 任取正常数 $\gamma_{1}$ 和 $\gamma_{2}$ 满足 $\gamma_{1}+\gamma_{2}=1$.

利用 Hölder 不等式可得

$\begin{equation}\label{4.23} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{0}^{s}S(s-s^*)Q(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}){\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq \,&2M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{0}^{s}{\rm e}^{-\sigma(s-s^*)}{\rm d}s^*\right)^{2}{\rm d}s\\ &+2M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{0}^{s}{\rm e}^{-\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}{\rm d}s^*\right)^{2}{\rm d}s\\ \leq \,&\frac{2M^{2}}{\theta\sigma^{2}}+2M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{0}^{s}{\rm e}^{-2\gamma_{1}\sigma(s-s^*)}{\rm d}s^*\right)\left(\int_{0}^{s}{\rm e}^{-2\gamma_{2}\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right){\rm d}s\\ \leq\, &\frac{2M^{2}}{\theta\sigma^{2}}+\frac{M^{2}}{\gamma_{1}\sigma}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\int_{0}^{s}{\rm e}^{-2\gamma_{2}\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s, \end{aligned} \end{equation}$

以及

$\begin{equation}\label{4.24} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{0}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\notag\\ \leq \,& M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{0}^{s}{\rm e}^{-\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right)^{2}{\rm d}s\\ \leq\,&M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{0}^{s}{\rm e}^{-\theta(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right)\left(\int_{0}^{s}{\rm e}^{-\sigma}(s-s^*)\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right){\rm d}s\notag\\ \leq\,&M^{2}\eta\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\int_{0}^{s}{\rm e}^{-\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\notag. \end{aligned} \end{equation}$

因为 $\theta\in(0, \sigma)$, 所以令 $\gamma_{2}=\theta \sigma^{-1}$, 可得

$\begin{equation}\label{4.25} \begin{aligned} &\frac{1}{\gamma_{1}\sigma}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\int_{0}^{s}{\rm e}^{-2\gamma_{2}\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\\ =&\frac{1}{\gamma_{1}\sigma}{\rm e}^{-\theta t}\int_{0}^{t}\int_{s^*}^{t}{\rm e}^{\theta s-2\gamma_{2}\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s{\rm d}s^*\\ \leq&\frac{1}{\gamma_{1}\sigma}{\rm e}^{-\theta t}\frac{1}{2\gamma_{2}\sigma-\theta}\int_{0}^{t}{\rm e}^{(\theta-2\gamma_{2}\sigma)s^*}{\rm e}^{2\gamma_{2}\sigma s^*}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\\ =&\frac{1}{(\sigma-\theta)\theta}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*, \end{aligned} \end{equation}$

以及

$\begin{equation}\label{4.26} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\int_{0}^{s}{\rm e}^{-\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\\ =&\int_{0}^{t}\int_{s^*}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)-\sigma(s-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s{\rm d}s^*\\ \leq&\frac{1}{\sigma-\theta}{\rm e}^{-\theta t}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-(\sigma-\theta)s^*}{\rm e}^{\sigma s^*}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\\ =&\frac{1}{\sigma-\theta}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{aligned} \end{equation}$

将 (5.6)-(5.8) 式带入 (5.5) 式可得

$\begin{equation}\label{4.27} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|S(\delta)\int_{0}^{s}S(s-s^*)Qf(V(s^*)){\rm d}s^*\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq& K\epsilon^{4}+K\left(\epsilon^{4}+(1+\epsilon^{2}+\eta)^{2}\eta\right)\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{aligned} \end{equation}$

当 $0\leq t\leq 1$ 时, 利用 Hölder 不等式可得

$\begin{aligned}&\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta) \int_{s-1}^{s} S\left(s-s^{*}\right) Q\left(1+\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}\right) \mathrm{d} s^{*}\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s \\\leq &2 M^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{s-1}^{s}\left(s+\delta-s^{*}\right)^{-\frac{1}{4}} \mathrm{~d} s^{*}\right)^{2} \mathrm{~d} s \\&+2 M^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{s-1}^{s}\left(s+\delta-s^{*}\right)^{-\frac{1}{4}}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}} \mathrm{~d} s^{*}\right)^{2} \mathrm{~d} s \\\leq &2 M^{2} \cdot \frac{16}{9 \theta}\left(\delta^{\frac{3}{4}}-(1+\delta)^{\frac{3}{4}}\right)^{2} \\&+2 M^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{s-1}^{s}\left(s+\delta-s^{*}\right)^{-\frac{1}{4}} \mathrm{~d} s^{*}\right)\left(\int_{s-1}^{s}\left(s+\delta-s^{*}\right)^{-\frac{1}{4}}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{*}\right) \mathrm{d} s \\\leq &2 M^{2} \cdot \frac{16}{9 \theta}\left(\delta^{\frac{3}{4}}-(1+\delta)^{\frac{3}{4}}\right)^{2}+\frac{8}{3} M^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta(t-s)} \int_{s-1}^{s}\left(s+\delta-s^{*}\right)^{-\frac{1}{4}}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{*} \mathrm{~d} s\end{aligned}$

并且

$\begin{equation}\label{4.29} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\notag\\ \leq \,& M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{s-1}^{s}(s+\delta-s^*)^{-\frac{1}{4}}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right)^{2}{\rm d}s\\ \leq\,&M^{2}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left(\int_{s-1}^{s}(s+\delta-s^*)^{-\frac{1}{2}}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right)\left(\int_{s-1}^{s}\|V(s^{**})\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^{**}\right){\rm d}s\notag\\ =\,&M^{2} \int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\int_{s-1}^{s}\int_{s-1}^{s}(s+\delta-s^*)^{-\frac{1}{2}}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\|V(s^{**})\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^{**}{\rm d}s^*{\rm d}s\notag. \end{aligned} \end{equation}$

又因为

$\begin{equation}\label{4.30} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\int_{s-1}^{s}(s+\delta-s^*)^{-\frac{1}{4}}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\\ =&\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta t}\left(\int_{s^*}^{\min\{t,s^*+1\}}(s+\delta-s^*)^{-\frac{1}{4}}{\rm e}^{\theta s}{\rm d}s\right)\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\\ \leq&\frac{4}{3}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta t}{\rm e}^{\theta(s^*+1)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\\ =&\frac{4}{3} {\rm e}^{\theta}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*, \end{aligned} \end{equation}$

以及

$\begin{array}{l}\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta(t-s)} \int_{s-1}^{s} \int_{s-1}^{s}\left(s+\delta-s^{*}\right)^{-\frac{1}{2}}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2}\left\|V\left(s^{* *}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{* *} \mathrm{~d} s^{*} \mathrm{~d} s \\=\mathrm{e}^{-\theta t} \int_{0}^{t} \int_{s-1}^{\min \left\{t, s^{*}+1\right\}}\left(\int_{\max \left\{s^{*}, s^{* *}\right\}}^{\min \left\{t, s^{*}+1, s^{* *}+1\right\}}\left(s+\delta-s^{*}\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\theta s} \mathrm{~d} s\right)\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2}\left\|V\left(s^{* *}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{* *} \mathrm{~d} s^{*} \\\leq 2 \mathrm{e}^{-\theta t} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{\theta\left(s^{*}+1\right)}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \int_{s^{*}-1}^{\min \left\{t, s^{*}+1\right\}}\left\|V\left(s^{* *}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{* *} \mathrm{~d} s^{*} \\\leq 2 \mathrm{e}^{3 \theta} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta\left(t-s^{*}\right)}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{*} \int_{s^{*}-1}^{\min \left\{t, s^{*}+1\right\}} \mathrm{e}^{-\theta\left(\min \left\{t, s^{*}+1\right\}-s^{* *}\right)}\left\|V\left(s^{* *}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{* *} \mathrm{~d} s^{*} \\\leq 2 \mathrm{e}^{3 \theta} \eta \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta\left(t-s^{*}\right)}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{*}\end{array}$

所以, 将 (5.10)-(5.12) 式带入 (5.5) 式可得

$\begin{equation}\label{4.32} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\|S(\delta)\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Qf(V(s^*)){\rm d}s_*\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq\,& K\epsilon^{4}+K\left(\epsilon^{4}+(1+\epsilon^{2}+\eta)^{2}\eta\right)\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{aligned} \end{equation}$

此外, 利用 Fatou 引理可知

$\begin{equation} \begin{aligned}\label{4.33} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ =\,&\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\liminf_{\delta\rightarrow0}\left\|S(\delta)\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq\,&\liminf_{\delta\rightarrow0}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s \end{aligned} \end{equation}$

和

$\begin{equation}\label{4.34} \begin{aligned} &\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ = \,& \int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\liminf_{\delta\rightarrow0}\left\|S(\delta)\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq \,&\liminf_{\delta\rightarrow0}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta(t-s)}\left\|S(\delta)\int_{s-1}^{s}S(s-s^*)Q\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s. \end{aligned} \end{equation}$

综上, 根据 (5.9), (5.13), (5.14) 式和 (5.15) 式可得 (5.4) 式成立.

引理 5.4 对任意 $T>0$, $0<\delta<1$ 及任意 $0<\theta<\sigma$, 存在正常数 $K$ 使得

$\begin{aligned}&\mathbb{E} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta(t-s)}\left\|\int_{0}^{s} S(\delta) S\left(s-s^{*}\right) Q g\left(V\left(s^{*}\right)\right) \mathrm{d} \beta_{s^{*}}\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s \\\leq &K+K \mathbb{E} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\theta\left(t-s^{*}\right)}\left\|V\left(s^{*}\right)\right\|_{H^{2}}^{2} \mathrm{~d} s^{*}\end{aligned}$

证 当 $t\geq 1$ 时, 利用 Itô 等距, 引理 3.2 和 (4.5) 式, 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\left\|\int_{0}^{s}S(\delta)S(s-s^*)Qg(V(s^*)){\rm d}\beta_{s^*}\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ =\,&\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\int_{0}^{s}\|S(\delta+s-s^*)Qg(V(s^*))\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\\ \leq \,&K\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\int_{0}^{s}{\rm e}^{-2\sigma(s+\delta-s^*)}\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*{\rm d}s, \end{aligned} \end{equation*}$

其中,

$\begin{align*} &\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\int_{0}^{s}{\rm e}^{-2\sigma(s+\delta-s^*)}\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*{\rm d}s\\ =\,&\mathbb{E}{\rm e}^{-\theta t}\int_{0}^{t}\left(\int_{s^*}^{t}{\rm e}^{\theta s}{\rm e}^{-2\sigma(s+\delta)}{\rm d}s\right) {\rm e}^{2\sigma s^*}\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*\\ \leq \,&\frac{1}{2\sigma-\theta}\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta t}{\rm e}^{-(2\sigma-\theta)s^*}{\rm e}^{2\sigma s^*}\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*\\ =\,&\frac{1}{2\sigma-\theta}\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s^*)}\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*\\ \leq\,&\frac{1}{(2\sigma-\theta)\theta}+\frac{1}{2\sigma-\theta}\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{align*}$

因此,

$\begin{equation}\label{4.39} \begin{aligned} &\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\left\|\int_{0}^{s}S(\delta)S(s-s^*)Qg(V(s^*)){\rm d}\beta_{s^*}\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq\,& K+ K\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{aligned} \end{equation}$

当 $0\leq t\leq 1$ 时,

$\begin{align*} &\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\int_{s-1}^{s}\|S(\delta+s-s^*)Qg(V(s^*))\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\\ \leq \,&K\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\int_{s-1}^{s}(s+\delta-s^*)^{-\frac{1}{2}}\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*{\rm d}s\\ =\,&K\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta t}\left(\int_{s^*}^{\min\{t,s^*+1\}}{\rm e}^{\theta s}(s+\delta-s^*)^{-\frac{1}{2}}{\rm d}s\right)\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*\\ \leq\,& K {\rm e}^{\theta}\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s^*)}\left(1+\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}\right){\rm d}s^*\\ \leq\,& \frac{K {\rm e}^{\theta}}{\theta}+K {\rm e}^{\theta}\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{align*}$

因此,

$\begin{equation}\label{4.42} \begin{aligned} &\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\left\|\int_{0}^{s}S(\delta)S(s-s^*)Qg(V(s^*)){\rm d}\beta_{s^*}\right\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq\,& K+ K\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\theta (t-s^*)}\|V(s^*)\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*. \end{aligned} \end{equation}$

此外, 利用 Fatou 引理可得

$\begin{equation} \begin{aligned}\label{4.43} &\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\int_{s-1}^{s}\|S(s-s^*)Qg(V(s^*))\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\\ =\,&\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\liminf_{\delta\rightarrow0}\int_{s-1}^{s}\|S(s-s^*)Qg(V(s^*))\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s\\ \leq\,&\liminf_{\delta\rightarrow0}\mathbb{E}\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\theta (t-s)}\int_{s-1}^{s}\|S(s-s^*)Qg(V(s^*))\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s^*{\rm d}s. \end{aligned} \end{equation}$

综上, 根据 (5.17), (5.18) 式和 (5.19) 式可得 (5.16) 式成立.

定理 5.1 让 $u^0$ 表示确定系统 (3.1) 的行波解. 对任意 $0\leq t\leq \tau$, 存在常数 $k>0$. 当随机系统 (3.10) 的噪声强度 $\epsilon$ 足够小并且其初值 $U_{0}^{\epsilon}$ 满足

$\begin{equation*} \|U_{0}^{\epsilon}-u^{0}\|_{H^{2}}\leq k, \end{equation*}$

可得方程 (3.10) 的解满足

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\mathbb{E}\sup_{0\leq t\leq \tau}\|U^{\epsilon}\left(t,\xi+\pi(t)\right)-u^{0}\|^{2}_{L^{2}}+\mathbb{E}\int_{0}^{\tau}{\rm e}^{-\gamma(\tau-s)}\|U^{\epsilon}\left(s,\xi+\pi(s)\right)-u^{0}\|_{H^{2}}^{2}{\rm d}s\\ \leq\,&K\left(\|U_{0}^{\epsilon}-u^{0}\|_{H^{2}}^{2}+(\epsilon^{4}+\epsilon^{2})\right), \end{aligned} \end{equation*}$

则方程 (3.10) 的行波解是非线性稳定的.

证 根据引理 5.1-5.4, 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned}\label{I} \mathfrak{}\mathbb{E}\mathcal{I}_{\epsilon}(t)\leq& K\|V(0)\|_{H^{2}}^{2}+K\epsilon^{4}+K\epsilon^{2}\\ &+K\left(\epsilon^{2}+\epsilon^{4}+\left(1+\epsilon^{2}+\eta\right)^{2}\eta\right)\cdot\mathbb{E}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\sigma(t-s)}\|V\|^{2}_{H^{2}}{\rm d}s\\ \leq\,& K\|V(0)\|_{H^{2}}^{2}+K(\epsilon^{4}+\epsilon^{2})+K\left(\epsilon^{2}+\epsilon^{4}+\left(1+\epsilon^{2}+\eta\right)^{2}\eta\right)\cdot\mathbb{E}\mathcal{I}_{\epsilon}(t). \end{aligned} \end{equation*}$

令 $\epsilon$ 和 $\eta$ 充分小, 使得 $\epsilon^{2}+\epsilon^{4}+\left(1+\epsilon^{2}+\eta\right)^{2}\eta<1$, 那么

$\begin{equation*}\label{5.39} \mathbb{E}\sup_{0\leq t\leq \tau}\mathcal{I}_{\epsilon}(t)\leq K\left(\|V(0)\|_{H^{2}}^{2}+(\epsilon^{4}+\epsilon^{2})\right). \end{equation*}$

根据方程 (3.12) 和 (5.1), 可得定理 5.1 成立.

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