反应扩散方程

是一类基本且重要的偏微分方程^[1,2], 它描述了物理、化学、生物等很多领域中的演化现象, 目前已有许多文献研究.现实世界中有很多演化过程, 其当前行为受到其先前状态的影响, 人们把这种现象称为时滞. 数学上常用时滞偏微分方程 (组) 来描述这种时滞现象^[3].例如, 在方程 (1.1) 的非线性函数 $f(u)$ 中考虑时滞因素时则其成为如下时滞反应扩散方程

其中 $u=u(x, t)$ 是未知函数, $u_t=u(t+s)$ ($s\in [-h, 0]$, $h$ 为某个给定的正数) 表示时滞项. 在一维直线 $\mathbb{R}$ 上对空间变量 $x$ 离散化, 取步长为 1, 则由方程 (1.2) 得到下面的格点时滞反应扩散方程

此处及以后, 文中常用 $\dot{u}_m=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u_m$ 表示 $u_m$ 关于时间变量的导数.

格点系统是一类介于偏微分方程与细胞自动机之间的系统^[4], 某些情形下其来源于偏微分方程在无界 (或有界) 区域上关于空间变量的离散化. 格点系统的理论与应用目前已得到长足发展. 关于格点系统在生物学、化学反应理论、电子工程、激光系统、材料科学以及图像处理和模式识别等领域的应用可以参考文献[5-12],关于其吸引子理论可以参考文献[13-18], 特别地, 文献[16]证明了格点系统(1.3)自治情形初值问题解的全局适定性以及全局吸引子的存在性.

耗散演化方程的吸引子理论在构造其不变测度时起非常重要作用. 目前, 通过无穷维动力系统途径构造演化方程的不变测度已有一些经典结果.例如, 文献[19]给出了一般耗散半群存在不变测度的充分条件, 文献[20]推广了文献[19]的结果, 证明了一般耗散过程存在不变测度的充分条件, 文献[21]研究了复值耗散系统的不变测度及其应用, 文献[22]构造了多值半群的不变测度, 文献[23]构造了一阶格点系统的不变测度, 文献[24]给出了耗散随机动力系统存在不变样本测度的充分条件, 文献[25]研究了加权空间中一阶格点系统的不变测度及其 Kolmogorov 熵的估计, 文献[26]证明了二阶变系数格点系统在时间依赖相空间中不变测度的存在性, 文献[27,28]研究了一类典型流体方程组和三维热带气候模型的不变测度^[29]. 最近, 文献[30]证明了半柱体上椭圆偏微分方程组不变测度的存在性. 然而, 据我们所知, 目前极少有文献研究格点时滞反应扩散方程的不变测度.

本文的初衷是研究下面格点时滞反应扩散问题

不变测度的存在性, 其中 $\mathbb{Z}$ 表示整数集, $\lambda>0$ 为常数, $u_{m}=u_m(\cdot)\in \mathbb{R}$ 是未知函数, $u_{mt}(\cdot)=u_{m}(t+\cdot)$ 是时滞项, 它将时滞区间 $[-h,0]$ 映射到 $\mathbb{R}$ 上, $f_m(\cdot)$, $g_m(\cdot)$ 是给定的函数, $\tau\in \mathbb{R}$ 是初始时间,$u_{m}(\tau+\cdot)=u_{m\tau}(\cdot)=\phi_{m}(\cdot)$ 是初始函数. 文章的主要结果是格点时滞反应扩散问题 (1.4)-(1.5) 拉回吸引子与不变测度的存在性. 我们首先证明问题 (1.4)-(1.5)在空间 $C([-h, 0]; \ell^2)$ 中的全局适定性, 接着验证解映射生成的过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 存在拉回吸引子, 然后应用该拉回吸引子和广义 Banach 极限构造过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 的不变 Borel 概率测度。

与文献[23]相比, 问题 (1.4)-(1.5) 中的时滞因素会给研究带来一些新的困难.首先, 时滞的出现使得 $\ell^2$ (定义见下节) 不再适合作为该问题的相空间, 而选择 $C([-h, 0]; \ell^2)$ 作为问题 (1.4)-(1.5) 的相空间显得更为合理. 然而值得注意的是, 我们将看到方程 (1.4) 是在 $\ell^2$ 意义下成立.其次, 时滞使得我们证明解映射生成的过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 具有拉回渐近紧性以及 $C([-h, 0]; \ell^2)$-值映射 $\tau\longrightarrow U(t, \tau)\phi$ 满足某种连续性时带来很大不便, 因为由方程 (1.4) 得到的是解的 $\ell^2$ 估计, 这些估计需要转化为 $C([-h, 0]; \ell^2)$ 空间中的估计, 而这并不是简单的过程. 事实上, 时滞将使得先前已有的方法 (如文献[23]中证明过程具有拉回渐近紧性时用到的截尾法和验证映射 $\tau\longrightarrow U(t, \tau)\phi$ 满足 $\tau$-连续性时用到的变分法) 不能直接使用, 这将促使我们根据时滞方程自身的结构采用新的方法.

在这一节中, 我们首先介绍一些符号和算子, 然后证明问题 (1.4)-(1.5) 的解在空间 $C([-h, 0]; \ell^2)$ 中具有全局适定性.

记 $\ell^2=\{u=(u_{m})_{m\in \mathbb{Z}}: u_m\in \mathbb{R}, \sum_{m\in {\mathbb Z}}u_{m}^2<\infty\}$,其中内积和范数分别为

则 $(\ell^2, (\cdot, \cdot))$ 为 Hilbert 空间. 在 $\ell^2$ 上定义三个线性算子 $A$, $B, B^*$ 如下

经简单计算, 有

记 $u=(u_m)_{m\in \mathbb{Z}}$, $\lambda u=(\lambda u_m)_{m\in \mathbb{Z}}$,$f(u_t)=(f_m(u_{mt}))_{m\in \mathbb{Z}}$, $g(t)=(g_m(t))_{m\in \mathbb{Z}}$, $\phi(s)=(\phi_m(t))_{m\in \mathbb{Z}}$. 则问题(1.4)-(1.5) 可以写成如下抽象形式

为明确问题 (2.2)-(2.3) 的解的定义, 我们需介绍一些相关记号和定义.空间 $\ell^2$ 中的弱收敛诱导的拓扑记为 $\Theta_{\rm w}$, 文后我们记$\ell^2_{\rm w}=(\ell^2, \Theta_{\rm w})$, $E=C([-h, 0]; \ell^2)$, $E_{\rm w}=C([-h, 0]; \ell^2_{\rm w})$, 事实上

为处理上面的时滞问题, 我们将取 $E$ 作为问题 (2.2)-(2.3) 的相空间, 且赋以范数$\|u\|_{E}=\max_{s\in[-h, 0]}\|u(s)\|$. 此外, 我们有时也会用 $C(I; \mathbb{R})$ 表示所有从某个区间 $I$ 到 $\mathbb{R}$ 的连续函数全体, 用 $C(\ell^2)$ 和 $C(\ell^2_{\rm w})$ 分别表示所有定义在 $\ell^2$ 和 $\ell^2_{\rm w}$ 上的连续泛函全体.为方便起见, 我们记

定义2.1 (1) 设 $v_n(\cdot)$ 和 $v(\cdot)$ 都为 $E_{\rm w}$ 中函数, 若对任意 $s_n\in [-h, 0]$, $s\in [-h, 0]$, 当 $s_n\rightarrow s$ 时有$v_n(s_n)\rightharpoonup v(s)$ 在 $\ell^2$ 中弱收敛, 则称 $v_n(\cdot)$ 在 $E_{\rm w}$ 中收敛于 $v(\cdot)$.

(2) 一个函数 $h(u,t): E\times \mathbb{R}\longmapsto \ell^2$ 称为在 $E$ 的有界集上是序列弱连续的, 若满足: 对任意 $M>0$, 当任意 $t_n\rightarrow t\in \mathbb{R}$, $\|v(\cdot)\|_{E}\leqslant M$ 且 $v_n(\cdot)$ 在 $E_{\rm w}$ 收敛于 $v(\cdot)$ 时, 有 $h(t_n, v_n(\cdot))$ 在 $E_{\rm w}$ 中收敛于$h(t,v(\cdot))$.

问题 (2.2)-(2.3) 解的定义如下

定义2.2 设 $T>\tau$为某实数.对于给定的初始时刻 $\tau$ 和初始函数 $\phi\in E$, 若函数 $u(\cdot):$$ [\tau-h, T]\longmapsto \ell^2$ 满足$ u(\cdot)\in C([\tau-h, T]; \ell^2)\cap C^1([\tau, T]; \ell^2_{\rm w})$且 $u_\tau(s)=\phi(s)$, $s\in [-h, 0]$,

则称 $u(\cdot)$ 为问题 (2.2)-(2.3) 在区间 $[\tau-h, T]$ 上在初始时刻 $\tau$ 以 $\phi(\cdot)$ 为初值的解.

这里值得说明的是, 从定义 2.2可以看到, 对于问题 (2.2)-(2.3) 在区间 $[\tau-h, T]$ 上的所有解 $u(\cdot)$, 映射 $[\tau, T]\ni t\longmapsto u_t\in E$ 是可定义的.同时, 我们将看到 $F(u_{t}, t): E\times[\tau, \infty) \longmapsto \ell^2$ 在 $E$ 的有界集上是序列弱连续的,故 $t\longmapsto F(u_{t}, t)$ 是弱连续的, 从而弱可测. 注意到 $\ell^2$ 是可分Banach 空间, 因此 $t\longmapsto F(u_{t}, t)$ 强可测. 文后我们还会验证$F(u_{t}, t): E\times [\tau, \infty)\longmapsto \ell^2$ 是有界映射, 所以 $F(u_{\cdot}, \cdot)\in L^1((\tau, T); \ell^2)$.

为了证明问题 (2.2)-(2.3) 解的存在性, 我们假设函数 $f(\cdot)$ 和 $g(\cdot)$ 满足下面条件.

(A1) 假设 $g(t)=(g_{m}(t))_{m\in\mathbb Z}\in C(\ell^2)\cap C(\ell^2_{\rm w})$, 且$ \displaystyle\int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{\lambda s}\|g(s)\|^2{\mathrm d}s<\infty, \forall t\in\mathbb R.$

(A2) 对任意 $m\in \mathbb{Z}$, $f_{m}: C([-h,0],\mathbb R)\longmapsto \mathbb R$ 是连续函数,$f_{m}(0)=0$, 存在正的常数 $L_{f}> 0$,

同时假设存在正的常数 $\eta_{0}$ 和 $C_{f}$, 使得对任意 $\eta\in(0,\eta_{0})$, 有

且对任意的 $t, \tau\in \mathbb{R}$($t>\tau)$, $\forall \theta\in [\tau, t]$, 有

我们想指出, 满足上面假设 (A2) 的非平凡函数是存在的. 例如 $f(y(s))=(f_m(y_m(s))_{m\in \mathbb{Z}}$,其中 $y_m(\cdot)\in C([-h, 0]; \mathbb{R})$, 对某个给定的自然数 $N_0$, 定义

则 (2.7) 式显然成立 (取 $L_f=1$), 且直接计算可得

关于问题 (2.2)-(2.3) 解的局部存在性, 我们有下面结果.

引理2.1 设条件 (A1)-(A2) 成立. 则对任意 $K>0$, 对满足 $u_\tau=\phi(\cdot)\in E$,$\|\phi(\cdot)\|_{E}\leqslant K$ 的初值, 存在 $T_0=T_0(K)>\tau$, 使得问题 (2.2)-(2.3) 至少存在一个定义在 $[\tau, T_0]$ 上的解, 并有 $u(\cdot)\in C^1([\tau, T_0]; \ell^2)$, 且 $\displaystyle \frac{{\mathrm d}u}{{\mathrm d}t}=F(u_{t}, t)$ 在 $[\tau, T_0]$ 上几乎处处成立. 另外, 若上面的解 $u(\cdot)$ 的最大存在区间为 $[\tau, T_*)$ 且存在某常数 $C_0>0$ 使得 $\|u_t\|_{E}\leqslant C_0$, $\forall\,t\in [\tau, T_*)$, 则 $T_*=\infty$, 即 $u(\cdot)$ 全局存在.

证 首先由 (2.7) 式知映射 $f:E\rightarrow \ell^2$ 把有界集映射成有界集. 下证映射 $f:E\rightarrow \ell^2$ 是序列弱连续的.设 $n\rightarrow\infty$ 时 $\xi^{(n)}=\xi^{(n)}(\cdot)=(\xi^{(n)}_m(\cdot))_{m\in \mathbb{Z}}\rightarrow \xi(\cdot)=(\xi_m(\cdot))_{m\in \mathbb{Z}}=\xi$ 在 $E_{\rm w}$ 中收敛. 则存在常数 $K_1>0$ 使得 $\|\xi(\cdot)\|_{E}\leqslant K_1$, $\|\xi^{(n)}(\cdot)\|_{E}\leqslant K_1$, $n=1,2,\cdots$. 故存在常数 $K_2=K_2(K_1)>0$ 使得 $\|f(\xi(\cdot))\|\leqslant K_2$, $\|f(\xi^{(n)}(\cdot))\|\leqslant K_2$, $n=1,2,\cdots$.任取 $\zeta=(\zeta_m)_{m\in \mathbb{Z}}\in \ell^2$, 则对任意 $\epsilon>0$, 存在 $K_3=K_3(\epsilon)\in \mathbb{N}$ 使得$\sum_{|m|\geqslant K_{3}}|\zeta_{m}|^2<\epsilon$.同时, 由 $n\rightarrow\infty$ 时 $\xi^{(n)}(\cdot)=(\xi^{(n)}_m(\cdot))_{m\in \mathbb{Z}}\rightarrow \xi(\cdot)=(\xi_m(\cdot))_{m\in \mathbb{Z}}$ 在 $E_{\rm w}$ 中收敛知对每个 $m\in \mathbb{Z}$ 有 $\xi_{m}^{(n)}(\cdot)\rightarrow \xi_{m}(\cdot)$ 在 $C([-h, 0], \mathbb R)$ 中收敛 ($n\rightarrow\infty$). 因此, 对上述$\epsilon>0$, 存在 $N_0=N_0(\epsilon, K_3)\in \mathbb{N}$ 使得

因此, 当时 $n>N_0$ 有

注意到 $A+\lambda I : E \longmapsto \ell^2$ 是有界线性算子, 且 $g(t)=(g_{m}(t))_{m\in\mathbb Z}\in C(\ell^2_{\rm w})$.故 $F(u_{t}, t): E\times[\tau, \infty) \longmapsto \ell^2$ 是弱连续算子.

下面进一步证明 $F(u_{t}, t): E\times[\tau, \infty) \longmapsto \ell^2$ 是连续算子.注意到 $A+\lambda I : E \longmapsto \ell^2$ 是有界线性算子, 而 $g(t)=(g_{m}(t))_{m\in\mathbb Z}\in C(\ell^2)$, 故只需证明$f(\cdot): E\longmapsto \ell^2$ 是连续算子. 为此设 $n\rightarrow\infty$ 时 $\xi^{(n)}=\xi^{(n)}(\cdot)=(\xi^{(n)}_m(\cdot))_{m\in \mathbb{Z}}\rightarrow \xi(\cdot)=(\xi_m(\cdot))_{m\in \mathbb{Z}}=\xi$ 在 $E$ 中收敛. 则对任意 $\epsilon>0$, 存在 $N_0=N_0(\epsilon)\in \mathbb{N}$, 使得 $n>N_0$ 时对任意 $s\in [-h, 0]$ 都有$\sum_{m\in \mathbb{Z}}|\xi^{(n)}_m(s)-\xi_m(s)|^2<\varepsilon.$由 (2.7) 式得

从而 $f(\cdot): E\longmapsto \ell^2$ 的连续性得证. 应用文献[定理 4-6]的结论即得到引理 2.1 的结果.

下面对引理 2.1中得到的局部解进行估计.

引理2.2 设条件(A1)-(A2) 成立. 记 $u(\cdot)$ 为问题 (2.2)-(2.3) 在初始时刻 $\tau$ 以 $u_{\tau}(s)=\phi(s)\in E$ 为初值的解, 其最大存在区间为 $[\tau-h, T_*)$. 则有

其中 $\eta$ 是满足 (2.8) 式的常数.

证 设 $u(\cdot)$ 为问题 (2.2)-(2.3) 在初始时刻 $\tau$ 以 $u_{\tau}(s)=u=\phi(s)\in E$ 为初值的解, 其最大存在区间为 $[\tau-h, T_*)$.注意到对每个 $\theta\in [\tau-h, T_*)$ 有 $u(\theta)\in\ell^2$. 用 $u(\theta)$ 与方程 (2.2) 作内积 $(\cdot, \cdot)$ 得

因为 $(Au(\theta), u(\theta))=\|Bu(\theta)\|^2\geqslant 0$, $(\lambda u(\theta), u(\theta))=\lambda\|u(\theta)\|^2$, 由上面等式结合 Cauchy 不等式易得

(这里及文后) 设 $\eta$ 是满足 (2.8) 式的某个常数, 在不等式 (2.13) 两边同时乘以 ${\rm e}^{\eta \theta}$, 可得

对任意 $t\in (\tau, T_*)$, 对不等式 (2.14) 关于 $\theta$ 在区间 $[\tau,t]$ 积分并应用 (2.9) 式, 可得

注意到 $\|u(s)\|=\|\phi(s)\|\leqslant \|u_\tau\|_{E}$, $\forall s\in [-h, 0]$. 因此, 由上面不等式得

故对任意 $s\in [-h, 0]$, 有

因此,

由引理 2.1 和引理 2.2, 我们得到问题 (2.2)-(2.3) 解的全局存在性.

引理2.3 设条件(A1)-(A2)成立. 则对任意 $u_\tau=\phi\in E$, 问题 (2.2)-(2.3) 至少存在一个定义在 $[\tau-h, \infty)$ 上以 $u_\tau$ 为初值的解.

证 对任意 $u_\tau=\phi\in E$, 设 $u(\cdot)$ 是问题 (2.2)-(2.3) 以 $u_\tau$ 为初值的解. 由 (2.12) 式和条件 (A1) 得

上式结合引理 2.1 即得引理 2.3 的结论.

下面证明问题 (2.2)-(2.3) 解关于初值的唯一性.

引理2.4 设条件 (A1)-(A2) 成立. 则对任意 $u_\tau=\phi\in E$, 问题 (2.2)-(2.3) 存在唯一一个定义在 $[\tau-h, \infty)$ 上以 $u_\tau$ 为初值的解.

证 设 $u_\tau=\phi\in E$, $u^{(1)}(\cdot)$ 和 $u^{(2)}(\cdot)$ 是问题 (2.2)-(2.3) 以 $u_\tau$ 为初值的两个解. 记 $\tilde{u}=\tilde{u}(\cdot)=u^{(1)}(\cdot)-u^{(2)}(\cdot)$, 则 $\tilde{u}(\cdot)$ 满足

用 $\tilde{u}(\theta)$ 与 (2.17) 式作内积 $(\cdot, \cdot)$, 然后应用 Cauchy 不等式, 得

在不等式 (2.19) 两边同时乘以 ${\rm e}^{\eta \theta}$, 可得

对任意 $t>\tau$, 对不等式 (2.20) 两边关于 $\theta$ 在区间 $[\tau, t]$ 上积分, 得

这里用到了 $\|\tilde{u}_\tau\|^2_{E}=0$ 和 (2.8) 式. 唯一性得证.

根据引理 2.3 和 2.4, 对每一给定的初值 $u_{\tau}=\phi\in E$, 问题 (2.2)-(2.3) 对应存在唯一一个全局解 $u(\cdot)\in C([\tau-h, \infty); \ell^2)\cap C^1([\tau, \infty); \ell^2)$, 且 $u_t(\cdot)\in E$, $t\in [\tau, \infty)$.因此, 解映射

在空间 $E$ 上生成一个过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$, 其中 $ u_{t}(\cdot)=u(t+\cdot)\in E$ 表示问题 (2.2)-(2.3) 在 $\tau$ 时刻以 $\phi$ 为初值的解. 下面证明过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 的连续性.

引理2.5

假设条件 (A1)-(A2) 成立, 则 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 是 $E$ 上的连续过程, 即对于给定的 $t$ 和 $\tau$, $U(t,\tau):E\rightarrow E$ 是连续映射.

证 设 $u^{(k)}(t+\cdot)=u^{(k)}_t(\cdot)=U(t, \tau)u^{(k)}_{\tau}$, $(k=1, 2)$, 分别为问题 (2.2)-(2.3) 在初始时刻 $\tau$ 以 $u^{(k)}_{\tau}$ 为初值的两个解, 记 $\tilde{u}(\cdot)=u^{(1)}(\cdot)-u^{(2)}(\cdot)$. 由 (2.21) 式得

而 $t+s\in[\tau-h, \tau]$ 时, 有 $\|\tilde{u}(t+s)\|^2\leqslant \|u^{(1)}_{\tau}-u^{(2)}_{\tau}\|^2_{E}$. 综上有

在这一节中, 我们先证明过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 中存在有界拉回吸收集, 然后证明其具有拉回渐近紧性和拉回吸引子. 有界拉回吸收集和拉回吸引子的定义可参考文献[31].

文后用 $\mathcal{P}(\bullet)$ 表示某集合 $\bullet$ 的所有子集形成的集合族. 考虑 $\mathcal{P}(E)$ 中的一类子集族$\mathcal{D}_{\eta}$, 其中的元素 $\hat{D}=\{D(s)\in E|s\in\mathbb R\}$ 满足下面特征

显然, $E$ 中任何与时间无关的有界集都属于 $\mathcal{D}_{\eta}$.

下面证明过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 中有界拉回吸收集的存在性.

引理3.1 假设条件 (A1)-(A2) 成立. 则对任意 $\hat{D}=\{D(s)|s\in\mathbb R\}\in\mathcal{D}_{\eta}$,存在 $\tau_{0}=\tau_{0}(t,\hat{D})\leqslant t$, 使得 $U(t,\tau)D(\tau)\subset\mathcal{B}_{0}(t)$, $\forall \tau\leqslant\tau_{0}$, 其中 $\mathcal{B}_{0}(t)=\mathcal{B}_{0}(0; R_{0}(t))$ 是 $E$ 中以原点为球心以 $R_{0}(t)$ 为半径的闭球.

证 记 $R_{0}(t)>0$ 使得

则由 (2.12) 式知 $\hat{\mathcal{B}_{0}}=\{\mathcal{B}_{0}(0; R_{0}(t))\, | t\in \mathbb{R}\}$ 满足引理 3.1.

上面引理中的集合族 $\hat{\mathcal{B}}_{0}$ 称为过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 中的有界拉回吸收集. 下面证明过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 中具有拉回渐近紧性.

定义3.1 设 $t\in \mathbb{R}$ 给定. 若对任意满足 $\tau_n\leqslant t$且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\tau_n=-\infty$ 的数列 $\{\tau_n\}_{n\geqslant 1}$,任意 $\hat{D}=\{D(s)\in E\, | s\in \mathbb{R}\}\in \mathcal{D}_\eta$, $u_{\tau_n}\in D(\tau_n)$, 序列 $\{U(t, \tau_n)u_{\tau_n}\}_{n\geqslant 1}$在 $E$ 中存在收敛的子列, 则称过程 $\{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 在 $E$ 中是拉回渐近紧的.

过程的拉回渐近紧性在拉回吸引子的存在性中起重要作用. 为证明过程的拉回渐近紧性, 我们需用到下面的 Ascoli-Arzela 定理

引理3.2^{[29,定理 II3.1]} 设 $X$ 是紧的度量空间, $(Y, d)$ 是完备度量空间, $C(X;Y)$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射全体, $C(X;Y)$ 中的度量定义为$D(\psi_1,\psi_2)=\max\limits_{s\in X}d(\psi_1(s), \psi_2(s))$. 若子集 $\mathcal{K}\subset C(X;Y)$ 满足

(1) 对任意 $s\in X$, $\mathcal{\mathcal{K}}(s)=\{\psi(s) |\psi\in \mathcal{K}\}$ 是 $Y$ 中相对紧集;

(2) $\mathcal{\mathcal{K}}$ 等度连续.则 $\mathcal{\mathcal{K}}$ 是 $C(X;Y)$ 中相对紧集.

为证明引理 3.2 中的条件 (1), 我们下证明解的截尾估计.

引理3.3 假设条件 (A1)-(A2) 成立. 任取 $\hat{D}=\{D(s)\in E\, | s\in \mathbb{R}\}\in \mathcal{D}_\eta$.则对于给定的 $t\in\mathbb R$, $\forall\epsilon>0$, 存在 $\tau_{*}=\tau_{*}(t, \epsilon, \hat{D})\leqslant t$ 和 $M_{*}=M_{*}(t, \epsilon, \hat{D})$, 使得问题 (2.2)-(2.3) 的以 $u_{\tau}\in D(\tau)$ 为初值的解 $u_{t}=(u_{it})_{i\in\mathbb Z}$ 满足

证 根据 Urysohn 引理, 我们可以选取光滑函数 $\chi(x)\in C^1({\mathbb R}_+;[0, 1])$ 使得

其中 $\chi_0$ 为某正数. 考虑任意的 $\hat{D}=\{D(t)|t\in\mathbb R\}\in\mathcal{D}_{\eta}$, 对任意 $t,\tau\in\mathbb R$, $t\geqslant\tau$, 记 $u_{t}=(u_{it})_{i\in\mathbb Z}\in E$ 是问题 (2.2)-(2.3) 以 $u_{\tau}\in D(\tau)$ 为初值的解. 设 $M$ 为某自然数, 记$v_{i}(\cdot)=\chi(\frac{|i|}{M})u_{i}(\cdot), i\in\mathbb Z.$用 $v(t)=(v_{i}(t))_{i\in\mathbb Z}$ 与方程 (2.2) 在 $\ell^2$ 中作内积 $(\cdot, \cdot)$ 得

接下来，我们逐一估计方程 (3.5) 中的项. 首先

其中 $\tilde{i}$ 是介于 $|i|$ 和 $|i+1|$ 之间的数, $\tau_0$ 是引理 3.1 中的拉回吸收时间. 同时, 直接计算可得

则由方程 (3.6)-(3.10) 知当 $\tau\leqslant \tau_0$ 时有

将方程 (3.11) 乘上 ${\rm e}^{\eta t}$, 由条件 (A1)-(A2), 可得

现考虑任意的 $\epsilon>0$, 显然存在 $M_{1}=M_{1}(t, \epsilon)\in\mathbb N$ 使得

把 (3.13) 式代入不等式 (3.12)中, 就有

对 (3.14) 式在 $[\tau,t]$ 上积分, 经计算可得

因此

让 $t>h$, 对任意 $s\in[-h, 0]$, 有 $t+s>0$ 且

由条件 (A1) 易知对上述 $\epsilon>0$, 存在 $M_{2}=M_{2}(t,\tau)\in \mathbb N$ 使得

由 (3.1) 式知对上述 $\epsilon>0$, 存在 $\tau_{1}=\tau_{1}(t,\epsilon,\hat{D})$ 使得

取 $M_{*}=\max\{M_{1},M_{2}\}$, $\tau_{*}=\min\{\tau_0, \tau_{1}\}$. 由 (3.17)-(3.19) 式即得 (3.3) 式.

引理3.4 假设条件 (A1)-(A2) 成立. 则过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 中是拉回渐近紧的.

证 设 $t\in \mathbb{R}$ 给定. 任取数列 $\{\tau_n\}_{n\geqslant 1}$ 满足: $\tau_n\leqslant t$ 且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\tau_n=-\infty$, 任取 $\hat{D}=\{D(s)\in E\, | s\in \mathbb{R}\}\in \mathcal{D}_\eta$, $u_{\tau_n}\in D(\tau_n)$. 下证序列 $\{U(t, \tau_n)u_{\tau_n}\}_{n\geqslant1}$ 在 $E$ 中存在收敛的子列. 记 $u^{(n)}_t=U(t, \tau_n)u_{\tau_n}$, $n=1, 2, \cdots$. 则由 (2.12) 式得

注意到 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\tau_n=-\infty$, 而$u_{\tau_n}\in D(\tau_n)$,因此有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|u_{\tau_n}\|^2_{E}{\rm e}^{\eta \tau_n}=0$. 从而存在与 $n$ 无关的常数 $C>0$ 使得

这说明序列 $\{u^{(n)}_{t}\}_{n\geqslant 1}$ 在 $E$ 中一致有界.由于 $\ell^2$ 是自反 Banach 空间, 因此对任意 $s\in [-h, 0]$ 存在子列 $n_k$ 和某 $\varpi\in \ell^2$ 使得在 $\ell^2$ 中有$u^{(n_k)}(s)\rightharpoonup\varpi$. 因此对任意 $\epsilon>0$ 存在 $M_3=M_3(\epsilon)>0$ 和 $N(\epsilon)$ 使得$\sum\limits_{|i|>M_3}|\varpi_i|^2< \epsilon$, $\sum\limits_{|i|>M_3}|u_i^{(n_k)}(s)|^2 <\epsilon$ 且当 $n_k\geqslant N(\epsilon)$ 时有$\sum\limits_{|i|\leqslant M_3}|u_i^{(n_k)}(s)-\varpi|^2 <\epsilon$. 故

上式表明对任意 $s\in [-h, 0]$, $\{u^{(n)}(s)\}_{n\geqslant 1}$ 在 $\ell^2$ 中有收敛子列.

下证 $\{u^{(n)}_{t}\}_{n\geqslant 1}$ 在 $E$ 中等度连续. 事实上, 不妨设 $-h\leqslant s_1\leqslant s_2\leqslant 0$ 且对任意 $n\in \mathbb{N}$ 有 $t+s_1\geqslant \tau_n$, 由 (2.6) 和 (3.21)式知存在与 $n$ 无关的常数 $\tilde{C}>0$ 使得

这里用到 $F(u_{\theta}, \theta): E\times [\tau, \infty)\longmapsto \ell^2$ 是有界映射的事实.由 Ascoli-Arzela 定理知序列 $\{u^{(n)}_{t}\}_{n\geqslant 1}$ 在 $E$中存在收敛子列.

结合引理 2.5, 3.1 和引理 3.4 以及经典的无穷维动力系统理论 (见文献[31,定理 2.23]), 我们得到本节的主要结果如下

定理3.1 设条件(A1)-(A2) 成立. 则问题 (2.2)-(2.3) 的解映射生成的过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 中存在拉回 $\mathcal{D}_{\eta}-$ 吸引子 (记为) $\hat{\mathcal{A}}_{\mathcal{D}_{\eta}}=\{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{\eta}}(t)|t\in\mathbb R\}$, 满足

(1)紧性: $\forall t\in\mathbb R$, $\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{\eta}}(t)$ 是 $E$ 中的非空紧子集;

(2)不变性: $U(t,\tau)\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{\eta}}(\tau)=\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{\eta}}(t), \forall t\geqslant\tau$;

(3)拉回吸引性: 对任意 $\hat{D}=\{D(t)|t\in\mathbb R\}\in\mathcal{D}_{\eta}$ 有

其中 ${\rm dist}_{E}(\cdot, \cdot)$ 表示 $E$ 上的Hausdorff半距离.

在本节中, 我们先证明过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 中具有 $\tau$-连续性, 然后证明其存在一族不变 Borel 概率测度.

首先, 由 (2.16) 式可得到下面结论.

引理4.1 假设条件 (A1)-(A2)成立. 则对任意给定的 $t\in\mathbb R$ 和 $\phi\in E$, 存在常数 $C_1=C_1(t, \phi)>0$ 使得

其中 $u(t, \tau; \phi)$ 为问题 (2.2)-(2.3) 在 $\tau$ 时刻以 $\phi$ 为初值的解, 常数 $C_1$ 与 $\tau$ 无关.

下面证明 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 在 $E$ 上具有某种 $\tau$-连续性.

引理4.2 假设条件 (A1)-(A2)成立. 则对任意给定的 $t\in\mathbb R$ 和 $\phi\in E$, $E$-值映射 $\tau\rightarrow U(t,\tau)\phi$ 在 $(-\infty, t-2h]$ 上连续.

证 设 $\phi\in E$ 和 $t\in\mathbb R$ 给定. 任取 $\tau_{*}\in(-\infty,t-2h]$, 我们证明 $E$-值函数 $\tau\rightarrow U(t,\tau)\phi$ 在 $\tau=\tau_{*}$ 处连续. 为此, 只需证明对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta=\delta(\varepsilon,\tau_{*},\phi)>0$ (不妨设 $\delta<h$), 使得

先证明在 $\tau=\tau_{*}$ 处左连续性, 此时 $\tau\leqslant \tau_*\leqslant t-2h$. 记 $u(\cdot)=u(\cdot, \tau; \phi)$ 和 $u^*(\cdot)=u^*(\cdot, \tau_*; \phi)$ 分别为问题(2.2)-(2.3) 在 $\tau$ 时刻和 $\tau_*$ 时刻以 $\phi$ 为初值的两个解. 考虑任意的 $s\in [-h, 0]$, 有 $t+s\geqslant \tau_*$. 由 (2.6), (2.7) 式和 (4.1) 式可得

由 (2.9) 式和 Cauchy 不等式得

其中 $C_2=C^{1/2}_f\Big(\max\limits_{\theta\in[\tau_*-h, t]}{\rm e}^{\eta \theta}\Big)\displaystyle\bigg(\int_{\tau_*}^{t}{\rm e}^{-\eta s}\mathrm{d}\theta\bigg)^{1/2}$ 与 $\tau$ 和 $s$ 无关.类似地, 存在常数 $C_3>0$ 与 $\tau$ 和 $s$ 无关, 使得

记 $Y(t+s)=\|u(t+s)-u^*(t+s)\|$, $s\in [-h, 0]$. 则由上不等式, (4.3) 和 (4.4) 式, 得

由此易得

对 (4.5)式应用 Gronwall 不等式, 得

其中常数 $C_4=2((2+\lambda)C_1+L_f)^2 {\rm e}^{2(C_2+C_3)^2(t-\tau_*+h)}$ 与 $\tau$ 和 $s$ 无关. 由 $s\in [-h,0]$ 的任意性得

上式表明当 $\tau\leqslant \tau_*\leqslant t-2h$ 时, (4.2) 式成立, 在 $\tau=\tau_*$ 处的左连续性得证.

当 $\tau_*\leqslant \tau$ 时, 可限制 $\delta\leqslant h$. 因 $\tau\leqslant t-2h$, 此时对任意 $s\in [-h, 0]$, 必有 $t+s\geqslant \tau\geqslant \tau_*$. 剩余证明与上面类似, 在此略去.

接下来, 我们应用广义Banach极限, 定理 3.1 中得到的拉回吸引子以及上面证明的过程的 $\tau$-连续性来构造其不变测度.

定义4.1^{[26, 32]} 记 $\Gamma$ 为 $\mathbb R$ 上所有有界实值函数全体构成的集合. 广义Banach极限(记作 ${\rm LIM}_{\cdot\rightarrow -\infty}$)是指任何定义在 $\Gamma$ 上且满足下面两个性质的线性泛函

(1) 对任何非负函数 $h(\cdot)$, 有 ${\rm LIM}_{\cdot\rightarrow-\infty}h(\cdot)\geqslant0$;

(2) 如果通常意义下的极限 $\lim\limits_{\cdot\rightarrow-\infty}h(\cdot)$ 存在, 则 ${\rm LIM}_{\cdot\rightarrow-\infty}=\lim\limits_{\cdot\rightarrow-\infty}h(\cdot)$;

由 Hahn-Banach 定理可知广义 Banach 极限的存在性, 且有下面的性质[33,(1.38) 式]

其中 $\mathcal{B}$ 表示 $\mathbb{R}$ 上的所有有界实值函数全体.

本文的主要结果如下

定理4.1 设条件 (A1)-(A2) 成立, 广义Banach极限 ${\rm LIM}_{\cdot\rightarrow -\infty}$ 和 $\phi_{*}\in E$ 给定. 则在 $E$ 上存在唯一一族Borel概率测度 $\{\mu_{t}\}_{t\in\mathbb R}$, 使得对每个 $t\in \mathbb{R}$, $\mu_{t}$ 的支集包含于 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{\eta}}(t)$, 且有

其中 $\Phi$ 是 $E$ 上连续有界实值函数. 另外, $\mu_{t}$ 满足如下不变性

证 该定理在文献[20,定理3.1]的基础上做了一些改进, 证明思想和方法与之类似. 与文献[20,定理3.1]相比, 这里只有 $E-$ 值映射 $\tau\rightarrow U(t,\tau)\phi$ 在 $(-\infty, t-2h]$ 上的连续性, 而文献[20,定理3.1] 要求 $\tau\rightarrow U(t,\tau)\phi$ 在 $(-\infty, t]$ 上的连续性. 这里只给出证明映射 $\displaystyle\tau\longmapsto \frac{1}{t-\tau}\int_\tau^t\Phi(U(t, \theta)\phi_*)\mathrm{d}\theta$ 在 $(-\infty, t]$ 上有界时与文献[20,定理3.1]中证明不同的地方, 其中 $t\in \mathbb{R}$, $\phi_{*}\in E$ 和 $E$ 上的连续有界实值函数 $\Phi$ 都给定. 由性质(4.7)知只需证明函数 $\theta\longmapsto \Phi(U(t, \theta)\phi_*)$ 在 $(-\infty, t]$ 上有界. 事实上, 由拉回吸引子的存在性(定理3.1), $E-$值映射 $\theta\rightarrow U(t,\theta)\phi$ 在 $(-\infty, t-2h]$ 上的连续性以及过程的拉回渐近紧性 (引理 3.4), 我们不难证明函数$\theta\longmapsto \Phi(U(t, \theta)\phi_*)$ 在 $(-\infty, t-2h]$ 上有界. 下证函数 $\theta\longmapsto \Phi(U(t, \theta)\phi_*)$ 在 $[t-2h, t]$ 上有界. 为此, 只需证明函数 $\theta\longmapsto \|U(t, \theta)\phi_*\|_{E}$ 在 $[t-2h, t]$ 上有界. 记 $u(\cdot)=u(\cdot, \theta; \phi_*)$ 为问题 (2.2)-(2.3) 在 $\theta$ 时刻以 $\phi_*$ 为初值的解. 则

而由类似于 (2.16) 式的推导可知对任意 $s\in [-h, 0]$ 有

上式表明存在与 $\theta$ 和 $s$ 无关的常数 $C_5>0$ 使得

综上知函数 $\theta\longmapsto \Phi(U(t, \theta)\phi_*)$ 在 $(-\infty, t]$ 上有界. 剩余证明与文献[20,定理 3.1]类似, 在此略去.

文章最后我们想指出, 定理 4.1 中构造出空间 $E=C([-h,0];\ell^2)$ 中的一族不变 Borel 概率测度 $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$,但方程 (2.2) 是在空间 $\ell^2$ 中成立. 因此, $\{\mu_t\}_{t\in \mathbb{R}}$ 不可能是方程 (2.2) 的统计解. 虽然我们可以像文献[34,定义 4.3]那样借助于试验函数给出方程 (2.2) 的统计解的定义, 但其存在性是值得进一步研究的问题.