在现代工农业、生物医药、航空航天等领域中, 试验设计的驱动影响日益提高并发挥着越来越重要的作用. 空间填充设计广泛应用于计算机试验, 它是将试验点均匀地散布在试验区域内, 使设计点能够在试验区域有充分的代表性. 设计的正交性可以用于辅助构造空间填充设计 ^[1-3]. 由于试验场景日趋复杂, 具有较多试验次数和因子数的大规模设计的需求日益增长. 文献 ^[4-6] 基于编码映射的方式使用两水平设计构造四水平设计. Wang 和 Yang^[7] 基于旋转法构造具有灵活水平数的正交空间填充设计. 更多关于基于旋转法构造优良设计的研究见文献^[8-15].

设计的分层正交性可以在最小低阶混杂准则中体现. Fries 和 Hunter ^[16] 在效应排序原则下提出了最小低阶混杂准则, 并用来衡量正规部分因析设计的优良性. Tang 和 Deng^[17] 首次提出了最小 $ G_2 $-混杂准则, 用于评判非正规两水平部分因析设计的优劣. 文献 [18,19] 基于方差分析模型定义了广义字长型, 并提出了广义最小低阶混杂准则, 用于评价和比较一般的因析设计. Tang 和 Xu^[20] 提出了字长计数器的概念, 开发了一种快速计算广义字长型和 $ \beta $ 字长型的方法, 并获得了字长型计数器的下界. 对于广义强正交表, Tian 和 Xu^[21] 定义了空间填充模式来体现分层正交性, 并提出了最小低阶混杂空间填充准则来对空间填充设计进行评价和排序. Tian 和 Xu^[22] 进一步提出了分层型计数器的概念, 用于快速计算空间填充模式.

本文提出了两种基于旋转法由两水平设计构造四水平空间填充设计的方法, 并研究了所构造设计的性质. 文献[4,5]使用编码映射构造四水平设计时, 将初始设计的列进行分组组合, 再进行映射, 而得到最优的组合方式是困难的. Hu 等^[6] 使用 Doubleing 的方法避免了列组合的问题, 但编码映射后得到的设计第一个行块每次试验仅有水平 1 和 3 的组合, 第二个行块每次试验仅有水平 0 和 2 的组合. 本文使用 Kronecker 和的方法同样避免了文献 [4,5] 列组合的问题, 使用旋转法得到的设计处理的水平组合更灵活. 基于 Wang 和 Yang^[7] 的构造方法, 可以由两水平初始设计构造了一类四水平空间填充设计, 其试验次数和因子数均为初始设计的两倍, 且具有良好的分层特性. 本文以三阶拉丁方设计作为旋转矩阵, 由两水平初始设计构造的四水平空间填充设计规模更大, 其试验次数和因子数分别为初始设计的四倍和三倍, 该类设计可保持初始设计的优良性质, 且在分层性质上比 Wang 和 Yang^[7] 更好. 文献 [8-15] 在使用旋转法构造设计时, 研究其正交性、距离属性或其他的一些特征, 本文从 Tian 和 Xu^[21] 空间填充型准则的角度对旋转法所构造的设计进行研究, 得到具有较好的空间填充型设计.

本文在字长计数器和分层型计数器下分别研究了所构造的四水平空间填充设计与两水平初始设计之间的联系, 建立了四水平空间填充设计的字长计数器和分层型计数器与两水平初始设计距离分布的解析关系, 得到了四水平空间填充设计的广义字长型和空间填充型与初始设计广义字长型的解析关系, 并获得了四水平空间填充设计的字长计数器和分层型计数器下界, 为筛选设计提供评价标准.

本文剩余部分的结构如下. 第 2 节介绍了基本概念和符号. 第 3 节和第 4 节分别提出构造四水平空间填充设计的第一类旋转法 (基于 Wang 和 Yang ^[7]) 和第二类旋转法 (基于三阶拉丁方设计), 并研究所构造设计的相关性质. 第 5 节提供了一些数值例子来验证本文的结论, 并且比较了本文所构造的设计与其他设计的优劣. 第 6 节是结论.

设 $ X $ 是一个具有 $ n $ 次试验、$ m $ 个 $ s $ 水平因子的设计, 其设计阵是一个 $ n $ 行、 $ m $ 列的矩阵 $ X = (x_{ij})_{n \times m} $, $ X $ 的每一行表示一次试验, 每一列表示一个因子, 且每个元素的取值来自模 $ s $ 的整数环 $ Z_s = \{0, 1, \cdots, s-1\} $. 若每一列中各水平出现的次数相同, 即每个水平出现 $ n/s $ 次, 则称设计 $ X $ 为 U-型设计. 所有具有 $ n $ 次试验、$ m $ 个 $ s $ 水平因子的 U-型设计的集合记为 $ \mathcal{U}(n; s^m) $. 若具有 $ n $ 次试验、$ m $ 个 $ s $ 水平因子的设计 $ X $ 的任意两列都是正交的, 即其相关系数为 0, 则称设计 $ X $ 为正交设计, 并记为 $ OD(n; s^m) $.

记 $ OA(n, m, s_1\times\cdots\times s_m, t) $ 为具有 $ n $ 次试验、$ m $ 个因子且强度为 $ t $ 的正交表, 其中第 $ i $ 个因子为 $ s_i $ 水平且其元素取自 $ Z_{s_i} $, $ OA(n, m, s_1\times\cdots\times s_m, t) $ 可表示为一个 $ n \times m $ 矩阵, 在其任意 $ t $ 列子矩阵中所有可能的水平组合出现的频率相同. 若$ s_1=\cdots=s_m=s $, 则正交表 $ OA(n, m, s_1\times\cdots\times s_m, t) $ 称为是对称的, 并记为 $ OA(n, m, s, t) $. 强度为 1 的正交表 $ OA(n, m, s, 1) $ 即为具有 $ n $ 次试验、$ m $ 个 $ s $ 水平因子的 U-型设计. 特别地, 称 $ OA(n, m, n, 1) $ 为拉丁超立方体设计 (LHD), 即为具有 $ n $ 次试验、$ m $ 个 $ n $ 水平因子的 U-型设计. 具有 $ n $ 次试验、$ m $ 个 $ s^p $ 水平因子且强度为 $ t $ 的广义强正交表可表示为 $ GSOA(n, m, s^p, t) $, 它的任意 $ g $ 列可塌缩为 $ OA(n, g, s^{u_1}\times\cdots\times s^{u_g}, g), 1\leq g\leq t $, 正整数集 $ \{u_1, \cdots, u_g\} $ 满足 $ u_1+\cdots+ u_g=t $, 且 $ u_i\leq p, i=1, \cdots, g $. 强度为 $ t $ 的广义强正交阵列投影到 $ s^t $ 的子空间上均能实现分层. 特别地, 当 $ p=t $ 时, 广义强正交表 $ GSOA(n, m, s^t, t) $ 称为强正交表, 并记为 $ SOA(n, m, s^t, t) $. 当 $ p=1 $ 时, 广义强正交表 $ GSOA(n, m, s^p, t) $ 即为强度为 $ t $ 的正交表 $ OA(n, m, s, t) $.

$ GF(s) $ 表示 $ s $ 阶的 Galois 域. 对于 $ GF(s) $ 上的 $ n\times m $ 矩阵 $ D $, 其任意两不同列的差以相同频率包含 $ GF(s) $ 上的元素, 则称 $ D $ 为 $ GF(s) $ 上的差阵, 记为 $ D(n, m, s) $.

对任意的设计 $ X\in\mathcal{U}(n; s^m) $, 令 $ x_a=(x_{a1}, \cdots, x_{am}) $ 和 $ x_b= (x_{b1}, \cdots, x_{bm}) $ 分别为设计 $ X $ 的第 $ a $ 行和第 $ b $ 行, 设计 $ X $ 第 $ a $ 行和第 $ b $ 行的 Hamming 距离定义为 $ d_H(x_a, x_b )=|\{(x_{aj}, x_{bj}): x_{aj} \neq x_{bj}, j=1, \cdots, m\}| $, 即 $ a, b $ 两行对应位置元素不相等的个数, 其中 $ |\cdot| $ 表示集合中元素的个数. 设计 $ X $ 第 $ a $ 行和第 $ b $ 行的相遇数定义为 $ \delta(x_a, x_b)=m-d_H (x_a, x_b ) $. 令 $ B_i(X)=\frac{1}{n}|\{({a, b}): d_H({x_a, x_b})=i, a, b = 1, \cdots, n\}| $, $ i=0, \cdots, m $. 向量 $ B(X)=(B_0(X), B_1(X), \cdots, B_m(X)) $ 称为设计 $ X $ 的距离分布. Hamming 距离在因析设计理论的发展具有至关重要的作用. 然而对于一般的强正交阵列, Hamming 距离无法得到关于分层的细节. 为了捕捉分层结构, Tian 和 Xu^[22] 借用了编码理论中 NRT-距离的概念, 其中 NRT-距离是以 Niederreiter、Rosenbloom 和 Tsfasman 的名字命名 ^[23], 是 Hamming 距离的推广.

对任意的元素 $ x\in Z_{s^p} $ 及 $ i=1, \cdots, p $, 定义 $ Z_{s^p} $ 到 $ Z_{s^i} $ 映射 $ f_i(x)=\lfloor x/s^{p-i}\rfloor $, 其中 $ \lfloor x\rfloor $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数. 对任意的 $ x, y\in Z_{s^p} $, 其 NRT-距离 $ \rho(x, y) $ 定义为

$ x\in Z_{s_p} $ 的 NRT-权重记为 $ \rho(x)=\rho(x, 0) $.

由 NRT-距离的定义可知它是 Hamming 距离的一般化. 例如, 当 $ x, y\in Z_{2^2} $ 时, 其 NRT-距离 $ \rho(x, y) $ 可表示为

其中 $ \Omega_1=\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}, \Omega_2=\{(0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2)\}, \Omega_3=\{(0, 2), (2, 0), (0, 3),\\ (3, 0), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)\} $. 对任意的设计 $ X=(x_{ij})_{n\times m}\in\mathcal{U}(n; 4^m) $, 定义 $ \gamma_{a, b}=|\{(x_{aj},$$ x_{bj}): (x_{aj}, x_{bj})\in \Omega_1, j=1, \cdots, m\}|, \eta_{a, b}=|\{(x_{aj}, x_{bj}): (x_{aj}, x_{bj})\in \Omega_2, j=1, \cdots, m\}|, \sigma_{a, b}=|\{(x_{aj}, x_{bj}):(x_{aj}, x_{bj})\in \Omega_3, j=1, \cdots, m\}| $ 分别表示设计 $ X $ 的第 $ a $ 行与第 $ b $ 行同一列组成的元素对属于 $ \Omega_1, \Omega_2, \Omega_3 $ 的个数.

对任意的设计 $ X\in\mathcal{U}(n; s^m) $, 考虑如下方差分析模型

其中 $ Y $ 为 $ n\times1 $ 的观测值向量, $ Q_0 $ 是元素全为 1 的 $ n\times1 $ 的向量, $ \alpha_0 $ 是截距项, $ \alpha_j $ 是设计 $ X $ 所有 $ j $ 阶因子交互效应构成的向量, $ Q_j = (x^{(j)}_{ik})_{n \times m_j} $ 是 $ \alpha_j $ 的对照系数矩阵, $ j=1, \cdots, m, m_j=(s-1)^j{m \choose j}, \varepsilon $ 是独立随机误差向量. Xu 和 Wu^[18] 基于上述模型定义

向量 $ A(X)=(A_0(X), A_1(X), \cdots, A_m(X)) $ 称为设计 $ X $ 的广义字长型模式, 其中$ A_0(X)=1 $. 对于任意两个设计 $ X_1, X_2 \in \mathcal{U}(n; s^m) $, 若存在正整数 $ 1\leq r\leq m $, 使得 $ A_r(X_1)<A_r(X_2) $, 且 $ A_j(X_1)=A_j(X_2), j=1, \cdots, r-1 $, 则称设计 $ X_1 $ 比 $ X_2 $ 具有更小的广义低阶混杂. 若在 $ \mathcal{U}(n; s^m) $ 中不存在比设计 $ X_1 $ 更小的广义低阶混杂, 则称设计 $ X_1 $ 具有广义最小低阶混杂.

对任意的 $ u, x\in Z_{s^p} $, 定义 $ \chi_u(x)=\xi^{\langle u, x\rangle} $, 其中 $ \xi={\rm e}^{2\pi\sqrt{-1}/s} $ 为 $ s $ 次本原单位根, $ \langle u, x\rangle=\sum_{i=1}^pf_{p-i+1}(u)f_i(x) $ 表示 $ u $ 与 $ x $ 的逆内积. 对于向量 $ \mathrm{u}=(u_1, \cdots, u_m), \mathrm{x}=(x_1, \cdots, x_m)\in Z_{s^p}^m $, 令 $ \rho(\mathrm{x})=\sum_{i=1}^m\rho(x_i) $ 表示向量 $ \mathrm{x} $ 的NRT权重, 并定义 $ \chi_{\mathrm{u}}(\mathrm{x})=\prod_{i=1}^m\chi_{u_i}(x_i) $, 则其与方差分析模型中的正交对照相似, 可完全捕捉设计的分层特性, 并且不受模型的限制. 设 $ X $ 为一个广义强正交表 $ GSOA(n, m, s^p, t) $, 对任意的向量 $ \mathrm{u}\in Z^m_{s^p} $, 定义 $ \chi_{\mathrm{u}}(X)=\sum_{\mathrm{x}\in X}\chi_{\mathrm{u}}(\mathrm{x}) $, 其和式是对设计 $ X $ 的所有行 $ \mathrm{x} $ 进行求和. 对 $ j=0, \cdots, mp $, 定义

其中 $ \overline{\chi_{\mathrm{u}}(X)} $ 表示 $ \chi_{\mathrm{u}}(X) $ 的复共轭. 向量 $ S(X)=(S_0(X), \cdots, S_{mp}(X)) $ 称为设计 $ X $ 的空间填充模式 ^[21], 其中 $ S_0(X)=1 $. 空间填充模式表现为广义强正交表的强度. 当且仅当 $ X $ 的强度为 $ t $ 时, $ S_i=0, i=1, \cdots, t $. 最小混杂型空间填充准则选择设计 $ X $ 使得其空间填充模式 $ S(X) $ 序贯化最小.

设 $ \{p_0(x), p_1(x), \cdots, p_{s-1}(x)\} $ 为正交多项式基, $ \{y_0, y_1, \cdots, y_{s-1}\} $ 是具有 $ s $ 个元素的集合. 对任意的 $ u, v\in Z_s $, 其对照相似度定义为 $ R^M(u, v)=\sum_{i=0}^{s-1}{p_i(u)p_i(v)y_i} $. 对任意的 $ u, v \in Z_{s^p} $, 其加权相似度定义为 $ R^S(u, v)=\sum_{i=0}^{s^p-1}{\chi_i(u)\overline{\chi_i(v)}y^{\rho(i)}} $, 其中 $ y $ 为不确定变量. 对任意的设计 $ X\in \mathcal{U}(n; 4^m) $ 及 $ u, v \in Z_4 $, 取 $ y_0=1, y_i=y, i=1, 2, 3 $, $ u $ 与 $ v $ 的对照相似度 $ R^M(u, v) $ 和加权相似度 $ R^S(u, v) $ 分别表示为

对任意的设计 $ X\in\mathcal{U}(n; s^m) $, Tang 和 Xu ^[20] 基于上述对照相似度的概念定义了设计 $ X $ 的字长计数器 $ E(X) $, Tian 和 Xu^[22] 基于加权相似度定义了设计 $ X $ 的分层型计数器$ E(X) $, 它们均可统一表示为如下式子

其中 $ R(x_{aj}, x_{bj}) $ 为对照相似度或加权相似度.

对任意的设计 $ X\in\mathcal{U}(n; s^m) $, Tang 和 Xu ^[20] 建立了设计 $ X $ 的字长计数器 $ E(X; y) $ 与其广义字长型模式 $ A(X) $ 的如下解析联系

对任意的广义强正交表 $ GSOA(n, m, s^p, t) $ 设计 $ X $, Tian 和 Xu^[22] 建立了设计 $ X $ 的分层型计数器 $ E(X; y) $ 与其空间填充模式 $ S(X) $ 的如下解析联系

设计的正交性可以用于帮助构造空间填充设计, 分层正交性可以反映在最小低阶混杂准则中, 广义字长型模式反映了因子效应之间的混杂或非正交程度, 字长计数器则可以用于快速计算设计的广义字长型模式.

在本节中, 对于给定的两水平初始设计 $ A $, 利用二阶旋转矩阵构造了一类四水平空间填充设计 $ X $, 并研究了其空间填充性质, 分别建立了所构造的设计 $ X $ 与初始设计 $ A $ 在字长计数器和分层型计数器下的联系. 其构造方法具体描述如下.

$ {\bf 构造方法 1}$ 构造四水平空间填充设计 $ X\in \mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $.

${\bf 步骤~1}$ 对于给定的初始设计 $ A=(a_1, \cdots, a_m)\in\mathcal{U}(n; 2^m) $ 及差阵 $ D=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right) $, 生成矩阵 $ B=(B_1, \cdots, B_m)=(D\oplus a_1, \cdots, D\oplus a_m) $, 其中 $ a_i $ 为设计 $ A $ 的第 $ i $ 列, $ \oplus $ 表示 Galois 域 GF(2) 上的 Kronecker 和.

${\bf 步骤~2}$ 将矩阵 $ B $ 中元素 $ \{0, 1\} $ 中心化为 $ \Omega(2)=\{z-\frac{1}{2}|z=0, 1\} $, 得到矩阵 $ \tilde{B}=(\tilde{B}_1, \cdots, \tilde{B}_m) $.

${\bf 步骤~3}$ 令 $ \tilde{X}=(\tilde{B}_1R, \cdots, \tilde{B}_mR) $, 其中 $ R=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right) $ 为二阶旋转矩阵.

${\bf 步骤~4}$ 将 $ \tilde{X} $ 中的元素去中心化为 $ Z_4 $, 得到设计 $ X=(X_1^*, \cdots, X_m^*)\in \mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $, $ X_i^* $ 为 $ X $ 的第 $ i $ 个列块, 对应于由 $ a_i $ 通过差阵 $ D $ 和旋转矩阵 $ R $ 获得的子矩阵.

${\bf例 3.1}$ 考虑如下设计 $ A\in\mathcal{U}(4; 2^3) $, 通过构造方法1可构造设计 $ X\in\mathcal{U}(8; 4^6) $.

在本小节中, 对任意的两水平初始设计 $ A\in\mathcal{U}(n; 2^m) $, 研究了由基于第一类旋转矩阵的构造方法 1 所构造的四水平设计 $ X\in\mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $ 在字长计数器下的联系. 下面的引理 3.1 建立了设计 $ X $ 与设计 $ A $ 之间 Hamming 距离、相遇数和距离分布的关系.

${\bf引理3.1}$ 对任意设计 $ A\in\mathcal{U}(n; 2^m) $, 设计 $ X\in\mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $ 为基于构造方法 1 所构造的设计. 令 $ d_H(x_a, x_b) $ 和 $ d_H^*(x_a^*, x_b^*) $ 分别表示 $ A $ 和 $ X $ 的第 $ a $ 行与第 $ b $ 行的 Hamming 距离, $ \delta(x_a, x_b) $ 和 $ \delta^*(x_a^*, x_b^*) $ 分别表示 $ A $ 和 $ X $ 的第 $ a $ 行与第 $ b $ 行的相遇数, 则

${\bf证}$ 将由构造方法 1 所构造的设计 $ X $ 的前 $ n $ 行划为第一个行块 $ X_1 $, 后 $ n $ 行划为第二个行块 $ X_2 $. 根据构造方法 1, 初始设计 $ A $ 中的水平 0 对应设计 $ X $ 第一个行块 $ X_1 $ 中的 (0, 1) 和第二个行块 $ X_2 $ 中的 (1, 3), 初始设计 $ A $ 中的水平 1 对应设计 $ X $ 第一个行块 $ X_1 $ 中的 (3, 2) 和第二个行块 $ X_2 $ 中的 (2, 0). 令 $ \beta_{ab}X(u, v) $ 表示设计 $ X $ 中第 $ a $ 行与第 $ b $ 行同一列元素对 $ (u, v) $ 出现的次数, 在 $ X $ 的第一个行块 $ X_1 $ 中有

因此, $ d^*_H(x^*_a, x^*_b)=\eta_{a, b}+\sigma_{a, b}=2d_H(x_a, x_b) $. 类似的, 在 $ X $ 的第二个行块 $ X_2 $ 中也有 $ d^*_H(x^*_a, x^*_b)$$=2d_H(x_a, x_b) $.

当 $ X $ 中的第 $ a $ 行与第 $ b $ 行不在同一个行块中时,

因此, $ d^*_H(x^*_a, x^*_b)=\eta_{a, b}+\sigma_{a, b}=2m $. 引理 3.1 中 (i) 得证, 同理引理 3.1 中 (ii) 得证.

此外, 由距离分布的定义有

对于 $ 0\leq i<2m $, 由于所构造的设计 $ X $ 任意两行的 Hamming 距离等于初始设计 $ A $ 任意两行的 Hamming 距离的两倍或 $ 2m $, 因此对于 $ i=2k+1, k=0, \cdots, m-1, B_{i}(X)=0 $, 当 $ i=2k, k=0, \cdots, m-1 $,

下面的定理 3.1 建立了由构造方法1所构造设计 $ X $ 的字长计数器 $ E(X; y) $ 与其初始设计 $ A $ 的距离分布 $ B(A) $ 之间的关系.

${\bf定理3.1}$ 对任意的设计 $ A\in\mathcal{U}(n; 2^m) $, 设计 $ X\in\mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $ 为基于构造方法 1 所构造的设计, 则设计 $ X $ 的字长计数器 $ E(X; y) $ 可表示为

${\bf证}$ 根据 (2.1) 式、(2.3) 式以及引理 3.1 可得

将定理 3.1 中 (3.1) 式的右侧展开, 并对初始设计 $ A $ 的距离分布 $ B(A) $ 进行 MacWilliams 变换, 可根据 (2.4) 式获得如下推论 3.1 所示的设计 $ X $ 与其初始设计 $ A $ 的广义字长型之间的联系.

${\bf推论3.1}$ 对任意的设计 $ A\in\mathcal{U}(n; 2^m) $, 设计 $ X\in\mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $ 为基于构造方法 1 所构造的设计, 则

其中 $ P_j(i; n, q)=\sum_{r=0}^j(-1)^r (q-1)^{j-r}{i\choose r}{{n-i}\choose {j-r}} $ 为 Krawtchouk 多项式.

${\bf证}$ 根据 (2.4) 式, 将定理 3.1 的 (3.1) 式右边关于 $ y $ 的多项式进行展开, 比较 $ y $ 的同阶项的系数有

下面定理 3.2 给出了基于构造方法1所构造设计 $ X $ 的字长计数器的下界, 该下界可作为判断设计 $ X $ 是否具有广义最小低阶混杂的依据.

${\bf定理3.2}$ 对任意的设计 $ A\in\mathcal{U}(n; 2^m) $, 则由构造方法 1 所构造设计 $ X\in\mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $ 的字长计数器 $ E(X; y) $ 有如下的下界:

其中 $ \varphi_1=1-y, \varphi_2=1+3y, \tau_1=2m, \tau_2=\frac{mn}{n-1} $. $ E(X; y) $ 达到 (3.3) 式下界的充要条件是初始设计 $ A $ 的任意两不同行的 Hamming 距离均相等.

${\bf证}$ 由定理 3.1 的证明有

根据均值不等式有

当对于任意的 $ a\neq b, a, b=1, \cdots, n, d_H(x_a, x_b) $ 均相等时, 即初始设计 $ A $ 的任意两不同行的 Hamming 距离均相等时, 上述不等式的等号成立. 因此,

将定理 3.2 中的 (3.3) 式右侧展开, 可得如下推论.

${\bf推论3.2}$ 对任意的设计 $ A\in\mathcal{U}(n; 2^m) $, $ X\in\mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $ 为由构造方法1所构造的设计, 则

对于广义强正交表, 空间填充模式能更好的对其进行评估和排序, 分层型计数器能够用于快速计算空间填充模式. 由 Wang 和 Yang^[7] 有如下引理.

${\bf引理3.2}$ 设初始设计 $ A $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $, 则由构造方法 1 所构造的设计 $ X $ 为正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $.

在本节中, 以正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $ 作为初始设计 $ A $, 讨论了由构造方法 1 所构造的四水平正交设计 $ X $ 在分层型计数器下的性质. 下面的定理 3.3 建立了设计 $ X $ 的分层型计数器 $ E(X; y) $ 与其初始设计 $ A $ 的距离分布 $ B(A) $ 之间的解析联系.

${\bf定理3.3}$ 设初始设计 $ A $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $, 设计 $ X $ 为基于构造方法 1 所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $, 则 $ X $ 的分层型计数器 $ E(X; y) $ 可表示为

${\bf证}$ 根据 (2.2) 式和 (2.3) 式有

其中对于 $ l, k=0, 1 $,

由构造方法 1 可知, 设计 $ X $ 第一个行块 $ X_1 $ 的元素对 (0, 0), (1, 1), (3, 3), (2, 2), (0, 3), (1, 2), (3, 0), (2, 1) 分别对应于初始设计 $ A $ 中的 (0, 0), (0, 0), (1, 1), (1, 1), (0, 1), (0, 1), (1, 0), (1, 0), 且设计 $ X $ 第一个行块 $ X_1 $ 不存在元素对 (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1). 因此,

若设计 $ X $ 第 $ a $ 行来自第一个行块 $ X_1 $、第 $ b $ 行来自第二个行块 $ X_2 $, 则第 $ a $ 与第 $ b $ 行不存在元素对 (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (0, 3), (3, 0), 且元素对 (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1) 分别对应于初始设计 $ A $ 中的 (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 1), (1, 1), (0, 0), (1, 0). 因此,

同理有

将定理 3.3 中 (3.4) 式的右侧展开, 并对初始设计 $ A $ 的距离分布 $ B(A) $ 进行 MacWilliams 变换, 可根据 (2.5) 式获得如下推论 3.3 所示的设计 $ X $ 的分层型模式与其初始设计 $ A $ 的广义字长型之间的联系. 推论 3.3 的证明与推论 3.1 类似.

${\bf推论3.3}$ 设初始设计 $ A $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $, 设计 $ X $ 为基于构造方法 1 所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $, 则

其中多项式 $ P_j(i_1, i_2; k_1, k_2, k_3, k_4; p) =\sum_{k_1=0}^j\sum\limits_{\substack{k_2+k_3+k_4=i_2-i_1 \\ k_3+2k_4=k_1 \\ k_1, k_2, k_3, k_4\geq 0}} (-1)^{j-k_1} p^{k_4}{{i_1}\choose {j-k_1}}{{i_2-i_1}\choose {k_2, k_3, k_4}} $.

${\bf推论3.4}$ 设初始设计 $ A $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $, 设计 $ X $ 为基于构造方法 1 所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $, 则有 $ S_2(X)=0 $.

下面的定理 3.4 将给出由构造方法1所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $ 分层型模式的分层型计数器的下界, 该下界可作为判断所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $ 是否具有优良空间填充性质的依据. 定理 3.4 的证明与定理 3.2 类似.

${\bf定理3.4}$ 设初始设计 $ A $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $, 设计 $ X $ 为由构造方法 1 所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $, 则 $ X $ 的分层型计数器 $ E(X; y) $ 有如下的下界

其中 $ \varphi_3=1+y+2y^2, \varphi_4=1+y-2y^2 $. $ E(X; y) $ 达到 (3.6) 下界的充要条件是初始设计 $ A $ 任意两不同行的 Hamming 距离均相等.

将定理 3.4 的 (3.6) 式右侧展开, 可得如下推论.

${\bf推论3.5}$ 设初始设计 $ A $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $, 设计 $ X $ 为由构造方法 1 所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2m}) $, 则

在本节中, 对于给定的两水平初始设计 $ A $, 以三阶拉丁方设计作为旋转矩阵构造了一类规模更大性质更好的四水平空间填充设计 $ W $, 研究其空间填充性质, 建立了所构造的设计 $ W $ 与初始设计 $ A $ 在分层型计数器下的联系. 其构造方法具体描述如下.

${\bf 构造方法 2}$ 构造四水平空间填充设计 $ W\in \mathcal{U}(4n; 4^{3m}) $.

将构造方法 1 中步骤 1 的差阵换成 $ D=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) $, 步骤 3 中的旋转矩阵换成三阶拉丁方设计矩阵 $ R=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{array}\right) $, 其余步骤保持不变.

${\bf例 4.1}$ 考虑例 3.1 中设计 $ A\in\mathcal{U}(4; 2^3) $, 通过构造方法 2 可构造设计 $ W\in\mathcal{U}(16; 4^9) $.

下面的引理 4.1 给出构造方法2中差阵的性质, 引理 4.2 和 4.3 表明由构造方法 2 中的旋转矩阵所构造的设计不改变初始设计的一些特性.

${\bf引理4.1}$ 设 $ a_i $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $ 的第 $ i $ 列, $ D(4, 3, 2) $ 为构造方法 2 中的差阵, 则 $ D\oplus a_i $ 是一个正交表 $ OA(4n, 3, 2, 3) $, $ i=1, \cdots, m $.

${\bf证}$ 将构造方法 2 中的差阵 $ D(4, 3, 2)=(d_1, d_2, d_3) $ 的各列减去第一列 $ d_1 $ 可得到 $ D^*=(0, d_2-d_1, d_3-d_1)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right)^T $. 因此, $ D^*\oplus a_i=\left(\begin{array}{llll} a_i & a_i & a_i & a_i \\ a_i & a_i+1 & a_i+1 & a_i \\ a_i & a_i & a_i+1 & a_i+1\\ \end{array}\right)^T, $ 其中后两列为所有二维上两水平的水平置换组合, 且 $ a_i $ 中 0, 1 出现的频数相等, 则 $ D^*\oplus a_i $ 是一个正交表 $ OA(4n, 3, 2, 3) $. 同样, $ D\oplus a_i $ 也是一个正交表 $ OA(4n, 3, 2, 3) $.

${\bf引理4.2}$ 若设计 $ A $ 为 U-型设计, 则构造方法 2 所构造的设计 $ W $ 也为 U-型设计.

${\bf证}$ 由本文构造方法 2 可知, 初始设计 $ A $ 中水平 0 分别对应设计 $ W $ 第一个行块中的 (0, 0, 0), 第二个行块中的 (1, 3, 2), 第三个行块中的 (3, 2, 1) 和第四个行块中的 (2, 1, 3). 初始设计 $ A $ 中水平1分别对应设计 $ W $ 第一个行块中的 (3, 3, 3), 第二个行块中的 (2, 0, 1), 第三个行块中的 (0, 1, 2) 和第四个行块中的 (1, 2, 0). 因此初始设计 $ A $ 中水平 0 和 1 对应设计 $ W $ 三列组中每一列的水平 0、1、2 和 3 均出现两次, 当初始设计 $ A $ 为 U-型设计时, 即初始设计每一列中水平 0 和 1 出现相同的次数 $ \lambda $, 设计 $ W $ 每一列水平 0、1、2 和 3 出现 $ 2\lambda $ 次, 设计 $ W $ 为 U-型设计.

${\bf引理4.3}$ 若设计 $ A $ 为正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $, 则构造方法 2 所构造的设计 $ W $ 是一个$ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $.

${\bf证}$ 令由构造方法 2 所构造的设计 $ W=(W^*_1, \cdots, W^*_m) $, 其中 $ W^*_i $ 为设计 $ W $ 的第 $ 3(i-1)+1 $ 列 $ y_{3(i-1)+1} $ 到第 $ 3i $ 列$ y_{3i} $ 所组成的第 $ i $ 个列块, $ i=1, \cdots, m $. 将设计 $ W $ 通过水平塌缩: $ \{0, 1\}\mapsto 0, \{2, 3\}\mapsto 1 $ 至两水平设计 $ C=(C_1, \cdots, C_m) $, 其中第 $ i $ 个列块 $ W^*_i $ 塌缩至两水平设计 $ C $ 的第 $ i $ 个列块 $ C_i $.

由引理 4.2 可知, 当初始设计 $ A $ 为 $ OA(n, m, 2, 2) $ 时, 设计 $ W $ 的任意一列子矩阵是一个 $ OA(n, 1, 4, 1) $. 根据构造方法 2 可知, 初始设计 $ A $ 中水平 0 分别对应设计 $ C $ 第一个行块中的 (0, 0, 0), 第二个行块中的 (0, 1, 1), 第三个行块中的 (1, 1, 0) 和第四个行块中的 (1, 0, 1). 初始设计 $ A $ 中水平 1 分别对应设计 $ W $ 第一个行块中的 (1, 1, 1), 第二个行块中的 (1, 0, 0), 第三个行块中的 (0, 0, 1) 和第四个行块中的 (0, 1, 0). 与引理 4.2 证明类似, 初始设计 $ A $ 的每一列中水平 0 和 1 出现相同次数 $ \lambda $, 设计 $ C $ 的第 $ i $ 个列块 $ C_i $ 任意两列的所有可能水平组合出现 $ 2\lambda $ 次, 三列的所有可能水平组合出现 $ \lambda $ 次. 对于来自设计 $ C $ 中不同列块的任意两列, 当设计 $ A $ 中的子矩阵 $ (a_p, a_q) $ 中所有可能的水平组合出现 $ \lambda $ 次, 设计 $ C $ 中的子矩阵 $ (c_{3p+i}, c_{3q+j}) $, $ i, j=1, 2, 3, p, q=0,\cdots, m-1, p\neq q $ 所有可能的水平组合出现 $ 4\lambda $ 次. 因此, 设计 $ C $ 中任意两列子矩阵是一个 $ OA(n, 2, 2\times 2, 2) $.

因此, 由强正交表的定义可知构造方法 2 所构造的设计 $ W $ 是一个 $ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $.

将设计 $ W $ 的第 $ (i-1)n+1 $ 到第 $ in $ 行记为第 $ i $ 个行块 $ W_i $, $ i=1, 2, 3, 4 $. 经过构造方法 2 中变换后, 设计 $ A $ 中元素 0 分别变换为 $ W_1 $ 中的 (0, 0, 0), $ W_2 $ 中的 (1, 3, 2), $ W_3 $ 中的 (3, 2, 1), $ W_4 $ 中的 (2, 1, 3); 设计 $ A $ 中元素1分别变换为 $ W_1 $ 中的 (3, 3, 3), $ W_2 $ 中的 (2, 0, 1), $ W_3 $ 中的 (0, 1, 2), $ W_4 $ 中的 (1, 2, 0). 下面的引理 4.4 分别建立了由构造方法 2 所构造的设计 $ W $ 与其初始设计 $ A $ 之间的 Hamming 距离、相遇数和 NRT 距离的关系. 引理 4.4 的证明与引理 3.1 类似.

${\bf引理4.4}$ 对任意设计 $ A\in \mathcal{U}(n; 2^m) $, 设计 $ W\in \mathcal{U}(4n; 4^{3m}) $ 为基于构造方法 2 所构造的设计. 令 $ d_H(y_a, y_b) $ 和 $ d_H^*(y_a^*, y_b^*) $ 分别表示设计 $ A $ 和 $ W $ 的第 $ a $ 行与第 $ b $ 行的 Hamming 距离, $ \delta(y_a, y_b) $ 和 $ \delta^*(y_a^*, y_b^*) $ 分别表示设计 $ A $ 和 $ W $ 的第 $ a $ 行与第 $ b $ 行的相遇数, 则

构造方法 2 所构造的设计 $ W $ 不仅与初始设计具有紧密联系, 而且具有较好的空间填充性质. 对于其分层特性, 有如下的结果.

${\bf定理4.1}$ 对任意的正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $ 为初始设计 $ A $, $ W $ 为由构造方法 2 所构造的 $ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $. 设计 $ W $ 的同一列块中的两列 $ (y_{3p+i}, y_{3p+j}) $ 实现 $ 2\times 2 $ 的分层, 来自不同列块的两列 $ (y_{3p+i}, y_{3q+i}) $ 实现 $ 2\times 4 $ 和 $ 4\times 2 $ 的分层, 剩余的列对实现 $ 4\times 4 $ 的分层, 其中 $ i, j=1, 2, 3, i\neq j, p, q=0,\cdots, m-1, p\neq q $.

${\bf证}$ 对于设计 $ W $ 中的两列 $ y_{3p+i} $ 和 $ y_{3p+j} $, $ i, j=1, 2, 3, i\neq j, p=0,\cdots, m-1 $, $ y_{3p+i} $ 和 $ y_{3p+j} $ 可塌缩为两水平设计 $ C $ 的列 $ c_{3p+i} $ 和 $ c_{3p+j} $. 根据构造方法 2, 由引理 4.3 的证明可知, 设计 $ A $ 中的子矩阵 $ a_p $ 中的元素均出现 $ \lambda $ 次, $ (c_{3p+i}, c_{3p+j}) $ 所有可能的水平组合出现 $ 2\lambda $ 次, $ (c_{3p+i}, c_{3p+j}) $ 是一个 $ OA(4n, 2, 2, 2) $, 实现 $ 2\times 2 $ 的分层.

对于设计 $ W $ 中的两列 $ y_{3p+i} $ 和 $ y_{3q+i} $, $ i=1, 2, 3, p, q=0,\cdots, m-1, p\neq q $, $ y_{3p+i} $ 可塌缩为两水平设计 $ C $ 的列 $ c_{3p+i} $. 根据构造方法 2, 设计 $ A $ 中的子矩阵 $ (a_p, a_q) $ 中所有可能的水平组合出现 $ \lambda $ 次, $ (c_{3p+i}, y_{3q+i}) $ 所有可能的水平组合出现 $ 2\lambda $ 次, $ (c_{3p+i}, y_{3q+i}) $ 是一个 $ OA(4n, 2, 2\times 4, 2) $, 实现 $ 2\times 4 $ 的分层. 同理, $ (y_{3p+i}, c_{3q+i}) $ 是一个 $ OA(4n, 2, 4\times 2, 2) $, 实现 $ 4\times 2 $ 的分层.

对于设计 $ W $ 中的两列 $ y_{3p+i} $ 和 $ y_{3q+j} $, $ i, j=1, 2, 3, i\neq j, p, q=0,\cdots, m-1, p\neq q $, 根据构造方法 2, 设计 $ A $ 中的子矩阵 $ (a_p, a_q) $ 中所有可能的水平组合出现 $ \lambda $ 次, $ (y_{3p+i}, y_{3q+j}) $ 所有可能的水平组合也出现 $ \lambda $ 次, $ (y_{3p+i}, y_{3q+j}) $ 是一个 $ OA(4n, 2, 4, 2) $, 实现 $ 4\times 4 $ 的分层.

下面的定理 4.2 建立了由构造方法 2 所构造设计 $ W $ 的分层型计数器 $ E(W; y) $ 与其初始设计 $ A $ 的距离分布 $ B(A) $ 之间的解析联系. 定理 4.2 的证明与定理 3.3 类似. 定理 4.3 将给出由构造方法 2 所构造设计 $ W $ 的分层型计数器 $ E(W; y) $ 的下界, 该下界可作为判断所构造的设计是否具有优良空间填充性质的依据. 定理 4.3 的证明与定理 3.2 类似.

${\bf定理4.2}$ 对任意的正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $ 为初始设计 $ A $, 设计 $ W $ 为由构造方法 2 所构造的 $ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $, 则 $ W $ 的分层型计数器$ E(W; y) $ 可表示为

${\bf定理4.3}$ 对任意的正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $ 为初始设计 $ A $, 设计 $ W $ 为由构造方法 2 所构造的 $ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $, 则 $ W $ 的分层型计数器 $ E(W; y) $ 有如下的下界:

$ E(W; y) $ 达到 (4.2) 式下界的充要条件是初始设计 $ A $ 任意两不同行的 Hamming 距离均相等.

将本文定理 3.4 针对构造方法1得到的设计 $ X $ 的分层型计数器下界记为 $ LB_4 $, 本文定理 4.3 针对构造方法2得到的设计 $ W $ 的分层型计数器下界记为 $ LB_7 $, Tian 和 Xu [22] 的定理 5 针对一般的空间填充设计的分层型计数器下界记为 $ LB $. 对设计 $ X\in OD(2n; 4^{2m}) $ 分层型计数器的下界 $ LB_4 $ 和 $ LB $ 作差, $ y=0.1 $, $ m\in (3, 50) $, $ n\in (4, 100) $, 得到图 1 左图. 对一个 $ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $ 的设计 $ W $ 分层型计数器的下界 $ LB_7 $ 和 $ LB $ 作差, $ y=0.1 $, $ m\in (3, 50) $, $ n\in (4, 100) $, 得到图 1 右图. 由图 1 可知, $ LB_4-LB $ 和 $ LB_7-LB $ 的值均在 0-1 之间, 当 $ m=50, n=100 $ 时, $ X $ 的 $ LB_4=418.3924, LB=418.1739 $, $ W $ 的 $ LB_7=60345.9069, LB=60345.7377 $, $ X $ 和 $ W $ 分层型计数器下界值非常大, 但 $ LB_4-LB $ 和 $ LB_7-LB $ 却很小, 分别为 0.2185 和 0.1692. 本文定理 3.4 和定理 4.3 的下界与 Tian 和 Xu[22] 的定理 5 下界非常接近, 也就是说由构造方法 1 和 2 得到的设计 $ X, W $ 分层型计数器只要能分别达到定理 3.4 和定理 4.3 的下界, 就能非常接近 Tian 和 Xu[22] 的定理 5 对于一般的空间填充设计分层型计数器的下界, 而仅需当初始设计为 Hamming 距离等距设计, $ X, W $ 分层型计数器便可达到定理 3.4 和定理 4.3 的下界. 因此, 本文构造方法构造空间填充设计非常有效.

将定理 4.3 的 (4.2) 式右侧展开可得如下推论 4.1. 当初始设计为饱和正交表时, 本文构造方法 1 和 2 分别构造的正交设计和强正交表的空间填充型有如下推论 4.2 的结论.

${\bf推论4.1}$ 对任意的正交表 $ OA(n, m, 2, 2) $ 为初始设计 $ A $, 设计 $ W $ 为由构造方法 2 所构造的 $ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $, 则

${\bf推论4.2}$ 对任意的饱和正交表 $ OA(n, n-1, 2, 2) $ 为初始设计 $ A $, 设计 $ X $ 为由构造方法 1 所构造的正交设计 $ OD(2n; 4^{2(n-1)}) $, 设计 $ W $ 为由构造方法 2 所构造的 $ SOA(4n, 3m, 2^2, 2) $, 则有 $ S_2(X)=0, S_2(W)=0, S_3(X)=\frac{2(n^2-1)}{3}, S_3(W)=n^2-1 $.

${\bf例 5.1}$ 考虑例 3.1 中由构造方法 1 所构造的设计 $ X\in\mathcal{U}(8; 4^6) $ 和例 4.1 中由构造方法 2 所构造的设计 $ W\in\mathcal{U}(16; 4^9) $, 其初始设计 $ A\in\mathcal{U}(4; 2^3) $ 的距离分布为 $ B(A)=(1, 0, 3, 0) $. 由定理 3.1 和定理 3.3 可得设计 $ X $ 的广义字长型模式为 $ A(X)=(A_1(X), \cdots, A_6(X))=(0, 21, 56, 171, 168, 95) $, 空间填充型模式为 $ S(X)=(S_1(X), \cdots, S_12(X))=(0, 0, 10, 42, 24, 70,$$ 114, 81, 84, 54, 24, 8) $, 由定理 3.2 和定理 3.4 可知设计 $ X $ 的广义字长型模式和空间填充模式均达到了下界. 由定理 4.2 可得设计 $ W $ 的空间填充模式如表 1 所示, 分层型计数器 $ E(W; 0.1)=1.022012 $, 由定理 4.3 可知设计 $ W $ 的空间填充模式也达到了下界.

${\bf例 5.2}$ 考虑本文构造方法 1 与构造方法 2 所构造的设计在分层性的比较. 令 $ hij $ 表示构造的四水平设计 $ X $ 的第 $ i $ 个列块的第 $ j $ 列. 图 2 的 a 子图展示了例 3.1 中由构造方法 1 所构造的设计 $ X $ 所有列的二维分层性, 设计 $ X $ 中同一列块中的两列实现 $ 2\times 2 $ 的分层, 不在同一列块中的两列实现 $ 2\times 4 $ 和 $ 4\times 2 $ 的分层. 图 2 的 b 子图展示了例 4.1 中由构造方法 2 所构造的设计 $ W $ 所有列的二维分层性, 设计 $ W $ 中同一列块中的两列实现 $ 2\times 2 $ 的分层, 来自不同列块对应列的两列实现 $ 2\times 4 $ 和 $ 4\times 2 $ 的分层, 剩余的列对实现 $ 4\times 4 $ 的分层. 例 3.1 和例 4.1 的初始设计相同, 但由构造方法 2 所构造的设计 $ W $ 比构造方法 1 所构造的设计 $ X $ 规模更大且二维分层性更好.

${\bf例 5.3}$ 考虑本文构造方法与 Hu 等 ^[6] 基于编码映射构造的四水平设计比较. 对于任意的初始设计 $ A\in\mathcal{U}(n; 2^m) $, Hu 等^[6]中通过倍扩和编码映射得到四水平设计$ D(A)\in\mathcal{U}(2n; 4^m) $, 由本文的构造方法 1 可构造设计 $ X\in\mathcal{U}(2n; 4^{2m}) $, 由构造方法 2 可构造设计 $ W\in\mathcal{U}(4n; 4^{3m}) $. 对于同样规模的初始设计, 由本文的构造方法所构造的四水平设计的规模均大于 Hu 等^[6]所构造的四水平设计.

考虑从 Hu 等^[6]例 3.1 中的两水平初始设计任选三列, 由构造方法 1 可得到与 Hu 等^[6]构造的四水平设计规模相同的设计, 下面比较本文所构造的设计与 Hu 等^[6]构造的设计在空间填充性上的优劣. 由 Hu 等^[6]例 3.1 中的初始设计 $ A $ 任取三列所构造四水平设计的空间填充模式仅有两种不同的结果, 这两种结果和 Hu 等^[6]例 3.1 得到的设计的空间填充模式如下表 2 所示. 令 $ X $ 和 $ X^* $ 分别以 Hu 等^[6]例 3.1 的设计 $ A $ 的第 2、3、4 列和 第 1、2、3 列为初始设计使用构造方法1所构造的设计, $ D(A) $ 为 Hu 等^[6]例 3.1 中由初始 $ A $ 设计所构造的设计. 表 2 分别给出了设计 $ X $, $ X^* $ 和 $ D(A) $ 的空间填充模式, 根据 Tian 和 Xu[21] 的最小混杂型空间填充准则可知本文构造的设计 $ X $ 和 $ X^* $ 比 Hu 等^[6]所构造的设计 $ D(A) $ 更好. 根据 Tian 和 Xu ^[22] 提出的分层型计数器, 取 $ y=0.1 $, $ E(X; 0.1)=1.0145, E(X^*; 0.1)=1.0345, E(D(A); 0.1)=1.0406 $, 这也表明本文构造的设计 $ X $ 和 $ X^* $ 比 Hu 等^[6]所构造的设计 $ D(A) $ 更好.

${\bf例 5.4}$ 考虑本文构造方法 2、Qin 等^[4] 构造方法、水平扩张法所构造设计及均匀设计之间的比较. 基于正交表 $ OA(16, 15, 2, 2) $, 使用 Qin 等^[4] 的构造方法可构造 $ X\in\mathcal{U}(16; 4^9) $, 从正交表 $ OA(16, 15, 2, 2) $ 的 15 列任选两列进行编码映射共有 $ {{15}\choose {2}}=105 $ 种, 由此构造的 9 因子设计共有 $ {{105}\choose {9}}=3005047770725 $ 个, 要从中搜索最优的设计比较困难, 本文进行 10000 次搜索后得到在分层型计数器下的近似最优设计. 水平扩张法要获得一个优良设计也是困难的, 基于正交表 $ OA(16, 15, 2, 2) $ 进行水平扩张, 本文同样进行 10000 次搜索后得到在分层型计数器下的近似最优正交设计 $ OD(16; 4^{15}) $, 再从该设计中挑选 9 列获得与本文同规模的设计. 对于均匀设计可在偏差准则下选择, 例如可选择在 (5.1) 式中可卷型 $ L_2 $-偏差下的均匀设计 ^[24,25], 或根据 Lei 和 Du^[26] 给出的四水平 U-型设计对称化 $ L_2 $-偏差的具体表达及下界选择均匀设计, 本文使用可卷型 $ L_2 $-偏差下的均匀设计进行比较. 表 3 分别列出了上述三个设计.

取 $ y=0.1 $, 通过计算这些设计的分层型计数器可知: 本文例 4.1 构造的设计 $ W $ 的分层型计数器为 $ E(W; 0.1)=1.0220 $, Qin 等^[4] 的构造方法得到的设计 $ X $ 的分层型计数器为 $ E(X; 0.1)=1.0224 $, 水平扩张构造的设计 $ X $ 的分层型计数器为 $ E(X; 0.1)=1.0229 $, 可卷 $ L_2 $-偏差下的均匀设计 $ X $ 的分层型计数器为 $ E(X; 0.1)=1.0286 $. 本文所构造的设计的分层型计数器的值最小, 因此, 由本文所构造的设计在空间填充型准则下表现最好.

下面对上述四个设计在空间填充型、欧氏距离、可卷型 $ L_2 $-偏差和相关系数准则下低维投影的性质进行比较. 对于设计 $ X\in\mathcal{U}(n; s^m) $, 其欧氏距离表示为 $ \min_{1\leq a<b\leq n}[\sum_{j=1}^m(x_{aj}-x_{bj})^2]^{1/2} $. 在欧氏距离准则下, 欧氏距离达到最大的设计最优. 设计 $ X $ 的可卷型 $ L_2 $-偏差可由下式计算,

其中 $ u_{aj}=\frac{2x_{aj}+1}{2s}, a=1, \cdots, n, j=1, \cdots, m $. 在可卷型 $ L_2 $-偏差准则下, $ [WD(X)]^2 $ 达到最小的设计最优. 设计 $ X $ 的平均绝对相关系数为 $ \rho_{ave}(X)=[m(m-1)]^{-1}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1 (\neq i)}^m|\rho_{ij}| $, 其中 $ \rho_{ij} $ 为设计 $ X $ 第 $ i $ 列与第 $ j $ 列的相关系数. 在相关系数准则下, $ \rho_{ave}(X) $ 达到最小的设计最优.

图 3 展示了这四个设计的 $ {{9}\choose {k}} $ 个 $ k $ 维投影子设计在上述准则下的表现, $ 2\leq k\leq 9 $, 其中 a, b, c, d 四个子图分别展示了这四个设计的低维投影子设计在空间填充型准则、欧氏距离准则、可卷型 $ L_2 $-偏差准则和相关系数准则下的结果. 在空间填充型准则下, 给出了 $ k $ 维投影上所有的投影子设计分层型计数器的平均值, 本文构造的设计在所有维度上的投影均为最优. 在欧氏距离准则下, 为使结果更直观, 本文使用了欧氏距离的平方值, 给出了 $ k $ 维投影上所有的投影子设计平方欧氏距离的平均值, 本文构造的设计在 7-9 维的投影最优. 在可卷型 $ L_2 $-偏差准则下, 给出了 $ k $ 维投影上所有的投影子设计可卷型 $ L_2 $- 偏差的平均值, 并以本文构造设计为基准, 计算各设计的相对可卷型 $ L_2 $-偏差差值, 本文构造的设计在所有维度上的投影均仅次于可卷型 $ L_2 $-偏差下的均匀设计. 在相关系数准则下, 为使结果更直观, 给出了 $ k $ 维投影上的所有子设计平均绝对相关系数的最大值, 本文构造的设计在 5-9 维的投影均仅次于由 Qin 等[4] 的构造方法所构造的设计. 综上, 本文所构造的设计在低维投影中显示了良好的空间填充特性, 并且在不同的标准下具有鲁棒性.

由于试验场景的日趋复杂, 常常使用试验次数和因子数都很多的大型设计. 本文基于旋转法利用较小规模的两水平设计构造了规模较大的四水平设计, 分别建立了所构造的设计在字长计数器和分层型计数器下与其初始设计的联系, 并且给出了一个新的旋转矩阵, 使用本文给出的旋转矩阵构造的设计规模更大且分层性质更好. 结果表明: 本文所构造的设计具有良好的空间填充特性, 非常适用于计算机试验.

本文所考虑的基于旋转法构造四水平空间填充设计为构造更一般的空间填充设计提供了一个新的且值得进一步研究的方向. 沿着此方向, 有关多水平空间填充设计的构造将是一个非常有意义的问题, 在未来将进一步进行研究.